qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz Τάξη : Γ Λυκείου ΦΥΛΛΑΔΙΟ : Συνέχεια συνάρτησης xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων ωυdfghjργklαzxcvbnβφδγωmζqwert 9ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ λκοθξyuiύασφdfghjklzxcvbnmqwerty uiopaβsdfghjklzxcεrυtγyεuνiιoαpasdf ghjklzxcηvbnασφδmqwertασδyuiopa sdfασδφγθμκxcvυξσφbnmσφγqwθeξ τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzxcv ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgασργκο ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdfghjk lzxσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdγαε ορlzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ αεργαγρqwertyuiopasdfghjklzxασδφ mοιηξηωχψφσuioψασεφγvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopσ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : RR με x R Να αποδείξετε ότι f()= xf (x) x x x για κάθε Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : RR για τις οποίες ισχύει f (x) g (x ) x για κάθε x R Να αποδείξετε ότι οι f, g είναι συνεχείς στο x= Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : RR για τις οποίες ισχύει f (x) g (x ) x για κάθε x R και κ, ν Ν * Να αποδείξετε ότι οι f, g είναι συνεχείς στο x= Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο R, συνεχής στο x και (x-)f(x) x x για κάθε x R Να βρείτε το f() 5 Εστω f : RR * με f (x y) f (x) f (y) για κάθε x,y R Αν η f είναι συνεχής στο x να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R 6 Έστω συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει f (x) f (x) x Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R 7 Δίνεται συνάρτηση f : RR συνεχής στο x=6 για την οποία ισχύει f (x ) f (x) f (6) lim Να υπολογίσετε το lim x x x 6 x 6 ν για κάθε xr 8 Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( x ) x x 5 και g( x ) x x τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο (x, y ) x (,) M με 9 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : R(,+ ) για τις οποίες ισχύει f(α)=α και g(β)=-β Να αποδείξετε ότι υπάρχει x (α,β) τέτοιο ώστε f(x)=x+ g(x) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : (,+ )R για την οποία ισχύει lnx x < f(x) < ln x +x για κάθε x> Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) (e )ln x x έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,e) Να δείξετε ότι η εξίσωση x xx x διάστημα, Να δείξετε ότι η εξίσωση x x x ρίζα έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο έχει μία τουλάχιστον πραγματική Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : RR για την οποία ισχύει f() = και (x) f (x) e f 5 x για κάθε xr Να δείξετε ότι :
α η f αντιστρέφεται β η εξίσωση (f f )(x) f (5 x ) = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,) Δίνεται η συνάρτηση f, ορισμένη και συνεχής στο [,] με f()=f() Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ[,] τέτοιο ώστε f ( ) f(ξ ) 5 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [,](,) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(,) τέτοιο ώστε f ( ) f(ξ) -ξ 6 Δίνεται η συνάρτηση f, ορισμένη και συνεχής στο [,] Να αποδείξετε ότι 5 x υπάρχει x (,) τέτοιο ώστε f (x ) x 5x 6 7 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R με f() = -5 και, δύο διαδοχικές ρίζες f () x x 5 της εξίσωσης f(x)= Να υπολογίσετε το lim x x 8 Να λύσετε στο (,π) την ανίσωση : x x 9 Αν f, g συνεχείς συναρτήσεις στο R με (x - ) lim[g(x) ] x x - α) να βρείτε το f() και το g() lim[f (x) x - ] x - x και f(x) g(x) για κάθε xr, τότε : β) να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x(,) τέτοιο ώστε g(x ) f (x ) f (x ) x - Έστω συνεχής συνάρτηση f : [,] Z Να δείξετε ότι η f είναι σταθερή Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [,] R με f() = και f(x)f(f(x)) = 5 Να βρείτε το f() και το f(5) Έστω συνάρτηση f : R R με f() = και f() = 5 Αν η εξίσωση f(x) = είναι αδύνατη στο R να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [,] Να δείξετε ότι υπάρχει x [,] τέτοιο f () f () 5f () f () ώστε f (x ),
z Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R με f()= και zc τέτοιος ώστε z i α Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C της εικόνα Μ(z) β Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f και ο γεωμετρικός τόπος του α ερωτήματος έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο x 5 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R με f(x) και xf (x) f (x) e για κάθε xr Αν επιπλέον ισχύει zz 9 lim f (x) zz z, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C της εικόνα Μ(z), zc x i 6 Δίνεται ο μιγαδικός z x, x R x i α Να δείξετε ότι ένας μόνο από τους μιγαδικούς αριθμούς z είναι φανταστικός lim Im(z) x β Να βρείτε το x γ Αν Re(z) = Im(z), να υπολογίσετε το z 7 Έστω f, g συνεχείς συναρτήσεις στο R με f(a) = g(a) = [,] και z, z C με z z z Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) z g(x) x z έχει μία τουλάχιστον λύση στο [,] z 8 Δίνεται ο αριθμός z C {i} και η συνάρτηση f : RR συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε z i f (x) z i f ( x) z i z i, για κάθε xr α Να δείξετε ότι z i z i β Να δείξετε ότι z R γ Να βρείτε την τιμή f ( ) δ Να λύσετε την ανίσωση f (8x ) ε Να δείξετε ότι η εξίσωση x x f (x) έχει τουλάχιστον μία λύση στο R 9 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :[,9]R με f () f () f (9) 7 για κάθε x[,9] Να δείξετε ότι : α f(x) >, για κάθε x[,9] β υπάρχει ξ [,9] τέτοιο ώστε f(ξ) = γ υπάρχει x [,9] τέτοιο ώστε f(x) = x και f(x) Έστω f :[,]R συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση Έστω z = f()+f()i, τέτοιος ώστε Re(iz+z)= Να δείξετε ότι : f () f () f () f () α f () f () και f () f () β υπάρχουν ξ, ξ (,) τέτοια ώστε f(ξ) f(ξ) =
α) Εστω συνάρτηση f : ΔR, όπου Δ τυχαίο διάστημα και f συνεχής και στο Δ Τότε να δείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ β) Αν η συνάρτηση f συνεχής και στο Δ=[,9] με f(9) < f() <, να δείξετε ότι f(x) < για κάθε x [,9] Έστω f :[,]R συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση, με f()=5 και (x lim x x)f (x) ( x - ) 8 x α Να βρείτε την τιμή f() β Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f και τα σύνολο τιμών της f(a), A=[,] γ Να δείξετε ότι η ευθεία y= τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα μόνο σημείο δ Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε f ( f () f () f () ) Έστω συνάρτηση f : RR συνεχής με f() = - και f(x) x για κάθε xr Να δείξετε ότι : α Να δείξετε ότι f(x) < x για κάθε xr β Να βρείτε το x lim x f (x) 5