ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε απόδειξη θεωρήµατος σχολικού βιβλίου σελίδα 63. Α. Βλέπε ορισµό σχολικού βιβλίου σελίδα 8. Α3. Βλέπε ορισµό σχολικού βιβλίου σελίδα 33. Α4. α Λ. Το σωστό είναι: β Σ. γ Σ. δ Σ. ε Λ. βιβλίου. Βλέπε σελίδα 7 σχολικού βιβλίου. Βλέπε σελίδα 33 σχολικού βιβλίου. Βλέπε σελίδα 9 σχολικού βιβλίου. συν lim =. Βλέπε σελίδα 7 σχολικού Το σωστό είναι: τα εσωτερικά σηµεία του διαστήµατος στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση µε το µηδέν, λέγονται κρίσιµα σηµεία της f στο διάστηµα. Βλέπε σελίδα 6 σχολικού βιβλίου. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΘΕΜΑ Β ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 B. Για να δείξουµε ότι η f είναι συνεχής αρκεί να δείξουµε ότι είναι συνεχής στο =, καθώς η f για κάθε είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Αρκεί να δείξουµε ότι lim f = f (). ος τρόπος u e e Έχουµε lim f = lim = lim = = f (). u u Θέτοντας u= ισχύει αν τότε u και έτσι το όριο γίνεται: u e e lim= = lim = το οποίο είναι η παράγωγος της συνάρτησης u u h = e, για =. u e lim = =. u u Άρα h = e, οπότε h ος τρόπος e DLH lim f = lim = ( e ) lim = lime ( ) = lim e = e = = f. B. Αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει το όριο lim αριθµός. e f f Έχουµε lim = lim = e + e DLH lim = lim = ( ) (( ) ) f f και είναι πραγµατικός e e lim = lim = lim f = f = R. ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Άρα η f είναι παραγωγίσιµη στο =,µε f =. Η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (, f ) Α είναι: = ( ), δηλαδή y ( ) y f f g e Β3. Η συνάρτηση = οπότε y= +. = + είναι συνεχής στο R ως πράξεις συνεχών στο R, παραγωγίσιµη στο R ως πράξεις παραγωγίσιµων συναρτήσεων στο g = e + e = e + = e. R, µε Έχουµε: g Οµοίως αν g, οπότε ισχύουν οι ισοδυναµίες: e > e. < προκύπτει <. Η µονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: + g + g Επειδή η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για = το g e g g, για κάθε R. min = ( ) + = + =, ισχύει ηλαδή ισχύει g,για κάθε R. H f είναι παραγωγίσιµη στο R µε: e e e e e + f = = = ( ) ( ) e + g e e + = = = > για κάθε. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Επειδή η f είναι συνεχής στο = έπεται ότι είναι γνησίως αύξουσα στο R. Β4. Ισχύει ότι: ΘΕΜΑ Γ Η g είναι συνεχής στο διάστηµα [ ] g( ) > για κάθε [ 5, 6] µόνο στο =. Οπότε από γνωστό Θεώρηµα έχουµε: Γ. Για κάθε R ισχύει ότι: 5,6 ως παραγωγίσιµη στο R. 6 5, καθώς η συνάρτηση g µηδενίζεται g d>. 3 3 f + 3 f + 3. () 3 3 Θεωρούµε τη συνάρτηση Παρατηρούµε ότι: g() = f 3= 3 3=. Άρα για κάθε R ισχύει ότι: () g g (). 3 g = f + 3, µε R. 3 ηλαδή η g παρουσιάζει στο ολικό ελάχιστο. Επίσης το είναι εσωτερικό σηµείο του R και η g παραγωγίσιµη στο R µε: 3 3 g = f + 3 = f ( ) +. 3 3 Σύµφωνα µε το θεώρηµα Fermat ισχύει ότι: 3 3 g () = f ( ) + = f ( ) =. 3 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 3
Γ. ος τρόπος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Για κάθε R ισχύει ότι: f f + f f + f = f f + f f + f f = f f + f f + f f = ( f f ) f f e> + = ( ) e f f + e f f = e f f + e f f = ( ) ( e f f ) = ος τρόπος Για κάθε R ισχύει ότι: f f + f f + f = + + = f f f f f f e f f e f f e f f ( e f f ) e > e f f + e f f + e f f = + + = = Με εφαρµογή των Συνεπειών του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής προκύπτει ότι υπάρχει σταθερά c R τέτοια ώστε να ισχύει: e f f = c. Για =, έχουµε: 3 3 e f () f () = c 3 = c c =. Άρα για κάθε R ισχύει ότι: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 e f f = f f = e f f = e f = e. Με εφαρµογή των Συνεπειών του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής προκύπτει ότι υπάρχει σταθερά c R τέτοια ώστε να ισχύει: f = e + c. Για =, έχουµε: f () = e + c 3 = + c c =. Άρα για κάθε R ισχύει ότι: f = e +. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και f ( ) για κάθε R, εποµένως η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο R. Επειδή f () = 3>, θα είναι f ( ) > για κάθε R. Εποµένως: f = e +, R. Γ3. ος τρόπος Έστω, R µε f ( ) = f ( ). Έχουµε: f ( ) = f ( ) e + = e + e + = e + e = e e = e = =. Άρα η συνάρτηση f είναι - συνάρτηση, οπότε αντιστρέφεται. ος τρόπος Η f είναι παραγωγίσιµη στο R, µε: e f = e + = e + = <, για κάθε R. e + e + Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, οπότε και - συνάρτηση, συνεπώς αντιστρέφεται. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Θέτουµε y= f ( ) και έχουµε: y = f y = e + () Θα πρέπει y. Με αυτόν τον περιορισµό έχουµε: y y = e + y = e e = () y> y Θα πρέπει > y > y >. Με αυτόν τον επιπλέον περιορισµό έχουµε: y y y ln e = ln = ln = ln y = ln = ln f ( y) = ln, y> y y Άρα είναι: f = ln, >. Υποσηµείωση: Το σύνολο τιµών της f,το οποίο είναι το πεδίο ορισµού της f, µπορεί να βρεθεί από την συνέχεια και την µονοτονία της f. Γ4. Θέλουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα Ι = ( e ) ln e f + d. Έχουµε: e + e + e + e + e ( e + ) Ι = d = ln d = = = + d d ln( ) ln( ) + + d f e e e + e e e ln( e ) ln( e ) e e Θέτουµε e = u, οπότε e d= du. Επίσης e + = u+ > και e + = u+ >. ln( e ) Για = ln( e ) είναι u= e = e. Για = είναι u= e =. Εποµένως: u + u + Ι = du = = = + du + du u u u + e e e [ u ] ln ( u ) ( e ) ( ln 3 ln( e ) = + = + = e e = e+ ln 3+ ln e= 4 e ln 3. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 7 ΑΠΟ 3
ΘΕΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6. Αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει µοναδικό (,) ότι η εξίσωση g( ) = έχει µοναδική ρίζα στο διάστηµα Η συνάρτηση = ln + τέτοιο, ώστε g( ) =, ή,. g είναι παραγωγίσιµη για κάθε > µε: g = ( ln + ) = + >, για κάθε >.,+. Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο ος τρόπος Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, ) και επειδή είναι συνεχής στο (, ), έχουµε: ((,) ) = ( lim, lim ) = (,) g g g, + αφού lim g = lim( ln + ) = και g ( ) + + g η εξίσωση = Επειδή ((,)) lim = lim ln + = g έχει ρίζα στο διάστηµα αφού η είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό η ρίζα θα είναι µοναδική. ος τρόπος Είναι lim lim( ln ) g = + =. + + Οπότε υπάρχει α κοντά στο + µε < α < τέτοιο, ώστε gα <. Επίσης g () = ln+ = >. Εποµένως g( α ) g() <. Επειδή η g είναι και συνεχής στο [,] (,) Bolzano η συνάρτηση α,,., και α σύµφωνα µε το Θεώρηµα g έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα Επιπλέον η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), οπότε η ρίζα θα είναι µοναδική. 3 ος τρόπος Ενδεικτικά, εφαρµόζουµε Θεώρηµα Bolzano για την g στο διάστηµα, e. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 8 ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Στη συνέχεια θα λύσουµε την εξίσωση e =. Επειδή > θα πρέπει και >, οπότε η εξίσωση ισοδύναµα γίνεται: = ln = ln = ln ln e e + ln = + ln g = g( ). () Όµως η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα και -, οπότε έχουµε: g: () g = g( ) =.. i) Για < α<, το ζητούµενο εµβαδόν είναι: Ε = g ( ) d. α Έχουµε: ln ր ln ln ln ln + g g. Συνεπώς στο [,] Εποµένως είναι: α είναι g = g( ). a Ε = g d = ln d = ln d = lnd = α α α a a a a = ln [ ln ] ( ln ) d = = ln = d a a d a a [ ] = a ln a d= a ln a = a ln a a + τ.µ. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 9 ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ii) Από υπόθεση έχουµε ότι α ( t) = cm/sec. Αυτό σηµαίνει ότι η τιµή του αριθµού α αυξάνει, δηλαδή κινείται αποµακρυνόµενος από το και προσεγγίζοντας το, αφού < α<. Επειδή η θέση του αριθµού α είναι συνάρτηση του χρόνου t έχουµε: Ε ( t) = α ( t) ln α ( t) α ( t) +. O ρυθµός µεταβολής του είναι: E '( t) = a '( t) ln( a( t)) + a( t) (ln( a( t)) ' a '( t) = a '( t) = a '( t) ln( a( t)) + a( t) a '( t) = a( t) = a '( t) ln( a( t)) + a '( t) a '( t) = a '( t) ln( a( t)). Την χρονική στιγµή t στην οποία είναι α ( t)= έχουµε: Ε ( t ) = α ( t ) ln α ( t ) = ln = ln. Όµως από. ερώτηµα ισχύει ότι: g( ) = ln + = ln =. Συνεπώς Ε ( t) = cm²/sec. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 3. Επειδή για κάθε > είναι Παρατηρούµε ότι: <g () < () για κάθε < Πράγµατι το <g () g '() = + > η g είναι γνησίως αύξουσα. προκύπτει γιατί το σύνολο τιµών της (, + ). Για το g () < έχουµε τις ισοδυναµίες: < < g () g(g ()) g < + ln > + ln > + ( ln( )) [ + + > ln [ < ] ln = ln( θ ) ] θ [g γνησίως αύξουσα] g είναι το Η τελευταία ανισότητα ισχύει, αφού από την γνωστή σχέση ln, >, έχουµε για κάθε < : ln( ) ln( ) + ln( ) + + > Επειδή lim =, από το κριτήριο παρεµβολής η () δίνει Η σχέση f (g()) f () e ln, > το g () >, IR δίνει: lim g () = = + + µε την αντικατάσταση του µε g = + +, () για κάθε IR f () f (g ()) e (g () ) ln(g ()) Θέτουµε g () =u. Είναι lim f (g ()) lim f (u) f () u = =, lim g () =, οπότε lim u = και g u lim e (g () ) = lim e (u ) =, u = = lim (ln(g ())) lim(ln u) u ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
Εποµένως ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 lim f (g ()) + e (g () ) + ln(g ()) = lim f () = () g 4. Για κάθε >, έχουµε: ( ) ( ) ln ( ) ln ( ) ( ) = g + ln f g = f + e + ln f g f = e e + ln f g f e e e f g f e e ln + = + = + ln f g f e e. ιαιρούµε και τα δύο µέλη της τελευταίας ισότητας µε τον όρο g = ln >, για κάθε > και έχουµε: g ( ) f g f e e ln = + g g g g ( ) f g f e e ln = + g g ln g ( ) f g f e e = +. () g g Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο R, εποµένως είναι συνεχής στο [, g ] και παραγωγίσιµη στο (, ) g, για κάθε >. Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής για την f στο [, g( )], εποµένως θα υπάρχει ( g ) τέτοιο, ώστε: ( ) f g f f ( ξ ) = g. () ξ, µε < < ξ < g Θεωρούµε τη συνάρτηση h= e η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο R, εποµένως είναι συνεχής στο [, g ] παραγωγίσιµη στο (, g( )), για κάθε >, µε h = e. Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής για την h στο [, g( )], εποµένως θα υπάρχει ξ (, g ) µε < < ξ < g τέτοιο, ώστε: g ξ e e h ( ξ ) = e =. (3) g και ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 e ξ Από τις () και (3) η () δίνει: Ενδεικτικά ένας ος τρόπος είναι: Για κάθε >, έχουµε: ( ) f ξ = +, µε ξ > και ξ >. f g = f + e + ln f g f = e e + ln ln ( ) ln f g f e e e f g f e e ln + = + = + ln ( ) g f g f = e e + ln. Οπότε: g f g e g f e =.() Έστω η συνάρτηση y f e, Τότε η () γίνεται: y g = >. y =, για κάθε >. () Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα Rolle για την συνάρτηση y στο, g για κάθε >. H y είναι συνεχής στο, g, g για κάθε >, ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιµων συναρτήσεων στα διαστήµατα αυτά. Λόγω της () ισχύει y g y =. και παραγωγίσιµη στο Άρα υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθµός, g =. ώστε y( ξ) Όµως y = f e, οπότε f ( ξ) e ξ = + >. Οπότε έχουµε f ( ξ) e ξ, ξ Για ξ= ξ= ξ έπεται το ζητούµενο. ξ, άρα και ξ>, τέτοιος =. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 3