v w = v = pr w v = v cos(v,w) = v w

Íö Ú Ò ÔÖ Ø Ô Ö ÔÖ ØÝ Ô Ð Ùö Ú ÒÝÒ ÝÖ Ð ÓØ Ó µ º ºÃÐ ØÒ Ë ÓÖÒ Þ ÔÓ ÒÐ Ø Ó ÓÑ ØÖ ½ ÁÞ Ø Ð ØÚÓ Æ Ù Å Ú º ÖÙ µº Ã Ø Ùö Ú Ò ÝÖ Ú Ø ÒÅ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ºÚÙºÐØ» Ø ÖÓ» ¾» л Ò Ó» ÓÑ ÙÞ º ØÑ ½ Î ØÓÖ Ð Ö ÒÅ Ö Ú ØÓÖ ÒÅ Ò Ù Íö Ú Ò ÙÓ öò Ù Ù Ø Ñ Ù Ò Ð Ó Ñ Ø Ú ÑÓ Ú ØÓÖ Ò Ö Ú V = k n Ú Ö ÙÒÓ k = R,C, Ö Q Ò Ñ V ½ ¾ º Â Ñ V ½ Ø V ÙØ ÑÔ Ù Ô Ù ÙÒÙ kº Â Ñ V ¾ Ø V Ú Ò Ñ ÔÐÓ ØÙÑ º Â Ñ V Ø V Ú Ò Ñ Ô ÔÖ Ù Ö Ú º ÈÖ Ñ Ò Ñ Ð Ø Ö Ð Ò Ù Ô ÖÅ ö ÑÙ ÙÖ ÙÚÓ Ô Ø Ø Ð ÖÓ ÙÖ º Ë Ð Ö ÒÅ Ò Ù º Ì Ö Ñ ÙÓØ Ù Ú ØÓÖ v = (x 1,x,...,x n ) Ö w = (y 1,y,...,y n ) Ø Ø Ò ÖØ Ò Ð Ö Ò Ò Ù öýñå Ñ v wº È Ð Ô ÖÅ ö Ñ v w ÝÖ Ù Ô ÙÓ Ñ Ô Ð ÓÖÑÙÐ v w = n x i y i. i=1 Î ØÓÖ Ù Ð º Ä Ý Ñ Ú ØÓÖ Ù v = (x 1,...,x n ) Ð v ÝÖ Ú Ö Ø ÒÅ Ò Ð Ö ÒÅ Ò Ù Ó v v غݺ v = v v = n x i. à ÑÔ Ø ÖÔ Ú ØÓÖ Ù º à ÑÔÓ Ø ÖÔ Ú ØÓÖ Ù v,w Ó ÒÙ Ô Ð Ô ÖÅ ö Ñ ÝÖ ÐÝ Ù Ð Ö Ò Ú ØÓÖ Ù Ò Ù Ô Ð ÒØ Ù Ð Ù Ò Ù Ó i=1 cos(v,w) = v w v w.  ٠v w = 0 Ø Ý Ñ Ú ØÓÖ v Ö w ÝÖ Ø ØÑ Ò Ö öýñå Ñ v wº  ٠cos(v,w) = ±1 Ø Ý Ñ Ú ØÓÖ v Ö w ÝÖ ÓÐ Ò Ö ÐÝ Ö Ø µ Ö öýñå Ñ v w º Î ØÓÖ Ù v ÔÖÓ Ú ØÓÖ Ù w öýñå Ñ pr w vº  ÐÝ pr w v = v cos(v,w) = v w w.  ٠ÙÓØ Ù Ú ØÓÖ v,w Ø Ð Ñ ÙöÖ ÝØ ØÓ ÝÑ w = w v +w v, w v v, Ö w v v. ½

Æ ÙÒ Ð Ñ Ô Ø Ö ÒØ w v = (v w) (v v) v, w (v w) v = w (v v) v Î ØÓÖ Ù w Ø Ô Ò Ý v ØöÚ Ð Ù ÝÖ ÒØ Ú ØÓÖ Ù öýñ Ñ ref v (w)µ ref v (w) = w v w v = (v w) (v v) v w Î ØÓÖ ÒÅ Ò Ù ØÖ Ñ ØÅ Ö ÚÅ µº Ì Ö Ñ ÙÓØ Ù Ú ØÓÖ v 1 Ö v Ø Ú ØÓÖ Ò Ò Ù öýñå Ñ v 1 v. È Ð Ô ÖÅ ö Ñ v = v 1 v ÝÖ Ú ØÓÖ Ù Ù Ò ÓÑ ÚÝ Å Ñ ½º Î ØÓÖ Ù v Ð ÝÖ ÐÝ Ö Ø Ò Ó ÙÖ Ô ÖÅ ö Ú ØÓÖ v 1 Ö v ÔÐÓØ º ¾º v ÝÖ Ø ØÑ Ò v 1 Ö v Ú ØÓÖ Ñ º º Î ØÓÖ v,v 1,v ØÙÖ ØÓ Ô ÓÖ ÒØ Ô Ö Ý x,y,zº Ì Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ ÙÖ Ù ÖÓ ØÖ Ù Ú ØÓÖ Ù v,v 1,v ÓÓÖ Ò ØÅ ÝÖ Ø Ñ º Î ØÓÖ Ù v = v 1 v Ð Ñ Ô ÙÓØ Ô Ð ÓÖÑÙÐ i j k ( ) v 1 v = a 1 b 1 c 1 a b c = b 1 c 1 b c, a 1 c 1 a c, a 1 b 1 a b i,j,k ÝÖ Ú Ò Ø Ò Ú ØÓÖ Ø Å Ø Ý x,y,z, v i = (a i,b i,c i ),i = 1,º Î ØÓÖ Ù v 1 v Ð Ð Ñ Ö Ø Ô Ð ÓÖÑÙÐ v 1 v = v 1 v (v 1 v ) ¾µ Å Ö Ò Ù ØÖ Ñ ØÅ Ö ÚÅ µº ÌÖ Ù Ú ØÓÖ Ù v 1,v,v 3 Ñ Ö Ò Ù ÝÖ Ù ÙÖ öýñå Ñ (v 1,v,v 3 )º È Ð Ô ÖÅ ö Ñ â Ó Ö Ò Ó Ö ÞÙÐØ Ø ÝÖ Ù (v 1,v,v 3 ) = (v 1,v,v 3 ) = (v 1 v ) v 3 = v 1 (v v 3 ). a 1 b 1 c 1 a b c a 3 b 3 c 3 ½µ, µ v i = (a i,b i,c i ),i = 1,,3º ÈÖ Ñ Ò Ñ ÓÑ ØÖ ÒÅ Ø ÖÑ Ò ÒØÓ ÔÖ ÑÅ ÝÖ ÓÖ ÒØÙÓØ Ø ÙÖ Ö Ñ Ö Ú ØÓÖ Ù Ò¹ Ù µ ÙÖ Ò ÖÙ Ò¹Ñ ØÅ Ö ÚÅ ØÚ Ù öýñå Ñ (v 1,v,...,v n )º  ÐÝ Ù (v 1,v,...,v n ) = a 1 b 1 c 1... e 1 a b c... e............... a n b n c n... e n, µ ¾

v i = (a i,b i,c i,...,e i ),i = 1,,...,nº Î Ñ Ù Ú ØÓÖ ½¹½º Î ØÓÖ a Ö b Ù ÖÓ ½¾¼ Ð Ô Ò Ù ÑÔ º Ê Ø a+b Ö a b a = 3 Ö b = 5º ¾¹ º ÙÓØ Ú ØÓÖ a = (1, 1,), b = (,0,)) Ö c = (3,,1)º Ê Ø µ ac µ (a + b)c µ a(a+3c) µ (ab)c ¹ ¼¾º Î ØÓÖ Ú Ò Ù ØÙ Ù ÖÓ ¼ Ð Ô Ò Ù ÑÔ º a = 4, b =, c = 6º Ê Ø Ú ØÓÖ Ù p = a+b+c Ð º ¹ ¼ º ÙÓØ a = 3, b = 5º Ê Ø ØÓ Ù α Ú ØÓÖ Ù a + αb ÙØÙ Ø ØÑ Ò Ú ØÓÖ Ù a αbº ¹ ¼¼º Î ØÓÖ a,b,c Ú Ò Ø Ò º a+b+c = 0º Ê Ø ab+bc+caº ¹ ¼¼³º Î ØÓÖ a,b,c ÝÖ Ò Ù Ð Ù a =, b = 3, c = 4º ØÓ a+b+c = 0º Ê Ø ab,bc,caº ¹ ¼ º Î ØÓÖ a Ö b Ù ÖÓ ÑÔ φ = π/6, a = 3, b = 1º Ê Ø ÑÔ α Ø ÖÔ Ú ØÓÖ Ù p = a+b Ö q = a bº ¹ º ÃÓ Ú ØÓÖ Ù Ø ÖÔÙ Ú Ó a,b,c Ô Å Ø Ù (a b)c = a(b c) ¹ ¾ º Î ØÓÖ b Ö a = (6; 8; 7,5) ÓÐ Ò Ö Ù º b = 50º Ê Ø Ú ØÓÖ Ù b ÓÓÖ Ò Ø º Î ØÓÖ Ù b Ù ÇÞ Ñ Ù ÖÓ Ñ ÐÙ ÑÔ º ½¼¹ º ÙÓØ ØÖÝ Ú ØÓÖ a = i+j +k,b = i+5j Ö c = 4i+4j kº Ê Ø pr c (3a b) Ú ØÓÖ Ù 3a b ÔÖÓ Ú ØÓÖ Ù c Ö ÞÙÐØ Ø ÝÖ Ù º ½½¹½ º ÙÓØ Ú ØÓÖ a = (,1,0), b = (, 1,1) Ö c = (0,1,1)º Ê Ø µ a b µ (a b) c µ pr c b (3a b) ½¾¹½ º ÙÓØ Ú ØÓÖ a = (,1,0), b = (0, 1,1) ÙÖ ÙØ ÑÔ Ù ÐÝ Ö Ø Ò Ó Ö Ø ÒÅ Ñ º Ê Ø ÐÝ Ö Ø Ò Ó ÔÐÓØ Ö ÑÔ ÙÖ Ù ÖÓ ÐÝ Ö Ø Ò Ó ØÖ ö ÒÅ Ñ º ½ ¹½ º ÙÓØ Ú ØÓÖ a = (1,0,1), b = (0,, 1), c = (1,,)º Ê Ø Ú ØÓÖ Ù m ÙÖ Ø ØÑ Ò a Ö b Ö Ó ÔÖÓ Ú ØÓÖ Ù m ÐÝ ½º ½ ¹ ½¾º ÙÓØ Ú ØÓÖ a = (4; ; 4),b= (6; 3;)º Ê Ø ½µab ¾µ a µ b µ(a 3b)(a+b) µ(a+b) µ(a b) µ a bº ½ ¹ ¼º ÙÓØ a = 10, b = Ö ab = 1º Ê Ø a b º ½ ¹ º Î ØÓÖ a Ö b Ù ÖÓ ÑÔ φ = (π)/3º a = 1 b = º Ê Ø ½µ(a b) ¾µ((a+b) (a+ b)) µ((a+3b) (3a b)) º

½ ¹½º ÙÓØ Ù Ú ØÓÖ a = (1,,),b = (,6,3)º µ Ê Ø Ú ØÓÖ Ù ÙÖ Ù ÖÓ Ú ÒÓ Ù ÑÔÙ Ù ÙÓØ Ú ØÓÖ Ö ÙØÙ ØÓ Ô Ó ÔÐÓ ØÙÑÓ Ô Ö Ú ØÓÖ a,bº µ Ê Ø Ú ØÓÖ Ù c ÙÖ ÝÖ Ø Ô Ò Ý Ú ØÓÖ Ù a ØöÚ Ð Ù b غݺ c = a a,b,c ÝÖ Ú ÒÓ ÔÐÓ ØÙÑÓ ØÓ ÑÔ Ø ÖÔ b,a Ö b,c ÝÖ ÐÝ Ù º ½ ¹¾º ÙÓØ Ú ØÓÖ Ù a = (1,,3)º Ê Ø Ù Ø ØÑ ÒÙ Ú ØÓÖ Ù ÙÖ Ù ÖÓ Ø ØÙ ÑÔ Ù ÙÓØÙ Ú ØÓÖ ÙÑ º ½ ¹ º ÙÓØ ÖÓÑ Ó ØÖ ö Ò Ù Ö ÒØ Ú ØÓÖ Ù p = (,4)º Ê Ø ÖÓÑ Ù Ö Ò Ù Ö Ø Ò Ù Ú ØÓÖ Ù a,b Ù ½µ ÑÔ Ø ÖÔ a Ö p ÝÖ π 6 ¾µ ÑÔ Ø ÖÔ a Ö p ÝÖ π 4 º ¾¼¹ º ÙÓØ Ú ØÓÖ Ù a = (,1)º Ê Ø Ú ØÓÖ Ù c ÙÖ ÝÖ ÙØ Ô Ù Ù Ú ØÓÖ Ù a ¼ Ð Ô Ò Ù ÑÔÙ ÔÖ Ð ÖÓ ö Ó ÖÓ Ý Ð º ¾½¹½½½ º È Ø Ö Ò Ø Ö ÓÔÐ Ò Ö Ù ÒØÝ ØÖÝ Ú ØÓÖ ½µ a = (, 1,3), b = (1,4,), c = (3,1, 1). ¾µ l = (1,6,5), m = (3,,4), n = (7, 18,). ¾¾¹½¾ º ÌÖ ÑÔ Ó ÔÐÓØ S = 3º Î Ö ÙÒÅ A(3;1) Ö B(1; 3) ÚÓÖ Ó ÒØÖ ÝÖ Ý Çܺ Ê Ø Ú Ö ÙÒÅ C ÓÓÖ Ò Ø º ¾ ¹¼º ÙÓØ Ø A = (3,6, 1) Ö B = ( 3,9,0)º Ê Ø Ø C ÒØ Ø ÖÔ Ø Ù A Ö B ÙÖ Ø Ò ÒØÙ ÐÝ AC = CB º ¾ ¹½º ÙÓØÓ Ú Ú Ö ØÓ Ú Ö ÙÒÅ A = (3, 1) Ö B = ( 1,8) Ò Ó Ó ØÖ ö ÒÅ º Ê Ø Ø Ú Ö ØÓ Ú Ö ÙÒ º ¾ ¹½º ÙÓØ ØÖÝ ØÖ ÑÔ Ó Ö Ø Ò Ù Ú ÙÖ Ó Ø Q 1 = (1, 1,0),Q = (0,,3),Q 3 = ( 1,1,)º Ê Ø ØÖ ÑÔ Ó Ú Ö ÙÒ º ¾ ¹¾º ÙÓØÓ ØÖÝ ÐÝ Ö Ø Ò Ó Ú Ö ÙÒÅ Q 1 = (1, 1,0),Q = (0,,3),Q 3 = ( 1,1,)º ØÚ ÖØ ÐÝ Ö Ø Ò Ó Ú Ö ÙÒº Ê Ø ¾ ¹ º ÙÓØÓ ØÖÝ ØÖ ÑÔ Ó Ú Ö ÙÒÅ Q 1 = (1, 1,0),Q = (0,,3),Q 3 = ( 1,1,)º Ê Ø ØÖ ÑÔ Ó ÔÐÓØ º ¾ ¹ º ÙÓØ Ø Q 0 = (8,9, 1)),Q 1 = (1, 1,0),Q = (0,,3),Q 3 = ( 1,1,)º Ö ÔÖ Ð Ù Ó Ú Ò ÔÐÓ ØÙÑ

¾ ¹ º ÙÓØ Ø A = (7,71), B = ( 1,18), C = (71,73), D = (33,37)º Ö Ø D ÝÖ ØÖ ÑÔ Ó A, B, C Ú Ù ¼¹ º ÙÓØ Ø A = (7,71), B = ( 1,18), C = (71,73), D = (33,37)º Ö Ø ÖÔÓ [A,B] Ö [C,D] ÖØ ½¹ º ÙÓØ Ø A = (7,71),B = ( 18,17),C = (33,37)º Ò ÒØ Ø Ó Ð Ò ÙÖ Ó ÔÙ Å Ù Ø Ã ÖÅ Ö ÒÅ ¾¹ º ÙÓØ ÐÙ ØÙÖ ÑÔ ÔÐÓ ØÙÑÓ ÙÖ Ó Ú Ö ÙÒÅ ÝÖ P 1,P,P 3,P 4 º Ö ÒØ Ø ÒÝ Ú Ø Ò Ã ØÙÖ ÑÔ Ó ØÖ ö ÒÅ Ù ÖØ Ø 1 4 P 1 + 1 4 P + 1 4 P 3 + 1 4 P 4. Â Ù Ò Ø Ó Ñ ØÙÖ ÑÔ Ñ Ø Ò ¹ º ÙÓØ ØÙÖ Ø Ö ÚÅ P 1,P,P 3,P 4 Ø ØÖ ÖÓ Ú Ö ÙÒÅ µº Ø ÖÔÓ Ø ÖÔ P i Ö P j Ú ÙÖ Ó Ø öýñå Ñ P ij Ø ÖÔ ÙÒ Ò Ø Ù P ij ÖP kl öýñå Ñ ij kl º Á ÖÓ ÝØ Ø ÖÔÓ 1 34, 13 4, 14 3 ÖØ Ú Ò Ñ Ø º Ê Ø º ¹½½ º Ê Ø ØÖ ÑÔ Ó ÔÐÓØ Ù Ó Ú Ö ÙÒ Ù ÓÓÖ Ò ØÅ ½µ A(; 3),B(3;) Ö C( ;5) ¾µ M 1 ( 3;),M (5; ) Ö M 3 (1;3) µ M(3; 4),N( ;3) Ö P(4;5)º ¹½½ ³º Ê Ø ØÖ ÑÔ Ó ÔÐÓØ Ù Ó Ú Ö ÙÒ Ù ÓÓÖ Ò ØÅ A(; 3;0),B(3; ;0) Ö C(; 4;) ¹½¾¾º ÌÖ ÑÔ Ó ÔÐÓØ S = 3º Î Ö ÙÒÅ A(3;1) Ö B(1; 3) Ó C ÝÖ Ý Çݺ Ê Ø Ú Ö ÙÒÅ C ÓÓÖ Ò Ø º ¹½º ÙÓØ ØÖÝ ØÖ ÑÔ Ó Ú ÙÖ Ó Ø M 1 = (1, 1,0),M = (0,,3),M 3 = ( 1,1,) Ö Ø Ó Ú Ö ÙÒ º ¹¾º Ê Ø ØÖ ÑÔ Ó M 1,M,M 3 ÔÐÓØ º ¹½¾ º ÄÝ Ö Ø Ò Ó ÔÐÓØ S = 17º Ú Ú Ö ÙÒÅ Ù ÓÓÖ Ò ØÅ Ñ A(;1) Ö B(5; 3)º Ê Ø Ú Ù ØÙ Ú Ö ÙÒ Ù ÓÓÖ Ò Ø ØÖ ö Ò Ù Ù ÖØ ÑÓ Ø ÝÖ ÒØ ÓÖ Ò Ù º ¼¹¾¾ º Ê Ø Ø Ó Q ÓÓÖ Ò Ø Ñ ØÖ Ó Ø Ù P = ( 5;13) Ø Å t : x 3y 3 = 0 ØöÚ Ð Ùº Ö Ð Ø Ö Ø ÓÖÑÙÐ ½¹¾ º ÙÓØÓ ØÖ ÑÔ Ó Ú Ö ÙÒÅ A(1; ),B(5;4) Ö C( ;0)º ËÙ ÖÝØ Ú Ò Ó Ö ÓÖ Ò Ó ÑÔÙ A ÔÙ Ù ÑÔ Ò Ù ÐÝ Ø º

¾¹¾ º ÙÓØÓ ØÖ ÑÔ Ó Ú Ö ÙÒÅ A(; ),B(3; 5) Ö C(5;7)º ËÙ ÖÝØ Ø ØÑ Ò ÒÙÐ ØÓ Ú Ö ÙÒÅ C Ú Ò Ó ÑÔÓ A ÔÙ Ù ÑÔ Ò ÐÝ Ø º ¹¾ º âú Ó Ô Ò ÙÐÝ ÒÙ Ö ÔØ Ô Ð Ø t 1 : x y+5 = 0º È Ø t : 3x y+7 = 0 Ô Ò ÙÐÝ Ø Ô Ò ÒÙÓ Ó º Ê Ø Ø Å t 3 ÐÝ Ø Ô Ð ÙÖ ÒÙ Ö ÔØ Ø Ô Ò Å Ô Ò ÙÐÝ º ¹½º ÙÓØ Ø Å 4x 3y + = 0º Ê Ø Ø Ù Ú ÒÓ ÒÙØÓÐÙ Ù ÒÙÓ Ø Å Ø ØÙÑÙ ½º ÃÙÖ Ú Ù ÙØÙ Ø Ù Ù ö Ñ Ù ÒÙÖÓ ÝØÓ Ø Å ¹¾ º ËÙ ÖÝØ ØÖ ÑÔ Ó Ö Ø Ò Ù ÐÝ Ø º Î Ö ÙÒÅ B(;6) Ù Ø ÒÅ ÐÝ Ø x 7y + 15 = 0 Ö ÓÖ ÒÅ µ ÔÙ Ù ÑÔ ÒÅ ÐÝ Ø 7x + y + 5 = 0º ÈÙ Ù ÑÔ ÒÅ Ö Ù Ø ÒÅ ÒÙÐ ØÓ ØÓ Ô Ó Ú Ö ÙÒÅ º ¹¾ º ËÙ ÖÝØ ØÖ ÑÔ Ó Ö Ø Ò Ù ÐÝ º Î Ö ÙÒÅ B(; 1) Ù Ø ÒÅ ÐÝ Ø 3x 4y + 7 = 0 Ö ÔÙ Ù ÑÔ ÒÅ ÐÝ Ø x+y 5 = 0º ÈÙ Ù ÑÔ ÒÅ Ö Ù Ø ÒÅ ÒÙÐ ØÓ ÖØ Ò Ù Ú Ö ÙÒ Ù º ÈÓ Ô ØÓ ¹ ¾º¾º º Ê Ø ÔÐÓ ØÙÑÓ Ò Ó Ô Ö Ø ½ ¾ ¹½µ Ö Ø ØÑ ÒÓ ÔÐÓ ØÙÑÓÑ x+y +z = 1, x y +z = 0 ÐÝ Ø º ¹¾º¾º º Ê Ø Ø ØÙÑ Ø ÖÔ ÐÝ Ö Ù ÔÐÓ ØÙÑÙ x 3y z +3 = 0, x 3y z = 0 ¹¾º¾º½ º Ê Ø ÔÐÓ ØÙÑ ÙÖ Ð ÒØÙ ÔÙ Ù Ø Ú Ò ÑÔ Ø ÖÔ ÔÐÓ ØÙÑÙ x+y +z 1 = 0, 3x+y 6z +5 = 0 ÙÖ Ñ ÝÖ Ø ¹¾ ½ µº ¼¹¾º¾º¾¼º ÆÙ Ø ØÝØ Ö Ø ¾ µ µ ¾ µ ¹¾ ½µ ÝÖ Ú ÒÓ ÔÐÓ ØÙÑÓ º ½¹½º Ê Ø Ø Ñ ØÖ Ø Ù A(1, 1,) ÔÐÓ ØÙÑÓ p : 4x 6y+7z 7 = 0 ØöÚ Ð Ùº ¾¹½¼ º ÆÙ Ø ØÝØ Ö Ø Å ÙÐ ÔÐÓ ØÙÑÓ 4x 3y +7z 7 = 0º { 5x 3y +z 5 = 0, x y z 1 = 0.

¹¾º Ê Ø Ø Ù Ú ÒÓ ÒÙØÓÐÙ Ù ÒÙÓ ØÙÖ Ù ÔÐÓ ØÙÑÙ 5x 3y +z 5 = 0, x y z 1 = 0, 4x 3y +7z 7 = 0, 6x y +3z 1 = 0. ¹½¼ ¼º Ê Ø Ø Ó (, 1,3) ÔÖÓ Ø Å x = 3t, y = 5t 7, z = t+º ¹ ¾º¾º½ Ê Ø ÔÐÓ ØÙÑÙ Ò Ö ÐÝ Ø ÙÖ Ó ÔÖ ÞÑ Ù ÖÝØ ÔÐÓ ØÙÑÙ x = 0, y = 0, x+y 1 = 0 Ö ØÙ Ô Ð ÐÝ Ö Ø ØÖ ÑÔ º ¹ º º Ê Ø ÑÔ Ø ÖÔ ÔÐÓ ØÙÑÓ x y +z + = 0 Ö Ø Å { x+y z = 0, x y 3z 1 = 0. ¹ º½¾º È Ö Ø ( 1, 1,) Ú Ø ÔÐÓ ØÙÑ Ø ØÑ Ò Ø { 4x y +z 1 = 0, x y z + = 0. ¹ º½ º È Ö Ø (1,0, 1) Ö Ø t Ú Ø ÔÐÓ ØÙÑ ¹ º½ º È Ø Ö ÒØ Ö Ø Å t : x 1 = y +1 1 = z + 7. t 1 : { x y +z +5 = 0, x 4y z +4 = 0. ir t : { 4x y z +4 = 0, x 4y +z +6 = 0. Ù ÖØ Ê Ø ÔÐÓ ØÙÑ Ò Ò Ô Ö t Ö ÐÝ Ö t 1 º ¼¹ º¾ º Ê Ø Ø ÙÖ Ö ØÙ Ø { x+y 5z +4 = 0, x y +z 5 = 0. Ö ÙØÙ Ú Ò Ù Ø ØÑ Ò º ir { 3x+y z +14 = 0, 5x+y z = 0. ½¹ ½¼ ¾ Ê Ø Ø ØÙÑ d Ø ÖÔ Ø Å t : x+3 3 = y+ = z 8 Ö Ø Ó A = (1, 1, )º

¾¹ º¾ º Æ µ È Ö Ø (1,0,1) Ú Ø Ø Ø ØÑ Ò Ø Å Ñ { x+y z 3 = 0, x y 3z +1 = 0. ir { 3x+y 4z 1 = 0, x y z = 0. ¹ º Ê Ø Ô Ö Ø ÑÓ ÒØÖ Ö Ô Ò ÝÐ ÙÖ Ùö ÙÓØ ÐÝ Ø Ñ x +y +4x y +5 = 0º ¹ º Ê Ø Ô Ö Ø ÑÓ ÐÝ Ø ÙÖ ØÙ Ô Ö ÓÓÖ Ò Ù ÔÖ ö Ó Ó ÒØÖ ÙØÙ Ø C(6, 8)º ¹ ½¼µ Ê Ø Ô Ö Ø ÑÓ ÐÝ Ø ÙÖ ØÙ Ô Ö ØÖ Ø Ù ( 1,5), (, ), (5,5)º ¹ º È Ö ÝØ Ô Ö Ø ÑÙ Ð Ò Ù ØÖ Ø 4x 3y 10 = 0 3x 4y 5 = 0 3x 4y 15 = 0 ÐÝ Ø º ¹ ½ º È Ö ÝØ Ô Ö Ø ÑÓ Ò Ò Ó Ô Ö ÓÓÖ Ò Ù ÔÖ ö Ö Ú Ù Ô Ö Ø ÑÙ (x+3) +(y +1) = 5 (x ) +(y +4) = 9 Ù ÖØ ÑÓ Ø Ù ÐÝ Ø º ¹ º ÙÓØ Ð Ô Å 9x +5y = 45º Ê Ø ½µ Ó ÔÙ ¾µ ö Ò Ù µ ÒØÖ Ø Ø µ Ö ØÖ Ù ÐÝ Ø º ¹ º Ð Ô Å ÒØÖ Ø Ø e = 5 Ø ØÙÑ ÒÙÓ Ð Ô Å Ø Ó M Ö ØÖ Å ÐÝ Ù ¾¼º Ê Ø Ø ÙÑ ÒÙÓ Ø Ó M ö Ò Ó Ø Ò ÒØ Ô Ñ ÒÅ Ø Ö ØÖ º ¼¹ ¾º Ê Ø Ð Ô Å x 100 + y 36 = 1 Ø Ù ÙÖ ÝÖ ½ Ú Ò ØÙ Ø ØÙÑ ÒÙÓ Ò Ó Ó ö Ò Óº ½¹ º È Ö ÝØ Ð Ô Å ÐÝ Ø ö ÒÓ Ñ ½µ Ó ö Ó ÔÙ Å ÐÝ ½ Ö ö Ò F 1 ( 10;0),F (14;0) ¾µ Ó Ñ ö Ó ÔÙ Å ÐÝ ¾ Ö ö Ò F 1 ( 1; 1),F (1;1) µ Ó ö Ò F 1 ( ; 3 ),F (; 3 ) Ö ÒØÖ Ø Ø e = µ Ó ö Ò F 1 (1;3),F (3;1) Ö Ø ØÙÑ Ø ÖÔ Ö ØÖ Ù ÐÝ Ù 1 º ¾¹ º Æ µ È Ö ÝØ Ô Ö Ø ÑÙ Ð Ò Ù ØÖ Ø 3x+4y 35 = 0,3x 4y 35 = 0,x 1 = 0 ÐÝ Ø º ¹ º È Ö ÝØ Ð Ô Å ÐÝ Ø ö ÒÓÑ Ó ÒØÖ Ø Ø e = 3 Ö ØÖ Å ÐÝ Ø x 5 = 0º ö ÒÝ F(;1) Ö Ø Ø Ò Ó

¹ ½ µº È Ö ÝØ ÐÝ Ø Ô Ö ÓÐÅ ÙÖ Ó ö Ò ÝÖ Ù Ý Ñ ØÖ ÓÓÖ Ò Ù ÔÖ ö Ó ØöÚ Ð¹ Ùº ê ÒÓ Ñ ÔÙ Å a = 8 Ö ÒØÖ Ø Ø e = 5 4 º Ê Ø ö Ò Ù Ö ØÖ ÑÔ¹ ØÓØ º ÆÙÔ Ø Ô ÒÙ º ¹ ½ µº È Ö ÝØ ÐÝ Ø Ô Ö ÓÐÅ ÙÖ Ó ö Ò ÝÖ ÓÖ Ò Ù Ý Ñ ØÖ ÓÓÖ Ò Ù ÔÖ ö Ó ØöÚ Ð Ùº ê ÒÓ Ñ ÑÔØÓ Ù ÐÝ Ø y = ± 1 5 x Ö Ø ØÙÑ Ø ÖÔ Ú Ö ÙÒ Ù º Ê Ø Ò¹ ØÖ Ø Ø Ö ØÖ Ö ö Ò Ù º ÆÙÔ Ø Ô ÒÙ º ¹ ¾ º Ê Ø Ô Ö ÓÐÅ x 64 y 36 = 1 Ø Ù ÒÙÓ ÙÖ Ù Ø ØÙÑ Ò Ó Ó ö Ò Ó ÐÝ Ù º ¹ ¾º È Ö ÝØ ÐÝ Ø Ô Ö ÓÐÅ ÙÖ Ó ö Ò ÝÖ Ù Ý Ñ ØÖ ÓÓÖ Ò Ù ÔÖ ö Ó ØöÚ Ð¹ Ù ÙÓØ ½µ Ô Ö ÓÐÅ Ø M 1 (6; 1),M ( 8; ) ¾µ Ô Ö ÓÐÅ Ø M 1 ( 5;3) Ö ÒØÖ Ø Ø e = µ Ô Ö ÓÐÅ Ø M 1 ( 9 ; 1) Ö ÑÔØÓ Ù ÐÝ ØÝ y = ± 3 x µ Ô Ö ÓÐÅ Ø M 1 ( 3; 5 ) Ö Ö ØÖ Ù ÐÝ ØÝ x = ±4 3 µ ÑÔØÓ Ù ÐÝ ØÝ y = ± 3 4 x Ö Ö ØÖ Ù ÐÝ ØÝ x = ±16 5 º ¹ º È Ö ÝØ ÐÝ Ø Ô Ö ÓÐÅ Ò Ò Ó Ô Ö ÓÓÖ Ò Ù ÔÖ ö Ö ØÙÖ Ò Ó ö Ò F(0; 3)º È Ö ÓÐÅ ÝÖ ÓÖ Ò Ù º ¹ µº ÆÙ Ø ØÝØ Ó Ó Ð Ò Ó Ö ØÓ ÐÝ Ø Ñ y = 5+ 3x 1º ÆÙ Ö öýø º ¼¹ ¼¾º È Ö ÝØ Ô Ö ÓÐÅ ÐÝ Ø ÙÓØ ö ÒÝ F(; 1) Ö Ö ØÖ Å x y 1 = 0º ½¹ ¼ º ÙÓØ Ô Ö ÓÐÅ Ú Ö ÙÒÅ A( ; 1) Ö Ö ØÖ Å ÐÝ Ø x+y 1 = 0º È Ö ÝØ Ô Ö ÓÐÅ ÐÝ Ø º ¾¹ º Æ µ ÆÙ Ø ØÝØ Ó Ó Ð Ò Ó Ö ØÓ ÐÝ Ø Ñ y = 3 x 0º ÆÙ Ö öýø º ÃÓÓÖ Ò Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ó ¹½¾ º ÍöÖ Ý Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ù ÓÖÑÙÐ Ù Ò Ù Ó ÓÓÖ Ò Ù Ø Ñ ÝÖ Ô ØÙÑØ Ø Ó Ý Ò Ô Ù ØÓ ½µ µ ¾µ ¹¾ ½µ µ ¹ µº ¹½ ½º ÍöÖ Ý Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ù ÓÖÑÙÐ Ù Ò Ù Ó ÓÓÖ Ò Ù Ø Ñ ÝÖ Ô Ù Ø ÑÔÙ ½µ 60 ¾µ 45 µ 90 º ¹½ º ÃÓÓÖ Ò Ù ÔÖ ö ÝÖ Ô ØÙÑØ Ø O ( 1,) Ö Ô Ù Ø ÑÔÙ α = arctan 5 1 º ê ÒÓÑÓ Ø Ù M 1 (3,),M (, 3),M 3 (13, 13) ÓÓÖ Ò ØÅ Ò Ù Ó ÓÓÖ Ò Ù Ø ÑÓ º Ê Ø ÒÙÖÓ ÝØÙ Ø Ù ÓÓÖ Ò Ø ÒÓ ÓÓÖ Ò Ù Ø ÑÓ º ¹½ º ÙÓØ ØÖÝ Ø A(5,5),B(, 1),C(1, 6)º Ê Ø Ù ÓÓÖ Ò Ø Ò Ù Ó ÓÓÖ Ò Ù Ø ¹ ÑÓ Ù ÓÓÖ Ò Ù ÔÖ ö Ô ØÙÑØ Ø B Ó Ý Ô Ù ØÓ ÑÔÙ α = arctan 3 4 º

¹½ ½º ÙÓØ Ù Ø A(9, 3),B( 6,5)º ÃÓÓÖ Ò Ù ÔÖ ö Ô ØÙÑØ Ø A Ó Ò Ù Ax ÝÖ ØÓ Ô Ó ÖÝÔØ Ô Ö Ø ÖÔ ABº Ê Ø ÓÓÖ Ò Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ù ÓÖÑÙÐ º ¹ ½µº ÆÙ Ø ØÝØ Ó Ó Ô Ø ØÙ Ð Ò Ù ÒØÖ ÒŠغݺ ØÙÖ Ú Ò ÒØ Ð ÒØÖ µ Ó Ó Ò ØÙÖ ÒØÖÓ Ó Ó ØÙÖ ÐÓ Ù ÒØÖÙ º Ê Ø Ô ØÙÑØÓ ÒØÖ Ö ÚÅ ÐÝ Ø ½µ 3x 4xy y +3x 1y 7 = 0º ¹ º ÃÓ ØÙÖÅ ØÙ ÙØ m Ö n ÐÝ Ø mx +1xy +9y + 4x+ny 13 = 0 ÙØÙ µ ÒØÖ ÒÅ Ð Ò µ Ð Ò ÒØÖÓ µ Ð Ò ØÙÖ ÒØ ÐÓ Ù ÒØÖÙ º ¼¹ ½µº ËÙÚ Ø ÐÝ Ø 4x + 9y 40x+36y + 100 = 0 ÒÓÒ Ò Ô Ú Ð ÒÙ Ø ØÝØ Ó Ø Ô Ó Ù ÓÑ ØÖ Ò Ù Ú Þ Ù Ô ÖÅ ö Ö ÒÙ ÖÅ öø Ö Ú Ò Ù Ù Ö ÒÙ ÓÓÖ Ò Ù Ù ØöÚ Ð Ùº ½¹ ½µº ËÙÚ Ø ÐÝ Ø 3x + 5xy 7y + 180 = 0 ÒÓÒ Ò Ô Ú Ð ÒÙ Ø ØÝØ Ó Ø Ô Ó Ù ÓÑ ØÖ Ò Ù Ú Þ Ù Ô ÖÅ ö Ö ÒÙ ÖÅ öø Ö Ú Ò Ù Ù Ö ÒÙ ÓÓÖ Ò Ù Ù ØöÚ Ð Ùº ¾¹ ½µº Ê Ø ÐÝ Ø x +10xy +1y 7x+18y 15 = 0 Ø Ô Ò Ù Ó ÒØ ÒÚ Ö ÒØÙ º Æ ¹ º ËÙÚ Ø ÐÝ Ø ½µ 3x +10xy +3y x 14y 13 = 0 ¾µ 5x 14xy +5y +64x 64y 4 = 0 µ 4xy +3y +16x+1y 36 = 0 ÒÓÒ Ò Ô Ú Ð ÒÙ Ø ØÝØ Ó Ø Ô Ó Ù ÓÑ ØÖ Ò Ù Ú Þ Ù Ö Ö ÒÙ ÖÅ öø Ò Ù Ù Ö ÒÙ ÓÓÖ Ò Ù Ù ØöÚ Ð Ùº ¹ º ËÙÚ Ø ÐÝ Ø ½µ 14x +4xy +1y 4x+18y 139 = 0 ÒÓÒ Ò Ô Ú Ð ÒÙ Ø ØÝØ Ó Ø Ô Ó Ù ÓÑ ØÖ Ò Ù Ú Þ Ù Ö Ö ÒÙ ÖÅ öø Ò Ù Ù Ö ÒÙ ÓÓÖ Ò Ù Ù ØöÚ Ð Ùº ¹ º ÆÙ Ø ØÝØ Ó ÐÝ Ø ½µ x xy +y +6x 14y+9 = 0 ¾µ 9x 4xy +16y 0x+110y 50 Ô ÖÅ ö Ô Ö Óк Ê Ø Ô Ö ÓÐÅ ÒÓÒ Ò ÐÝ Ø ÒÓÒ Ò ÓÓÖ Ò Ù Ø Ñ Ö Ú Ö ÙÒº ¹ ½µº ÆÙ Ø ØÝØ Ó ÐÝ Ø 9x +4xy+16y 10x+90y = 0 ÝÖ Ô Ö ÓÐÅ Ö Ö Ø Ô Ö ÓÐÅ Ô Ö Ñ ØÖ º ¹ ½ ½µº ÆÙ Ø ØÝØ Ó ÐÝ Ø 3x +4xy+y x 1 = 0 ÝÖ Ú Ù ÖØ Ò Ó Ø Å ÑÙ Ô Ö ÓÐÅ µ Ö Ö Ø Ù Ø Ù ÐÝ Ø º ¹ ½µº ÆÙ Ø ØÝØ Ó ÐÝ Ø 4x +4xy +y 1x 6y +5 = 0 ÝÖ Ú ÐÝ Ö Ó Ø Å Ö Ö Ø Ù Ø Ù ÐÝ Ø º ½¼

¹ ¼¼ ½µº ÆÙ Ø ØÝØ Ó ÐÝ Ø x 6xy +9y +4x 1y+4 = 0 ÝÖ Ú Ù Ø Å Ö Ø Ó ÐÝ Ø º ½¼¼¹ ½ º È Ö ÝØ ÐÝ Ø Ø Å ÙÖ Ð Ô Ö ÓÐ y = 8x Ö ÐÝ Ö Ø Ø x+y 3 = 0º ½¼½¹ ¾ º Á Ô Ö ÓÐÅ y = 1x ö Ò Ó Ñ ÐÙ ÑÔÙ α ÔÖ Ox ÒÙ Ö ÔØ Ú Ó Ô Ò ÙÐÝ º ê ÒÓÑ tgα = 3 4 º È Ô Ö ÓÐ Ô Ò ÙÐÝ Ø Ô Ò º È Ö ÝØ ÐÝ Ø Ø Å ÙÖ ÔÖ Ð Ù Ó Ø Ô Ò Ô Ò ÙÐÝ º ½¼¾¹ ¾º Æ µ Ê Ø ÓÑ ØÖ Ò Ù Ú Þ Ù ÙÖ Ó Ö ÐÝ ØÝ ½µ 8x 1xy +17y +16x 1y +3 = 0 ¾µ 17x 18xy 7y +34x 18y +7 = 0 µ x +3xy y +5x+10y = 0 µ 6x 6xy +9y 4x+18y+14 = 0 µ 5x xy +5y 4x+0y+0 = 0º ½¼ ¹ ¼º Ê Ø Ø Å x+y 7 = 0 Ö Ð Ô Å x 5 + 4y 5 = 1 Ù ÖØ ÑÓ Ø Ù º ½¼ ¹ ¾º Ê Ø Ø Å 3x 4y 40 = 0 Ö Ð Ô Å x 16 + y 9 = 1 Ù ÖØ ÑÓ Ø Ù º ½¼ ¹ ½º Ê Ø Ð Ô Å x 18 + y 8 = 1 Ø M 1 ÖØ Ñ Ù Ø x 3y +5 = 0 Ø ØÙÑ d ÒÙÓ M 1 Ø Å º ½¼ ¹ º Ì Å x y 5 = 0 Ð Ð Ô ÙÖ Ó ö Ò ÝÖ F 1 ( 3;0) Ö F (3;0)º È Ö ÝØ Ð Ô Å ÐÝ Ø º ½¼ ¹ ¼¼º Ê Ø Ò Ö Ð Ô Å x 45 + y 0 = 1 Ö Ô Ö ÓÐÅ y = 0 3 x Ð Ø Ò º ½¼ ¹ º ÙÓØ Ô Ö ÓÐÅ x a y b = 1 Ö Ø ÙÖ Ó Ð Ø ÒÅ P ¹ Ð Ø ÒÅ Ö Ox Ù ÖØ ÑÓ Ø Q ¹ Ð Ø ÑÓ Ø Ó ÔÖÓ Ox º Á ÖÓ ÝØ OP OQ = a º ½¼ ¹ º ÆÙ Ø ØÝ Ø Ð Ô Å x 0 +y x 5 = 1 Ö Ô Ö ÓÐÅ 1 y 3 = 1 Ù ÖØ ÑÓ Ø ÝÖ Ø ÑÔ Ó Ú Ö ÙÒÅ Ô Ö ÝØ Ó Ö Ø Ò Ù ÐÝ Ø º ½½¼¹ º Ê Ø Ô Ö ÓÐÅ ÐÝ Ø Ù Ó Ý ÙØ ÑÔ Ù ÓÓÖ Ò Ù Ñ Ö Ó Ð Ø Ò Ù ÐÝ ØÝ ÝÖ 5x 6y 16 = 0, 13x 10y 48 = 0º ½½½¹ º Æ µ À Ô Ö ÓÐÅ Ò Ô Ö Ø A( 6;3) Ö Ð Ø 9x+y 15 = 0º È Ö ÝØ ØÓ Ô Ö ÓÐÅ ÐÝ Ø Ð ÒØ ÓÓÖ Ò Ù Ô Ö ÓÐÅ Ñ º ½½¾¹½ º ÙÓØ Ø P 0 = (0,0),P 1 = (1,1),P = (0,1). Ê Ø Ø ÔÖ Ð Ù ÒØ Þ Ö Ö Ú X(t) = P i Bi(t), Ô Ö Ñ ØÖ ÝÖ t = 1/3º Ì Ô Ô Ø Ö Ø Ð Ø Ò Ø Ñ Ö Ø Ñ Ø º i=0 ½½

½½ ¹¾ º Ê Ø Ò Ö Ø Ò Þ Ö Ö ÚÅ ÐÝ Ø ÙÖ ÝÖ Ô ÖÅ öø ½ Ùö Ú ÒÝ º ½½ ¹½¼ º È Ö ÝØ ÐÝ Ø ÖÓ Ù Ô Ò ÙÐ Ù r = 3 Ð Ò Ó ÔÐÓ ØÙÑ x + y + z + 3 = 0 Ø M 1 (1;1; 3)º ½½ ¹½¼ º Ê Ø ÖÓ Ð Ò Ó ÔÐÓ ØÙÑ 3x+y 6z 15 = 0,3x+y 6z +55 = 0 Ô Ò ÙÐ º ½½ ¹½¼ µº Ê Ø ØÖÙÑÔ Ù Ø ØÙÑ ÒÙÓ Ø Ó A(9; 4; 3) ÖÓ x +y +z +14x 16y 4z +41 = 0º ½½ ¹ ¾º Ê Ø Ô Ö Ø ÑÓ ÒØÖ Ö Ô Ò ÙÐ { (x 4) +(y 7) +(z +1) = 36, 3x+y z = 9. ½½ ¹½½¼ º Ê Ø ÔÐÓ ØÙÑÓ ÐÝ Ø ÙÖ Ó ÙÐ Ô Ö Ø Ñ ÔÖ Ð Ù ÒØ Ú Ñ ÖÓÑ x +y +z +3x y +z 5 = 0, x +y +z x+3y z +1 = 0. ½½ ¹½½¼ º È Ö ÝØ ÐÝ Ø ÖÓ Ò Ò Ó Ô Ö ÓÓÖ Ò Ù ÔÖ ö Ö Ô Ö Ø Ñ { x +y +z = 5, x 3y +5z 5 = 0. ½¾¼¹½½¼ º Ê Ø ÖÓ ÐÝ Ø ÙÖ Ò Ô Ö Ù Ô Ö Ø ÑÙ { x +z = 5, y = 0. { x +z = 16, y 3 = 0. ½¾½¹½ ¼º Ê Ø ÖÓ ÐÝ Ø ÙÖ Ò Ô Ö Ô Ö Ø Ñ x +y = 11,z = 0 Ö Ð ÔÐÓ ØÙÑ x+y+z = 5º ½¾¾¹ ½½¼ º Æ µ Á ÖÓ ÝØ ÔÐÓ ØÙÑ x 6y+3z 49= 0 Ð Ö x +y +z = 49º Ê Ø Ð Ø ÑÓ Ø º ½¾ ¹½½ º ÆÙ Ø ØÝØ ÔÐÓ ØÙÑ x = 0 ÖØ Ð Ô Ó x 16 + y 1 + z 4 = 1 Ð Ô Ö Ø Ó ÔÙ Ù Ö Ú Ö ÙÒ º ½¾ ¹½½ º ÆÙ Ø ØÝØ Ð Ô Ó Ó x 1 + y 4 + z 3 ÒØÖ º = 1 Ö ÔÐÓ ØÙÑÓ x 3y+4z 11 = 0 Ô ÙÚ Ó Ð Ò Ö Ø Ó ½¾ ¹½½ ½º ÆÙ Ø ØÝØ m Ö Ñ Ù ÙÖ ÓÑ ÔÐÓ ØÙÑ x+my = 0 ÖØ Ð Ô Ò Ô Ö ÓÐÓ x +z 3 = y µ Ð Ô µ Ô Ö ÓÐ º ½¾

½¾ ¹½½ º ÆÙ Ø ØÝØ Ð Ô Ó x 81 + y 36 + z 9 = 1 Ö ÔÐÓ ØÙÑ 4x 3y+1z = 54 ØÙÖ Ø Ú Ò Ò Ö Ø º Ê Ø Ø Ø º ½¾ ¹½º Ã Ù Ó Ú Ö ÙÒÅ ÝÖ Ø (0,0,4) Ó Ù ÖÓÑÓ Ó ÖØ Ö Ú Ö Ø Ù Ó ÐÝ Ø º x +y = 4, x+y +z = ½¾ ¹ º Ê Ø Ù Ó ÐÝ Ø ÙÖ Ó Ú Ö ÙÒÅ ÝÖ Ø A(,0,0) Ö ÙÖ Ù Ö x +y +z = 1 غݺ Ú Ò Ù Ó Ø Å Ð Ö º ½¾ ¹½½ ¼ ¾µº Ê Ø Ø Å x 4 = y 3 = z+ 4 Ö Ô Ú Ö Ù x 16 + y 9 z 4 = 1 Ù ÖØ ÑÓ Ø Ù º ½ ¼¹½½ ½º Á ÖÓ ÝØ ÔÐÓ ØÙÑ x 1y z +16 = 0 ÖØ Ô Ö ÓÐ Ò Ô Ö ÓÐÓ x 4y = z Ô Ö Ø Ò Ù ÖÓÑ º È Ö ÝØ ØÙ Ø Ò Ù Ù ÖÓÑÙ Ù ÐÝ Ø º ½ ½¹½½ ¾º Á ÖÓ ÝØ ÔÐÓ ØÙÑ 4x 5y 10z 0 = 0 ÖØ Ú Ò Ô Ö ÓÐÓ x 5 + y 16 z 4 = 1 Ô Ö Ø Ò Ù ÖÓÑ º È Ö ÝØ ØÙ Ø Ò Ù Ù ÖÓÑÙ Ù ÐÝ Ø º ½ ¾¹½½ º Á Ø Ò Ó Ø M(1;3; 1) ÔÖ Ð Ù Ó Ô Ö ÓÐ Ò Ñ Ô Ö ÓÐÓ Ù 4x z = y Ô Ö ÝØ Ó Ø Ò Ù Ù Ö ÑÙ Ù Ò Ò Ù Ô Ö Ø M ÐÝ Ø º ½ ¹½½ ¼º È Ö ÝØ ÐÝ Ø Ù Ó ÙÖ Ó Ú Ö ÙÒÅ ÝÖ Ø ¹½ ¹¾µ Ó Ù ÖÓÑÓ ÙÓØ ÐÝ Ø Ñ { x +y z = 1, x y +z = 0. ½ ¹ º Ê Ø ÔÐÓ ØÙÑÓ ÐÝ Ø ÙÖ Ò Ô Ö Ø ¹¾ ¹¾µ Ð Ð Ô Ó x +3y +z 6 = 0 Ö Ø ØÑ Ò ÔÐÓ ØÙÑ x y +z = 0 ½ ¹¾½ Ê Ø ÐÝ Ø Ù ÑÓ Ð Ò ÖÓ ÙÖ Ñ ÙØÙ Ø Å x = y = z, x 1 = y +1 = z, x = y 1 = z +1 ÈÓ ½ Ô ØÓ ½ ¹½½ º Ê Ø ØÖÙÑÔ Ù Ö ö Ù Ø ØÙÑ Ø ÖÔ Ô Ú Ö Ù 4x + 16y + 8z = 1 Ö ÔÐÓ ØÙÑÓ x y +z +17 = 0º ½ ¹½º Ê Ø ØÖÙÑÔ Ù Ø ØÙÑ Ø ÖÔ Ø Ó (0,0,1) Ö Ô Ú Ö Ù x y = z ½ ¹¾º ÙÓØ Ø Å x 3 = y = z 7 8 Ö Ô Ú Ö Ù 7x +y z 7 = 0º Ê Ø Ð Ñ ÔÐÓ ØÙÑ Ô Ú Ö Ù ÙÖ Ó ØÙ Ô Ö Ø º ÈÓ ½ Ô ØÓ ½

½ ¹½ ½º Ê Ø Ô Ú Ö Ù S Ð Ñ ÔÐÓ ØÙÑ ÙÖ ÙØÙ ÐÝ Ö Ø ÔÐÓ ØÙÑ x + y + = 0º S : 4x +6y +4z +4xz 8y 4z +3 = 0 ½ ¼¹½ º Á ÖÓ ÝØ ÔÐÓ ØÙÑ x+y +z +5 = 0 ÖØ Ô Ú Ö Ù Ú Ø º Ê Ø Ø Ø º z xy 4x y +z 3 = 0 ½

Ø ÝÑ ½¹½ a+b = 19, a b = 7º ¾¹ µ ac = 3 µ (a+b)c = 1 µ a(a+3c) = 13 µ (ab)c = (6,4,)º ¹ ¼¾ p = 10º ¹ ¼ α = ± 3 5 º ¹ ¼¼ ab+bc+ca = 3 º ¹ ¼¼³ ab = 3 ¹ ¼ α = arccos 7 º,ac = 11,bc = 1 º ¹ Î ØÓÖ a Ö c ÐÝ Ö Ø Ù Ö b Ø ØÑ Ò Ú ØÓÖ Ñ a Ö cº ¹ ¾ ¹¾ ¾ ¼µº ½¼¹ ¹½½º ½½¹½ µ a b = (1,, 4) µ (a b) c = (, 1,1) µ pr c b (3a b) = 3 3 ½¾¹½ ÈÐÓØ ÑÔ arccos( 1 5 )º ½ ¹½ m = ( 3, 3 4, 3 ) ½ ¹ ½¾ ½µ ¾¾ ¾µ µ µ ¹¾¼¼ µ ½¾ µ ½º ½ ¹ ¼ a b = a b (ab) = 16º ½ ¹ ½µ ¾µ ¾ µ ¼¼º ½ ¹½ µ a b+ b a = 7a+3bº µ c = ref b (a) = ( ) ab bb b a = ( 65 49, 50 49, 1 49 ), b = 49 ½ ¹¾ ¾ ½ ¼µ ¼ ¾µ ½ ¹ ½µ a = 1 p+ 1 tan(π/6)p = ( 3 3 3, 6+ 3 3 ), b = 1 p 1 tan(π/6)p = ( 3+ 3 3, 6 3 3 ), p = ( 4,)º ¾µ a = 1 p+ 1 p = ( 1,3), b = 1 p 1 p = (3,1)º ¾¼¹ c = cos(60)a+sin(60)a = ( 3, 1+ 3 ), a = ( 1,) ¾½¹½½½ ½µ Ò ÓÑÔÐ Ò Ö Ù ¾µ ÓÑÔÐ Ò Ö Ù ½

¾¾¹½¾ (5;) Ö (;)º ¾ ¹¼ ½» µ ¾» µ ¹½ ¹ µº ¾ ¹½ (11,0)( 9, 4) ¾ ¹½ Q 1 +Q Q 3 = (,0,1),Q 1 +Q 3 Q = (0,, 1),Q 3 +Q Q 1 = (,4,5) ¾ ¹¾ Ð ÙØ ØÖÝ ÐÝ Ö Ø Ò Ù ØÓ ØÚ ÖØ Ú Ö ÙÒ Q 1 +Q Q 3 = (,0,1) Ö Q 1 +Q 3 Q = (0,, 1) Ö Q 3 +Q Q 1 = (,4,5)º ¾ ¹ ¾ ¹ Ò ÔÖ Ð Ù Ó ¾ ¹ D ÒÅ Ö ØÖ ÑÔ Ó Ú Ù ¼¹ º ½¹ B Ø ÒÅ ¾¹ ¹ 1 4 P 1 + 1 4 P + 1 4 P 3 + 1 4 P 4. ¹½½ ½µ ½ ¾µ ½¾ µ ¾ º ¹½½ ³ ¾º ¹½¾¾ (0; 8) Ö (0; ) ¹½ Ùö Ú ÒÝ ØÓ Ô Ø Ô ¾ ¹½ ¹¾ Ùö Ú ÒÝ ØÓ Ô Ø Ô ¾ ¹ ¹½¾ C 1 ( ;1),D 1 ( 5;16) Ö C ( ;/3),D ( 5;14/3)º ¼¹¾¾ Q = (11; 11)º Q = P ( ) t(p) n n n ½¹¾ 5x+y 3 = 0 Ú Ò Ó ÑÔÓ ÔÙ Ù ÑÔ ÒÅ ÐÝ Ø x 5y 11 = 0 ÓÖ Ò Ó ÑÔÓ ÔÙ ÑÔ ÒÅ ÐÝ Ø º ¾¹¾ x 5 = 0º ¹¾ t 3 : 9x y+33 = 0º ( ) n1 n t 3 = t t 1, t 3 = αt 1 +βt, n n ( ) n1 n n 3 = ref n (n 1 ) = n n 1 n n ¹½ ê Ñ Ù ÝÖ Ø Å 4x 3y 3 = 0 Ù Ù ÝÖ 4x 3y +7 = 0 ½

¹¾ l(ac) : 4x 3y+10 = 0,l(CB) : 7x+y 0 = 0,l(AB) : 3x+4y 5 = 0º ÈÙ Ù ÑÔ ÒÅ Ö Ù Ø ÒÅ ÖØ Ø Aº ¹¾ 4x+7y 1 = 0,y 3 = 0,4x+3y 5 = 0º ¹¾º¾º x z = º ¹¾º¾º 5/ 14º ¹¾º¾º½ 4x+5y z + = 0º ¼¹¾º¾º¾¼ Ì Ôº ½¹½ B = A p(a) n n n ¾¹½¼ Ì Ô ¹¾ ¹½¼ ¼ (3,,4)º ¹¾º¾º½ x+y +z = c c¹ Ø Ó Ù º 3 3 º ¹ º π/º ¹ º½¾ x+y z +5 = 0 ¹ º½ 4x+y z 5 = 0 ¹ º½ 5x 8y+z +14 = 0 Ø Å ØÙÖ Ò Ö Ø ( 1,1,1) ¼¹ º¾ x+1 3 = y+(17/4) 5 = z 1 ½¹½¼ ¾ d = 7 d = k MA k k ¹ Ø Å ÖÝÔØ Ú ØÓÖ Ù M¹Ø Ø Å º ¾¹ º¾ x 1 1 = y 1 = z 1 1 ¹ ÒØÖ (,1) Ô Ò ÙÐÝ ÝÖ ÒÙÐ º ¹ ÄÝ Ø (x 6) +(y +8) 100 = 0º ¹ ½¼µ ÄÝ Ø (x ) +(y 1) 5 = 0º ¹ (x+ 10 7 ) +(y + 5 7 ) = 1,(x 30 7 ) +(y 5 7 ) = 1º ¹ (x 5) +y = 16,(x+15) +y = 56,(x 35 3 ) +(y 40 3 ) = ( 3 3 ),(x 35 3 ) +(y+ 40 3 ) = ½

¹ ½ 13x +13y +3x+71y = 0º ¹ ½µ 5 Ö ¾µ F 1 (0; ),F (0;) µ e = 3 µ y = ± 9 º ¼¹ ½¹ ¾ ( 5;3 3) Ö( 5; 3 3) ¾¹ ½µ (x ) 169 + y 5 = 1 ¾µ x xy +y 3 = 0 µ 68x +48xy +8y 65 = 0 µ 11x +xy +11y 48x 48y 4 = 0º ¹ 5x +9y +4x 18y 55 = 0º ¹ ½ µ x 64 y 36 = 1º ¹ ½ µ x 100 y 576 = 1º ¹ ¾ (10; 9 ) Ö (10; 9 )º ¹ ¾ ½µ x 3 y 8 = 1 ¾µ x y = 16 µ x 4 y 5 µ x 18 y 8 = 1 µ x 16 y 9 = 1º = 1 Ö x 61 9 ¹ x = 1y y 305 16 = 1 ¹ µô Ö ÓÐÅ (y +5) = 3(x+7) Ð ÒØ ÔÓ Ø y +5 = 0º ¼¹ ¼¾ x +xy +y 6x+y +9 = 0 ÒÓÒ ÒÅ ÐÝ Ø x = y ØÖ Ò ÓÖÑ Ó x = (x y ),y = (x+y 1) ½¹ ¼ 4x 4xy +y +3x+34y+89 = 0º ¾¹ ÃÓÓÖ Ò Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ó ¹½¾ ½µ x = x +3, y = y +4 ¾µ x = x, y = y +1 µ x = x 3, y = y +5 ¹½ ½ ½µ x = x y 3, y = x 3+y ¾µ x = x +y, y = x +y µ x = y, y = x ½

¹½ M 1 (1,5),M (,0),M 3 (16, 5). ¹½ A(6,3),B(0,0),C(5, 10). ¹½ ½ x = 15 17 x 8 17 y +9, y = 8 17 x 15 17 y 3. ¹ ½µØÙÖ Ú Ò Ø Ð ÒØÖ ( 3/, 3/); 3x 4x y y 1/4 = 0º ¹ µ m 4 Ò¹ Ø ÙÖ Ù µñ n 6 µ Ñ Ò º ¼¹ ½µ Ð Ô Å x 9 + y 4 ½¹ ½µ Ô Ö ÓÐÅ x 9 y 4 cosα = 1 5 sinα = 5 º = 1 Ò Ù ÓÓÖ Ò Ù ÔÖ ö O(5; )º = 1 tgα = ¾¹ ½µ Ô Ö ÓÐ Ò Ø Ô º I 1 = 609,I = 1,I 3 = 14 ¹ ½µ Ô Ö ÓÐÅ x y 4 = 1 I 1 = 18,I = 16,I 3 = 6 Ô ÖØÚ Ö ÝÑ x = x +,y = y 1 Ö x = x y,y = x +y º ¾µ Ð Ô Å x 16 + y 9 = 1 λ 1 = 18,λ = 3,I 1 = 50,I = 4,I 3 = 3 18 9 = 4 8 648,tanα = 1 Ô ÖØÚ Ö ÝÑ x = x y 1,y = x +y +1º µ Ô Ö ÓÐÅ x 9 y 36 = 1 Ô ÖØÚ Ö ÝÑ x = x y 5 +3,y = x +y 5 4 I 1 = 3, I = 4, I 3 = 1, λ 1 = 4, λ = 1, tanα =,º ¹ º ½µ Ð Ô x 30 + y 5 = 1 ¹ º ½µ y = x,i 1 =,I = 0,I 3 = 16 Ñ ØÖ Ó x y +5 = 0 Ú Ö ÙÒÅ ¹¾ µ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ó x = (x y )/, y = (x +y )/ +3 ¾µ Ú Ö ÙÒÅ (18/5,1/5), I 1 = 5,I 3 = 5 65 Ñ ØÖ Ó 3x 4y 10 = 0º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ó x = 4x 3y +18 5, x = 3x +4y +1 5 º  ٠x = 4/3, y = 0 Ø x = 6,y = º Ã Ò F(6,) > 0 Ø ÐÝ Ø ÔÓ ÔÖ Ø Ò ÑÓ ÝÖ y +x = 0º ¹ ½µ p = 3, y = 6x, y = 3x+4y 5, x = 4x 3y 5,I 3 = 15 5,I 1 = 5 ¹ ½ ½µ x+y 1 = 0,3x+y +1 = 0º ¹ ½µ x+y 5 = 0,x+y 1 = 0º ¹ ¼¼ ½µ x 3y+ = 0º ½¼¼¹ ½ x+y + = 0º ½¼½¹ ¾ y 18 = 0 ÖØ ÑÓ Ø (7,18)º ½

½¼¾¹ ¾ ½µ Ð Ô Å ¾µ Ô Ö ÓÐÅ µ Ù ÖØ Ò Ó Ø Å ÑÙ Ô Ö ÓÐÅ µ µ Ñ Ò Ñ Ð Ô Å µ Ø ÑÙ Ð Ô Å µº ½¼ ¹ ¼ (4; 3 ),(3;)º ½¼ ¹ ¾ ÆÅ Ö Ò ÖÙ Ø Ù º ½¼ ¹ ½ M 1 ( 3;) d = 13º ½¼ ¹ x 17 + y 8 = 1º Ä Ø ( 17 5, 8 5) º ½¼ ¹ ¼¼ Ú Ð Ø Ò x±3y+15 = 0º ½¼ ¹ ½¼ ¹ x = 4,x = 4,y = 1,y = 1º ½½¼¹ x 16 y 4 = 1 ½½½¹ x 5 y x 45 = 1, 10 y 45 = 1º ½½¾¹½ º X(1/3) = (4/9, 5/9) ½½ ¹¾ º x 4y +4xy +4y 4x = 0. ½½ ¹½¼ (x ) +(y 3) +(z +1) = 9 Ö x +(y +1) +(z +5) = 9º ½½ ¹½¼ R = 5º ½½ ¹½¼ µ ¾½º ½½ ¹ ¾ C = (1,6,0), r = 5 ½½ ¹½½¼ 5x 8y+5z 7 = 0º ½½ ¹½½¼ x +y +z 10x+15y 5z = 0º ½¾¼¹½½¼ x +(y +) +z 41 = 0º ½¾½¹½ ¼º x +y +(z +1) = 1 Ö x +y +(z +4) = 7 ½¾¾¹½½¼ º ½¾ ¹½½ 3, 3;(;3;0),(; 3;0),(;0; 3),(;0; 3) ½¾ ¹½½ Ð Ô Å ¾ ¹½ ½µ Ð Ô Å ÒØÖ º ½¾ ¹½½ ½ µ m 0 Ö m 4 1 m = 1 4 ¹ ÑÙ Ð Ô Å ¹Ø º µ m = 0º ¾¼

½¾ ¹½½ º ¹¾ ¾µ ½¾ ¹½º z +xy +xz +yz 8x 8y 8z +16 = 0 ½¾ ¹ º x 3y 3z 4x+4 = 0 ½¾ ¹½½ ¼ ¾µ ¹ ¾µ ¹ Ø Å Ð Ô Ú Ö Ù º ½ ¼¹½½ ½ { x 1y z +16 = 0, x y+4 = 0. Ö { x+4y +z = 0, x y +4 = 0. { x 1y z +16 = 0, x+y 8 = 0. Ö { 4x 8y z = 0, x+y 8 = 0. ½ ½¹½½ ¾ { y +z = 0, x 5 = 0. { x 5z = 0, y +4 = 0. ½ ¾¹½½ x 1 = y+1 4 = z 1 x 1 = y+9 1 = z+3 º ½ ¹½½ ¼ 3x 5y +7z 6xy +10xz yz 4x+4y 4z +4 = 0º ½ ¹ º x+3y+z 6 = 0 ½ ¹¾½º 5x +5y +5z 5xy 5xz 5yz 13x+y +11z = 0 ½ ¹½½ º ½» º ½ ¹½º Å Ò Ñ ÐÙ Ø ØÙÑ ÝÖ 3/4 Ô Ø (± 1/,0, 1/)º ½ ¹¾º 6x 41y+7z +19 = 0, 10x 14y +45z 77 = 0 ½ ¹ ½ ½º x+y = 0, x+y = 0 ½ ¼¹½ º x+y +z +5 = 0,x+( 3± 8)y 5± 8 = 0 ¾½