Anex B Elemente de reprezentre grfică în pln şi în spţiu. 1. Tipuri de sisteme de coordonte. Coordonte crteziene Fie xoy un sistem de coordonte crteziene în pln. Fie P un punct în pln vând coordontele xp pe x Ox şi yp pe x Oy. Coordont xp se mi numeşte bscis punctului P, ir x Ox x bsciselor, şi yp se mi numeşte ordont punctului P, ir x Oy x ordontelor. Se v not P(xp,yp). Coordontele crteziene se mi numesc şi coordonte linire. Axele Ox şi Oy împrt plnul în ptru regiuni, numite cdrne deschise: cdrnul I este mulţime punctelor cre u mbele coordonte strict pozitive; cdrnul II este mulţime punctelor cre u bscisele strict negtive şi ordontele strict pozitive; cdrnul III este mulţime punctelor cre u mbele coordonte strict negtive; cdrnul IV este mulţime punctelor cre u bscisele strict pozitive şi ordontele strict negtive. Un sistem de coordonte crteziene în spţiu se noteză cu xoyz. Poziţi unui punct P din spţiul tridimensionl este dtă de cele trei coordonte le sle, xp pe x Ox, yp pe x Oy şi zp pe x Oz. Se v not P(xp,yp,zp). b. Coordonte polre Fie xoy un sistem de coordonte crteziene în pln şi P(xp,yp) un punct din pln diferit de origine O sistemului. Fie r distnţ de l P l O şi θ unghiul formt în sens trigonometric de semidrept (OP cu x Ox, θ [0,π). Numerele r şi θ se numesc coordontele polre le punctului P. Se noteză P(r,θ). r se numeşte rz polră lui P, ir θ rgumentul polr l lui P. Legătur dintre coordontele crteziene şi coordontele polre le lui P sunt exprimte de relţiile: r + = xp yp, xp yp cos( θ ) =, sin( θ ) =, θ xp + yp xp + yp [ 0, π ) B-1
c. Coordonte logritmice Coordontele logritmice reprezintă exprimre coordontelor unui punct pe o scră logritmică, dică c şi logritmi într-o bză b preciztă le coordontelor crteziene le punctului respectiv. Deorece logritmul se pote clcul dor pentru vlori strict pozitive, singurele puncte cre pot fi reprezentte în coordonte logritmice sunt cele din cdrnul deschis I. Astfel, dcă xoy este un sistem de coordonte crteziene şi P(xp,yp) un punct din cdrnul deschis I, tunci coordontele logritmice le punctului P sunt x=log b (xp) şi y=log b (yp), dică xp=b x şi yp=b y. d. Coordonte semilogritmice Coordontele semilogritmice reprezintă o pereche de coordonte dintre cre un este o coordontă crtezină (liniră), ir celltă o coordontă logritmică. Dcă coordont logritmică corespunde xei x, tunci se foloseşte denumire de coordonte semilogritmice pe x x. Anlog, dcă coordont logritmică corespunde xei y, tunci se foloseşte denumire de coordonte semilogritmice pe x y.. Figuri geometrice în pln. Drept Fie xoy un sistem de coordonte crteziene. Orice dreptă prlelă cu Ox se numeşte dreptă orizontlă. Orice dreptă prlelă cu Oy se numeşte dreptă verticlă. Orice dreptă cre nu este nici orizontlă şi nici verticlă se numeşte dreptă oblică. Tngent unghiului formt de o dreptă oblică cu x Ox (unghi cuprins în intervlul [0,π]) se numeşte pnt dreptei oblice şi se noteză cu m. Ecuţi dreptei oblice determintă de un punct şi de o pntă Fie d o dreptă oblică de pntă m şi P(xp,yp) un punct l dreptei d. Atunci ecuţi dreptei d este: y - yp = m (x - xy) Ecuţi dreptei determintă de două puncte distincte Fie d o dreptă şi P(xp,yp) şi R(xr,yr) două puncte distincte le dreptei d. Atunci ecuţi dreptei d este: x = xp, când drept este verticlă y = yp, când drept este orizontlă x xp xr xp = y yr yp yp, când drept este oblică Ecuţi crtezină generlă dreptei Fie d o dreptă. Ecuţi crtezină generlă dreptei d re form implicită: x+b y+c = 0, cu,b,c R, +b 0 B-
b. Cercul Locul geometric l punctelor din pln egl depărtte de un punct dt se numeşte cerc. Punctul dt portă denumire de centrul cercului, ir distnţ de l cest l oricre din punctele cercului se numeşte rz cercului. Fie xoy un sistem de coordonte crteziene, ir C cercul de centru C(xc,yc) şi de rză r. Ecuţiile cercului C sunt: ecuţi implicită cercului: (x - xc) + (y - yc) = r ecuţiile explicite le cercului: y = yc ± r ( x xc ), x [ xc r,xc + r] = xc + r cos( θ ) y = yc + r sin( θ ) ecuţiile prmetrice le cercului:, θ [ 0, π ) Mulţime punctelor căror distnţă l C este strict mi mică decât r se numeşte interiorul cercului. Reuniune dintre cerc şi interiorul său se numeşte disc de centru C şi rză r. c. Elips Locul geometric l punctelor din pln cre u propriette că sum distnţelor lor l două puncte fixe este constntă se numeşte elipsă. Cele două puncte fixe se numesc focrele elipsei. Distnţ dintre cele două focre se numeşte distnţă foclă, ir distnţele de l un punct P orecre l elipsei l cele două focre se numesc rzele focle le punctului P. Fie F şi F' cele două focre, C mijlocul segmentului [FF'], A şi A' punctele de intersecţie dreptei FF' cu elips, B şi B' intersecţi dreptei perpendiculre pe FF' în C cu elips, distnţ CA şi b distnţ CB. C este centrul de simetrie l elipsei, ir AA' şi BB' sunt xele de simetrie le elipsei. şi b se numesc semixele elipsei. Fie xoy un sistem de coordonte crteziene şi (xc,yc) coordontele centrului de simetrie C l elipsei. În continure se v consider că drept FF' este prlelă cu x Ox. Fie E elips de centru C(xc,yc) şi semixe şi b. Ecuţiile elipsei E sunt: ( x xc ) ( y yc ) ecuţi implicită elipsei: + = 1 b ecuţiile explicite le elipsei: y = yc ± b 1, x [ xc,xc + ] = xc + cos( θ ) y = yc + b sin( θ ) ( x xc ) ecuţiile prmetrice le elipsei:, θ [ 0,π ) d. Hiperbol Locul geometric l punctelor din pln cre u propriette că modulul diferenţei distnţelor lor l două puncte fixe este constnt se numeşte hiperbolă. Cele două puncte fixe se numesc focrele hiperbolei. Distnţ dintre cele două focre se numeşte distnţă foclă, ir distnţ de l un punct P orecre l hiperbolei l cele două focre se numesc rzele focle le punctului P. B-3
Fie F şi F' cele două focre, C mijlocul segmentului [FF'], A şi A' punctele de intersecţie dreptei FF' cu hiperbol, c distnţ CF, distnţ CA (<c) şi b = c. C este centrul de simetrie l hiperbolei, ir FF' şi meditore segmentului [FF'] sunt xele de simetrie le hiperbolei. şi b se numesc semixele hiperbolei. Fie xoy un sistem de coordonte crteziene şi (xc,yc) coordontele centrului de simetrie C l hiperbolei. În continure se v consider că drept FF' este prlelă cu x Ox. Fie H hiperbol de centru C(xc,yc) şi semixe şi b. Ecuţiile hiperbolei H sunt: ( x xc ) ( y yc ) ecuţi implicită hiperbolei: = 1 b ( x xc ) ecuţiile explicite le hiperbolei: y = yc ± b 1, Mulţime punctelor de coordonte (x,y) cre stisfc ecuţi: ( x xc ) ( y yc ) + b = 1 (,xc ] [ xc + ) x, reprezintă o hiperbolă H ' de centru C(xc,yc) şi semixe b şi, pentru cre x focrelor este prlelă cu x Oy. Hiperbolele H şi H ' se numesc hiperbole conjugte un ltei. O hiperbolă de semixe egle se numeşte hiperbolă echilteră. e. Prbol Locul geometric l punctelor din pln egl depărtte de un punct fix şi de o xă fixă se numeşte prbolă. Punctul fix se numeşte focrul prbolei, ir x fixă directore prbolei. Distnţ de l un punct orecre P l prbolei l focr se numeşte rz foclă punctului P. Fie A proiecţi focrului pe directore prbolei, C intersecţi dreptei FA cu prbol şi p distnţ dintre focr şi A. C se numeşte vârful prbolei. Drept AC este dreptă de simetrie prbolei. Fie xoy un sistem de coordonte crteziene şi (xc,yc) coordontele vârfului C l prbolei. În continure se v consider că drept AF este prlelă cu x Ox. Fie P prbol de vârf C(xc,yc) şi xă de simetrie AF. Ecuţiile prbolei P sunt: ecuţi implicită prbolei: ( y yc ) p( x xc ) = 0 ecuţiile explicite le prbolei: y = yc ± p( x xc ), x xc B-4
3. Figuri geometrice în spţiu. Drept Fie xoyz un sistem de coordonte crteziene şi d o dreptă în spţiul structurt de cest. Ecuţiile crtezine generle le dreptei Anlitic, drept d se exprimă c intersecţie două plne, dică prin sistemul de ecuţii lcătuit din ecuţiile celor plne. Astfel, dcă P 1, de ecuţie 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, şi P, de ecuţie x + b y + c z + d = 0, sunt cele două plne, tunci, ecuţiile dreptei d sunt: 1x + b1 y + c1z + d1 = 0, x + b y + cz + d = 0 1,...,d R Ecuţiile prmetrice le dreptei determinte de două puncte distincte Fie P(xp,yp,zp) şi R(xr,yr,zr) două puncte distincte le dreptei d. Atunci ecuţiile prmetrice dreptei d determinte de punctele P şi R sunt: = xp + k( xr xp ) y = yp + k( yr yp ), z = zp + k( zr zp ) k R b. Sfer Locul geometric l punctelor din spţiu egl depărtte de un punct dt se numeşte sferă. Punctul dt portă denumire de centrul sferei, ir distnţ de l cest l oricre din punctele sferei se numeşte rz sferei. Fie xoyz un sistem de coordonte crteziene şi S sfer de centru C(xc,yc,zc) şi de rză r. Ecuţiile sferei S sunt: ecuţi implicită sferei: (x - xc) + (y - yc) + (z - zc) = r = xc + r cos( α ) cos( β ) z = zc + r sin( β ) ecuţiile prmetrice le sferei: y = yc + r sin( α ) cos( β ), α [ 0, π ), β [ π, π ] Mulţime punctelor căror distnţă l C este strict mi mică decât r se numeşte interiorul sferei. Reuniune dintre sferă şi interiorul său se numeşte bilă de centru C şi rză r. b. Elipsoidul Un elipsoid este o suprfţă tridimensionlă închisă cu propriette că intersecţi ei cu orice pln este o elipsă su un cerc. Un elipsoid re trei xe de simetrie, cre se intersecteză într-un punct şi cre sunt perpendiculre două câte două. Punctul de intersecţie se numeşte centru de simetrie. Fie AA, BB şi DD intersecţiile celor trei xe de simetrie cu elipsoidul, ir C centrul de simetrie. Distnţele CA, CB şi CD se numesc semixele elipsoidului şi se noteză cu, b, respectiv c. Fie xoyz un sistem de coordonte crteziene şi EL un elipsoid de semixe,b şi c, şi de B-5
centru de simetrie C(xc,yc,zc). Ecuţiile elipsoidului EL sunt: ( x xc ) ( y yc ) ( z zc ) ecuţi implicită elipsoidului: + + = 1 b c ecuţiile prmetrice le elipsoidului: = xc + cos( α ) cos( β ) y = yc + b sin( α ) cos( β ), z = zc + c sin( β ) α [ 0, π ), β [ π, π ] c. Prism Fie S o suprfţă poligonlă, inclusă într-un pln α, d o dreptă cre nu prţine plnului α şi nu este nici prlelă cu cest, şi α ' un pln prlel cu α. Pentru fiecre punct P l suprfeţei poligonle S fie P' intersecţi dintre plnul α ' şi prlel l d dusă prin P. Reuniune tuturor segmentelor [PP'], tunci când P prcurge suprfţ S, se numeşte prismă. Fie S ' mulţime tuturor punctelor P'. S şi S ' se numesc bzele prismei. S şi S ' sunt congruente. Dcă drept d este perpendiculră pe plnul α, tunci prism este o prism dreptă. O prismă dreptă cărei bză este o suprfţă poligonlă regultă se numeşte prismă regultă. O prismă cărei bză este mărginită de un prlelogrm se numeşte prlelipiped. Un prlelipiped drept se numeşte prlelipiped dreptunghic. Un prlelipiped dreptunghic cre re dor suprfeţe mărginite de pătrte se numeşte cub. d. Pirmid Fie S o suprfţă poligonlă, inclusă într-un pln α, şi V un punct cre nu prţine plnului α. Reuniune tuturor segmentelor [VP], tunci când P prcurge suprfţ S, se numeşte pirmidă de vârf V şi bză S. Distnţ de l V l plnul α se numeşte înălţime pirmidei. O pirmidă cărei bză este o suprfţă poligonlă regultă şi proiecţi lui V pe α este centru lui S se numeşte pirmidă regultă. O pirmidă cu bz suprfţă triunghiulră se numeşte tetredru. Fie α ' un pln prlel cu α şi cre intersecteză pirmid. Fie S ' intersecţi plnului α ' cu pirmid. S şi S ' sunt semene. Mulţime punctelor pirmidei cuprinse între plnurile α şi α ' împreună cu cele două suprfeţe S şi S ' se numeşte trunchi de pirmidă. S şi S ' se numesc bzele trunchiului de pirmidă. Distnţ dintre cele două plne se numeşte înălţime trunchiului de pirmidă. Un trunchi de pirmidă obţinut dintr-o pirmidă regultă se numeşte trunchi de pirmidă regultă. e. Cilindrul Fie D un disc, inclus într-un pln α, d o dreptă cre nu prţine plnului α şi nu este nici prlelă cu cest, şi α ' un pln prlel cu α. Pentru fiecre punct P l discului D fie P' intersecţi dintre plnul α ' şi prlel l d dusă prin P. Reuniune tuturor segmentelor [PP'], tunci când P prcurge discul D, se numeşte cilindru circulr. Fie D ' mulţime tuturor punctelor P'. D şi D ' se numesc bzele cilindrului circulr. D şi D ' u rze egle. B-6
drept. Dcă drept d este perpendiculră pe plnul α, tunci cilindrul este un cilindru circulr f. Conul Fie D un disc, inclus într-un pln α, şi V un punct cre nu prţine plnului α. Reuniune tuturor segmentelor [VP], tunci când P prcurge discul D, se numeşte con circulr de vârf V şi bză D. Distnţ de l V l plnul α se numeşte înălţime conului. Un con pentru cre proiecţi vârfului pe plnul bzei coincide cu centrul bzei se numeşte con drept. Fie α ' un pln prlel cu α şi cre intersecteză conul. Fie D ' intersecţi plnului α ' cu pirmid. Mulţime punctelor conului cuprinse între plnurile α şi α ' împreună cu cele două discuri D şi D ' se numeşte trunchi de con. D şi D ' se numesc bzele trunchiului de con. Distnţ dintre cele două plne se numeşte înălţime trunchiului de con. Un trunchi de con obţinut dintr-un con drept se numeşte trunchi de con drept. B-7