ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια (Νο ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) Νο ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ. Να υπολογίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : f ημ+ ln ( + ). Να προσδιορισθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : α) f 3 β) f 9 γ) f ln δ) f ln ε) f εφ στ) f 3 + ζ) f log( ) η) f θ) f log ( 4 ) ι) f ημ ια) f + + 4 ιβ) f + + 4 ιγ) f + ιδ) f ιστ) f() ( ) - 3 4 ιε) f 8 + 3 3. Να ορισθεί ο μ ώστε η συνάρτηση f ορισμού το IR. ln( + μ + 4) να έχει πεδίο 4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f αριθμός α, ώστε f(α) [-, ]. α +. Να ορισθεί ο πραγματικός + + ean+_(f())/cl ΣΕΛΙΔΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια (Νο ) 5. Δίνεται η συνάρτηση f με f + λ. Να προσδιορισθεί ο λ, ώστε το 3 σύνολο τιμών της f να είναι της μορφής ( ] [ ), α β, +, α, β IR. (Aπ. λ ( -3, ) ) 6. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης : + 3 αν, f 7 αν [, 3 ) + αν [ 3, + ) 7. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f. α) Να υπολογίσετε το πεδίο ορισμού της. β) Να υπολογισθεί το σύνολο τιμών της. 8. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο IR και έχει πεδίο τιμών το IR. Να βρεθεί το πεδίο τιμών της συνάρτησης : f h + f ( ) 9. Αν για την συνάρτηση f ισχύει : f() + f(-) για κάθε χ IR, τότε να βρείτε τον τύπο της f και το πεδίο τιμών της. 0. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο IR, και για κάθε IR, ισχύει : 3α f + f( ) +, α 0. α) Να βρείτε τον τύπο της f. β) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε το πεδίο τιμών της f να είναι το διάστημα [ -4, 4 ]. ΤΥΠΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Να γίνουν πολλαπλού τύπου οι συναρτήσεις : α) f 9 β) f + ΣΕΛΙΔΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια (Νο ). Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : f() α - + και g() α -, α IR. 3. Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : ψ (α+) - 3α + α - όταν ο α διατρέχει το IR-{-} διέρχονται από δύο σταθερά σημεία. 4. Θεωρούμε τη συνάρτηση g : IR IR, για την οποία ισχύει : g+ ψ + g ψ ggψ, ψ IR () α) Να δειχθεί ότι g(0) 0 ή g(0). β) Να βρεθούν οι σταθερές συναρτήσεις που ικανοποιούν την (). 5. Αν για κάθε 0 ισχύει : f + f 3, να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f. 6. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο IR. Αν για κάθε IR ισχύει : αf() + βf(-), όπου α + β 0, τότε να αποδειχθεί ότι : α) f + f( ) α+ β, IR β) Αν α β τότε f β α β α β, IR ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f με τύπο f g ( κ ) κ + κ + κ + και g με τύπο 3 + κ 8. Να προσδιορισθεί ο κ IR, ώστε να είναι f g. + κ 8. Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Α ΙR, και για κάθε A ισχύει : (f + g)() [(f + g)() - ] [(f + g)()] - [(f - g)()] - 4 Να αποδειχθεί ότι : f g. ΣΕΛΙΔΑ 3
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια (Νο ) ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9. Αν f 4 fog, fof. και g + να βρείτε (αν υπάρχουν) τις συναρτήσεις 0. Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους : f, 0, 4,, 3 [ ) [ ) Να ορισθεί η συνάρτηση fog. και g,, 4,, [ ) [ 4 + ), < <. Αν f και +, < 3 συνάρτηση fog. g,, 0, τότε να βρείτε την > 0. Αν μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [ 0, 6 ], να βρεθεί το πεδίο ορισμού της h με h() f( - ). 3. Να βρεθεί η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το IR, αν (fog)() + 4 - και g() -. 4. Aν f() - και (gof)() +, IR να προσδιορίσετε το g(). 5. Δίνεται η συνάρτηση f : IR-{3} IR, με τύπο f() α. Να προσδιορισθεί ο 3 α IR, ώστε (f o f)(). ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6. Ποιές από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι - ; α) f + 3 β) f + + 4 4 γ) f + δ) συν f ΣΕΛΙΔΑ 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια (Νο ) 7. Οι συναρτήσεις f,g είναι ορισμένες στο IR και για κάθε πραγματικό ισχύει : (g o g)() αg() + βf( 3 ), όπου α,β IR *. Aν η f είναι συνάρτηση -, να αποδείξετε ότι η g είναι -. 8. Δίνεται η συνάρτηση g : IR IR, με : g ( 0) ( 0 ),,, + 0, 0 α) Να δειχθεί ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. β) Να βρεθεί, αν υπάρχει, η αντίστροφη συνάρτηση της g. 9. Να εξεταστεί αν αντιστρέφεται η συνάρτηση f με f() ημ και με σύνολο τιμών το διάστημα Β [ -, ]. 30. Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.. β) Να βρεθεί, αν υπάρχει, η αντίστροφη συνάρτηση της f, καθώς και το σύνολο τιμών της. 3. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο IR με σύνολο τιμών το IR. Αν για κάθε IR ισχύει f(f()) + f(), τότε να αποδείξετε ότι : α) Η f είναι αντιστρέψιμη. β) f(0) 0. γ) f() + f - (), IR. 3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() - 4, [, + ) είναι αντιστρέψιμη και κατόπιν να βρείτε την συνάρτηση f - (). 33. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() - 3 είναι αντιστρέψιμη και έπειτα να βρείτε την f - ()., 0 34. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() είναι - και κατόπιν, > 0 να βρείτε την f - (). ΣΕΛΙΔΑ 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια (Νο ) 35. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : ( ) + β, [, + ) f λ + β,, Να προσδιορισθεί ο λ IR, ώστε να υπάρχει η αντίστροφή της συνάρτησης και να βρεθεί. (Απ. λ > 0 ) α +, 36. Έστω η συνάρτηση f. Προσδιορίστε το α ώστε η f να + 3, > είναι - και μετά να βρείτε την f -. 37. α) Δίνεται η συνάρτηση f : IR IR, με f() α + β (α,β IR, α 0). Να προσδιορισθούν οι α,β, ώστε να υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της f και ακόμα να είναι f - f. β) Για την συνάρτηση f : IR IR, με f() α + β, α 0 ισχύει : Να βρεθούν τα α,β. f() + f( - ) + f - ( + ), IR +. α) Να δειχθεί ότι ορίζεται η αντίστροφη της συνάρτησης f και να βρεθεί. 38. Δίνεται η συνάρτηση f : IR - {} IR - {}, με f β) Να βρεθούν τα IR, ώστε να ισχύει : (f o f - )(). 39. Δίνεται η συνάρτηση f : A [ 0, + ), με f α) Να δειχθεί ότι Α [ 0, ). + ln. β) Να δειχθεί ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της f και να βρεθεί. 40. Δίνεται συνάρτηση f : IR IR, η οποία έχει σύνολο τιμών το IR και ικανοποιεί τη σχέση : f 3 () + 3 f() + 0, για κάθε IR. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι. β) Να βρείτε την f. ΣΕΛΙΔΑ 6