TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 2018

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 8 A U T O R I Prof.univ.dr. Vasile Câmpian Prof.univ.dr. Iuliu Crivei Prof.univ.dr. Bogdan Gavrea Prof.univ.dr. Ioan Gavrea Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan Prof.univ.dr. Nicolaie Lung Prof.univ.dr. Vasile Miheşan Prof.univ.dr. Alexandru Mitrea Prof.univ.dr. Viorica Mureşan Prof.univ.dr. Dorian Popa Prof.univ.dr. Ioan Raşa Prof.univ.dr. Daniela Roşca Prof.univ.dr. Alina Sîntămărian Prof.univ.dr. Gheorghe Toader Prof.univ.dr. Neculae Vornicescu Conf.univ.dr. Lucia Blaga Conf.univ.dr. Maria Câmpian Conf.univ.dr. Alexandra Ciupa Conf.univ.dr. Dalia Cîmpean Conf.univ.dr. Eugenia Duca Conf.univ.dr. Ovidiu Furdui Conf.univ.dr. Daniela Inoan Conf.univ.dr. Adela Carmen Novac Conf.univ.dr. Ioan Radu Peter Conf.univ.dr. Vasile Pop Conf.univ.dr. Teodor Potra Conf.univ.dr. Mircea Dan Rus Conf.univ.dr. Silvia Toader Lect.univ.dr. Marius Birou Lect.univ.dr. Adela Capătă Lect.univ.dr. Luminiţa Ioana Cotîrlă Lect.univ.dr. Daria Dumitraş Lect.univ.dr. Mircia Gurzău Lect.univ.dr. Adrian Holhoş Lect.univ.dr. Vasile Ile Lect.univ.dr. Tania Angelica Lazăr Lect.univ.dr. Daniela Marian Lect.univ.dr. Rozica Moga Lect.univ.dr. Constantin Cosmin Todea Lect.univ.dr. Floare Ileana Tomuţa Asist.univ.dr. Alina-Ramona Baias Asist.univ.dr. Mihaela Bercheşan Asist.univ.dr. Liana Timboş U. T. PRESS Cluj-Napoca 8 ISBN 978-66-737-8-9

Coordonator Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan Referenţi: Prof.univ.dr. Ioan Gavrea Prof.univ.dr. Alexandru Mitrea Conf.univ.dr. Vasile Pop Prof.univ.dr. Dorian Popa Prof.univ.dr. Neculae Vornicescu Editura U. T. PRESS 8

Prefaţă Culegerea de probleme Teste grilă de matematică continuă tradiţia Universităţii Tehnice din Cluj-Napoca de a selecta viitorii studenţi printr-un concurs de admitere pe baza subiectelor sub formă de grilă. Prezenta culegere a fost elaborată cu scopul de a contribui la o mai bună pregătire a candidaţilor la admitere şi de a-i familiariza cu noua tipologie a subiectelor. Structurată pe patru capitole: Algebră, Analiză matematică, Geometrie analitică şi Trigonometrie, culegerea contribuie la recapitularea materiei din programa pentru bacalaureat. Parcurgând toate gradele de dificultate, de la probleme foarte simple care necesită un minim de cunoştinţe, până la probleme a căror rezolvare presupune cunoştinţe temeinice, lucrarea este utilă tuturor categoriilor de elevi care se pregătesc pentru un examen de matematică. Fiecare problemă propusă este urmată de cinci răspunsuri dintre care numai unul este corect. La sfârşit se dau răspunsurile corecte. Testul care se va da la concursul de admitere va conţine probleme cu grade diferite de dificultate, alcătuite după modelul celor din culegere. Autorii iii

Cuprins Algebră Analiză matematică 3 3 Geometrie analitică 47 4 Trigonometrie 5 5 Exemplu Test Admitere 59 6 Simulare admitere (3 mai 7) 6 7 Admitere (6 iulie 7) 65 8 Răspunsuri 73 9 Indicaţii 77 v

Algebră Mulţimea soluţiilor ecuaţiei z = 3 4i, z C, este: A {, } {i, i} { i, + i} {3, + i} { i, 3 + i}. Soluţia ecuaţiei x( lg 5) = lg( x + x ) este: A x = 5 x = x = x = x = 5 3 x Mulţimea soluţiilor ecuaţiei x 3 x + 3 x 3 + 3 = este: { } {,, i, i} {,, i 3, + i 3} { }, i 3, +i 3 {, i, +i } 4 { (x ) 4(x + ) Mulţimea soluţiilor reale ale sistemului: x + 4x > este: A (, ) (, ) (, 4) (, ) (, 4) (, ) (, ). 5 Mulţimea valorilor parametrului real m pentru care graficul funcţiei f : R R, f(x) = (m + )x + (m + )x + m + 3, intersectează axa Ox în două puncte distincte este: R { 3} R { } R {}. Fie f R[X], f = X + ax 99 + bx +. 6 Valorile coeficienţilor a şi b pentru care x = este rădăcină dublă sunt: a = ; b = a = ; b = 4 a = ; b = a = ; b = a = 4; b = 7 Valorile coeficienţilor a şi b pentru care f se divide cu X + X + sunt: a = ; b = a = ; b = a = ; b = a = ; b = a = ; b = 8 Valorile coeficienţilor a şi b pentru care restul împărţirii polinomului f la X 3 X X + este X + X + sunt: A a = ; b = a = ; b = a = ; b = a = ; b = a = ; b =

Se dă funcţia f(x) = mx + (m + )x + m, unde m este parametru real. 9 Pentru ce valori ale lui m, f(x) >, x R? m (, + ) m ( +, + ) m (, + ) m (, + ) m (, ) ( +, + ) Pentru ce valori ale lui m, f(x) <, x R? m (, ) m (, + ) m (, ) m (, ) m (, ) (, ) Pentru ce valori ale lui m funcţia admite rădăcină dublă? m {±} m {, ± } m {± } D m {,, + } m {,, ± } Se consideră ecuaţia x mx + m m =, unde m R, iar x şi x sunt rădăcinile reale ale ecuaţiei. Suma rădăcinilor x + x aparţine intervalului [, ] [, 4] R [, ] [, 4] 3 Suma pătratelor rădăcinilor x + x aparţine intervalului [, 4] [, 4] [, 8] R [, 3] 4 Produsul rădăcinilor x x aparţine intervalului A [, ] [, 4] [, 4] R (, ) Fie funcţiile f m : R R, f m (x) = mx + (m )x + m, m R. 5 Mulţimea valorilor parametrului m pentru care ecuaţia f m (x) = are cel puţin o rădăcină reală este: (, ) (, ] R alt răspuns [, ) 6 Vârfurile parabolelor asociate funcţiilor f m, m se găsesc pe: parabola y = x + dreapta x + y = dreapta y = x dreapta y = x E o paralelă la Ox. { x +, dacă x Fie funcţia g : R R definită prin g(x) = 3x +, dacă x >. 7 Soluţia inecuaţiei g(x) este: [, ) [, ] [ 3, ) [, 3 ] [, ) 8 Funcţia g : R R este dată de: { x g (x) = 3, dacă x { x, dacă x x 4, dacă x < g (x) = x { 3, dacă x > x g (x) = 3, dacă x { x, dacă x x 3, dacă x > g (x) = x+ { 3, dacă x > x +, dacă x g (x) = x+ 3, dacă x >

9 Se dau funcţiile { f, g : R R definite prin x f(x) = {, x x 5x +, x <, g(x) =, x x, x >. Funcţia h : R R, h = f g este definită prin: { x h(x) = 4, x 4x( x), x > h(x) = h(x) = { 4x( x), x (5x ), x > { (5x ), x x 4, x < h(x) = x 4, x 4x( x), (5x ), x < x < x 4, x < (5x ), 4x( x), x > x h(x) = Fie P R[X], P (x) = x 3 + ax + bx + c, un polinom cu rădăcinile x, x, x 3 distincte două câte două. Pentru Q R[X] polinom de grad, suma Q(x ) P (x ) + Q(x ) P (x ) + Q(x 3) P este egală cu (x 3 ) A x + x + x 3 x x x 3 P (x + x + x 3 ) Să se găsească numărul complex z dacă z z = + i. A z = 3 i; z = 3 + i; z = 3i; z = + 3i; z = + 3i. Fie f : C C, f(z) = z + z z. Soluţiile ecuaţiei f(z) = sunt: A {, +i, i} {, +i, i} {, i, i} {, +i, i} {, +i, i} 3 Se consideră ecuaţia log (9 x + 7) = + log (3 x + ). Mulţimea soluţiilor ecuaţiei are: un element două elemente nici un element trei elemente E o infinitate de elemente { 4 Soluţia S a sistemului x 5 y = 5 y 5 x = 4 este: S = S = {(, 3)} S = {(, ), (, 3)} S = {(, )} E S = {(, ), (, )} 5 Să se rezolve în R ecuaţia log +x (x 3 + x 3x + ) = 3. A x = ; x = ; x = 3; x = ; x = 3. lg x 6 Ecuaţia = are ca mulţime a soluţiilor pe: lg(5x 4) A {, 4} {4} {} R {, 4 5 } 7 Se consideră mulţimea tripletelor de numere reale (a, b, c) care verifică relaţia a + b + c =. Atunci min(ab + bc + ac) pentru această mulţime este: 3 4 3 nu există minim 3

Fie mulţimea A = A \A, unde A = { A = x Z x = n + } n +, n Z. { x N x = n + } n +, n Z şi 8 Mulţimea A este: A = {,, 3} A = N A = {,, 4} A = {, 3, 5} A = 9 Mulţimea A este: A A = {,, 3, 5} A = {3, 5} A = {3} A = A = { } 3 Mulţimea soluţiilor inecuaţiei log (log 3 3 x) este: A [3, ) (, 3 9 ) ( C, 3 3 ] ( D 3, ] (, ) ( 3 3, + ) Restul împărţirii polinomului X 3 la X + este: 9 Alt răspuns 3 la (X + ) este: X X + 9 X 9 X 9 33 la (X + ) 3 este: 9X + 45X + 8X + 36 X + 34 Mulţimea soluţiilor ecuaţiei An n 3 x + 4An n x + 3P n =, n 3, este: } { } { A n, n, A n { 3} { } D A 3 n. 35 Să se determine primul termen a şi raţia q a unei progresii geometrice (a n ) n N { dacă: a4 a = 6, a 3 a = 3. a = ; q = 3 a = 3; q = a = ; q = D a = ; q = a = ; q = 3. 36 Care sunt valorile coeficienţilor reali a şi b din ecuaţia x 3 ax + bx + =, dacă aceşti coeficienţi sunt rădăcini ale ecuaţiei? A a =, b = a =, b R a =, b = a R, b = a R, b =. 37 Coeficientul lui x 99 din dezvoltarea polinomului (x )(x )(x 3)... (x 99)(x ) este: 495 55 99 345. 38 Cel mai mare divizor comun al polinoamelor (x + ) 4n+3 + x n, n N şi x 3 este: A x 3 x x + x + sunt prime între ele (x + ) 4n+3 + x n 39 Valoarea lui ( α)( α )( α 4 )( α 5 ), unde α C \ R, α 3 =, este: A 9 9i 3i. 4

4 Fie numerele reale a, b, c, d (, ) (, ). Dacă log a b log b c log c d = atunci: a = b (, ) şi c = d (, ) a = b (, ) şi c = d (, ) a = c (, ) şi b = d (, ) a = d a = c (, ) şi b = d (, ). 4 Suma n k k! este: n(n + ) n n! (n + )! n! n n! k= a b b b Se consideră matricea U(a, b) = b a b b b b a b. b b b a 4 Matricea U(a, b) este singulară dacă şi numai dacă a = b a 3b (a b)(3b + a) = a + 3b = alt răspuns 43 U (, ) este U(, ) 4 U(, ) U(, ) U(, ) 4 8 U(, ) 44 Inversa matricei U(, ) este: A U(, ) U(, ) U(, ) 4 7 nu există alt răspuns 45 ( ) a b Dacă a + b =, atunci inversa matricei M b a (R) este: ( ) ( ) ( ) a b a b a b b a b a b a ( D a ) ( b a b b a b a 46 Inversa matricei A = este matricea: 3 3. 4 47 Matricea A = 3 are rangul minim pentru: a 3 A a = a = a = 7 a = a = x + y = 48 Sistemul de ecuaţii cu parametrul real m, 6x 8y =, este compatibil numai 5x + y = m dacă: m = m = m = m = 3 m = 4. ). 5

49 Sistemul de ecuaţii cu parametrii m, n R mx + y z = x + y + 3z = (m )x + y + z = n este compatibil nedeterminat pentru: A m = 3; n 3 m 3; n = 3 m = 3; n = 3 m 3; n 3 m = 5; n = 3 n n 44 5 Dacă = n, n N, atunci: A n = n = n = 4 n = 8 n = 6. 5 Fie m, n R, x, x, x 3 rădăcinile ecuaţiei x 3 + mx + n = şi matricea A = x x x 3. Determinantul matricei A este: x x x 3 A 4m 7n 4m 7n 4m + 7n n 7m 3n 7m 5 Mulţimea valorilor a R pentru care rangul matricei este egal cu, este Se consideră sistemul A = 3 5 7 5 4 4 a {} {} {, } R {, } x +y +3z = (S) : x y +az = 3 3x +y +4z = b 53 (S) este compatibil determinat dacă şi numai dacă a = a, b R a =, b = 54 (S) este compatibil nederminat dacă a =, b = a =, b = a, b R a =, b = 55 (S) este incompatibil dacă şi numai dacă A a =, b = a, b = a, b a, b = a =, b x + y + mxy = 5 56 Sistemul de ecuaţii (m )(x + y) + xy =, m R, 3x + 3y xy = m + este compatibil pentru m aparţinând mulţimii: A [, ] [ 3, ] [, 4] } { D {,, 4}. 6

x + ay + 4z = 57 Dacă sistemul de ecuaţii x y z = ; a R 3x y z = este compatibil determinat, atunci: A a = a R {} a R a (, ) a (, ) ( ) cos t sin t 58 Dacă A = ; t R, atunci: sin t cos t ( cos A n = n t sin n ) ( t cos t sin n t cos n t A n n sin t = n ) sin t n cos t ( ) ( n ) cos nt sin nt A n sin nt cos nt = sin nt cos nt A n = cos nt sin nt ( cos A n = n t sin n ) t n sin t cos t n sin t cos t cos n t sin n t ( ) 3 59 Dacă A = M (R), atunci A este: 3 ( ) ( ) ( ) 3 6 3 A 3 6 C 3 ( ( 3 ) ) ( ) ( ). 3 Se dă mulţimea M = [5, 7] şi operaţia definită prin x y = xy 6x 6y + α. ( ) 6 Valoarea parametrului real α pentru care mulţimea M este parte stabilă în raport cu operaţia este: α = 4 α = 36 α = 36 α = 6 α = 6. 6 In monoidul (M, ), elementul neutru este: e = 7 e = 6 e = 5 e = nu există. 6 In monoidul (M, ), mulţimea elementelor simetrizabile este: A [5, 7] \ {6} {6} {5, 7} [5, 7] R \ {6}. Definim pe Z Z legea de compoziţie (x, y) (a, b) = (xa, xb + ya). 63 Elementul neutru al legii este: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 64 Fie legea de compoziţie definită prin x y = x y xy, x, y (, ). Elementul neutru pentru această lege este: e = nu există e = e =. 65 Pe mulţimea Z a numerelor întregi se defineşte legea prin x y = x + y, x, y Z. Să se determine simetricul x al lui x. A x nu există x = x x = 4 x x = x x = x 7

Pe mulţimea C a numerelor complexe definim legea de compoziţie prin z z = z + z z z. 66 Numărul i este: i i + i 67 Elementul neutru faţă de este: i 68 Elementul simetric al lui i faţă de este: i i i +i Se consideră funcţia f : R R, f(x) = x (m )x + 3m 4, m R. 69 Mulţimea valorilor lui m pentru care f se anulează în (, ) şi f(x), x (, ) este: (, 7 4 ) (, 7 4 ) (7+4, ) {7 4, 7+4 } {7 4 } [7 4, 7 + 4 ] 7 Mulţimea valorilor lui m pentru care f(x) <, x (, ) este A (, ) (, ) (, ] (, ) Se consideră funcţia f : R R, f(x) = x mx +, m R. 7 Mulţimea valorilor lui m pentru care f este strict crescătoare pe intervalul [, ] este [, ] (, ) (, ] R Alt răspuns 7 Mulţimea valorilor lui m pentru care f este injectivă pe [, ] este: A R (, ) (, ] (, ) (, ) Alt răspuns 73 Familia de parabole asociate funcţiilor f m (x) = (m + )x 3mx + m, m R { }, are un punct fix pe axa Oy are un punct fix situat pe prima bisectoare are două puncte fixe are trei puncte fixe E nu are puncte fixe. Fie parabolele de ecuaţii: P : y = x + 5x + 4 şi P : y = (m )x + (4m + n 4)x + 5m + n 4, unde m, n R, m. 74 Parabolele se intersectează în A(, ) şi B(, 4) dacă: m =, n = 9 m =, n = 9 m = 5, n = 4 m =, n = 3 m = 3, n =. 75 Parabolele au singurul punct comun C(, ) dar nu sunt tangente dacă: m = 3, n = 3 m =, n = 3 m = 3, n = 3 m =, n = m = n = 76 Parabolele sunt tangente în punctul T (, ) dacă: m =, n = 3 m =, n = m =, n = m =, n = E m =, n = 4. 8

77 Fie E(x) = x (m )x + m + mx. Mulţimea valorilor reale ale lui m pentru care E mx + este bine definită oricare ar fi x R, este: A R {4} { } (, 4) alt răspuns. 78 Mulţimea valorilor parametrului real m pentru care (m )x + (m )x + m 3 <, x R este: (, ) ( 3, ) (, ) (, ) alt răspuns. 79 Mulţimea valorilor lui a R, pentru care parabolele asociate funcţiilor f a (x) = ax (a + )x şi g a (x) = x x a sunt tangente, este: A {, } {3, } {3} { D 3, 3}. 8 Ecuaţia x 4 + (m )x + m + =, cu necunoscuta x şi parametrul real m, are toate rădăcinile reale dacă: A m = m m m m >. 8 Se dă ecuaţia x 3 3x + x a =. Rădăcinile ei sunt în progresie aritmetică dacă şi numai dacă a = a {, } a {, } Fie x, x, x 3 rădăcinile ecuaţiei x 3 x + 3 =. Notăm S k = x k + xk + xk 3, k Z. 8 S este: 3 3 83 S este: 4 9 4 9 3 3 84 S 4 este: 4 4 9 4 8-8 85 Dacă funcţia polinomială P : R R verifică egalităţile: P () + + P (n) = n 5, n =,,..., atunci: P () = P () = P () = P () = 3 alt ăspuns 86 Dacă funcţia polinomială P : R R satisface egalităţile: P (n) = atunci P ( ) este: Se dă ecuaţia x 3 px + qx r =. n k, n =,,..., k= 3 5 nu are sens 87 Ecuaţia admite două rădăcini opuse, dacă p + q = r r pq = rp q = q rp = pq r = 88 Rădăcinile sunt în progresie geometrică dacă: A p r q = p 3 rq = q rp = q 3 + p + q = p 3 r q 3 = 9

89 Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei x + 4 x + x + 7 6 x = este: {5, } {7, } [, ) [6, ] {8, }. 9 Mulţimea soluţiilor reale ale inecuaţiei x + x + 3 < 3 este: A (, ) [, ) [, ) (, ) Se consideră funcţia f(x) = 3 x + x. 9 Mulţimea de definiţie a funcţiei este: R [, ) (, ) [, ) (, ) 9 Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei f(x) = 7 este A {7} {} {} {} conţine cel puţin două elemente 93 Câte soluţii întregi are ecuaţia 8(4 x + 4 x ) 54( x + x ) + =? A 4 nici una 3 94 Mulţimea valorilor reale ale lui a, pentru care funcţia f : R R, f(x) = x 3 + ax +, este injectivă, este: (, ) [, ) {} R. 95 Mulţimea valorilor parametrului real m pentru care ecuaţia (m )x (m + )x + m 3 = are rădăcinile în C \ R cu partea reală negativă este: ( A, 3 ) ( ) 4, 3 4 [ C, ) 3 [ D 4, ) 96 Valoarea minimă a funcţiei f : R R, f(x) = (x a ) + (x a ) + + (x a n ) unde a, a,..., a n R, se obţine pentru: A x = x = a x = a x = a +a + +a n n x = a +a n. 97 { x Funcţia f : R R, f(x) = + mx ; mx ; x x >, m R, este injectivă dacă: A m (, ) m (, ) m (, ) m (, ) m (, ). 98 { x + m, Fie f : R R, f(x) = mx, x. x > Funcţia f este surjectivă dacă şi numai dacă: A m (, ); m (, ]; m = ; m (, ]; m (, ].

{ x 99 Sistemul + y = z, are o singură soluţie (x, y, z) R R R, dacă: x + y + z = a A a = a = a = a = 4 a = 4. Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei x = x este: A {, } {} [, ] {} Pentru ca funcţia f : R B, f(x) = x 3x+ să fie surjectivă, trebuie ca: x +x+ B = R [ ] B = 9 3, 9+ 3 B = [, ] B = (, ) B = [ 3, 3]. Mulţimea valorilor lui a R pentru care valorile funcţiei f : R R, f(x) = x ax + x, + sunt cuprinse în intervalul (, 3), este: A ( 4, 4) (, 4) (, 3) (, ) {, }. 3 Numărul soluţiilor (x, y) R R ale ecuaţiei x +3 y 3 = este: 4 o infinitate. 4 Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei x 4x + 4 + x + 4x + 4 = x este: A [, 3] (, ) [, ) [, ] (, ] 5 Soluţia ecuaţiei ( 3 ) x ( ) x = 3 este: ln ( ) log 3 log 3 ( ). 6 Soluţia ecuaţiei ( x ( ) + ) x ( ) x 6 + 6 = este: A orice număr real ecuaţia nu are soluţie. 7 Ecuaţia ( 5 + 4 ) x+ ( ) x+ + 5 4 = 98 are mulţimea soluţiilor: A {3} { 3; 3} { 3} { } { D 3; 3 3 ; 3}. Fie f : (, ) R, f(x) = log x log x 4 + log x 4 log x 8 + +, unde n 5 este log x n log x n+ un număr întreg. 8 f( ) este: A n n+ n+ n n+ n n+ n 9 Soluţia ecuaţiei f(x) = 4n n+ este: 4 4 n { x Mulţimea soluţiilor sistemului de ecuaţii + y = 45 este: lg x + lg y = A {(; )} {(; )}; (; )} {(; 5); (5; )} {(; ); (; )} {(; 5)}. Soluţiile ecuaţiei log x 4x + log 4x 6x = 4 aparţin mulţimii: {3} {} ] [ C, {log 3} (, ).

Mulţimea soluţiilor inecuaţiei lg ( (x 3 x ) ) < lg(x 3 + x ) este: A R (, ) (, ) (, ) alt răspuns. Fie funcţia f : R R, f(x) = 9 x 5 x 4 x. 3 Numărul de soluţii reale ale ecuaţiei f(x) = este: 3 4 4 Numărul de soluţii reale ale ecuaţiei f(x) x = este: A 3 4 5 Mulţimea soluţiilor ecuaţiei log 3 x log x 9 = este: A {x R x <, x } { 9} {9} { 3, 9}. ln(x + a) Se consideră funcţia f : D R, f(x) =, a R. x 6 Domeniul de definiţie al funcţiei este: (, ) (, ) {} x (a, ) x ( a, ) x ( a+ a, ) 7 Mulţimea valorilor lui a pentru care f(x) >, pentru orice x D este: A (, ) (, ) [, ) (, ) alt răspuns 8 Dacă log 6 = a, atunci valoarea lui log 6 34 este: A a + 3 5a 4 a a ( a) 4 3 + a. 9 Fie a = lg şi b = lg 3. Dacă x = 3 log 7 (lg 5)3 atunci: A x = 3 b + a x = + b a x = x + = a + b x = 8ab. 3 Valoarea expresiei 3 5 + 5 este: 3 D 5 5 3 Valoarea expresiei 3 5 + 7 5 7 este: 5 3 5 Mulţimea valorilor parametrului real m, pentru care ecuaţia X 4 mx 4 = admite rădăcina reală 4 3 + 3 4 +, este: {} {4} {} { 4, 4} 3 Ştiind că a este rădăcina reală a ecuaţiei x 3 + x + =, să se calculeze 3 (3a a + )(3a + a) + a. A a + 3 a 4 Mulţimea valorilor parametrului real m pentru care oricare ar fi x real este: m 9 x + 4(m )3 x + m > (, ) [, ) [, ] (, )

5 Mulţimea soluţiilor inecuaţiei lg ( (x ) ) < lg x este: A R (, ) (, ) (, ) ( D, ) (, ). 6 Mulţimea soluţiilor inecuaţiei log x ( + x) + log x ( + x) + log x 4( + x) 7 4 este: (, ) (, ) (, ) (, ) R. 7 Valoarea sumei S n = 4 + 4 7 + + (3n )(3n+), n N, este: A n 3n 3n+ 3n+ n+ 3n+ n n 3n+ 3(3n+). 8 Suma! + 3! + + n (n+)!, n N, este egală cu: A n+ n (n+)! (n+)! D n n (n+)! n+. 9 Suma n A 3 k Ck n are valoarea: 8C 3 n n A 3 n A 3 n n 3 n C 3 n+ 3 n k=3 3 Suma Cn + Cn + 3Cn 3 + + ncn, n n N, este egală cu: A n n n n n n(n+) alt răspuns. n kcn k 3 Suma C k, n N, este egală cu: k= n n(n+) ( ) n(n+) n(n+)(n+) 4 n(n ) n 3 n + n. 3 Soluţia ecuaţiei A 6 x 4xCx 4 = A 4 x aparţine mulţimii: A [5, 7] [8, ) {} {4} {6}. ( 33 Să se determine termenul independent de a al dezvoltării 3 + 4 ) 7 a 3 a. A C7 6 C7 7 C7 8 C7 C7. 34 O progresie aritmetică crescătoare (a n ) n verifică relaţiile a 9 + a + a = 5 şi a 9 a a =. Suma primilor de termeni din progresie este: A 5 6 35 Ecuaţia x 3 (4 i)x ( + i)x + a =, a R, are o rădăcină reală dacă şi numai dacă a aparţine mulţimii: A {, } {, } {, 4} {, 4} R 3

36 Pentru ce valori ale parametrului real b ecuaţia x 3 + a(a + )x + ax a(a + b) = admite o rădăcină independentă de a? a. x =, b =. 37 Numerele reale nenule a, b, c sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 a x + b x + c =. În acest caz tripletul (a, b, c) este: A (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) alt răspuns. 38 Care este valoarea parametrului raţional m, dacă ecuaţia x 4 7x 3 + (3 + m)x (3 + 4m)x + m = admite soluţia x = + 3 şi soluţiile x 3 şi x 4 verifică relaţia x 3 = x 4? A 3 4 5 3 4. 39 Soluţiile ecuaţiei zz + (z z) = + 8i, z C, sunt: A ± + 4i ±4 + i 4 + i 4 i alt răspuns. 4 Fie x, x,..., x n rădăcinile ecuaţiei x n 3x n + x + =. Valoarea sumei n x k S = x k este: 3n 5 n + C n n n(n+) n +n k= 4 Valoarea lui m pentru care ecuaţia x 3 6x + x + m = are rădăcinile în progresie aritmetică aparţine mulţimii: A [, ] [, 4] [ 4, ] [ 7, 5] [5, 6]. 4 Dacă ecuaţia x 3 +mx +4x+4 = admite o rădăcină dublă, atunci m aparţine mulţimii: A [ 5, ] [, ] [ 8, 5] {3} (6, ). 43 Mulţimea valorilor lui m R pentru care ecuaţia x 3 8x + m = are o rădăcină egală cu dublul altei rădăcini este: A {48} { 48} R {48} R { 48} { 48, +48}. x + y + z = 44 Sistemul de ecuaţii x + y + z = 3 + + are: = x y z A o soluţie două soluţii trei soluţii patru soluţii şase soluţii. 4

Se consideră ecuaţia x 4 5x 3 + ax 7x + = cu a parametru real. 4 45 Valoarea sumei, unde x i sunt rădăcinile ecuaţiei, este x i= i 7 3 3 7 46 Valoarea parametrului a pentru care ecuaţia are rădăcină triplă este A { 63 64 } { 7 5, 3} {9} {3, 7, 9} 47 Valorile parametrului m R pentru care suma a două rădăcini ale ecuaţiei x 4 + x 3 + m x + 5x + 4 = este egală cu suma celorlalte două rădăcini aparţin mulţimii: A [, ] [ 4, ] {5} [3, 4] [, ]. Fie (x + )(x + )(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 9 A k x k. k= 9 48 A k este: 7 74 6 alt răspuns k= 4 49 A k este: 36 4 3 k= 5 Fie polinomul P C [X], P = X 3 + px + q, cu rădăcinile x, x, x 3. Să se determine polinomul cu rădăcinile x, x, x 3. X 3 + px + p X q X 3 + px 4pX + q C X 3 + px + p X + q X 4 + qx + 5 X 3 px + qx + q. 5 Restul împărţirii polinomului + X + X + + X 998 la + X este egal cu: A 997 999. 5 Polinomul (X + X ) n X este divizibil cu polinomul X dacă şi numai dacă: n = k, k N n = 3k, k N n = k, k N n = 3k +, k N E n = 3k +, k N 53 Polinomul (X + X + ) n X este divizibil cu polinomul X + dacă şi numai dacă: n = 3k, k N n = 4k, k N n = 4k +, k N n = 4k +, k N E n = 4k + 3, k N. 54 Mulţimea valorilor parametrului real a, pentru care ecuaţia x 3 + ax + = are toate rădăcinile reale şi ele verifică relaţia x 4 + x4 + x4 3 = 8, este: A { } {3} { 3} { 3, 3}. 55 Mulţimea valorilor parametrului real m pentru care ecuaţia are toate rădăcinile reale este: x(x )(x )(x 3) = m [, 9/4] [, 9/6] [, 9] [, /6] 5

56 Restul împărţirii polinomului P (X) = X + X 5 X 4 X 3 + X + la polinomul X 3 + X este: X + X + X X X + X + X +. 57 Se consideră polinoamele cu coeficienţi complecşi P (X) = a + a X + + a n X n şi Q(X) = b + b X + + b m X m. Ştiind că polinomul Q(X) se divide cu X, să se determine suma coeficienţilor polinomului P (Q(X)). ( n n ( m ) A a i B a i) b i a n b m a a b. i= i= i= 58 Un polinom de grad mai mare sau egal cu, împărţit la X dă restul 3 şi împărţit la X + dă restul 5. Restul împărţirii la X este: A 5 3X 5 3X +5 4X nu se poate determina din datele problemei. 59 Restul împărţirii polinomului X 4 + 4X 399 + 4 la polinomul X + este: A 4X + 4 4X 399 4X + 4 4X + 399 Fie numărul complex z = + i. 6 Numărul complex z este: i i i +i Alt răspuns 6 Dacă z n este real, pentru o anume valoare n N, atunci numărul complex z n este: A i n n ( ) n 6 Fie z, z C. Dacă z + z = 3 şi z = z =, atunci z z este: A C 3 D 3. 63 Valoarea parametrului m R pentru care rădăcinile x, x, x 3 ale ecuaţiei x 3 +x+m =, m R, verifică relaţia x 5 + x5 + x5 3 = este: A 3. 64 Dacă a < b < c şi D = a + b + c + (a + ) (b + ) (c + ), atunci: A D = D D < D > D = a b c. ( ) ( ) a 65 Există matrice nenule X M (R ) astfel ca X = a dacă şi numai dacă: A a = a { 3, } a {, } a R a {, }. 66 Dacă x, x, x 3 sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 x + x + 6 =, atunci valoarea determinatului x x x 3 x x 3 x x 3 x x este: 6 4. 6

67 Dacă A M n (C) este o matrice inversabilă astfel ca A + A = I n, atunci are loc egalitatea: A A = 3I n A 3 + A 3 = I n A = A A + A = I n A A = I n. Fie x, x, x 3, x 4 rădăcinile polinomului P = X 4 + X 3 + X + X +. 68 x + x + x 3 + x 4 este: / 69 x + x + x 3 + x 4 este: 4 7 x 8 + x8 + x8 3 + x38 4 este: 3 4 4( + i) Se consideră matricea: A = i i. i i 7 Determinantul matricei A este: 6i 6i 6 6 7 A 4 este: I 4 I 4 4I 4 6I 4 56I 4 73 Numărul soluţiilor n Z ale ecuaţiei matriceale 6A 8n + 6I 4 = 57A 4n este: A 6 8 4 Se dă matricea A = 74 det A este: 75 Numărul de soluţii în M 3 (R) ale ecuaţiei X = A este: A 76 Numărul soluţiilor ecuaţiei X = I în M (N ) este: A 3 4 6. 77 Fie A M 3, (C). Atunci det(a A T ) este: A strict pozitiv strict negativ zero de modul ( ) 3 6 Se dă ecuaţia: X n =, n N 4, X M (R). ( ) 3 6 78 Determinantul matricei este: 4 3 4 79 Câte soluţii are ecuaţia pentru n impar? n o infinitate 8 Câte soluţii are ecuaţia pentru n par? n E o infinitate 8 Mulţimea valorilor lui a R pentru care sistemul x + y + z =, x + y + az =, x + 4y + a z = are soluţie nebanală, este: A R R {, } {, 3} {, } {, 3} 7

( ) a b 8 Dacă A = M c a (R) şi n N, atunci: A n = (a + bc)i A n = (a + bc) n I A n = (a + bc) n I D A n+ = (a + bc) n I A n = (a + bc) n A. 83 Mulţimea valorilor parametrului real a pentru care sistemul de ecuaţii ax + y + z = x + ay + z = x + y + az = x + y + z = este compatibil este: R {, } R {, } { }. 84 Matricea A = verifică relaţia A 3 = pa + qa pentru: A p =, q = 3 p =, q = p = 3, q = p = 3,q = p =, q =. 85 Mulţimea valorilor reale ale lui m, pentru care sistemul mx + y + z = x + my + z = x + y + z = este compatibil determinat şi soluţia (x, y, z) verifică relaţia x + y z, este: A (, ] [, ) ( C, ] 3 (, ) (, ) (, ). 86 Mulţimea valorilor lui x R, pentru care determinantul x x 3 8 x 4 este nul, este: {,, } R {,, } {,, } {}. b 4 87 Rangul matricei a 3 este egal cu, dacă şi numai dacă: a 4 A a =, b = a =, b = a =, b = a =, b = a =, b = 3. 88 Pe R se defineşte legea de compoziţie: x y = xy ax + by. Numerele a, b R pentru care (R, ) este monoid sunt: a = b a =, b = a = b = sau a =, b = a =, b = nu există astfel de numere. 8

Pe intervalul (, ) definim legea: x y = x ln y 89 Această lege este: necomutativă comutativă neasociativă 9 Elementul unitate este: e 9 Simetricul lui x este: x = e x x = e ln x x = e x x = x x = x 9 Fie grupurile (C, ) şi (R, ). Să se determine a R şi b R astfel ca funcţia f : C R, f(z) = a z + b, să fie morfism de grupuri. A a =, b = a =, b = a =, b = a =, b = 3 a =, b =. 93 Mulţimea elementelor inversabile ale monoidului (Z[i], ) este: A {, } {,, i, i} { i, + i} {, i, i, }. 94 Fie m Z şi operaţia definită prin x y = xy + mx + my + a. Valoarea lui a pentru care operaţia defineşte o structură de monoid pe Z este: A m m m m m. Pe mulţimea numerelor reale R se defineşte legea de compoziţie prin x y = xy x y + λ, λ R. 95 Legea este asociativă pentru: λ = λ = λ = λ = 3 λ = 6 96 Mulţimea M = (; ) este parte stabilă a lui R în raport cu legea pentru: λ = λ = 3 λ < 3 λ 6 λ > 6 97 Legea are element neutru pentru: A λ = 4 λ = 6 λ = 6 λ = 98 Legea de compoziţie x y = n x n + y n, determină pe R o structură de grup, dacă şi numai dacă: A n = n = 3 n = k, k N n = k +, k N n, n N. 99 In monoidul (M (Z), ) mulţimea elementelor inversabile este: {A det A } {A det A = } { I, I } D {A det A = } {A det A {, }}. Să se determine grupul (G, ), ştiind că funcţia f : (, ) G, f(x) = x +, este un izomorfism al grupurilor ((, ), ) şi (G, ). G = (, ) şi x y = xy G = (, ) şi x y = xy G = (, ) şi x y = xy x y + G = R şi x y = x + y E G = (, ) şi x y = x + y. 9

Se consideră grupurile G = (R, +) şi H = (R, ), unde x y = x+y+. Funcţia f : R R f(x) = ax + b este izomorfism de la G la H, dacă şi numai dacă: a = b = a =, b = a, b = a =, b E a =, şi b =. Fie funcţia f(x) = ax+b cx+d între grupurile ((, ), ) şi ((, ), ), unde x y = x+y +xy. Funcţia f păstrează unităţile grupurilor dacă: b = d a = c c = 3 Funcţia f este izomorfism între cele două grupuri dacă: A a = b = d =, c = a = b = c, d = a = b = d = c = a a Fie monoidul (M, ) unde M = {A a a R} cu A a =. a a 4 Matricea A A este: A A A 3 5 Elementul unitate este: I 3 A A A 6 Inversul elementului A este: A A A A 4 Pe R se consideră legea de compoziţie x y = ax + by + c, a, b. 7 este asociativă dacă şi numai dacă a = b, c = a = b =, c R a = b = c = 8 este asociativă şi admite element neutru dacă şi numai dacă a = b =, c = a = b =, c R a = b = c = a = b =, c =. 9 (R, ) este grup dacă şi numai dacă a = b =, c = a = b =, c R a = b = c = D a = b =, c = alt răspuns Funcţia f : Z Z, f(x) = ax este automorfism al grupului (Z, +) dacă şi numai dacă: A a =, a = a {, } a Z a {, }. Fie funcţia f : R R, f(x) = ax + b x, a, b R. Mulţimea perechilor (a, b) R R + pentru care imaginea funcţiei f este Im f = [ 3, ] este: {(, )} {( )} {( ) ( )} {(, C 3,, 3, D, ), (, )} E {(, ), (, )}. Imaginea funcţiei f : R R, f(x) = x + ax + x, a R, este inclusă în intervalul [, ], + x + dacă: A a 3 a a [, ) a [, ] a (, ).

6 x 3 Mulţimea valorilor lui x, pentru care este definit radicalul x, conţine: A 5 elemente 7 elemente un interval 4 elemente nici un element 4 Mulţimea numerelor complexe z care verifică ecuaţia z z + = este: {, } { i, i + } {,, ( )i, ( )i} D {,, i}. 5 Se consideră ecuaţia ax + bx + c =, unde a, b, c sunt numere întregi impare. Care din următoarele afirmaţii este adevărată? ecuaţia are o rădăcină pară ecuaţia are o rădăcină impară ecuaţia are două rădăcini pare ecuaţia nu are rădăcini întregi E ecuaţia are două rădăcini impare. 6 Ecuaţia mx + x + + mx x + = x are soluţii reale dacă şi numai dacă: m = m = m = m = 4 m >. 7 Mulţimea valorilor lui a R pentru care ecuaţia x 4 + 4x 3 + ax + 4x + = are toate rădăcinile reale este: A (, ] (, ] {6} [4, ) {}. 8 Soluţiile ecuaţiei 3 x + x x 3 x = aparţin mulţimii: A [ 3, ] [, ] {; } [3, ) { }. ( 9 Mulţimea valorilor lui a R pentru care log a x + 4 ), x R, este: A (, ] [, ) (, 4] [, 3] (, 3). Soluţia x a ecuaţiei log x (x + ) + log x 3(x 3 + ) = log x (x + ) verifică: A x [, ) x x (, 3) x (3, 4) x (, ) Cel mai mare termen al dezvoltării binomului ( + ) este: A T 57 T 58 T 59 T 6 T 6. Fie m, n, p numere naturale nenule, m n. Dacă într-o progresie aritmetică avem a n = m, şi a m = n, atunci a p este egal cu: A m + n p p m n m + n p p m n m + n + p. Fie polinomul P (x) = x 3 x x + a, unde a este un parametru real. 3 Valoarea lui a pentru care polinomul are o rădăcină dublă întreagă este: a = a = a = a = a = 3 4 Valoarea lui a pentru care polinomul are o rădăcină triplă întreagă este: A a = nu există un astfel de a a = a = a =

Fie x n = ( + 3) n, n N. 5 Câte perechi (a n, b n ) Z Z cu proprietatea x n = a n + b n 3 există pentru n fixat? 3 o infinitate 6 Valoarea lui a n 3b n este: 3 3 7 Câte soluţii are ecuaţia x = 3y + în Z Z? A 3 5 6 o infinitate 8 Fie x, x, x 3, x 4 şi x 5 rădăcinile ecuaţiei x 5 + x 4 + =. 5 Valoarea sumei x 4 este: 4 3 i= i Ecuaţia x 4 8x 3 + ax bx + 6 = are toate rădăcinile pozitive, a, b R. 9 Media aritmetică a rădăcinilor x, x, x 3, x 4 este 4 8 3 Media geometrică a rădăcinilor x, x, x 3, x 4 este 4 6 3 Valorile parametrilor a, b R pentru care ecuaţia are toate rădăcinile reale şi pozitive sunt: A a =, b = a = 4, b = 3 a = 4, b = a = 3, b = 4 a =, b = 3 Fie x, x C rădăcinile ecuaţiei x + x + =. 3 Valoarea sumei x + x este: 33 Valoarea sumei x 3 + x3 este: 3 3 34 Fie A M (R) o matrice, A O astfel încât det(i A) det(x I A) = x. Valoarea lui det(i + x A + x A ) este: x 35 Dacă A M (R), A O şi există n 6 astfel ca A n = O, atunci valoarea minimă a lui p N pentru care A p = O este: 3 4 5 6. 36 Mulţimea G = {z C az n = b}, a C, b C, este un subgrup al grupului (C, ) dacă: b = a = b a = b a = b a n = b. 37 Câte elemente inversabile are monoidului ( Z [ ], )? A 4 o infinitate ax + by 38 Funcţia f(x, y) =, a, b R, este o lege de compoziţie pe intervalul (, ) dacă: + xy a = b = a + b (, ) a (, ) şi b (, ) a = b [, ] E a + b =. 39 Fie x y = x + y + xy, x, y (, ). Numărul 3 este: A 5499 55 ; 5499 55 ; 55 55 ; 55 55 ; 54 55.

Analiză matematică ( 4 lim n n + n + + n ) n este: 4 lim ( + sin x ) n n n este: n 4 lim n ln n ( n n ) este: 4 e x e x e x e e e 43 Se dă şirul cu termeni pozitivi (a n ) n prin relaţiile: a = ; a = 6; a n+ = a na n, n. Limita şirului (a n ) n este: 4 8 44 Se consideră şirul (x n ) n definit prin: x n+ a x n + =, x = a. Mulţimea valorilor parametrului real a pentru care şirul (x n ) este strict descrescător este: A (, ) (, ) (, ) (, ). 45 Fie a R, a > un număr fixat. Se consideră şirurile (x n ) n N, (b n ) n N definite prin x n+ = a (n+)! n+ xn, n, x =, b n = n x k. k= Limita lim n este: n a a a Se consideră şirul (x n ) n definit prin x n+ = x n +, x =. x n 46 Limita şirului (x n ) n este: e nu există x n 47 lim este egală cu: n n 3 π 3

48 Se consideră şirul (x n ) n, definit prin relaţia de recurenţă x n+ = e x n, x R. Numărul valorilor lui x pentru care şirul este constant 5 49 Şirul este crescător dacă şi numai dacă x aparţine mulţimii: (, ) [, ) (, ] (, ) R 5 Dacă x >, lim x n este: n nu există e 5 Şirul este convergent dacă şi numai dacă x aparţine mulţimii: {} (, ] (, ) (, ) 5 Pentru x =, lim nx n este: n nu există Valorile limitelor următoare sunt: 53 lim n n 54 lim ( n ) n n 55 lim ( )( 3 ) ( n ) n D e 56 Fie (a n ) n un şir de numere reale, astfel ca şirul este: + + + n a n ln n, n, să fie mărginit. Limita şirului (a n ) n este: e e 57 Fie a R astfel încât şirul (x n ) n, ( x n = + 3 + 5 + + ) ( a + n + 3 + + ), n să fie mărginit. Limita lui este: ln ln 3n+( ) 58 Valoarea limitei lim n n 3n ( ) este: n A 3 nu există, conform teoremei Stolz-Cesaro. 3 59 lim n 3 + n + 3 n 3 este: n 3 4 3 ( n 3n + 6 lim n n + ln( + e n ) ln( + e 3n ) este: 6 lim n ) n +n+ n+ este: 4 e 6 e e 3 e e 9 3 3 ln

6 Limita lim n ( n ) n+ + n + + 3 4 + 5 n 3n + este: 3 3 3 n + 63 lim este: n e n (k + ) 64 lim n k(k + ) este: 5 4 3 k= n 65 lim n (k + ) k + k k + k= C + nu există n k 66 lim n ( + k )( + k+ ) este: 3 3 6 k= n k + 67 lim n k (k + ) este: 3 3 4 3 k= n 68 lim, unde (a k ), k N, a >, formează o progresie aritmetică cu raţia n a k a k+ k= r >, este: a r a n k 69 Fie S =, n. Alegeţi afirmaţia corectă: k! k= S < 3 S > 3 S = e S < S = e n 7 lim n 4k 4 nu există k= n 6 7 lim n k(k + )(k + 3) 3 3 7 6 3 k= ( 7 Limita şirului (x n ) n, x n = cos π ) 4n + n +, este: A nu există. 5 n n! 73 lim n n n n e 74 Fie p N \ {, }, q >. Se cere valoarea limitei: qn + lim n qn qn + p + qn + p... qn + np + qn + np. p p q p p+q q p q p+q p p p q p p p q 5

75 Fie x un întreg pozitiv. Se defineşte şirul (x n ) n prin x n, dacă x n este par, x n+ = + x n, dacă x n este impar, n =,,... Limita şirului (x n ) n este: A e Nu există pentru unele valori ale lui x a + a + 3 a + + n a n 76 lim, a >, este: n ln n A ln a e a n ( 77 lim n k + ) 3 k este: 7 8 3 3 k= n Cn k 78 Limita lim n (n) k este e e. k= n 79 Fie p n = cos( k x), x kπ. Atunci lim p n este: n k= n 8 lim n k= n 8 lim n k= ( + 8 lim n cos x x Limita lim n sin x x C k n n n + k este: kc k n n n + k este: cos nπ n nu există.. ) n este: e nu există + x n (x + 4) 83 lim n x(x n, x > este: + ) x x x +4 x alt răspuns n 84 lim arcsin k n n este: π k= n 85 Se consideră şirul (x n ) n, x n = n + (k )(k )!. x n n este: k= e e. 6

86 Fie x R. Notăm cu x partea întreagă a numărului x. Limita şirului x n = x + 3 x + + (n ) x n 3, n, este: x 3x 4 4x 3 ( ) 87 lim n n ln a n n n + a + + a n, unde a (, ), este: A ln a + ln a + ln a ln a ln a ln 88 lim + ln 3 3 + + ln n n n ln este: n nu există 89 Şirul a n = 9 + 9 + + n 9 a n, a R, este convergent dacă: a = 9 a = a = /9 a = / E nu există un astfel de a. 9 Fie şirul (x n ) n, x n = ac + (a + ab)c + + (a + ab + + ab n )c n+. Atunci, pentru orice a, b, c R cu proprietăţile c <, b şi bc <, avem: (x n ) nu este convergent lim x n = n lim x n = n lim x n = a+bc n ( ab)c lim x ac n = n ( bc)( c). 9 Pentru numărul natural n, notăm cu x n cel mai mare număr natural p pentru care este adevărată inegalitatea 3 p 8 n x n. Atunci lim n n este: A log 3 8 Limita nu există. Fie < b < a şi (x n ) n N unde x =, x = a + b, x n+ = (a + b)x n+ ab x n, n N x 9 Dacă < b < a şi l = lim n+ n x n atunci l = a l = b l = a b l = b a nu se poate calcula n 93 Dacă < b < a < şi L = lim x k atunci: n k= L = L = ( a)( b) L = a b a+b ( a)( b) L = ( a)( b) L = a+b ( a)( b) 94 Mulţimea tuturor valorilor lui a pentru care şirul (x n ) n definit prin recurenţa x = a, x n+ = x n 4x n + 6, este convergent este: A {} [, ] {} (, ) [, 3]. ( ) (p + n)! n 95 lim n n!n p, p N este: e e /6 e p(p+). 7

96 Câte şiruri convergente de numere reale (x n ) n verifică relaţia x n+k =, k= pentru orice n N? o infinitate 97 Şirul (x n ), x n = + + + are limita π n 6. Să se calculeze limita şirului (y n), y n = + + +. 3 (n ) π 8 π 3 π 6 π 3 π. 98 Fie x n soluţia ecuaţiei tg x = x din intervalul ( nπ, nπ + π ), n N. Valoarea limitei ( lim n nπ + π ) n x n este: π π π 4 99 Mulţimea valorilor funcţiei f : (, ) R, f(x) = x x este: [ ] A, e e R [, ] ) ( ] ( D, e [, e], e e x x x x 3 lim x ( x). e e 3 lim (( + x + x)x ) x e nu există de n ori sin {}}{ x sin(sin( (sin x) )) 3 lim x x 3 A n/ n/3 n/4 alt răspuns (x + ) (x ) 33 lim x x. A 4 alt răspuns. ( + ax) x ( + x) a x 34 lim, a R. x x A a( a) a( a) a e a( a) e a arcsin(sin x) 35 lim x x nu există 36 lim x este: x x nu există. 8

( sin ax + bx + c ) 37 lim x x, unde a, b, c R astfel încât a + b + c = π, este: A a + b π a b a + b a+b (a + b). x sin x 38 lim x x + sin x este: nu există. x + 4 39 lim x 3 x + 8 3 3 3 nu există sin x + sin x + + sin nx 3 lim x x A n(n + x) n n(n+) (n + )(n + ) n(n + 3) m arctg k x k= 3 lim x m m(m+) ln( + k 3 m+ m+ 3 m(m+) (m+)(m+) m π e x) k= a x 3 lim ax a nx n, a, a,..., a n >. x x ln(a a a n ) ln a + ln a + + ln a n ln(a a an n) e a +a + +na n E e a +a + +a n ( x + ) n ( x + x ) n x 33 lim x 34 lim x 35 lim x 36 lim xe x x x n ( ( x x ln + )) x ( x x + x + ( ( 37 lim x + x ) ex x x) Valoarea limitelor: sin x n sin n x 38 lim x x n+, n N, n ; ( 39 lim x sin x ) e x. tg(sin x) x 3 lim x x 3 n n 3 n 3 n + ) 9 e nu există e e e n 6 n 6 e e /3 /6 π/

( a x + b x + c x 3 lim x 3 ( ) ( + x) x x 3 lim x e ( cos x 33 lim x cos x ( tg x 34 lim x x ) x ) sin x ) 35 lim x 36 lim(a x + x) sin x, a >, este: x 37 lim x x> 38 lim n n 39 lim n A e 3 x, a, b, c >, ( x ) x + x + ln(ex + x) este: x ( x ) ln x ) (e n+ e n : ( ( lim + tg (x) + tg (x) + + tg (nx) )) n 3 x x e 3 e A 3 abc nu există ln abc a+b+c 3 e e e e 3 e e 3 3 3 e e e e 3 e ae e ln a a e a e nu există - Limita nu există e. 33 Dacă a >, atunci limita lim are valoarea: n + an A limita nu există, pentru a <. 33 Pentru ( ce valori ale parametrilor reali a şi b avem lim x + x + + x + x + ax b) =? x A a = b = a = b = a =, b = a =, b = a =, b = 3. Se consideră funcţia f : D R, f(x) = arcsin (x ) x, unde D este domeniul maxim de definiţie. 33 Mulţimea punctelor de continuitate ale funcţiei este: [, ] (, ) (, ) [, ] alt răspuns. 333 Mulţimea punctelor de derivabilitate ale funcţiei este: [, ] [, ] [, ) (, ) alt răspuns. 334 Mulţimea punctelor în care funcţia are derivată este: A [, ] [, ] [, ) (, ] alt răspuns. 3 este:

Fie f : R R o funcţie continuă. Ce concluzie se poate trage asupra funcţiei f dacă: 335 lim f(x) = şi lim f(x) = +. x + x f este strict crescătoare f este injectivă f este surjectivă f nu este injectivă f este inversabilă 336 lim f(x) = lim f(x) = +. x x + f este descrescătoare f este injectivă f este surjectivă f este inversabilă f nu este injectivă 337 f este injectivă. f este surjectivă f este strict monotonă f are cel puţin două zerouri D f este inversabilă f este o funcţie impară (e x + x) n+ e (n+)x 338 lim x xe nx este: n + e. x e nx + x 339 Funcţia f definită prin f(x) = lim n e nx + este definită numai pentru x este definită şi continuă pe R este definită şi derivabilă pe R este definită pe R dar nu este continuă pe R E este definită numai pentru x =. x n + x 34 Fie funcţia f : R { } R, f(x) = lim n x n +. Care din afirmaţiile de mai jos sunt adevărate? f nu e bine definită pe (, ) căci limita nu există. f este continuă în. singurul punct de discontinuitate este x =. D f are limită în x = f continuă pe (, ). 34 Mulţimea punctelor de continuitate ale funcţiei f : R R, + x n f(x) = lim n + x + x + + x n este: R R \ {, } R R \ {,, } R \ { } 34 Ecuaţia x + = me x, unde m este un parametru real, are trei soluţii reale şi distincte dacă: m = m = e m = π m = 3 m = 7 343 Ecuaţia m e x = x, m R, are două rădăcini reale şi distincte dacă şi numai dacă m aparţine mulţimii: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 344 Fie funcţia f(x) = x3 ax. Valorile numerelor reale a şi b pentru care dreapta y = x+4 + bx este asimptotă la sunt: A a = 4; b = a = ; b = 4 a = 4; b = a = ; b = 4 a = ; b = 4 3

(x + )3 Fie funcţia f : R R, f(x) = x x +. 345 Ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul în care graficul funcţiei intersectează axa Oy este: y x+ = y x+ = y 4x = 4y x+ = 4y 4x+ = 346 Ecuaţia normalei la graficul funcţiei f în punctul în care graficul funcţiei intersectează axa Oy este: A y x+ = 4 y x+ = y x+ = y+ 4 x = 4y x+ = 347 Fie polinomul P (x) = ax 3 +x bx 6, a, b R. Valorile lui a şi b pentru care polinomul P (x + ) + P P (x) (x) este divizibil cu (x ) şi lim x x(bx + )(x ) = 3 sunt: a =, b = a =, b = a = 3, b = a =, b = E nu există astfel de a şi b 348 Funcţia f(x) =, x (, ), admite asimptota oblică de ecuaţie: e x A y = x y = x + y = x + y = x y = x. 349 Fie f : D R, f(x) = x + bx + x, D-domeniul maxim de definiţie al lui f. Mulţimea + x + c tuturor valorilor (b, c) R pentru care funcţia f are o singură asimptotă verticală şi graficul lui f nu intersectează asimptota orizontală este: {(b, c) R b, c = } {(b, c) R c = } {(b, c) R b = 3, c = } {(b, c) R c =, b = sau c =, b = 3} E nici unul din răspunsurile anterioare nu e corect. 35 Graficul funcţiei f : R { } 3 x + R, f(x) = x 3 admite: o asimptotă verticală şi una orizontală o asimptotă verticală şi una oblică o asimptotă orizontală şi una oblică o asimptotă verticală şi două oblice E o asimptotă verticală şi două orizontale. (m ) 35 Valorile lui m R astfel încât lim x + = sunt: x 3x + A, 4, 3, 3, 4, 35 Funcţia f : D R, f(x) = x a x, a, b R, are pe domeniul maxim de definiţie două b asimptote verticale dacă şi numai dacă: A a = b = a =, b = a = b = a =, b = b >, a b. 3

353 Abscisele punctelor în care graficele funcţiilor f, g : R R, sunt tangente sunt: 354 Egalitatea f(x) = x 6 şi g(x) = x 5 x ± ± 3 ± 5 nu există arctg a + arctg b = arctg a + b ab are loc dacă şi numai dacă numerele reale a şi b satisfac condiţia: A ab > ab < ab ab > b =, a R. 355 Numărul de valori ale parametrului real a [, ] pentru care funcţia f : [, ] R, f(x) = x x a, este convexă pe [, ] este: A 4 infinit. 356 Fie Q(x) câtul împărţirii polinomului 99(x ) x(x 99 ) la (x ) 3. Valoarea Q() este: 9999 8 55 3333 alt răspuns. 357 Funcţia f : R R este derivabilă şi sunt verificate condiţiile: f() =, f (x) = 3 f(x), x R. Valoarea f(ln ) este: 4 6 6 3 358 Care dintre următoarele afirmaţii este adevărată pentru orice funcţie f : R \ {} R care are derivată strict pozitivă? f este crescătoare pe R \ {} f este crescătoare pe (, ) C f este descrescătoare f este mărginită f este convexă. 359 O funcţie polinomială neconstantă P : R R, este strict crescătoare dacă şi numai dacă: P (x), x R P (x) >, x R P (x), x R C P (x), x R P (x) >, x R 36 Să se studieze derivabilitatea funcţiei f : [, ) R, f(x) = x + 3 4 x. f derivabilă pe (, ) f are în (5, ) punct de întoarcere f are în (5, ) punct unghiular f este derivabilă în x = 5 E f este derivabilă numai pe (5, ). 36 Dacă f : R R, f(x) = 5 6 x3 x + sin x, atunci f () este: A / 5 / 5 nu există { x 36 Fie f : R R, f(x) = sin x, x. Care din afirmaţiile următoare este, x = adevărată? f nu e continuă în f este derivabilă în f nu are limită în lim f (x) x E f are limită la +, egală cu, şi la, egală cu. 33

363 Se consideră funcţia f : D R, f(x) = arctg x + arcsin x, unde D este domeniul maxim de definiţie al funcţiei f. Mulţimea valorilor funcţiei f este: ] ( A, π R ( C π, ) [ π, π ] ( ] [, π π, ). Se consideră funcţia f : D R, f(x) = ln( + x x), unde D este domeniul maxim de definiţie. f(x) 364 lim este: x x e 365 f ( 4 ) este: 366 Numărul punctelor de extrem local ale funcţiei f este: 3 4 367 Valoarea lui a pentru care funcţia f : R R, f(x) = x x a, este derivabilă pe R este: A a = a = a = a = a =. 368 Fie g şi h două funcţii derivabile pe R şi f : R R, f(x) = g(x) h(x). Dacă h(x ) =, atunci funcţia f este derivabilă în x dacă şi numai dacă: A h (x ) = g(x ) > g(x ) = g(x )h (x ) = alt răspuns { ax 369 Funcţia f : [, ] R f(x) = x + b, x, unde a, b R, ln(x 3x + 3) + x, < x a >, este o funcţie derivabilă pentru: A a = 6, b = a = 8, b = 3 a = 8, b = 3 a =, b = 4 a b =. 37 Derivata funcţiei f : R R, f(x) = 6 x, în punctul zero, este: A /3 nu există. 37 Fie f : R R, f(x) = x 3 + x. Valoarea lui (f ) (3) este: A 3 5. 37 Fie funcţia f : R \ {} R, f(x) = x + αx + β, unde α, β R. Valorile lui α şi β x pentru care f admite un extrem în punctul M(, ) sunt: A α =, β = α =, β = α = β = α = 3, β = α =, β = 373 Se consideră funcţia f : [, ) R, f(x) = { ln(x + x + ) ; x x x 4 ; x >. Notăm cu α numărul punctelor de extrem, cu β numărul punctelor unghiulare şi cu γ numărul punctelor de întoarcere ale funcţiei f. Atunci: α = 5, β =, γ = α = 5, β = γ = α = 5, β =, γ = D α β = 4, β γ = α = 4, β =, γ =. 34

374 Fie f : R R, f(x) = ln( + x ) x. Care din următoarele afirmaţii sunt adevărate? f e strict pozitivă pe R f e strict crescătoare pe R f e strict negativă pe R f verifică inegalitatea f(x) >, x (, ) E f verifică inegalitatea f(x) >, x (, ). 375 Mulţimea valorilor parametrului real a pentru care ecuaţia e x a = ln(x + a) nu are nici o soluţie este: R (, ) (, ) (, ) 376 Fie f : R R, f(x) = x 3 + x + 4x + 4. Valoarea lui (f ) (4) este: A 4 6 68. 377 Dacă f : R R este o funcţie cu derivata de ordinul al doilea continuă( astfel încât ) f() = f () = f () =, iar funcţia g : R R este definită prin g(x) = f x + 3, atunci: g() = g () = g () = g() + g () N g () = g () = E g () =, g () = 5 4. Fie funcţia f dată prin f(x) = x 378 Mulţimea rădăcinilor derivatei de ordinul doi a funcţiei este: {} { ; ; } {; } 379 Mulţimea rădăcinilor derivatei de ordinul trei a funcţiei este: A {} { ; ; } {; } Fie f : (, + ) R o funcţie de două ori derivabilă astfel încât f (x) =, x > şi x f() = f () =. 38 f (x) are expresia: x x C x ln x Alt răspuns 38 f(x) are expresia: x 3 x 3 x ln x x x ln x + x Alt răspuns 38 Numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei ln x = x este: A 3 Alt răspuns Se dă funcţia f : R R, f(x) = x4 + x. 383 Care este valoarea lui f( )? 3 4 5 384 Care este soluţia inecuaţiei f(x) 3? [, ] (, ] [, ) (, ] alt răspuns 385 Numărul punctelor de extrem local ale funcţiei f este: A 3 4 35

Se consideră funcţia f : R R, f(x) = x e x 386 Suma pătratelor absciselor punctelor de inflexiune ale graficului funcţiei este egală cu: 5 5 + 7 5 5 7 387 Aria mărginită de graficul funcţiei f, dreptele x =, x = şi axa OX este egală cu: e 4 e 4 e e 3 e 4 e 4 alt răspuns 388 Funcţia f : (, ) R, f(x) = αx + ln( + x), α R, are două puncte de extrem local pentru: α = α = α (, ) α > α <. 389 Se dă funcţia f : R R, f(x) = e x (x + 6x + m), unde m este un parametru real. Funcţia f admite puncte de extrem pentru: A m (, ] m (, ) m R m (, ) m [, ) 39 Inegalitatea a x x + are loc pentru orice x R dacă şi numai dacă: A a = a = e a > a > e a < e. 39 Dacă ecuaţia a x = x, cu a > are o singură soluţie reală atunci: A a = e a = e a = e e a = e e a = e e 39 Mulţimea valorilor pozitive ale lui a pentru care ecuaţia a x = x +, are două soluţii reale este: A (, ) (, ) ( e, e) ( e, e e ) e (e e, ) 393 Mulţimea valorilor pozitive ale lui a pentru care inegalitatea a x x a, are loc pentru orice x > este: A {e} (, ) (, ) ( e, ) (, e) 394 Funcţia f : R R, f(x) = x x + + x + x + are proprietatea: este crescătoate pe R este descrescătoare pe (, ] şi crescătoare pe [, ) este impară f(x) f(x) lim x x = lim x x = E graficul funcţiei f intersectează axa Ox într-un punct. 395 Să se determine un punct P (x, y ) pe curba a cărei ecuaţie este y = (x ) x, x >, în care tangenta să fie paralelă cu dreapta de ecuaţie y = 5x +. A P (4, 4) P (9, ) P (, ) P (, ) P (3, 3). 396 Valoarea parametrului real a pentru care graficul funcţiei f : (, ) R, f(x) = x ln x + a x, este tangent axei Ox este: A e e e e. 397 Funcţiile f : R R, f(x) = x+ x + a, a şi g : R R, g(x) = x + sunt tangente (au o tangentă comună într-un punct comun) dacă: A a = + e a = a = a = e π a =. 36

x 398 Ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f(x) = ln în punctul de abscisă x = x + este: A x 7y = x 6y = x 5y = x 4y = x 3y =. 399 Graficele funcţiilor f(x) = ax + bx + şi g(x) = x au tangentă comună în punctul x de abscisă x = dacă: A a + b = a =, b = a =, b = a = 3, b = 5 a = 3, b = 4. 4 Tangenta la graficul funcţiei f(x) = (a sin x + b cos x)e x în punctul (, f()) este paralelă cu prima bisectoare, dacă: A a = b = a =, b = a b = a + b = a + b =. 4 Fie x cea mai mică rădăcină a ecuaţiei x (m + )x + 3m + =. Atunci lim x m este: 3 4 Mulţimea valorilor paramentrului real a pentru care ecuaţia ax ln x = are trei rădăcini reale distincte este: A (, ) (, ) ( e, ) (, e ) (e, ). Fie funcţia f : (, ) (, ) (, ) R, f (x) = arctg x arctg x x. 43 lim f (x) este: x π π 44 Mulţimea valorilor funcţiei este: { π,, π} {} R (, ) (, ) 45 Mulţimea valorilor lui x R pentru care este adevărată egalitatea este: Fie f(x) = arcsin x arctg x + arcsin + x = π (, ) (, ) [, ) [, ) [, ] [, ). x +x + arctg x. 46 Domeniul maxim de definiţie al funcţiei este : [, ] (, ) R R ( π, π ). 47 f(π) este: 48 Funcţia este strict descrescătoare pe: A R (, ) (, ) (, ) (, ]. Fie f : R R o funcţie care admite primitive şi verifică relaţiile cos f(x) =, x R şi f(π) π π. 49 f() este: 6π 8π 4π π. 37 π 4 π D π.

4 Mulţimea primitivelor funcţiei f : (, ) R, f(x) = x x, este: arccos x + C arcsin x + C arccos x + C arcsin x + C arctg x + C 4 Mulţimea primitivelor funcţiei f : ( 3π 4, 5π ) x 4 R, f(x) = cos x, este: x ctg x + ln cos x + c x ctg x + ln cos x + c x tg x + ln cos x + c x tg x ln( cos x) + c x tg x + ln( cos x) + c. ( 4 Mulţimea primitivelor funcţiei f : π, π ) R, f(x) = sin x + sin x, este: x + tg x + c +tg x + c x + tg x + c D +tg x + c x + +tg x + c e x 43 Mulţimea primitivelor funcţiei f : (, ) R, f(x) = e x este: arcsin e x + c arccos e x + c arctg x ln 44 Mulţimea primitivelor funcţiei f : R R, f(x) = ( e x + ) e x e x + este: + c e x + c. ln e x + e x ++ + c ln e x ++ + c e x + + c D ln ( e x + + ) + c ln ( e x + e x) + c. 45 Mulţimea primitivelor funcţiei f : (, ) R, f(x) = x(x 3 + ) este: ln x ln(x 3 + ) + c ln x3 x 3 + + c x3 3 ln x 3 + + c D ln x + arctg x + c ln x ln(x + ) + c. ( 46 Mulţimea primitivelor funcţiei f : R R, f(x) = ex x x + ) (x + ) este: e x arctg x + c e x ( + x ) + c xex x + + c x e x x + + c (x+)ex + c. x + 47 Mulţimea primitivelor funcţiei f : (, ) R, f(x) = x x este: A arccos x + c arcsin x + c arctg x + c ln x + c arctg x + c. 48 Mulţimea primitivelor funcţiei f : (, ) R, f(x) = e x + cos x e x + cos x + sin x, este: ln(e x + cos x + sin x) + c x + ln(e x + cos x + sin x) + c x + ln(ex + cos x + sin x) + c [x + ln(ex + cos x + sin x)] + c E x ln(ex + cos x + sin x) + c. 38

x 49 e x + (x + ) dx este: e e alt răspuns x + 4 x 4 + dx 5π 6 7π 6 3π 4 4π 3 π { sin x 4 Funcţia f : R R, f(x) = x, x a, x = are primitive dacă şi numai dacă: a = a = a = a > a <. 4 Fie F : R R astfel ca: F (x) = x, pentru orice x R, F ( ) = şi F () =. Atunci F (e) + F ( e) este: 3 nu există o astfel de funcţie F. Fie F o primitivă a funcţiei f : R R, f(x) = e x. xf (x) 43 lim este: x e x e. xf (x) 44 lim este: x e x e. x 45 Integrala (x + 3) dx este: x + 3 A 5 6 ln 6 ln 3 ln 3 4 4 + arctg 4 4 x dt 46 lim x x + cos t nu există 3 5 47 (x ) sgn x dx 5 5 5. 5 x 3 6x + 9x 5 48 (x x + 5) n dx n n. 49 ( + x ) dx π 4 + π + π 4 + π 4 + 3 π + 4 3 x 43 dx este: x + 3 x 3 3 4 3 3 4 5 3 8 dx 43 x + x + 3 ln 5 8 ln 3 5 D 3 arctg 3. 3 39