Kódovanie a deovanie 1 Je daná množina B={0,1,2} Zostrojte množinu B* všetkých možných slov dĺžky dva 2 Je daná zdrojová abeceda A={α,β,ϕ,τ} Navrhnite príklady aspoň dvoch prostých ovaní týchto zdrojových znakov, ak ová abeceda je B={0,1} 3 Je daný binárny K Zdroj znak 0 2 4 6 8 Kód slovo 000 010 100 101 111 Pomocou neho zaujte spravy: 24664028, 6688224400, 08086424 A tiež pomocou neho deujte spravy: 010101111100010000101, 010101100110000 4 Je daný binárny K Zdroj znak Q W Y G Kód slovo 0 11 10 110 Pomocou neho deujte spravy: 1001011010, 1110011010110, 0101101101010 5 Čísla 0,1,,9 zaujte ternárnym blokovým om Použite s čo najkratšou dĺžkou ového slova 6 Je daná zdrojová abeceda A={α,β,ϕ,τ} Navrhnite príklady binárnych ov s danými podmienkami: a prefixový b jednoznačne deovateľný c jednoznačne deovateľný, ale zároveň nie prefixový d prefixový, ale nie jednoznačne deovateľný e blokový 7 Je daný nasledujúcou tabuľkou jednoznačne deovateľný? Prečo? Ak nie, modifikujte ho čo najmenším počtom zmien tak, aby bol jednoznačne deovateľný Zdrojový znak A B C D E F Kód 10 01 110 001 1011 0001 8 Existuje binárne prefixové ovanie cifier 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ktoré používa len slová dĺžky najviac 5 a cifra 9 má 0? Uveďte príklad 9 Navrhnite binárne prefixové ovanie cifier 0, 1, 2,, 9 tak, aby 0 mala 0000 a y cifier 2 a 4 mali čo najkratšiu dĺžku, no žiadne ové slovo nesmi byť dlhšie ako šesť znakov 10 Zostrojte vhodný binárny, ternárny, quartérny a tiež pentárny prefixový nasledujúcich znakov s predpísanými dĺžkami ových slov: Zdroj znak * & @ # = % dĺžka slova 2 1 2 1 2 2 11 Jedané nasledujúce binárne ovanie cifier 0,, 9 Overte, či pre toto ovanie platí Kraftova nerovnosť Zdroj znak 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kód 00 01 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Platila by Kraftova nerovnosť aj v prípade, ak by sme zmenili tak, že cifry 2 a 7 by sme zaovali len trojmiestymi mi a pri cifrách 8 a 9 by sme dovolili päťmiestné y? 12 Pomocou Kraftovej nerovnosti overte, ktorý z požadovaných ov z príkladu? sa zostrojiť dá, ktorý nie 13 Koľko znakov musí mať ová abeceda, aby sme mohli zaovať 10 zdrojových znakov prefixovým om s najviac dvojznakovými ovými slovami? A najviac trojznakovými ovými slovami? 14 Koľko znakov musí mať ová abeceda k zaovaniu všetkých 26 písmen abecedy prefixovým om, ak:
a ové slová majú mať dĺžku najviac 3 a samohlásky dĺžku 2? b pre všetky písmená je dovolená dĺžka ového slova maximálne 5? c ové slová majú mať dĺžku najviac 2 a samohlásky dokonca dĺžku 1? 15 Pomocou McMillanovej vety overte, ktoré z nasledujúcich ov sú jednoznačne deovateľné Zdr znak x 0 y 01 z 011 Zdr znak w 111 Kód 1 Kód 2 Zdr znak Zdr znak x 00 y 10 z 1 Kód 3 x 0 y 1 z 01 x 00 y 11 z 1 Kód 4 16 Aplikujte McMillanovu vetu na príklad 4 a urobte diskusiu o jednoznačnej deovateľnosti daného u 17 Modifikujte z príkladu 4 tak, aby boli zachované dĺžky slov, no bol jednoznačne deovateľný 18 Je dané nasledujúce binárne ovanie Určte priemernú dĺžku ového slova, ak vieme pravdepodobnosti výskytu jednotlivých znakov, Zdrojový znak 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kód 00 01 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Pravdepod 0,038 0,102 0,07 0,203 0,009 0,13 0,21 0,08 0,153 0,005 19 Určte, ktorý z binárnych ov K 1, K 2, K 3 daných v tabuľke je výhodnejší z hľadiska dĺžky, ak máme dané aj pravdepodobnosti výskytu jednotlivých zdrojových znakov v správach: znak A B C D E F G H I pravdepodobnosť 0,19 0,15 0,12 0,21 0,1 0,09 0,06 0,05 0,08 K 1 00 1000 1001 01 1010 1011 11111 11110 1100 K 2 00 110 1001 01 1010 1011 11111 11110 10000 K 3 000 001 010 011 100 101 1100 1101 1111 20 Koľko znakov musí mať ová abeceda, ak potrebujeme nájsť prefixový priemernej dĺžky slova 1,6 pre nasledujúcu zdrojovú abecedu: znak A B C D E F G H I J K pravdepodobnosť 0,22 0,15 0,12 0,1 0,1 0,08 0,06 0,05 0,05 0,04 0,03 21 Pre uvedenú zdrojovú abecedu nájdite Huffmanovou konštrukciou najkratší binárny a vypočítajte jeho priemernú dĺžku slova znak α β γ δ σ ω pravdepodobnosť 0,04 0,4 0,06 0,3 0,01 0,1 22 V tabuľke sú dané pravdepodobnosti výskytu jednotlivých zdrojových znakov s danými pravdepodobnosťami Huffmanovou konštrukciou zostrojte binárne ovanie týchto znakov s danými pravdepodobnosťami
znak A B C D E F G H I J K L pravdepodobnosť 0,19 0,15 0,12 0,1 0,1 0,08 0,06 0,05 0,05 0,04 0,03 0,03 23 Jednotlivé cifry sa v e vyskytujú s danými pravdepodobnosťami Huffmanovou konštrukciou zostrojte binárne ovanie cifier s danými pravdepodobnosťami a vypočítajte priemernú dĺžku ového slova Zdrojový znak 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Pravdepodobn 0,202 0,042 0,11 0,06 0,171 0,08 0,13 0,09 0,09 0,025 24 Jednotlivé cifry sa v e vyskytujú s danými pravdepodobnosťami Huffmanovou konštrukciou zostrojte a binárne ovanie cifier s danými pravdepodobnosťami a vypočítajte priemernú dĺžku ového slova b pentárne ovanie (ová abeceda má 5 prvkov) cifier s danými pravdepodobnosťami a vypočítajte priemernú dĺžku ového slova Zdrojový znak 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Pravdepodobn 0,202 0,042 0,11 0,06 0,171 0,08 0,13 0,09 0,09 0,025 25 Určte najkratší ternárny cifier 0, 1,, 9, ak vieme, že párne čísla sa nachádzajú dvakrát častejšie ako nepárne (Pozn: nula je párna) Vypočítajte aj priemernú dĺžku slova 26 Sú dané pravdepodobnosti výskytu jednotlivých cifier s danými pravdepodobnosťami Huffmanovou konštrukciou zostrojte ternárne ovanie cifier s danými pravdepodobnosťami znak A B C D E F G H I J K pravdepodobnosť 0,22 0,15 0,12 0,1 0,1 0,08 0,06 0,05 0,05 0,04 0,03 27 Koľko znakov musí mať ová abeceda, ak potrebujeme nájsť prefixový priemernej dĺžky slova 3 pre nasledujúcu zdrojovú abecedu? znak A B C D E F G H I J K pravdepodobnosť 0,22 0,15 0,12 0,1 0,1 0,08 0,06 0,05 0,05 0,04 0,03 Pomocou Huffmanovej konštrukcie zostrojte takýto 28 Zostrojte najkratší binárny aj quartérny (ová abeceda má 4 prvky) pre 26 písmen slovenskej abecedy za predpokladu, že samohlásky sa nachádzajú dvakrát tak často ako spoluhlásky 29 Je daný binárny K = {00000,11100,11110,11101,00010, 00001,00011,11111} Určte Hammingove vzdialenosti každých dvoch slov v tomto e a tiež jeho minimálnu vzdialenosť 30 Je daný ternárny koktavý dĺžky 4 Určte minimálnu vzdialenosť u a tiež to, koľkonásobné chyby v ovom slove je schopný tento jednoznačne odhaliť a koľkonásobné chyby aj opraviť 31 Je daný binárny dva z päť Koľkonásobné chyby v ovom znaku je schopný tento jednoznačne určiť a koľkonásobné aj opraviť? 32 Navrhnite príklad binárneho blokového u s čo najkratšou dĺžkou ového slova, ktorý by oval zdrojovú abecedu pozostávajúcu zo šiestich znakov tak, aby bol schopný jednoznačne opraviť jednoduché chyby 33 Určte, koľko chýb objaví (a akým spôsobom) binárny všetkých slov A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7, kde A 3 je kontrolný znak parity znakov A 1, A 2 (teda slovo A 1 A 2 A 3 má vždy párnu paritu), A 6 je kontrolný znak parity znakov A 4, A 5 a A 7 je celková kontrola parity (teda celé slovo má párnu paritu) 34 Máme dané nasledujúce ovanie znakov binárnym blokovým om Určte minimálnu vzdialenosť u a tiež to, koľkonásobné chyby v ovom znaku je schopný tento jednoznačne určiť a koľkonásobné aj opraviť
zdroj znak z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 z 8 slovo 000000 001110 010101 011011 100011 101101 110110 111000 35 Máme daný opakovací dĺžky 4 s ovou abecedou T = {0,1,2,3} Určte, aké chyby je schopný tento objaviť, a aké aj opraviť Svoje tvrdenie zdôvodnite 36 Je dané nasledujúce ovanie znakov blokovým systematickým om Určte minimálnu vzdialenosť u a tiež to, koľkonásobné chyby v ovom znaku je schopný tento jednoznačne určiť znak Z 1 000000 Z 2 001110 Z 3 010101 Z 4 011011 Z 5 100011 Z 6 101101 Z 7 110110 Z 8 111000 37 Určte spôsob, ako objaviť trojnásobné chyby pri použití u dvojrozmernej parity 38 Nájdite dva typy ov, pre ktoré platí d = n k + 1, kde d je min vzdialenosť u, n je dĺžka ového slova a k je počet informačných znakov v ovom slove Zdôvodnite 39 Máme daný binárny opakovací dĺžky 4 Zistite, či tento je lineárnym om Ak je, nájdite jeho bázu, ak nie je, nájdite kontrapríklad 40 Máme daný binárny dva z päť Zistite, či tento je lineárnym om Ak je, nájdite jeho bázu, ak nie je, nájdite kontrapríklad (Kód dva z päť je tvorený takými slovami dĺžky päť, ktoré obsahujú práve dve jednotky) 41 Je daná množina ových znakov T = {0,1,2,3} Overte, že opakovací dĺžky 3 na tejto množine je lineárnym om a nájdite jeho bázu 42 Nech je daný binárny koktavý celkovej dĺžky 8 Určte, či je lineárny a zistite jeho dimenziu 43 Overte, že pre každý binárny lineárny a pre každé i = 1,2,,n je počet ových slov v = v 1 v 2 v n s vlastnosťou v i = 1 buď nulový, alebo polovica počtu všetkých ových slov 44 Máme lineárny binárny dĺžky 6 daný nasledujúcimi rovnicami: v 1 +v 2 =0 v 3 +v 4 =0 v 5 +v 6 =0 Zapíšte jeho kontrolnú maticu 45 Je daná množina ových znakov T = {0,1,2} ternárny Na tejto množine je daný opakovací dĺžky 4 Zapíšte jeho kontrolnú maticu 46 Nech je daný lineárny ternárny dĺžky 4 tak, že posledný znak v slove je vždy taký, aby súčet všetkých znakov v slove bol 0 Zapíšte jeho rovnice a kontrolnú maticu 47 Máme daný binárny dĺžky 6 tak, že tretí znak je paritný znak pre prvé dva znaky a šiesty znak je paritný pre 4 a 5 znak Zapíšte jeho generujúcu maticu 48 Je daný nasledujúci binárny lineárny K = {00000,11100,11110,11101,00010, 00001,00011,11111} Nájdite jeho generujúcu aj kontrolnú maticu 49 Koľko slov párnej Hammingovej váhy a koľko slov nepárnej Hammingovej váhy má lineárny s generujúcou maticou
1 1 0 1 0 1 G = 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 50 Nech K je ternárny dĺžky 6 taký, že a 5 a a 6 sú kontrolné znaky dané nasledovne: a 5 je súčtom a 1 a a 3 ; a 6 je súčtom a 2 a a 4 Nájdite jeho generujúcu aj kontrolnú maticu 51 Máme daný ternárny s nasledujúcou generujúcou maticou 2 2 0 1 1 G = 2 0 2 2 2 0 2 2 0 0 Zistite, ktoré z nasledujúcich slov je, a ktoré nie je ovým slovom: v 1 = ( 12 201 ), v2 = ( 10002), v3 = ( 010 2 2) 52 Je daný binárny lineárny nasledujúcou generujúcou maticou 0 1 1 0 1 1 G = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Nájdite jeho kontrolnú maticu 53 Máme daný ternárny s nasledujúcou generujúcou maticou 2 2 0 1 1 G = 2 0 2 2 2 0 2 2 0 0 Nájdite jeho kontrolnú maticu 54 Máme daný ternárny s nasledujúcou generujúcou maticou 1 0 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 G = 0 0 0 1 0 2 2 0 1 0 1 2 Nájdite generujúcu maticu ekvivalentného systematického lineárneho u 55 Máme daný pentárny s nasledujúcou generujúcou maticou 1 4 1 1 1 G = 2 4 0 0 1 0 2 1 1 0 Nájdite jeho kontrolnú maticu 56 Je daný ternárny K a jeho kontrolná matica 1 2 0 1 2 H = 0 2 1 2 0 Nájdite jeho generujúcu maticu 57 Nech je daný lineárny K s ovou abecedou T = {0,1,2,3,4} pomocou generujúcej matice G Nájdite generujúcu maticu duálneho u K 3 2 1 0 0 0 G = 1 1 1 1 1 58 Máme daný lineárny ternárny K s nasledujúcou generujúcou maticou
1 0 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 G = 0 0 0 1 0 2 2 0 1 0 1 2 Nájdite generujúcu maticu k nemu duálneho lineárneho u K 59 Majme binárny lineárny daný nasledujúcou generujúcou maticou Nájdite kontrolnú maticu daného u a vypočítajte, koľko rôznych tried podľa daného u existuje 1 1 1 1 1 G = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 60 Pre daný v predchádzajúcom príklade určte triedy pre nasledujúce slová: w 1 = (10101); w 2 =(00100) 61 Je daný ternárny nasledujúcou generujúcou maticou Zistite počet všetkých ových slov, počet tried a zatrieďte ich do príslušných tried 0 1 0 G = 0 1 62 Je daný binárny lineárny nasledujúcou generujúcou maticou 0 1 1 0 1 1 G = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 Nájdite triedy pre slová v 1 = (101001); v 2 =(101100); v 3 =(111111); v 4 =(001011) 63 Je daný nasledujúci binárny lineárny K = {00000,11100,11110,11101,00010, 00001,00011,11111} Vypočítajte počet tried pre daný, nájdite všetky triedy a určte ich reprezentantov 64 Zostrojte tabuľku Slepianovho štandardného rozmiestnenia pre binárny daný 0 1 0 1 generujúcou maticou G = 1 1 0 65 Zostrojte tabuľku Slepianovho štandardného rozmiestnenia pre ternárny daný 2 1 0 generujúcou maticou G = 0 1 66 Je daný ternárny lineárny nasledujúcou generujúcou maticou 1 0 2 2 0 G = 0 1 2 0 0 2 0 1 0 1 Vypočítajte syndromy slov w 1 = (10101); w 2 =(10200); w 3 =(02011); w 4 =(11120) 67 Vypočítajte syndromy reprezentantov všetkých tried binárneho u daného nasledujúcou generujúcou maticou 1 1 1 1 1 G = 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 68 Je daný binárny nasledujúcou generujúcou maticou K nasledujúcim prijatým slovám nájdite prislúchajúce vyslané slová: v 1 = (10011); v 2 =(10111); v 3 =(00011);
1 1 1 1 1 G = 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 69 Zapíšte kontrolnú maticu Hammingovho (7,4)-u 70 Pomocou Hammingovho (7,4)-u deujte nasledujúce prijaté slová: {1101100, 0010111, 1010101, 1110111, 0100101,1001000} 71 Nech máme daný Hammingov (7,4)- Nájdite jeho rozšírenie, zúženie, zväčšenie a zmenšnie 72 Je daný Hammingov (15,11)- Pomocou neho deujte slová {110010001100110, 101101000011010, 001001000000001, } 73 Napíšte kontrolnú maticu binárneho rozšíreného Hammingovho (8,4)-u Pomocou toho u deujte nasledujúce prijaté slová: {01101100, 01010111, 10101010, 11101111, 01001011} 74 Vypočítajte počet tried binárneho rozšíreného Hammingovho (8,4)-u a určte reprezentantov všetkých tried pre daný 75 Zostrojte kontrolnú maticu ternárneho Hammingovho u pre n-k = 2 Deujte pomocou neho prijaté slová {2202,1210,2211,2122,1012,1201} 76 Zostrojte kontrolnú maticu ternárneho Hammingovho (13,3)-u a pomocou neho deujte slová w 1 =(0210101120122); w 2 =(2221110002100) 77 Zistite, pre aké n 40 a aké k existujú binárne Hammingove (n,k)-y? 78 Zistite, pre aké n 40 a aké k existujú ternárne Hammingove (n,k)-y? 79 Binárny K je daný pomocou generujúcej matice G Zostrojte kontrolnú maticu u, ktorý bude rozšírením daného u 1 1 1 1 1 G = 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 80 Zapíšte kontrolnú maticu zúženia Hammingovho (7,4)-u pre i = 4 81 Preveďte boolovské funkcie f 1 = 11011000, f 2 = 11000001 na boolovský polynóm 82 Napíšte boolovský polynóm 1 + x 2 + x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 vyjadrite ako binárne slovo 83 Pri použití Reed-Mullerovho u R(1,3) deujte slovo w =11101010 84 Pri použití Reed-Mullerovho u R(2,3) deujte slovo 11101010 85 Napíšte generujúcu maticu u R(0,3) a R(2,3) 86 Napíšte generujúcu maticu u R(3,3) a určte k nemu duálny 87 Vypíšte všetky Reedove-Mullerove y dĺžky 8 88 Pri použití u R(2,4) deujte slovo 1111111011111111 89 Majme daný duálny k Hammingovmu u dĺžky 2 m - 1 Ukážte, že zväčšením toho u vznikne R(1,m) *