Kódovanie prenosu I.
|
|
- Νέμεσις Σπηλιωτόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Kódovanie prenosu I. Ján Karabáš KM FPV UMB 20. november 2012 J. Karabáš (FPV UMB) Bezpečnostné kódy Kodo ZS 12/13 1 / 13
2 Definície Abeceda, slovo, kódovanie Abeceda je konečná postupnosť symbolov (znakov), A = {a 1, a 2,..., a n}. Binárna abeceda: A = {0, 1}; ternárna abeceda A = {0, 1, 2}; slovenská abeceda A = {a, á,..., Ž} (44/46 znakov); ASCII 256 znakov. Slovo je konečná neprázdna postupnosť, w A +, znakov z danej abecedy. Dĺžka slova w = k > 0. Abeceda mohutnosti n obsahuje n slov dĺžky 1, n 2 slov dĺžky 2, n 3 slov dĺžky 3... Skladanie slov je nekomutatívna operácia w, v A + : w.v = w 1w 2... w k v 1v 2... v l ; wv A +. Kódovanie je zobrazenie f : A B. Predpokladáme, že f je prostá funkcia. A zdrojová abeceda (pozostáva zo zdrojových znakov); B kódová abeceda (pozostáva z kódových znakov). Množinu {f (a) : a A} nazývame kód. Jednoznačne dekódovateľné kódovanie nech f : A B je kódovanie. Kódovanie f je jednoznačne dekódovateľné, ak f : B A je prostá funkcia. Kódovanie správ platí f (w) = f (w 1).f (w 2)... f (w k ) slová kódujeme po znakoch. Navyše, kódovanie rozširujeme na skladanie: f (wv) = f (w).f (v). J. Karabáš (FPV UMB) Bezpečnostné kódy Kodo ZS 12/13 2 / 13
3 Definície Blokové vs. prefixové kódovanie Blokové kódovanie je kódovanie f také, že a A : f (a) = k. Napr. ASCII, kódovanie čísel v pamäti počítača... Prefixové kódovanie je kódovanie f také, že a A b A : f (a) = f (b).w, w B. Napr. Huffmanov kód, n-árne kódy získané cez pestované n-árne stromy... a f 1(a) a f 2(a) a f (a) a f (a) ASCII Prefixový binárny kód Ternárny kód Prefixový ternárny kód J. Karabáš (FPV UMB) Bezpečnostné kódy Kodo ZS 12/13 3 / 13
4 Najkratší prefixový kód Existencia a realizovateľnosť prefixového kódu Majme kódovanie f : A B, kde A = k a B = n. Označme l p = f (a p). Usporiadajme zdrojové znaky tak, že a 1 a 2... a k l 1 l 2... l k. Pri konštrukcii prefixového kódu zvolíme slovo w 1 = f (a 1). Pokračujeme voľbou slova w 2 = f (a 2) tak, že w 2 neobsahuje w 1 ako prefix. Zakázaných je celkovo n l 2 l 1 slov dĺžky l 2. Pri výbere slova w 3 = f (a 3), dĺžky l 3 nemožno použiť n l 3 l 1 + n l 3 l 2 slov dĺžky l 3. Naopak, ak existuje prefixový kód, potom n l 3 l 1 + n l 3 l n l 3. Analogicky iterujeme túto nerovnosť pre l 4,..., ł k. Veta 1 (O existencii prefixového kódu) Nech f : A B je kódovanie a nech B = n. Prefixové kódovanie f je prosté ak pre dĺžky kódových slov l 1, l 2,..., l k platí Kraftova nerovnosť k n l i 1. i=1 Veta 2 (McMillan, O realizovateľnosti prefixového kódu) Pre každé jednoznačne dekódovateľné kódovanie platí Kraftova nerovnosť. J. Karabáš (FPV UMB) Bezpečnostné kódy Kodo ZS 12/13 4 / 13
5 Najkratší prefixový kód Najkratší prefixový kód Redukovaná abeceda Nech A je abeceda, potom ak p i je pravdepodobnosť výskytu znaku a i v správe A A 0, 1 = {(a i, p i) : a i A, p i 0, 1 }. Priemerná dĺžka slova l(w) = a i w aipi. Najkratšie kódovanie nad n-znakovou abecedou je f : A B také, že l(w) = minw B { l(g(w)) : g je ľubovoľné kódovanie A B }. Veta 3 Nech f : A B je kódovanie a g : A B je kódovanie redukovanej abecedy g : (a i, p i) f (a i). Ak g je najkratšie kódovanie redukovanej abecedy A, potom f je najkratšie kódovanie abecedy A. Veta 4 Huffmanov kód je najkratší prefixový binárny kód. Rozšírené Huffmanovo kódovanie Majme redukovanú abecedu A. Zostrojíme pestovaný orientovaný strom stupňa k: Koreň stromu nemá žiadnu prichádzajúcu hranu; každý iný vrchol má práve jednu prichádzajúcu hranu; z každého vrchola vedie najviac k 1 odchádzajúcich hrán. Ľubovoľnému vrcholu priradíme ohodnotenie rovné súčtu pravdepodobností jeho potomkov. Každý list je ohodnotený (a i, p i). Takéto kódovanie je špeciálnym prípadom aritmetického kódovania (range coding). J. Karabáš (FPV UMB) Bezpečnostné kódy Kodo ZS 12/13 5 / 13
6 Detekcia chýb prenosu Vplyv šumu Šum prostredia je náhodná funkcia n taká, že pre dané kódovanie f : A B dochádza 1 k zámene n(f (a)) = f (b), k deštrukcii kódu, tj. x A : n(f (a)) f (x), alebo 2 k poruche synchronizácie kód n(x) bol prijatý, hoci f (a) nebol odoslaný a naopak. Chyby detegujúci kód (detekčný kód) dokáže objaviť chyby spôsobené šumom. Takéto kódy možno použiť v situácii, keď správu možno vyslať opakovane. Samoopravný kód dokáže eliminovať vplyvy šumu spôsobujúce zámeny znakov. Napríklad vyslané slovo jasno sme prijali ako jaano. Čo však s prijatým slovom jasnn? Formálne jazyky neumožňujú semantickú opravu, túto vlastnosť musíme do nášho kódu pridať. Cenou je zvýšenie redundancie správy. Samoopravné kódy sú zvyčajne menej efektívne ako detekčné kódy. Detegujúce a samoopravné kódy budú exkluzívne blokové. J. Karabáš (FPV UMB) Bezpečnostné kódy Kodo ZS 12/13 6 / 13
7 Detekcia chýb prenosu Detekcia chýb Nech f : A B je kódovanie. Množina B k = {b 1b 2... b k : b i B, i = 1, 2,..., k} je množina vsšetkých slov dĺžky k nad abecedou B. Množina (blokových) kódových slov je K = Im(f ) B k. Množina B k K je množina nekódových slov. Chyba nastane, ak prijmeme slovo z w B k K. Ak také slovo prijmeme, hovoríme, že sme objavili chybu. V opačnom prípade k chybe buď nedošlo, alebo sme ju neobjavili (!). t-násobná chyba vzniká, ak sa slovo w líši od vyslaného slova w v t znakoch. Kód K deteguje t-násobné chyby, ak pri vzniku ľubovoľnej t-násobnej chyby na slove w je slovo w B k K. Kód ( 5 2) je binárny kód dĺžky 5, K {0, 1} 5 taký, že každý kód obsahuje práve dve jednotky a f (a) a f (a) Kód ( 5 2) deteguje jednoduché chyby (1-násobné chyby). J. Karabáš (FPV UMB) Bezpečnostné kódy Kodo ZS 12/13 7 / 13
8 Detekcia chýb prenosu Hammingova vzdialenosť Hammingova vzdialenosť je pre slová w, v B k definovaná ako h(k) = w, v = {i : w i v i, i 1, 2,..., k}. Kód ( 5 2) má pre ľubovoľné dve kódové slová K Hammingovu vzdialenosť h(k) = 2. Pozorovanie 5 Blokový kód s minimálnou Hammingovou vzdialenosťou d(k) deteguje t-násobné chyby pre všetky t < d, ale nie je schopný detegovať všetky d-násobné chyby. Paritný kód je bežný binárny kód, kde ku kódu znaku pridávame paritný bit tak, aby parita (parita počtu jedničiek) výsledného slova bola nulová a f (a) a f (a) Paritný kód má minimálnu Hammingovu vzdialenosť d(k) = 2; je schopný detegovať len jednoduché chyby. J. Karabáš (FPV UMB) Bezpečnostné kódy Kodo ZS 12/13 8 / 13
9 Detekcia chýb prenosu Repetičný a koktavý kód V prípade veľkého šumu každý znak abecedy B zopakujeme n-krát. Touto konštrukciou dostávame n-repetičný kód. Hammingova vzdialenosť dvoch slov v n-repetičnom kóde K je h(k) = n. Minimálna Hammingova vzdialenosť n-repetičného kódu d(k) = n. Dôsledok 6 n-repetičný kód dokáže detegovať (n 1)-násobné chyby. 2-repetičný kód nazývame koktavý kód. J. Karabáš (FPV UMB) Bezpečnostné kódy Kodo ZS 12/13 9 / 13
10 Oprava chýb Metrické vlastnosti Hammingovej vzdialenosti Binárna funkcia δ : M 2 R je metrika ak 1 δ(x, y) 0 pre všetky x, y M ; špeciálne δ(x, x) = 0; 2 δ(x, y) = δ(y, x); 3 x, y, z M : δ(x, z) δ(x, y) + δ(y, z). Hammingova vzdialenosť h(k) je metrika na množine B k. Kód K opravuje t-násobné chyby, ak pri vyslaní ľubovoľného kódovaného slova w má prijaté kódové slovo v, pri t-násobnej chybe Hammingovu vzdialenosť h(v, w) < d(k). Tj. w K, v B k : h(v, w) < h(x, w); x K, x w. Pozorovanie 7 Blokový kód K s minimálnou (Hammingovou) vzdialenosťou d = d(k) opravuje t-násobné chyby pre všetky t < d 2. ( ) t < d, h(w, v) = t < d a x K : h(w, x) d. Potom 2 2 h(w, x) h(w, v) + h(v, x), tj. h(x, v) h(x, w) h(w, v) d h(w, v) d. 2 ( ) Majme slová w, w K, h(w, w ) = d. Skonštruujme slovo v = v 1v 2... v k, kde v i = w i, ak i je párne, inak v i = w i. Ak v = 2l, potom h(w, v) = d d 1, inak h(w, v) =. 2 2 J. Karabáš (FPV UMB) Bezpečnostné kódy Kodo ZS 12/13 10 / 13
11 Oprava chýb Príklady samoopravných kódov 5-repetičný kód opravuje dvojnásobné chyby. Pokiaľ vyšleme slovo w = aaaaa a nastane chyba na dvoch miestach, nadpolovičná väčšina znakov slova určuje jeho kód a slovo w dekódujeme ako a. Všeobecne, k-repetičné kódy opravujú t-násobné chyby pre t < k 2. Z dôvodu zachovania ostrej nerovnosti je vhodné voliť nepárne k pre k-repetičné kódy. Paritný binárny kód neopravuje ani jednoduché chyby; pokiaľ zistíme paritu 1, vieme, že doško k poškodeniu slova, ale nemáme informáciu o mieste vzniku chyby. 2D-paritný binárny kód je binárna matica (a i,j) k+1,l+1, kde stĺpec a k+1,1 nesie paritný bit i-teho znaku a riadok a 1,l+1 nesie paritný bit j-teho stĺpca. Bit a l+1,k+1 nesie paritu prenášanej správy. A 0x h 0x o 0x6f j 0x6a D-paritný binárny kód je schopný opraviť jednoduché chyby. Ak dôjde k preklopeniu bitu a p,q, potom sa zmení parita p-teho stĺpca a q-tho riadku. Tak isto sa zmení celková parita kódu. J. Karabáš (FPV UMB) Bezpečnostné kódy Kodo ZS 12/13 11 / 13
12 Efektivita samoopravných kódov Informačné a kontrolné znaky Nech K B n je blokový kód dĺžky n. Ak existuje prosté zobrazenie ϕ : B k K, k < n, hovoríme, že K má k informačných a n k kontrolných znakov. Zobrazenie ϕ sa nazýva kódovanie informačných znakov. Blokový kód K B n sa nazýva systematický, pokiaľ exituje k < n také, že ϕ : a 1a 2... a k a 1a 2... a k a k+1... a n je dobre definované prosté zobrazenie. Kódovanie ϕ : B k K sa nazýva systematické kódovanie. Pozorovanie 8 Minimálna Hammingova vzdialenosť d systematického kódu nemôže prekročiť počet n k kontrolných znakov viac ako o jeden, tj. d n k + 1. Nech K B n. Zvoľme ľubovoľný prefix w = a 1a 2... a k 1 a označme K 0 = {w : w K, w = w x}. Potom minimálna vzdialenosť d 0 dvoch kódov z K 0 je d 0 n (k 1), pretože ľubovoľné slová majú aspoň k 1 spoločných znakov. Keďže K 0 K d d 0. Pri tvorbe samoopravných kódov sa pre zafixovanú dĺžku kódového slova stretávame s dvomi protichodnými požiadavkami: potrebujeme maximalizovať d, aby sme dokázali opraviť čo najviac chýb vs. potrebujeme maximalizovať k, tj. kapacitu kódu. Informačný pomer kódu je R(K) = k ; pre optimálny kód sa pohybuje R(K) blízko 1. n J. Karabáš (FPV UMB) Bezpečnostné kódy Kodo ZS 12/13 12 / 13
13 Efektivita samoopravných kódov Informačné a kontrolné znaky Kód ( 5 2) nemá oddelené informačné a kontrolné znaky; nie je systematický. p-repetičný kód má 1 informačný znak a p 1 kontrolných znakov; je systematický (k = 1). Paritný kód má k 1 informačných znakov a 1 kontrolný znak; je systematický (k = n 1) 2D-paritný kód má l.k informačných znakov a l + k + 1 kontrolných znakov; nie je systematický. J. Karabáš (FPV UMB) Bezpečnostné kódy Kodo ZS 12/13 13 / 13
Lineárne kódy. Ján Karabáš. Kódovanie ZS 13/14 KM FPV UMB. J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19
Lineárne kódy Ján Karabáš KM FPV UMB Kódovanie ZS 13/14 J. Karabáš (FPV UMB) Lineárne kódy Kodo ZS 13/14 1 / 19 Algebraické štruktúry Grupy Grupa je algebraická štruktúra G = (G;, 1, e), spolu s binárnou
Διαβάστε περισσότεραKódovanie a dekódovanie
Kódovanie a deovanie 1 Je daná množina B={0,1,2} Zostrojte množinu B* všetkých možných slov dĺžky dva 2 Je daná zdrojová abeceda A={α,β,ϕ,τ} Navrhnite príklady aspoň dvoch prostých ovaní týchto zdrojových
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραUvod do kodovania T. K.
Uvod do kodovania T. K. May 5, 2009 1 Uvod (1. lekcia) Teoria kodovania sa zaobera konstrukciou kodov zameranych hlavne na schopnost opravovat chyby, tzv. samoopravne kody, pripadne na zrychlenie prenosu
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραÚvod do teórie kódovania
Úvod do teórie kódovania Daniel Olejár Martin Stanek 22. mája 2011 Verzia 2.0 Obsah 1 Úvod 1 2 Základné pojmy a označenia 7 2.1 Abecedy, slová a jazyky.............................. 7 2.2 Údaje, informácia
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα1-MAT-220 Algebra februára 2012
1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραLineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus
1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových
Διαβάστε περισσότεραmnožiny F G = {t1, t2,, tn} T a pre ľubovoľný valec C so základňou B1, B2,, Bn v bodoch t1, t2,, tn, takou, že pre t G - F je Bt = E, platí PF(C) = PG
STOCHASTICKÝ PROCES Definícia stochastického procesu Definícia 1 Nech (Ω, F, P) je pravdepodobnostný priestor a nech T je podmnožina R. Pre každé t T nech X(t, ω) je náhodná premenná definovaná na pravdepodobnostnom
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραVektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich
Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:
Διαβάστε περισσότερα4. decembra decembra 2003 Teria grafov 1
4. decembra 2003 19. decembra 2003 Teria grafov 1 9. Teória grafov Definícia. Obyčajný graf G je dvojica (V, E), kde V je množina vrcholov grafu G, E množina hrán grafu G je podmnožinou množiny ( V 2).
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραAutomaty a formálne jazyky
Automaty a formálne jazyky Podľa prednášok prof. RNDr. Viliama Gefferta, DrSc., PrírF UPJŠ Dňa 8. februára 2005 zostavil Róbert Novotný, r.novotny@szm.sk. Typeset by LATEX. Illustrations by jpicedit. Úvodné
Διαβάστε περισσότερα2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin
2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραBANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY
BANACHOVE A HILBERTOVE PRIESTORY 1. ZÁKLADNÉ POJMY Normovaným lineárnym priestorom (NLP) nazývame lineárny (= vektorový) priestor X nad telesom IK, na ktorom je daná nezáporná reálna funkcia : X IR + (norma)
Διαβάστε περισσότεραPravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A.
7. Negácie výrokov Negácie jednoduchých výrokov tvoríme tak, že vytvoríme tvrdenie, ktoré popiera pôvodný výrok. Najčastejšie negujeme prísudok alebo použijeme vetu Nie je pravda, že.... Výrok A: Prší.
Διαβάστε περισσότεραMODELOVANIE DETEKČNÝCH VLASTNOSTÍ BEZPEČNOSTNÉHO KÓDU V MATLABE
MODELOVANIE DETEKČNÝCH VLASTNOSTÍ BEZPEČNOSTNÉHO KÓDU V MATLABE Ing. Ján Rofár, doc. Ing. Franeková Mária, PhD. Katedra riadiacich a informačných systémov, Elektrotechnická fakulta, Žilinská univerzita
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότερα1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Základné označenia... 3
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 1.3 Základné označenia................................. 3 2 Množiny a zobrazenia
Διαβάστε περισσότεραUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vektorové prostory. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vektorové prostory študenti MFF 15. augusta 2008 1 9 Vektorové priestory Požiadavky Základné vlastnosti vektorových priestorov, podpriestorov generovania,
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραVlastnosti nekonečných slov generovaných pomocou DGSM (diplomová práca)
Odbor 9.2.1 Informatika Katedra Informatiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Vlastnosti nekonečných slov generovaných pomocou DGSM (diplomová práca) Marián Sládek
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραC. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραMetódy numerickej matematiky I
Úvodná prednáška Metódy numerickej matematiky I Prednášky: Doc. Mgr. Jozef Kristek, PhD. F1-207 Úvodná prednáška OBSAH 1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie 2. Zdroje a typy chýb 3. Definície chýb 4. Zaokrúhľovanie,
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραReprezentácia informácií v počítači
Úvod do programovania a sietí Reprezentácia informácií v počítači Ing. Branislav Sobota, PhD. 2007 Informácia slovo s mnohými významami, ktoré závisia na kontexte predpis blízky pojmom význam poznatok
Διαβάστε περισσότεραPrirodzené čísla. Kardinálne čísla
Prirodzené čísla Doteraz sme sa vždy uspokojili s tým, že sme pod množinou prirodzených čísel rozumeli množinu N = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12, } Túto množinu sme chápali intuitívne a presne sme ju
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραRozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότερα2-INF-135/15 Pravdepodobnostné algoritmy LS 2017/18
2-INF-135/15 Pravdepodobnostné algoritmy LS 2017/18 Dôkaz PCP vety 7.a 10.5.2018 def, príklady, význam,... PCP(probabilistically checkable proofs): L PCP[r(n), q(n)] ak existuje pravdepodobnostný polytime
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραNumerická lineárna algebra. Zobrazenie
Numerická lineárna algebra. Zobrazenie reálnych čísiel v počítači Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Reálne čísla v počítači 1/16
Διαβάστε περισσότεραEulerovské grafy. Príklad Daný graf nie je eulerovský, ale obsahuje eulerovskú cestu (a, ab, b, bc, c, cd, d, da, a, ac, c, ce, e, ed, d, db).
Eulerovské grafy Denícia Nech G = (V, E) je graf. Uzavretý ah v G sa nazýva eulerovská kruºnica, ak obsahuje v²etky hrany G. Otvorený ah obsahujúci v²etky hrany grafu sa nazýva eulerovská cesta. Graf sa
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραSymbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta
Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008 Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραMatematická logika. Emília Draženská Helena Myšková
Matematická logika Emília Draženská Helena Myšková Košice 2014 Recenzenti: RNDr. Ján Buša, CSc. RNDr. Daniela Kravecová, PhD. Tretie rozšírene a opravené vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedajú
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότερα1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17
Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραZáklady matematickej štatistiky
1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραTeória funkcionálneho a logického programovania
Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice Teória fucionálneho a logického programovania (poznámky z prednášok z akademického roka 2002/2003) prednáša: Prof. RNDr. Peter Vojtáš, DrSc. 2 TEÓRIA FUNKCIONÁLNEHO A
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραRandomized Algorithms
Randomized Algorithms 7 a 9.3.2017 RA 2016/17 1 / 26 Modely podľa umiestnenia pravdepodobnosti I. modelom pravdepodobnostného algoritmu je pravdepodobnostné rozdelenie nad množinou deterministických stratégií
Διαβάστε περισσότεραAproximačné algoritmy. (7. októbra 2010) DRAFT
R. Královič Aproximačné algoritmy (7. októbra 2010) ii Obsah 1 Úvod 1 1.1 Algoritmy a zložitosť........................... 1 1.2 Lineárne programovanie......................... 1 1.3 Použité vzťahy..............................
Διαβάστε περισσότεραVybrané partie z logiky
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO Katedra informatiky Vybrané partie z logiky poznámky z prednášok martin florek 22. mája 2004 Predhovor Vďaka nude a oprášeniu vedomostí z
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραFAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO. Pavol Ďuriš. Výpočtová zložitosť
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO Pavol Ďuriš Výpočtová zložitosť Máj 2009 Autor: Pavol Ďuriš Názov: Výpočtová zložitosť Vydavateľ: Knižničné a edičné centrum FMFI UK Rok vydania:
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραFakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Katedra Informatiky
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Katedra Informatiky Paralelné kooperujúce systémy gramatík diplomová práca autor: Lýdia Hanusková vedúci dipl. práce: Prof. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραKATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE
H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότεραTeória grafov I definícia grafu, základné pojmy, podgraf, cesty a kružnice v grafe, orientované grafy, eulerovský ťah, hamiltonovská kružnica
0. kapitola Teória grafov I definícia grafu, základné pojmy, podgraf, cesty a kružnice v grafe, orientované grafy, eulerovský ťah, hamiltonovská kružnica 0. Úvodné poznámky Teória grafov ako matematická
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmy teórie grafov
Algoritmy teórie grafov Hľadanie minimálnej kostry grafu Kostra grafu taký strom grafu G = [U, H], pre ktorého podrgaf G = [U, H ] platí U = U a H H (faktor grafu). Kostra grafu každý súvislý graf má kostru.
Διαβάστε περισσότερα