5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța dintre punctele de 5p Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia = 6 5p 4 Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr natural n din mulțimea {,,, 4, 5 }, acesta să verifice egalitatea n 5n+ 6= 5p 5 Determinați numărul real a, știind că vectorii = ( + ) + ( ) 5p 6 Arătați că ( ) ( ) Se consideră matricele 5p a) Arătați că det( A ) = 8 u a i a j și v= 6i+ j sunt coliniari sin + cos + sin + cos 4sin = 5, pentru orice număr real A= și 4 B=, unde și y sunt numere reale y 5p b) Determinați numerele reale și y, știind că A+ B= I, unde I = 5p c) Dacă AB= BA, arătați că det B Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție y= y+ + y+ 5p a) Arătați că ( ) = 5p b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația = 5p c) Determinați perechile (, ) Se consideră funcţia f : 5p a) Arătați că ( ) ( ) a b de numerele întregi, știind că a b= 8 R R, f ( ) = ( ) e f ' = e, R 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre la graficul funcției f 5p c) Demonstrați că f '( ), pentru orice număr real Se consideră funcţia f :(, + ) R, f ( ) 5p a) Arătați că ( ) f d= + = 5p b) Demonstrați că funcția F :(, + ) R, ( ) F = + ln + 6 este o primitivă a funcţiei f 5p c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul aei O a graficului funcției g :[,] R, g( ) f ( ) = este mai mic decât 4π
5p Calculați suma soluțiilor întregi ale inecuației 4 an a n este o progresie aritmetică și determinați valoarea lui n n pentru care a a a n 5 5p Arătați că șirul, 5p Determinați coordonatele punctelor de intersecție ale dreptei y cu parabola y 5 5p 4 Dacă f :, f, calculați f f 5p 5 Fie ABCD un romb Calculați produsulba BC AD DC 5p 6 În triunghiul ABC, AB=, AC=4 și m A 6 Determinați lungimea razei cercului circumscris triunghiului I Se consideră matricele A 9 6, X, Y, B I A, C IaA, a 6 4 5p a) Calculați matricea S A X Y 5p b) Determinați a astfel încât BC I n n 5p c) Arătați că A 4 A, oricare ar fi numărul natural n, n Se consideră mulțimea G A, unde 5 A 5, 5p a) Arătați că A Ay A y oricare ar fi y, 5p b) Demonstrați că G este grup în raport cu înmulțirea matricelor 5p c) Arătați că funcția f G f A este un izomorfism între grupurile, și II :, f :,, f 8 ln Fie funcția 5p a) Studiați monotonia funcției f 5p b) Determinați asimptotele graficului funcției f 5p c) Determinați cel mai mare număr a pentru care f a, pentru orice, Se consideră funcțiile f :, f e și F :, F f 5p a) Arătați că pentru funcția F este o primitivă a funcției f 5p b) Arătați că funcția h :, h F f 5p c) Calculați: este concavă pe I f d 6 G,
5p Determinați raţia progresiei aritmetice ( ) a n n, ştiind că a = a5 + a6 + 6 5p Determinați abscisele punctelor de intersecţie a graficului funcției f : cu dreapta de ecuație y = 5p Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) R R, f ( ) = + log + log = 4 + 5p 4 Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu,,4 C 5, Determinaţi 5p 5 În reperul cartezian Oy se consideră punctele A ( ), B ( ) și ( ) coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC + cos π 5p 6 Arătaţi că = ctg, pentru orice, cos Se consideră matricea M ( ) 5p a) Calculaţi det ( M ( ) ) 5p b) Demonstrați că M ( ) M ( ) M ( ) =, unde este număr real =, pentru orice număr real 5p c) În reperul cartezian Oy se consideră punctele O (,), (, ) A n n şi (, ) B n n, unde n este număr natural, n Demonstrați că aria triunghiului OAB este număr natural Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă y = 6y y + 5p a) Calculați 5p b) Determinaţi elementul neutru al legii de compoziţie 5p c) Calculați 6 8 8 8 8 Se consideră funcţia f : 5p a) Arătați că f ( ) f R R, ( ) 4 ( )( + )( + ) 4 ( + ) = + =, R 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă =, situat pe graficul funcției f, pentru orice număr real 5p c) Demonstrați că f ( ) 4 4 Se consideră funcţia f :R R, f ( ) = e 5p a) Determinaţi primitiva F a funcţiei f, pentru care F () = 5p b) Calculați f ( ) d 5p c) Determinați numerele reale, știind că f (t) dt =
4 5p Se consideră numărul comple z = i Arătați că z 5p Calculați ( g f )( ) = i, unde f : R R, f ( ) = + 6și g : R R, g ( ) = 6 4 5p Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia = 5p 4 Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {,,,, } pătrat perfect, acesta să fie 5p 5 În reperul cartezian Oy se consideră punctul A (,) Determinaţi ecuaţia dreptei d, care trece prin punctul A şi este paralelă cu dreapta de ecuaţie y = 6 5p 6 Determinaţi aria triunghiului ABC, ştiind că AB = 6, AC = 4 și Se consideră matricea A( m) 5p a) Arătați că ( ( )) det A = 4 5p b) Demonstrați că A( m) A( m) A( ) A = π 6 m =, unde m este număr real m + + =, pentru orice număr real m 5p c) Demonstrați că matricea A( m ) este inversabilă, pentru orice număr real m Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție y = y + 9 + 9y 4 5p a) Arătați că y ( )( y ) = +, pentru orice numere reale și y 5p b) Demonstrați că legea de compoziție este asociativă 5p c) Determinați numărul real, pentru care ( ) = Se consideră funcţia f :(, + ) R, ( ) ( ) 5p a) Arătaţi că f '( ) =, (, ) + f = ln 5p b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcţiei f 5p c) Demonstraţi că f ( ), pentru orice (, ) Se consideră funcția f : 5p a) Arătați că ( ) ( ) + + R R, f ( ) = + + + + f d = 6 5p b) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, aa O și dreptele de ecuații = și = are aria egală cu ln 7 5p c) Demonstrați că ( ) ( ) f f d =
5 5p Calculați rația progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b = 5 şi b 4 = 5p Determinați valoarea maimă a funcției f :[,5] R, f ( ) = 5p Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia + = + 5p 4 Determinaţi numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii {,,, 4, 5, 6, 7 } 5p 5 În reperul cartezian Oy se consideră punctele A (,4) şi B (, ) AB 5p 6 Calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, în care AB = 6 şi Se consideră matricea A( ) 5p a) Arătați că ( ( )) det A = + =, unde este număr real Determinaţi ecuația dreptei C = π 5p b) Demonstrați că A( ) A( y) = A( + y y), pentru orice numere reale și y 5p c) Determinați numerele reale,, pentru care matricea A( ) este egală cu inversa ei Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă y = y 6 6y + = +, pentru orice numere reale și y 5p a) Arătați că y ( )( y ) 5p b) Arătați că 4 = 5p c) Determinați numerele reale, pentru care = Se consideră funcţia f :(, + ) R, ( ) ln 5p a) Arătaţi că f '( ) =, (, ) + f = 5p b) Demonstrați că funcţia f este conveă pe intervalul ( ) 5p c) Demonstrați că ln Se consideră funcţia f : 5p a) Arătaţi că ( ) ( ), pentru orice (, ) + f d = 5p b) Demonstrați că f ( ) f R R, ( ) π d = 4 + = + n+ 5p c) Determinaţi numerele naturale n, ştiind că f ( ),+ d = ln n
6 5p Determinați numerele reale a și b, pentru care a ib + i = +, unde i = ( ) ( ( )) 6 6 5p Se consideră funcţia f : R R, f ( ) = Calculați f ( ) + f 5 5p Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 6 + = 6 5p 4 Calculați în câte moduri poate fi aleasă o echipă formată din 5 elevi din totalul de 6 elevi pe care îi are la dispoziţie un antrenor 5p 5 În reperul cartezian Oy se consideră punctele ( 5,) A şi (, ) Determinați numărul real m, știind că punctul C (,) este mijlocul segmentului AB B m +, unde m este număr real 5p 6 Se consideră triunghiul ABC în care AB = 5, AC = și BC = Calculați cosc 4 Se consideră matricea A = 5p a) Calculați det A 5p b) Arătați că ( A I )( A I )( A I ) = O, unde I = şi O = 5p c) Rezolvați ecuația matriceală AX =, unde X = y M, ( R) z Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă y = y y + 5p a) Arătaţi că y ( )( y ) = +, pentru orice numere reale şi y 5p b) Calculaţi 5p c) Determinaţi numerele reale a, ştiind că a a 6 = 6 + Se consideră funcţia f :(, + ) R, f ( ) = f ( ) f ( ) 5p a) Calculați lim 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă =, situat pe graficul funcției f 7 6 5p c) Demonstraţi că f ( ), pentru orice [, 6] Se consideră funcţia f :R R, f ( ) = + 5p a) Calculaţi ( f ) ( ) + d 5p b) Arătaţi că ( f ) 5p c) Demonstrați că f ( ) ( ) + + e d = e + a a d =, pentru orice număr real a