Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne forme bomo uporabili za nalizo vseh možnih krivulj drugega reda v R in ploskev drugega reda v R 3. Definicija in osnovne lastnosti V vektorskem prostoru R n označimo z, običajni skalarni produkt. Naj bo A R n n simetrična matrika. Potem preslikavo q : R n R podano s predpisom q(v) = Av,v za v R n, imenujemo kvadratna forma na R n. Rečemo še, da simetrična matrika A pripada q. 3 x Zgled. Vzemimo n = 3 in A = 0. Označimo še v =. 3 0 z Potem je q(v) = Av,v = x + + z x + 6xz. Na R n lahko kvadratno formo q podamo tudi kot polinom v x i, x ix j, i, j =,...,n, i < j, kjer so x i komponente vektorja v R n, to je x v = x :.x n 0

0 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME q(v) = n i= n a ii x i + n i= j=i+ a ij x i x j. Potem je q(v) = Av,v za simetrično matriko a a... a n a a... a n A =....... a n a n... a nn Zgled. Matrika za kvadratno formo q(v) = 3x +z x+6xz 4z na R 3 je 3 3. 3 Potem velja q(v) = Av, v. Vzemimo kvadratno formo q : R n R podano z q(v) = Av,v. Naj bo na R n poleg standardne baze S dana še nova baza B. Označimo z v B razvoj vektorja v po bazi B in s P = P BS prehodno matriko med novo bazo in standardno bazo. Torej velja v = Pv B. Iz tega sledi Av,v = APv B,Pv B = P APv B,v B. V bazi B je kvadratna forma q podana s simetrično matriko B = P AP.Ker želimo kvadratne forme opisati do spremembe baze natanko, vpeljemo pojem ekvivalentnosti dveh kvadratnih form. Definicija.3 Kvadratni formi q : R n R in q : R n R, ki jima pripadata zaporedoma matriki A in A, sta ekvivalentni, če obstaja taka obrnljiva matrika P, da je A = P A P. Opomba.4 Iz povedenega sledi, da lahko na dve (različni) kvadratni formi q in q, ki sta ekvivalentni, gledamo kot na eno kvadratno formo v dveh (različnih) bazah. Na množici vseh kvadratnih form q : R n R definiramo relacijo: q in q sta v relaciji, če sta ekvivalentni kvadratni formi. Zlahka se prepričamo, da je ekvivalenčna relacija.

. DEFINICIJA IN OSNOVNE LASTNOSTI 03 Trditev. Vsaka kvadratna forma je ekvivalentna kaki kvadratni formi, ki ji pripada diagonalna matrika. Dokaz Naj bo A simetrična matrika, ki pripada kvadratni formi q. Po spektralnem izreku za simetrične matrike, se matriko A da diagonalizirati v kaki ortonormirani bazi. Torej je A = QDQ, kjer je D diagonalna in stolpci matrike Q tvorijo ortonormirano bazo. Zato je QQ = I oziroma Q = Q. Matrika Q je ortogonalna matrika. Tako smo pokazali, da je A = QDQ, kjer je Q obrnljiva matrika. Kvadratni formi, ki pripadata matrikama A in D, sta ekvivalentni. Izrek.6 (Slvestrov izrek o vztrajnosti) Naj bo q : R n R kvadratna forma in A pripadajoča simetrična matrika. Potem je q ekvivalentna kvadratni formi, ki ji pripada matrika I 0 0 S = 0 I 0, (XI.) 0 0 0 kjer je I j identična matrika reda s j, j =,, s + s = r(a), s je število pozitivnih lastnih vrednosti (štetih z večkratnostmi) za A in s število negativnih lastnih vrednosti (z večkratnostmi) za A. Dokaz Po prejšnji trditvi je q ekvivalentna kvadratni formi, ki ji pripada diagonalna matrika D. Ker je A simetrična matrika, so vse njene lastne vrednosti realne. Pri tem lahko privzamemo, da je D oblike D 0 0 D = 0 D 0 R n n, 0 0 0 kjer sta D in D diagonalni in so vsi diagonalni elementi v D pozitivni in vsi diagonalni elementi v D negativni. Tako je D R s s in D R s s. Ker za vsako pozitivno realno število obstaja realen kvadratni koren, lahko najdemo taki obrnljivi diagonalni matriki E in E, da je E = D in E = E 0 0 D. Označimo P = 0 E 0. Potem je 0 0 I I 0 0 P DP = 0 I 0 = S. 0 0 0

04 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME Kvadratna forma q je zato ekvivalentna kvadratni formi, ki ji pripada matrika S. Definicija.7 Matriko S iz (XI.) imenujemo Slvestrova matrika za kvadratno formo q(v) = Av,v. Par števil (s,s ) imenujemo signatura kvadratne forme q. Vsoto s + s = r(a) imenujemo rang kvadratne forme q. Opomba.8 Kvadratna forma je s signaturo določena do ekvivalentnosti natanko. Poljubni dve ekvivalentni kvadratni formi imata enako signaturo, neekvivalentni kvadratni formi pa imata različni signaturi. Zgled.9 Poiščimo Slvestrovo matriko za kvadratno formo q(x, ) = 4x na R. Tej kvadratni formi pripada simetrična matrika [ ] 0 A =. 0 Karakteristični polinom za A je p A (λ) = λ 4. Lastni vrednosti za A sta in, zato je signatura za q enaka (,). Slvestrova matrika za q je [ ] 0. 0 Ker bomo kasneje rabili kvadratne forme na R in R 3, navedimo vse možne neekvivalentne kvadratne forme na R in R 3. Izrek.0 Na R imamo naslednje neekvivalentne kvadratne forme: signatura rang kvadratna forma (,0) x + (,) x (0,) x (,0) x (0,) x (0, 0) 0 0 Na R 3 imamo poleg zgoraj naštetih še štiri neekvivalentne kvadratne forme z rangom 3: signatura rang kvadratna forma (3,0) 3 x + + z (,) 3 x + z (,) 3 x z (0,3) 3 x z

. KRIVULJE DRUGEGA REDA 0 Definicija. Naj bo A simetrična matrika, ki pripada kvadratni formi q. Naj bo B = {v,v,...,v n } ortonormirana baza iz lastnih vektorjev za A in P ortogonalna matrika, katere stolpci so vektorji v,v,...,v n. Potem je A = PDP, kjer je D diagonalna matrika. Označimo z V i = L (v i ). Potem vektorske podprostore V,V,...,V n imenujemo glavne osi kvadratne forme q. Glavne osi nam določajo ortogonalen koordinatni sistem v R n. Zgled. Poiščimo glavni osi kvadratne forme q(x,) = 4x na R. Pripadajoča matrika je [ ] 0 A = 0 in njeni lastni vrednosti ([ ]) sta α = ([ in α ]) =. Hitro izračunamo, da sta glavni osi V = L in V = L. Krivulje drugega reda Krivulja drugega reda je množica točk [ ] x v R, ki zadoščajo enačbi ax + bx + c + dx + e + f = 0 (XI.) Pri tem privzamemo, da je vsaj eden od koeficientov a,b, c neničeln. Včasih krivuljam drugega reda rečemo tudi stožnice. Kvadratna forma, ki pripada krivulji (XI.), je q(v) = q(x,) = ax + bx + c, kjer je v = Le-tej pripada matrika A = [ ] a b. Torej je b c q(v) = Av,v. Linearni del enačbe (XI.) zapišemo v obliki dx + ex = v,v 0, [ ] x.

06 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME kjer je v 0 = obliki [ ] d. Enačbo krivulje drugega reda tako lahko zapišemo tudi v e Av,v + v,v 0 + f = 0. (XI.3) Na kratko si bomo ogledali vse možne krivulje drugega reda. Pri tem bomo ločili več primerov. Primer I Predpostavimo, da je r(a) = in v 0 = 0. Potem je enačba krivulje oblike Av,v + f = 0 (XI.4) [ ] Naj bo A = PDP α 0, kjer je P ortogonalna matrika in D = diagonalna matrika. Z V in V označimo glavni osi za (XI.4). Ti dve glavni 0 α osi kvadratne forme q imenujemo glavni osi krivulje (XI.4). Pišimo še [ ] x = v = P v. V koordinatah x in ima krivulja (XI.4) enačbo α x + α = f. Ker je r(a) =, sta α in α neničelna. Sedaj ločimo več možnosti: a) Če je f = 0, je enačba za (XI.4) enaka α x + α = 0. (XI.) - Če sta α in α oba pozitivna ali oba negativna, je edina rešitev enačbe (XI.) točka (0, 0). - Če sta α in α različnih predznakov, npr. α > 0 in α < 0, potem (XI.) lahko zapišemo v obliki (β x + β )(β x β ) = 0, (XI.6) kjer je β = α in β = α. Rešitev enačbe (XI.6) sta premici, ki se sekata v točki 0. b) Predpostavimo, da je f 0. Označimo γ = f α in γ = f α. Potem ima krivulja (XI.4) enačbo Ločimo tri možnosti. x γ + γ =. (XI.7)

. KRIVULJE DRUGEGA REDA 07 [ ] x (i) Če sta oba γ in γ negativna, potem nobena točka ne zadošča enačbi (XI.7). (ii) Če je eden od γ ali γ pozitiven in drugi negativen, potem je (XI.7) enačba hiperbole. (iii) Če sta oba γ in γ pozitivna, je (XI.7) enačba elipse. Števili γ in γ v (ii) oziroma (iii) imenujemo polosi hiperbole, oziroma elipse. Zgled. Narišimo krivuljo drugega reda z enačbo x 8x+ = 4. Kvadratni formi x 8x + pripada matrika [ ] 4 A =. 4 Ta ima karakteristični polinom p A (λ) = λ 0λ + 9 = (λ ([ 9)(λ ]) ). Lastni vrednosti sta α = in α = 9. Glavni osi sta L in ([ ]) L, oziroma premici z enačbama = x in = x. V koordinatnem sistemu [ ] [ x ] [x ] = ima krivulja enačbo oziroma x + 9 = 4, x 4 + 4 9 =. Krivulja je elipsa in njeni polosi sta in 3. x x

08 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME Primer II Predpostavimo, da je r(a) = in v 0 0. Ker je A obrnljiva matrika, obstaja tak vektor u 0, da je Au 0 = v 0. Potem lahko enačbo krivulje (XI.3) preoblikujemo v 0 = Av,v + v,au 0 + f = = Av,v + Av,u 0 + Au 0,v + 4 Au 0,u 0 4 Au 0,u 0 + f = = A(v + u 0),v + u 0 4 Au 0,u 0 + f. Če označimo v = v + u 0 in f = f 4 Au 0,u 0, potem ima krivulja enačbo Av,v + f = 0. Glede na premaknjeni koordinatni sistem, ima krivulja enačbo brez linearnega dela. Krivulje s tako enačbo pa smo že obravnavali v primeru I. Omenimo še, da glavni osi kvadratne forme Av,v imenujemo glavni osi krivulje (XI.3). Zgled. Katera krivulja drugega reda je podana z enačbo 0x 0x + 60x 0 = 0? Matrika, [ ki pripada ] kvadratni formi q(x,) = 0x 0x je 0 0 A =. Njena determinanta je deta = 0, zato je r(a) = 0 [ ] x. Poiščimo koordinatni sistem v =, v katerem ima krivulja enačbo [ ] 60 brez linearnega dela. Vektor v 0 za krivuljo je v 0 =. Potem je 0 [ ][ ] [ ] u 0 = A v 0 = 0 60 0 =. Novi koordinatni sistem je 0 0 0 4 [ ] [ ] v x x = = + [ ] [ ] x + =. 4 V tem koordinatnem sistemu ima krivulja enačbo Pri tem je 4 Au 0,u 0 = 30. 0x 0x 0 = 0. Karakteristični polinom za matriko A je p A (λ) = λ λ 0 = = (λ )(λ + 0). Lastni vrednosti sta α = in α = 0. Glavni

. KRIVULJE DRUGEGA REDA 09 ([ ]) ([ ]) osi sta V = L in V = L. To sta premici z enačbama = x in = x. V originalnih koordinatah sta to premici = x + 3 in = x + 4. V koordinatnem sistemu [ ] x = [ ] [x ] ima krivulja enačbo x 0 = 0 oziroma x 0 3 =. To je enačba hiperbole, katere polosi sta 0 3 in.

0 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME 4 3 4 3 x x 3 4 x 3 4 Primer III Predpostavimo, da je r(a) =. Potem je σ(a) = {0,α}, kjer je α 0. Naj bo A = PDP, kjer je P ortogonalna in D diagonalna matrika. Glede na koordinate [ ] [ ] v x = = P x ima krivulja enačbo α + γx + δ + ϕ = 0. Ker je α 0, to enačbo delimo z α in dobimo + γ α x + δ α + ϕ α = 0

. KRIVULJE DRUGEGA REDA in ( + δ ) + γ α α x + ϕ α δ 4α = 0. Označimo = + δ α, γ = γ α in ϕ = ϕ α δ. Enačba krivulje je 4α potem + γ x + ϕ = 0. Ločimo več možnih primerov. a) Denimo, da je γ = 0. - Potem v primeru, ko je ϕ > 0 nimamo nobene rešitve, - v primeru, ko je ϕ = 0, dobimo eno premico = 0 ter - v primeru ϕ < 0 dve vzporedni premici = ± ϕ. b) Če je γ 0, označimo x = x + ϕ γ. Potem ima krivulja enačbo To je enačba parabole. + γ x = 0. Zgled.3 Poiščimo, katero krivuljo predstavlja enačba x x + 4 x + 4 = 0. Kvadratna forma x x + ima matriko [ ] A =, ki ima karakteristični polinom p A (λ) = λ λ. Lastni vrednosti sta 0{ in [, ] rang [ A je]} enak. Ortonormirana baza iz lastnih vektorjev je, in novi spremenljivki sta [ ] x = [ x + x ]. Velja še [ ] x = [ x + x ]. Potem je enačba krivulje 4x 4 + 4 = 0, oziroma x + = 0. Vpeljemo še novi spremenljivki = in x = x in dobimo x = 0 oziroma x =.

POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME To je enačba parabole. x x x 3 Povzemimo: Pokazali smo, da so krivulje drugega reda elipsa, hiperbola in parabola - te imenujemo neizrojene krivulje drugega reda - ter prazna množica, točka, premica, par vzporednih in par sekajočih se premic. Te zadnje primere imenujemo izrojeni primeri krivulj drugega reda. 3 Ploskve drugega reda V R 3 je z enačbo ax + b + cz + dx + exz + fz + gx + h + iz + j = 0, (XI.8) kjer je vsaj eden od a,b, c, d, e, f neničeln, podana ploskev, ki jo imenujemo ploskev drugega reda. Kvadratna forma, ki pripada ploskvi z enačbo (XI.8), je ax + b + cz + a d e dx + exz + fz. Tej pripada matrika A = d b f. Linearen del e f c x zapišemo v obliki skalarnega produkta gx+h +iz = v,v 0, kjer je v = z g in v 0 = h. Enačbo (XI.8) lahko zapišemo v obliki i Av,v + v,v 0 + j = 0. (XI.9)

3. PLOSKVE DRUGEGA REDA 3 Podobna analiza, kot pri krivuljah, nas privede do vseh možnih ploskev drugega reda. Navedli bomo vse možnosti. Spet moramo ločiti več primerov. Primer I Naj bo r(a) = 3 in v 0 = 0. α 0 0 Naj bo A = PDP, kjer je P ortogonalna in D = 0 α 0 diagonalna 0 0 α 3 matrika. V koordinatah ima ploskev enačbo x v = = P v z α x + α + α 3 z = β. (XI.0) Po potrebi pomnožimo enačbo z, tako da je β 0. a) Privzemimo najprej, da je β > 0. Sedaj ločimo več možnosti glede na signaturo kvadratne forme α x + α + α 3 z. (XI.) - Če je signatura enaka (3, 0), potem je ploskev (XI.0) elipsoid. elipsoid - Če je signatura enaka (, ) je ploskev enodelni hiperboloid. - Če je signatura enaka (, ), je ploskev dvodelni hiperboloid.

4 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME enodelni hiperboloid dvodelni hiperboloid - V primeru, da je signatura enaka (0,3), nobena točka ne ustreza enačbi (XI.0). b) Obravnavajmo še primer β = 0. - - Če je signatura kvadratne forme (XI.) enaka (3,0) ali (0,3), dobimo samo točko (0, 0, 0). Če je signatura enaka (,) ali (,), dobimo (eliptični) stožec. eliptični stožec Primer II Naj bo rang r(a) = 3 in v 0 0. Označimo z u 0 vektor, za katerega je Au 0 = v 0. Potem z uvedbo novih spremenljivk v = v+ u 0 enačbo (XI.9) prevedemo na obliko brez linearnega dela. To pa smo že obravnavali v primeru I.

3. PLOSKVE DRUGEGA REDA Primer III Privzemimo, da r(a) =. Z uvedbo novih spremenljivk v = P v prevedemo enačbo (XI.9) v obliko α x + α + β x + β + β 3 z + γ = 0. Z uvedbo novih spremenljivk x = x + β α in = + β α gornjo enačbo prevedemo na obliko α x + α + βz + γ = 0. (XI.) Tu smo pisali β namesto β 3. Po potrebi lahko z množenjem z dosežemo, da je γ 0. Sedaj ločimo več primerov. a) Če je β 0, vpeljemo novo spremenljivko z = z + γ β. Ploskev ima potem enačbo α x + α + βz = 0. - Če je signatura kvadratne forme α x + α enaka (,0) ali (0,), dobimo eliptični paraboloid. eliptični paraboloid - Če je signatura enaka (,), pa dobimo hiperbolični paraboloid (ali sedlo). hiperbolični paraboloid

6 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME b) Če pa je β = 0 in γ < 0, potem imamo enačbo α x + α + γ = 0. (XI.3) - Če je signatura kvadratne forme α x + α enaka (,0), dobimo eliptični valj. - Če je signatura enaka (,), dobimo hiperbolični valj. eliptični valj hiperbolični valj - V primeru, da je signatura enaka (0,), nobena točka ne ustreza enačbi (XI.3). c) Zadnja možnost v tem primeru je β = γ = 0. Potem enačba α x + α = 0 predstavlja: - premico, če je signatura kvadratne forme α x + α enaka (,0) ali (0,). - dve ravnini, ki se sekata v premici, če je signatura enaka (,). Primer IV Obravnavati moramo še primer, ko je r(a) =. Z uvedbo novih spremenljivk v = P v prevedemo enačbo (XI.9) v obliko α x + β x + β + β 3 z + γ = 0. Z uvedbo nove spremenljivke x = x + β α dobimo α x + β + β 3 z + γ = 0. a) Če je β 0, potem uvedemo novo spremenljivko = + β 3 β z + γ β,

3. PLOSKVE DRUGEGA REDA 7 b) če pa je β = 0 in β 3 0, potem uvedemo novo spremenljivko = z + γ β 3. V obeh primerih dobimo enačbo To je enačba paraboličnega valja. α x + β = 0. parabolični valj c) Zadnja možnost, ki še ostane, je primer β = β 3 = 0. Tedaj je enačba oblike α x + γ = 0, oziroma x = γ α. - Če je γ α > 0, potem nimamo rešitve. - Če je γ = 0, je dobljena ploskev ravnina, - če pa je γ α < 0, dobimo par vzporednih ravnin. Za konec navedimo še vse možne vrste ploske drugega reda in za vsako enostaven zgled enačbe, ki ji ustreza. Tudi tu ločimo neizrojene in izrojene primere. Neizrojene ploskve drugega reda so: vrsta zgled enačbe elipsoid x + + z = enodelni hiperboloid x + z = dvodelni hiperboloid x z = stožec x + z = 0 eliptični paraboloid x + z = 0 hiperbolični paraboloid x z = 0 eliptični valj x + = hiperbolični valj x = parabolični valj x = 0

8 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME Izrojene ploskve drugega reda so: vrsta zgled enačbe točka x + + z = 0 premica x + = 0 dve ravnini x = 0 ravnina x = 0 par vzporednih ravnin x = prazna množica x =, x + =, x + + z = Zgled 3. Določimo, katero ploskev predstavlja enačba x + xz + z =. Simetrična matrika, ki pripada kvadratni formi q(x,, z) = x + xz + z, je 0 A = 0 0. 0 Njen karakteristični polinom je p A (λ) = λ 3 +λ +λ. Ker je p A ( ) > 0, p A ( ) < 0, p A (0) < 0, p A () > 0 in p A () < 0, ima p A (λ) eno negativno in dve pozitivni ničli. Signatura kvadratne forme q je (, ). Zato enačba predstavlja enodelni hiperboloid. Zgled 3. Določimo vrsto ploskve drugega reda, podane z enačbo x + 4 + z + 4x + x + 7z + 0 = 0. Kvadratna forma je x + 4 + z + 4x in ima simetrično matriko 0 A = 4 0. 0 0 Rang matrike A je. Ker je matrika bločno diagonalna, hitro dobimo njen karakteristični polinom: p A (λ) = (λ λ)( λ) = λ(λ )(λ ). Spekter matrike A je σ(a) = {0,,} in signatura kvadratne forme je (,0). Izračunajmo glavne osi. Za lastne vrednosti α = 0, β = ter γ = dobimo 0 0 4 0 A αλ = 4 0, A βλ = 0 in A γλ = 0. 0 0 0 0 0 0 0 3

3. PLOSKVE DRUGEGA REDA 9 Pripadajoči lastni vektorji so u = 0, u = 0 in u 3 =. 0 0 0 Glavne osi kvadratne forme Av,v so L, L 0 ter L. 0 0 0 Uvedemo v = P v, kjer je P = 0. Potem je 0 0 x v = 0 x = 0 0 x = z in z 0 z x + x v = = z 0 0 0 0 x z = x + z x + z V novem koordinatnem sistemu je enačba ploskve oblike ( + z + x + ) ( z x + ) z + 7 + 0 = ( + 7. + z + x + 7 + z + 0 = ) ( + z + ) z Če uvedemo = + 7 4 in z = z + 0, dobimo 49 8 00 + z + x + 0 = + z + x + 773 00 + x + 0 = 0. = 0. Če sedaj uvedemo še x = x + 773 400, dobimo enačbo eliptičnega paraboloida: + z + x = 0.