Lõplike elementide meetod

Andres Lahe Lõplike elementide meetod 0.8 0.6 0.4 0. 0 N3=0.5*(+x)*(+y) 4 3 Tallinn 008

Õpevahend on vormindatud tekstitöötlusprogrammiga LATEX (loe: lateh). Tekstitöötlusprogramm LATEX on programmi TEX (loe: teh) makropakett. TEX erineb kirjastuste ssteemidest VENTURA ja PageMaker selle poolest, et ta on public domain i produkt. LATEX-is kirjutatud teksti on võimalik töödelda msdos, UNIX (Linux) ja teistel arvutitel. LATEX disainib aruandeid, artikleid, raamatuid. Vastavad stiilifailid (*.sty failid) valivad pealkirjade suuruse, numeratsiooni, jooniste ja valemite paigutuse, aitavad koostada sisukorda, panevad indekseid, kirjandusviiteid jne.

Sisukord Sissejuhatus. Lõplike elementide meetodi koht........................ Rajatingimused................................ 4.3 Ligikaudsed lahendid............................. 7.3. Lähendfunktsioonid.......................... 8.3. Lähendi vea mõõdu valik....................... 8.3.3 Lähendamismeetod. Kaalutud hälvete meetod........... 9 Elastne vedrusüsteem 3. Elastse vedru jäikusmaatriks......................... 3. Konstruktsiooni jäikusmaatriks....................... 4.3 Elastse vedru võimalik töö.......................... 6.4 Võrrandisüsteemi lahendamine........................ 7 3 Varraskonstruktsioonid 3 3. Varda pikke jäikusmaatriks.......................... 3 3. Kohalik ja üldteljestik............................ 3 3.3 Jäikusmaatriks üldkoordinaatides...................... 34 3.4 Elemendis mõjuv pikkejõud......................... 37 3.5 Sõlmede nummerdamisest.......................... 4 3.6 Varda paine.................................. 4 3.6. Ülekandemaatriks paindel...................... 4 3.6. Varda painde jäikusmaatriks..................... 45 4 Interpoleerimine 47 4. Lagrange i interpolatsioon.......................... 47 4. Hermite i interpolatsioon........................... 5 4.3 Interpoleerimine tasapinnal......................... 54 4.3. Lagrange i interpolatsioon tasapinnal................ 54 4.3. Hermite i interpolatsioon tasapinnal................. 59 4.3.3 Kolmnurga pindalakoordinaadid................... 60 4.4 Interpoleerimine ruumis........................... 63 4.4. Lagrange i interpolatsioon ruumis.................. 63 4.4. Ruumalakoordinaadid........................ 64 3

4 SISUKORD 5 Numbriline integreerimine 67 5. Sissejuhatavad märkused ja määrangud................... 67 5. Newtoni-Cotes i valemid........................... 69 5.3 Gaussi valemid................................ 70 5.3. Gaussi valemid tasapinnal...................... 7 5.4 Valemid L i -koordinaatides.......................... 7 5.5 Gaussi-Radau skeem............................. 74 5.6 Kolmnurkse elemendi kaalud......................... 78 5.7 Näiteid numbrilisest integreerimisest.................... 80 6 Isoparameetriline element 85 6. Koordinaatide teisendus........................... 85 6. Konstantse tuletise kriteerium........................ 87 6.3 Elementide kujutised ja originaalid..................... 87 7 Elastsusteooria tasandülesanne 9 7. Siirded ja deformatsioonid.......................... 9 7. Deformatsiooni pidevuse tingimus...................... 9 7.3 Pinged kaldpinnal............................... 94 7.4 Tasakaaluvõrrandid.............................. 95 7.5 Elastsusseosed. Elastsuskonstandid..................... 96 7.6 Deformatsioonienergia............................ 98 7.7 Võimaliku töö printsiip............................ 03 7.8 Pingete arvutus................................ 06 7.9 Näiteid koormuste taandamisest....................... 07 8 Plaaditeooria 5 8. Üldosa..................................... 5 8.. Põhimõisted.............................. 5 8.. Plaatide paindeteooria hüpoteesid.................. 6 8. Õhukeste plaatide paindeteooriast...................... 6 8.. Plaadi sisejõud............................ 6 8.. Plaadi tasakaaluvõrrandid...................... 9 8..3 Plaadi deformatsioonid........................ 8..4 Plaadi elastsusseosed......................... 8..5 Plaadi diferentsiaalvõrrandid..................... 3 8..6 Momendid ja põikjõud plaadi suvalises ristlõikes.......... 3 8..7 Vektorarvutuste seoseid....................... 5 8..8 Plaadi rajatingimustest........................ 6 8..9 Virtuaalsiirete printsiip. Kõlblikud rajatingimused......... 8 8..0 Koondatud nihkejõud plaadi nurkades............... 30 8.3 Plaadi lõplikud elemendid.......................... 33 8.3. Täielikkuse ja kooskõlalisuse nõuded................ 36 8.3. Lihtsad mittekooskõlalised elemendid................ 37

SISUKORD 5 9 Lõplike elementide tarkvara 4 9. Arvutiprogrammide kasutamine....................... 4 9. Arvutiprogrammide täpsusest........................ 4 A Variatsiooniprintsiibid 43 A. Variatsioon ja selle omadused........................ 43 A. Euleri võrrand................................. 44 A.3 Variatsiooniprintsiibid............................ 45 B Koorikud 49 B. Koorikute diferentsiaalvõrrandid....................... 49 C GNU Üldine Avalik Litsents 55

6 SISUKORD

Joonised. Arvutusmehaanika koht............................ Varda fenomenoloogilise mudeli strukruuriskeem.............. 4.3 Ühtlane lähendamine............................. 8.4 Lõplike elementide meetodi koht........................ Vedru..................................... 3. Vedrusüsteem................................. 4.3 Sisejõu töö................................... 6.4 Võimalik töö................................. 6.5 Vedrusüsteemi arvutusskeem......................... 8 3. Varda element................................. 3 3. Vasaku ja parema käe teljestik........................ 3 3.3 Koordinaatide teisendus........................... 3 3.4 Märgikokkulepped.............................. 34 3.5 Varrassüsteemi arvutusskeem........................ 38 3.6 Sõlmede nummerdamine........................... 4 3.7 Võrrandisüsteemi kuju............................ 4 3.8 Painde diferentsiaalseosed.......................... 4 3.9 Varda tööseisundid.............................. 43 3.0 Tala kahel toel................................ 44 3. Algparameetrid................................ 44 4. Funktsiooni interpolatsioon......................... 47 4. Lineaarne interpolatsioon........................... 49 4.3 Ruutinterpolatsioon.............................. 50 4.4 Lineaarse interpolatsiooni sõlmed...................... 50 4.5 Ruutinterpolatsiooni sõlmed......................... 50 4.6 Kuupinterpolatsiooni sõlmed......................... 50 4.7 Hermite i interpolatsioon........................... 5 4.8 Hermite i interpolatsiooni sõlmed...................... 5 4.9 Hermite i interpolatsioonifunktsioonid.................... 53 4.0 Funktsiooni interpoleerimine tasapinnal................... 55 4. Lagrange i funktsioonid tasapinnal..................... 56 7

8 JOONISED 4. Sõlmpunktide koordinaadid......................... 57 4.3 Kujufunktsioon N 3.............................. 58 4.4 Kujufunktsioon N 5.............................. 58 4.5 Kujufunktsioon N 4, 8 sõlme......................... 58 4.6 Kujufunktsioon N 4, 9 sõlme......................... 58 4.7 Kujufunktsioon N 9.............................. 59 4.8 Hermite i interpolatsioon tasapinnal..................... 59 4.9 Kolmnurga pindalakoordinaadid....................... 60 4.0 6 sõlmpunktiga kolmnurkne element..................... 6 4. 0 sõlmpunktiga kolmnurkne element.................... 63 4. Lagrange i interpolatsioon ruumis...................... 63 4.3 Ruumalakoordinaadid............................ 64 5. Legendre i polünoomid............................ 69 5. Simpsoni valem................................ 70 5.3 Simpsoni 3 valem............................... 70 8 5.4 Gaussi kaks sõlme............................... 7 5.5 Gaussi kolm sõlme.............................. 7 5.6 L-koordinaat.................................. 73 5.7 Kolmnurga teisendus............................. 75 5.8 Tetraeedri teisendus............................. 75 5.9 Integreerimine pinnal............................. 76 5.0 Kolmnurkse elemendi kaalud......................... 79 5. Koormuse taandamine sõlmedesse...................... 8 6. Isoparameetriline teisendus.......................... 85 6. Nelinurkse elemendi kujutis ja originaal................... 88 6.3 sõlmpunktiga elemendi kujutis ja originaal............... 88 6.4 Kolmnurkse elemendi kujutis ja originaal.................. 88 6.5 Risttahukalise elemendi kujutis ja originaal................. 89 6.6 Tetraeedrilise elemendi kujutis ja originaal................. 89 7. Siirded ja deformatsioonid.......................... 9 7. Jäiga keha pööre............................... 93 7.3 Pingevektorid................................. 94 7.4 Pinged kaldpinnal............................... 94 7.5 Elemendi tasakaal............................... 96 7.6 Tasandülesanded............................... 96 7.7 Materjalide omadused............................ 97 7.8 Elemendi võimalik deformatsioonienergia.................. 98 7.9 Koormuse taandamine sõlme......................... 04 7.0 Lauskoormuse taandamine sõlme...................... 07 7. Omakaalu taandamine sõlme......................... 08 7. Bilineaarse elemendi jäikusmaatriks..................... 0

JOONISED 9 8. Plaat ja teljestik............................... 7 8. Pikijõudude intensiivsused.......................... 7 8.3 Põikjõud Q xz ja momendid M xx,m xy.................... 8 8.4 Põikjõud Q yz ja momendid M yx,m yy.................... 9 8.5 Plaadi tasakaaluvõrrandid.......................... 9 8.6 Plaadi tasandpingus............................. 8.7 Pingevektor plaadi serval........................... 4 8.8 Plaadi serv.................................. 7 8.9 Siire ja pööre plaadi serval.......................... 7 8.0 Plaadi nurgad................................. 3 8. Täiendav põikjõud plaadi nurkades..................... 3 8. Plaadi rajatingimusi............................. 35 8.3 C 0 -pidevus................................... 36 8.4 C -pidevus................................... 37 8.5 Lihtsaim plaadi element........................... 38 8.6 Kolmnurkne 6 vabadusastmega element................... 38 8.7 Nelinurkne vabadusastmega element................... 39 8.8 Nelinurkne mittekooskõlaline element.................... 39

0 JOONISED

Peatükk Sissejuhatus. Lõplike elementide meetodi koht Lõplike elementide meetod on üks arvutusmehaanika (joonis.) meetod. Arvutusmehaanika tegeleb mehaanika rakendusülesannete numbrilise lahendamisega arvuti abil. Ta hõlmab probleemikompleksi, mis on seotud arvutusmatemaatikaga ja arvuti kasuta- Omadus Objekt Meetod Arvutusmehaanika (meetodite järgi) MEHAANIKA Arvutusmatemaatika Informaatika Geomeetriline Omadus Füüsikaline Hüdromehaanika Tahke deformeeruva keha mehaanika Aero ja gaasimehaanika Geomeetriliste omaduste järgi Füüsikaliste omaduste järgi Vardamehaanika Varrassüsteemi mehaanika Plaadi ja koorikumehaanika Massiivimehaanika Elastsusteooria Viskoelastsusteooria Termoelastsusteooria Plastsusteooria Masspunkti mehaanika Masspunktide süsteemi mehaanika Jäiga keha mehaanika Joonis.. Arvutusmehaanika koht misega (programmvarustuse ja programmipakettide koostamisega tüüpülesannete jaoks jms). Arvutustehnika ja informaatika kiire areng kiirendas ka arvutusmeetodite loomist.

PEATÜKK. SISSEJUHATUS Meetodite üldistamine ja areng avardab tahkete kehade liikumise uurimise võimalusi. Suuri üldistusi on tehtud lõplike elementide meetodis (LEM) ja rajaelementide meetodis (REM). Meetodid kasutavad töö ja energia mõisteid (J. Argyris. Energiateoreemid 3). Neid võib nimetada energeetilisteks meetoditeks. Energia mõiste üldsusest tuleneb ka nende meetodite üldsus. Neid on üldistatud arvutusmatemaatikas, kus töö (jõu ja teepikkuse korrutis) mõiste asemel esineb kahe funktsiooni korrutis ja räägitakse kaalutud hälvetest või projektsioonidest. Füüsikas vaadeldakse tööd W kui jõu F ja teepikkuse u skalaarset korrutist W = F u (.) Vardamehaanikas vaadeldakse sisejõudude tööd W s kui integraali pikijõu N (x) ja prinkuse λ (x) korrutist l W s = N (x) λ (x) dx (.) 0 Avaldise (.) puhul räägivad matemaatikud funktsioonide skalaarkorrutisest Hilberti ruumis. Funktsioonide q (x), v (x) skalaarkorrutist tähistatakse järgmiselt: < q (x) v (x) >= l 0 q (x) v (x) dx (.3) Avaldist (.3) võib vaadelda kui välisjõudude q x (x) tööd W v. Kogu välisjõudude töö W v varda pikkel W v = l 0 q x (x) dx + F xi v xi (.4) Toeraktsioonide ja kontaktjõudude N x tööd nimetatakse ka rajajõudude tööks W r W r = N x v l 0 (.5) kus v l 0 on rajasiireded. Kogu töö W on tööde W v, W r, W s summa W = W v + W r + W s = 0 (.6) mis võrdub nulliga. Avaldis (.6) väljendab energiateoreemi W = F xi v i + l 0 q x (x) vdx + N l x v l 0 N x λdx = 0 (.7) 0 pikkel. Joonisel. on varda fenomenoloogilise 3 mudeli 4 struktuuriskeem, mis näitab tööde seoseid. Analoogilisi struktuuriskeeme on võimalik koostada tabeli. põhjal. Mitmesuguste teooriate olekuvõrrandid on tabelis., 0,, 6.

.. LÕPLIKE ELEMENTIDE MEETODI KOHT 3 Tabel.. Fenomenoloogilised mudelid Teooria Liikumisvõrrandid Olekuvõrrandid Kinemaatika Elastse varda pike Bernoulli tala teooria Saint- Venant i elastse varda vääne Analüütiline mehaanika Elastsusteooria dn x dx = q x N x = EAλ x λ x = du x dx d M y = q dx z M y = EIψ y ψ y = d w z dx ( ) div +θ = 0 G Φ n i= X i q k dp i dt = Q k P i = σ xz = Gγ xz σ yz = Gγ yz σ xz = Φ σ yz = Φ x 3n j= m ij V j γ xz = ϕ z (y y 0) + γ yz = V j def = + u z x ϕ z (x x 0) + n k= + u z X j dq k q k dt σ ij = X i x σ ij = C jikl ɛ kl ɛ kl def = ( ui + u ) j j x j x i Darcy vedelikuvool Fourier soojavool Ohmi elektrivool Ficki difusioon divq = Q q = Dv v v v def = Φ divq = Q q = Dp s p s def = T divq = Q q = Di e i e def = V divq = Q q = Dp d p d def = c John Argyris, TTÜ audoktor, 94. David Hilbert, saksa matemaatik, 86 943. 3 Fenomen (< kr phainomenon nähtavale ilmuv ) meeltega tajutav juhtum, olukord või fakt. 4 Mudel süsteemi, teooria või fenomeni kirjeldus, mis arvestab selle tuntuid omadusi ja mida võib kasutada tema omaduste uurimiseks.

4 PEATÜKK. SISSEJUHATUS Välisjõud Välisjõudude töö S = F, q z, q x, m y W v = S V Välissiirded V = u, w, ϕ y dn dx Tasakaaluvõrrandid dq dmy = qx, = qx, dx dx = Qz Rajajõud ja rajasiirded?? Sisejõud ja rajajõud?? Sise- ja rajasiirded?? Sise- ja rajajõudude töö Siirete pidevusvõrrandid λ = du dw dϕy, βz =, ψy = dx dx dx Rajajõud Rajajõudude töö N, Q z, My W r = N u + Q z w + M y ϕ y Rajasiirded u, w, ϕ y Sisejõud N, Q z, M y Sisejõudude töö W s = ( Nλ + Q zβ z + M y ψ y Seosed sisejõudude ja siirete vahel ) dx Sisesiirded? Λ, B z, Ψ y MR95 λ = dλ dbz dψy, βz =, ψy = dx dx dx Joonis.. Varda fenomenoloogilise mudeli strukruuriskeem Deformatsiooni potentsiaalne energia pikkel Π s ehk deformatsioonienergia U on Π s = U = W s = l 0 N x λdx (.8) Deformatsioonienergia U on positiivne ja sisejõudude töö W s negatiivne. Kõik konstruktsioonid (ehitised, masinad, aparaadid, sõidukid jne) koosnevad elementidest, mida on võimalik liigitada järgmiselt: vardad, plaadid, koorikud. Nende tüüpiliste konstruktsioonielementide piisava tugevuse, jäikuse, stabiilsuse ja ökonoomsuse tagamiseks tuleb teha arvutused. Ka arvutused peavad olema ökonoomsed. Selleks tehakse üldteooriates lihtsustusi. Lõplike elementide meetodi õpikutest soovitame Zienkiewiczi 6, 5, Gallagheri 0, Ottoseni 6, Huges i, Bathe i 4, Beckeri 5 õpikut.. Rajatingimused Rajatingimuste selgitamiseks vaatleme tala elastse joone diferentsiaalvõrrandit piirkonnas 0 x l d dx EI y d w dx = q z (x) (.9)

.. RAJATINGIMUSED 5 Edespidi võtame lihtsuse mõttes EI = const. Sümboolselt võime võrrandi (.9) kirjutada järgmisel kujul: siin L (w) = b piirkonnas Ω (.0) L EI d4 b q dx 4 z (x) (.) Korrutame võrrandit (.9) siirdega ŵ ja integreerime üle varda l ( l d d 0 dx dx EI d ) w l y ŵdx = q z (x) ŵdx (.) dx 0 Võrrandi (.) parempoolne liige väljendab väliskoormuse tööd W v siirdel ŵ. Koondkoormuse F zi töö varda telje punkti i siirdel ŵ i on F zi ŵ i. Seega järgi. W v = l 0 q z (x) ŵdx + F zi ŵ i (.3) Võrrandi (.) vasakpoolset avaldist integreerime ositi valemi (.4) l l 0 0 udv = uv l 0 l ( d d }{{} ŵ dx dx EI d ) w y ŵ l 0 + dx u }{{} l + 0 ( d dx Q z 0 d ) w EI y dx }{{} M y Avaldise (.5) viimast liiget integreerime veel üks kord ( l dŵ d d ) ( w d ) w dŵ EI y dx = EI y 0 }{{} dx dx dx dx }{{}}{{} dx u } {{ } dv l 0 vdu (.4) dŵ dx (.5) }{{} dx hatϕ y M y ( hatϕ y l 0 d ) w d ŵ EI y dx (.6) dx dx }{{}}{{} M y ˆψ y Arvestades avaldisi (.5) ja (.), saab võttandi (.6) esitada võimalike tööde (passiivtööde) summana l Q z ŵ + M y ˆϕ y l 0 M y ˆψy dx = }{{} 0 }{{} W r (p) W s (p) l 0 q z (x) ŵdx F zi ŵ i } {{ } W v (p) (.7)

6 PEATÜKK. SISSEJUHATUS kus ŵ δw vaatleme kui virtuaalsiiret. Sisejõudude võimalik töö paindel δw (p) s on δw (p) s välisjõudude võimalik töö paindel δw (p) v rajajõudude võimalik töö paindel δw (p) r l = M y δψ y dx (.8) 0 l δw v (p) = 0 q z (p) δwdx + F zi δw i (.9) δw (p) r = Q z δw + M y δϕ y l 0 (.0) Paindel tööde vastastikkuse teoreemi tõestamiseks jätkame avaldise (.6) teise liikme ositi integreerimist ( l 0 d ) w EI y dx }{{} M y d ŵ dx }{{} ˆ dϕ yy dx = dw dx }{{} ϕ y ( d ) ŵ EI y dx }{{} ˆM y ( d 3 ) ( ŵ = }{{} w EI y l d ) w d ŵ dx 3 0 EI y dx w }{{}}{{}} dx {{ } M y ˆψ y ˆQ z l l 0 + 0 ( l l 0 0 ( d d 3 ) ŵ EI y dx dx 3 }{{} ˆQ z d 4 ) ŵ EI y dx 4 }{{} ˆp z }{{} w w dw dx }{{} dw dx = dx (.) Saadud seosed (.) asetame avaldisse (.7), kust saame tööde vastastikkuse teoreemi paindel l Q z ŵ + M y ˆϕ y l 0 + q z (x) ŵdx + F zi ŵ i }{{} 0 }{{} Wr I ˆQz w + ˆM y ϕ y l 0 }{{} Wr II l + 0 W I v = ˆq z (x) wdx + ˆF zi w i } {{ } Wv II (.) Avaldise (.) liikmed Q z ŵ + M y ˆϕ y l 0 ˆQz w + ˆM y ϕ y l 0 (.3) on rajatingimused, kus w ja ϕ on olulised ehk kinemaatilised rajatingimused, Q z ja M y loomulikud ehk staatilised rajatingimused. Saadud seos (.) väljendab tööde vastastikkuse teoreemi (E. Betti 5 ):esimese koormusolukorra (I) välisjõudude (sisejõudude) töö teise koormusolukorra (II) jõudude 5 Enrico Betti, itaalia ehitusinsener, 83 89.

.3. LIGIKAUDSED LAHENDID 7 poolt põhjuststud siiretel on võrdne teise koormusolukorra välisjõudude (sisejõudude) võimaliku tööga esimese koormusolukorra jõudude poolt põhjustatud siiretel. Avaldise (.) võib kirjutada sümboolsel kujul kus L (w) ŵdω = wl (ŵ) dω + Ω Ω + O (ŵ) S (w) S (ŵ) O (w)dγ (.4) Γ Γ piirkonna Ω väline rada, L operaatori L kaasoperaator L = L, O oluliste ehk kinemaatiliste rajatingimuste operaator, S loomulike ehk staatiliste rajatingimuste operaator..3 Ligikaudsed lahendid Vaatleme diferentsiaalvõrrandit kus u 0 on diferentsiaalvõrrandi täpne lahend. Selle võrrandi rajatingimused on L (u 0 ) = b piirkonnas Ω (.5) O (u 0 ) = O 0 rajal Γ (.6) S (u 0 ) = S 0 rajal Γ (.7) Olgu u (x) lähedane funktsiooniga u 0 (x) (.8) Funktsioonide lähendamise (aproksimeerimise 6 ) ülesanded: lähendfunktsiooni valik mõõdu valik, millega hinnatakse funktsiooni lähedust lähendamismeetodi valik lähendamisvea hindamine 6 Aproksimeerimine objekti asendamine mingi teise temast vähe erineva objektiga.

8 PEATÜKK. SISSEJUHATUS.3. Lähendfunktsioonid Lähendfunktsiooniks võib valida algebralise või trigonomeetrilise funktsiooni üldiststud polünoomi u (x) = α k ϕ k (x) + α 0. (k =,,..., n) (.9) kus α k sõltumatud parameetrid, ϕ k (x) lineaarselt sõltumatus funktsioonid, s.t tingimus α ϕ (x) + α ϕ (x) +... + α n ϕ n (x) = 0 (.30) on täidetus siis, kui kõik parameetrid α i = 0 ratsionaalse murru p (x) q (x) splaini S (x).3. Lähendi vea mõõdu valik Tähistame lähendi vea mõõdu järgmiselt: Vaatleme järgmiste lähendite vea mõõte: µ (u 0, u) u µ( u o, u ) ühtlane lähendamine, ühtlase lähendamise puhul on vea mõõduks täpse lahendi u 0 ja lähedase funkt- u o (x) u (x) x a b siooni u suurim erinevus (joonis.3) Joonis.3. Ühtlane lähendamine µ (u 0, u) = sup Ω µ o (x) µ (x) (.3)

.3. LIGIKAUDSED LAHENDID 9 astmekeskmisel lähendamisel on vea mõõt järgmine: µ (u 0, u) = kus p = keskmine lähendamine, p = ruutkeskmine lähendamine, kaalutud lähendamisel µ (u 0, u) = kus ϱ (x) on kaalufunktsioon. Ω Ω µ o (x) µ (x) p dx, p > 0 (.3) µ o (x) µ (x) p ϱ (x) dx, p > 0 (.33) Kaalufunktsiooni kasutamise näitena vaatleme paindemomendi M 0 täpset avaldist ja paindemomendi M lähedast avaldist. Nende kahe funktsiooni läheduse hindamiseks võtame kaalufunktsiooniks paindeprinkuse ϱ (x) = ψ (x). Vea mõõduks on siis painde deformatsioonienergia erinevused..3.3 Lähendamismeetod. Kaalutud hälvete meetod Olgu u 0 differentsiaalvõrrandi täpne lahend. Selle võrrandi rajatingimused on L (u 0 ) = b piirkonnas Ω (.34) O (u 0 ) = O o rajalõigul Γ (.35) kus S (u 0 ) = S o rajalõigul Γ (.36) Valime lähendfunktsiooniks u (x) üldistatud polünoomi siin α i sõltumatud parameetrid, ϕ i (x) lineaarselt sõltumatud funktsioonid. Γ = Γ + Γ (.37) u (x) = α i ϕ i (x), (i =,,..., N) (.38)

0 PEATÜKK. SISSEJUHATUS Asetame lähendfunktsiooni u (x) diferentsiaalvõrrandisse (.34) ja rajatingimustesse (.35), (.36) L (u) b = R (.39) O (u) O o = R (.40) siin R differentsiaalvõrrandi lahendi hälve, R kinemaatiliste rajatingimuste hälve, R staatiliste rajatingimuste hälve. Valime kaalufunktsiooni S (u) S o = R (.4) v (x) = β i ψ i (x) (i =,,..., N) (.4) Korrutame avaldised (.39), (.40), (.4) kaalufunktsiooniga (.4), integreerime üle piirkonna Ω ja nõudes, et Ω (L (u) b) v (x) dω = Ω Rv (x) dω = 0 (.43) (O (u) O o ) v (x) dγ = Γ R v (x) dγ = 0 Γ (.44) (S (u) S o ) v (x) dγ = Γ R v (x) dγ = 0 Γ (.45) Sõltuvalt lähendfunktsiooni u (x) = α i ϕ i (x) valikust eristatakse järgmisi formuleeringuid: R = 0, R = 0 lähteformuleering R = 0 nõrkformuleering R = 0 pöördformuleering Sõltuvalt sellest, kas baasfunktsioonid ϕ i (x), ψ i (x) on valitud ühesugused või erinevad klassifitseeritakse lahendusmeetodeid (joonis.4)

.3. LIGIKAUDSED LAHENDID Baasfunktsioonid u ja v jaoks on ühesugused Baasfunktsioonid u ja v jaoks on erinevad Lähteformuleering Galjorkini meetod Võrgumeetod Kollakatsioonimeetod Nõrkformuleering Lõplike elementide meetod Üldistatud nõrga formuleerin guga kaalutud hälvete meetod Pöördformuleering Treffzi meetod Rajaelementide meetod Joonis.4. Lõplike elementide meetodi koht

PEATÜKK. SISSEJUHATUS

Peatükk Elastne vedrusüsteem. Elastse vedru jäikusmaatriks Vaatleme elastse vedru (joonis.) tasakaalu. Vedru otste siirded on u ja u. Vedrule mõjuvad jõud F () ja F (). Vedru jäikus on c (). Vedru otstes mõjuvate jõudude ja siirete () c F (), u u F (), Joonis.. Vedru vahel on järgmine seos (.): F () F () = k k k k u u (.) Kinnitame vedru sõlmpunktis nii, et u = 0. Võrrandist (.) saab järgmise seose (.: Tasakaalutingimusest saame F () = k u = c () u (.) F () = F () = c () u, k = c () (.3) Kinnitame vedru sõlmpunktis nii, et u = 0. Võrrandist (.) saab järgneb seos (.4: Tasakaalutingimusest saame F () = k u = c () u (.4) F () = F () = c () u, k = c () (.5) 3

4 PEATÜKK. ELASTNE VEDRUSÜSTEEM Nüüd võib avaldise (.) kirjutada kujule (.6) c () c () u c () c () = u F () F () Tasakaaluvõrrandi (.6) vasakul pool on vedru jäikusmaatriks. (.6). Konstruktsiooni jäikusmaatriks Vaatleme kahest vedrust (joonis. a)) koosnevat süsteemi, mis on koormatud kolme jõuga F, F, F 3 sõlmpunktides,, 3, c (). Eraldame sõlmed ja vedrud (joonis a) () () c c 3 F, u F, u F 3, u 3 b) () () c () c F, u F () () (), u F, u F, u 3 3 F, u F, u F 3, u 3 Joonis.. Vedrusüsteem. b)). Koostame sõlmede kohta tasakaalutingimused F = F () F = F () + F () (.7) F 3 = F () Vedru otste siirete ja otstes mõjuvate jõudude vahelised seosed võib kirjutada maatrikskujul () F c () c F () = () u c () c () (.8) u F () F () = c () c () c () c () u u 3 (.9) Seose (.8) ja (.9) paremal pool asetsevaid maatrikseid nimetatakse vedru jäikusmaatriksiks. Asetades seoed (.8) ja (.9) võrrandisüsteemi (.7), saame F F F 3 = c () c () 0 c () c () + c () c () 0 c () c () u u u 3 (.0)

.. KONSTRUKTSIOONI JÄIKUSMAATRIKS 5 Võrrandisüsteemi (.0) üldkuju F F F 3 = k k k 3 k k k 3 k 3 k 3 k 33 u u u 3 (.) Võrrandisüsteemi (.) paremal pool asetsevat maatriksit nimetatakse konstruktsiooni jäikusmaatriksiks.. Vaatleme võrrandisüsteemi (.) koostamiseks vajalikke tabeleid. Esmalt kirjeldame vedrusüsteemi elementide asetust (tabel.). Seejärel koostame Tabel.. Vedrusüsteemi topoloogia Vedru nr Algus Lõpp () () 3 elementide indekstabelid (tabel.), mis annavad üldise jäikusmaatriksi aadressid (tabel.3). Indekstabelite alusel kantakse elementide jäikusmaatriksid konstruktsiooni Tabel.. Elementide indekstabelid Element nr Sõlm Element nr Sõlm 3 3 3 3 33 Tabel.3. Konstruktsiooni jäikusmaatriksi aadressid Sõlm nr 3 3 3 3 3 3 33 jäikusmaatriksisse F F F 3 = k () k () 0 k () k () + k () k () 3 0 k () 3 k () 33 u u u 3 (.)

6 PEATÜKK. ELASTNE VEDRUSÜSTEEM.3 Elastse vedru võimalik töö Vaatleme elastse vedru sisejõudude tööd. Vedru otsa ristlõikes Ω mõjuvad jõud F + ja F (joonis.3), mis on võrdsed ja vastupidi suunatud. Olgu välispind pinnanormaaliga n + ja sisepind pinnanormaaliga n. Siis on välispinnal mõjuv jõud F + rajajõud ja n F F + n + u Ω Joonis.3. Sisejõu töö sisepinnal mõjuv jõud F sisejõud. Ristlõike ciiret tähistab u. Rajajõu F + töö W r siirdel u on Sisejõu F töö W s siirdel u on W r = F + u (.3) W s = F u (.4) Eristatakse aktiivtööd W (a) ja pasiivtööd W (p). Aktiivtöö jõud teevad tööd nende endi põhjustatud siiretel (joonis.4 a). Pasiivtöö puhul on jõudude töö võimalikel siiretel (neid siirdeid ei kutsu esile vaadeldavad jõud)(joonis.4 b). a) F 0000 0 000000 000000000 00000000000 00000000000000 W (a) 0000000000000000 b) F 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 δ W 000000000000000000 000000000000000000 = u u Joonis.4. Võimalik töö Oldu vedru otste siirded u, u ja vedru pikenemine Võimalik sisejõudude töö δw W (p) on = u u (.5) δw s = F (δ ) = F (δu δu ) (.6) Arvestades jõu F ja vdru pikenemise vahelist seost F = c = c (u u ) (.7)

.4. VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDAMINE 7 saame δw s = c (u u ) (δ ) = δu (cδu cδu ) + δu (cδu cδu ) (.8) Avaldise (.8) võib kirjutada maatrikskujul δw s = c c δu δu c c u u (.9) Võimalik välisjõudude töö δw v on δw v = δu δu F F (.0) Energia teoreemi põhjal on välisjõudude töö W v ja sisejõudude töö W s summa null δw v + δw s = 0 (.) Arvestades välisjõudude võimalikku tööd (.0) ja sisejõudude võimalikku tööd (.9), saame F δu δu = c c u δu F δu (.) c c u Avaldise (.) võib esitada ka lühemalt indekskujul δu i F i = δu i k ij u j (i, j =, ) (.3) siin k ij on jäikusmaatriksi k elemendid c c k = c c (.4) Jättes ära võrrandisüsteemis (.) δu ja δu, saame tasakaaluvõrrandi F c c u = c c F u (.5) või indekskujul F i = k ij u j (i, j =, ) (.6).4 Võrrandisüsteemi lahendamine Vaatleme võrrandisüsteemi (.7) lahendamist c () c () 0 c () c () + c () c () 0 c () c () u u u 3 = F F F 3 (.7)

8 PEATÜKK. ELASTNE VEDRUSÜSTEEM mille maatrikskuju on Võrrandisüsteemi (.7) determinant Ku = F (.8) detk = 0 (.9) Determinandi null on tingitud sellest, et vedrusüsteemil (joonis.) ei ole kirjeldatud rajatingimusi. Kinnitame vedrusüsteemi sõlmpunktis (u = 0), siis võrrandisüsteemi c (). c () 0......... c (). c () + c () c () 0 c (). c () u = 0... u u 3 = F... F F 3 (.30) Tundmatuteks on u, u 3 ja F. Leiame esmalt u ja u 3 võrrandisüsteemi (.30) kahest viimasest võrrandist c () + c () c () u F c () c () = (.3) Võrrandisüsteemi (.30) esimesest võrrandist (.3) c () 0 u = F u 3 arvutame tundmatu F leitud u ja u 3 abil. u 3 F 3 (.3) Näide. Leida joonisel.5 näidatud vedrusüsteemi toereaktsioonid F, F ja sõlmpunktide, 3 siirded u, u 3. Vedrusüsteem on koormatud jõududega F = 5 kn ja F 3 = 5 kn. Vedrude jäikused on c () = 3 MN/m ja c () =.5 MN/m ja c (3) = MN/m. () () c = 3 MN/m c =.5 MN/m c (3) = MN/m 000 00 000 3 4 00 000 00 000 00 000 00 F =? F = 5 kn F 3 = 5 kn F 4 =? u = 0 =? u u =? u 4 = 0 3 Joonis.5. Vedrusüsteemi arvutusskeem Vedrusüsteemi taskaaluvõrrand on K. K K 3. K 4............ K. K K 3. K 4 K 3. K 3 K 33. K 34............ K 4. K 4 K 43. K 44 u = 0... u u 3... u 4 = 0 = F... F F 3... F 4 (.33)

.4. VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDAMINE 9 Jäikusmaatriksi (.33) koostamiseks kirjeldame süsteemi topoloogiat (tabel.4). Koostame Tabel.4. Süsteemi topoloogia Vedru nr Algus Lõpp () () 3 (3) 3 4 elementide indekstabelid (tabel.5) ja elementidede jäikusmaatriksid (tabel.6) Tabelist.5 Element nr Sõlm Tabel.5. Vedrude indekstabelid Element nr Sõlm 3 3 3 3 33 Element nr 3 Sõlm 3 4 3 33 34 4 43 44 Tabel.6. Vedrude jäikusmaatriksid Element nr Sõlm 3.0-3.0-3.0 3.0 Element nr Sõlm 3.5 -.5 3 -.5.5 Element nr 3 Sõlm 3 4 3.0 -.0 4 -.0.0 näeme, millistele aadressidele tuleb kanda elementide jäikusmaatriksi elemendid (tabel.6). Konstruktsiooni jäikusmaatriksi elemendid on K = k () K = k () K 3 = 0 = 3.0 MN/m = 3.0 MN/m K 4 = 0 K = k () + k() = 3.0 +.5 = 4.5 MN/m K 3 = k () =.5 MN/m (.34) K 4 = 0 K 33 = k () + k(3) =.5 +.0 = 3.5 MN/m K 34 = k (3) =.0 MN/m K 44 = k (3) = 3.0 MN/m Jäikusmaatriks K on sümmeetriline (K ij = K ji. Esmalt koostame tasakaaluvõrrandisüsteemi (.33) teise ja kolmanda võrrandi K K 3 u F = K 3 K 33 u 3 F 3 (.35)

30 PEATÜKK. ELASTNE VEDRUSÜSTEEM Võrrandisüsteemi (.35) arvuline kuju 4.5.5.5 3.5 u u 3 5 0 3 = 5 0 3 (.36) Võrrandisüsteemi (.36) determinant Võrrandisüsteemi (.35) lahendiks saame detk = 3.5 MN /m (.37) u = K F (.38) kus K on maatriksi K (.35) pöördmaatriks K = K33 K 3 detk K 3 K = 3.5.5 3.5.5 4.5 (.39) Võrrandisüsteemi(.36) lahendiks saame u u 3 = 3.5.5 3.5.5 4.5 5 0 3 5 0 3 6.666... 0 3 =.0 0 m (.40) Tasakaaluvõrrandisüsteemi (.33) esimesest ja neljandast võrrandist saame = 3. 0.0 0.0.0 Kontrollime vedrusüsteemi tasakaalu F K K = 3 u = F 4 K 4 K 43 u 3 6.666... 0 3 0.0.0 0 = kn (.4) 0.0 F + F + F 3 + F 4 = 0.0 + 5.0 + 5.0 0.0 = 0 (.4)

Peatükk 3 Varraskonstruktsioonid 3. Varda pikke jäikusmaatriks Vaatleme varda elementi (joonis 3.) pillusega l ja jäikusega c () = EA l Varda teljega c () = EA/l x F () u, u l, F () z Joonis 3.. Varda element seome kohalikud koordinaadid x ja z. Kohalikes koordinaatides varda jäikusmaatriksi ja tasakaaluvõrrandi saame sarnaselt vedru tasakaaluvõrrandile (.6) Varda tasakaaluvõrrand on ehk maatrikskujul EA l u u = F () F () (3.) Ku = F (3.) kus varda jäikusmaatriks K K = EA l (3.3) 3. Kohalik ja üldteljestik Varraskonstruktsiooni iga vardaga seostatakse teljestik nii, et x-telg ühtib varda teljega (vt joonis 3.4, teljed x ja z ). Nimetame neid kohalikeks teljestikeks. Konstruktsiooni 3

3 PEATÜKK 3. VARRASKONSTRUKTSIOONID varraste asukoha ja nende suuna kirjeldamiseks kasutame üldteljestikku (teljed x ja z). Kasutame ainult parema käe teljestikku (joonis 3.). Vaadates telje positiivsest otsast, loeme pööret positiivseks z-teljest x-telje suunas, x-teljest y-telje suunas ja y-teljest z-telje suunas. Joonisel 3. on näidatud nii parema käe kui ka vasaku käe teljestik. Tasapinnaliste konstruktsioonide kirjeldamisel vaatame y-telje positiivsest otsast, nii näeme x- ja z-telge. Positiivne pöördenurk on z-teljest x-telje suunas. Parema käe teljestiku puhul on positiivne pööre vastupäeva. Vasaku käe teljestiku korral on positiivne pööre päripäeva. Siirete ja jõuvektorite kirjeldamiseks kohalikes ja üldkoordinaatides on vajalikud koordinaatide teisendused. Joonis 3.. Vasaku ja parema käe teljestik Joonisel 3. on näidatud positiivse pöördenurga suund. Vaadates telje positiivsest otsast, loeme pööret positiivseks z-teljest x-telje suunas, x-teljest y-telje suunas ja y-teljest z-telje suunas. Siirete ja jõuvektorite kirjeldamiseks kohalikes ja üldkoordinaatides tuleb koordinaat teisendada. Koordinaatide teisendusvalemite tuletamiseks vaatleme joonist 3.3. Olgu koordinaadid xyz üldkoordinaadid ja x y z kohalikud koordinaadid. Vaatleme veel parema käe kolmikuid i, j, k ja i, j, k. Need on ühikvektorite kolmikud, mis määravad ära koordinaattelgede suunad. Joonisel 3.3 on ühikvektorid j ja j suunatud vaataja poole. Vektori k β k* α zz* α i* α i F β α xx α xz* x* cos α xx = cosα x cos α xz* = cosβ α zx* cos α zx* = cos β z z* cos α zz* = cos α Joonis 3.3. Koordinaatide teisendus F projektsioonid telgedele xz on F x, F z ja telgedele x x on Fx, Fz. Seega F = F x i + F z k = Fx i + Fz k, i k, i k (3.4)

3.. KOHALIK JA ÜLDTELJESTIK 33 Korrutame avaldise (3.4) vektoriga i ja vektoriga k. Võtame arvesse, et risti olevate vektorite skalaarkorrutis (sisekorrutis) on null. Saame F i = Fx = F x i i + F z k i F k = Fz = F x i k + F z k k (3.5) Pöördseoste leidmiseks korrutame avaldist (3.4) vektoriga i ja vektoriga k. Pöördseosed on F i = F x = Fx i i + Fz k i F k = Fz = Fx i k + Fz k k (3.6) Ühikvektorite skalaarkorrutis võrdub nende positiivsete suundade vahelise nurga koosinusega i i = i i = cos α xx, k k = k k = cos α zz, i k = cos α xz i k = cos α zx (3.7) Telje x suunakoosinused tähistame järgmiselt: cos α xx = cos α ja cos α zx = cos β (cos β = cos (90 o + α) = sin α). Jooniselt 3.3 näeme, et cos α xx = cos α, cos α zx = cos β cos α zz = cos α, cos α xz = cos β (3.8) Varda lõpu ja alguse koordinaatide (joonis 3.4) x L, z L, x A, z A järgi saab need suunakoosinused arvutada cos α = x L x A l (3.9) kus l on varda pikkus l = cos β = z L z A l (3.0) (z L z A ) + (x L x A ) (3.) Nüüd avaldame koordinaatteisendused järgmiselt: F x Fz cos α cos β = cos β cos α Fx F z (3.) Fx F z cos α cos β = cos β cos α F x F z (3.3)

34 PEATÜKK 3. VARRASKONSTRUKTSIOONID Võrreldes avaldistes (3.) ja (3.3) koordinaatide teisendusmaatrikseid, näeme, et nendes on read ja veerud ära vahetatud, s.t ühe saab teisest transponeerimisel. Asendades võrrandis (3.) F x ja F z nende avaldistega võrrandis (3.3), saame maatrikskorrutise cos α cos β cos α cos β 0 = (3.4) cos β cos α cos β cos α 0 Siin annab maatriksi korrutamine tema transponeeritud kujuga ühikmaatriksi. Selliseid maatrikseid nimetatakse ortogonaalseteks maatriksiteks. Nendel on hea omadus, et pöördmaatriks võrdub tema transponeeritud kujuga (mõlemal juhul on korrutiseks ühikmaatriks). 3.3 Jäikusmaatriks üldkoordinaatides Rajajõudude (kontaktjõudude) positiivse suuna määramisel on kasutusel kaks märgikokkulepet (joonis 3.4, kus on kasutusel parema käe teljestik, vt joonis 3.). Esimene M L a) b) x* x* M L N A α Q L N L x M A Q A α Q L N L x Q A N A M A II märgikokkulepe I märgikokkulepe z z* z z* Joonis 3.4. Märgikokkulepped märgikokkulepe (joonis 3.4 b) on tuttav tehnilisest mehaanikast. Teine märgikokkulepe (joonis 3.4 a) on vajalik varrassüsteemide tasakaaluvõrrandite algoritmide koostamiseks. Võrreldes I märgikokkulepet II märgikokkuleppega, näeme, et varda lõpus olevad rajajõudude (kontaktjõudude) suunad langevad kokku. Varda alguses on rajajõudude suunad vastasmärgilised. Sisejõude leitakse rajajõudude kaudu. Sisejõudude märgid ei tohi sõltuda rajajõudude märgikokkuleppest. Sisejõudude märgireeglid on raamatus MR96 lk 35 Tõmbejõu loeme positiivseks, Survejõu loeme negatiivseks ; lk 45 Põikjõu range märgireegel: positiivseks loeme põikjõudu, mis positiivset sisepinda nihutab koordinaattelje positiivses suunas või negatiivset sisepinda koordinaattelje negatiivses suunas, Põikjõu märgi tööreegel: positiivseks loeme põikjõudu, mis nihutab positiivset sisepinda päripäeva ; lk 43 Painde- momendi loeme positiivseks, kui varda positiivsed kiud on tõmmatud. Tehnilises mehaanikas (tugevusõpetuses) langevad sisejõudude märgireeglid ja rajajõudude (kontaktjõudude) märgireeglid (I märgikokkulepe) kokku. Kasutades II mär-

3.3. JÄIKUSMAATRIKS ÜLDKOORDINAATIDES 35 gikokkulepet, tuleb sisejõudude märgi määramisel rajajõudude (kontaktjõudude) kaudu varda alguses arvestada nende erinevaid märke. Rõhutame, et sisejõud on varda sisepinnal ja rajajõud (kontaktjõud) mõjuvad varda välispinnal. Lisame varda tasakaaluvõrranditele (3.) kohalikes koordinaatides tühjad read, mis vastavad Z koordinaadile ehk maatrikskujul EA l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u v u v = F x F z F x F z (3.5) K u = F (3.6) Teisendame jõud üldkoordinaatidest kohalikesse koordinaatidesse F ) x F z F x F z = cos α cos β 0 0 cos β cos α 0 0 0 0 cos α cos β 0 0 cos β cos α F x F z F x F z (3.7) ehk maatrikskujul F = TF (3.8) siin on T pikkele tööava varda teisendusmaatriks T = cos α cos β 0 0 cos β cos α 0 0 0 0 cos α cos β 0 0 cos β cos α (3.9) Teisendusmaatriksi T abil avaldame siirded kohalikes koordinaatides d, siirete kaudu üldkoordinaatides d Teisendusmaatriks (3.9) on ortogonaalne, s.o kus T ( ) maatriksi T pöördmaatriks T (T ) transponeeritud maatriks Teisenduste (3.8), (3.0) pöördteisendused on d = Td (3.0) T ( ) = T (T ) (3.) F = T T F (3.)

36 PEATÜKK 3. VARRASKONSTRUKTSIOONID d = T T d (3.3) Jäikusmaatriksi K üldkoordinaatides saame avaldiste (3.), (3.6) ja (3.0) abil F = T T F = T T K d = T} T {{ K T} d (3.4) K kus T T K T on jäikusmaatriks K üldkoordinaatides K = T T K T (3.5) Teostame maatriksi T T ja maatriksi K korrutamise, tähistades c = cos α, s = cos β. Korrutise elementideks on maatriksi T T i-nda rea ja maatriksi K j-nda veeru vastavate elementide korrutiste summad T T = c s 0 0 s c 0 0 0 0 c s 0 0 s c EA l ; EA l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c 0 c 0 s 0 s 0 c 0 c 0 s 0 s 0 = K = TT K (3.6) Korrutame saadud tulemust T T K teisendusmaatriksiga T T T K = EA l c 0 c 0 s 0 s 0 c 0 c 0 s 0 s 0 ; EA l c s 0 0 s c 0 0 0 0 c s 0 0 s c c cs c cs cs s cs s c cs c cs cs s cs s = T = K (3.7) Varda elemendi jäikusmaatriks üldkoordinaatides K = EA l c cs. c cs cs s. cs s c cs. c cs cs s. cs s (3.8)

3.4. ELEMENDIS MÕJUV PIKKEJÕUD 37 Saadud jäikusmaatriksi esitame alammaatriksi k k = EA l c cs cs s (3.9) kaudu k k K = k k (3.30) 3.4 Elemendis mõjuv pikkejõud Tasakaaluvõrrandisüsteemi lahendamise tulemusel saadakse sõlmpunktide siirded u, v, u, v. Varda elemendis tuleb leida sisejõud. Sisejõudude leidmiseks vaatleme varda tasakaaluvõrrandit kohalikes koordinaatides (3.6) Korrutise F T saame järgmiselt F = K d = K Td (3.3) K = EA l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; EA l c s 0 0 s c 0 0 0 0 c s 0 0 s c c s c s 0 0 0 0 c s c s 0 0 0 0 = T = K T (3.3) võrrandist (3.3) saame korrutise (3.3) abil F x F x = EA l c s c s c s c s u v u v (3.33) Arvestades, et varda lõpus olev rajajõu märk langeb kokku sisejõu märgiga, saame N = F x = EA l c s c s u v u v (3.34) Näide 3. Leida varrassüsteemi (joonis 3.5) sõlmpunkti 3 siirded u 3 ja v 3. Koormus F x3 ja F z3 on rakendatud sõlme 3. Varraste,, 3 pikkused on l, l ja l.

l 38 PEATÜKK 3. VARRASKONSTRUKTSIOONID 0 0 0 v u l V x 3 0 0 0 v u 3 v 3 u 3 F x3 l F z3 z Joonis 3.5. Varrassüsteemi arvutusskeem Varrassüsteemi sõlmpunktide siirete vektor d ja jõudude vektor F on u F x v F z u d = F, d = x v F z u 3 F x3 v 3 F z3 (3.35) Jäikusmaatriksi K ij (i, j =,,..., 6) koostamiseks kirjeldame süsteemi topoloogiat (tabel 3.). Võttes arvesse varraste suunda (tabel 3.), esitame varraste suunakoosinused tabelis (tabel Tabel 3.. Varrassüsteemi topoloogia Varras nr Algus Lõpp () 3 () 3 (3) 3.). Koostame elementide indekstabelid (tabel 3.3) ja jäikusmaatriksid (tabel 3.4), Kus k (n) ij on alammaatriksid (3.36), (3.37), (3.38), (vaata avaldist 3.9). k () = k () = k() = EA l.0 0.0 0.0 0.0 k () = k () = k() (3.36) k () = k () = k() = EA l k () = k () = k() (3.37)

3.4. ELEMENDIS MÕJUV PIKKEJÕUD 39 Tabel 3.. Varraste suunakoosinused Varras cos α cos β nr c s ().0 0.0 () (3) 0.0.0 Element nr Sõlm 3 3 3 3 33 Tabel 3.3. Varraste indekstabelid Element nr Sõlm 3 3 3 3 33 Element nr 3 Sõlm Tabel 3.4. Varraste jäikusmaatriksid Element nr Sõlm 3 k () k () 3 k () k () Element nr Sõlm 3 k () k () 3 k () k () Element nr 3 Sõlm k (3) k (3) k (3) k (3) k (3) = k (3) = k(3) = EA 0.0 0.0 l 0.0.0 k (3) = k (3) = k(3) (3.38) Koostame tasakaaluvõrrandite süsteemi alammaatriksite abil k () + k(3). k (3)......... k (3). k (). k () + k(3)......... k (). k (). k (). k () + k() u = 0 v = 0... u = 0 v = 0... u 3 v 3 = F x F z... F x F z... F x3 F z3 (3.39) Võrrandisüsteem (3.39) on sümmeetriline. Võttes arvesse alammaatriksite avaldised (3.36),

40 PEATÜKK 3. VARRASKONSTRUKTSIOONID (3.37) ja (3.38), saame EA l 0 0 + 0 + 0 0 0 + u = 0 v = 0 u = 0 v = 0 u 3 v 3 = F x F z F x F z F x3 F z3 (3.40) Siirded u 3, v 3 leiame võrrandisüsteemi (3.40) kahest viimasest võrrandist EA l + u3 Fx3 = v 3 F z3 (3.4) Võrrandisüsteemi (3.4) lahend on u3 v 3 = EA l + Fx3 F z3 (3.4) Jõud sõlmedes ja leiame võrrandisüsteemi (3.40) esimesest neljast võrrandist Varda sisejõud N Varda sisejõud N F x F z F x F z.0 0.0 = EA l N = EA l 0 0 0 c s c s + N = EA l Kolmanda varda 3 sisejõud N 3 = 0. + Fx3 F z3 u3 v 3 u = 0 v = 0 u 3 v 3 = (3.43) = F x3 F z3 (3.44) u = 0 v = 0 u 3 c s c s = v 3 Fx3 = F F z3 (3.45) z3

3.5. SÕLMEDE NUMMERDAMISEST 4 a) 4 6 8 0 4 6 8 0000 000 b) 0 3 5 7 9 3 5 3 4 5 6 7 7 8 3 4 5 6 7 8 9 0000 000 Joonis 3.6. Sõlmede nummerdamine 3.5 Sõlmede nummerdamisest Tasakaaluvõrrandite vasaku poole maatriksid on hõredad maatriksid, s.o. siosaldavad palju nullelemente. Sõlmede nummerdamise järjekorrast sõltub varraste jäikusmaatriksi elementide asukoht tasakaaluvõrrandisüsteemis. Joonisel 3.6 on näidatud kahte sõlmede nummerdamisviisi. Joonisel 3.6 a) näidatud nummerdamise tulemusel saadakse lintvõrrandisüsteemi maat- a) b) 3 4 x x x x x x x x 0 3 x x x x x x 4 x x x x x x 0 0 x x x x x x x x x x x x 0 0 x x x x x x x x x x x 0 0 x x x x x x 0 35 36 3 4 3 x x x x 0 0 0 0 4 0 0 0 0 x x 0 0 x x 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x 35 36 x x x x Lindi laius 0 35 36 0 x x x x x x x x x x x x 0 x x x x x x x x 35 36 x x x 0 0 x x x x 0 0 0 0 x x 0 0 x x Joonis 3.7. Võrrandisüsteemi kuju riks (joonis 3.7 a)). Võrrandisüsteemi lahendamiseks, millel vasak pool on hõre maatriks, kasutatakse hõrdate võrrandisüsteemide lahendamise programme.

4 PEATÜKK 3. VARRASKONSTRUKTSIOONID 3.6 Varda paine 3.6. Ülekandemaatriks paindel Diferentsiaalseosed varda paindel parema käe teljestikus x-z (joonis 3.8). dw dx = ϕ y (3.46) d w dx = dϕ y dx = EI y M y (3.47) dm y dx = Q z (3.48) dq z dx = q z (x) (3.49) Avaldised (3.48), (3.49) on tala tasakaalu diferentsiaalvõrrandid paindel. Nende seoste tuletamist vaadeldakse tehnilises mehaanikas. Paine on üks varda tööseisundeid (joonis 3.9). q z Q M z y 00000000000000000000000000000000000 M y + dm y x, u w ϕ dx ϕ + d ϕ Q z + dq z w +dw z, w Joonis 3.8. Painde diferentsiaalseosed Algparameetrite meetodi puhul arvutame tala sisejõude (? lk 8) M ja Q järgmiselt (vt joonis 3.0) EI y w x = EI y w 0 + EI y ϕ y0 x + M (x a M) H (x a M )! F (x a F ) 3 H (x a F ) p (x a p) 4 H (x a p ) (3.50) 3! 4! EI y ϕ yx = EI y ϕ y0 + M (x a M) H (x a M ) +! +F (x a F ) H (x a F ) p (x a p) 3 H (x a p ) (3.5)! 3!

3.6. VARDA PAINE 43 Tööseisund Prinkus MR95 Sisejõud MR96 Ristlõike jäikus Elastsusseosed Deformatsioonienergia MR96 N Pike dx N du Pikkeprinkus λ = du dx λ = Λ L siin Λ = u Pikkejõud N Pikkejäikus EA N = EAλ du N = Nλdx M y Paine ϕ d y M y dx Paindeprinkus ψ = dϕy dx ψ = Ψ L siin Ψ = ϕ y Paindemoment M y Paindejäikus EI y M y = EI y ψ y du M = M yψ y dx Q z Lõige dx β x Q z dw Q Lõikeprinkus β z = dw Q dx βz = Bz L siin B z = w Q Põikjõud Q z Lõikejäikus GA red Q Z = GA red β z du Q = Q zβ z dx M x Vääne.......... dx dϕ x M x Väändeprinkus ϑ = dϕx dx ϑ = Θ L siin Θ = ϕ x Väändemoment M x Väändejäikus x = M GI GI x ϑ x du γ = M xϑdx Joonis 3.9. Varda tööseisundid M x = M (x a M ) 0 H (x a M ) F (x a F )! H (x a F ) p (x a p) H (x a p ) (3.5)! Q x = F (x a F ) 0 H (x a F ) p (x a p ) H (x a p ) (3.53) Avaldistes (3.50), (3.5), (3.5) ja (3.50) on H (x a F ) Heaviside i funktsioon. H (x a F ) = { 0, kui (x af ) < 0, kui (x a F ) 0 (3.54) Võrrandeid (3.50), (3.5), (3.5) ja (3.53) nimetatakse ka ülekandevõrranditeks. Kirjutame võrrandid ( 3.5) ja ( 3.53) maatrikskujule ( 3.55), kus tala alguses olevad Oliver Heaviside, inglise füüsik ja elektriinsener, 850 95.

44 PEATÜKK 3. VARRASKONSTRUKTSIOONID F 00000000000 qz 00000000000 F 000 00 af Va aqa Vb aql af L Ma = 0 Va F qz M 00000000000 000 000 qz x Q Algparameetrite meetod Ülekandemaatriks meetod Joonis 3.0. Tala kahel toel reaktsioonid (jõud) V a ja M a toome eraldi välja. Qx 0 Q = a F H (x a F ) M x x M a = 0 F (x a F ) H (x a F ) F H (x a F ) F (x a F ) H (x a F ) q z (x a qa ) H (x a qa ) (x a qa) + q z H (x a qa ) + q z (x a ql ) H (x a ql ) (x a ql) (3.55) q z H (x a ql ) Ülekandevõrrandid (3.50), (3.5), (3.5), (3.53) II-märgikokkuleppe puhul (joonis 3.4 ja 3.) maatrikskujul (3.56). M y v q z 00000000000000000000000000000000000 M y p x, u w v Q zv x v x v x p x p Q z p wp ϕ v ϕ p z, w Joonis 3.. Algparameetrid Z p = UZ v + Z (3.56)

3.6. VARDA PAINE 45 kus siirded ja kontaktjõud tala algul Z v ja lõpus Z p (joonis 3.) on Z p = w ϕ y Q z M y p, Z v = w ϕ y Q z M y ja ülekandemaatriks U II-märgikokkuleppe puhul (3.58) (x p x v ) U = 0 (xp xv) EI y 0 0 0 0 0 (x p x v ) (x p x v) 3 6EI y (x p x v) EI y v (xp xv) EI y ning ülekandemeetodi koormusvektor Z (3.59) (x p a M ) + My EI y! + (x p a F F ) 3 + z EI y3! + (x p a q) q 4 + z EI y4! (x p a M M ) + Z = y EI y! (x p a F F ) + z EI y! (x p a q) q 3 + z EI y3! (x p a F F ) 0 + z EI y0! (x p a q) q + z EI y! (x p a M M ) 0 + y EI y0! (x p a F F ) + z EI y! (x p a q) q + z EI y! Siin kasutatakse järgmist tähistust { 0, kui (x a (x a F ) + = F ) < 0 x a F, kui (x a F ) 0 (3.57) (3.58) (3.59) (3.60) 3.6. Varda painde jäikusmaatriks Teisendame ülekandevõrrandid (3.56) nii, et varda otstes olevad jõud avalduvad varda otste siirete ja pöörete kaudu (3.6) F = K d + F (3.6) kus F = Q zv M yv Q zp M yp, d = w v ϕ yv w p ϕ yp (3.6) ja jäikusmaatriks K (3.63) vastab II märgikokkuleppele K = EI y 6 6 l 3 l l 3 l 6 4 6 l l l l 6 6 l 3 l l 3 l 6 4 6 l l l l (3.63)

46 PEATÜKK 3. VARRASKONSTRUKTSIOONID ning elemendile rakendatud jõud F F = ( ) 6(xp am ) + My 6(xp a M ) + l 3 l ) My ( 3(xp a M ) + + (xp a M ) + l l ) My ( 6(xp a M ) + + 6(xp a M ) + l 3 l My ( 3(xp a M ) + + + Teisendusmaatriks T paindel + 4(xp a M ) + (xp a M ) 0 + l l 0! ( ) (xp af ) 3 + Fz 3(xp a F ) + l 3 l Fz ( (xp a F ) 3 + + (xp a F ) + l l ) Fz ( (xp a F ) 3 + + 3(xp a F ) + + (xp a F ) 0 + l 3 l 0! ) Fz ( (xp a F ) 3 + + (xp a F ) + + (xp a F ) + l l! ( (xp aq) 4 + qz (xp aq)3 + l 3 ) qz ( (xp aq)4 + + (xp aq)3 + 4l 3l qz ( (xp aq)4 + + (xp aq)3 + (xp aq) + l 3 l! qz ( (xp aq)4 + + (xp aq)3 + 4l 3l T = c s 0 0 0 0 s c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c s 0 0 0 0 s c 0 0 0 0 0 0 ) l ) ) (xp aq) + ) ) + + (3.64) (3.65) Jäikusmaatriks üldkoordinaatides K Varda elemendile rakendatud jõud F üldkoordinaatides K = T T K T (3.66) F = T T Varda elemendi tasakaaluvõrrand üldkoordinaatides F (3.67) F = Kd + F (3.68)

Peatükk 4 Interpoleerimine 4. Lagrange i interpolatsioon Kirjeldame funktsiooni v (x) polünoomiga P n (x) v (x) = P n (x) = a 0 + a x + a x +... + a n x n (4.) Avaldise (4.) kirjutame maatrikskujul v(x) v v v 0 v n x x 0 x x x n Joonis 4.. Funktsiooni interpolatsioon v (x) = P n (x) = x x... x n a 0 a a. a n (4.) ehk veel lühemalt v (x) = P n (x) = x a (4.3) Olgu teada funktsiooni väärtused n+ punktis (joonis 4.). Punktis x 0 on funktsiooni väärtus v 0, punktis x on funktsiooni väärtus v ja punktis x n on funktsiooni väärtus 47

48 PEATÜKK 4. INTERPOLEERIMINE v n. Punkte, kus on antud funktsiooni väärtused, nimetatakse polünoomi sõlmedeks. Kirjeldame polünoomi (4.) abil neid väärtusi ehk sümboolselt v 0 v v. v n x 0 x 0... x n 0 x x... x n = x x... x n....... x n x n... x n n Otsitavad parameetrid a leiame võrrandist (4.5) Nüüd on polünoomis (4.3) parameetrid (4.6) määratud Kirjutame avaldise (4.7) lahti a 0 a a. a n (4.4) v = Aa (4.5) a = A v (4.6) v (x) = P n (x) = xa v (4.7) v (x) = L n 0 (x) v 0 + L n (x) v + L n (x) v +... + L n n (x) v n (4.8) Kus Lagrang i interpolatsioonipolünoomi kordajad L n i (x) on L n 0 (x) = (x x ) (x x )... (x x n ) (x 0 x ) (x 0 x )... (x 0 x n ) (4.9) L n (x) = (x x 0) (x x )... (x x n ) (x x 0 ) (x x )... (x x n ) (4.0) L n n (x) = (x x 0) (x x )... (x x n ) (x n x ) (x n x )... (x n x n ) (4.) Lagrange i interpolatsioonipolünoomi kordajate L n i (x) sümboolne kuju L n i (x) = n j=0 j i x x i x i x j (4.) Vaatleme lineaarset interpolatsiooni vahemikus x 0 =, x = (joonis 4.) Joseph Louis de Lagrange, prantsuse matemaatik ja mehaanikateadlane, 736 83.

4.. LAGRANGE I INTERPOLATSIOON 49 a) L b) v v L () 0 L () v x x 0 0 Joonis 4.. Lineaarne interpolatsioon N (x) = L 0 (x) = (x ) ( ) = ( x) (4.3) N (x) = L (x) = (x + ) ( + ) = ( + x) (4.4) Funktsiooni v (x) saame interpoleerida väärtuste v ja v vahel (joonis 4. b) v (x) = N (x) v + N (x) v (4.5) Lõplike elementide meetodis nimetatakse funktsioone N i kujufunktsioonideks (vormifunktsioonideks). Ruutinterpolatsiooni puhul vahemikus x 0 =, x = (joonis 4.3) on Lagrange i interpolatsioonipolünoomi kordajad N (x) L () 0 (x) = (x 0) (x ) ( 0) ( ) = x(x ) (4.6) N (x) L () (x) = (x + ) (x ) (0 + ) (0 ) = ( x ) (4.7) N 3 (x) L () (x) = (x + ) (x 0) ( + ) ( 0) = x(x + ) (4.8) Funktsiooni v (x) saame interpoleerida väärtuste v ja v 3 vahel (joonis 4.3 b) v (x) = N (x) v + N (x) v + N 3 (x) v 3 (4.9) Lineaarse interpolatsiooni kaudu (4.3), (4.4) sõlmede, (joonis 4.4) vahel L () 0 (x) = ( x) L () 0 (x) = ( + x) (4.0)

50 PEATÜKK 4. INTERPOLEERIMINE a) L () L 0 () L L () b) v v v3 v x x 0 0 Joonis 4.3. Ruutinterpolatsioon x Joonis 4.4. Lineaarse interpolatsiooni sõlmed 3 x 0 Joonis 4.5. Ruutinterpolatsiooni sõlmed saame avaldada kõrgemad interpolatsioonid L () 0 (x) = ( L () ) () L 0 L () (x) = 4L () 0 L () L () (x) = ( L () ) L () (4.) 3 4 x /3 /3 Joonis 4.6. Kuupinterpolatsiooni sõlmed L (3) 0 (x) = L (3) (x) = 9 L() ( 3L () () ) ( ) () 3L L 0 ( ) () () 3L L 0 L (3) (x) = 9 ( L() () 3L ) L () 0 L (3) 3 (x) = ( L() () 3L ) ( 3L () ) (4.)

4.. HERMITE I INTERPOLATSIOON 5 4. Hermite i interpolatsioon Olgu antud funktsioon v (x) ja tema tuletiste väärtused n sõlmpunktis, mille koordinaat on x n x 0, x, x,... x n v 0, v, v,... v n dv dv dx 0, dv dx, dv dx,... dx n d v d dx 0, v d dx, v d dx,... v dx n..,.,.... d k v d dx k 0, k v d dx k, k v d dx k,... k v dx k n v(x) v0 dv dx 0 v dv dx v dv dx vn dv dx n x 0 x x x n x Joonis 4.7. Hermite i interpolatsioon Funktsiooni lähendame (m = n)-astme polünoomiga v (x) dv dx = x x... x m 0 x... mx m a 0 a a. a m (4.3) ehk v (x) = xa (4.4) v 0 v 0 v v v v. v n v n x 0 x 0... x m 0 0 x 0... mx m 0 x x... x m 0 x... mx m = x x... x m 0 x... mx m....... x n x n... x m n 0 x n... mx m n a 0 a a. a m (4.5)

5 PEATÜKK 4. INTERPOLEERIMINE ehk Avaldisest (4.6) saame Funktsioon (4.4) avaldub nüüd järgmiselt: Kirjutame avaldise (4.8) kujule ehk v = A H a (4.6) a = A H v (4.7) v (x) = xa = xa H v (4.8) v (x) = H () 00 (x) v 0 + H () 0 (x) v 0 + H () 0 (x) v + H () (x) v +...... + H () 0n (x) v n + H () n (x) v n (4.9) v (x) = H () 0i (x) v i + H (i) i (x) v i (i =,,..., 4) (4.30) kus Hermite i interpolatsioonipolünoomi kordajad H n ij on H () 0i (x) = { (x x i ) n k=0 k i x i x k }{L () i (x)} (4.3) H () i (x) = (x x i ) {L () i (x)} (4.3) Kahe interpolatsioonisõlmega ja esimese tuletisega (joonis 4.8) on funktsiooni interpolatsioon järgmine: v 0 v v 0 v x 0 = 0 x = L x, ξ = x L Joonis 4.8. Hermite i interpolatsiooni sõlmed v (x) = H () 00 (x) v 0 + H () 0 (x) v 0 + H () 0 (x) v + H () (x) v (4.33) Charles Hermite, prantsuse matemaatik, 8 90.