STATISTIKO UNIVERZITETNA ŠTUDIJSKA PROGRAMA LABORATORIJSKA BIOMEDICINA IN KOZMETOLOGIJA 1. LETNIK

Σχετικά έγγραφα
Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

F(x) = f(x) dx. Nedoločenega integrala velikokrat ne moremo zapisati kot kombinacijo elementarnih funkcij, kot na primer integrale sin x

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

POGLAVJE 7. Nedoločeni integral. 1. Definicija, enoličnost, obstoj

FKKT Matematika 2. shxdx = chx+c. chxdx = shx+c. tanxdx = ln cosx +C. cotxdx = ln sinx +C. sin 2 x = cotx+c. cos 2 x = tanx+c. = 1 2 2a ln a+x a x

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

ANALIZA 2. Zapiski predavanj. Milan Hladnik

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije več spremenljivk

1 Ponovitev matematike za kemijske inženirje

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka

Kotne in krožne funkcije

SATCITANANDA. F = e E sila na naboj. = ΔW e. Rudolf Kladnik: Fizika za srednješolce 3. Svet elektronov in atomov

MATEMATIKA III Zapiski za ustni izpit

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE

Matematika I. NTF Načrtovanje tekstilij in oblačil Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2006/07

II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

Tretja vaja iz matematike 1

2.6 Nepravi integrali

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

diferencialne enačbe - nadaljevanje

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Osnove matematične analize 2016/17

Definicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.

vezani ekstremi funkcij

Matematika. Funkcije in enačbe

Izbrana poglavja iz matematike

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

Računalniško vodeni procesi I

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1

MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

Analiza I. Josip Globevnik Miha Brojan

Kotni funkciji sinus in kosinus

Splošno o interpolaciji

Matematika 4 Zapiski s predavanj prof. Petra Legiše

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Odvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

LESARSKA ŠOLA MARIBOR M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 2009/2010

Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik. za 9. razred osnovne πole

Integralni raqun. F (x) = f(x)

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)

IZVODI ZADACI (I deo)

Funkcije dveh in več spremenljivk

Navadne diferencialne enačbe

INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON


Del 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

DOMAČA NALOGA pri predmetu Statika in Kinematika

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Dani vektor lahko ponazorimo z usmerjeno daljico, ki se začne v poljubni točki - pravimo tudi, da vektor vzporedno premaknemo v dano začetno točko.

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Transcript:

MATEMATIKA bc α S STATISTIKO UNIVERZITETNA ŠTUDIJSKA PROGRAMA LABORATORIJSKA BIOMEDICINA IN KOZMETOLOGIJA. LETNIK

PRIMITIVNA FUNKCIJA INTEGRAL Rešujemo nlogo: Dn je funkcij f. Poišči funkcijo F, ktere odvod je enk f. Kdr je F ()=f() prvimo, d je F() primitivn funkcij z funkcijo f(). f ( ) = cos F( ) = sin f ( ) = sin F( ) = cos f ( ) = e F( ) = e f ( ) = F( ) = f ( ) = F( ) =

PRIMITIVNA FUNKCIJA Z vsko funkcijo obstj več primitivnih funkcij: = + sin = + sin = + cos = cos ( sin ) cos ( ) ( ) primitivni funkciji z cos st tko sin, kot +sin Če poznmo eno primitivno funkcijo z f, dobimo vse druge tko, d tej prištejmo vse možne konstnte. Množico vseh primitivnih funkcij z f() oznčimo z F()+c, kjer je F() nek primitivn funkcij z f(), c p je poljubno relno število. Postopek določnj primitivne funkcije imenujemo integrirnje. Pišemo: F( ) = f ( ) d integrl integrnd pove po kteri spremenljivki integrirmo in nstop pri formulh z rčunnje integrlov Pri rčunnju integrlov uporbljmo prvil z integrirnje in integrle osnovnih funkcij. 4

RAČUNANJE INTEGRALOV OSNOVNI INTEGRALI r d PRAVILA INTEGRIRANJA r+ = ( r ) r + d = ln e d = e d = rcsin k f ( ) d = k f ( ) d + sin d = cos cos d cos = sin d = tg d = rctg produkt s konstnto ( ) f ( ) ± g( ) d = f ( ) d ± g( ) d vsot 5

RAČUNANJE INTEGRALOV + d = + 4 ( ) 4 d = d = = t t dt = t + dt = t t t t ( ) 4 + d = 6 4 4 8 d + + + + = = 6 5 4 8 8 4 5 + + + + 6

RAČUNANJE INTEGRALOV UVEDBA NOVE SPREMENLJIVKE Če je f ( ) d = F( ), potem je f ( g( )) g ( ) d = F( g( )) prvilo: funkcij u() du = u ( ) d Novo spremenljivko u vpeljemo tko, d povsod, kjer v integrlu nstop spremenljivk, jo zmenjmo z ustreznim izrzom v spremenljivki u. ( ) 4 + d = u = + = 4 u ( + ) u du = = 5 5 5 du = d d = du 6 5 4 = + 8 + 8 + 4 + + 5 7

RAČUNANJE INTEGRALOV sin(4 ) d = sin u du = c osu = cos(4 ) 4 4 4 u u e d = e du = e = e u = du = d sin tg d = d = du = ln u = ln(cos ) cos u u = cos du = sin d 8

INTEGRACIJA PO DELIH u( ) v '( ) d = u( ) v( ) u ( ) v( ) d krjše: u dv = u v v du e d = e e d = e e u = du = d dv = e d v = e RAČUNANJE INTEGRALOV (integrirnje produktov določene oblike.) ln d = ln ln d = 4 u = ln du = d dv = d v = cos d sin sin d = = u = du = d u = du = d dv = cos d v = sin dv = sin d v = cos sin + cos cos d = ( ) = sin + cos 9

RAČUNANJE INTEGRALOV UPORABA INTEGRALA Ploščine likov Dolžine krivulj Povprečj Hitrost ohljnj nekeg teles je sorzmern rzliki med temperturo teles in temperturo okolice: T =k(t T) Kko hitro se bo vrel juh v prostoru, kjer je oc ohldil do užitnih 5oC? Kolikšn je verjetnost, d bo žlic, ki pde n tl obležl n eni smi ploščici? Diferencilne enčbe Verjetnost

INTEGRACIJSKE METODE TABELA OSNOVNIH INTEGRALOV IN PRAVIL ZA INTEGRIRANJE r d e d = e sin d cos d r + r r + = ln r = = cos = sin d = rcsin + d = rctg ( u( ) + v( )) d = u( ) d + v( ) d k u( ) d = k u( ) d f ( ) d = f ( ( u)) ( u) du u dv = u v v du uvedb nove spremenljivke (substitucij) u( ) v ( ) d = u( ) v( ) v( ) u ( ) d integrcij po delih (per prtes)

INTEGRACIJA RACIONALNIH FUNKCIJ P( ) d P(),Q() polinom Q ( ) formul: d = ln( + b) + b.kork Če je potrebno, z deljenjem prevedemo n primer, ko je stopnj števc mnjš od stopnje imenovlc..kork Imenovlec rzcepimo n fktorje, potem p integrnd rzcepimo n delne ulomke oblike A A + B in n n ( ) ( + + b).kork Integrirmo dobljeni izrz. + d =? INTEGRACIJSKE METODE ( + ) : ( ) =, ost. ( ) + = ( )( + ) A B = + ( )( + ) + = A( + ) + B( ) = ( A + B) + ( A B) A + B =, A B = A =, B = + = + + d = d = + = ln( ) ln( + )

INTEGRACIJSKE METODE Če im imenovlec dvojno ničlo lhko vpeljemo novo spremenljivko: + d =? u =, du = d ( ) u + + + du u + d = = du = ln u = ln( ) ( ) u 4u 4 4u 4 8 4 Če imenovlec nim relnih ničel, lhko prevedemo n logritem in rkus tngens: + + d =? d = d + d + + + + d = = du = ln u = + u u = +, du = d ln( + ) d = d = = du = rctg u = + + + u u =, u =, d = du rc tg

RAČUNANJE PLOŠČIN RAČUNANJE PLOŠČIN Želimo določiti ploščino pod grfom funkcije y=f(). y=f() S P() oznčimo ploščino pod grfom n intervlu od do : P() + h h min f ( ) P( + h) P( ) h m f ( ) [, + h ] [, + h ] P( + h) P( ) min f ( ) m f ( ) h [, + h ] [, + h ] ( + ) ( ) P h P lim = f ( ) h h P() je primitivn funkcij z f(). 4

RAČUNANJE PLOŠČIN Če je tudi F() primitivn funkcij z f(), potem je F() P()=c. Kko bi izrčunli c? Vstvimo =: F() P()=c c=f() P()=F() F(). P=F(b) F() b Če je F() poljubn primitivn funkcij z f(), potem je ploščin pod grfom y=f() n intervlu [,b] enk P=F(b) F(). Newton-Leibnizov formul 5

RAČUNANJE PLOŠČIN Določi ploščino lik, ki g omejujet bscis in prbol y=. - P = ( ) d = = = ( ) ( ) = 4 Določi ploščino lik med =y in y=. y = y = P = ( ) d = = 6 6

DOLŽINE KRIVULJ Želimo določiti dolžino krivulje, podne z y=f(). y=f() f(+h) f() +h Oznčimo z l() dolžino grf n intervlu od do. f ( + h) f ( ) l( + h) l( ) h + ( f ( + h) f ( )) = h + h h l( + h) l( ) lim = + ( f ( )) h h ( ) je primitivn funkcij z funkcijo + ( ( )) l f 7

Dolžin krivulje, podne z y=f() n intervlu [,b] je b l = + ( f ( )) d Izrčunj dolžino lok prbole y= n intervlu [-,]. f ( ) = - l 4 d = + = = + 4 + ln( + + 4 ) = 4 5 + = + ln. 95 4 5 8

PROSTORNINA VRTENINE Vrtenin je telo, ki g dobimo, ko dni lik zvrtimo okoli osi. V() je prostornin n intervlu od do. ( ) V ( + h) V ( ) f ( ) π h +h V ( + h) V ( ) lim = ( ) h h ( f ) π ( ) je primitivn funkcij z funkcijo ( ( )) V f π 9

Prostornin vrtenine pod y=f() n intervlu [,b]: b ( ( )) V π f d = r Prostornin krogle: kroglo dobimo, če zvrtimo krožnico okoli bscisne osi. y = r r r r ( ) V = π r d r r = π ( r ) d = π r = r r r 4 = π + = r r r r π

IZLIMITIRANI INTEGRALI IZLIMITIRANI INTEGRALI + d =? Formlno uporbimo Newton-Leibnizovo formulo: d = rctg + Interpretirmo: rctg = lim rctg rctg = π

IZLIMITIRANI INTEGRALI Osnovn primer: f zvezn n neomejenem intervlu [,+ ) t f = lim t t + f f zvezn n [,b), pri b neomejen t f obstj z t < b b f = lim t b t f t b

IZLIMITIRANI INTEGRALI e sin d = e e sin d = (sin + cos ) 5 t e = lim( (sin t + cos t )) + = t 5 5 5 sin d = lim( cos t ) + t limit ne obstj ln d = lim( t ln t t ) = ln t d = ln

NUMERIČNA INTEGRACIJA NUMERIČNO RAČUNANJE Integrl rčunmo numerično, če ne znmo določiti primitivne funkcije li če je integrnd znn le v posmeznih točkh. Integrnd f ndomestimo s približkom g, ki g znmo dovolj preprosto integrirti. Približek g določimo n podlgi vrednosti f v izbrnih delilnih točkh (včsih tudi iz vrednosti odvodov). b b f = g + R npk, odvisn od metode in od števil delilnih točk približn vrednost integrl 4

METODA TRAPEZOV NUMERIČNA INTEGRACIJA y = f ( ) y = g ( ) [,b] rzdelimo n n enkih delov: b k = + k ( k =,,..., n) n y = f k ( ) k b Funkcijo f ndomestimo z odsekom linerno funkcijo g, določeno s točkmi + (k,yk). b y k + y k + g = n k b b g = y + y + y + y + + y n + y n [ ( ) ( )... ( )] n b b f = ( y + y + y +... + y + y ) + R n n n n trpezn formul npk metode ( b ) Rn m f ( ) n [, b] 5

SIMPSONOVA METODA NUMERIČNA INTEGRACIJA y = f ( ) y = g ( ) b [,b] rzdelimo n n enkih delov; vskeg rzpolovimo in čez tko dobljene tri točke potegnemo prbolo. Funkcijo f ndomestimo z g, sestvljeno iz teh prbol. k + b b y k + 4y k + + y k + k = + k ( k =,,..., n ) n g = n k y k = f ( k ) b b g = ( y + 4 y + y ) + ( y + 4 y + y 4) +... 6n [ ] b b f = ( y + 4y + y + 4y + y +... + y + 4y + y ) + R 6n 4 n n n n Simpsonov formul 5 ( b ) ( 4) Rn m f ( ) 4 88n [, b] 6

NUMERIČNA INTEGRACIJA Izrčun z npko <.. ( ) + Trpezn metod:. Določimo delilne točke in izrčunmo pripdjoče funkcijske vrednosti:. Vstvimo v trpezno formulo: Simpsonov metod: n= (4 delilne točke) ln( + ) = = ln ln = ln.69 + + ( b ). Iz pogoj m f ( ) <. določimo primeren n : n [, b] [,] ( + ) n k...4.6.8. yk..8.74.65.5555.5 m =, <. n 5 (..8.74.65.5555.5).6956 + + + + + + = dejnsk npk.5 (. 4.8.6666 4.574.5).69 + + + + + = dejnsk npk. 7

NUMERIČNA INTEGRACIJA Oceni ploščino kos pločevine: 6 cm 5 cm cm 55 cm 5 cm cm P (6 + 4 5 + 55 + 4 5 + ) = 49 cm =.49 m 8

DIFERENCIALNE ENAČBE DIFERENCIALNE ENAČBE Diferenciln enčb je funkcijsk enčb, v kteri nstopjo odvodi iskne funkcije. y = y diferenciln enčb z y kot funkcijo y + y = y = y y y + y = y y + e = y y vtonomn diferenciln enčb (neodvisn spremenljivk ne nstop v enčbi) nelinern diferenciln enčb (odvesn spremenljivk ne nstop linerno) diferenciln enčb. red Red diferencilne enčbe je red njvišjeg odvod, ki v njej nstop. diferenciln enčb. red z + z = y prciln diferenciln enčb (. red) Diferencilne enčbe z funkcije ene spremenljivke imenujemo nvdne, ko nstopjo prcilni odvodi n več spremenljivk p prvimo, d so to prcilne diferencilne enčbe 9

DIFERENCIALNE ENAČBE F(,y,y )= splošn oblik diferencilne enčbe. red Rešitev diferencilne enčbe je funkcij y=y(), pri kteri je F(,y(),y ())= z vse n nekem definicijskem območju. y ( ) = e je rešitev diferencilne enčbe y = y, ker je ( ) ( ) ( ) = e e = e y y y ( ) = ni rešitev diferencilne enčbe =, čeprv je = z nektere vrednosti Enčb mor biti izpolnjen z vse n nekem intervlu.

DIFERENCIALNE ENAČBE Njpreprostejši tip diferencilne enčbe: y = Rešitev je: y ( ) = f ( ) d f ( ) Tudi druge diferencilne enčbe skušmo prevesti n rčunnje integrlov.. kork: pišemo dy y = d. kork: enčbo preoblikujemo tko, d so vsi y n eni in vsi n drugi strni enčbe (ko se to izide prvimo, d gre z enčbo z ločljivimi spremenljivkmi). kork: integrirmo obe strni enčbe y = y dy d = y dy y = Preskus: d dy y = d ln y = + c c y = C e ( C = e ) ( C e ) = C e = ( C e )

DIFERENCIALNE ENAČBE FIZIKALNI PRIMER: RADIOAKTIVNI RAZPAD Hitrost rzpdnj rdioktivne snovi je sorzmern s količino snovi (rekcij. red). Če immo n zčetku neko količino snovi (npr. 5g izotop 4C), kj lhko povemo o količini snovi čez nekj čs (npr. čez koliko čs bo ostlo le g 4C)? y=y(t) y = k y količin snovi v trenutku t k je sorzmernostni fktor med količino snovi in hitrostjo rzpdnj (npr. z 4C je k =.8 - s-) dy dy dy = ky = k dt k dt ln y kt c y Ce dt y = = + = y y()=c, torej je C rvno zčetn količin opzovne snovi kt 4 ln 5.58 Z C: = 5e kt t = = = 68464 s 4 let k.8 Diferenciln enčb skupj z zčetnim stnjem v celoti določ evolucijo sistem. Hitrost rzpdnj pogosto podmo z rzpolovno dobo T: zvez s k je kt=ln Rzpolovn dob 4C je (.69/.8) s 57 let.

DIFERENCIALNE ENAČBE DATIRANJE S 4C kozmični žrki Rstline bsorbirjo CO v biosfero. Rzmerje med C in 4C v živih bitjih je enko, kot v tmosferi. stopnj rdioktivnosti Ogljikov izotop 4C nstj v višjih plsteh tmosfere, ko pod vplivom kozmičnih žr kov dv neutron ndomestit dv proton v 4N. Nstli 4C se veže s kisikom v 4CO. Rzmerje med 4CO in CO v tmosferi je dokj stbilno. let 57 let 46 let 79 let strost Ko ostnki živih bitij niso več v stiku z tmosfero se rzmerje med C in 4C zrdi rdioktivneg rzpd poveč v prid prveg. Strost ostnkov ocenimo n podlgi primerjve stopenj rdioktivnosti.

DIFERENCIALNE ENAČBE MEŠANJE TEKOČIN % V 5-litrsko posodo z % -rztopino soli zčne s hitrostjo l/min pritekti %-rztopin, obenem p dobro premešn mešnic odtek z isto hitrostjo. Čez koliko čs bo v posodi %-rztopin? y=y(t) količin soli v posodi v trenutku t y dy =. dt dt 5 odtek y/5 od l n enoto čs pritek % od l n enoto čs sprememb količine soli v posodi dy = dt - y = t + c y = Ce.6.4y.4.4t ln(.6.4 ) 5(.6 ) y () =.5 l C =.4 y ( t ) =.5 e.4t.4t.4t.5 e = e =.5 t = 5ln(.5) = 7. min = 7 min s 4

DIFERENCIALNE ENAČBE PRIMER MODELIRANJA Z DE Tripsin je encim trebušne slinvke, ki nstne iz tripsinogen. V rekciji nstop tripsin kot ktliztor, zto je hitrost nstjnj tripsin sorzmern z njegovo koncentrcijo. y... zčetn koncentrcij tripsin y(t)... koncentrcij tripsin v čsu t y =ky... hitrost nstjnj je sorzmern koncentrciji zčetni problem: y = ky y () = y rešitev: y=yekt y y = y e kt Model npoveduje eksponentno in neomejeno rstkoličine tripsin. To se v resnici ne more zgoditi, zto mormo poiskti ustreznejši model. y t 5

DIFERENCIALNE ENAČBE Med rekcijo se tripsinogen porblj: iz vske molekule tripsinogen nstne en molekul tripsin. Zto privzmemo, d je hitrost rekcije sorzmern tko koncentrciji tripsin, kot koncentrciji tripsinogen. Če je skupn koncentrcij tripsin in tripsinogen C, zčetn koncentrcij tripsin p y dobimo zčetni problem: y = ky ( C y ) y () = y y t dy dy y = k dt = k dt ln = kt y ( C y ) y ( C y ) C C y y y y t C y C y C y y e Ckt = e y ( t ) = + C ( y ) Ckt Logističn krivulj: model predvidev, d bo koncentrcij tripsin zrsl do prvotne koncentrcije tripsinogen, potem p se bo ustlil. 6

DIFERENCIALNE ENAČBE Logističn krivulj je dober model z omejeno rst, vendr ni vedno povsem ustrezn. Npr. pri tumorjih število rkstih celic njprej nršč eksponencilno, potem p se rst umiri in sčsom ustvi. S poskusi so ugotovili, d krivulj nrščnj ni logističn temveč t.im. Gompertzov krivulj (en od vidnih rzlik je, d pri njej prevoj nstopi precej prej kot pri logistični). Gompertzov krivulj logističn krivulj Gompertzov funkcij y ( t ) = y e t k ( e ) 7

DIFERENCIALNE ENAČBE Eksperimentlno ugotovljeno zkonitost poskusimo rzložiti tko, d pogledmo, kteri diferencilni enčbi ustrez Gompertzov funkcij. ( ) t t = = α y e y e k e e y t k ( e ) k ( e ) t t ( ) t Diferenciln enčb y =α e y pomeni, d število rkstih celic nršč sorzmerno z velikostjo tumorj, vendr se sorzmernostni fktor spreminj s čsom. Vzroke z spremembo rzlgjo rzlično: α t y = ( α e ) y s strnjem se reproduktivn moč celic zmnjšuje t y =α ( e y ) reproduktivni fktor se ne spreminj, vendr je nrščnje sorzmerno le z delom števil celic v tumorju, ker se v notrnjosti tumorj ustvri nekrotično območje 8