Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs scalar pe E o aplcaţe (x, y) <x, y> : E E dacă: ) <x, y> = <y, x>, x, y E ) <x + y, z> = <x, z> + <y, z>, x, y, z E ) <λx, y> = λ<x, y>, x,y E, λ 4) <x, x> 0, x E ş <x, x> = 0 x = 0 E Defţa Se umeşte spaţu euclda orce spaţu vectoral real îzestrat cu u produs scalar Propretăţ: Î orce spaţu euclda (E,<,>), au loc următoarele propretăţ: ) <x, y + z> = <x, y> + <x, z>, x,y,z E ) <x, λy> = λ<x, y>, x,y E, ) < x, 0 E > = 0, x E Demostraţe () () () x, y z y z, x y, x z, x x, y x, z () () () x, y y, x y, x x, y () () x, O O, x O x, x 0 x, x 0 E E Exemplul Spaţul vectorlor lber V îzestrat cu produsul scalar obşut x, y x y x y cos x, y este spaţu euclda Exemplul Spaţul îzestrat cu următorul produsul scalar formează spaţu euclda x, y x y, x x,, x, y y,, y Exemplul Spaţul C a, b al fucţlor reale cotue pe tervalul, următorul produs scalar formează spaţu euclda ab îzestrat cu
Lector uv dr Crsta Nartea b f, g f ( x) g( x) dx, f, g C a, b () a Teorema (Cauchy-Buakovsk-Schwartz) Dacă E,, este u spaţu euclda, atuc Aplcaţa Fe spaţu Să se arate ca aplcaţa x, y x, x y, y, x, y E () V spaţu vectoral real, ar x x, x, : Soluţe Verfcăm axomele produsulu scalar ) x, y x y x y ş y y, y do vector d acest, x, y x y x y este produs scalar, y, x yx yx Dec <x, y> = <y, x>, x, y x y, z ( x y, x y ),( z, z ) ( x y ) z ( x y ) z ) xz yz xz yz ( x z xz ) ( yz yz) x, z y, z, x, y, z x, y = ( x, x ),( y, y ) ( x, x ),( y, y ) ) x y x y ( x y x y ) x, y, x 4) x, x x + x 0, x ş, λ x, x 0 x + x 0 x x 0 x (0,0) 0 Norma Spaţ ormate Defţ Exemple Defţa Se umeşte orma uu vector oarecare aplcaţa :V, care îdepleşte următoarele propretăţ d spaţul vectoral real V ) x 0, x V ş x 0 x 0 ; ) x x,, x V; ) x y x y, x, y V (egaltatea trughulu) Spaţul V pe care s-a deft o ormă se umeşte spaţu vectoral ormat Propozţa Fe E spaţu euclda real Atuc V x x, x () este o ormă ş se umeşte orma eucldaă Demostraţe Verfcăm că x x, x verfcă axomele orme ) x x, x 0; x 0 x, x 0 x, x 0 x 0 ; E
Lector uv dr Crsta Nartea ) ) x x x x x x x x x E,,,,, ; x y x y, x y x, x x, y y, y Cauchy Buakovsk Schwartz x x y y x y x y x y, x, y E Exemplul 4 Î spaţul euclda, îzestrat cu produsul scalar orma reve la x, y x y, x x,, x, y y,, y, x x (4) Defţa 4 Fe E u spaţu euclda Atuc d x, y x y este o dstaţă (sau metrcă) Defţa 5 Fe E u spaţu euclda, ar x, y E do vector eul Defm ughul dtre ce do vector: xy, cos xy, x y (5) Aplcaţa Găsţ orma vectorulu eucldaă) v (,4) î raport cu produsul scalar uzual (orma Soluţe v 4 5 5 Aplcaţa Fe V spaţul vectoral al poloamelor cu produsul scalar Fe f ( t) t ş g( t) t t Găsţ f, g f ( t) g( t) dt 0 ) f, g ; ) f Soluţe
Lector uv dr Crsta Nartea ) ) 4 t t = ( t 7t 6) dt 7 6t 0 0 0 4, ( ) ( ) ( ) ( ) f g f t g t dt t t t dt 7 4 9 f f, f f ( t) f ( t) dt ( t ) ( t ) dt 0 0 9 f 0 Ortogoaltate Baze ortogoale Defţa 6 Îtr-u spaţu euclda E, do vector oarecare dacă <x,y>=0 Petru ortogoaltate folosm otaţa x y x, y E se umesc ortogoal Teorema Orce sstem ft de vector eul x, x,, xp dtr-u spaţu euclda E, ortogoal do câte do, este lar depedet Defţa 7 O bază e, e,, e a uu spaţu euclda E se umeşte ortogoală dacă e ej petru orce j Dacă î plus e,,, baza se umeşte ortoormată Î cocluze, o bază este ortoormată dacă ş uma dacă 0 petru j e, ej j petru j Aplcaţa 4 Normalzaţ vectorul u,, d Soluţe u ( ) 6 Vectorul ormalzat este u,, u 6 6 6 Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Teorema Î orce spaţu euclda E ft dmesoal exstă o bază ortoormată Demostraţe Fe B e e e,,, o bază a lu E I Se costrueşte baza F f f f f e,,, ortogoală f e f Se alege astfel îcât f, f 0 4
Lector uv dr Crsta Nartea f, e f, f 0 f, e f, f 0 f, f f e f f Se aleg ş astfel îcât f, f 0 ş f, f 0 f, f 0 f, e f, f f, f 0 Dar f f f, e f, f, 0 f, f 0 f, e f, f f, f 0 Dar f f f, e f, f, 0 Petru u elemet oarecare f avem f e f f k fk, f ş mpuem codţle f, f 0 k,, ar de ac rezultă k II Se ormează baza F ş se obţe baza ortoormată B e, e' f e' f f f fk, e k f, f ' ' k k e ' f f e ' f f Demostrăm acum că aceşt vector au orma e' f f,, f f 5
Lector uv dr Crsta Nartea Aplcaţa 5 Folosd procedeul Gram-Schmdt să se ortoormeze baza B a spaţulu euclda Soluţe I Se costrueşte baza F f, f, f f e,, f f,,, 0,,, 0,0, B e e e ortogoală f, e f e f 0,,,,, 0,,,,,, f, e f, e f e f f = 0, 0,,,,, f, f f, f 0,0,,,,,,,,, 0,, 6 6 II Se ormează baza F ş se obţe baza ortoormată B e, ' ' e' f,, f ; e' f,, f 6 6 6 ; e' f 0,, f Baza ortoormată este B',,,,,, 0,, 6 6 6 vw, Defţa 8 Fe v ş w do vector eul Se umeşte proecţa lu v pe w prwv w w Aplcaţa 6 Găsţ proecţa lu v pe w dacă v,, ş 0,, 6 w d
Lector uv dr Crsta Nartea Soluţe pr v w w vw, 0,, 0,, w Aplcaţ Temă Găsţ cosusul ughulu dtre vector u,, ş,,5 Să se ortogoalzeze baza,0,,,,, 0,, B e e e Folosd procedeul Gram-Schmdt să se ortoormeze baza a) B e,,, e,,, e,, b) B e,0,, e,,, e,,0 4 Să se verfce dacă S u,,, u,,, u 5, 4, v d este bază ortogoală Să se determe coordoatele lu x (,4, ) î această bază 5 Să se calculeze dstaţa ş ughul dtre vector u,,,0, v,4,, Să se calculeze produsul scalar ş ormele vectorlor a) x,, y 6,7 b) x,,, y, 6, c) x,,,5, y,0,7, Folosd procedeul Gram-Schmdt să se ortoormeze baza a) B e,,, e,0,, e 5,, 7 b) B e,0,, e 0,,, e,, 7
Lector uv dr Crsta Nartea Defţa Spuem că matrcea A M K Dagoalzarea ue matrce are forma dagoală dacă A este de forma ude d, d,, d K d 0 0 A 0 0 d 0 d 0, ş se otează A dag d d d Defţa Două matrce A B M K C M K versablă astfel îcât, Defţa Spuem că A M K asemeea cu A,,, se umesc asemeea dacă exstă o matrce B C A C este dagoalzablă dacă exstă o matrce dagoală D Teorema Vector propr corespuzător la valor propr dstcte sut lar depedet Defţa 4 Spuem că aplcaţa lară T LV relatv la care matrcea lu T este o matrce dagoală este dagoalzablă dacă î V exstă o bază Observaţe Dacă aplcaţa lară T are valor propr dstcte, atuc exstă o bază î care matrcea sa are o formă dagoală ş pe dagoala prcpală se găsesc valorle propr Teorema Dacă aplcaţa lară T are ş vector propr lar depedeţ, atuc exstă o bază î care matrcea asocată lu T are forma dagoală Cazul partcular al matrcelor smetrce Defţa 5 O matrce A M se umeşte smetrcă dacă A T A Teorema ) Orce matrce reală ş smetrcă are toate valorle propr reale ) Vector propr a ue matrce reale ş smetrce care corespud la valor propr dstcte sut ortogoal ître e Teorema 4 Orce matrce pătratcă reală ş smetrcă este dagoalzablă 8
Lector uv dr Crsta Nartea Exemplu Să se dagoalzeze matrcea 7 0 A 6 0 5 9