NICOLAE PERIDE MIHAELA-GRETI CHIŢU CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI

Transcript

1 NICLAE PERIDE MIHAELA-GRETI CHIŢU CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI N R' T R T M [P] [S] R N R VLUMUL I STATICA

2 Refereţ ştţfc: Prof. uv. dr. doc. g. RADU P. VINEA Preşedtele Academe Româe de Ştţe Tehce Prof. uv. dr. g. VIREL MAIER Membru Corespodet al Academe Româe de Ştţe Tehce

3 Partea îtâ NŢIUNI INTRDUCTIVE CAPITLUL BIECTUL DE STUDIU AL MECANICII.. SCURT ISTRIC La baa feomeelor fce studate î mecacă ramură a ştţelor atur stau două oţu fudametale: matera ş mşcarea. Defţa.: Mecaca se ocupă cu studul teoretc ş practc al cele ma smple forme de mşcare a matere, cuoscută sub umele de mşcare mecacă ş deftă ca fd modfcarea relatvă a poţe uu domeu materal (dscret sau cotuu) sau a ue părţ a acestua, î raport cu u alt domeu materal cosderat ca reper sau î raport cu u sstem de referţă presupus f. bservarea feomeelor atur pe crterul forme ş dmesu domelor materale, pe crterul vtee de deplasare ş pe crterul acoperr leglor teoretce geerale ş aspectelor aplcatve ale feomeelor fce aalate, evdeţaă completatea domeulu de studu pe care îl acoperă mecaca, ştţă costtută dtr-u vast coglomerat 5

4 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI de ramur ş subramur, avâd propra lor dvdualtate: mecaca clască - ewtoaă, mecaca aaltcă, mecaca relatvstă, mecaca cuatcă, etc. ca ramur ale mecac teoretce resteţa materalelor, mecaca medlor cotue solde elastce ş plastce (teora elastctăţ ş plastctăţ), mecaca medlor cotue flude (lchde ş gaoase), mecaca costrucţlor, vbraţle mecace, etc. ca ramur ale mecac aplcate. Evoluţa î tmp ş progresele îregstrate î devoltarea aceste complee ramur a ştţelor atur care este mecaca, au fost legate de ume celebre ale umatăţ, flooful grec Arstotel, marele savat al atchtăţ Arhmede, astroomul poloe Ncolaus Coperc, astroomul germa Johaes Keppler, matematcaul, fcaul ş astroomul tala Galleo Galle, fd doar câteva dtre acestea. Este marele mert al matematcaulu, fcaulu ş astroomulu egle Isaac Newto de a f epus î mod sstematc, î lucrarea sa "Phlosophae Naturals Prcpa Mathematca" ("Prcple matematce ale floofe aturale"), oţule ş prcple mecac clasce care se costtue a ca fudamet al obectulu de studu al mecac ewtoee. Newto a euţat legle mecac sub următoarea formă: Legea I: rce corp îş păstreaă starea de repaus sau de mşcare î le dreaptă dacă u este costrâs de forţe mprmate să-ş schmbe starea. Legea a II-a: Varaţa mşcăr este proporţoală cu forţa motoare mprmată ş este drjată după la dreaptă î lugul cărea este mprmată forţa. Legea a III-a: Reacţuea este îtotdeaua cotrară ş egală cu acţuea; sau, acţule recproce a două corpur sut îtotdeaua egale ş drjate î sesur cotrar. 6

5 BIECTUL DE STUDIU AL MECANICII Studd mşcarea corpurlor materale macroscopce, cosderate ca solde rgde, edeformable, care se deplaseaă cu vtee mult ma mc decât vtea de deplasare a lum î vd, teora ştţfcă lu Newto s-a mpus cu o autortate covârştoare, legtăţle ş prcple mecac clasce avâd u asemeea grad de geeraltate, îcât multă vreme ele au fost cosderate ca fd valable î egală măsură la scară cosmcă ş la scară mcroscopcă. Evoluţa î tmp a ştţelor, acumularea sstematcă a cuoştţelor î toate domele mecac, permte a, reformularea leglor mecac postulate de Newto, îtr-o accepţue moderă, coformă celor ma recete descoperr ş realăr ale mecac, ca ramură a ştţelor atur, astfel: Legea I: Estă cel puţ u sstem de referţă î raport cu care u puct materal îş păstreaă starea de repaus sau de mşcare rectle ş uformă dacă u este costrâs de forţe mprmate să-ş schmbe starea. Legea a II-a: Dervata î raport cu tmpul a mpulsulu uu puct materal lber este egală cu forţa mprmată puctulu materal. Această lege se scre ( mv) d dt dv m ma F (.) dt î care v repretă vectorul vteă a căru mărme este eprmată î [m/s], a repretă vectorul acceleraţe a căru mărme este eprmată î [m/s ], ar m repretă masa puctulu materal eprmată î [kg]. Legea a III-a: Acţule recproce a două pucte materale lbere sut egale î modul, avâd ca suport dreapta ce ueşte cele două pucte ş sesurle opuse. 7

6 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Prcpul paralelogramulu: U puct materal lber acţoat smulta de două forţe, se mşcă tot aşa ca ş câd asupra lu ar acţoa o A C sgură forţă, avâd F R drecţa, sesul ş modulul dagoale paralelogramulu care are ca latur cele două forţe. Fg... Progresele îregstrate î electromagetsm, datortă eforturlor uor cercetător ş mar oame de ştţă cum au fost fcaul scoţa James Mawell ş fcaul germa Herch Hert, -au perms reumtulu savat Albert Este să postulee, pr teora relatvtăţ, prcple mecac corpurlor materale care se deplaseaă cu vtee comparable cu vtea de deplasare a lum î vd, formulele mecac relatvste dferd de cele ale mecac ewtoee, dar tâd către acestea atuc câd vteele de deplasare scad. Prmele modele ale atomulu, magate de fcaul egle Erest Rutherford ş de fcaul dae Nels Bohr, -au ofert fcaulu germa Ma Plack posbltatea să elaboree teora cuatelor, teore ce a fost perfecţoată de Erw Schrödger sub forma teore mecac cuatce care, studd mşcarea partculelor mcroscopce, fudameteaă relaţ de calcul care td către cele ale mecac ewtoee petru u umăr foarte mare de partcule elemetare realabl î caul corpurlor macroscopce. Se poate cocluoa că Defţa.: Mecaca teoretcă se ocupă cu studul leglor mşcăr mecace ş echlbrulu corpurlor materale avâd dferte forme ş dmesu, cosderate edeformable ş care se deplaseaă cu dferte vtee. F B 8

7 BIECTUL DE STUDIU AL MECANICII Defţa.: Mecaca tehcă studaă aplcaţle practce ale mecac teoretce, cosderâd corpurle materale deformable... DIVIZIUNILE MECANICII După atura problemelor studate, mecaca se împarte î tre mar captole: Defţa.4: Statca se ocupă cu studul echlbrulu corpurlor materale, aalâd sstemele de forţe care-ş fac echlbrul, precum ş reducerea sstemelor de forţe. Defţa.5: Cematca se ocupă cu studul mşcăr corpurlor materale fără a ţe seama de masa lor ş de forţele care le acţoeaă, realâd u studu geometrc al mşcăr. Defţa.6: Damca se ocupă cu studul mşcăr corpurlor materale ţâd seama de masa lor ş de forţele care le acţoeaă... MĂRIMI FIZICE ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ UTILIZATE ÎN MECANICĂ Mărmle fce caractereaă uele îsuşr ale matere cum ar f propretăţle fce (volum, masă, destate), starea matere (rgdtatea, vîscotatea, fludtatea), mşcarea matere (vtea, acceleraţa) ş altele. Prcpala caracterstcă a acestor mărm este că sut măsurable, dec se pot detecta ş evalua cattatv cu u mjloc de măsurare oarecare. Defţa.7: Coceptul de mărme fcă se aplcă ue mulţm de obecte fce care se bucură de aumte propretăţ comue ş petru care trebue să se îdeplească următoarele codţ: 9

8 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI! să este posbltatea stablr ue relaţ de echvaleţă, dec a uu crteru care să permtă repartarea obectelor î clase de echvaleţă;! să este posbltatea stablr ue relaţ de ordoare, dec a uu crteru care să permtă erarharea claselor de echvaleţă î raport cu o clasă umtă ero;! să este posbltatea stablr ue relaţ de comparaţe, dec a uu crteru care să permtă aprecerea cattatvă a claselor de echvaleţă î raport cu o clasă umtă utate. dată stablte aceste tre codţ, o mărme fcă, M, aparţâd ue clase de obecte fce, poate f scrsă sub forma uu produs ître o valoare umercă, ş utatea de măsură, u. M u Defţa.8: Măsurarea este operaţa de comparare drectă sau drectă a ue mărm cu o altă mărme de aceeaş atură deumtă utate de măsură. Mărmle fce d atură u sut depedete, fd sufcet să se defească u umăr restrâs de mărm fce umte fudametale sau prmtve, cu ajutorul ş pr termedul cărora se pot def celelalte mărm fce umte dervate. Utăţle de măsură ale mărmlor fce astfel alese se umesc utăţ de măsură fudametale respectv utăţ de măsură dervate, împreuă defd u sstem de utăţ de măsură. 0

9 BIECTUL DE STUDIU AL MECANICII... Mărm fce ş utăţ de măsură fudametale Ca ştţă, mecaca opereaă cu o categore de strumete cuoscute sub deumrea de mărm fce fudametale - spaţul, tmpul, masa. Defţa.9: Spaţul este o oţue care reflectă o formă fudametală ş obectvă de esteţă a matere, caracterâd poţa corpurlor ş îtderea lor. Î mecacă spaţul este cosderat trdmesoal, cotuu, otop, omoge ş ft. Utatea de măsură petru spaţu este metrul, [m]: lugmea egală cu cu 65076,7 lugm de udă î vd ale radaţe care corespude traţe atomulu de krpto 86 ître velele sale p 0 ş 5d 5. Defţa.0: Tmpul este o oţue care reflectă o formă fudametală ş obectvă de esteţă a matere, care caractereaă durata ş succesuea feomeelor ş proceselor materale. Î mecacă, tmpul este cosderat veşc, cotuu, omoge, uform crescător ş reversbl. Utatea de măsură petru tmp este secuda, [s]: durata de peroade ale radaţe corespuătoare traţe ître cele două vele hperfe ale stăr fudametale ale atomulu de cesu. Defţa.: Masa este o oţue care reflectă propretăţle geerale ş obectve de erţe ş de gravtaţe ale matere. Gravtaţa este o propretate geerală a matere care se mafestă pr atracţa recprocă a corpurlor. Ea permte defrea oţu de masă gravfcă, care repretă mărmea

10 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI scalară potvă ce eprmă cattatv propretatea matere de a produce câmp gravtaţoal. Sub această formă, masa terve î cuoscuta eprese a leg atracţe uversale mm F k (.) r Ierţa este o propretate geerală a matere care se mafestă pr îsuşrea corpurlor de a se opue acţu altor corpur de a modfca starea de mşcare sau de repaus relatv. Ea permte defrea oţu de masă ertă, care repretă mărmea scalară potvă ce eprmă cattatv propretatea de erţe a matere. Sub această formă, masa terve î legea fudametală a mecac F ma (.) Utatea de măsură petru masă este klogramul, [kg]: masa prototpulu teraţoal de plată radată adoptat î aul 889 de Coferţa Geerală de Măsur ş Greutăţ ş păstrat la Sèvres î Fraţa. Pr epereţele de mare prece făcute pâă î preet, u s-a putut decela c o dfereţă ître masa gravfcă ş masa ertă, deş gravtaţa ş erţa sut propretăţ dferte ale uu corp materal. Newto îsuş afrmă î "Phlosophae Naturals Prcpa Mathematca" că u corp cu cât este ma greu, este ma ert.... Mărm fce ş utăţ de măsură dervate Ca ştţă, mecaca opereaă cu o categore de strumete cuoscute sub deumrea de mărm fce dervate, dtre care vom cosdera, petru eemplfcare, doar forţa. Defţa.: Forţa este o oţue care îtrueşte toate caracterstcle

11 BIECTUL DE STUDIU AL MECANICII ue mărm vectorale ş care reflectă feomeul fc obectv de teracţue mecacă dtre corpurle materale. Utatea de măsură petru forţă este ewtoul, N: forţa care mprmă uu corp cu masa de kg, o acceleraţe de m/s. Î tehcă sut îtâlte î mod curet două ssteme de utăţ de măsură: sstemul tehc, avâd ca mărm fce fudametale spaţul, tmpul ş forţa ş sstemul fc, avâd ca mărm fce fudametale spaţul, tmpul ş masa. Tabelul.: Sstemul teraţoal de utăţ de măsură Mărmea Ecuaţa dmesoală Utatea de măsură Smbolul Alte ssteme de utăţ de măsură utăţ de măsură fudametale (prmtve) lugmea L metrul m - masa M klogramul kg - tmpul T secuda s - utăţ de măsură dervate ara L metrul pătrat m - volumul L metru cub m - destatea ML - klogramul pe kg/m - metrul cub vtea LT - metrul pe secudă m/s - acceleraţa LT - metrul pe secudă la pătrat m/s - frecveţa T - hert H s - forţa LMT - ewto N kgm/s presuea L - MT - pascal Pa N/m eerga, L MT - joule lucrul J Nm mecac puterea L MT - watt W J/s ughul - rada pla rad. - vtea T - rada pe secudă ughulară rad./s s - acceleraţa T - rada pe secudă ughulară la pătrat rad./s s -

12 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Î preet, î ţara oastră ş î umeroase alte ţăr d lume a fost trodus sstemul fc teraţoal de utăţ de măsură, (Tabelul.), avâd ca utăţ de măsură fudametale metrul, [m], petru lugm, klogramul, [kg], petru masă ş secuda, [s], petru tmp. Petru a stabl utăţle de măsură dervate se scre ecuaţa dmesoală a mărm fce dervate respectve sub forma a b c L M T, ude a, b, c sut epoeţ umerc ş se deduce utatea de măsură corespuătoare. Î orce sstem de utăţ de măsură se pot folos multpl sau submultpl ecmal a utăţlor de măsură. Multpl Submultpl Factorul de Preful Smbolul Factorul de Preful Smbolul multplcare multplcare 0 8 ea E 0 - dec d 0 5 peta P 0 - cet c 0 tera T 0 - ml m 0 9 gga G 0-6 mcro µ 0 6 mega M 0-9 ao 0 klo k 0 - pco p 0 hecto h 0-5 femto f 0 deca da 0-8 atto a.4. Modele teoretce utlate î mecacă Avâd î vedere completatea ş varetatea lor, mecaca studaă dfertele dome materale ş mşcarea acestora, cu ajutorul uor modele schematate care reţ uma caracterstcle eseţale ale acestora ş care le fac propr petru calculul matematc. Î mecacă se folosesc ca modele teoretce:! puctul materal, model care se aplcă acelor dome materale ale căror dmesu sut egljable î raport cu dstaţele dtre ele ş a căror formă u joacă practc c u rol î desfăşurarea mşcăr. Acest model are ca elemete 4

13 BIECTUL DE STUDIU AL MECANICII caracterstce puctul geometrc, ca repreetat al poţe domeulu materal ş masa, ca mărme ce caractereaă erţa domeulu cosderat.! la materală, model care se aplcă acelor dome materale la care două dtre dmesu, lăţmea ş grosmea, sut relatv mc î raport cu lugmea ş u joacă practc c u rol î desfăşurarea mşcăr. Acest model are ca elemete caracterstce o le geometrcă care poate f dreaptă sau curbă, ca repreetat al ae domeulu materal ş o masă, dstrbută pe utatea de lugme, ca mărme ce caractereaă erţa domeulu cosderat. Lle materale pot f bare dacă opu resteţă la îcovoere sau fre dacă u opu resteţă la îcovoere.! suprafaţa materală, model care se aplcă acelor dome materale la care ua dtre dmesu, grosmea, este relatv mcă î raport cu lugmea ş lăţmea ş u joacă practc c u rol î desfăşurarea mşcăr. Acest model are ca elemete caracterstce o suprafaţă geometrcă, plaă sau curbă, ca repreetat al suprafeţe medae a domeulu materal ş o masă, dstrbută pe utatea de are, ce caractereaă erţa domeulu cosderat. Suprafeţele materale pot f plăc, dacă opu resteţă la îcovoere, sau membrae dacă u opu resteţă la îcovoere.! corpul materal, model care se aplcă domelor materale la care cele tre dmesu, lugmea, lăţmea ş grosmea, au orde de mărme comparable. Acest model are ca elemete caracterstce volumul geometrc ş o masă, dstrbută pe utatea de volum, ca o caracterstcă a erţe domeulu materal cosderat. Corpurle materale se umesc solde rgde dacă rămâ edeformate la acţule ce td să le schmbe forma.! medul cotuu sau cotuul materal, model î care se cosderă că îtregul spaţu ocupat de domeul materal este 5

14 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI umplut cu substaţă, deş este be cuoscută structura atomcă dscotuă a corpurlor. 6

15 CAPITLUL NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL.. DEFINIŢII Î mecacă se opereaă, î mod obşut, cu două categor de mărm fce: mărm scalare ş mărm vectorale. Defţa.: Se umeşte mărme scalară sau scalar o mărme fcă caracterată prtr-u umăr real care repretă valoarea sa umercă î utatea de măsură cosderată. Eemple: tmpul, masa, temperatura, destatea, lucrul mecac, eerga, puterea, etc. Defţa.: Se umeşte mărme vectorală o mărme fcă caracterată prtr-u umăr potv (umt modul, testate, mărme sau valoare umercă) ş prtr-o oretare î spaţu (drecţa ş sesul pe drecţa respectvă). Eemple: deplasarea, vtea, acceleraţa, forţa, etc. Elemetele uu vector v AB, evdeţate î Fgura., sut:! orgea vectorulu sau puctul său de aplcaţe (puctul A);! drecţa vectorulu (dreapta suport, precum ş orgea orcare altă dreaptă paralelă cu ea); A! sesul vectorulu (sesul este dcat de vârful săgeţ, de la A la B); Fg... v B sesul dreapta suport 7

16 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI! modulul vectorulu (umărul potv care repretă lugmea segmetulu AB) ş care se oteaă v... PERAŢII CU VECTRI... Sstemul cartea de referţă Defţa.: Se umeşte sstem de referţă cartea, u asamblu de tre ae cocurete ş ecoplaare. Dacă aele sut ş perpedculare ître ele, sstemul de referţă se umeşte cartea trortogoal. U sstem de referţă (ordea aelor fd,, ) este drept dacă, petru a aduce aa peste aa prtr-o rotaţe de ugh ma mc de π, ea trebue rottă î ses drect (î ses trgoometrc) î plaul. Defţa.4: Se umeşte versor sau vector utate al ue ae u vector u de modul egal cu utatea, avâd orgea stuată pe aă, drecţa ş sesul ae. v v k j v γ α v β Fg... Versor aelor de coordoate ale sstemulu de referţă cartea trortogoal sut, j, k. Dacă v, v, v sut proecţle vectorulu v pe aele sstemulu cartea de referţă ş α, β, γ sut ughurle (umte ughur drectoare) pe care vectorul 8

17 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL v le face cu aceste ae, aşa cum se vede î Fgura., atuc sut valable relaţle care dau mărmea ş oretarea vectorulu cosderat: v v + v j + v k; v v v + v v ; (.) + v cosα v v cosβ v v cos γ v v v v v v v + v + v + v + v + v + v ; ; (.) Vector se pot clasfca după cum urmeaă:! vector lber! vector aluecător;! vector legaţ. Defţa.5: Se umeşte lber, vectorul care, păstrâdu-ş modulul, drecţa ş sesul, îş poate muta orgea î orce puct d spaţu. Î caul repreetăr v lor î sstemul cartea v trortogoal, vector lber sut caracteraţ de tre A v mărm scalare depedete, repreetate î Fgura.a, v de proecţle pe aele tredrulu de referţă, v, v, v. Fg... a 9

18 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Defţa.6: Do vector lber se umesc egal sau echpoleţ dacă ş uma dacă au drepte suport paralele, au acelaş ses ş acelaş modul. v v v b a P A v Fg... b Defţa.7: Se umeşte aluecător, vectorul care, păstrâdu-ş modulul, drecţa ş sesul, îş poate muta orgea î orce puct, P, de pe dreapta sa suport. Î caul repreetăr lor î sstemul cartea trortogoal, vector aluecător sut caracteraţ de u umăr de cc mărm scalare depedete, repreetate î Fgura..b, de proecţle lor pe aele tredrulu de referţă, v, v, v ş de două coordoate, a ş b. Defţa.8: Do vector aluecător se umesc egal sau echvaleţ dacă ş uma dacă au aceeaş dreaptă suport, au acelaş ses ş acelaş modul. Defţa.9: Se umeşte legat, vectorul care îş păstreaă eschmbate toate elemetele (modulul, drecţa, sesul ş puctul de aplcaţe). 0

19 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL v v r A v v Fg... c Î caul repreetăr lor î sstemul cartea trortogoal, vector legaţ pot f caracteraţ de şase mărm scalare depedete, repreetate î Fgura..c, de proecţle lor pe aele tredrulu de referţă, v, v, v ş de tre coordoate,, ş. Defţa.0: Do vector legaţ se umesc egal sau detc dacă au aceeaş dreaptă suport, au aceeaş orge, ses ş modul.... Suma vectorlor Defţa.: Suma a do vector a ş b este u vector c, repreetat î modul, drecţe ş ses pr dagoala paralelogramulu avâd ca latur aceşt vector. (Fgura b.4.) c c a + b (.) a Fg..4.

20 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Suma V a uu umăr ft de vector v,, se obţe aşeâd vector îtr-o orde v oarecare, astfel îcât fecare vector v să abă orgea sa î etremtatea vectorulu precedet. V Fgura astfel formată este v v cuoscută sub umele de polgoul vectorlor compoeţ. Fg..5. Vectorul V are ca orge, orgea prmulu vector ş ca etremtate, etremtatea ultmulu vector cosderat, aşa cum se vede î Fgura.5. Î sstemul cartea trortogoal, suma a do vector a a + a j a k ş b b + b j b k este u vector, + + c c + c j c k, care este dat de relaţa + ( a + b ) + ( a + b ) j + ( a b )k c a + b (.4) + Suma uu umăr ft de vector,, este vectorul v v + v j v k, + V v + j v + k v (.5) Suma vectorlor se bucură de următoarele propretăţ:! comutatvtate v v v v + + (.6)! asocatvtate ( v v ) + v v + ( v + ) + (.7) v

21 ! estă elemet eutru NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL 0 + v v (.8)... Îmulţrea uu vector cu u scalar Defţa.: Pr îmulţrea uu vector v cu u scalar m, se obţe u vector mv al căru modul este dat de relaţa mv m v, a căru drecţe cocde cu cea a vectorulu v, sesul fd acelaş cu cel al vectorulu v dacă m > 0 ş vers acestua dacă m < 0. Î sstemul cartea trortogoal, pr îmulţrea vectoru- a a + a j a k cu scalarul m, se obţe vectorul lu + ma m a ma + ma j ma k (.9) + Produsul uu vector cu u scalar se bucură de următoarele propretăţ:! estă elemet eutru! estă elemet ul! asocatvtate mtă m v v (.0) 0 v 0 (.) ( v) ( m )v (.)! dstrbutvtate î raport cu aduarea ( m + ) ( + b) ma + mb m a v mv + v (.)

22 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI..4. Produsul scalar a do vector Defţa.: Produsul scalar a do vector a ş b este u scalar m, care se obţe multplcâd modulele celor do vector cu cosusul ughulu dtre dreptele lor suport: ( a, b) m a b a b cos (.4) Î sstemul cartea trortogoal, produsul scalar a do vector a a + a j a k ş b b + b j b k este u scalar + + m a b a b + a b + a b (.5) Produsul scalar a do vector se bucură de următoarele propretăţ:! comutatvtate a b b a (.6)! dstrbutvtate î raport cu aduarea ( a b) c a c + b c + (.7)! produsul scalar a do vector u este asocatv ( b c) ( a b) c a (.8)! produsul scalar a do vector este ul dacă ş uma dacă vector sut perpedcular sau dacă uul dtre e este ul...5. Produsul vectoral a do vector Defţa.4: Produsul vectoral a do vector a ş b este u vector v ormal pe plaul format de ce do vector, avâd sesul dat de 4

23 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL regula burghulu drept ş modulul dat de produsul modulelor celor do vector cu susul ughulu dtre dreptele lor suport: v a b v a b s ( a, b) (.9) Drecţa vectorulu v este perpedculară pe plaul format de vector a ş b, ar sesul este dat de regula burghulu drept. Î sstemul cartea trortogoal, produsul vectoral a do vector a a + a j a k ş b b + b j b k este u vector + + v a b j k a b a b a b ( a b a b ) + ( a b a b ) j + ( a b a b )k (.0) Produsul vectoral a do vector se bucură de următoarele propretăţ:! atcomutatvtate a b b a (.)! dstrbutvtate î raport cu aduarea ( a b) c a c + b c + (.)! produsul vectoral a do vector u este asocatv ( b c) ( a b) c a (.) 5

24 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI! produsul vectoral a do vector este ul dacă ş uma dacă vector sut paralel (colar) sau dacă uul dtre vector este ul...6. Produsul mt Defţa.5: Produsul mt a tre vector a, b ş c este, pr defţe, u scalar m, reultat al produsulu scalar dtre vectorul a ş produsul vectoral b c. ( b c) m a (.4) Î sstemul cartea trortogoal, produsul mt al vectorlor a a + a j a k, b b + b j b k ş + c c + c j c k este scalarul + m a ( b c) a b c a b c a b c + ( b c b c ) a ( b c b c ) a + ( b c b c ) a (.5) Produsul mt se bucură de următoarele propretăţ:! produsul mt este varat dacă se permută crcular factor să ( b c) b ( c a) c ( a b) a (.6)! produsul mt îş schmbă semul dacă se permută ître e do terme ( b c) a ( c b) a (.7) 6

25 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL! produsul mt este ul dacă ş uma dacă vector sut coplaar sau dacă uul d terme este ul. bservaţa.: Ître versor aelor de coordoate ale sstemulu de referţă cartea trortogoal se pot scre următoarele relaţ: j k; j k ;k j; j j k ; j j k k 0; j k;k j ; k j; ( j k) j ( k ) k ( j) ; ( k ( j) ( k.. FRŢA MĂRIME VECTRIALĂ (.8)... Forţa ca vector aluecător Î mecacă se lucreaă, cel ma adesea, cu u model dealat de corp materal, umt sold rgd, caracterat de faptul că rămâe edeformat la acţule ce td să- schmbe forma (dstaţa dtre două pucte oarecare ale sale este costată, orcare ar f forţele ce acţoeaă asupra corpulu). A F dreapta suport F B F A dreapta suport a) b) c) Fg..6 F B F F A dreapta Î Fgura.6 a, asupra uu sold rgd acţoeaă forţa F aplcată î puctul A. Se poate demostra că efectul aceste forţe asupra soldulu rgd, rămâe acelaş, dferet ude s-ar găs forţa pe suportul său. Dacă î puctul B, aşa cum se arată î 7

26 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Fgura.6 c, se aplcă sstemul de forţe F ş F, echvalet cu ero, efectul mecac eerctat asupra soldulu rgd u se modfcă. Î partcular, forţa F aplcată î puctul A ş forţa F aplcată î puctul B, avâd ca suport dreapta AB u au c u efect asupra rgdulu (Fgura.6 b) reultata lor fd ulă. Pr urmare, asupra soldulu rgd acţoeaă uma efectul mecac dat de forţa F aplcată î puctul B. Avâd acelaş efect mecac asupra soldulu rgd, forţa F aplcată î puctul A ş forţa F aplcată î puctul B, se umesc echvalete, sau, cu alte cuvte, pr aluecarea pe dreapta sa suport, d puctul A î puctul B, forţa F u modfcă efectul mecac asupra soldulu rgd. Dec forţa F are caracterul uu vector aluecător.... Mometul ue forţe î raport cu u puct Defţa.6: Mometul ue forţe F î raport cu u puct umt pol, este dat de produsul vectoral dtre vectorul de poţe r al puctulu de aplcaţe A al forţe ş vectorul forţă F. M ( F ) d r A F α ( F) r F M (.9) Fg..7. Mometul M ( F) este u vector legat, aplcat î puctul, care are, corespuător defţe, drecţa perpedculară pe plaul format de vector r ş F, sesul dat de regula burghulu drept ş modulul dat de relaţa 8

27 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL M ( F) r F s( r, F) r F s α F d (.0) Î relaţa (.0), d se umeşte braţul forţe ş repretă dstaţa de la puctul la dreapta suport a forţe F, ar α repretă ughul dtre dreptele suport ale vectorlor r ş F. Îtr-u sstem cartea trortogoal, câd vector r ş F sut daţ pr compoetele lor, r + j + k respectv F F + F j F k, epresa aaltcă a mometulu ue forţe + F î raport cu u puct umt pol, M este dată de relaţa ( F) M + M j M k (.) + M ( F) j k r F F F ( F F ) + ( F F ) j + ( F F )k F (.) Idetfcâd membru cu membru relaţle (.) ş (.), se obţ epresle proecţlor mometulu, M ( F), ue forţe î raport cu u puct, pe aele sstemulu cartea de coordoate M M M F F ; F F F; F. (.) 9

28 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI M, ue forţe î raport cu u puct, se bucură de toate propretăţle produsulu vectoral, la care se adaugă:! este ul dacă produsul vectoral r F este ul ( r 0, F 0, r F ) sau, cu alte cuvte, câd puctul se află pe dreapta suport a forţe. Mometul, ( F) M ( F ) (P) ' r'' r A r' F B F Fg..8.! este varat la operaţa de luecare a forţe F pe dreapta sa suport. Îtr-adevăr, aalâd Fgura.8, M ( F) r' F ( r + AB) F r F + AB F r F M ( F ) deoarece AB F 0, vector AB ş F fd colar.! varaă dacă se schmbă poţa polulu d î, dreapta suport a forţe F rămââd eschmbată. Îtr-adevăr, aalâd Fgura.8, M ( F) r' ' F ( ' + r) F ' F + r F ' F M ( F) ' + bservaţa.: Dacă polul se deplaseaă pe o dreaptă paralelă cu dreapta suport a forţe, atuc mometul forţe î raport cu acest puct umt pol, este varat la schmbarea poţe sale.! ître proecţle forţe F pe aele sstemulu cartea de 0

29 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL coordoate ş proecţle mometulu ( F) M dat de această forţă î raport cu puctul, pe aele aceluaş sstem de ae de coordoate, estă o relaţe scalară detc satsfăcută ş care eprmă perpedculartatea celor do vector sau, devoltat, F M F + F M ( F) 0 F M + F M 0 ( F F ) + F ( F F ) + F ( F F ) 0 bservaţa.: Proecţle forţe F pe aele sstemulu cartea de coordoate ş proecţle mometulu M ( F) dat de această forţă î raport cu puctul, pe aele aceluaş sstem de ae de coordoate, caractereaă vectorul F ca vector aluecător. Mometul forţe î raport cu u puct rămââd acelaş câd forţa aluecă pe suportul e, permte folosrea lu petru dcarea suportulu forţe. Acest suport se află îtr-u pla M ( F) perpedcular pe drecţa mometulu, la dstaţa d ş F de acea parte a lu care corespude sesulu mometulu (forţa aflată pe acest suport trebue să rotească burghul astfel îcât el să îatee î sesul mometulu).... Mometul ue forţe î raport cu o aă Defţa.7: Mometul ue forţe F î raport cu o aă ( ), de versor u, este dat de proecţa pe aă a mometulu forţe F î raport cu u puct oarecare al ae (Fgura.9).

30 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI ( F) M ( F) cos α M ( F) u ( r F) u M (.4) M '( F ) α ' M ( F ) M ( F ) r' α r M ( F ) F A u Fg..9. Dec, mometul uu vector î raport cu o aă este produsul mt dtre vector r, F ş versorul u al ae ( ), ş, î cosecţă, se bucură de toate propretăţle produsulu mt. Petru ca defţa formulată să abă ses, este ecesar să se demostree că mometul ue forţe F î raport cu o aă ( ), de versor u, u depde de poţa puctulu pe aă. Aalâd Fgura.9 se scre M' ( F) ( r' F) u ( ' + r) F) ( ' F) u + ( r F) u M ( F) deoarece ( ' F) u 0, vector ' u (.5) ş u fd colar. Î practcă, mometul ue forţe î raport cu o aă se determă proectâd forţa pe u pla perpedcular pe aă ş calculâd mometul aceste proecţ î raport cu puctul î care aa îţeapă plaul. Îtr-adevăr, dacă se descompue forţa după drecţa ae ş după drecţa paralelă cu proecţa e pe plaul perpedcular pe aă (Fgura.0) atuc reultă

31 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL u A F F F r (P) r' A F d ( ) M ( F) ( r F) u Fg..0. ( r' + AA' ) ( F' + F' ' ) u ( r' F' ) u + ( r' F'' ) u + ( AA' F' ) u + ( AA' F'' ) ( r' F' ) u M ( F' ) u M ( F' ) ± u (.6) Î relaţa (.6), tre dtre produsele mte sut ule deoarece au cel puţ câte do vector paralel cu aa ( ). Semele + ş d aceeaş relaţe dovedesc faptul că mometul ue forţe î raport cu o aă este u scalar potv dacă proecţa sa pe aă are sesul versorulu u ş egatv dacă are sesul cotrar acestua. bservaţa.4: Î aplcaţle tehce, terve frecvet oţuea de momet al ue forţe î raport cu u puct î pla, care este, de fapt, u scalar care eprmă mometul forţe î raport cu o aă, perpedculară pe pla, pe care îl îţeapă î puctul respectv...4. Cuplu de forţe Defţa.8: U sstem de două forţe F ş F, egale î modul, parale-

32 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI le, opuse ca ses ş acţoâd pe suportur dferte, se umeşte cuplu de forţe., aplcat uu sold rgd, are reultata ulă ş î mprmă acestua u efect mecac de rotaţe. Mometul, C, al cuplulu de forţe, ( F, F), î raport cu puctul, este dat de suma mometelor celor două forţe care alcătuesc cuplul, î raport cu puctul.( Fgura.). Cuplul de forţe, ( F, F) ( F) + B F ( B A) F AB F C A (.7) CM (F) -F A α d B F Fg..., î raport cu puctul, este u vector lber (u depde de puctul, putâd f aplcat î orce puct d spaţu), care are drecţa perpedculară pe plaul format de cele două forţe care alcătuesc cuplul, sesul dat de regula burghulu drept (Fgura.) ş modulul dat de relaţa Mometul, C, al cuplulu de forţe, ( F, F) C AB F AB F s α AB F s F d ( AB, F) (.8) 4

33 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL Î relaţa (.8), d se umeşte braţul cuplulu ş repretă dstaţa dtre dreptele suport ale forţe F, ar α repretă ughul dtre dreptele suport ale vectorlor AB ş F...5. Reducerea forţelor..5.. Ssteme echvalete de forţe Se cosderă o forţă F aplcată îtr-u puct A al uu sold rgd. (Fgura.). A reduce forţa F î puctul îseamă a troduce î u sstem echvalet cu forţa F care să abă acelaş efect mecac asupra soldulu rgd. Defţa.9: Două ssteme de forţe se umesc echvalete dacă pot reulta uul d celălalt prtr-o CM (F) succesue de operaţ elemetare F de echvaleţă. F r -F Sstemele echvalete se A obţ pr aplcarea operaţlor elemetare de echvaleţă:! aluecarea ue forţe pe Fg... dreapta sa suport;! descompuerea ue forţe î compoetele sale pe ae cocurete;! troducerea î / elmarea d sstem a forţelor egale î modul ş de ses cotrar;! îlocurea forţelor cocurete cu reultata lor Torsor de reducere Aplcarea (Fgura.) î puctul a două forţe de sesur opuse, egale î modul cu forţa F care acţoeaă î puctul A ş avâd aceeaş drecţe cu aceasta, u modfcă cu mc efectul mecac asupra soldulu rgd. Forţa F aplcată î 5

34 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI puctul A ş forţa F aplcată î puctul, formeaă u cuplu de forţe, de momet ( F) r F C M (.9) Î cosecţă, asupra soldulu rgd, î puctul acţoeaă forţa F ş mometul M ( F), al căror efect mecac este echvalet cu cel al forţe F aplcată î puctul A. Forţa F ş mometul M ( F) se umesc elemete de reducere î puctul sau torsorul de reducere al forţe F aplcată î puctul A, ş se oteaă ( F, r F) τ (.40) Petru u sstem de forţe F,,, aplcate î puctele A,, ş care au, respectv, vector de poţe r,, î raport cu puctul, fecare forţă F aplcată î puctul A, se îlocueşte cu o forţă F ş u momet M ( F ) r F, aplcate î puctul. Sstemul forţelor F cocurete î puctul se îlocueşte cu u vector reultat R ş, aalog, mometele M ( F ) r F M M ( F ). F se îlocuesc cu u vector momet reultat, Î coclue, torsorul de reducere al sstemulu de forţe F,,, se scre τ (, M ) F, r F R (.4) 6

35 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL Î practcă, se pue de foarte multe or problema îlocur acţu uu sstem de forţe care acţoeaă asupra uu sold rgd, cu acţuea altu sstem de forţe, care dferă, î geeral, de prmul atât pr umărul de forţe aplcate cât ş pr modulul, drecţa ş sesul lor, dar care să abă acelaş efect mecac asupra soldulu rgd. Acest lucru se realeaă, aşa cum s-a arătat ateror, cu ajutorul operaţlor elemetare de echvaleţă. Teorema de echvaleţă a două ssteme de vector aluecător: Două ssteme de forţe sut echvalete dacă au, îtr-u puct, aceeaş forţă reultată ş acelaş momet reultat, sau, cu alte cuvte, dacă au acelaş torsor de reducere î puctul cosderat. Torsorul de reducere se bucură de următoarele propretăţ:! la schmbarea puctulu de reducere, forţa reultată R, obţută pr costrurea polgoulu forţelor, rămâe eschmbată, fd u varat î raport cu puctul de reducere;! la schmbarea puctulu de reducere, mometul reultat se modfcă corespuător relaţe M ' r' R ( ' + r) ' R + r R M R + ' R (.4) ' r' F A r Astfel, îtr-u puct ', al soldulu rgd, (Fgura.), torsorul de reducere al sstmulu de forţe F,,, se scre Fg... 7

36 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI ( R, M' ) F, M + ' R τ (.4)! produsul scalar dtre forţa reultată R ş mometul reultat M este o mărme costată, fd u varat î raport cu puctul de reducere; Îtr-adevăr, îmulţd scalar cu R, relaţa (.4) deve: ' ( ' R) R M produsul mt R ( ' R) R M R M R, (.44) M ' ul. fd M α M R ' β M R R Fg..4. R Relaţa (.44) se ma scre, coform celor preetate î Fgura.4, R M R M ' R M R M ' cosβ cosα R pr R pr dec, pr M' pr M M R cost. R R adcă, proecţa mometulu reultat pe drecţa forţe reultate este u varat î raport cu puctul de reducere. Ţâd cot de epresle aaltce ale vectorlor R R + R j + R k ş M M + M j + M k, relaţa (.44) se scre R M R M + R M + R M costat (.45) R R M M ' 8

37 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL ş se umeşte trom varat sau scalarul torsorulu sstemulu de forţe dat Torsor de reducere mmal. Aa cetrală Cosderâd u sstem oarecare de forţe acţoâd asupra uu sold rgd, se pue îtrebarea care este valoarea mmă a torsorulu sstemulu de forţe dat ş î care pucte de reducere se obţe această valoare. Aşa cum reultă d ua dtre propretăţle torsorulu de reducere, acesta se modfcă la schmbarea puctulu de reducere, ca o cosecţă a modfcăr mometulu reultat M. M N îtr- Este posbl să se descompuă mometul reultat două compoete M R după drecţa reultate R ş u pla ormal pe drecţa reultate R. (Fgura.5) R N M î M M + M (.46) Cum compoeta M M R este varată, R M N reultă că modfcărle M mometulu reultat R M ş mplct ale torsorulu de reducere, sut determate de Fg..5. compoeta M N care, î fucţe de puctul de reducere, poate lua orce valoare ş orce poţe î plaul ormal pe drecţa reultate R. Se demostreaă că estă pucte î care compoeta M este ulă. N 9

38 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Î cosecţă, valoarea mmă a mometulu reultat M este compoeta M R a acestua ş se realeaă î puctele î care compoeta M N se auleaă. Mărmea mometulu mm este dată de relaţa M m R M R M + R + R M R (.47) R R + R + R M M S-a arătat î paragrafele precedete că mometul reultat varaă câd se schmbă polul. Se pue problema determăr valor mme a modululu acestu vector. Notâd cu M, M, M proecţle vectorulu M, cu R, R, R proecţle vectorulu R ş cu,, coordoatele puctulu P î care modulul mometulu reultat este mm, epresa MP a acestua se scre: j k M M + P R M + M j + M k + sau ar 40 P M M P codţle: P ( M R + R ) + ( M R + R ) + ( M R + R )k + ( M R + R ) + ( M R + R ) ( M R + R ) f (,, ) Petru a calcula mmul fucţe (,, ) f 0, f 0, f 0 R R j + + R f se pu

39 Reultă M NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL ( R + R ) R ( M R + R ) R 0 ( M R + R ) R M R + R ) R 0 ( M R + R ) R ( M R + R ) R 0 Este uşor de verfcat că ecuaţle de ma sus u sut depedete. Îtr-adevăr, dacă se multplcă prma ecuaţe cu R, a doua cu R ş a trea cu R ş se aduă, se obţe 0 0. Reultă că uma două dtre aceste ecuaţ sut depedete. Împărţd prma relaţe cu R R, a doua cu R R ş a trea cu R R, aceste ecuaţ pot f puse sub forma a tre rapoarte egale, ceea ce coduce la obţerea relaţe M R + R M R + R M R + R (.48) R R R Defţa.: Locul geometrc al puctelor î care, efectuâd reducerea, torsorul sstemulu de forţe are valoarea mmă, este o dreaptă, obţută pr tersecţa a două plae, umtă aa cetrală a sstemulu de forţe cosderat. bservaţa.5: Torsorul de reducere mmal este dec, asamblul format d vector (avâd ca dreaptă suport aa cetrală): R - vectorul forţă reultată a sstemulu de forţe; M - mometul reultat mm ş se oteaă R m ( R, M ) R τ (.49) Caurle de reducere ale sstemelor de forţe oarecare Câd u sstem de forţe oarecare se reduce îtr-u puct 4

40 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI, se pot îtâl următoarele caur de reducere:. R 0; M 0, ceea ce îseamă că sstemul de forţe dat este echvalet cu ero, dec torsorul de reducere este ul.. R 0; M 0, ceea ce îseamă că sstemul de forţe dat este echvalet cu o reultată ucă, R F, al căre suport trece pr puctul de reducere,. Este valablă următoarea teoremă: Teorema mometelor (Teorema lu Vargo): petru u sstem de forţe care se reduce la o reultată ucă, mometul reultate î raport cu u puct este egal cu suma vectorală a mometelor forţelor compoete calculate î raport cu acelaş puct. ( R) M (.50) M M (F ) Petru u sstem de forţe care se reduce la o reultată ucă, mometul reultate î raport cu o aă este egal cu suma algebrcă a mometelor forţelor compoete calculate î raport cu acea aă. M ( R) M ( F ) M (.5). R 0; M 0, ceea ce îseamă că sstemul de forţe dat este echvalet cu u cuplu ale căru forţe, F, au sesurle alese astfel îcât să se respecte regula burghulu drept ş sut stuate îtr-u pla perpedcular pe drecţa mometulu M, la dstaţa d care respectă relaţa F d M. 4

41 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL 4. R 0; M 0, ca î care se pot dstge două stuaţ, după cum tromul varat R M este ul sau u: 4.a. R M 0, (ce do vector sut ortogoal) ceea ce îseamă că sstemul de forţe dat este echvalet cu o reultată ucă R F, aflată pe aa cetrală, mometul mm fd egal cu ero. 4.b. R M 0, (ce do vector fac ître e u π ugh α ) ceea ce îseamă că sstemul de forţe dat este echvalet cu o reultată R, aflată pe aa cetrală, ş u F cuplu acţoâd îtr-u pla ormal pe aa cetrală al căru momet este M. R Caurle de reducere ale sstemelor de forţe partculare Reducerea sstemelor de forţe oarecare, preetată î paragraful ateror, are elemete specfce ş este mult ma smplă î caul sstemelor de forţe partculare, aşa cum se va vedea î cotuare. A. Caul forţelor cocurete Defţa.: mulţme de forţe, ale căror suportur trec pr acelaş puct, formeaă u sstem de forţe cocurete. Ca vector aluecător, toate forţele pot alueca pe dreptele lor suport, astfel ca puctele lor de aplcaţe să fe stuate î. Forţa reultată este R F. Mometele acestor forţe î 4

42 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI raport cu puctul sut ule, deoarece vector de poţe r 0 ş dec, mometul reultat M ( F ) M r F este, de asemeea, ul. Î coclue, u sstem de forţe cocurete este echvalet cu o reultată ucă F, sau este echvalet cu ero dacă R 0. B. Caul forţelor coplaare R al căre suport trece pr puctul Defţa.: mulţme de forţe, ale căror suportur sut, toate, coţute îtr-u acelaş pla, [P], formeaă u sstem de forţe coplaare. Forţa reultată F R se află î plaul [P] al forţelor, ar mometul reultat M ( F ) M r F este ormal pe acest pla. Dacă se cosderă plaul ca pla al forţelor, ar compoetele vectorlor de poţe ş ale forţelor sut r + j respectv F F + F j atuc, elemetele torsorulu de reducere au epresle aaltce R F F + F j R + R j τ (.5) M ( ) r F F F k M k 44

43 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL Se observă că tromul varat R M 0, ceea ce îseamă că ce do vector, vectorul reultat R ş mometul reultat M, sut îtotdeaua ortogoal. Î caul cel ma geeral, u sstem de forţe coplaare este echvalet cu o reultată ucă, aflată pe aa cetrală care, î acest ca, se umeşte suportul reultate. D relaţa (.5), reultă j k M k 0 sau R R M (.5) R R 0 adcă, char ecuaţa suportulu reultate. bservaţa.6: La reducerea sstemelor de forţe coplaare, sut posble ş următoarele două stuaţ:! R 0;M 0, caul sstemulu de forţe echvalet cu ero;! R 0; M 0, caul sstemulu de forţe echvalet cu u cuplu ale căru forţe sut coţute î plaul forţelor date ş al căru momet este M. C. Caul forţelor paralele Defţa.4: mulţme de forţe ale căror suportur sut drepte paralele ître ele, formeaă u sstem de forţe paralele. Forţa reultată F R are suportul paralel cu cel al sstemulu de forţe dat, ar mometul reultat, calculat î raport cu puctul de reducere, M M ( F ) r F, se află 45

44 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI 46 îtr-u pla perpedcular pe suportul sstemulu de forţe dat, mometul fecăre forţe fd perpedcular pe dreapta sa suport. Dacă se cosderă că versorul drecţe forţelor paralele este u, atuc, elemetele torsorulu de reducere î raport cu puctul, au epresle aaltce τ u F r F u r F r M u F F R (.54) Sstemul de forţe paralele, î ca geeral, este echvalet cu o forţă ucă, aflată pe aa cetrală, a căre drecţe este paralelă cu suportul sstemulu de forţe dat. D teorema lu Vargo, reultă u F r u F r sau 0 u F r F r (.55) Produsul vectoral fd ul, ecuaţa vectorală (.55) este echvaletă cu ecuaţa u F r F r β, vector fd, î aceste codţ, colar. Se poate scre u r u F F F r r C + α β (.56) Relaţa (.56) - î care, α ş β sut parametr, β α F

45 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL - este ecuaţa vectorală a ue drepte care trece pr puctul C, umt cetru al forţelor paralele ş care este caracterat de vectorul de poţe F r r C (.57) F Se demostreaă următoarele următoarele propretăţ ale cetrulu forţelor paralele:! cetrul forţelor paralele u-ş schmbă poţa dacă drecţa tuturor forţelor se roteşte cu acelaş ugh;! cetrul forţelor paralele u-ş schmbă poţa dacă se multplcă mărmea tuturor forţelor cu acelaş scalar;! poţa cetrulu forţelor paralele u depde de orgea sstemulu de ae de coordoate. bservaţa.7: La reducerea sstemelor de forţe paralele, sut posble ş următoarele două stuaţ:! R 0;M 0, caul sstemulu echvalet cu ero;! R 0; M 0, caul sstemulu echvalet cu u cuplu ale căru forţe sut coţute î plaul forţelor date ş al M R. căru momet este ( ) APLICAŢII. Euţ: Asupra uu cub de latură a, acţoeaă vector d fgură. Să se proectee aceşt vector pe aele uu sstem cartea trortogoal,, ştd că: V V V V4 V5 p 47

46 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI V V 5 V 5 V 5 V 4 V V V 5 V 4 V 4 Reolvare: Petru reolvarea probleme, se ţe seama de epresa uu vector scrsă î raport cu sstemul cartea trortogoal 48 v v + v j + v î care, v, v, v repretă proecţle vectorulu pe aele sstemulu de coordoate. Proecţle vectorlor sut preetate î tabelul următor: vectorul proecţa pe aa proecţa pe aa proecţa pe aa V p 0 0 V 0 -p 0 V 0 0 -p V 0 p p 4 V 5 p p k p

47 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL 49. Euţ: Se dau vector: k j 5 v k; 4j v 4k; j v Se cere să se calculee: ( ) v v v ; v v ; v v ; v v + Reolvare: Î sstemul cartea trortogoal, suma a do vector k a j a a a + + ş k b j b b b + + este u vector, k c j c c c + +, care este dat de relaţa ( ) ( ) ( )k b a j b a b a b a c Se obţe: ( ) ( ) k 4j k 4j 4k j v v Î sstemul cartea trortogoal, produsul scalar a do vector k a j a a a + + ş k b j b b b + + este u scalar b a b a b a b a m + + Se obţe: ( )( ) k j 5 k 4j v v + + Î sstemul cartea trortogoal, produsul vectoral a do vector k a j a a a + + ş k b j b b b + + este u vector ( ) ( ) ( )k b a b a j b a b a b a b a b b b a a a k j b a v + +

48 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Se obţe: v v ( + j + 4k) ( 5 + j + k) 5 + 4j k Î sstemul cartea trortogoal, produsul mt al vectorlor a a + a j a k, b b + b j b k ş + c c + c j c k este scalarul + m a Se obţe: ( b c) a b c a b c a b c + ( b c b c ) a ( b c b c ) a + ( b c b c ) a ( v v ) ( + j + 4k) v 5 4 ( + j + 4k) ( 0 j + k) j k. Euţ: Asupra uu cldru acţoeaă sstemul de forţe drjate ca î fgură. Se cuosc mărmle eprmate î N: F F f F F f cu. cost f, forţele F ş 4 F fd paralele cu aele respectv. 4 5 j k 4 50

49 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL De asemeea, se cuosc dmesule dcate pe dese. Se cere să se reducă sstemul de forţe î raport cu puctul, precâd caul de reducere ş să se determe ecuaţa ae cetrale a sstemulu de forţe cosderat A '' r C r F F ' E B F F r Reolvare: Torsorul de reducere a sstemulu de forţe î raport cu puctul se scre 4 4 τ ( R, M ) F, r F Corespuător fgur preetate, se scru epresle aaltce ale forţelor respectv mometelor acestor forţe î raport cu puctul de reducere F f + f F f j f k ( + ) j f k 5

50 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Se obţe F F 4 f f j R 4 F + F + F + F 5f k ( B F ) + ( C F ) + ( E F ) + ( ' F ) [( 4 + ) fr fr j rf k] + 4rf + [ rf ( j + k) ] rf M 4 + rf + rf j Î plus, produsul R M 5f k rf + rf j, ( ) 0 dec sstemul de forţe dat este echvalet cu o forţă ucă al căre suport u trece pr puctul de reducere, avâd î vedere că M 0. Ecuaţa ae cetrale este dată de relaţle: M R + R M R + R M R + R R R R Pr îlocurea epreslor petru proecţle pe aele sstemulu de referţă a reultate R ş a mometulu acestea î raport cu puctul de reducere M ( R), se ajuge la coclua că aa cetrală este o dreaptă paralelă cu aa care trece pr puctul r r P,, Euţ Asupra corpulu d fgură acţoeaă sstemul de forţe petru care se cuosc mărmle eprmate î N 5

51 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL f, F f 4, F f ş f cost. > 0. F De asemeea, se cuosc dmesule dcate pe fgură. a ' B' a a A '' F F C B C' D D' E' a H a E F Se cere să se reducă sstemul de forţe î raport cu puctul, precâd caul de reducere ş să se determe ecuaţa ae cetrale a sstemulu de forţe cosderat. Reolvare: Torsorul de reducere a sstemulu de forţe î raport cu puctul se scre 4 4 τ R, M F, r F ( ) Corespuător fgur preetate, se scru epresle aaltce ale forţelor respectv mometelor acestor forţe î raport cu puctul de reducere Se obţe F f f k F F f + f j f k f k R F + F + F f j 5

52 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI M ( H F ) + ( E' F ) + ( C F ) af j + af ( 6 + k) + af ( j) af ( j + k) Î plus, produsul R M ( R) f j af ( j + k) 0, dec sstemul de forţe dat este echvalet cu u torsor proprus. Ecuaţa ae cetrale este dată de relaţle: M R R + R M R R + R M R R + R Pr îlocurea epreslor petru proecţle pe aele sstemulu de referţă a reultate R ş a mometulu acestea î raport cu puctul de reducere M, se ajuge la coclua că aa cetrală este o dreaptă paralelă cu aa care trece pr puctul P ( a, 0, a). 5. Euţ Î fgură este repreetat sstemul de acţoare petru o masă vbrată, format dtr-u ecetrc soldar cu o roată dţată ş u tachet, care se sprjă cu talpa sa, pr termedul uor role, pe ghdaje vertcale. Asupra asamblulu tehc preetat, acţoeaă forţele: P 500 N; Q 50 F 00 F e N N; N; k es θ, µ e ( k 000 N / m; e 0,05 m ); ( P k es θ), ( µ 0,05) e Cuoscâd următoarele date costructve e 54

53 NŢIUNI ELEMENTARE DE CALCUL VECTRIAL a 0,04 m; G 0,0 m; E b F 0,07 m; π, C 0,05 m; d 0,0 m; CB R 0, m; α 4 se cere să se reducă sstemul de forţe î raport cu puctul, precâd caul de reducere ş să se determe ecuaţa ae cetrale a sstemulu de forţe cosderat. Reolvare: Torsorul de reducere a sstemulu de forţe î raport cu puctul se scre 4 4 τ ( R, M ) F, r F N P α E a Fe C G Q d B θ F Corespuător fgur preetate, se scru epresle aaltce ale forţelor respectv mometelor acestor forţe î raport cu puctul de reducere 55

54 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI P 500j; Q 50j; F 00 00j; F e N M M 00s θj; ( P) ( Q) M M 0k cos θk ( F) ( F ) k 4s θk ( 5 5s θ) ; M ( N) ( 0,5s θ 0,7 s θ,75)k e Se obţe torsorul de reducere î puctul R τ M Î plus, produsul ( 5 5s θ) ( s θ) ( 6,86 cosθ 4,7 s θ + 0,5s θ) R M 0, dec sstemul de forţe dat este echvalet cu o reultată ucă. Ecuaţa ae cetrale este dată de relaţle: j k M R R + R M R R + R M R R + R Pr îlocurea epreslor petru proecţle pe aele sstemulu de referţă a reultate R ş a mometulu acestea î raport cu puctul de reducere M, se ajuge la ecuaţa scalară ( s θ) + ( 5 5s θ) 6,86 + cosθ + 4,7 s θ 0,5s care este suportul reultate uce cu care este echvalet sstemul de forţe dat. θ 56

55 CAPITLUL NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR.. CENTRE DE MASĂ... Greutatea. Cetrul de greutate (de masă) Aşa cum se arată î Fgura., toate partculele M avâd masele m, µ, ş aparţâd uu sstem de pucte materale aflat la suprafaţa Pămâtulu, sut supuse acţu câmpulu gravtaţoal terestru care se mafestă pr forţa de atracţe G m b g (.) ş care este umtă forţă de greutate. Se observă că această forţă depde de masa partcule materale, m, ş de vectorul g care este umt acceleraţe gravtaţo-ală ş care, la fel cu orcare mărme vectorală, este def-t de următoarele elemete: M M (m ) M G G r r C G r r r C aa cetrală G G M Fg... modul varabl, î fucţe de poţa partcule materale î raport cu suprafaţa Pămâtulu, î calcule cosderâdu-se valoarea de 9,8 m/s ; drecţe apromatv drecţa rae Pămâtulu; ses drjat către cetrul Pămâtulu. Greutatea sstemulu de pucte materale repreetat î fgura. este 57

56 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI G ϕ G Ξ G Ξ Ξ G ϕ G (.) Ţâd seama de relaţa (.), greutatea sstemulu se scre ϕ G G m b g g m Mg (.) î care s-a otat M m, masa totală a sstemulu de pucte materale cosderat. Pe u domeu restrâs, stuat la suprafaţa Pămâtulu, câmpul gravtaţoal terestru se cosderă costat, dec se poate eglja varaţa testăţ ş drecţe vectorulu acceleraţe gravtaţoală, greutăţle ce acţoeaă asupra partculelor materale fd cosderate forţe paralele, drjate după o drecţe vertcală ş avâd sesul oretat î jos. Sstemul acestor forţe paralele poate f îlocut cu o reultată ucă, umtă greutate a sstemulu de pucte materale ş care este deftă de următoarele elemete caracterstce ue mărm vectorale: puct de aplcaţe - este puctul C umt cetru de greutate ş care repretă cetrul forţelor de greutate, G, cosderate paralele; modul este dat de relaţa G G m b g g m Mg ; 58 drecţe este dată de drecţa ae cetrale; ses este oretat î jos. Fd cetrul forţelor paralele de greutate, cetrul de greutate, C, al sstemulu de pucte materale cosderat este caracterat de vectorul de poţe

57 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR 59 M r m m r m m g r m g G r G r C b (.4) relaţe care demostreaă că cetrul de greutate al uu sstem de pucte materale este u elemet geometrc care depde de modul de dstrbure a maselor sstemulu, ceea ce justfcă ş deumrea de cetru de masă. bservaţa.: Evdet, cetrul de greutate ş cetrul de masă sut pucte cofudate, dfereţa fd dată de faptul că oţuea de cetru de masă este depedetă de atracţa uversală. Proecţle vectorulu de poţe C r pe aele uu sstem cartea trortogoal, defesc coordoatele cetrulu de masă al sstemulu de pucte materale cosderat M m m m ; M m m m ; M m m m N N C N N C N N C (.5) Dacă î relaţle (.4) ş (.5) B, dec masele sstemulu de pucte materale sut repartate cotuu î

58 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI spaţul ocupat de sstem, acesta deve u domeu materal cotuu, (D), ar sumele d relaţle ateroare se trasformă î tegrale, astfel îcât se poate scre respectv r b dm D r C dm (.6) D b dm b dm b dm D D D C ; C ; C (.7) dm dm dm D D Petru studul cetrulu de masă al dfertelor dome materale, este ecesar să se troducă oţuea de destate m mede, med, pr trecere la lmtă, V 0, obţâduse V destatea D dm (.8) dv Î caul uu domeu materal cu masa repartată trdmesoal pe u volum V caul blocurlor sau corpurlor - este valablă relaţa dm b V dv, î care, V [kg/m ] se umeşte destate volumetrcă. Î caul uu domeu materal cu masa repartată pe o suprafaţă de are totală S caul plăclor ş membraelor - este valablă relaţa dm A b da, î care, A [kg/m ] se umeşte destate superfcală. 60

59 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR Î caul uu domeu materal cu masa repartată pe o curbă de lugme totală L caul barelor ş frelor - este valablă relaţa dm L b dl, î care, L [kg/m] se umeşte destate lară. Î caul domelor materale omogee (realate d acelaş materal ş avâd aceeaş secţue trasversală), destatea se cosderă costată, cost., ar petru celelalte stuaţ, ea este varablă,,. Îlocud corespuător î relaţle (.6) ş (.7) elemetul de masă dm, după smplfcăr se obţ relaţle N petru corpur materale respectv r b dv V r C dv (.9) V b dv b dv b dv V V V C ; C ; C (.0) dv dv dv V V V N petru suprafeţe materale respectv S b da S r b da S r C da (.) S S b da S S b da C ; C ;C (.) da da da S 6

60 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI N petru curbe materale respectv C L b dl L dl ; r C C r b dl L dl L L b dl L dl ; C L b dl L dl (.) (.4) 6... Propretăţle cetrelor de masă Se demostreaă următoarele propretăţ geerale ale cetrelor de masă: ) poţa cetrulu de masă al uu sstem de pucte materale sau al uu domeu materal cotuu, u depde de sstemul de referţă ales, c uma de modul de dstrbuţe a maselor sstemulu de pucte materale sau ale domeulu materal cotuu cosderat; ) dacă toate masele uu sstem de pucte materale sau al uu domeu materal cotuu, se multplcă/smplfcă cu acelaş scalar, poţa cetrulu de masă u se modfcă; ceea ce coduce la coclua că sstemele de pucte materale sau domele materale cotue, realate d materale dferte dar omogee ş care sut detce d puct de vedere geometrc, au cetre de masă omoloage (cocd atuc câd se suprapu sstemele sau domele materale cosderate); ) dacă toate masele uu sstem de pucte materale sau al uu domeu materal cotuu, se află pe o dreaptă sau u pla, atuc ş cetrul de masă este stuat pe acea dreaptă sau î acel pla;

61 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR 4) dacă u sstem de pucte materale sau u domeu materal cotuu, are pla, aă sau cetru de smetre, atuc cetrul de masă se va găs î acel pla, pe acea aă sau î acel cetru de smetre; 5) cetrul de masă al uu domeu materal D, format d părţ umte subdome, D, care au masele m ş cetrele de masă î puctele C, caracterate de vector de poţe r C,,, se detfcă cu cetrul de masă al uu sstem de pucte materale cu masele m cocetrate î cele cetre de masă ale subdomelor D. Îtr-adevăr, pord de la epresle vectorlor de poţe a cetrelor de masă, C,,, r C rdm D D D ; rc ; ; rc (.5) m m m rdm rdm se determă vectorul de poţe r C al cetrulu de masă al domeulu materal D cosderat r C rdm D D D D m m r C rdm ± ± m r m ± m C rdm ± ± m ± ± m r ± m C rdm (.6) bservaţa.: Dacă uul sau ma multe dtre subdomele D lpsesc (sut etrase) d domeul materal, D, cosderat, relaţa (.6) rămâe valablă, dar se atrbue semul mus maselor care lpsesc (sut etrase). 6

62 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI...Cetrul de masă al domelor materale compuse Î umeroase aplcaţ tehce, se cere să se determe cetrul maselor petru dome materale compuse dtr-u umăr ft de părţ ale căror cetre de masă sut cuoscute. Avâd î vedere propretatea 5 a cetrelor de masă, preetată î paragraful ateror, se recomadă următoarea metodă practcă sstematată î tabelul.. - petru determarea coordoatelor cetrulu de masă al uu domeu materal compus. Tabelul.. Determarea coordoatelor cetrulu de masă r. crt. masa (lugmea, ara, volumul) coordoatele cetrulu de masă al subdomeulu produse parţale N m m m m I II III IV V VI VII VIII m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m C m m ; C m m ; C m m 64

63 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR..4. Cetrul de masă al domelor materale omogee uuale ) Cetrul de masă al uu domeu materal omoge cu masa repartată pe o curbă de lugme totală, L caul barelor a) cetrul de masă al ue bare omogee drepte L/ C L/ Fg... B aa de smetre D motve de smetre, cetrul de masă, C, se găseşte la jumătatea lugm bare, pe aa sa de smetre (Fgura.). b) cetrul de masă al ue bare omogee î formă de arc de cerc Se cosderă o bară omogeă î formă de arc de cerc, avâd raa R ş ughul la cetru [rad]. D motve de smetre, cetrul de masă, C, se va găs pe bsectoarea ughulu. µ Rcosθ Aşa cum se vede î Fgura., la dstaţa se alege o bară de lugme elemetară dl µ Rd, dl µ Rdθ R de forma uu arc de cerc d avâd ughul la cetru d. Bara elemetară cosderată poate f asmlată cu o bară dreaptă, - al căre cetru de masă se R găseşte la jumătatea lu- Fg... 65

64 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI gm sale, îtr-u puct de abscsă µ R cos. Abscsa cetrulu de masă al bare omogee î formă de arc de cerc, se determă cu relaţa C L b dl L R cos b Rd dl Rd R s s R R cos d d (.7) ) Cetrul de masă al uu domeu materal cu masa repartată pe o suprafaţă de are totală S caul plăclor a) cetrul de masă al plăclor plae omogee cu cetru de smetre (polgoae regulate) D motve de smetre, cetrul de masă, C, se găseşte î cetrul de smetre al plăc plae omogee cosderate. b) cetrul de masă al ue plăc trughulare plae omogee P Se cosderă o placă plaă de formă trughulară oarecare, MNP, ca î Fgura.4. Se descompue suprafaţa M plăc î fâş elemetare, paralele cu P' N' latura MP, de eemplu, care pot f asmlate cu bare drep- N M' te, al căror cetru de masă se găseşte la Fg..4. h/ h/ h 66

65 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR jumătatea lugm lor. Locul geometrc al cetrelor de masă ale acestor bare este medaa PP. Repetâd operaţa ş î raport cu celelalte latur ale plăc plae trughulare cosderate, se obţ medaele MM ş NN. Cetrul de masă al plăc se va găs la tersecţa medaelor. c) cetrul de masă al ue plăc omogee î formă de sector de cerc Se cosderă o placă omogeă î formă de sector de cerc, avâd raa R ş ughul la cetru [rad]. D motve de smetre, cetrul de masă, C, se va găs pe bsectoarea ughulu. Aşa cum se vede î Fgura.5, la dstaţa se alege o placă elemetară, de forma uu sector de cerc avâd ughul la cetru d. µ Rcosθ R R - d dl µ Rdθ Fg..5. Placa elemetară cosderată, poate f asmlată cu o placă trughulară, avâd baa de lugme dl µ Rd, ara da µ R d, ş al căre cetru de masă se găseşte îtru puct de abscsă µ R cosθ. 67

66 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Abscsa cetrulu de masă al plăc omogee î formă de sector de cerc, se determă cu relaţa C S b da da S R cos b R s R d R R d s R cos d d (.8) ) Cetrul de masă al uu domeu materal cu masa repartată spaţal pe u volum V caul blocurlor sau corpurlor a) cetrul de masă al uu co Se cosderă u co R crcular drept, avâd ' A îălţmea h ş raa bae R, ca î Fgura.6. '' r A' Fg..6. d h La dstaţa se cosderă u volum elemetar, dv µ Rr d, ce poate f asmlat uu cldru cu raa r. D asemăarea trughurlor ' A ş '' A' reultă R r µ. h Cota cetrulu de masă al coulu se determă cu relaţa 68

67 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR C V dv V dv h 0 R b h h 0 d R d h h 0 h 0 d d 4 4 h 0 h 0 4 h (.9) b) cetrul de masă al ue semsfere r ' Fg..7. A d R Se cosderă o semsferă, de raă R, ca î Fgura.7. La dstaţa se cosderă u volum elemetar, dv µ Rr d, ce poate f asmlat uu cldru cu raa r. D trughul ' A reultă r µ R ]. Cota cetrulu de masă al coulu se determă cu relaţa dv µ dv R b R R R R ] ] d d V 0 C µ µ R V 0 R 8 (.0) Î tabelul.. sut preetate relaţle de calcul petru coordoatele cetrulu de masă î caul uor dome materale omogee, avâd dferte forme. 69

68 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Tabelul.. Cetre de masă FIGURA ŞI SISTEMUL DE CRDNATE BARE MGENE La dreaptă C C l CRDNATELE CENTRULUI DE GREUTATE C µ l Coturul A trughulu c C h a C C a H b C B Cotur polgoal regulat C C Arc de cerc C Itersecţa bsectoarelor trughulu meda C C a a ± b ± c b a ± b ± c h b ± c a ± b ± c C C ah L a apotema A H proecţa coturulu polgoal pe o drecţe perpedculară pe aa de smetre L lugmea coturulu C s µ C µ r Arcul de lăţşor (AM) H t a C M A D C AD H C D este tersecţa tagete î M cu orotala î A, ar H este tersecţa ormale î M cu. a este parametrul lăţşorulu 70

69 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR Tabelul.: cotuare FIGURA ŞI SISTEMUL DE CRDNATE Cardoda a C CRDNATELE CENTRULUI DE GREUTATE 8a C 5 C N C A b Ccloda C A C B r r r raa cerculu SUPRAFEŢE MGENE Trugh C M Trape C D B Sector de cerc r α -α C P C h 4 C r C r AB r C C ± ± ± ± la tersecţa medaelor h b ± B C B ± b C se găseşte pe segmetul AD, la cota C, A ş D fd mjloacele baelor trapeulu C s α r α C 7

70 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Tabelul.: cotuare FIGURA ŞI SISTEMUL DE CRDNATE Segmet de cerc C -α α r C CRDNATELE CENTRULUI DE GREUTATE C 4 r s α α s α Porţue de coroaă crculară R - C C R r C R r s α α r Cardodă a C C µ a 6 C Cclodă A C a C r C B R r Ara AMN a lăţşorulu H t C M A D N C C µ Rr µ 5 6 a e ± e a 4 a a e ± 4e C e ± 8 e e C r 7

71 Tabelul.: cotuare FIGURA ŞI SISTEMUL DE CRDNATE C C CRPURI MGENE Tetraedru, co, pramdă h C h Truch de pramdă C C Truch de co crcular r h NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR CRDNATELE CENTRULUI DE GREUTATE Pe dreapta ce ueşte vârful cu cetrul de masă al bae, la cota h C µ 4 SB ara bae mar Sb ara bae mc H îălţmea truchulu de pramdă C SB S ± B ± S S B B S S b b ± S ± S b b h 4 h b a C R Paă C C C C µ h 4 C R [ Rr [ r R [ Rr [ r µ h Ξ a [ a a [ a Ψ C Calotă sfercă C r h C µ 4 Ξ Ψ r ] h r ] h 7

72 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Tabelul.: cotuare FIGURA ŞI SISTEMUL DE CRDNATELE CRDNATE CENTRULUI DE GREUTATE CRPURI MGENE Emsferă r C C C µ r 8 Sector sferc C C r h C µ Ξr ] h 8 Ψ 74

73 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR APLICAŢII. Euţ: Î fgura de ma jos se cosderă o bară omogeă. Se cuosc dmesule dcate pe fgură. Se cere să se determe poţa cetrulu de masă al bare faţă de sstemul de referţă. R R R R R R Reolvare: Petru reolvarea probleme, se recomadă folosrea metode practce propusă la paragraful... Bara d fgură poate f formată, d bara de forma uu sfert de cerc de raă R, d bara de forma ue drepte de lugme R, ş d bara de forma uu semcerc de raă R. Coordoatele C, ş C ale cetrulu de masă, C, cerut se obţ cu ajutorul reultatelor parţale preetate î tabelul următor: 75

74 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI lugmea coordoatele cetrulu de masă al subdomeulu produse parţale N L L L I II III IV V VI R R R R 6 R 0 R 0 R 0 R ± 4R R 8 R 4 0 8R ± R ± 5 R R 50 ±7 Reultă coordoatele cetrulu de masă căutat R C µ ] [ 5R RΞ50 [ 7RΨ C µ [ 5R. Euţ: Î fgura de ma jos se cosderă o placă omogeă spaţală. Se cuosc dmesule dcate pe fgură. Se cere să se determe poţa cetrulu de masă al plăc faţă de sstemul de referţă

75 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR 77 Reolvare Petru reolvarea probleme, se recomadă folosrea metode practce propusă la paragraful... Placa d fgură poate f formată, î plaul d placa de forma trughulu dreptughc d care se decupeaă placa de forma sectorulu de cerc ş, î plaul d placa de forma dreptughulară d care se decupeaă placa de forma sfertulu de cerc 4. Coordoatele C, C ş C ale cetrulu de masă, C, cerut se obţ cu ajutorul reultatelor parţale preetate î tabelul de ma jos: Ara coordoatele cetrulu de masă al subdomeulu produse parţale N A A A A I II III IV V VI VII VIII ± A 5 A ± A A

76 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Reultă coordoatele cetrulu de masă căutat C C C µ µ µ R ] [ 4 5R ] R ] [ ] 6 4 5R ] R ] [ R ]. Euţ: Î fgura de ma jos este repreetat u arbore cott omoge. Se cuosc dmesule dcate pe fgură (î cm). Se cere să se determe poţa cetrulu de masă al arborelu cott faţă de sstemul de referţă. [ C 8 C 0 C 8 C4 C5 C6 0 C7 8 C C

77 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR Reolvare: Petru reolvarea probleme, se recomadă folosrea metode practce propusă la paragraful... Arborele cott cosderat poate f format d trosoaele evdeţate pe fgură ş care au cetrele de masă stuate î puctele C, C, C, C 4, C 5, C 6, C 7. Î baa smetre ş a omogetăţ reultă C C 0 Coordoata C a cetrulu de masă,c, cerut se obţe cu ajutorul reultatelor parţale preetate î tabelul de ma jos: Volumul coordoatele cetrulu de masă produse parţale al subdomeulu N V V I II II 005, , , , , , Reultă cota cetrulu de masă căutat 7 G V V ,46 7,946 79

78 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI.. MMENTE STATICE r Fg..8. M Î raport cu u sstem de referţă cartea,, poţa puctelor materale, M, ale sstemulu cosderat este caracterată de vector de poţe r, respectv de coordoatele (,, ),, (Fgura.8). Mometele statce umte plaare - î raport cu plaele, respectv, sut defte de relaţle S m, S m, S m (.) Mometul statc umt polar - î raport cu puctul este deft de relaţa S m r (.) Dacă toate puctele materale ale sstemulu sut stuate î acelaş pla (de eemplu ), atuc se defesc mometele statce - umte aale - î raport cu aa respectv, cu relaţle S m ; S m (.) bservaţa.4: D relaţle preetate ateror, se observă că mometele statce plaare sau aale sut mărm scalare, ar mometul statc polar este o mărme vectorală. 80

79 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR D relaţle (.5) care dau coordoatele cetrulu de masă, C, petru u sstem de pucte materale, avâd î vedere că masa totală a acestu sstem este m M, reultă m m m C C C M; M; M (.4) Relaţa (.4) repretă teorema mometelor statce, ş se euţă astfel: Mometul statc al uu sstem de pucte materale calculat î raport cu u pla, o aă sau u puct, este egal cu produsul dtre masa îtregulu sstem de pucte materale ş dstaţa de la cetrul de masă al sstemulu la plaul, aa sau puctul cosderat. bservaţa.5: Relaţa (.4) coduce la coclua că dacă mometul statc al uu sstem de pucte materale calculat î raport cu u pla, o aă sau u puct este ul, atuc cetrul de masă al sstemulu se găseşte î acel pla, respectv pe acea aă sau î acel puct. Această observaţe este ş recproc valablă, servd la reolvarea uor mportate probleme practce. Î caul uu domeu materal cotuu, (D), sumele d relaţle ateroare se trasformă î tegrale, astfel îcât se pot def:! mometele statce î raport cu plaele, respectv : 8

80 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI 8 S dm, S dm, S dm (.5) (D) (D)! mometul statc î raport cu puctul : ( ) (D) S r dm (.6) D! dacă toate puctele materale ale sstemulu sut stuate toate îtr-u pla (de eemplu ), atuc se defesc mometele statce î raport cu aa respectv, cu relaţle: S dm; S dm (.7) ( D) ( D) Relaţle de ma sus se pot etde, cu acelaş îţeles, ş la domele materale omogee partculare, pr îlocurea elemetulu de masă, dm, cu elemetul de volum, dv, de suprafaţă, da, sau de lugme, dl, al domeulu cosderat. Utăţle de măsură petru mometele statce sut S M L kgm sau S F T Ns [] [ ][ ] [] [][ ].. MMENTE DE INERŢIE... Defţ Defţa.: Se umeşte momet de erţe al uu sstem de pucte materale î raport cu u pla, o aă sau u puct, suma produselor dtre masele puctelor materale care alcătuesc sstemul ş pătratele dstaţelor de la aceste pucte la plaul, aa sau puctul cosderat. Defţa.: Se umeşte momet cetrfugal al uu sstem de pucte materale, suma produselor dtre masele puctelor materale care alcătuesc sstemul ş coordoatele acestor pucte î raport cu două plae perpedculare.

81 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR Se cosderă (î Fgura.9) u sstem de M (m) pucte materale, M, avâd r masele m. Î raport cu u sstem de referţă cartea,, poţa puc- telor materale ale sstemulu cosderat este caracterată de vector de Fg..9. poţe r, respectv de coordoatele (,, ),,. Se defesc: a) mometele umte plaare î raport cu plaele, respectv, cu relaţle J m, J m, J m (.8) b) mometele umte aale î raport cu aele, respectv, cu relaţle J J J m m m ( + ), ( + ), ( + ) (.9) c) mometul umt polar î raport cu orgea sstemulu de referţă cartea, cu relaţa ( + + ) J m (.0) d) mometele umte cetrfugale cu relaţle 8

82 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI J m, J m, J m (.) Î caul uu domeu materal cotuu, (D), sumele d relaţle ateroare se trasformă î tegrale, astfel îcât se pot def a) mometele umte plaare î raport cu plaele, respectv, cu relaţle dm, J dm, J J dm (.) (D) (D) b) mometele umte aale î raport cu aele, respectv, cu relaţle J J J ( + ) ( D) ( + ) ( D) ( + ) ( D) dm dm, dm, (D) (.) c) mometul umt polar î raport cu orgea sstemulu de referţă cartea, cu relaţa ( D) ( + ) J + dm (.4) d) mometele umte cetrfugale cu relaţle dm, J dm, J J dm (.5) ( D) ( D) ( D) Mometele de erţe sut mărm geometrce ce caractereaă u sstem de pucte materale sau u domeu materal cotuu, d puctul de vedere al răspâdr mase sale. Ele sut o măsură a erţe uu sstem de pucte materale sau a uu domeu materal cotuu î mşcare de rotaţe. 84

83 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR Mometele de erţe plaare, aale ş polare sut mărm scalare potve (î caur partculare pot f ş ule) ar mometele de erţe cetrfugale sut mărm scalare potve, egatve sau ule. Utăţle de măsură petru mometele de erţe sut J M L kgm sau J F L T Nms [] [ ][] [] [][][]... Relaţ ître mometele de erţe. D relaţle de defţe preetate î paragraful ateror, se deduc cu uşurţă relaţle de legătură dtre mometele de erţe, după cum urmeaă J J + J, J J + J, J J + J J J + J + J (.6) J J + J + J bservaţa.6: Î relaţle (.6), uma şase dtre mărm se cosderă depedete (mometele de erţe aale, J, J, J ş mometele cetrfugale, J, J, J ) î fucţe de acestea putâdu-se calcula celelalte momete de erţe. Î tehcă, î afara mometelor de erţe mecace, defte ateror, se ma utleaă ş mometele de erţe geometrce. Ele au epres ş deumr smlare cu cele ale mometelor de erţe mecace ş se obţ d acestea pr îlocurea elemetulu de masă, dm, cu elemetul de volum, dv, de suprafaţă, da, sau de lugme, dl, al domeulu materal cosderat. Dacă se oteaă cu I mometul de erţe geometrc, atuc este evdet valablă relaţa î care, ρ repretă destatea materalulu. J ρi (.7) 85

84 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Relaţa (.7) este valablă petru dome materale cotue, omogee (realate d acelaş materal ş avâd aceeaş secţue trasversală), petru care destatea, ρ, este costată. Defţa.: Se umeşte raă de erţe sau raă de graţe, dstaţa fctvă faţă de u pla, o aă sau u puct la care ar trebu plasată îtreaga masă - cocetrată îtr-u sgur puct a uu sstem de pucte materale sau a uu domeu materal cotuu, petru a obţe aceeaş valoare a mometulu de erţe ca ş aceea dată de îtregul sstem de pucte materale sau domeu materal cotuu, cosderat. Notâd cu raa de erţe ş cu M masa sstemulu de pucte materale sau a domeulu materal cosderat, se poate scre de ude se obţe J M (.8) J (. 9) M... Varaţa mometelor de erţe Î caul uu sstem de pucte materale sau al uu domeu materal cotuu, estă o ftate de momete de erţe. Î afara relaţlor de legătură preetate î paragraful ateror, estă două tpur de relaţ de legătură, eseţale petru calculul orcăru momet de erţe:! relaţ ître mometele de erţe scrse faţă de u sstem de referţă ş cele scrse faţă de u sstem de referţă C avâd aele paralele cu prmul ş orgea î cetrul de masă al sstemulu de pucte materale sau al domeulu materal cosderat. Aceste relaţ de legătură eprmă varaţa mometelor de erţe faţă de ae paralele;! relaţ ître mometele de erţe scrse faţă de u sstem de referţă C ş cele scrse faţă de u sstem de 86

85 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR referţă C, avâd, ca ş prmul, orgea î cetrul de masă al sstemulu de pucte materale sau al domeulu materal cosderat, dar aele rotte cu u aumt ugh. Aceste relaţ de legătură eprmă varaţa mometelor de erţe faţă de ae cocurete. Varaţa mometelor de erţe faţă de ae paralele Fe două ae paralele, ş stuate la dstaţa d ua faţă de cealaltă, aa trecâd pr cetrul maselor, C, al uu sstem de pucte materale. Se alege u sstem de referţă cartea,, avâd aa ca aă. Î raport cu acest reper, coordoatele uu puct oarecare M, de masă m, care aparţe sstemulu de pucte materale ales, sut,,. Pr puctul M se costrueşte plaul paralel cu care îtâleşte aa î puctul B ş aa î puctul A ( AB d ). Mometul de erţe al sstemulu de pucte materale sau al domeulu materal cotuu cosderat faţă de aa, coform Fgur.0, este [( a) + ( b) ] J m l m (.40) D relaţa (.40) î care a ş b sut coordoatele puctulu î care aa îţeapă plaul, se obţe ( + ) J m a m (.4) b m + ( a + b ) Î relaţa (.4) se ţe seama de următoarele observaţ: a + b d m M este masa totală a sstemulu de pucte materale m 87

86 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI B C d A M (m) (,, ) m b d Fg..0. ( ) m d J m + M ξ D (a, b, 0) 0 ; m M η 0 E(,, 0) Relaţa (.4) repretă teorema lu Steer, ş se euţă astfel: Mometul de erţe calculat î raport cu o aă este egal cu mometul de erţe calculat î raport cu o altă aă, paralelă cu prma ş care trece pr cetrul maselor uu sstem de pucte materale, aduat cu produsul dtre masa totală a sstemulu ş pătratul dstaţe dtre cele două ae. 88 a, î baa relaţe de defţe Deoarece cetrul maselor sstemulu de pucte materale ales se găseşte pe aa a sstemulu de referţă, el are coordoatele C(ξ0, η0, ζ). Se obţe J J + M d (.4)

87 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR D teorema lu Steer decurg următoarele propretăţ ale mometelor de erţe faţă de ae paralele:! dtre toate mometele de erţe î raport cu aele paralele cu o drecţe, mometul de erţe î raport cu aa 0 care trece pr cetrul de masă al sstemulu de pucte materale, este mm;! locul geometrc al aelor paralele faţă de care mometele de erţe sut egale, este u cldru crcular a căru aă de smetre trece pr cetrul de masă al sstemulu de pucte materale cosderat ş este paralelă cu drecţa dată. Se poate demostra că teorema lu Steer este valablă ş petru momete de erţe plaare, polare sau cetrfugale. Astfel, dacă se cosderă u sstem de referţă ş u sstem de referţă C avâd aele paralele cu prmul ş orgea î cetrul de masă C(ξ, η, ζ) al sstemulu de pucte materale cosderat, petru mometele de erţe aale sut valable relaţle (.4) echvalete cu relaţa (.4) J J J ' ' ' J J J + M + M + M ( η + ζ ) ( ζ + ξ ) ( ξ + η ) Petru mometele de erţe plaare se scre (.4) J J J 'C' 'C' 'C ' J J J + M ζ + M ξ + M η (.44) Petru mometul de erţe polar se scre J C ( ξ + η + ζ ) J + M (.45) Petru mometele cetrfugale se scre 89

88 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI J J J '' '' '' J J J + M + M + M ξ η η ζ ζ ξ (.46) Varaţa mometelor de erţe faţă de ae cocurete Se cosderă u sstem de referţă, î raport cu care se cuosc mometele de erţe aale, J, J, J, ş mometele cetrfugale, J, J, J ale uu puct oarecare, M, de masă m, aparţâd uu sstem de pucte materale. Poţa puctulu M faţă de sstemul de referţă ales, este deftă de coordoatele,,,. Se poate determa mometul de erţe î raport cu o aă care trece pr ş are drecţa dată de cosusurle drectoare cos α, cosβ, cos γ. Coform celor arătate î Fgura., mometul de erţe al sstemulu de pucte materale î raport cu aa este M (m) (,, ) r d N Fg... E(,, 0) ude d M N este dstaţa de la puctul M la aa. 90 J m d (.47)

89 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR Puctul M are poţa deftă de vectorul de poţe r + j k. + d! r Versorul ae este u cosα + cosβj + cos γk. N este proecţa puctulu M pe aa ş se poate scre N ( + + )( cos α + cos β + cos γ) ( cos α + cosβ + cos γ) deoarece cos α + cos β + cos γ ş N r u cosα + cosβ + cos γ. După îlocur ş gruparea coveablă a termelor, relaţa (.47) deve J + cos cos γ α cos γ cosα m m ( + ) + cos β m ( + ) ( + ) m cosβcos γ cosα cosβ m m Ţâd seama de relaţle (.) ş (.4), se obţe J J J cos α + J cosβcos γ J cos β + J cos γ cos γ cosα J + (.48) (.49) cosα cosβ..4. Ae prcpale de erţe. Momete de erţe prcpale. Elpsod de erţe D relaţa (.49) se vede că mometul de erţe calculat î raport cu o aă ce trece pr orgea sstemulu de ae de coordoate,, depde de oretarea ae î raport cu sstemul cosderat, dată de cosusurle drectoare. J 9

90 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Defţa.5: Dtre toate aele care trec pr puctul, acelea petru care mometul de erţe J a valor etreme mame ş mme se umesc ae prcpale de erţe relatve la puctul, ar mometele de erţe calculate î raport cu aceste ae se umesc momete de erţe prcpale relatve la puctul ş se oteaă J, J, J. Mometele de erţe prcpale reultă d mpuerea codţe de etrem fucţe J ( cosα cosβ cos γ) dată de relaţa (.49). Se arată că, folosd metoda multplcatorlor Lagrage λ, această codţe se scre: J J J λ J J J λ J J J λ 0 (.50) Se obţe astfel o ecuaţe de gradul al trelea î λ care are îtotdeaua rădăc reale deoarece elemetele determatulu sut smetrce faţă de dagoala prcpală. Rădăcle λ λ λ ale ecuaţe (.50) sut char mometele de erţe prcpale relatve la puctul, otate J λ J λ λ (.5) J Aele corespuătoare acestor momete de erţe sut aele prcpale de erţe relatve la puctul, ş au ca parametr drector, determaţ J J J J J J ; J J J J J u ; J J J J J (.5) ude, petru aele respectv. Se demostreaă următoarele propretăţ ale aelor prcpale de erţe:! aele prcpale de erţe formeaă u tredru ortogoal; 9

91 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR! mometele cetrfugale calculate î raport cu aele prcpale de erţe sut ule. bservaţa.7: Dacă cetrul de masă, C, al sstemulu de pucte materale cocde cu orgea sstemulu de ae de coordoate,, C mometele de erţe calculate î raport cu aele ce trec pr acest puct, se umesc momete de erţe cetrale. Mometele calculate î raport cu aele prcpale de erţe, relatve la cetrul de greutate se umesc momete de erţe cetrale ş prcpale ş sut momete de erţe mame sau mme. Petru a obţe o repreetare geometrcă trdmesoală a modulu de varaţe a mometelor de erţe calculate î raport cu aele ce trec pr puctul, se foloseşte elpsodul de erţe corespuător puctulu (Fgura.). Aele de smetre ale elpsodulu de erţe sut char P aele prcpale de erţe relatve la puctul, deoarece faţă de aceste ae mometele de erţe sut etreme. Pe aa care trece pr puctul, se cosderă puctul P, astfel că, măsurâd î Fg... utăţ coveţoale, P J (.5) Coordoatele puctulu P sut cos α cosβ cos γ,, (.54) J J J 9

92 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Îlocud relaţa (.54) î (.49), se obţe ecuaţa uu elpsod, umt elpsod de erţe J + J + J J J J (.55) Ecuaţa elpsodulu de erţe fată de aele sale de smetre este J + J + J (.56) ceea ce demostreaă faptul că î raport cu aele prcpale de erţe, mometele cetrfugale sut ule. Dacă se oteaă J J a, b c (.57) J ecuaţa (.56) se scre î forma caocă a + + (.58) b c î care a, b, c sut semaele elpsodulu de erţe. Relaţa (.57) se ma scre J, J J (.59) a b c ceea ce arată că mometele prcpale de erţe sut vers proporţoale cu pătratul semaelor elpsodulu de erţe. Î geeral, mometul de erţe, J, calculat î raport cu o aă este vers proporţoal cu dstaţa P determată de elpsodul de erţe pe acea aă. bservaţa.8: Î pla, elpsodul de erţe se trasformă î elpsă de erţe. 94

93 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR..5. Propretăţle mometelor de erţe Dacă estă smetr î modul de repartţe a mase sstemulu de pucte materale sau a domeulu materal cotuu cosderat, atuc drecţle aelor prcpale de erţe relatve la u puct oarecare se pot stabl drect pe baa uor propretăţ reultate d aceste smetr.. Dacă estă u pla de smetre î repartţa mase, atuc ormala la acest pla, îtr-u puct oarecare,, al plaulu, este aă prcpală de erţe; Dacă se cosderă ca pla de smetre plaul, atuc, î mod fresc, orcăre partcule elemetare de masă, dm, ş cotă, î corespude o altă partculă elemetară de masă dm ş cotă, ş dec, J J ( D) ( D) dm 0 dm 0 (.60) Î acest ca, relaţa (.55) a elpsodulu de erţe relatv la puctul are epresa dată de relaţa J + J + J J (.6) care, d puct de vedere geometrc, arată că elpsodul de erţe se roteşte uma î jurul ae ş dec, această aă cocde cu ua dtre aele prcpale de erţe. Câd C, cetrul de masă al domeulu materal cosderat, aflat tot î plaul de smetre î repartţa mase, ormala C la plaul de smetre este char aă cetrală ş prcpală de erţe.. Dacă estă o aă de smetre î repartţa mase ş trece prtr-u puct oarecare,, atuc această aă este char aă cetrală ş prcpală de erţe; Dacă se cosderă ca aă de smetre aa, atuc, orcăre partcule elemetare de masă dm ş coordoate (,, ), 95

94 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI î corespude o partculă elemetară de masă dm ş coordoate (-, -, ) ş sut valable relaţle J J ( D) ( D) dm 0 dm 0 (.6) Î acest ca, elpsodul de erţe relatv la puctul are epresa dată de relaţa J + J + J J (.6) ar aa este aă prcpală de erţe. Deoarece cetrul de masă se află pe această aă, ea este char aă cetrală ş prcpală de erţe.. dacă estă smetre de revoluţe î repartţa mase, atuc aa de smetre de revoluţe ş cu orce pereche de ae perpedculare ître ele ş perpedculare smulta ş pe aa de smetre de revoluţe îtr-u puct oarecare,, al e, sut ae prcpale de erţe relatve la puctul. Câd C, toate cele tre ae sut ae cetrale ş prcpale de erţe...6. Momete de erţe petru dome materale omogee uuale ) Dreptugh Se cosderă u elemet ft mc da dtr-o secţue dreptughulară cu laturle b ş h ca î Fgura.. Aalâd secţuea dreptughulară d Fgura..a, putem eprma elemetul de are sub forma : da b d (.64) este Mometul de erţe aal, calculat î raport cu aa, 96

95 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR J da b A h h b h b d b (.65) h da a) d h d da b) Fg... Raa de erţe este, corespuător relaţe sale de defţe bh J h A bh (.66) Aalâd secţuea d Fgura..b, putem eprma elemetul de are sub forma : da h d (.67) este Mometul de erţe aal, calculat î raport cu aa, J da A b b h b h d (.68) 97

96 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Raa de erţe este, corespuător relaţe sale de defţe ) Cerc b h J b A bh (.69) d α dα dr r da Se cosderă u elemet ft mc da dtr-o secţue crculară de raă r ca î Fgura.4. Aalâd secţuea d Fgura.4, putem eprma elemetul de are sub forma da r dr dα (.70) Fg..4. Mometul de erţe polar,este π 4 πd J r da r dr dα (.7) A d 0 0 egale D motve de smetre, mometele de erţe aale sut J J J (.7) Mometul de erţe aal este, pr urmare 98

97 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR 4 J π d J J (.7) 64 Raa de erţe este, corespuător relaţe sale de defţe ) Iel crcular J d (.74) A 4 d D Fg..5. Mometul de erţe polar J 4 4 ( D d ) 4 4 πd πd π (.75) Mometul de erţe aal J 4 4 ( D d ) 4 4 πd πd π J (.76) Raa de erţe este, corespuător relaţe sale de defţe 99

98 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI 4 4 ( D d ) ( D d ) π 64 ( D + d ) (.77) π Calculul mometelor de erţe ale suprafeţelor compuse Calculul mometelor de erţe la petru u domeu materal compus, cuprde următoarele etape:! se descompue domeul materal îtr-o sere de subdome smple;! se determă poţa cetrulu de greutate al îtregulu domeu materal cosderat, faţă de u sstem de referţă arbtrar ales;! se calculeaă mometele de erţe aale ş mometul de erţe cetrfugal î raport cu aele cetrale, ale tuturor subdomelor materale alese ş care îsumate, determă mometele de erţe ale îtregulu domeu materal cosderat;! se determă poţa aelor de erţe prcpale ş valoarea mometelor prcpale de erţe. Petru eemplfcare, se cosderă proflul d Fgura.6 petru care se parcurge algortmul de calcul preetat ateror.! se alege u sstem de referţă arbtrar ;! se calculeaă poţa cetrulu de masă î raport cu, corespuător relaţlor C C A A A A mm ,4 mm

99 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR 00 C Fg..6.! se calculeaă mometele de erţe î raport cu aele cetrale C ş C: J , , , , mm J , mm + J 0 deoarece fgura pretă smetre, atuc J J ş J J. 0

100 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI! raele de erţe se calculeaă ţâd seama de relaţle de defţe J J 5.5 mm ;.4 mm A A bservaţa.9: Calculul mometelor de erţe î raport cu u sstem de ae de coordoate legat de cetrul de masă se poate face folosd relaţle de defţe. Petru bare, plăc ş corpur avâd forme ma mult sau ma puţ regulate ş care se folosesc frecvet î aplcaţle tehce, relaţle de calcul sut date î tabelul.. Tabelul.. Momete de erţe FIGURA ŞI SISTEMUL DE CRDNATE La dreaptă d α C Dreptugh h C ( ) b l Aa MMENTUL DE INERŢIE GEMETRIC MECANIC l l M l l M l l s α M s α l ( d + dl + l ) l M d + dl + bh Mh b h bh Mb b h Mh Mb 0

101 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR Tabelul.: cotuare FIGURA ŞI SISTEMUL DE CRDNATE Trugh Aa MMENTUL DE INERŢIE GEMETRIC MECANIC bh Mh 6 C bh 6 Mh 8 h/ C b b b h bh 4 ( b b )h Mh + M ( ) b + b 6b Trape soscel b h Cerc C B C h + ( B b) h + ( B b) h B + 4Bb + b 6 B + b h 48 4 B b B b πr 4 Mh B + b 6 B + b Mh B + b 6 B + b Mh B + 4Bb + b 8 ( B + b) 4 M ( B + b ) 4 Mr r πr Mr 5 5 π r Mr Coroaă crculară π 4 4 M ( R r ) ( R + r ) R r π 4 4 M ( R r ) ( R + r ) 4 4 0

102 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Tabelul.: cotuare FIGURA ŞI SISTEMUL DE CRDNATE Elpsa Aa MMENTUL DE INERŢIE GEMETRIC MECANIC π M ab b 4 4 b π M a 4 b a 4 a Sector crcular r 4 8 ( α s α) Mr s α 4 α r α α r 4 8 ( α + s α) Mr s α + 4 α Segmet de cerc r α α r 4 4s α (α + 8 s 4α + ) 6 Mr s α s 4α ( ) 4 6 α s α s 4α α 8 r 4 Mr s α s 4α ( ) + 4 α s α Paralelpped c a b (C) abc abc abc ( b + c ) M ( b + c ) ( c + a ) M ( c + a ) ( a + b ) M ( a + b ) 04

103 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR Tabelul.: cotuare FIGURA ŞI SISTEMUL DE CRDNATE Cldru Aa MMENTUL DE INERŢIE GEMETRIC MECANIC πr 4 h Mr h (C) π r h M ( r + h ) ( r + h ) r 4 π r h Mr Cldru gol π h 4 4 M ( R r ) ( R + r ) h R (C) r π ( R r ) 4 h R + r h + M ( R + r + h ) π h 4 4 M ( R R r r ) ( ) R + r Pramdă dreptughulară abh 60 ( a + b ) M ( a + b ) 0 C b a h abh b 60 M ( 4b + h ) h abh ( b + h ) M ( b + h )

104 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Tabelul.: cotuare FIGURA ŞI SISTEMUL DE CRDNATE Co crcular drept Aa MMENTUL DE INERŢIE GEMETRIC MECANIC π 4 r h Mr 0 0 C r Sferă R Sferă goală h π r 0 h r 5 h M r 4 π R MR π 5 5 R MR π R MR ( R r ) 5 h + 4 R r R r 5 5 π M r R 8π ( R r ) M R r R r Sector sferc π r h 5 ( r h) M h 5 ( r h) h r Segmetul de sferă Mh ( 0r 5rh + h ) 0 ( r h) h r h π (0r 5rh + h ) 0 06

105 NŢIUNI DE GEMETRIA MASELR 07

106 Partea a doua STATICA Aşa cum s-a arătat î Captolul, statca este acea parte a mecac care se ocupă cu studul sstemelor de forţe care-ş fac echlbrul, precum ş cu studul modaltăţlor de reducere a acestor ssteme de forţe la ssteme echvalete. CAPITLUL 4 MĂRIMI ŞI ACŢIUNI MECANICE 4.. PRINCIPIILE MECANICII Aşa cum s-a meţoat ş î Captolul, este mertul cotestabl al matematcaulu, fcaulu ş astroomulu egle Isaac Newto de a f epus î mod sstematc, î lucrarea sa "Phlosophae Naturals Prcpa Mathematca" ("Prcple matematce ale floofe aturale"), oţule ş prcple mecac clasce care se costtue a ca fudamet al obectulu de studu al mecac ewtoee. Newto a euţat legle mecac sub următoarea formă: Legea I: rce corp îş păstreaă starea de repaus sau de mşcare î le dreaptă dacă u este costrâs de forţe mprmate să-ş schmbe starea. Legea a II-a: Varaţa mşcăr este proporţoală cu forţa motoare mprmată ş este drjată după la dreaptă î lugul cărea este mprmată forţa. 07

107 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Legea a III-a: Reacţuea este îtotdeaua cotrară ş egală cu acţuea; sau, acţule recproce a două corpur sut îtotdeaua egale ş drjate î sesur cotrar. Evoluţa î tmp a ştţelor, acumularea sstematcă a cuoştţelor î toate domele mecac, permte a, reformularea leglor mecac postulate de Newto, îtr-o accepţue moderă, coformă celor ma recete descoperr ş realăr ale mecac, ca ramură a ştţelor atur, astfel: Legea I: Estă cel puţ u sstem de referţă î raport cu care u puct materal îş păstreaă starea de repaus sau de mşcare rectle ş uformă, dacă u este costrâs de forţe mprmate să-ş schmbe starea. Legea a II-a: Dervata î raport cu tmpul a mpulsulu uu puct materal lber este egală cu forţa mprmată puctulu materal. 08 Această lege se scre ( mv) d dt dv m ma F (4.) dt î care v repretă vectorul vteă a căru mărme este eprmată î [m/s], a repretă vectorul acceleraţe a căru mărme este eprmată î [m/s ] ar m repretă masa puctulu materal eprmată î [kg]. Legea a III-a: Acţule recproce a două pucte materale lbere sut egale î modul, avâd ca suport dreapta ce ueşte cele două pucte ş sesurle opuse. A C Prcpul paralelogramulu: U puct materal R F lber acţoat smulta de F B două forţe, se mşcă tot aşa Fg. 4..

108 MĂRIMI ŞI ACŢIUNI MECANICE ca ş câd asupra lu ar acţoa o sgură forţă, avâd drecţa, sesul ş modulul dagoale paralelogramulu care are ca latur cele două forţe. 4.. MDELELE TERETICE ALE MECANICII Î mecacă, procesul de studu al uu feome îcepe prtr-o sere de potee ş apromaţ smplfcatoare asupra structur, îsuşrlor, forme ş dmesulor domelor materale aalate. Petru smplfcarea ş comodtatea studulu, mecaca foloseşte u umăr de cocepte, cuoscute sub umele de modele teoretce. Alegerea corectă a uu model trebue dovedtă de corespodeţa ître reultatele calcululu matematc ş reultatele obţute epermetal. Î mecacă se folosesc ca modele teoretce:! puctul materal, model care se aplcă acelor dome materale ale căror dmesu sut egljable î raport cu dstaţele dtre ele ş a căror formă u joacă practc c u rol î desfăşurarea mşcăr. Acest model are ca elemete caracterstce puctul geometrc, ca repreetat al poţe domeulu materal ş masa, ca mărme ce caractereaă erţa domeulu cosderat.! la materală, model care se aplcă acelor dome materale la care două dtre dmesu, lăţmea ş grosmea, sut relatv mc î raport cu lugmea ş u joacă practc c u rol î desfăşurarea mşcăr. Acest model are ca elemete caracterstce o le geometrcă care poate f dreaptă sau curbă, ca repreetat al ae domeulu materal ş o masă dstrbută pe utatea de lugme ca mărme ce caractereaă erţa domeulu cosderat. Lle materale pot f bare dacă opu resteţă la îcovoere sau fre dacă u opu resteţă la îcovoere. 09

109 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI! suprafaţa materală, model care se aplcă acelor dome materale la care ua dtre dmesu, grosmea, este relatv mcă î raport cu lugmea ş lăţmea ş u joacă practc c u rol î desfăşurarea mşcăr. Acest model are ca elemete caracterstce o suprafaţă geometrcă, plaă sau curbă, ca repreetat al suprafeţe medae a domeulu materal ş o masă dstrbută pe utatea de are ce caractereaă erţa domeulu cosderat. Suprafeţele materale pot f plăc, dacă opu resteţă la îcovoere, sau membrae dacă u opu resteţă la îcovoere.! corpul materal, model care se aplcă domelor materale la care cele tre dmesu, lugmea, lăţmea ş grosmea, au orde de mărme comparable. Acest model are ca elemete caracterstce volumul geometrc ş o masă dstrbută pe utatea de volum ca o caracterstcă a erţe domeulu materal cosderat. Corpurle materale pot f deformable sau edeformable după cum dstaţele dtre puctele care le alcătuesc sut varable î tmp sau u. (Corpurle materale se umesc solde rgde dacă rămâ edeformate la acţule ce td să le schmbe forma).! medul cotuu sau cotuul materal, model î care se cosderă că îtregul spaţu ocupat de domeul materal este umplut cu substaţă, deş este be cuoscută structura atomcă dscotuă a corpurlor. 4.. LEGĂTURI MECANICE Defţa 4.: Se umeşte legătură mecacă a uu sstem mecac, orce restrcţe de atură geometrcă mpusă sstemulu cosderat sau uea d părţle sale compoete. Clasfcarea legăturlor mecace are la baă dublul aspect geometrc (refertor la lmtarea mobltăţ, la forma oe de 0

110 MĂRIMI ŞI ACŢIUNI MECANICE cotact î caul legăturlor pr cotact drect) ş fc (refertor la aparţa forţelor de legătură). Se dstg:! d puct de vedere geometrc: " legătur teroare sau eteroare; " legătur ulaterale sau blaterale; " legătur dscrete sau cotue.! d puct de vedere fc: " legătur luc sau aspre; " legătur rgde sau deformable. Defţa 4.: legătură mecacă se umeşte teroară dacă restrcţle de atură geometrcă mpuse sstemulu mecac cosderat, lmteaă uma poţle recproce ale părţlor sale compoete ş u poţle acestua luat î asamblul său. De eemplu, soldul rgd lber cosderat ca u sstem de pucte materale oblgate să rămâă la dstaţe varable uul de celălalt, este u sstem mecac cu legătur teroare. Defţa 4.: legătură mecacă se umeşte eteroară dacă restrcţle de atură geometrcă mpuse sstemulu mecac cosderat, lmteaă poţle acestua î asamblul său. Ca eemplu poate f cosderat sstemul alcătut dtr-u umăr oarecare de pucte materale, fecare dtre ele fd oblgat să rămâă î cotact cu o suprafaţă fă. Defţa 4.4: legătură mecacă se umeşte ulaterală dacă se pot da sstemulu mecac cosderat aumte deplasăr, pr care partea legată a acestua poate părăs legătura.

111 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI De eemplu, petru u corp reemat pe u pla estă deplasăr care se pot da corpulu cosderat astfel îcât acesta să se desprdă de pe pla. Defţa 4.5: legătură mecacă se umeşte blaterală dacă u se pot da sstemulu mecac cosderat c u fel de deplasăr, pr termedul cărora partea legată a acestua să poată părăs legătura. Ca eemplu poate f cosderată o culsă care se deplaseaă pe o tjă rgdă (u estă c o deplasare a culse pr care aceasta să se poată desprde de tjă). Defţa 4.6: legătură mecacă pr cotact drect se umeşte puctuală sau lară dacă ara suprafeţe de cotact ître sstemul mecac cosderat ş celălalt elemet al legătur, tde către ero. Ca eemplu se poate cosdera o blă sau u cldru aşeat pe u pla. Defţa 4.7: legătură mecacă pr cotact drect se umeşte cotuă dacă realeaă u cotact eîtrerupt de-a lugul ue suprafeţe sau curbe ître sstemul mecac cosderat ş celălalt elemet al legătur. Defţa 4.8: legătură mecacă se umeşte deală sau luce dacă forţele cu care legătura acţoeaă asupra sstemulu mecac cosderat u au compoete tageţale (compoete stuate î plaul taget la suprafaţă, câd legătura este o reemare pe o suprafaţă sau pe tageta la curbă, câd legătura este o reemare pe o curbă).

112 MĂRIMI ŞI ACŢIUNI MECANICE Această deumre este î corespodeţă cu faptul că cele două elemete aflate î cotact (sstemul mecac ş curba sau suprafaţa) u au aspertăţ (sut luc). Defţa 4.9: legătură mecacă se umeşte aspră dacă forţele cu care legătura acţoeaă asupra sstemulu mecac cosderat au compoete tageţale ( umte forţe de frecare) ECHILIBRU MECANIC. GRADE DE LIBERTATE Defţa 4.0: Codţle de echlbru ale uu sstem mecac oarecare, sut relaţle cele ma geerale pr care se eprmă faptul că acţuea tuturor forţelor aplcate sstemulu cosderat u flueţeaă starea de mşcare rectle uformă sau de repaus estetă îate de aplcarea lor (se ma spue că sstemul de forţe aplcate are efect ul asupra sstemulu mecac). Forţele care acţoeaă drect asupra sstemulu mecac cosderat, se umesc forţe actve. După cum se va vedea î captolele următoare, legăturle mecace acţoeaă asupra sstemelor mecace prtr-o sere de forţe, umte forţe de legătură sau reacţu. Aoma legăturlor: Dacă u sstem mecac este supus aumtor restrcţ de atură geometrcă (sstem mecac supus la legătur ), acestea se îlocuesc pr elemete mecace (forţe ş momete) deumte elemete mecace de legătură sau reacţu, ş după troducerea cărora, sstemul cosderat se trateaă ca ş cum ar f lber. Ca eemplu petru lustrarea aceste aome poate f cosderat studul echlbrulu uu puct materal greu aflat pe o masă orotală. Puctul materal este acţoat uma de

113 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI greutatea propre, drjată după vertcala descedetă. S-ar părea că prcpul erţe este cotras, căc el afrmă că starea de repaus a uu domeu materal u este posblă decât dacă sstemul de forţe care acţoeaă puctul este echvalet cu sstemul mecac ul. Cotradcţa este îsă uma aparetă, căc asupra puctulu materal aalat ma acţoeaă ş reacţuea mase, egală ş de ses cotrar greutăţ puctulu, care alcătueşte împreuă cu aceasta d urmă u sstem mecac ul. Sstemele mecace cu care se lucreaă î mecacă, pot f statc determate sau statc edetermate după cum, cu ajutorul ecuaţlor de echlbru, se pot determa sau u, toate forţele de legătură ca fucţ de forţele eteroare drect aplcate. Defţa 4.: Numărul parametrlor scalar depedeţ ître e (ughur sau lugm) care determă poţa î spaţu a uu sstem materal la u momet dat, poartă umele de grade de lbertate ale sstemulu cosderat De eemplu, u puct materal lber î spaţu are tre grade de lbertate, deoarece poţa sa este determată de tre parametr scalar depedeţ coordoatele sale. U cotuum materal deformabl are o ftate de grade de lbertate GENERALITĂŢI PRIVIND ACŢIUNILE MECANICE Defţa 4.: Se umeşte acţue mecacă orce cauă susceptblă de a meţe u corp î stare de repaus, de a geera o mşcare sau de a deforma u corp. Acţule mecace sut de două categor: 4

114 MĂRIMI ŞI ACŢIUNI MECANICE! acţu mecace la dstaţă: câmpul gravtaţoal, câmpul electromagetc;! acţu mecace pr cotact: legăturle pe o suprafaţă. Defţa4.: forţă este o acţue mecacă repreetată prtr-u vector legat. Cosderăm u sstem mecac (S) care suportă d partea uu domeu materal (D) o acţue mecacă repreetată prtr-u sstem de forţe, { F }, cu puctele de aplcaţe P (Fgura 4.). P F S F P F P D Fg. 4.. Global, această acţue se codeseaă îtr-u puct, al sstemulu mecac, pr do vector: R M F P F (4.) 5

115 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Defţa4.4: Spuem că acţuea mecacă a domeulu materal (D) asupra sstemulu mecac (S) este echvaletă î puctul, umt puct de reducere, cu u torsor. τ R, M F, P F (4.) ( ) bservaţa 4.: rce acţue mecacă fd caracterată de u torsor, posedă toate propretăţle acestua (ve Captolul ) SARCINI: DEFINIŢII GENERALE D puctul de vedere al domeulu de etdere al uu sstem mecac cărua î este trasmsă acţuea altu sstem mecac, sarcle pot f cocetrate (puctuale) sau dstrbute (cotue). Defţa 4.5: Dacă toate dmesule regu uu sstem mecac pe care se trasmte sarca sut foarte mc, ş dec, pot f egljate î raport cu restul dmesulor sale, localarea sarc respectve este cosderată, pr apromaţe, puctuală ş ea este umtă sarcă cocetrată sau puctuală. Defţa 4.6: Dacă cel puţ ua dtre cele tre dmesu ale regu pe care este trasmsă sarca u poate f egljată, sarca se umeşte dstrbută sau cotuă ea fd cosderată î acest ca ca fd trasmsă î mod eîtrerupt regu respectve. Dstrbuţa de sarcă poate f lară, superfcală sau volumcă, după cum dmesule care pot f egljate sut două, ua, respectv c ua. Sarcle dstrbute alcătuesc u câmp vectoral î terorul domeulu de trasmtere a lor. 6

116 MĂRIMI ŞI ACŢIUNI MECANICE Repreetarea ş otarea sarclor cocetrate ş dstrbute se realeaă î modul următor:! forţele cocetrate se repretă pr vector fţ;! cuplurle cocetrate se repretă pr vector momet respectv, care sut, de asemeea, fţ;! forţele dstrbute: forţa ft mcă are valoarea p dl, p ds sau p dv după cum acţoeaă asupra elemetulu de lugme dl al le L, elemetulu de are ds al suprafeţe S sau elemetulu de volum dv al corpulu V ş î care p este u vector ft (Fgura 4.).! cuplurle dstrbute: mometul ft mc are valoarea m dl, m ds sau m dv după cum acţoeaă asupra elemetulu de lugme dl al le L, elemetulu de are ds al suprafeţe S sau elemetulu de volum dv al corpulu V ş î care m este u vector ft (Fgura 4.). pdl L S pds V pdv dl ds dv Fg. 4.. bservaţa 4.: Vector p ş m sut fucţ cotue petru puctul î jurul cărua s-a separat elemetul de lugme, de suprafaţă sau de volum. Dacă e sut costaţ, adcă u depd de poţa î spaţu a elemetulu cosderat, sarcle respectve se umesc 7

117 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI uform dstrbute sau uform repartate. Vector reultaţ F ş M care acţoeaă asupra ue porţu fte de le, suprafaţă sau volum se obţ pr tegrare: F F F L S V pdl; pds; pdv; M M M L A V mdl; mds; mdv; (4.4) Î screrea ecuaţlor de echlbru, sarcle dstrbute pot f îlocute î aumte caur pr sarcle cocetrate echvalete (sarc puctuale care au acelaş efect ca ş sarca dstrbută îlocută) ş care sut compoetele torsorulu de reducere ale sarc dstrbute. Î caul sarclor dstrbute lar ş superfcal câd curba, respectv suprafaţa, sut o dreaptă, respectv u pla ş testatea p a sarc păstreaă o drecţe fă ormală pe dreaptă sau pla, se obşueşte următoarea repreetare sugestvă: se fgureaă vector p dl sau p ds cu vârfurle î puctele stuate pe corpul respectv; orgle acestor vector se dspu atuc după o curbă plaă (sau porţu de curbe plae), respectv după o suprafaţă oarecare (sau porţu de suprafaţă) deumte curbă de îcărcare sau suprafaţă de îcărcare. Î cotuare, se pretă două caur partculare de îcărcăr cu sarc cotue: 8! forţe coplaare, dstrbute lar Î Fgura 4.4 se cosderă la AB avâd lugmea L. Sarca care reve ue porţu de lugme ft mcă este p dl.

118 MĂRIMI ŞI ACŢIUNI MECANICE pdl a C A dl b B l ξ F L Fg Sstemul de forţe paralele format, se reduce la o reultată ucă (sarca cocetrată echvaletă) avâd valoarea L F pdl (4.5) Cum modulul vectorulu p este umerc egal cu ordoata le de îcărcare ab, atuc reultă ş dec, 0 p pj j (4.6) L F j dl Aj (4.7) 0 9

119 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI î care, A repretă ara suprafeţe ABab. Se poate spue, dec, că modulul sarc echvalete este egal cu ara suprafeţe de îcărcare. Poţa sarc echvalete (aa cetrală) se determă cu relaţa ξ L 0 L pdl 0 pdl A A C C (4.8) C fd puctul său de aplcaţe ş repreetâd cetrul de masă al suprafeţe ABab. Î Fgura 4.5 sut preetate câteva caur partculare de sarc dstrbute lar. A L/ L pl B p p A L/ L pl/ B sarcă uform dstrbută sarcă dstrbută trughular p p p (p +p )(p +p )L/ A (p +p)l/ L B A L/4 L pl/ B sarcă dstrbută trapeodal sarcă dstrbută parabolc Fg

120 MĂRIMI ŞI ACŢIUNI MECANICE! forţe dstrbute perpedcular pe suprafeţe plae Î Fgura 4.6 se cosderă o suprafaţă plaă, avâd ara S. Sarca dstrbută care reve porţu de suprafaţă ft mcă este p ds. Sstemul de forţe paralele format, se reduce la o reultată ucă (sarca cocetrată echvaletă) avâd valoarea F pds (4.9) Cum modulul vectorulu p este umerc egal cu cotele suprafeţe de îcărcare, atuc reultă S k pds V j ds ş dec, Fg p pk k (4.0) F k ds Vk (4.) S î care, V repretă volumul determat de suprafaţa de îcărcare. Se poate spue, dec, că modulul sarc echvalete este egal cu volumul determat de suprafaţa de îcărcare.

121 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Poţa sarc echvalete (aa cetrală) se determă cu relaţa ξ S pds V V pds S C C ; η S pds V V pds S C C (4.) C fd puctul său de aplcaţe ş repreetâd cetrul de masă al volumulu determat de suprafaţa de îcărcare.

122 CAPITLUL 5 STATICA PUNCTULUI MATERIAL Aşa cum s-a văut î captolele ateroare, mecaca utleaă, ca strumete de lucru, modele schematate care reţ uma caracterstcle eseţale ale domelor materale pe care le descru ş care le fac propr petru calculul matematc. U prm model teoretc, frecvet utlat, este cel al puctulu materal, M, model care se aplcă acelor dome materale ale căror dmesu sut egljable î raport cu dstaţele dtre ele ş a căror formă u joacă practc c u rol î desfăşurarea mşcăr. Acest model are ca elemete caracterstce puctul geometrc, ca repreetat al poţe domeulu materal ş masa, ca mărme ce caractereaă erţa domeulu cosderat. Este ştut faptul că, petru a def complet poţa uu puct materal, M, trebue cuoscut umărul gradelor de lbertate. D puctul de vedere al poţe pe care o poate ocupa î spaţu, puctul materal este:! lber (câd poate ocupa orce poţe î spaţu);! supus la legătur (câd este oblgat să respecte aumte restrcţ geometrce). Dmesule puctulu materal, M, fd egljable, forţele care acţoeaă asupra lu se costtue î ssteme de vector legaţ avâd dreptele suport cocurete î puctul materal (ceea ce se traduce pr faptul că puctele de aplcaţe ale forţelor cocd cu puctul materal cosderat ş u pot f schmbate). Problemele prvd statca puctulu materal lber sut de ma multe categor, după cum urmeaă:! se cosderă cuoscute forţele care acţoeaă asupra puctulu materal ş se cere să se determe poţa de echlbru a acestua. Necuoscutele probleme sut, î acest ca,

123 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI coordoatele care defesc poţa puctulu materal î spaţu, date î raport cu dferte ssteme de referţă (de eemplu, coordoatele,, î raport cu sstemul cartea trortogoal).! se cosderă cuoscută poţa de echlbru a puctulu materal ş se cere să se determe forţele care trebue să acţoee asupra acestua petru ca poţa de echlbru să u se modfce. Necuoscutele probleme sut, î acest ca, mărmle ş drecţle forţelor. bservaţa 5.: Problemele d această categore pretă, î geeral, edetermăr petru a căror îlăturare este ecesară precarea aumtor codţ pe care trebue să le îdeplească forţele.! se cuosc uele d caracterstcle forţelor care acţoeaă asupra puctulu materal ş ale poţe de echlbru a acestua ş se cere să se determe celelalte caracterstc STATICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER Defţa 5.: Se umeşte puct materal lber, puctul care, sub acţuea uu sstem de forţe, poate ocupa orce poţe î spaţu. U puct materal lber î spaţu, are tre grade de lbertate. Poţa uu puct materal lber este complet deftă cu ajutorul a tre M(,,) parametr scalar depedeţ, care sut cele tre coordoate ale puctulu materal î spaţu, date î raport cu dferte ssteme de coordoate (de eemplu, Fg. 5..

124 STATICA PUNCTULUI MATERIAL coordoatele,, î raport cu sstemul cartea trortogoal, Fgura 5.). Dacă se cosderă u puct materal, M, asupra cărua acţoeaă u sstem de forţe cocurete se poate observa că, î coformtate cu prcpul paralelogramulu, acest sstem de forţe poate f îlocut cu o reultată ucă. Ma mult, corespuător prcpulu erţe, u puct materal lber este î echlbru (îş păstreaă emodfcată starea de repaus sau de mşcare rectle uformă) dacă asupra lu u acţoeaă c o forţă care să-l scoată d această stare. Reultă codţa ecesară ş sufcetă petru ca u puct materal lber să fe î echlbru sub acţuea uu sstem de forţe cocurete: reultata sstemulu de forţe să fe ulă. Codţa de echlbru se scre sub forma ue ecuaţ vectorale R F 0 (5.) care este echvaletă cu sstemul de tre ecuaţ scalare F 0; R F 0; R F 0 R (5.) Codţa grafcă ecesară ş sufcetă petru ca u puct materal să fe î echlbru sub acţuea uu sstem de forţe cocurete este ca polgoul forţelor să fe u polgo îchs. 5.. STATICA PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI 5... Legăturle puctulu materal Defţa 5.: Se umeşte puct materal supus la legătur, puctul care, sub acţuea uu sstem de forţe, este oblgat să ocupe aumte 5

125 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI poţ î spaţu. Estă ma multe posbltăţ de restrâgere a umărulu poţlor pe care u puct materal le poate ocupa î spaţu, dar o mportaţă deosebtă a) b) c) o pretă, petru aplcaţle tehce, acelea care d) e) mpu puctulu materal oblgaţa Fg. 5.. de a u părăs o suprafaţă fă, o curbă fă sau u puct f (Fgura 5.). Evdet, puctul materal supus la legătur are u umăr ma mc de grade de lbertate, ca urmare a troducer restrcţlor geometrce. U puct materal oblgat să rămâă pe o suprafaţă materală, plaă sau curbă, are două grade de lbertate, poţa sa fd complet deftă cu ajutorul a do parametr scalar depedeţ, care sut cele două coordoate curbl ale puctulu materal pe suprafaţa cosderată, date î raport cu dferte ssteme de coordoate. U puct materal oblgat să rămâă pe o curbă materală, plaă sau curbă, are u grad de lbertate, poţa sa fd complet deftă cu ajutorul uu parametru scalar depedet, care este coordoata puctulu materal pe curba cosderată, dată î raport cu dferte ssteme de coordoate. U puct materal oblgat să rămâă îtr-u puct f î spaţu, u are c u grad de lbertate. Se cosderă u puct materal M aflat pe o suprafaţă [S] ş acţoat de forţe a căror reultată este R (Fgura 5.). Ca urmare a esteţe legăturlor care se eerctă asupra puctulu 6

126 STATICA PUNCTULUI MATERIAL materal, oblgâdu-l să rămâă pe suprafaţa [S], u ma este valablă aceeaş codţe de echlbru ca î caul puctulu materal lber. Petru a reolva problema echlbrulu R' puctulu materal supus la legătur, este ecesar să se ţă seama de N aoma legăturlor care T postuleaă că orce legătură poate f suprmată R M T [P] ş îlocută cu elemete R N corespuătoare (forţe ş [S] momete) ş care coservă efectul mecac R Fg. 5.. mafestat asupra puctulu materal. Î caul puctulu materal cosderat, legătura se îlocueşte cu reacţuea R. ' Reultă codţa ecesară ş sufcetă petru ca u puct materal supus la legătur să fe î echlbru sub acţuea uu sstem de forţe cocurete: reultata sstemulu de forţe aplcate ş a forţe de legătură să fe ulă. Codţa de echlbru se scre sub forma ue ecuaţ vectorale R + R' 0 (5.) care este echvaletă cu sstemul de tre ecuaţ scalare R ' ' ' + R 0; R + R 0; R + R 0 (5.4) Codţa grafcă ecesară ş sufcetă petru ca u puct materal supus la legătur să fe î echlbru sub acţuea uu 7

127 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI sstem de forţe cocurete este ca reultata sstemulu de forţe aplcate, R, ş forţa de legătură, R ', să fe egale î modul ş să abă sesur opuse Echlbrul puctulu materal supus la legătur fără frecare 5... Puct materal reemat pe o suprafaţă luce Î Fgura 5. s-a cosderat u puct materal, M, reemat pe suprafaţa [S], ş acţoat de forţe eteroare a căror reultată este R. Ca urmare a esteţe legătur care oblgă puctul materal să rămâă pe suprafaţa [S] cosderată luce, fă ş edeformablă, a fost trodusă î baa aome legăturlor reacţuea R ', egală î modul ş opusă ca ses reultate R. Reultata R se descompue î compoeta ormală R N drjată după drecţa ormale,, la suprafaţa [S] î puctul M, ş î compoeta tageţală R T drjată după dreapta care reultă d tersecţa plaulu [P], taget la suprafaţa [S] î puctul M, cu plaul determat de ormala ş reultata R. Î mod corespuător, reacţuea R ' se descompue, după aceleaş drecţ, î reacţuea ormală N ş, respectv, î forţa de frecare T. Avâd î vedere că puctul materal M rămâe pe suprafaţa [S], se poate spue că acţuea reultate ormale R N, care tde să îdepărtee puctul materal de pe suprafaţa [S], este aulată de reacţuea ormală N, dec cele două forţe sut egale î modul ş de sesur opuse. Pe de altă parte, suprafaţa [S] fd cosderată luce, fără frecare, reacţuea tageţală T, u poate să apară ş dec, puctul materal M este supus uma acţu reultate tageţale R T. Petru asgurarea echlbrulu puctulu materal pe suprafaţa cosderată, trebue îdepltă codţa R T 0. 8

128 STATICA PUNCTULUI MATERIAL Aalâd cele preetate ateror, se poate spue că, petru ca u puct materal să rămâă î echlbru pe o suprafaţă luce, este ecesar ca reultata, R, a forţelor date să fe drjată după drecţa ormale,, la suprafaţa de sprj. Î caul puctulu materal reemat fără frecare pe o suprafaţă [S] codţa de echlbru dată de relaţa (5.) se scre R + N 0 (5.5) care este echvaletă cu sstemul de tre ecuaţ scalare R + N 0; R + N 0; R + N 0 (5.6) Dacă se ţe seama de faptul că suprafaţa [S] poate f eprmată pr ecuaţa carteaă mplctă f (,, ) 0, atuc relaţle (5.5) ş (5.6) se scru respectv f f f R + λ + j + k 0 (5.7) R R R f + λ 0 f + λ 0 (5.8) f + λ 0 Dacă, pe lâgă relaţle (5.8) se cuoaşte ş ecuaţa suprafeţe, f (,, ) 0, se pot determa ecuoscutele,,, ş λ, dtre care, prmele tre defesc poţa de echlbru a puctulu pe suprafaţă, ar λ determă valoarea ş sesul reacţu ormale N. 9

129 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI bservaţa 5.: Se amteşte că reacţuea ormală a ue suprafeţe dată f,, se poate eprma pr relaţa pr ecuaţa ( ) 0 f f f N λ f λ + j + k ude λ este u parametru scalar, ar f grad f este vectorul care defeşte drecţa ormale la suprafaţa [S] dată Puct materal reemat pe o curbă luce Î Fgura 5.4. s-a cosderat u puct materal, M, reemat pe curba [C], ş acţoat de forţe a căror reultată este R. Ca urmare a esteţe legătur care oblgă puctul materal să rămâă pe curba [C] cosderată luce, fă ş edeformablă, a fost trodusă î baa aome legăturlor reacţuea R, ' egală î modul ş opusă ca ses reultate R. Reultata R se descompue î compoeta ormală R N drjată după drecţa ormale,, care reultă d tersecţa plaulu [P], ormal la curba [C] î puctul M cu plaul determat de tageta î M la R curbă ş reultata N T R ş î compoeta tageţală R M R T drjată după [C] R' dreapta tagetă R T la curbă î puctul N M. Î mod corespuător, reacţuea [P] R ' se descompue, după aceleaş Fg drecţ, 0

130 STATICA PUNCTULUI MATERIAL î reacţuea ormală N ş, respectv, î forţa de frecare T. Avâd î vedere că puctul materal M rămâe pe curba [C], se poate spue că acţuea reultate ormale R N, care tde să îdepărtee puctul materal de pe curbă, este aulată de reacţuea ormală N, dec cele două forţe sut egale î modul ş de sesur opuse. Pe de altă parte, curba [C] fd cosderată luce, fără frecare, reacţuea tageţală T, u poate să apară ş dec, puctul materal M este supus uma acţu reultate tageţale R T. Petru asgurarea echlbrulu puctulu materal pe curba cosderată, trebue îdepltă codţa R T 0. Aalâd cele preetate ateror, se poate spue că, petru ca u puct materal să rămâă î echlbru pe o curbă luce, este ecesar ca reultata, R, a forţelor date să fe drjată după drecţa ormale,, la curbă, î puctul de sprj. Î caul puctulu materal reemat fără frecare pe o curbă [C], codţa de echlbru dată de relaţa (5.) se scre R + N 0 (5.9) care este echvaletă cu sstemul de tre ecuaţ scalare R + N 0; R + N 0; R + N 0 (5.0) Dacă se ţe seama de cosderaţa potrvt cărea curba [C] poate f eprmată pr ecuaţle carteee mplcte f (,, ) 0 ş f (,, ) 0, atuc relaţle (5.9) ş (5.0) se scru f f f f f f R + λ + j+ k j k 0 + λ + + (5.) respectv

131 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI R R R + λ + λ + λ f + λ f + λ f + λ f f f (5.) Dacă, pe lâgă relaţle (5.8) se cuosc ş ecuaţle curbe, f (,, ) 0 ş f (,, ) 0, se pot determa ecuoscutele,,, ş λ, λ, dtre care, prmele tre defesc poţa de echlbru a puctulu pe curbă ar λ, λ, determă valoarea ş sesul reacţu ormale N Puct materal fat îtr-u puct U puct materal care u poate părăs u aumt puct f d spaţu rămâe î echlbru orcare ar f forţele care-l acţoeaă, reacţuea R ' fd egală î modul ş de ses opus reultate sstemulu de forţe date, R. Codţa de echlbru se scre sub forma ue ecuaţ vectorale R + R' 0 (5.) care este echvaletă cu sstemul de tre ecuaţ scalare R ' ' ' + R 0; R + R 0; R + R 0 (5.4) 5... Echlbrul puctulu materal supus la legătur cu frecare 5... Forţa de frecare de aluecare. Legle lu Coulomb Repetate epermete, desfăşurate î dferte stuaţ, arată că î caul uu puct materal oblgat să rămâă pe o curbă sau

132 STATICA PUNCTULUI MATERIAL o suprafaţă aspră (cu rugotate), reacţuea R ' are două compoete (ve Fgura 5.5): reacţuea ormală N, drjată după drecţa ormale la suprafaţa sau curba cosderată ş reacţuea tageţală T, umtă forţă de frecare ş drjată după drecţa tagete la suprafaţa sau curba cosderată, î ses vers tedţe de deplasare, aplcată î puctul de sprj al puctulu materal pe acestea. Forţa de frecare poate f pusă î evdeţă de următoarea epereţă (Fgura 5.5). N R' α N F G T G a) b) Fg Se cosderă u corp materal de dmesu egljable, dec echvalet uu puct materal, aşeat pe o suprafaţă orotală aspră ş acţoat de greutatea propre, G. Cât tmp puctul materal rămâe î repaus pe suprafaţa cosderată, forţa de legătură este repreetată pr reacţuea ormală N (Fgura 5.5.a). Asupra puctulu materal se acţoeaă cu o forţă orotală F a căre mărme poate f varată cotuu pr termedul uu trbometru. Pe măsură ce epermetul se desfăşoară, se costată că, pâă la o aumtă valoare a mărm forţe F, umtă valoare de echlbru ş otată F e, puctul materal u se pue î mşcare. Aceasta demostreaă că pe suprafaţa de cotact apare o forţă T, de ses cotrar tedţe

133 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI freşt de deplasare a puctulu materal ş care echlbreaă acţuea forţe de tracţue F. Cu alte cuvte, î această stuaţe, reacţuea u ma este ormală la suprafaţa de cotact, c este îclată cu u aumt ugh, γ, î raport cu drecţa ormale. Ca atare, reacţuea Rare ' două compoete:! reacţuea ormală N, drjată după drecţa ormale la suprafaţa orotală cosderată;! reacţuea tageţală T, umtă forţă de frecare de aluecare ş caracterată ca vector, astfel: mărmea este dată de relaţa T N tgα (5.5) î care α γ ma repretă valoarea mamă a ughulu de îclare, γ; drecţa corespude tedţe freşt de deplasare a puctulu materal (î plaul taget la suprafaţă î puctul de cotact); sesul este vers sesulu deplasăr; puctul de aplcaţe este stuat î puctul de cotact al puctulu materal cu suprafaţa. Cercetărle epermetale efectuate de fcaul frace Coulomb, au pus î evdeţă caracterstcle frecăr ş au codus la formularea leglor frecăr de aluecare, cuoscute sub umele de legle lu Coulomb:. Forţa de frecare de aluecare este drect proporţoală cu reacţuea ormală T µn (5.6) Î relaţa (5.6), coefcetul de proporţoaltate, µ, se umeşte coefcet de frecare de aluecare. 4

134 STATICA PUNCTULUI MATERIAL El este o mărme admesoală care depde de atura ş de starea suprafeţelor aflate î cotact, aşa cum se lustreaă î Tabelul 5.. Tabelul 5.. Valorle coefcetulu de frecare de aluecare materal coefcet de frecare frecare statcă frecare de aluecare uscată umedă uscată umedă ţel dur pe oţel dur 0,78 0, (b) 0, (d) 0,4 0,08 (c) 0,084 (d) ţel dur pe 0, 0,09 (a) - - graft ţel dur pe babbt 0,4 0,7 (b) 0,09 (d) 0,5 0,4 (b) 0,065 (c) 0,07 (d) Cupru pe oţel 0,5-0,6 - etratat Alumu pe,05 -,4 - alumu Fotă pe fotă,0-0,5 0,07 (d) ţel etratat pe - 0,8 (c) 0, 0, (e) fotă Lem pe lem (paralel cu fbra) 0,6-0,48 0,64 (g) 0,067 (h) Fotă pe lem - - 0,49 0,075 (f) (a) acd olec; (b) ule meral uşor; (c) utdelem; (d) valvolă; (e) ule meral medu; (f) ule de măsle; (g) săpu uscat; (h) usoare. bservaţa 5.: Î coformtate cu prma lege formulată de Coulomb, forţa de frecare de aluecare este dfertă î cele două caur preetate î Fgura 5.6, fd ma mare î caul corpurlor suprapuse. 5

135 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI N N T F T F G a) b) Fg Forţa de frecare de aluecare depde de atura ş starea suprafeţelor î cotact.. Forţa de frecare de aluecare u depde de vtea relatvă de deplasare a celor două corpur î cotact ş c de mărmea suprafeţe de cotact. bservaţa 5.4: Î coformtate cu a trea lege formulată de Coulomb, forţa de frecare de aluecare este aceeaş, dferet de modul î care este aşeat u corp materal pe o suprafaţă aspră (pe suprafaţa de dmesue ma mare sau pe cea ma mcă) aşa cum se lustreaă î Fgura 5.7. G G N N T F T F a) G b) G Fg Ceea ce dferă de la u mod de aşeare la altul, este presuea specfcă, adcă raportul dtre greutatea corpulu materal ş ara suprafeţe de aşeare. 6

136 STATICA PUNCTULUI MATERIAL Aalâd relaţle (5.5) ş (5.6) la egaltate, dec petru caul î care se realeaă ughul mam de îclare, α, se obţe T tg α µ (5.7) N ceea ce eprmă faptul că ughul mam de îclare al reacţu R ' faţă de ormala la suprafaţa de aşeare î puctul de cotact, este acel ugh a căru tagetă este egală cu coefcetul de frecare ş se umeşte ugh de frecare. Stuaţa petru care forţa de frecare atge valoarea sa mamă ş care corespude ughulu de frecare α, se umeşte echlbru la lmta de aluecare, î tmp ce petru o mărme a forţe de frecare determată de valor ale ughulu de îclare al reacţu R' cuprse î tervalul (0, α), se vorbeşte despre echlbru sub lmta de aluecare. Cercetărle ulteroare, care au devoltat epermetele lu Coulomb, au arătat că legle frecăr stablte de acesta sut apromatve ş u sut verfcate de practcă î aumte stuaţ, el eplcâd aparţa forţe de frecare de aluecare pr esteţa la suprafaţa corpurlor î cotact a uor aspertăţ care se îtrepătrud ş care sut deterorate de acţuea forţe de frecare, atuc câd uul d corpur se pue î mşcare. Astfel: a) coefcetul de frecare de aluecare scade cu creşterea vtee de deplasare; b) varaţa forţe de frecare de aluecare u ma este lară î raport cu reacţuea ormală N petru valor mar ale acestea d urmă (s-a dovedt epermetal că, la asemeea valor, coefcetul de frecare u ma este costat, c varaă let cu creşterea reacţu ormale N); c) mărmea forţe de frecare de aluecare creşte dacă scade rugotatea suprafeţelor aflate î cotact, deoarece cresc forţele de coeue termoleculară (flueţa forţelor de 7

137 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI coeue termoleculară se mafestă dacă dstaţa dtre suprafeţele de cotact este sub 0-6 mm); d) mărmea forţe de frecare de aluecare scade dacă ître suprafeţele aflate î cotact se troduce lubrfat. scurtă aală a valorlor coefceţlor de frecare preetate î Tabelul 5.. lustreaă toate aceste observaţ mpuse de practca eploatăr corpurlor materale aflate î cotact ş î mşcare relatvă uele î raport cu altele Puct materal reemat pe o suprafaţă aspră Î Fgura 5. s-a cosderat u puct materal, M, reemat pe suprafaţa [S], ş acţoat de forţe a căror reultată este R. Ca urmare a esteţe legătur care oblgă puctul materal să rămâă pe suprafaţa [S] cosderată aspră, fă ş edeformablă, a fost trodusă î baa aome legăturlor reacţuea R, ' egală î modul ş opusă ca ses reultate R. Reultata R se descompue î compoeta ormală R N drjată după drecţa ormale,, la suprafaţa [S] î puctul M, ş î compoeta tageţală R T drjată după dreapta care reultă d tersecţa plaulu [P], taget la suprafaţa [S] î puctul M, cu plaul determat de ormala ş reultata R. Î mod corespuător, reacţuea R ' se descompue, după aceleaş drecţ, î reacţuea ormală N ş, respectv, î forţa de frecare T. Avâd î vedere că puctul materal M rămâe pe suprafaţa [S], se poate spue că acţuea reultate ormale R N, care tde să îdepărtee puctul materal de pe suprafaţa [S], este aulată de reacţuea ormală N, dec cele două forţe sut egale î modul ş de sesur opuse. Pe de altă parte, suprafaţa [S] fd cosderată aspră, cu frecare, reacţuea tageţală T, îş mafestă acţuea ş dec, puctul materal M 8

138 STATICA PUNCTULUI MATERIAL este supus atât acţu reultate tageţale R T cât ş acţu forţe de frecare T. Petru asgurarea echlbrulu puctulu materal pe suprafaţa cosderată, trebue îdepltă codţa R T + T 0. Î caul puctulu materal reemat cu frecare pe o suprafaţă [S] codţa de echlbru dată de relaţa (5.) se scre R + N + T 0 (5.8) care este echvaletă cu sstemul de tre ecuaţ scalare R R R + N + N + N + T + T + T 0; 0; 0 (5.9) Î caul suprafeţelor aspre, trebue să se ţă seama de restrcţa T µ N mpusă de prma dtre legle formulate de Coulomb. Aalâd Fgura 5.8, se poate terpreta aspectul geometrc al frecăr de aluecare a uu puct materal pe o suprafaţă aspră. Petru ca puctul materal să se găsească î echlbru pe suprafaţa aspră cosderată, este ecesar ş sufcet ca ughul de îclare al reacţu R ' faţă de ormala la suprafaţa de aşeare î puctul de cotact, γ, să fe ma mc sau cel mult egal cu ughul de frecare, α γ α (5.0) Semul ma mc corespude echlbrulu puctulu materal sub lmta de aluecare, ar semul egal corespude echlbrulu puctulu materal la lmta de aluecare. Se poate cochde că, u puct materal se află î echlbru pe o suprafaţă aspră, dacă ş uma dacă reacţuea R ' 9

139 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI γ R' Co de frecare N M T [P] [S] α Fg are dreapta suport coţută î terorul uu co avâd vârful î puctul materal, aa detcă cu drecţa ormale la suprafaţă î puctul materal cosderat ş valoarea ughulu la vârf egală cu dublul valor ughulu de frecare. Acest co, poartă umele de co de frecare. bservaţa 5.5: Î caul reemăr puctulu materal pe o suprafaţă aspră, [S], acesta are multple posbltăţ de deplasare î plaul [P] taget la suprafaţa cosderată. Acest fapt face ca forţa de frecare T să troducă, î geeral, două ecuoscute î problemele de echlbru (mărmea ş drecţa sa î plaul taget). Tot ca ecuoscute apar ce do parametr care dau 40

140 STATICA PUNCTULUI MATERIAL poţa puctulu materal pe suprafaţă ş mărmea reacţu ormale, N. Avâd î vedere ecuaţle de echlbru, la care se ataşeaă codţa ca puctul materal să u părăsească legătura ş relaţa suplmetară trodusă de prma lege formulată de Coulomb, se poate spue că problemele de echlbru ale puctulu materal pe o suprafaţă aspră sut, î geeral, edetermate, fd posblă o dublă ftate de soluţ. Petru rdcarea aceste edetermăr, î problemele practce se mpu reultate R a forţelor date care acţoeaă asupra puctulu materal, codţ suplmetare ş se studaă echlbrul puctulu materal la lmtă ( T µ N ). D soluţa astfel găstă, se deduc apo, soluţle corespuătoare echlbrulu sub lmta de aluecare ( T < µ N ) Puct materal reemat pe o curbă aspră Î Fgura 5.4. s-a cosderat u puct materal, M, reemat pe curba [C], ş acţoat de forţe date, a căror reultată este R. Ca urmare a esteţe legătur care oblgă puctul materal să rămâă pe curba [C] cosderată aspră, fă ş edeformablă, a fost trodusă î baa aome legăturlor - reacţuea R, ' egală î modul ş opusă ca ses reultate R. Reultata R se descompue î compoeta ormală R N drjată după drecţa ormale,, care reultă d tersecţa plaulu [P], ormal la curba [C] î puctul M cu plaul determat de tageta î M la curbă ş reultata R ş î compoeta tageţală R T drjată după dreapta tagetă la curbă î puctul M. Î mod corespuător, reacţuea R ' se descompue, după aceleaş drecţ, î reacţuea ormală N ş, respectv, î forţa de frecare T. Avâd î vedere că puctul materal M rămâe pe curba [C], se poate spue că acţuea reultate ormale R, care N 4

141 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI tde să îdepărtee puctul materal de pe curbă, este aulată de reacţuea ormală N, dec cele două forţe sut egale î modul ş de sesur opuse. Pe de altă parte, curba [C] fd cosderată aspră, cu frecare, reacţuea tageţală T, îş mafestă acţuea ş dec, puctul materal M este supus atât acţu reultate tageţale R T cât ş acţu forţe de frecare, T. Petru asgurarea echlbrulu puctulu materal pe curba cosderată, trebue îdepltă codţa R T + T 0. Î caul puctulu materal reemat cu frecare pe o curbă [C], codţa de echlbru dată de relaţa (5.) se scre care este echvaletă cu tre ecuaţ scalare R + N + T 0 (5.) R R R + N + N + N + T + T + T 0; 0; 0 (5.) Î caul curbelor aspre, trebue să se ţă seama de restrcţa T µ N mpusă de prma dtre legle formulate de Coulomb. Aalâd Fgura 5.9, se poate terpreta aspectul geometrc al frecăr de aluecare a uu puct materal pe o curbă aspră. Petru ca puctul materal să se găsească î echlbru pe curba aspră cosderată, este ecesar ş sufcet ca ughul de îclare al reacţu R ' faţă de tageta la curbă î puctul de cotact, γ, să fe ma mare sau cel puţ egal cu π / α, α repreetâd valoarea ughulu de frecare 4 γ π / α (5.) Semul ma mare corespude echlbrulu puctulu materal sub lmta de aluecare, ar semul egal corespude

142 STATICA PUNCTULUI MATERIAL echlbrulu puctulu materal la lmta de aluecare. Co de frecare T γ R' π / [C] α N [P] Fg Se poate cochde că, u puct materal se află î echlbru pe o curbă aspră, dacă ş uma dacă reacţuea R ' are dreapta suport stuată î afara uu co avâd vârful î puctul materal, aa detcă cu drecţa tagete la curbă î puctul materal cosderat ş valoarea ughulu la vârf egală cu dublul valor π / α. Acest co, poartă umele de co de frecare. APLICAŢII. Euţ Î fgură, este repreetată asamblarea uu guseu cu tre profle lamate care sut solctate de către forţele aale F, F, F cocurete î puctul. Cuoscâd F 000daN, F 000daN, F 500daN, se cere să se determe mărmea ş oretarea reultate forţelor. 4

143 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI π /4 π /6 F F F Reolvare Se determă proecţle reultate R pe aele sstemulu cartea de coordoate, utlâd relaţle π π R F F cos + F cos 4 6 π π R F F s + F F s 4 6 Îlocud valorle umerce ş efectuâd calculele, se obţe π π R 000cos cos 75 dan 4 6 π π R 000s s 6 dan 4 6 Mărmea reultate R este dată de relaţa R + ş are valoarea R 8 dan. R R 44

144 STATICA PUNCTULUI MATERIAL retarea reultate R este dată de relaţa valoarea ughulu este de apromatv 0 α 4. R tg α ar R. Euţ U puct materal avâd greutatea G este legat cu ajutorul a tre arcur cu costatele elastce k, k respectv k, de tre pucte A(,, ), B(,, ) respectv C(,, ). Se cere să se determe coordoatele,, ale puctulu materal M petru poţa sa de echlbru. B(,, ) C(,, ) k k k A(,, ) M(,, ) G Reolvare Asupra puctulu materal acţoeaă forţa de greutate avâd mărmea G ş forţele elastce avâd mărmle F kma, F k MB, F k MC. Codţa de echlbru a puctulu materal cosderat se scre, G + F + F + F 0 sau, proectată pe aele sstemulu cartea de coordoate, k k G + ( ) + k ( ) + k ( ) ( ) + k ( ) + k ( ) k ( ) + k ( ) + k ( )

145 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI 46 Pr reolvarea sstemulu de ecuaţ se obţ soluţle k k k G k k k k k k k k k k k k k k k Euţ U puct materal de masă m, stuat îtr-u pla vertcal, este fat î A, ca î fgura de ma jos, fd prs de u fr de lugme l. Puctul materal cosderat se sprjă fără frecare pe u semcerc f de raă r. Ştd că puctul materal este î echlbru ş că h AB să se determe tesuea d fr ş reacţuea semcerculu. T N G r M B h l A α β Reolvare Asupra puctulu materal cosderat acţoeaă greutatea G, tesuea d fr, T ş reacţuea N, d partea semcerculu. Codţa de echlbru se scre

146 STATICA PUNCTULUI MATERIAL G + T + N 0 sau, proectată pe aele sstemulu cartea de coordoate, Ns β Ts α 0 N cosβ + T cosα mg 0 Petru reolvarea acestu sstem de ecuaţ este ecesar să se observe că, î trughul AM, aplcâd teorema susurlor, reultă relaţa r l r + h, de ude, s α s β s( α + β) s α r s β l, s α + β r + h s α + β r + ( ) ( ) h Reolvâd, se obţ soluţle sβ T mg s ( α + β) s α N mg s l mg r + h mg ( α + β) r + h 4. Euţ Se cere să se determe poţle de echlbru lmtă ale uu puct materal avâd greutatea G, reemat pe u cerc aspru stuat îtr-u pla vertcal, cuoscâd coefcetul de frecare, μ, dtre puctul materal cosderat ş cerc. Reolvare Asupra puctulu materal cosderat acţoeaă greutatea G, reacţuea N, drjată după drecţa rae, d partea cerculu ş forţa de frecare, T, tagetă la cerc. Codţa de echlbru se scre G + N + T 0 r 47

147 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI T N α M M A α α B G A' B' sau, proectată pe aele sstemulu cartea de coordoate, 48 N G cosα 0 T G s α 0 Se obţ epresle N G cos α, T G s α de care se ţe seama î relaţa care eprmă codţa frecăr la lmtă, T µn. Reultă, G s α µ G cosα respectv tg α µ sau α arctg µ. Deoarece s α tgα µ + tg α + µ cosα + tg α + µ se obţ epresle ecuoscutelor G Gµ N, T. + µ + µ Poţle lmtă de echlbru sut î umăr de patru: A, B, A, B. Puctul materal cosderat se găseşte dec, î echlbru,

148 STATICA PUNCTULUI MATERIAL pe arcele de cerc lmtate de aceste perech de pucte, aşa cum reultă ş d fgură. 5. Euţ U puct materal de greutate G se găseşte î echlbru pe u pla îclat cu u ugh α faţă de orotală, fd acţoat ş de forţa orotală H aşa cum se vede ş î fgură. Se cere să se determe mărmle forţe orotale H petru care este posbl echlbrul puctulu materal cosderat, î două postae: a) mşcarea are loc pe u pla îclat lucu; b) mşcarea are loc pe u pla îclat aspru, avâd coefcetul de frecare μ. H M H N H T N H N T G G Reolvare a) î potea plaulu îclat lucu, puctul materal este acţoat de forţa de greutate G, de forţa orotală H ş de reacţuea ormală a plaulu îclat N. Codţa de echlbru se scre G + N + H 0 sau, proectată pe aele sstemulu cartea de coordoate, H cosα G s α 0 N G cosα H s α 0 Se obţ soluţle G H Gtgα, N cosα G G 49

149 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI b) î potea plaulu îclat aspru, codţa de echlbru se scre: G + N + H + T 0 Este ecesar să se ţă seama de cele două tpur de mşcăr:. urcare pe plaul îclat, petru care este valablă relaţa G s α < Hh cos α. Codţa de echlbru proectată pe aele sstemulu de coordoate, se scre: H cosα G s α T 0 N G cosα H s α 0 T µ N. coborâre pe plaul îclat, petru care este valablă relaţa G s α > Hh cosα. Codţa de echlbru proectată pe aele sstemulu de coordoate, se scre: H cos α G s α + T 0 N G cosα H s α 0 T µ N D reolvarea celor două ssteme de ecuaţ reultă s α µ cosα G cos α µ s α s α + µ cosα H G cosα µ s α Se poate cochde că soluţa u este ucă, valoarea ecuoscute îscrdu-se îtr-u domeu petru care este posbl echlbrul puctulu materal cosderat. 50

150 CAPITLUL 6 STATICA SLIDULUI RIGID Î studul echlbrulu domelor materale utlate î tehcă, coceptul de puct materal este sufcet, fd ecesară troducerea uu cocept ou care să permtă o modelare ma pertetă, subldu-se smplfcărle ecesare ş admsble care fac posblă reolvarea problemelor practce cu mjloace teoretce specfce mecac. U alt model teoretc, frecvet utlat, este cel al corpulu materal, model care se aplcă domelor materale la care cele tre dmesu, lugmea, lăţmea ş grosmea, au orde de mărme comparable. Acest model are ca elemete caracterstce volumul geometrc ş o masă dstrbută pe utatea de volum ca o caracterstcă a erţe domeulu materal cosderat. Defţa 6.: Corpurle materale se umesc solde rgde dacă rămâ edeformate la acţule mecace care td să le schmbe forma. Ca ş î caul puctulu materal, î studul echlbrulu soldulu rgd este ecesară cuoaşterea gradelor de lbertate. D puctul de vedere al poţe pe care o poate avea î spaţu, soldul rgd este:! lber (câd poate ocupa orce poţe î spaţu);! supus la legătur (câd este oblgat să respecte aumte restrcţ geometrce). bservaţa 6.: Problemele prvd statca soldulu rgd rămâ aceleaş ca ş î caul echlbrulu puctulu materal. Î majortatea stuaţlor tehce reale, soldul rgd se află î teracţue mecacă cu corpurle materale d medul îcojurător. Măsura teracţu dtre soldul rgd cosderat ş medul materal eteror este forţa, teracţuea mecacă putâdu-se reala la dstaţă (coform leg atracţe uversale) 5

151 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI sau putâd f teracţue de cotact. Se pot dstge două tpur mar de forţe:! forţe eteroare actve, care u depd de starea de mşcare a soldulu rgd asupra cărua acţoeaă ş care pot să acceleree sau să îcetească mşcarea acestua;! forţe eteroare pasve, care depd de esteţa uor forţe eteroare actve sau sut codţoate de starea de mşcare a rgdulu. Defţa 6.: U sold rgd care are o teracţue mecacă cu u corp materal, fe pr cotact drect, fe pr termedul uor elemete specale de legătură, care mpu aumte restrcţ geometrce î deplasarea uor pucte ale sale, se umeşte sold rgd supus la legătur, ar teracţuea se umeşte forţă de legătură sau reacţue. Defţa 6.: U sold rgd cărua u se mpu c u fel de restrcţ geometrce î mşcarea lu se umeşte sold rgd lber STATICA SLIDULUI RIGID LIBER U sold rgd lber î spaţu are şase grade de lbertate, poţa sa î raport cu u sstem de referţă presupus f sau erţal, fd complet deftă cu ajutorul a şase parametr scalar depedeţ. Estă ma multe posbltăţ de alegere a acestor parametr, după cum urmeaă:! coordoatele a tre pucte ecolare aparţâd soldulu rgd Î Fgura 6. s-au cosderat puctele A (,, ), A (,, ), A (,, ). Dacă se ţe cot de codţa de rgdtate a soldulu, atuc dstaţele A A j,,j,, j, sut fe ş cele ouă coordoate ale puctelor materale alese, satsfac relaţa A A ( r r ) ( ) + ( ) + ( ) cost. j j j j j

152 STATICA SLIDULUI RIGID petru,j,, j. Datortă celor tre relaţ de depedeţă care se pot scre ître cele ouă coordoate, se poate spue că poţa soldulu rgd este complet deftă de şase parametr scalar depedeţ. A (,, ) A (,, ) A (,, ) Fg. 6..! coordoatele uu puct A( A, A, A ) aparţâd soldulu rgd ş ughurle Euler (ψ, θ, ϕ) Î Fgura 6. cele tre ughur Euler preceaă oretarea aelor tredrulu mobl A ataşat soldulu rgd î puctul A, faţă de sstemul de coordoate Aξηζ paralel cu aele uu sstem de referţă XYZ cosderat f. Ughurle Euler, obţute pr tre rotaţ succesve ale soldulu rgd ş care vor f complet defte î studul cematc, sut: - ughul de precese ψ, se obţe pr rotrea sstemulu f Aξηζ î jurul ae Aζ; ca urmare, aa Aξ ajuge î poţa AN umtă aa odurlor, aa Aη deved A ; 5

153 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI - ughul de utaţe θ, se obţe pr rotrea sstemulu A ζ î jurul ae odurlor AN; ca urmare, aa A ajuge î poţa A, aa Aζ deved A; - ughul de rotaţe propre ϕ, se obţe pr rotrea sstemulu A î jurul ae A; ca urmare, aa odurlor AN ajuge î poţa A, aa A deved A. Z ζ '' θ ϕ A θ ψ ' η ξ ψ ϕ Y X N 54 Fg. 6.. Se poate spue că poţa soldulu rgd este complet deftă de ce şase parametr scalar care sut depedeţ: coordoatele A, A, A ş ughurle Euler ψ, θ, ϕ.! coordoatele uu puct A( A, A, A ) aparţâd soldulu rgd ş cele tre ughur formate de fecare dtre aele sstemulu de coordoate A, ataşat soldulu rgd î puctul A, cu aele sstemulu de coordoate XYZ presupus f, aşa cum se vede î Fgura 6.. Ce dospreece parametr astfel aleş, u sut depedeţ, fd valable următoarele relaţ

154 STATICA SLIDULUI RIGID cos cos cos cosα cosα cosα α α α X X X X X X + cos + cos + cos cos α cos α cosα X X X β β β Y Y Y + cos + cos + cos + cosβ + cosβ + cosβ Y Y Y Z Z Z cosβ cosβ cosβ Z Z γ γ γ Y Y Y + cos γ + cos γ + cos γ Z Z Z cos γ cos γ cos γ Z Z Z γ Z A Y X α X β Y Y X Fg. 6.. Datortă celor şase relaţ de depedeţă care se pot scre ître ce dospreece parametr, se poate spue că poţa soldulu rgd este complet deftă de şase parametr scalar depedeţ. Petru ca u sold rgd lber, aflat î repaus î raport cu u sstem de referţă cosderat f sau erţal, să rămâă î cotuare î repaus la aplcarea uu sstem de forţe, este 55

155 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI ecesar ş sufcet ca torsorul de reducere al forţelor îtr-u puct să fe ul, adcă sau R 0, M 0 (6.) F 0, r F 0 (6.) Î relaţle (6.) sau (6.) se preceaă faptul că sstemul de forţe care acţoeaă asupra soldulu rgd este î echlbru sau că rgdul asupra cărua acţoeaă aceste forţe este î echlbru. Echlbrul soldulu rgd se realeaă petru o aumtă cofguraţe a sa î raport cu u reper, adcă, petru poţ be determate ale puctelor rgdulu î raport cu reperul ales. Codţa ecesară ş sufcetă petru realarea echlbrulu soldulu rgd lber reultă ş d proectarea ecuaţlor vectorale (6.) sau (6.) pe aele sstemulu de coordoate ş aume F 0, 0, ( F F ) 0, ( F F ) 0, ( F F ) F STATICA SLIDULUI RIGID SUPUS LA LEGĂTURI 6... Legăturle soldulu rgd F (6.) 0 Ţâd seama de defţa 6., se observă că tot ceea ce lmteaă deplasărle uu sold rgd î spaţu se costtue î legătur. 56

156 STATICA SLIDULUI RIGID Astfel, petru u corp aşeat pe o masă orotală, masa este o legătură deoarece u- permte corpulu să se deplasee vertcal î jos. Clasfcarea legăturlor soldulu rgd se face după ma multe crter, dtre care, cele ma mportate sut: a) forma geometrcă a oe de cotact; b) umărul gradelor de lbertate. a) Clasfcarea legăturlor soldulu rgd după forma geometrcă a oe de cotact Această clasfcare are la baă faptul că cele două corpur materale, aflate î teracţue mecacă, pot partcpa la cotact respectv cu câte o suprafaţă, o curbă sau u puct, aşa cum reultă d aala tabelulu 6.. Tabelul 6.. Clasfcarea legăturlor soldulu rgd după forma geometrcă a oe de cotact Tpul cotactulu mecac Forma geometrcă a realat ître corpurle legătur materale legătură pe o suprafaţă reultată d cotactul suprafaţă/suprafaţă legătură pe o curbă reultată d cotactul suprafaţă/suprafaţă 57

157 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Tabelul 6.: cotuare Tpul cotactulu mecac realat ître corpurle materale Forma geometrcă a legătur legătură pe o curbă reultată d cotactul suprafaţă/curbă legătură pe o curbă reultată d cotactul curbă/curbă legătură îtr-u puct reultată d cotactul suprafaţă/suprafaţă legătură îtr-u puct reultată d cotactul suprafaţă/curbă 58

158 STATICA SLIDULUI RIGID Tabelul 6.: cotuare Tpul cotactulu mecac realat ître corpurle materale Forma geometrcă a legătur legătură îtr-u puct reultată d cotactul suprafaţă/puct legătură îtr-u puct reultată d cotactul curbă/curbă legătură îtr-u puct reultată d cotactul curbă/puct legătură îtr-u puct reultată d cotactul puct/puct 59

159 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI b) Clasfcarea legăturlor soldulu rgd după umărul gradelor de lbertate Dacă u sold rgd lber î spaţu are şase grade de lbertate, poţa sa î raport cu u sstem de referţă presupus f sau erţal, fd complet deftă cu ajutorul a şase parametr scalar depedeţ, soldul rgd supus la legătur are u umăr ma mc de grade de lbertate, ca urmare a restrcţlor mpuse de legăturle respectve. Această clasfcare ţe seama de umărul gradelor de lbertate pe care le poate avea u sold rgd supus la legătur, aşa cum reultă ş d aala Tabelulu 6.. Tabelul 6. Clasfcarea legăturlor soldulu rgd după umărul gradelor de lbertate Tpul cotactulu mecac Numărul gradelor de realat ître corpurle lbertate materale legătur cu u grad de lbertate co-co prsmă-prsmă 60

160 Tabelul 6.: cotuare Tpul cotactulu mecac realat ître corpurle materale STATICA SLIDULUI RIGID Numărul gradelor de lbertate legătur cu două grade de lbertate prsmă-cldru tor-tor legătur cu tre grade de lbertate pla-pla sferă-sferă 6

161 CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI Tabelul 6.: cotuare Tpul cotactulu mecac realat ître corpurle materale Numărul gradelor de lbertate legătur cu patru grade de lbertate sferă-cldru cldru-pla legătur cu cc grade de lbertate sferă-pla co-pla 6