Formula lui Taylor Extremele funcţiilor de mai multe variabile Serii de numere cu termeni oarecare Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă

Transcript

1 Uverstatea Spru Haret Facultatea de Stte Jurdce, Ecoome s Admstratve, Craova Programul de lceta: Cotabltate ş Iformatcă de Gestue Dscpla Matematc Ecoomce Ttular dscplă Cof uv dr Laura Ugureau SUBIECTE (Toate subectele se regasesc steze) Matrce Operaţ î mulţmea matrcelor Matrce versă Ragul ue matrce Matrce versă Trasformăr elemetare î matrce Ssteme de ecuaţ lare Ssteme de ecuaţ lare eomogee cu ecuaţ ş ecuoscute Regula lu Cramer Ssteme de ecuaţ lare eomogee cu m ecuaţ ş ecuoscute Teorema lu Rouche Ssteme de ecuaţ lare omogee cu m ecuaţ ş ecuoscute Eplctarea uu sstem lar Spaţ ş subspaţ lare Defţ Eemple Depedeţă ş depedeţă lară Sstem de geerator Bază ş dmesue petru u spaţu vectoral Trasformarea coordoatelor uu vector la o schmbare a baze Subspaţ vectorale ale uu spaţu vectoral Lema substtuţe Aplcaţ Operator lar Defţa uu operator lar Eemple Operaţ cu operator lar Spaţ vectorale zomorfe Reprezetarea matrceală a uu operator lar Valor propr ş vector propr petru u operator lar Subspaţ propr 5 Forme blare Forme pătratce Forme lare Forme blare Forme pătratce Aducerea ue forme pătratce la forme caocă Metode lare de optmzare Problema folosr optme a resurselor Forma geerală a ue probleme de programare lară Rezolvarea uu program lar cu ajutorul algortmulu smple Elemete de aalză matematcă Fucţ de ma multe varable Lmte de fucţ ş fucţ cotue Dervate parţale Fcţ mplcte

2 Formula lu Talor Etremele fucţlor de ma multe varable Ser de umere cu terme oarecare Ser cu terme poztv Crter de covergeţă Ser de fcţ Crter de covergeţă 8 Elemete de teora probabltăţlor Câmp de evemete EvemeteCategor de evemete Operaţ cu evemete Câmp de evemete Scheme probablstce clasce Măsura realzăr evemetelor Probabltate codtoata Formula probabltăţ totale Defţa oţu de varablă aleatoare Dstrbuţa ue varable aleatoare dscrete Dstrbuţa ue varable cotue Fucţa de repartţe a ue varable aleatoare Caracterstc umerce ale varablelor aleatoare 9 Elemete de teora grafurlor Plafcarea î grafur Algortm: - Algortmul lu Che petru determarea drumurlor hamltoee î grafur fără crcute - Drumur optme îtr-u graf (mme sau mame) - Algortm de găsre a drumulu optm - Algortmul lu Bellma - Kalaba - Algortmul lu Ford smplfcat Matematc facare Dobâdă smplă Defţe Formule de calcul Suma sau valoarea fală ş suma sau valoarea actuală Operaţu echvalete î regm de dobâdă smplă Suma mărtă sau mcşorată cu dobâda respectvă Dobâda compusă Defţe Formula de calcul Factor de fructfcare Formula dobâz compuse câd durata operaţe facare respectve este u umăr îtreg de peroade ş o fracţue d peroadă Procet omal ş procet real sau efectv Operaţ echvalete î regm de dobâdă compusă Devalorzare ş plasamet î codţ flaţoste Modaltăţ echvalete de plată a dobâzlor Plăţle eşaloate Plăţle eşaloate utare postcpate medate Plăţ eşaloate utare postcpate amâate cu r a Plăţ eşaloate utare atcpate medate Plăţ eşaloate utare atcpate amâate cu r a Calcule de actualzare ş de retabltate Plăţ eşaloate utare postcpate medate Plăţ eşaloate utare atcpate medate

3 Plăţ eşaloate utare atcpate amâate cu r a Operaţ facare ale rambursăr credtelor Suma rămasă de plată după achtarea ue rate Împrumutur cu autăţ costate cu dobâdă plăttă atcpat Împrumut cu rate costate subauale PROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teore d steze) Căror matrce l se pot aplca trasformărle elemetare? Fe B o matrce obţută d matrcea A pr trasformăr elemetare Cum este ragul lu B fata de ragul lu A? Trasformărle elemetare schmbă ragul matrce? Câd sut matrcele A ş B d M m, (R) echvalete? 5 Căror matrce l se poate aplca metoda de aflare a verse ue matrc cu trasformărle elemetare? Folosd trasformărle elemetare determaţ ragul matrce A Folosd trasformărle elemetare determaţ ragul matrce A 8 8 Fe A a matrcea corespuzătoare forme eplcte a uu sstem lar Petru ce valoare a lu a este acest sstem compatbl? 9 Fe A a matrcea corespuzătoare forme eplcte a uu sstem lar Petru ce valoare a lu a este acest sstem compatbl? Matrcea etsă, corespuzătoare uu sstem lar, î formă eplctă este: / A Este compatbl acest sstem? Fe sstemul: z t z t z t Folosd metoda reducer complete determaţ matrcea echvaleta cu matrcea ataşată acestu sstem

4 Forme eplcte a uu sstem lar î corespude matrcea A Determaţ mulţmea soluţlor sstemulu Studaţ compatbltatea sstemulu t z t z t z Calculaţ ragul matrce A dacă este echvaletă cu matrcea A' 5 Cum se umesc două ssteme lare eomogee astfel îcât orce soluţe a prmulu sstem este soluţe ş a celu de-al dolea sstem ş recproc? Determaţ soluţa sstemulu z z z Aplcâd metoda Gauss Jorda uu sstem lar de ecuaţ, matrcea etsă A este echvaletă cu matrcea / A Este compatbl acest sstem? 8 Matrcea etsă, corespuzătoare uu sstem lar, î formã eplctă este A Este compatbl acest sstem? 9 Fe A matrcea corespuzătoare forme eplcte a uu sstem lar Studaţ compatbltatea acestu sstem î fucţe de valorle lu α Forme eplcte a uu stem lar î corespude matrcea A Determaţ mulţmea soluţlor sstemulu Fe vector,, k R astfel îcât α α α k k Câd sut,, k sut lar depedeţ? Fe vector,, k R Ce codţe trebue îdepltă petru a forma o bază? Fe B { } k,,, o bază î spaţul vectoral X deft peste corpul K Ce puteţ spue despre dmesuea lu X? Fe,, d R vector oarecare astfel îcât - Ce puteţ afrma despre lar depedeţa acestor vector? 5 Câte baze estă î spaţul lar R? Fe,, R vector oarecare astfel îcât -, Studaţ lar depedeţa lor Cad u spaţu lar X se umeşte spaţu lar real?

5 8 Fe vector,, R, lar depedeţ Formează bază î R? 9 Dacã L :R m R este u operator lar ş A matrcea sa faţă de o pereche de baze B, B' atuc de ce tp este matrcea A? Fe L :R R m u operator lar ş u vector propru corespuzător valor propr Cu cat este egal L()? Operatorul lar L:R R are matrcea A Screţ ecuaţa caracterstcă petru obţerea valorlor propr Screţ polomul caracterstc asocat aplcaţe lare a căre matrce î baza caocă este A Ce ecuaţe trebue rezolvată petru a determa valorle propr ale operatorulu L : R R cu matrcea corespuzătoare A? Operatorul L :R R are matrcea A Determaţ valorle propr ale lu L 5 Operatorul L :R R are valor propr dstcte,,, cărora la corespud vector propr,, Atuc,, formează o bază î R? Ce codt trebue sa depleasca aplcata L :R m R petru a f u operator lar? Fe operatorul lar L :R R cu matrcea A Screţ ecuaţa caracterstcă corespuzătoare L : R R T 8 Fe operatorul lar, ( ) ( T,, ) R Determaţ L( ) (, ) forma matrce operatorulu î bazele caoce ale celor două spaţ 9 Fe A matrcea ataşată operatorulu L : R R Determaţ valorle propr corespuzătoare Fe A matrcea asocată forme pătratce Q:R R ş,,, mor prcpal a lu A Ce codţe trebue să îdeplească aceşt mor petru a aplca metoda lu Jacob de aducere la forma caocă? Determaţ forma caocă asocată forme pătratce Q :R R care are matrcea asocată A Q : R R Screţ matrcea asocată forme pătratce Q( ) T ( ) (,, ) R

6 Forma pătratcă Q :R R are matrcea asocată A Determaţ epresa lu Q Screţ matrcea asocată forme pătratce 8 5 ) ( : Q R R Q ) ( T ),, ( R 5 Forma pătratcă Q :R R are matrcea asocată A Determaţ epresa lu Q Defţ o mulţme M R coveă Ce fel de varable se folosesc petru a aduce o problemă de programare lară la forma stadard? 8 Scret forma stadard a programulu lar, ma f 9 Scret matrcea sstemulu de restrcţ ataşată programulu lar,, m f 5 Determaţ soluţa optmă a programulu lar,, m 5 f : 5 Calculaţ valoarea lmte lm 5 Calculaţ valoarea lmte lm 5 Calculaţ valoarea lmte lm 5 Fe sera umercă a, a R I ce codt coverge aceasta sere? 55 Sera de puter a ) ( are raza de covergeţă r Determaţ mulţmea de covergeţă

7 5 Fe ( S) N şrul sumelor parţale ataşate sere a Studaţ covergeţa sere dacă lm S 5 Fe sera a a, a Dacă lm a Studaţ covergeţa sere 58 Sera de puter a ) ( covergeţă coform teoreme lu Abel? are raza de covergeţă r > Care este tervalul de 59 Fe ( S) N şrul sumelor parţale ataşate sere a ş lm S S Dscutaţ covergeţa sere a Fe sera de puter a cu lm Dscutaţ covergeţa sere a Fe sera alterată Studaţ covergeţa sere geometrce Studaţ covergeţa sere de puter Fe f(,) Calculaţ f 5 Fe f(,) Calculaţ ( ) a cu a Ce afrmă crterul lu Lebz? f f ş, a aq, cu f f f, ş a cu lm a f f f f Fe fucţa f(,) Calculaţ,, ş Calculaţ dervatele parţale de ordul îtâ ale fucţe f(,) l() f f f f 8 Fe fucţa f(,) Calculaţ,, ş 9 Calculaţ dervatele parţale de ord ale fucţe f(,) l() Calculaţ dervatele parţale de ord ale fucţe f (, ), Determaţ dervatele parţale ale fucţe f ( u, v) l uv, u, v Determaţ dervatele parţale ale fucţe f ( u, v) u v, u, v

8 Hessaa fucţe f(,) î puctul crtc P, este de forma H ( P ) : Determaţ astfel îcât P să fe puct de mm local petru f Fe H ( P ) hessaa corespuzătoare fucţe f(,,z) Î puctul crtc P Este P puct de etrem petru f? Dscute dupa valorle parametrulu f ( ) 5 Dacă fucţa f (, ) are dervatele parţale de ordul I de forma, atuc f ( ) cate pucte crtce are f? Fe H (,, z) z hessaa ataşată fucţe f(,,z) z Deoarece f z z satsface crterul lu Schwarz, determaţ α, β, γ Cum se determă puctele crtce ale fucţe f (, ) C (R )? f : R R 8 Determaţ puctele crtce petru fucţa f (, ) 9 Determaţ puctele crtce petru fucţa f (,, z) z z 8 Determaţ puctele de etrem petru fucţa f (,, z) z z 8 Determaţ puctele de etrem petru f (,, z) 9z 8 Fe H (, ) hessaa ataşată fucţe f(,) Verfcaţ dacă puctele P (,-) ş P (-,-) sut pucte de etrem petru f 8 Ce elemete coţe hessaa atasată ue fucţ oarecare f : R R? O socetate comercală realzează î cursul uu a tpur de produseî fecare luă realzează, î fucţe de cererea de pe paţă uul sau ma multe dtre aceste tpur de produse Care este campul de evemete asocat producţe ue lu? Dtr-u lot de produse se etrag smulta patru produse Notăm cu A evemetul ca toate cele patru produse etrase să fe bue ş cu B evemetul ca cel puţ uul să fe ecorespuzător Ce relate esta tre A s B? U om de afacer îchee îtr-o z tre afacer care pot f retable ( A ) sau eretable ( A ),,, î fal Cum putem scre evemetul corespuzător stuaţe î care ua d afacerle îcheate este retablă? U studet solctă o bursă de stud de la tre băc care obşuesc să acorde astfel de credte După studerea dosarulu depus petru credtare, acesta poate prm răspusul Da sau Nu Se otează cu A evemetul corespuzător uu răspus favorabl de la baca,,,, respectv

9 A evemetul corespuzător uu răspus efavorabl de la aceeaş bacă Atuc, cum poate f eprmat faptul că u a prmt c u răspus favorabl? 5 U lot de produse ambalate î cut, oferte de o frmă este acceptat de beefcar, dacă î urma eamăr a 5 cut etrase la îtamplare, coţutul lor se costată corespuzător Notad cu A evemetul corespuzător stuaţe că la eamarea cute cu umărul,, 5 coţutul este corespuzător, cum poate f eprmat faptul că după eamarea a tre cut etrase la îtamplare, lotul a fost resps? U aparat se compue d dspoztve care se pot defecta depedet uul de altul U sgur defect este sufcet ca aparatul să u fucţoeze Probabltatea de fucţoare fără defect a prmulu dspoztv este,9, a celu de-al dolea este, ş a celu de-al trelea, Notam cu A probabltatea ca dspoztvul să fucţoeze Cu ce probabltate fuctoeaza aparatul? O grupă de studeţ d aul I are de realzat tre lucrăr de cercetare Î poteza că cele tre proecte pot f tegral realzate cu probabltăţle p,, p, 8 ş p, care este probabltatea ca cel puţ u proect să fe termat la tmp? 5 O socetate comercală apelează la eperţ A,, petru a ofer soluţ vable de retablzare D datele statstce se şte că eperţ A oferă soluţ vable cu probabltăţle,8;, ş, respectv Care este probabltatea ca toţ să ofere soluţ vable? Îtr-o cute sut 5 pese asemăătoare ca formă, dar sut cu defecte Se scot tre pese fără a le retura ă cutecare este probabltatea ca cele tre pese să fe fără defect? Dtr-u lot de de pesed care pese au defecte remedable, pese sut rebutur, ar restul sut bue se au pese la îtâmplare Care este probabltatea evemetultu ca d acestea să fe bue, cu defecte remedable ş să fe rebut? 8 Se arucă u zar de or Care este probabltatea de a obţe de or faţa, de or faţa ş de or faţa? 9 Se urmăreşte mportul a tre tpur de produse ş se verfcă, pr alegerea la îtâmplare a uu produs d fecare tp, o caracterstcă specfcă Prmul produs corespude cu probabltatea p,9, al dolea cu p, 8 ş al trelea cu p,95 Care este probabltatea ca toate tre să fe corespuzătoare?, < Care este val;oare costatelor reale a ş b petru care fucţa f ( ) este a be, fucţe destate de probabltate? 5 Dacă destatea de repartţe a ue varable aleatoare este f ( ) e, R Cate pucte de etrem aref? Dstrbuţa varable aleatoare X este X : Care este probabltatea ca q q varabla X să a o valoare ma mcă sau egală cu? Dstrbuţa varable aleatoare X este X : q 8q 5

10 8 Care este meda varable aleatoare 5 : a a 5a, 9 Petru a cerceta prezeţa studeţlor la u aumt curs s-a ales u eşato de studeţ ş s-a îregstrat umărul abseţelor acestora la patru cursur cosecutve: Nr Studeţ Nr Abseţ Determat meda ş dspersa de selecţe Fe X o varablă aleatoare cu destatea f, ) A,, > Care este valoarea lu ( A î fucţe de? 5 Calculat meda petru varabla aleatoare X cu fucţa destate de probabltate f ( ) ( ), [,] 5 Calculat dspersa varable aleatoare X :,,,,, Scret forma matrceală a grafulu ( X, A), X,,, ş G {, 5 } {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), ( )} A , 8 Scret forma matrceală a grafulu G ( X, A), X,,,, ş A { 5, } {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )( )} 5 5, 9 Scret forma aaltcă a grafulu G, a căru matrce booleaă este M Calculat drumul de valoare mmă ître vârfurle ş 8, ale uu graf, cuoscâd dstaţele, : ; : ; : ; : ; : ; : ; 5 : ; : ; : ; : ; : ; : 5; : ; : 5; : Calculat drumul de valoare mmă ître vârfurle ş 8, ale uu graf, cuoscâd dstaţele : ; : ; : ; : 5 ; : 9; : ; : ; : Calculat drumul de valoare mamă ître vârfurle ş, ale uu graf, cuoscâd dstaţele, : ; : ; : ; : ; : 5; : ; 5 : 5 ; : ; : ; : ; : : 5 5

11 Calculat drumul de valoare mamă ître vârfurle ş 5, ale uu graf, cuoscâd dstaţele : ; : 8 ; : ; : ; : ; : 9 ; 5 : ; 5 : ; 5 : Graful ataşat uu proect, prezetâd succesuea operaţlor ş durata acestora î zle este dat de :, :, :, :, : 5, : 8, 5 5 :, 5 :, : 8, 5 : 9, : I cate zle se falzeaza proectul? 5Petru a orgaza trasportul poşte pr 5 localtăţ otate cu,,, 5 se îcearcă folosrea posbltăţlor de trasport reprezetate pr arce astfel:,,,,, 5,, 5 Este posblă trecerea pr toate cele 5 localtăţ câte o sgură dată? Î caz afrmatv î ce orde trebue parcurse? Determat drumul hamltoa î graful ( X, A), X,,,, a cu G { } 5, matrcea booleaă M Care este dobada smplă aferetă plasăr sume de um pe o durată de de zle cu u procet aual de 8%? 8 Îcepad cu data de auare o persoaă plasează la fecare îta ale lu cate 5 um cu u procet aual de 5% tmp de u a de zle Pe decembre îş retrage toţ ba depuş Care este dobada smplă aferetă aceste operaţu facare? 9 Ce suma a fost plasată cu dobadă smplă pe data de 5 auare cu procetul aual de 5% astfel îcat pe septembre acelaş a suma cumulată să fe? 5 Cu ce procet trebue plasată suma de 5 um tmp de lu cu dobadă smplă, petru ca suma fală să fe um? 5 Pe ce durată ar trebu plasată, î regm de dobadă smplă suma de um, cu procetul aual de %, petru a obţe o dobadă de um? 5 Dfereţa a două captalur Cş C este um Cel ma mare captal este plasat 8 lu cu 5%, ar celălalt 5 lu cu % Dobada smplă obţută este de um Care sut cele două captalur? 5 Ce suma a fost vesttă î regm de dobadă compusă cu %, acumuladu-se după a 9,5 um? 5 Care este rata dobaz ecesară petru ca um să devă 5 um î a? 55 Care este suma acumulată după u a dacă se vestesc um cu o rată a dobaz de % compusă trmestral? 5 O îtreprdere va trebu să cheltuască um petru u ou utlaj peste do a Î peroada curetă, rata omală auală a vestţlor de captal este de % Ce sumă ucă ar trebu vesttă acum, dacă compuerea se realzează semestral?

12 5 O frmă plafcă să vestească o sumă de ba la îceputul fecăru a, petru a acumula o 5 sumă de um la sfarştul peroade de 5 a Care este valoarea aceste sume, dacă rata vestţe este %? 58 Depuâd a sumă de 5 um se achtă două dator care erau ua de um acum 5 lu ş cealaltă de um acum lu Captalzarea făcâdu-se cu dobâdă smplă, cat este rata auală de dobâdă? 59 Dfereţa dtre două captalur este de 5 umcel ma mare a fost plasat lu cu 5%, ar al dolea lu cu % coducâd la o dobâdă smplă totală î valoare de umcare sut cele două captalur? Două captalur a căror sumă este de um sut plasate cu dobâdă smplă astfel: prmul de zle cu %, ar al dolea 8 de zle cu % Dobâda prmulu este dublul dobâz celu de-al dolea Care sut cele două captalur? Cat deve suma de 8 um plasată tmp de a î regm de dobâdă compusă cu procetele auale cosecutve de %, % ş 5%? Se plasează suma de 5 um î regm de dobâdă compusă tmp de 5 a Dobâda aferetă aceste sume dacă procetele auale sut respectv egale cu %, %, 5%, % ş % Care este suma fala? Care este suma care î de zle produce o dobâdă egală cu suma dobâzllor produse de: um pe tmp de 9 de zle ş umpe tmp de de zle? Care este suma ţală care va trebu depusă petru a acumula um după a ştd că s-a folost o rată a dobâz compuse de %? 5Câştgaţ la lotere, ar acasă la dumeavoastră ve ceva de la ageţa respectvă ş vă spue că puteţ alege ître a prm mlo dolar îtr-o sgură plată sau a prm aual, tmp de a, suma de 5$ Care este varata avatajoasă? Prmţ um pe care î pueţ la bacă Bacă vă oferă dobâda compusa de % pe u a, tmp de do a Care este valoarea fală a aceste operaţu? Care este valoarea fală a um după 5 a, dacă rata dobâz compuse este de 5%? 8 Dacă ceva e oferă um peste 5 a, câţ ba ar trebu să- dăm acum, corespuzător ue rate a dobâz compuse de %? 9Să presupuem că prmţ o carte de credt petru care rata dobâz luare este de % Care este de fapt rata dobâz auale care v se aplcă? Care este valoarea fală a ue vestţ de 5 umpeste a, la o rată a dobâz compuse sem-auale de 9,5%? Care este valoarea actuală a ue vestţ care va ajuge la 8 um peste a, lo o rată a dobâz de 8% compusă trmestral? Care este valoarea depoztulu ce trebue făcut petru a câştga o dobâdă totală de 9, um î 55 de zle, la o rată auală a dobâz de %? Î câte lu suma de 9 um va aduce o dobâdă de 5,8 umla o rată auală a dobâz de %? Ce rată a dobâz smple trebue aplcată petru ca o vestţe de um să aducă o dobâdă de,9 um ître ue ş 9 oembre, acelaş a? 5 Ce sumă trebue vesttă la auare petru a avea um la 8 august, acelaş a, dacă vestţa se face la o rată auală a dobâz de %?