revist@teiforo PROBEMA UNII NOIEMBRIE 07 EN/RO pg Mri Chirciu SOUȚII - PROBEMA UNII OCTOMBRIE 07 pg 3 Măescu Avr Coreliu Alte soluții dte de : Gheorghe Alexe, George-lori Șerb Rox, Mri Chirciu, Octvi Stroe, Buze Gbriel, Mihel Stciu, Nel Ciceu, Costti Telteu, Gheorghe Procopiuc, Codreu Io Viorel, Alexdru Ele - Mrcel 3 THE NUMBERS of IBONACCI d UCAS IDENTITIES - PROOS WITH EW WORDS pg Duitru M Bătieţu-Giurgiu d Neculi Stciu 4 O NOUĂ INEGAITATE AGEBRICĂ ȘI APICAȚII AE EI ÎN TRIUNGHI pg0 Mri Chirciu APICAȚII AE UNCȚIEI YAPUNOV A REZOVAREA PROBEMEOR DIUZIEI DE CĂDURĂ Apostol Georgi Mri
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo PROBEMA UNII NOIEMBRIE 07 Deteriți tote uerele rele pozitive și b petru cre b b b * b b, ude N b b b Prof Mri Chirciu, Pitesti Așteptă soluții cât i itereste pâă pe dt de 07 pe dres de e-il revist@teiforo
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo SOUȚII PROBEMA UNII OCTOMBRIE 07 Se dă u triughi ABC, uerele rele strict pozitive,, p şi puctele B [AC], C [AB] stfel îcât =, = Să se rte că dreptele BB, CC sut perpediculre dcă şi ui dcă + pab + + pac = + + p + BC Prof Măescu Avr Coreliu Soluţie utor: olosi coordotele coplexe Alege origie O î cetrul cercului circuscris triughiului ABC, cosideră şi puctul A [BC] stfel îcât =, deci O0, Az, Bz, Cz 3, z, z, z 3, z = z = z 3 = R, z z = c, z z 3 =, z 3 z = b cu otţiile uzule Ave = = +, de ude = R şi logele ie M u, M v ; fixul puctului M cre îprte segetul M M î rportul este z = Rezultă A, B, C Ave şi = =, deci, cofor reciprocei teoreei lui Cev, dreptele AA, BB, CC sut cocurete îtr-u puct G Să deteriă g = zg, fixul lui G Di relţi lui V Aubel ve Se deduce = + = + = g = = Dreptele BB, CC sut perpediculre dcă şi ui dcă GB + GC = BC, eglitte cre se trscrie î coplex + = su g + + + = * Clculă 3
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo = g = = R, g + = 4R, = = R, vlori cre se substituie î * Se efectueză clculele, se grupeză tereii seee, se revie l otţiile = BC şi logele şi se obţie stfel eglitte di euţ Prof Gheorghe Alexe, Bril p p p p BB AB AC, p BB BC BA, Alte soluții, CC CA CB CC AB AC AB AC BC AB AC BC AB AC AB AC cos A AB AC, AB AC p BB CC BB CC AB AC AB AC, p p p BB CC AB [ ] AB AC AC, p p, p A, p p BB C AB AB p AB AC BC p BB CC AB [ ] AC, p p p p p p BB CC [ ] AB [ ] AC BC p p p p p p p p BB CC AB AC BC, p p p p BB CC [ p AB p AC p BC ], p p BB CC BB CC 0 p AB p AC p BC 0 p p AB p AC p BC BB O, CC O, Observtie: Di B AC,C AB B AC AB [ ],C [ ] si, p 0, B AC,C AB 4
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Prof George-lori Șerb, Brăil { } I ABC plic teore lui Cev, AA BB CC M BA p I CA BM, B M p trsversl I BB BB ABB plic teore lui Meelos, trsversl B, M,B BM p BM p, I B M BB p AB CM C B, ABC plic teore lui Stewrt CB C M AB p CM, C M 3 BC AC p AB AC AC p, AC p p p p p p BC p AB AC p CC AB BC AC AC BC AC BC AB, CC CC 3 BC AB AC AB AB, AB BC AC AB BB CC MBC, BM MC BC, AC BA CB BC, CA AB C, M, C BA, CA p AC BM B C, BC B M AC ACC plic teore lui Meelos, CM CM, C M p C C p BB AC BC AB AB B C AB B C AC,, I MB 0 BMC 90, teore lui Pitgor, BB p CC p p ABC plic teore lui Stewrt BC BB p, p, MC BM MC BC CC p p p BC p AB AC p BC AC AB BC p p p BC p AB p AC BC p p p p AB p AC BC p p, p AB p AC BC p p, p p AB p AC BC p, cctd 0 Deci BB CC MBC, BMC 90, teore lui Pitgor, p p AB p AC BC p BM MC BC,
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 3 Prof Mri Chirciu și prof Octvi Stroe, Colegiul Nțiol Zic Golescu di Pitești Di CB p rezultă BB BA BC BA p p p AC Di rezultă CC CA CB CB p Ave BB CC BB CC 0 BA BC CA CB 0 p p BACA BA CB pbc CA pbc CB 0 AB AC BA BC pcb CA pbc BC 0 AB AC cos A AB BC cosb pbc AC cosc pbc 0 AB AC BC AB BC AC BC AC AB p p BC 0 p AB p AC p p BC p p AB p AC p BC Cu cest deostrți este îcheită 4 Prof Buze Gbriel, Școl Gizilă Nr 6, București olosid relțiile di ipoteză obție ie BB CC ={T}, ir AT BC={A } Î triughiul ABC, AA BB CC ={T}, plică teore lui Cev Î triughiul ABC, AA BB CC ={T}, plică teore lui V Aubel și obție Î triughiul ABC, plică teore lui Stewrt și obție 6
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Di si obție că Alog, obtie Di obție că Prof Nel Ciceu, Roşiori, Bcău şi prof Rox Mihel Stciu, Buzău Ave b pb NC c CB ' BA' AC ' C ' B ' ' ' p p N ' c p b pbc b c p p bc Rezultă că BB ' CC ' BC B ' C ' BC ' B ' C BC ' ' c p b p b c c b p p p c pc p b pb p p p p p c pc p b pb p p p p p p p c p b p p 7
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo p p b p c p 6 Prof Costti Telteu uâd ltur BC pe x Ox şi îălţie di A pe x Oy, ve: AB b ; AC c ; BC b c, cre îlocuite î relţi dtă î euţ, după câtev clcule, coduce l relţi echivletă: b p pc bc p p 0 c 0 0 CB ' p pc p Pe de ltă prte, ve: xb' ; yb' ; B ' A p p p p p b 0 0 BC ' b xc' ; y C' C ' A yc' yc yb' yb CC ' ; BB ' x x b c c x x pc pb b C ' C B' B Codiţi de perpediculritte di euţ este echivletă cu: CC ' BB ' b c c pc pb b 8
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 7 Cof dr Gheorghe PROCOPIUC, Uiversitte Tehică Işi 9
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 8 Prof Codreu Io-Viorel Dreptele BB si CC sut perpediculre dc si ui dc CB' AC' Di = si = rezult B' A p C' B BB ' x CC ' = 0 BB ' = su BC BA p p si CC ' = AC BC BB ' = Ave pbc BA p BB ' CC ' = 0 si CC ' = pbc BA p AC BC AC BC p BC AC + p BC + BA AC + BA BC = 0 p CB CA + p BC + AB AC + BA BC = 0 BC AC AB AB AC BC p + p BC + + AB BC AC = 0 pbc +pac - pab pbc - AB - AC + BC +AB +BC -AC =0 +p-ab + +-pac = +-p+pbc -+pab ++-pac p = ++p+ BC = 0 9 Prof Alexdru Ele - Mrcel, Școl Gizilă Io Iriescu ălticei, jud Sucev Teoreă: ie ABCD u ptrulter covex Urătorele firţii sut echivlete: i AC BD ; ii AB CD AD BC Deostrție: iii ie { O} AC BD Deorece AC BD rezultă AB CD AO OB OC OD AO OD OB OC AD BC iii ie BOA Atuci: AB BO AO BO AO cos CD CO OD CO DO cos 0 AD AO OD AO DO cos80 0
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 0 BC BO CO BO CO cos80 olosid ultiele ptru eglități și relți ii se obție: BO AO CO DO AO DO BO COcos 0 Rezultă cos 0, dică AC BD Problee prctice de geoetrie, iviu Nicolescu, Vldiir Bosoff, Ed Tehică Buc 990, pg0-pg
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 3 THE NUMBERS of IBONACCI d UCAS - IDENTITIES - PROOS WITH EW WORDS I By Duitru M Bătieţu-Giurgiu d Neculi Stciu ibocci 7-40 rçois-édourd-atole ucs 84 89,, 0 0,, 0, N, N r r 0, r, r 0 x, ibocci-ucs s sequece x A B, N,
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 3 If,, 0 0 0 x x the, B A so:, N Biet, 843, If,, 0 0 x x the B A, so, N Note tht: d, * * * IDENTITIES, N * ucs, 876 Proof, N *,, N *, 3 N * Proof, N,, 3 N *, 3, N * Proof, N *
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 4 0 0, su IM 4, N * Proof, N * 0 0, N * ucs, 876 Proof, N *, 0 0 N * 6, N * ucs, 876 Proof, N *, N * 7, N * Proof, N *, 0 0 N * 8, N *
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Proof, N *, 0 N * 9 i i i i,, 0 N Proof i i i i,, N i 0 0 0 i i i i 0, N Proof, N, N ucs, 876 Proof, N *
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 6, N Proof, N 3, N Proof, N 4, N Proof, N, N Proof, N 6, 4 N Proof 4 4 4
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 7 4 4 7, N Proof, N 8, N *, N, Ctl, 879 Proof, but, So, 9,, N, Proof
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 8 0,, N, Proof 0 4, N Proof,, N, Wll, 964 Proof
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 9 3,, N, Wll, 964 Proof 4, 4 N * ucs, 876 Proof 4 4 4 4, 4 N ucs, 876 Proof 4 4 4 4 6, N Koshy, 999 Proof 7,, N Blzej, 97 Proof
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 4 O NOUĂ INEGAITATE AGEBRICĂ ȘI APICAȚII AE EI ÎN TRIUNGHI Mri Chirciu, Pitești Î legătură cu rticolul O ieglitte lgebrică și plicții le ei î triughi di Revist Electroică Mteiforo Octobrie 07 Articolul porește de l o ieglitte lgebrică i tre decât ce di rticolul de i sus și obție relții de for E R, r, ude E este o expresie cre depide de eleete le triughiului eă Dcă,, 0 x y z tuci 9 x y z Ieglitte este echivletă cu: x y z y z x x y z x y 9 x y x x x 6 3 0 y x y x y y y Eglitte re loc dcă și ui dcă x y z Aplicții î triughi Aplicți Î triughiul ABC Pue î eă x, y, z, b, c, evidetă b c 4r b c R și ție se p r 4Rr p r 4Rr 6Rr r r 4Rr r că b c p 0 b c 4Rrp Rr Rr R de ieglitte de i sus rezultă di ieglitte lui Gerretse p 6Rr r,g Aplicți Î triughiul ABC si A si B sic 4r si B sic si A R olosi teore siusurilor și Aplicți Aplicți 3 u Profesor, Colegiul Nțiol Zic Golescu, Pitești 0
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Î triughiul ABC S olosi h și Aplicți Aplicți 4 Î triughiul ABC Pue î eă x, y, z r, r, r b c h hb h c 4r hb hc h R r rb r c 8R 7 rb rc r r și ție se 4R 4 r rb rc r r că r r r R r b c Aplicți Î triughiul ABC Pue î eă x, y, z, b, c b c r b c R și ție se G 6Rr r r 4Rr 6r 4 b c Rr Rr R că b c p r Rr Aplicți 6 Î triughiul ABC olosi teore siusurilor și Aplicți Aplicți 7 Î triughiul ABC Pue î eă x, y, z p, p b, p c si si si A B C r si B si C si A R p p b p c 8R 7 p b p c p r și ție se 4R r 4R că p p b p c p p p b p c rp r Aplicți 8 Î triughiul ABC
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Pue î eă x, y, z r, rb, rc r rb r c 6R 3 rb rc r r și ție se p r 8Rr r rb r c 4R r p r rb r c r p 6Rr r r 8Rr 8R 3p p 7, ude ieglitte rezultă di ieglitte lui r p r că Doucet 4R r 3p, D și Gerretse Aplicți 9 Î triughiul ABC p 6Rr r, G A B C tg tg tg 8R 7 B C A tg tg tg r A B C Pue î eă x, y, z tg,tg,tg și ție se A B C 4R r p 4R că tg tg tg A B C tg tg tg p r r Aplicți 0 Î triughiul ABC A B C tg tg tg 6R 3 B C A tg tg tg r A B C Pue î eă x, y, z tg,tg,tg, ție se A B C 4R r p p r 8Rr că tg tg tg A B C tg tg tg p r DG 3p p 6Rr r r 8Rr 8R 7 p r r Aplicți Î triughiul ABC D G
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C si si si 4 R r 9 B C A si si si Rr A B C Pue î eă x, y, z si,si,si și ție se G A B C r p r 8Rr că si si si A B C si si si R r G r 6Rr r r 8Rr R r R r Rr Aplicți Î triughiul ABC A B C cos cos cos r 4R r 9 4 B C A cos cos cos R p A B C Pue î eă x, y, z cos,cos,cos și ție se A B C r 4R r că cos cos cos A B C cos cos cos R p Aplicți 3 Î triughiul scuțitughic ABC este devărtă ieglitte cos A cos B cos C 4 9 r p r R cos B cosc cos A R p R r Pue î eă x, y, z cos A,cos B,cosC și ție se r p r 4R că cos A cos B cosc cos A cos B cosc R p R r Aplicți 4 Î triughiul ABC A B C tg b tg c tg 4 R r 9 B C A b tg c tg tg Rr 3
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C Pue î eă x, y, z tg, btg, c tg și ție se că G 8 R r A tg Rr Rr A p r Rr tg R r 4 Aplicți Î triughiul ABC A B C si si si b c R r 9 8 B C A bsi csi si r R A B C Pue î eă x, y, z si, bsi, csi și ție se că 4 3 A r p p r 6Rr r 4R r si p 3 A si R 4Rr p = R rp p r Rr r 3 4R r G R r 4 3 4R r r R Aplicți 6 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte Pue î eă x, y, z r, br, cr r 4 brb cr R r c 9 brb crc r Rr și ție se că b c G p r 8Rr R r r pr r r 4Rr p Rr Aplicți 7 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte hr hbr b hcr c r 4R r 9 4 hbr b hcrc hr R p x, y, z h r, h r, h r și ție se că Pue î eă hr p R r b b c c r 4R r 4 r 4R r h r R rp R p Aplicți 8 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte 4
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C tg tg tg h hb hc r 4R r 9 4 B C A hb tg hc tg h tg R p A B C Pue î eă x, y, z h tg, hb tg, hc tg și ție se că A r 4R r h tg p 4R r r 4R r A h tg Rp rp R p Aplicți 9 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C ctg ctg ctg h hb hc 4 R r 9 B C A hb ctg hc ctg h ctg Rr A B C Pue î eă x, y, z h ctg, hb ctg, hc ctg și ție se că G A p p r 8Rr R r R r h ctg A h ctg Rr rp Rr Aplicți 0 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h si hb si hc si 8R 7 B C A hb si hc si h si r A B C Pue î eă x, y, z h si, hb si, hc si și ție se că A r 4R r R 4R h si A h si R r r Aplicți Î triughiul ABC este devărtă ieglitte
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C h cos hb cos hc cos 8R 7 B C A hb cos hc cos h cos r A B C Pue î eă x, y, z h cos, hb cos, hc cos și ție se că A p R4R r 4R h cos A h cos R rp r Aplicți Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h tg hb tg hc tg 4 9 B C A hb tg hc tg h tg Rr A B C Pue î eă x, y, z h tg, hb tg, hc tg și ție se că A R r r tg 8 4 3 Doucet h p r R R r A h tg r Rp Doucet R r p r 8R 3p 4R r Rrp R rr r Rr Aplicți 3 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte R r R r A B C ctg b ctg c ctg 4 B C A b ctg c ctg ctg R r r h h h r R R 9 3 h h h A B C Pue î eă x, y, z h ctg, hb ctg, hc ctg și ție se că A p p r Rr R 4R r p h ctg A h ctg Rr rp 4 G p r Rr R R r p 6Rr r r Rr R4R r 4R 4Rr 3r Rr r Rr r 4r R r 4R Rr 3r r 4R R 3 Rr r R r r 6
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Aplicți 4 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte h r hb rb hc r c r 4R r 9 4 hb rb hc rc h r R p x, y, z h r, h r, h r și ție se că Pue î eă b b c c 4 p R r 4R r r 4R r h r h r R p R p Aplicți Î triughiul ABC este devărtă ieglitte Pue î eă x, y, z r r, r r, r r r 4 r r R r b r rc r 9 rb r rc r r r Rr și ție se că b c G p r 8Rr R r r r R r r r 4Rr Rr Aplicți 6 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte Pue î eă x, y, z h r, h r, h r h r hb r hc r 9r 7 hb r hc r h r R și ție se că b c p r Rr p r Rr h r h r R r p r Rr p r Rr Rr p r Rr p r Rr G G 3 p r Rr 3 R 6r 4 9r 4 Rr 4 R 4 R Aplicți 7 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte h 4 r hb r h R r c r 9 hb r hc r h r Rr Pue î eă x, y, z h r, hb r, hc r G p r 8Rr R r R r h r și ție se că h r R r Rr Aplicți 8 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte 7
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C r tg rb tg rc tg 6R 3 B C A rb tg rc tg r tg r A B C Pue î eă x, y, z r tg, rb tg, rc tg și ție se că G D 4R r p A p r 8Rr 3p p 6Rr r r 8Rr r tg A r tg p r p p r 8R 7 r Aplicți 9 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C r ctg rb ctg rc ctg 8R 7 B C A rb ctg rc ctg r ctg r A B C Pue î eă x, y, z r ctg, rb ctg, rc ctg și ție se că A p 4R r 4R r ctg A r ctg r p r Aplicți 30 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C r si rb si rc si r 4R R B C A rb si rc si r si R r r 9 4 3 A B C Pue î eă x, y, z r si, rb si, rc si și ție se că 4 Gerretse A R R r p p r Rr r si 3 A r si R r G R4R r 4R 4Rr 3r 6Rr r r Rr 4R Rr 3r 4r R r 3 R r R r r 4R R 3 R r r 8
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Aplicți 3 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C r cos rb cos rc cos 4r B C A rb cos rc cos r cos R A B C Pue î eă x, y, z r cos, rb cos, rc cos și ție se că G A p p r 4Rr p r 4Rr 6Rr r r 4Rr r r cos 0 A r cos R rp Rr Rr R A plicți 3 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C r sec rb sec rc sec 4 9 B C A rb sec rc sec r sec Rr Pue î eă R r R r A B C x, y, z r sec, rb sec, rc sec și ție se că 8 4 3 p r R R r sec r r A R r A sec p Rr Doucet 8 3 4 4R 4r R rr r Doucet p r R p R r R r R r p Rr Rr Aplicți 33 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C r csc rb csc rc csc 4r B C A rb csc rc csc r csc R A B C Pue î eă x, y, z r csc, rb csc, rc csc și ție se că G A p r 4Rr p r 4Rr 6Rr r r 4Rr r r csc 0 A r csc r R Rr Rr R Aplicți 34 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte Rr 9
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C csc csc csc h hb hc R r 9 8 B C A hb csc hc csc h csc r R A B C Pue î eă x, y, z h csc, hb csc, hc csc și ție se că 4 3 A p p r 6Rr r 4R r R r h csc A h csc Rr Rr R rp p r Rr r 3 4R r G R r 4 3 4R r r R Aplicți 3 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte p b p b c p c r 4R r 9 4 b p b c p c p R p x, y, z p, b p b, c p c și ție se că Pue î eă p 4R r r 4R r p r 4R r Aplicți 36 p 4Rrp R p Î triughiul ABC este devărtă ieglitte p h p b hb p c h c 4Rr 9 p b hb p c hc p h Rr x y z p h p b hb p c hc p p r 8Rr R r G Rr p h Pue î eă,,,, și ție se că p h R r p Rr Aplicți 37 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C p si p bsi p csi 4r B C A p bsi p csi p si R,, A B C si, si, si și Pue î eă x y z p p b p c 30
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo p A si p si Aplicți 38 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte G rp p r 4Rr r 0 A R r p R A B C p cos p bcos p ccos 4 9 B C A p bcos p ccos p cos Rr,, A B C cos, cos, cos și Pue î eă x y z p p b p c 3 R r R r A R r p r 8R 4R r Doucet pcos A p cos Rr p Doucet R r p r 8R 3p 4R r R r 4R 4r R r R r Rr p Rr Rr Aplicți 39 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C p tg p btg p ctg 8R 7 B C A p btg p ctg p tg r A B C Pue î eă x, y, z p tg, p btg, p ctg și A r 4R r p 4R p tg A p tg p r r Aplicți 40 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C p ctg p bctg p cctg 4R 39 B C A p bctg p cctg p ctg r,, A B C ctg, ctg, ctg și Pue î eă x y z p p b p c 3
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 3 A p p Rr 4R r Rp p ctg 3 A p ctg r rp 3 G D 4R r Rp p Rr 6Rr r Rr 3p 4R r Rp R r rp r rp r Aplicți 4 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C p sec p bsec p csec 4r B C A p bsec p csec p sec R A B C Pue î eă x, y, z p sec, p bsec, p csec și G A p r 4Rr p r p sec 0 A p sec p Rr R Aplicți 4 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C r 4R R B C A R r r p csc p b csc p c csc 9 4 3 p bcsc p ccsc p csc A B C Pue î eă x, y, z p csc, p bcsc, p ccsc și A pcsc 4 Gerreste p r Rr R R r p A p csc r Rr G 6Rr r r Rr R4R r 4R 4Rr 3r 4r R r 4R Rr 3r r Rr r Rr r 4R R 3 R r r Aplicți 43 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h r tg hb rb tg hc rc tg 4 9 B C A hb rb tg hc rc tg h r tg Rr R r R r 3
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo,, A B C tg, b b tg, c c tg și Pue î eă x y z h r h r h r că 3 A p r 8R 4R r R r Doucet h r tg A h r tg p Rr Doucet p r 8R 3p 4R r R r R r 4R 4r R r R r p Rr Rr Rr Aplicți 44 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h r ctg hb rb ctg hc rc ctg 4r B C A hb rb ctg hc rc ctg h r ctg R A B C Pue î eă x, y, z h r ctg, hb rb ctg, hc rc ctg, poi 4 G A p p r Rr r h r ctg 0 A h r ctg Rr p R Aplicți 4 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h r si hb rb si hc rc si 6R 3 B C A hb rb si hc rc si h r si r A B C Pue î eă x, y, z h r si, hb rb si, hc rc si, poi A 4R r p R p r 8Rr h r si A h si R r p r DG 3 6 8 8 p r p r p p Rr r r Rr R 7 Aplicți 46 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte Doucet Gerretse A B C tg tg tg b b c c h r h r h r r R 4R r 9 8 B C A hb rb tg hc rc tg h r tg R r p 33
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C Pue î eă x, y, z h r tg, hb rb tg, hc rc tg, poi A h r tg A h r tg 4 4R r p r 8Rr 48R G R 4R r r R 4R r 8 Rp r r p R r p Aplicți 47 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h r ctg hb rb ctg hc rc ctg 4 R r 9 B C A hb rb ctg hc rc ctg h r ctg Rr A B C Pue î eă x, y, z h r ctg, hb rb ctg, hc rc ctg, poi G A p p r 8Rr R r h r ctg A h ctg Rr p r r G R Rr Aplicți 48 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h r csc hb rb csc hc rc csc r B C A hb rb csc hc rc csc h r csc R,, A B C csc, b b csc, c c csc, poi Pue î eă x y z h r h r h r 8 4 p p r Rr r R r h csc G A p r 4Rr r csc D A h Rr 4 Rp r GD p 6Rr r r 8Rr r 3p 6Rr r r 4Rr 6r Rr 4Rp R Aplicți 49 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte 34
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C h rtg hb rtg hc rtg 4r B C A hb rtg hc rtg h rtg R A B C Pue î eă x, y, z h rtg, hb rtg, hc rtg și 4 G A r p r Rr p p r 4Rr r h r tg 0 A h rtg Rp r Rr R Aplicți 0 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h r ctg hb r ctg hc r ctg r 4R R 9 3 B C A hb rctg hc rctg h rctg R r r A B C Pue î eă x, y, z h rctg, hb rctg, hc rctg, poi A p r Rr R4R r p Gerretse h rctg A h rctg r Rr Gerretse 6Rr r r Rr R4R r 4R 4Rr 3r r Rr 4r R r 4R Rr 3r r 4R R 3 r Rr R r r Aplicți Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h rcos hb rcos hc rcos 6R 3 B C A hb rcos hc rcos h rcos r A B C Pue î eă x, y, z h rcos, hb rcos, hc rcos, poi 8 R 4R r p A p r Rr h cos G r A h cos R r p r 3
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Rr r r Rr R 3p p R 7 6 8 8 R r p r Aplicți Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C tg tg tg b c h r h r h r r 4R r 9 4 B C A hb rtg hc rtg h rtg R p A B C Pue î eă x, y, z h rtg, hb rtg, hc rtg, poi r A p 4R r 4R r h rtg A h tg Rp r r r 4R r R p Aplicți 3 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h rsec hb rsec hc rsec r B C A hb rsec hc rsec h rsec R,, A B C sec, b sec, c sec,poi Pue î eă x y z h r h r h r h r 8 4 A p p r Rr r R r p r 4Rr sec G A h sec Rp 4 Rr r G p 6Rr r r 8Rr r 3p 6Rr r r 4Rr 6r Rp 4Rr R Aplicți 4 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C tg tg tg b c R r 9 8 B C A b tg c tg tg r R A B C x, y, z tg, b tg, c tg și ție se că Pue î eă 36
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A p p r 6Rr r 4R r R r A tg 6R r p r R 4 3 G tg 4pR r 4 3 Aplicți Î triughiul ABC este devărtă ieglitte r b rb c r c R r 9 8 b rb c rc r r R Pue î eă x, y, z r, b rb, c rc și ție se că 6 4 r p R r 3 p 4 p r Rr r 3 R r G R r 4 4 r 6R r p r R Aplicți 6 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C sec b sec c sec 4 R r 9 B C A b sec c sec sec Rr Pue î eă, ude 30 A B C x, y, z sec,b sec,c sec și ție se că G 8 R r A sec R r Rr A p r Rr 6 sec 8R R r Aplicți 7 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C csc b csc c csc r 4R r 9 4 B C A b csc c csc csc R p Dezvoltări, Mri Chirciu, Pitești A B C Pue î eă x, y, z csc,b csc,c csc și ție se că A p 4R r r 4R r csc 8R4R r A csc 6R p R p fiecre di ieglitățile di triughi de i sus eglitte re loc dcă și ui dcă triughiul este echilterl 37
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Bibliogrfie: Roi Mtheticl Mgzie 07, oudig Editor Diel Sitru, Roi Mtheticl Society, Mehediți Brch Mri Chirciu, Ieglități lgebrice, de l iițiere l perforță, Editur Prlel 4, Pitești, 04 3 Mri Chirciu, Ieglități geoetrice, de l iițiere l perforță, Editur Prlel 4, Pitești, 0 4 Mri Chirciu, Ieglități trigooetrice, de l iițiere l perforță, Editur Prlel 4, Pitești, 06 Mri Chirciu, Ieglități cu lturi și rze î triughi, de l iițiere l perforță, Editur Prlel 4, Pitești, 07 APICAȚII AE UNCȚIEI YAPUNOV A REZOVAREA PROBEMEOR DIUZIEI DE CĂDURĂ Prof Apostol Georgi Mri Școl Gizilă Vle Mre, Dâboviț ie X = spțiul fucțiilor itegrbile pe Ω, Ω u doeiu ărgiit și ăsurbil î și fie defiit u opertor A precu ureză: D A = petru u este spțiul Sobolev l fucțiilor pe Ω petru cre, cu or lui obișuită, = este îchidere lui, este lplciul lui î sesul distribuțiilor e Opertorul A defiit de este cretiv Acestă leă este dtortă lui Brezis și Struss Teore : ie A plicți cretivă pe X, cre stisfce codiți de igie pe X, St seigrupul de cotrcții geert de - A pe, ude îchidere topogrfică opertorului A ucțiol este slb iferior seicotiuă, este u grf xil ooto î R, stisfăcâd R, ude R este igie plicției Dcă sut stisfăcute codițiile: D D x + λ x D tuci Stx Vt, t, ude Vt este uic soluție probleei cu vlori iițile 0 Di le și teore rezultă că - A geereză u seigrup de cotrcții St î și că petru fiecre, ut = St este soluți teută probleei difuziei: 38
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo u0, x = Coportetul siptotic l cestei soluții câd t depide de fucți di defiiți lui A Î fucție de coportetul diferit l lui, vo obție diferite coportete le soluției u câd t e ie A opertorul cretiv defit de și fie că să stisfcă le Dcă f și u - λ = f,ude este spțiul fucțiilor p itegrbile, tuci Dcă tuci + dx 3 și petru N 3 tuci 4 ude sut costte pozitive idepedete de p Deostrție: ie r =, tuci stisfce relți : și este ipschitz cotiuă î R ie f și fie soluți lui - = f Vo îcepe pri deostr estiările, 3 și 4 petru Îulțid cu ude: itegrâd peste Ω și folosid ieglitte lui Youg b găsi că: câd idică ulție Di și este cotiuă ipschitz rezultă că și că Itegrâd tereul di ijloc di 6 pri părți Cu + pute îlocui cu î 7 fără schib ieglitte ăcâd cest și lăsâd M î 7, găsi: și, cu, ve : Di 8 și di eglitte : rezultă că: î drept, 6 7 8 9 0 39
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Acu, petru că Ω este fiit și dispre î rezultă, utilizâd ieglitte lui Poicre că: Cobiâd 0 și flă: Petru N și flă : 3 pute folosi ieglitte lui Sobolev 3 4 Estiările 9, și 4 sut estiările derivte le lui Petru deostr estiările corespodete petru u, soluți lui u - λ, trebuie să rătă că câd î Alegâd u șir stfel c î Ω, depășid liit pri cest șir î 9, și 4 și folosid le lui ATOUX, ureză, 3 și 4 Voi schiț cu câtev cosecițe di le și di teori bstrctă Propoziți ie c să stisfcă și u să fie soluți teută probleei difuziei: Dcă, tuci ut, petru orice t 0, dică St :, petru Deostrție: ie X = și fie Trebuie verifict că petru orice, și λ și deci St :, petru utilizâd și teore: ie A u opertor cretiv î X, stisfăcâd codiți igiii, St seigrupul de cotrcții geert de A, o fucțiolă slb iferior seicotiuă, Ψ o fucțiolă slb superior seicotiuă Notă-, dcă : tuci este o fucție ypuov petru A și stisfce relți: Ss Di 6 și presupue că pute trece l liită câd p î 6 petru obție cee ce iplică, di ou, utilizâd teore că : 40
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo St : Rezulttul urtor se dtoreză lui M Crdll Propoziți ie c să stisfcă * și cu Dcă u este soluți lui ** tuci petru orice t > 0, p <, ut si 7 ude c > 0 este o costtă cre depide ui de Deostrție: Se dă p și se presupue i îtâi că propoziți terioră, ut petru orice t 0 Di oet ce este liitt, rezultă di ieglitte lui Holder că 8 ude c este o costtă depedetă dor de Defiid:, rezult di 8 și 3 că: și di propoziți de i jos: *** ie A o plicție cretivă stisfăcâd codiți igiii î X, St seigrupul geert de A, o fucțiolă slb iferior seicotiuă eegtivă Dcă sut îdepliite codițiile:, tuci: Există o descreștere uiverslă cu b O descreștere expoețilă c O stigere fiită petru deduce că:, de ude 7 Dcă, lege,precu î Di oet ce 7 este vlbil petru orice î pri prte deostrției și di oet ce este iferior seicotiuă rezultă că ut petru orice t>0, și că 7 este vlbil petru u Propoziți 3 Se rtă că dcă stisfce * si, tuci seigrupul St geert de A stisfce: 4
REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN 06-643 NOIEMBRIE 07 wwwteiforo St : 9 Petru orice t > 0 și p < 0 și, i ult, șirul St este liitt uifor î, idepedet de dtele iițile ie p petru rt că St coperă î Totuși, cest lucru u pote fi făcut folosid 7, deorece costt se trsfoă câd p Petru N vo răt că pute depăși cestă situție Propoziți 4 regulrizre ie N și fie să stisfcă * și, cu > N-/N Dcă u este soluție lui **, tuci petru orice t > 0, ut 0 Petru orice ude c este o costtă idepedetă de Deostrție: Se dă si fie, ude rezultă di 4 c și 0 v rezult di observți: presupue că și fie î 0, flă di ou că St : M Crdll rătt că î cest cz ve : ude c 0 este o costtă idepedetă de Cobiâd cest rezultt cu propoziți 4 rezultă că, dcă u este soluți lui **, tuci petru orice t 0, și este vlbil Observție: A Brezis și A ried rtă că, dcă î propoziți 4,, tuci u există ici o piedică, ici chir de l l, p petru t 0 Propoziți ie N și fie c să stisfcă * și, cu 0 ie p = și fie Dcă u este soluți lui **, tuci există Tu 0 stfel îcât ut = 0, petru t Tu Mi ult Tu 3 ude c este o costtă idepedetă de Deostrție: ie p =, cest iplică și, de cee, dcă 4 coduce l 4 Utilizâd propoziți *** iplică, petru t Tu, ude Tu, de ude rezulttul dorit Rezulttul cestei propoziții este vlbil petru doeii eărgiite Petru doeii ărgiite, rezulttul este devărt petru u șir i re l lui, dică 0 4