Snov v lktričnm polju lktrično polj ipola (prvi način) P P - Prvi način: z r = r Δr r = r Δr Δr Δ r - r r r
r r r Δr rδr =, = 4πε r r 4πε r r r r = r cos, r r r = r cos. r Vlja: = cos, r r r r r = cos, r r r r r kjr smo upoštvali: ( ) ± = ( r r ) ( r r ) 4πε Δ Δ r r r r = r = ( Δr Δr ) ( Δ r Δ r ) = 4πε r r r cos sin,, cos, 4πε r = kjr smo upoštvali: r = ( rsin,, rcos ), Δ r =,,, Δ r =,,. Torj: p sin = 4πε r, () =, () y
( cos ) p z =, () 4πε r kjr smo finirali lktrični ipolni momnt: p = (4) Drugi način: z r z r r y - rr lktrični potncial ipola: r r ϕ= ϕ ϕ= =, 4πε r r 4πε rr 4πε r kjr smo upoštvali: rr cos, rr r. Ob uporabi finicij p = iz gornj načb sli: ϕ = 4πε p r (5) Viimo, a vlja: = : ϕ= 4πε = ϕ= 9 : p r načbo (5) lahko zapišmo v obliki:
ϕ = 4πε p z ( z ), (6) kjr smo upoštvali: z cos =, z r = z. z z Vlja: = ϕ, =,,, y z ϕ ϕ ϕ =,,. y z (7) Iz načb (7) in (6) pa sli: ϕ ϕ ϕ = (, y, Z) =,,, y z (8) p sin =, 4πεr (9) = y ( ) p cos z =, () 4πε r kjr vljajo izrazi (8) () v ravnini y =. Zarai osn simtrij lahko rzultat brz tžav posplošimo.
nrgija lktričnga ipola v zunanjm lktričnm polju a a = a p = = a - - Navor na lktrični ipol: Najprj izračunamo navor na posamzna točkasta naboja, ki sstavljata ipol: : F =, M = asin ( )( ) : F =, M = a sin = asin Clotn navor (M) na lktrični ipol j: M = M M = asin = p sin. () Posplošitv: M = p () nrgija ipola j naka lu, ki ga mora opraviti zunanji navor proti navoru zunanjga lktričnga polja. W = M = p sin = p cos Posplošitv: W =p ()
W =p labilni zasuk (labilna orintacija) (maksimum nrgij) π π π π minimum nrgij: p = : W = p maksimum nrgij: p = π : W = p stabilni zasuk (stabilna orintacija) (minimum nrgij) (4) (5) Snov sstavljna iz polarnih molkul O p Primr polarn molkul: molkula vo H O H Polarn molkul imajo prmanntn lktričn ipoln momnt, ki s v zunanjm lktričnm polju urijo: NI ORINTACIJ LKTRIČNIH DIPOLOV H p p - =
OPOMBA: orintacija lktričnih ipolov v smri zunanjga lktričnga polja j nrgijsko ugona, kr vlja W cos = p p J ORINTACIJA LKTRIČNIH DIPOLOV ipola SKLP: zarai orintacij polarnih molkul v zunanjm lktričnm polju s clotno lktrično polj zmanjša. p
Povprčna orintacija polarnih molkul v lktričnm polju nrgija polarn molkul s prmanntnim lktričnim ipolnim momntom zasukan za kot gl na smr lktričnga polja W = p = p p, ki j (6) j najmanjša, č j lktrični ipolni momnt p usmrjn v smri lktričnga polja. Takrat j namrč kot =, nrgija W pa j zato najmanjša možna. Zarai trmičn nrgij atomov (molkul) sva pri končnih tmpraturah povprčna vrnost kota ni nič. lktrično polj na mstu lktričnga ipola () j vsota zunanjga lktričnga polja in lktričnga polja zarai orintacij polarnih molkul i : = i. Poiščimo povprčno vrnost kota ( oziroma ), ki ni naka nič zarai trmičnih fluktuacij. Pri tm upoštvamo, a j nrgija molkul s prmanntnim lktričnim ipolnim momntom p, ki j zasukan za kot gl na smr lktričnga polja naka: W = p. (7) Izračunajmo povprčno vrnost cosinusa kota, to j cos : = β β W W Ω Ω, (8) kjr j faktor β W vrjtnost, a j molkula v stanju z zasukom. Pomn ostalih simbolov in konstant pa j naslnji: β = kt, k j Boltzmanova konstanta, T pa absolutna tmpratura. Izraz Ω= S r = sin ϕ označuj infinitzimalni lmnt prostorskga kota v sfričnih koorinatah: = π π π π β Wm sin ϕ β Wm sin ϕ. (9) Kr nrgija W ni ovisna o kota ϕ lahko v zgornji načbi izvmo intgral po ϕ - ju. Tako obimo:
= π β W π sin π β W π sin V naaljvanju uvmo novo sprmnljivko () s = tr oznako = p kt = β p : s s s = = coth L s s kjr j ( ) ( ), () L Langvinova funkcij. Funkcijo coth razvijmo v vrsto ( π ) samo prva va člna: < < in zaržimo coth.... () 45 Torj p = coth = =. () kt Zaključk: viimo, a j sorazmrn jakosti lktričnga polja na mstu, kjr s nahaj ipol in obratno sorazmrn z absolutno tmpraturo T. Povprčni lktrični ipolni momnt v smri lktričnga polja ( p ) zapišmo v obliki: p = p cos. (4) Na osnovi načb () in (4) lahko zapišmo polarizacijo (P) v snovi, ki j sstavljna iz polarnih molkul v obliki: p np P= n p = n p cos = n p =, (5) kt kt kjr j N n = štvilo molkul na noto volumna. V Ob upoštvanju finicij suscptibilnosti χ
P= χ ε, (6) iz načb (5) sli izraz za suscptibilnost snovi, ki jo sstavljajo polarn molkul: χ pol = np ε kt, (7) Snov sstavljna iz npolarnih molkul Npolarn molkul nimajo prmanntnih lktričnih ipolnih momntov. Č s n nahajajo v zunanjm lktričnm polju j njihov lktrični ipolni momnt nak nič. č pa jih postavimo v zunanj lktrično polj, to polj razmakn tžišči ngativnga in pozitivnga la npolarn molkul. Zarai tga imajo npolarn molkul v zunanjm lktričnm polju o nič različn inucirani lktrični ipolni momnt: p = s, (8) kjr j s inucirani razmik m tžiščma ngativnga in pozitivnga la npolarn molkul: s - - k Prpostavimo, a m ngativnim in pozitivnim lom npolarn molkul luj privlačna sila F= ks. (9) Za npolarno molkulo v lktričnm polju lahko tako zapišmo pogoj za ravnovsj sil v obliki: ks =, () o to pa sli: s =, () k
kjr j vsota zunanjga lktričnga polja in lktričnga polja zarai inuciranih ipolnih momntov npolarnih molkul i: = i. Inucirani ipolni momnt npolarn molkul lahko tako zapišmo v obliki: p = s=. () k Polarizacijo v snovi, ki vsbuj npolarn molkul pa izrazimo kot: p n = n p =. () k Ob upoštvanju finicij suscptibilnosti (načba 6) iz načb () sli: npol = n ε k. () Zvza m suscptibilnostjo ( χ ) in ilktrično konstanto ( ε ) Obravnavamo primr ploščatga konnzatorja, ki ima v prostoru m ploščama snov. Zarai nostavnosti vpljmo tako imnovani vzani naboj. DJANSKO STANJ: - - - - - - - - - - - - - v p NADOMSTNA SLIKA: v - - - - - - - v v l
lktrično polj n molkul l S v i jakost zunanjga lktričnga polja razalja m ploščama konnzatorja površina n plošč konnzatorja vzan naboj naboj na ploščah konnzatorja lktrično polj zarai snovi p V naomstni sliki naomstimo lktričn ipol molkul v snovi m ploščma konnzatorja z vzanim nabojm na notranji strani plošč konnzatorja: PV = l v, kjr j V = l s (6) volumn snovi m ploščma konnzatorja. Iz načb (5) in (6) sli: PlS= l, v v = PS. (7) Gaussov zakon o lktričnm prtoku n upoštva vzanga naboja v kot janski naboj, saj obravnava snov m ploščama konnzatorja kot lktrično nvtralno z volumsko gostoto naboja ρ =. Zato vlja: D S =, (8) kjr intgriramo po prostoru okoli n plošč konnzatorja, ki nosi naboj : S S
torj: D S= D = S = ε, (9) kjr j = ε S lktrično polj zarai naboja na ni plošči konnzatorja. lktrično polj v prostoru m ploščama konnzatorja zarai naboja na obh pploščah pa j: = =. (4) ε S Ustrzna gostota lktričnga polja v prostoru m ploščama pa j: D= D D = ε, (4) Zaključk: gostota lktričnga polja D s nanaša samo na lktrično polj, ki j poslica janskga naboja na obh ploščah konnzatorja. Vzani naboj v ni upoštvan v Gaussovm zakonu (8). Kot smo ž spoznali j clotno lktrično polj m ploščama konnzatorja nako: =, (4) i kjr j i prispvk snovi m ploščama konnzatorja, ki ga izračunamo s pomočjo vzanga naboja: v i =. (4) S ε Ob upoštvanju načb (7) iz načb (4) sli: PS P = = =. (44) v i Sε Sε ε Vstavimo izraz (44) v načbo (4) in obimo:
P =, (45) ε oziroma ε = ε P. (46) Ob upoštvanju načb (4) iz načb (46) sli: ε = D P, oziroma D= ε P. (47) Č upoštvamo š (gljt načbo (6)): P= χ ε Iz načb (47) sli: ( ) D= ε χε = ε χ. (48) kjr j χ suscptibilnost. načbo (48) zapišmo v obliki: D= ε ε, (49) kjr smo finirali ilktričnost snovi kot: ε = χ, (5) Zaključk: D=ε ε D=ε (5) DS= = i.