CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe pla matematic a ur prbleme ccrete di: gemetrie, fizică, tehică, ecmie, ifrmatică, ştiiţe sciale etc Derivata permite studiul vitezei de variaţie a ur prcese variabile di realitatea fizică; di puct de vedere matematic, derivata reprezită "viteza de variaţie a uei fucţii î raprt cu variaţia argumetului" Difereţiala este itim legată de prblema aprimării lcale a ur prcese eliiare di realitatea fizică pri prcese liiare; î baj matematic, difereţiala permite aprimarea lcală a ur fucţii pri fucţii liiare (sau fucţii plimiale de gradul îtâi) Prblema cetrală a "Calculului difereţial î " şi î geeral î ( ), cstă î aprimarea uei fucţii date î veciătatea uui puct, pritr- fucţie liiară, astfel îcât erarea pe care facem sa fie u ifiit mic de rdi superir faţă de variaţia argumetului Fie D mulţime deschisă u puct de acumulare petru D şi î acest caz s-a defiit ţiuea de ită î puct f l, l şi f : D 6
Dacă puct de acumulare petru D, D, atuci s-a defiit ţiuea de fucţie ctiuă î puct petru f : D Nţiuea de fucţie ctiuă î puct se pate caracteriza pri afirmaţiile di terma III Î cazul D D după terema III, avem: f ctiuă î D D eistă f f petru, atuci f f petru ( ), atuci f f Î puctele de acumulare D eistă legătură itrisecă ître creşterea argumetului tată şi creşterea fucţiei î puctul, tată f ( ) f() f( ) Vm evalua cmprtarea lui f ( ) î duă mduri tâd : h h f f + h f I aprtul :, şi, avem : f f f f f + h f sau, h h II Difereţa: f A f f A cu A sau f Ah f + h f Ah, h ;( A ), faţă de care vr cduce la ţiuea de fucţie derivabilă î D şi respectiv ţiuea de fucţie difereţiabilă î D (cu puct de acumulare al lui D) 7
Fucţii derivabile Defiiţia IV Fie D acumulare şi f : D fucţie dată mulţime deschisă, D puct de ] Fucţia f are derivată î D, elemetul tat f ( ) dat pri: f ( ) ( + ) f f f h f IV def h h ] Fucţia f este derivabilă î D, dacă eistă este derivabilă pe D, dacă este derivabilă î rice D f Fucţia f 3] Fucţiei f derivabilă pe D, (derivabilă î rice D) îi asciem fucţia: f f IV f : D cu f, umită fucţia derivată sau derivata lui f pe D 4] Dacă eistă < f f stâga î D şi dacă Dacă eistă > s t fs ( ) D, se umeşte derivata la f, f este derivabilă la stâga î D f f t fd dreapta î D şi dacă D fucţie dată d ( ), se umeşte derivata la f, f este derivabilă la dreapta î Defiiţia IV Fie D mulţime deschisă, D şi f : D 8
] f este difereţiabilă î D dacă eistă cstată A şi eistă ( ) fucţie α: D ctiuă şi ulă î ( ) ( ) îcât: IV3 f f + A +α, D α α astfel Fucţia f este difereţiabilă pe D, dacă este difereţiabilă î rice D ] Se umeşte difereţiala lui f î D, fucţia liiară, tată d f, dată pri: t def d f df ( ) A sau t IV4 d f : cu d, f Ah h h u este argumet itră ca simbl î taţie Observaţii: Ntâd h, h, (IV) este echivaletă cu: f ( ) ( + ) f h f f f IV h h Dacă fiăm D şi csiderăm fucţia: ( IV* ) g( t) f ( t) ; t D { } dacă, eistă: g + atuci eistă f ( ), dacă şi umai ( + ) g t g f t f t t f t t Iterpretarea gemetrică a derivatei î puct: derivata f este pata tagetei gemetrice la graficul fucţiei y f (), D î puctul (, f ( )) şi ecuaţia tagetei î acest puct este: 9
y f f f f f y f f + f Terema IV Dacă f : D este derivabilă î D, atuci f este (î md ecesar) ctiuă î D Demstraţie: Flsid idetitatea: f f f ( ) ( ) + f D ită, avem: f ( ) f ( ), { } şi pri trecerea la Cseciţa IV Fie f : D şi D Dacă f este derivabilă la stâga î, atuci f este ctiuă la stâga î Dacă f este derivabilă la dreapta î, atuci f este ctiuă la dreapta î Observaţii: eciprca teremei IV î geeral u este adevărată Eemplu: f ( ), este ctiuă î, dar u este derivabilă; avem f f s + d Dacă eistă f ( ) petru f : D cu D, u rezultă bligatriu că f este ctiuă î Eemplu: f ( ) sig petru care eistă f + şi f este disctiuă î 3 Dacă f este disctiuă î D, atuci î md sigur, f u este derivabilă î 4 Mulţimea fucţiilr derivabile î D este strict îclusă î mulţimea fucţiilr ctiue î D
Eemplu: pe Avem f ( ) f si ; este ctiuă î şi ctiuă ; < cs ; ; < şi, iar f f, deci f u este derivabilă î Terema IV Fie D mulţime deschisă cu D puct de acumulare şi f, g: D derivabile î, atuci fucţiile: f + λ λ sut derivabile î şi g f g, f ( ), fg şi ( cu g( ), D) avem: ( f + g) ( ) f ( ) + g ( ) ( ) ( λ f ) ( ) λ f ( ) ( fg) ( ) f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) 3 ( 4) ( ) f f g f g g g Demstraţie: s ( f g)( ) ( f g)( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) + + + f + g ( λf )( ) ( λf )( ) f ( ) f ( ) λ λf 3 Flsid idetitatea: d ( ) fg fg f f f f g( ) g( ) + g +
g( ) g +, { } deci ctiue î bţiem: f f f D şi cum f, g, sut derivabile î şi g g f ( fg )( ) ( fg )( ) + f g f g 4 Avem petru fucţia g care eistă pe D: g( ) g( ) g( ) g( ) g ( ) g( ) g( ) g g g g şi g este derivabilă î cu ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + f g g g( ) g Flsid (3) avem: ( ) f g f g f g f ( ) g g g (5) ( g f ) ( ) g y f g f ( ) f ( ) Terema IV3 Fie D, E mulţimi deschise şi f : D, g : E fucţii, D puct de acumulare al lui D şi y E cu y f ( ) puct de acumulare al lui E Dacă f este derivabilă î D şi g este derivabilă î y E, atuci fucţia cmpusă g f este derivabilă î şi avem:
Demstraţie: Fie ( ) D { } şi fiat, D; tăm y f ( ) E, şi avem: f ( ) f ( ) ; g( f ( )) g( f ( )) g y g y f f ; f f y y I Dacă eistă N şi f ( ) f ( ) ( ( )) ( ) g f g f g y f,, atuci eistă II Dacă eistă ifiitate de idici şi f ( ) f ( ) este derivabilă î avem f ( ) deci eistă: f f f ( ) ( ( )) ( ) şi rezultă: g f g f g y f Î ricare di cele duă situaţii, avem: ( ( )) ( ) g f g f g y f cum f şi cum ( ) şir arbitrar di D, rezultă g f derivabilă î şi are lc frmula (5) Terema IV4 Fie I, J duă itervale şi f : I J fucţie ctiuă şi bijectivă Dacă f este derivabilă î I şi f ( ) atuci fucţia f : J I este derivabilă î y f ( ) şi are lc relaţia: (6) ( f ) ( y ) f ( ) 3
Demstraţie: Ipteza f ctiuă şi I, J itervale implică f bictiuă sau f hmemrfism şi atuci: ( I { } cu ) ( y f ( ) J { y} cu y y) Ntăm f() y şi avem: f y f y y y, I { } f f Di ( ) ( y f ( ) y f ( ) ) rezultă: ( y y) ( ) şi bţiem: f y f y y y f f f ( ) y y f este derivabilă î y J şi are lc relaţia (6) Cseciţa IV Fie I, J itervale şi f : I J, g : J Dacă f este derivabilă î I şi g este derivabilă î y f ( ) J, atuci g f : D este derivabilă î I şi are lc (5) Eemple: Fie D şi u : D fucţie derivabilă i rice puct de acumulare al lui D cţiut î D; adică D D Atuci au lc relaţiile următare î D D: ( ) u ( ) u ( ) u ( ) ( ) siu( ) u ( ) csu( ) ( 3 ) csu( ) u ( ) siu( ) u( ) ( 4 ) e u e u 4
( ) u 5 l u ; u( ) >, D D u ( ) u ( ) u 6 arcsi u ; u( ) (, ), D ( 7 ) arctgu( ) u( ) u + u ( ) ( ) ( ) ( u( ) ) u( ) u 8 tg cs cs u u u u e e e + e 9 shu u ( ) chu( ) u u u u u e + e e e ch u u ( ) sh u( ) u atuci avem: Terema IV5 Fie I iterval, f : I şi I puct iterir, (i) Dacă f este ctiuă î şi f ( ), rezultă fucţia f derivabilă î, dacă şi umai dacă, f este derivabilă î cu: sig (7) f ( ) f ( ) f ( ) (ii) Dacă f ( ), rezultă fucţia f este derivabilă î, dacă şi umai dacă, f este derivabilă î cu f ( ) Demstraţie: (i) Fucţia f este ctiuă şi eulă î atuci eistă δ > a î f > (respectiv f < ) pe itervalul J I [ - δ, + δ] şi atuci f f (respectiv f - f) pe J fucţia f este derivabilă î 5
f este derivabilă î (respectiv f J ) şi avem f ( ) f ( ) J ) (respectiv f ( ) f ( ) (ii) Dacă f ( ) avem: (*) f f ; I cu > f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ; I cu < Dacă f este derivabilă î di (*) rezultă f f f d f > f f f f f s < ( ) şi f f f f f f şi deci f este derivabilă î cu f ( ) Dacă f este derivabilă î cu f ( ) f f ( ) şi f ( ) f f d s după (*) eistă şi sut egale cu, deci f este derivabilă î cu f ( ) Cseciţa IV3 Fie I iterval I puct iterir şi f, g : I fucţii derivabile î, atuci au lc afirmaţiile: ] Dacă f( ) g( ), fucţiile ma{f, g} şi mi{f, g} sut derivabile î 6
] Dacă f( ) g( ), fucţiile ma{f, g} şi mi{f, g} sut derivabile î, dacă şi umai dacă, f ( ) g ( ) 3] Dacă f derivabilă pe I şi f ( ), I puct iterir, atuci f este derivabilă î I puct iterir, dacă şi umai dacă, f > sau f < (respectiv f sau f ) î pucte iteriare di I Demstraţie: ] Avem: f + g+ f g f + g f g ma { f, g}, mi { f, g} şi dacă f( ) g( ) h( ) f( ) - g( ) şi cum h este derivabilă î, atuci h este derivabilă şi deci ma{f, g} şi mi{f, g} sut derivabile î ] Dacă f şi g sut derivabile î, atuci f + g este derivabilă î Fucţiile ma{f, g} respectiv mi{f, g} sut derivabile î, dacă şi umai dacă, ( f g) ( ) care este echivalet cu f g 3] Fie, I pucte iteriare a î f ( ) f ( ) <, atuci eistă (, ) cu f( ), deci f ( ) ceea ce este absurd dearece ( ) f, I puct iterir Atuci f f petru f > sau f - f petru sig, I f < pe I este fucţie derivabilă cu f ( ) f ( ) f ( ) puct iterir Cseciţa IV4 Fie I iterval, I puct iterir şi f: I Dacă f este derivabilă î cu f( ) şi f ( ), atuci f admite derivate laterale diferite ître ele î Eemple: Derivatele ur fucţii elemetare α α, şi α α 7
,, si cs, ; cs si, ( 3 ) π ( tg ) + tg ; k k + π Z cs + π si ( ctg ) ( ctg ) ; { k k Z} 4 a a l a; ; a>, a ; e e ; + 5 lg, ;, ; l ; a l a > a a > ( 6 ) ( arcsi ), (,) ( arccs ), (,) 7 arctg, arc tg, ; + c + e + e ch 8 sh ch, ; ch sh, e e sh 9 l + a + ; ; a a + a l cu ( a, a) ; a > a + a a a+ l cu ( a, a) ; a > a a a + 8