Delovno oročilo Univerza v Ljubljani Institut Jožef Stefan, Ljubljana, Slovenija IJS Delovno oročilo DP-678 NASAVIVE PARAMEROV PID REGULAORJEV ZA PROCESE. REDA Damir Vrančić Janko Petrovčič Đani Juričić Ljubljana, 993
KAZALO POVZEEK.... UVOD... 3. OSNOVNE ZNAČILNOSI PROCESA. REDA... 4 3. NAČROVANJE PID REGULAORJEV ZA PROCES. REDA... 3. Načrtovanje PID in βpidy regulatorjev za sledilno delovanje... 3... Izračun PID arametrov... 3... Izračun βpidy arametrov... 9 3. Načrtovanje PID in βpidy regulatorjev za regulacijsko delovanje... 8 3.3 Kontrola revzona βpidy regulatorja nastavljenega na regulacijsko delovanje... 4 ZAKLJUČEK... 46 LIERAURA... 47
POVZEEK V oročilu so odana nastavitvena ravila za določanje konstant PID regulatorjev za rocese. reda. Obravnavana sta dva tia regulatorjev: šolski rimer regulatorja (PID) slošni industrijski regulator (βpidy) in trije regulacijski cilji: regulacijsko delovanje sledilno delovanje regulacijsko in sledilno delovanje Za oba tia regulatorjev in za naštete regulacijske cilje, so odana nastavitvena ravila za določanje roorcionalnega ojačenja, integracijske časovne konstante, diferencialne časovne konstante, časovne konstante filtra, kot tudi faktorja β in e lim (ri βpidy regulatorju). Pri vsakem od nastavitvenih ravil so odane tudi omejitve ri načrtovanju, kot tudi zgled izračuna arametrov regulatorja.
. UVOD PID regulatorju, katerega želimo vstaviti v sistem, da krmili določen roces, moramo odati arametre, kot so roorcionalno ojačenje (K ), integracijska časovna konstanta ( i ), diferencialna časovna konstanta ( d ), časovna konstanta filtra ( f ), itd. Našteti arametri so močno odvisni od rocesa, katerega želimo voditi in a izbranih regulacijskih ciljev. Pod regulacijskimi cilji onavadi mislimo na dve vrsti delovanja regulatorja: regulacijsko delovanje in sledilno delovanje regulatorja. Pri nastavljanju arametrov regulatorja ogosto uorabljamo Ziegler-Nicholsova, Cohen-Coonova ali Oeltova nastavitvena ravila. Vendar imajo našteta ravila vsaj dve omanjkljivosti: odajajo nastavitve samo za regulacijsko delovanje PID regulatorja ter niso univerzalna v smislu, da veljajo za vse možne rocese. Veliko rocesov v industriji je enostavnih in nižjega reda, ter jih lahko oišemo kot rocese. reda. Za tovrstne rocese a je možno analitično določiti arametre PID regulatorja tako za regulacijsko, kot tudi za sledilno delovanje. Hkrati je mogoče odati tudi določene omejitve, kot so nr. roorcionalno ojačenje, revzon na izhodu iz rocesa (σ) ri sledilnem delovanju ali a hitrost uadanja (δ) ri regulacijskem delovanju regulatorja (decay ratio v tuji literaturi). Prednost osebnih nastavitvenih ravil za rocese. reda je v njihovi veljavnosti za vse rocese. reda in nižjih redov, slabost a v tem, da ne veljajo za rocese višjih redov. 3
. OSNOVNE ZNAČILNOSI PROCESA. REDA Proces. reda rikazuje slika.. U(s) G P + ( + s )( s ) Y(s) Slika. : Proces. reda Pri stoničastem vhodnem signalu v roces (U(s)/s) in realnih in, dobimo naslednji časovni odziv na izhodu iz rocesa : yt () + t t e e (.) Pri imaginarnih (konjugirano komleksnih arih) in a je časovni odziv na izhodu iz rocesa naslednji : Pri tem omenijo oznake : ct c yt () e sinωt + cosω t (.) ω α + jβ e α jβ e c ω α α + β β α + β jϕ jϕ cosϕ sin ϕ 4
Slika. rikazuje rimer odzivov dveh rocesov na stoničasti vhodni signal. Prvi odziv je odziv rocesa z realnima in (ni renihaja), drugi odziv a rikazuje odziv rocesa s komleksnima in..4..8.6.4. 5 5 5 3 ime [s] Slika. : Odziva na izhodu rocesa. reda ri stoničasti vhodni naetosti; ( ), --- ( +j, -j). Prvi arameter, ki smo ga izračunali je bil čas, ki je otreben, da doseže izhod iz rocesa, ri stoničastem vhodnem signalu, rvič vrednost enako vrednosti v stacionarnem stanju (y( a )y( )). o se dogaja le ri rocesih s komleksnima in (renihaj). Čas a je redstavljen na sliki.3, odajata a ga enačba.3 in slika.4. a ( ) sinϕ π ϕ (.3) Iz enačbe.3 lahko izračunamo, da znaša minimalna vrednost časa a : π a min, kar nastoi ri oolnoma imaginarnih in. Sam roces je takrat mejno stabilen. Pri realnih in (φ) sloh ne ride do renihaja. V tem rimeru je vrednost a neskončna. 5
Pri oisu rocesa. reda je koristno oznati tudi dvižni čas in čas zakasnitve. o nam utegne riti rav ri uorabi Ziegler-Nicholsovih nastavitvenih ravil (ZN). Za realna in sta dvižni čas ter čas zakasnitve naslednja : l a a r ln( a) a a a + + a a a, (.4) kjer omeni a Pri vseh nadaljnjih izvajanjih rivzemimo, da velja za realna in naslednja relacija: a (.5) Slika.3 : Predstavitev časov a, časa zakasnitve l, časa vzona r, revzona σ in amlitude izhodnega signala v revojni točki y r. 6
Iz enačbe.4 je razvidno, da obstaja zveza med dvižnim časom in časovno konstanto rocesa ter med časom zakasnitve in časovno konstanto. Nazornejši rikaz odaja slika.5. 3 - - [-] Slika.4 : Čas a v odvisnosti od tg(φ), ri s. 7
3.5.5.5 3 Slika.5 : Razmerje med dvižnim časom ( r ) in dominantno časovno konstanto rocesa ( ) ter med časom zakasnitve ( l ) in časovno konstanto ri realnih in. a [-] 3.5.5.5 3 4 5 6 7 8 9 f [o] Slika.6 : Abscisa φ[ o ]; r /, -- l / (komleksna in ). 8
Definirajmo še dvižni in čas zakasnitve za komleksna in : r e ϕ tgϕ ϕ l + cosϕ e sinϕ ϕ tgϕ (.6) Nazornejši rikaz odaja slika.6. Oazimo, da je otek r / odoben kot na sliki.5 (ima enako območje), razliki a sta oazni ri l /, ki se ne sreminja tako, kot l /. Naslednja informacija o sistemu je oložaj revojne točke (y r ), ki ga oisuje enačba.7. Na sliki.7 (zgoraj) je rikazana odvisnost revojne točke od razmerja a /. yr a a y( ) + a a (.7) V literaturi [,] zasledimo tudi razmerje med časom zakasnitve in dvižnim časom. Podatek je omemben kot okazatelj uravičenosti uorabe ZN nastavitvenih ravil. Pri sistemu. reda znaša največja vrednost razmerja : r K. (.8) l Odvisnost razmerja l / r od količnika a a je rikazana na sliki.7 (sodaj). - - -3 3 a [-] - - -3-4 3 Slika.7 : Zgoraj - razmerje y r /y( ); Sodaj - razmerje l / r. a [-] 9
3. NAČROVANJE PID REGULAORJEV ZA PROCES. REDA Pri načrtovanju regulatorja za roces. reda lahko izbiramo med dvemi različnimi cilji. Prvi je ta, da dosežemo ustrezen odziv rocesa na sremembo referenčnega signala (sledilno delovanje), drugi a je ustrezen odziv rocesa ob ojavu motnje (regulacijsko delovanje). Slika 3. rikazuje različne vrste vezav regulatorjev na reguliran roces []. Slika 3. : Različne vrste vezav regulatorja na roces - a) PID, b) PIDy, c) PDy, d) βpidy
Pri tem omenijo oznake P - roorcionalni člen, I - integracijski člen in D - diferencialni člen PID regulatorja : P K K I s D K s + i d f Pod točko a je rikazan idealni PID regulator (v nadaljnjem besedilu PID). o je šolski rimer PID regulatorja in je v industriji zaradi visoke občutljivosti na šumne signale, kot tudi zaradi visokih vrednosti regulacijske veličine ob stoničasti sremembi signala reference (ω), redko uorabljan. Bolj raktična rimera regulatorjev sta rikazana od točkama b in c. Pod točko b je rikazana vezava, kjer je diferencialni člen regulatorja vezan samo na izhod iz rocesa (y). Zato smo to vezavo v nadaljnjem besedilu označili kot PIDy regulator. Ob stoničasti sremembi signala reference oz. ob šumu na izhodu iz rocesa sedaj izgubimo risevek D člena, ki je v takih rimerih najbolj izrazit. akšne vrste regulator (PIDy) je v industriji najogosteje uorabljan. Pod točko c imamo izvedbo regulatorja, kjer je samo integracijski člen vezan na signal ogreška. V nadaljnjem besedilu oimenujmo to vezavo PDy. Regulacijski signal je sedaj ob šumu na izhodu iz rocesa in ob stoničasti sremembi signala reference sicer najmanjši, vendar je tudi odziv rocesa ob tovrstnem regulatorju najočasnejši. Komromis redstavlja vezava od točko d, kjer ri faktorju β dobimo PIDy regulator, ri faktorju β a PDy regulator. o vezavo označimo z imenom βpidy. V raksi se uorabljajo vrednosti faktorja β med in, namen a je redvsem zmanjšanje revzona ob stoničasti sremembi signala reference. V nadaljnji analizi smo se odločili za dva regulatorja : PID in βpidy.
3. Načrtovanje PID in βpidy regulatorjev za sledilno delovanje u smo skušali nastaviti arametre regulatorjev tako, da dobimo ob stoničastem referenčnem signalu želen odziv na izhodu iz rocesa. Pri tem sta bila kriterija želena renosna funkcija od reference do izhoda iz rocesa ali a roorcionalno ojačenje (K ) regulatorjev in revzon na izhodu iz rocesa (σ). 3... Izračun PID arametrov PID regulator rikazuje slika 3. na strani. Prenosna funkcija PID regulatorja je: G R U() s sd K + + Es () si + s f (3.) Pri tem omeni K roorcionalno ojačenje, i integracijsko časovno konstanto, d diferencialno časovno konstanto, f a časovno konstanto filtra PID regulatorja. Da bi čim lažje vlivali na obliko izhodnega signala rocesa, smo za zartozančno renosno funkcijo med signalom reference in izhodom iz rocesa izbrali : Ys () GC Ω( s) s s ( + τ )( + τ ) (3.) Za roces oisan na sliki. na strani Error! Bookmark not defined., ter enačbami 3. in 3., smo izračunali naslednje arametre PID regulatorja : d K K ( )( ) + τ + τ τ τ ( τ + ) ( d + τ ττ f ) f (3.3) ττ i + K( τ + τ ) (3.4) τ + τ + ( + ) ( + )( + ) ( + )( τ + τ ) τ τ ( τ + τ ) τ τ τ τ τ τ τ τ K ττ ( τ + τ ) (3.5)
ττ f τ + τ (3.6) Pri nastavitvenih ravilih rikazanih v enačbah 3.3 do 3.6 je otrebno samo izbrati časovni konstanti zartozančnega sistema (τ in τ ). Vendar nam konstanti ne kažejo tudi časovnega odziva sistema. Pri naačni izbiri konstant τ in τ lahko dobimo recej nesmiselne rezultate arametrov regulatorja, zato smo se odločili za izbiro dveh bolj običajnih konstant, kot sta roorcionalno ojačenje (K ) in želen revzon na izhodu iz rocesa (σ). Na osnovi slednjih dveh izbranih arametrov izračunamo τ +τ in τ τ : 4 τ + τ π ( + ) ln σ + ln σ( + 4K ) ( ) ( ) ( ) (3.7) τ τ τ + τ + K τ + τ (3.8) Le-te uorabimo za izračun reostalih arametrov ( i, d in f ) PID regulatorja z enačbami 3.4 do 3.6. V enačbi 3.5 lahko oazimo, da lahko ostane d ri določenih τ in τ celo negativna. Za uoraben rezultat ( d ) imamo sedaj naslednjo omejitev: K K π + ln σ K ln σ 4 π + ln σ K ln σ 4 (3.9) (3.) Za raktično nastavitev PID arametrov za sledilno delovanje regulatorja tako uorabimo naslednja nastavitvena ravila: a. Določimo K b. Izračunamo konstanti K in K : K K (3.) 4 (3.) 4 c. Če je izbran K večji od K, mora želeni revzon ustrezati neenačbi: 3
σ e π K K K (3.3) V rimeru, če je izbran K manjši od K, a določimo želeni revzon z naslednjo neenačbo: σ e π K K K (3.4) d. Z določenim K in revzonom σ, izračunamo vrednosti τ +τ in τ τ s omočjo enačb 3.7 in 3.8. Preostale arametre PID regulatorja ( i, d in f ) izračunamo s omočjo enačb 3.4, 3.5 in 3.6. V vseh neenačbah dobimo ri ostavitvi enačaja d, tako dobimo iz PID regulatorja PI regulator. Nazornejši rikaz arametrov PID lahko rikažemo s omočjo slik. Pri vseh slikah, ki kažejo izračun i, d in f smo uorabili ZN nastavitve za izračun K [4]: K r. (3.5) l r in l sta odana v enačbi.4 oz..6 na strani 6. Slika 3. rikazuje integracijsko konstanto ( i ) PID regulatorja v odvisnosti od razmerja a / in izbranega revzona σ ri vrednosti. Slika 3.3 rav tako rikazuje čas i, vendar v logaritmičnem merilu. Podobno kakor za i imamo na slikah 3.4 do 3.7 rikazane grafe za izračunana d in f. Pri d oazimo (redvsem v logaritmičnem merilu), da za nekatere vrednosti razmerja a in revzona σ, ostane d negativen (krivulje na sliki 3.5 izginejo). Za σ.6 je ri vseh vrednostih razmerja a d <. o omeni, da vrednost revzona σ ne zadovoljuje ogojem neenačb 3.3 in 3.4. 4
.5 i [s].5 4.8 8.33 a [-] (log).9.5 σ [ ] Slika 3. : Integracijska konstanta PID regulatorja v odvisnosti od razmerja a / in želenega revzona σ ri K izračunanem o ZN ravilih; s. - - Slika 3.3 : i odan v logaritmičnem merilu; odatki s slike 3.; σ, -- σ.3,... σ.6, -.- σ.9. a [-] 5
8 6 d [s] 4-4.8 8.33 a [-] (log).9.5 σ [ ] Slika 3.4 : Diferencialna konstanta PID regulatorja v odvisnosti od razmerja a / in želenega revzona σ ri K izračunanem o ZN ravilih; s. - - -3-4 -5 Slika 3.5 : d odan v logaritmičnem merilu; odatki s slike 3.4; σ, -- σ.3,... σ.6, -.- σ.9. a [-] 6
.5 f [s].5 4.8 8.33 a [-] (log).9.5 σ [ ] Slika 3.6 : Časovna konstanta filtra PID regulatorja v odvisnosti od razmerja a / in želenega revzona σ ri K izračunanem o ZN ravilih; s. - - Slika 3.7 : f odan v logaritmičnem merilu; odatki s slike 3.6; σ, -- σ.3,... σ.6, -.- σ.9. a [-] 7
Za rimer izračunajmo vrednost arametrov PID regulatorja za sistem s,.5s ri K. Na osnovi nastavitvenih ravil, najrej izračunamo K in K iz enačb 3. in 3.: K K 5. 4. 5 4 Ker je K >K, mora σ ustrezati neenačbi 3.3: π K K σ e. 486 Odločimo se za σ.. Sedaj izračunamo še τ +τ in τ τ o enačbah 3.7 in 3.8: 4 τ + τ π ( + ) ln σ + ln σ( + 4K ) ( ) ( ) ( ) 4. τ τ τ + τ + K τ + τ. 4 Parametre PID regulatorja izračunamo s omočjo enačb 3.4, 3.5 in 3.6: d ( τ τ ) K +. s i K 4 K τ τ f ( τ + τ ) ττ τ + τ. 57s. s Rezultat simulacije (izhoda iz rocesa) kaže slika 3.8. 8
..8.6.4..5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 ime [s] Slika 3.8 : Odziv na izhodu iz rocesa za s in.5s ri PID načrtovanem za K in σ.. 3... Izračun βpidy arametrov βpidy regulator s rocesom je rikazan na sliki 3. od točko d) na strani. Prenosna funkcija regulatorja je: Ws () Ys () sd U() s K βw() s Y() s + Ys () si + s sd WsK () + YsK () s + β i s + i + s f f (3.6) Oazimo, da nam v enačbah nastoa faktor β. Le-ta je uorabljan za zmanjševanje revzona na izhodu iz rocesa ob sremembi signala reference. Območje obsega faktorja β je med in, o otrebi a je lahko tudi nad [,3]. Najbolj ogoste izvedbe industrijskih regulatorjev imajo nastavljeno fiksno vrednost β. Kakor ri PID regulatorju, smo tu rav tako izbrali zartozančno renosno funkcijo drugega reda med signalom reference in izhodom iz rocesa: 9
Ys () GC Ws () s s ( + τ )( + τ ) (3.7) Za roces oisan na sliki. na strani Error! Bookmark not defined. in regulator oisan z enačbo 3.6, smo dobili naslednje arametre βpidy regulatorja: i K ττβ ττ ττ + + + τ + τ ( τ τ ) ( + ) ( τ τ ) K ( β) K + + (3.8) (3.9) d + ( τ + ) τ i β i + K ( β) + ττ (3.) f (3.) Za vrednost filtra f smo dobili vrednost. Samo v tem rimeru lahko z βpidy regulatorjem dobimo zartozančni sistem. reda. V raksi dobimo za večino rocesov raktično zanemarljivo naako, če ostavimo f d /, kar smo tudi uorabili v vseh nadaljnjih simulacijah. Prav tako, kot ri PID regulatorju, nam konstanti τ in τ ne ovedo veliko, zato smo se onovno odločili za izbiro roorcionalnega ojačenja (K ) in želenega revzona (σ) na izhodu iz rocesa. Na osnovi slednjih izračunamo τ τ in τ +τ : ττ (3.) K β ττ ln σ τ + τ π + ln σ (3.3) Vendar veljajo tudi tukaj omejitve, katerih se moramo držati, če želimo da bo d : K ( + ) ( + ) + ( ) β π ln σ lnσ ln σ ( π + ln σ) β 4 ln σ + β + β β ( π ln σ) (3.4) K
K ( + ) ( + ) ( ) β π ln σ lnσ ln σ ( π + ln σ) β 4 ln σ + β + β β ( π ln σ) K (3.5) Izraz od ulomkom ne sme biti negativen, kar vodi do naslednje omejitve: β ( π + ln σ) ( ) ln σ + ( π + ln σ) β (3.6) min.8 β [ ].6.4. 4.8 8.33 a [-] (log).5 σ [ ].9 Slika 3.9 : β min v odvisnosti od razmerja a / in revzona σ. Če v neenačbi 3.6 uorabimo enačaj, otem ostaneta K in K enaka, ter tako nimamo limitiranega območja K. V rimeru, če faktor β ostavimo na višjo vrednost od β min, a je otrebno uoštevati omejitve K v neenačbah 3.4 in 3.5. Praktična nastavitvena ravila za βpidy bi bila naslednja: a. Določi K in σ. b. Postavi ββ min o enačbi 3.6. c. Izračunaj ττ in τ+τ iz enačb 3. in 3.3. d. Določi reostala arametra PID regulatorja o enačbah 3.9 in 3..
Če želimo β, ki je večji od β min, takrat za točko b izračunamo ali roorcionalno ojačenje ustreza neenačbama 3.4 in 3.5. V rimeru, če ustreza, nadaljujemo v točki c, v nasrotnem a moramo sremeniti želen revzon na izhodu iz rocesa: π β ( β ) ( ) ( β) σ e σ max, (3.7) ki smo ga dobili neosredno iz enačbe 3.6. V rimeru, če se zadovoljimo s σσ max, gremo na točko c nastavitvenih ravil, če a želimo manjši revzon,a ga lahko manjšamo, dokler izbrani K ustreza neenačbama 3.4 in 3.5. Pogosto imamo industrijske regulatorje realizirane, kot je rikazano na sliki 3. od točko b (stran ). a shema ustreza βpidy regulatorju ri vrednosti faktorja β. Če to vrednost vstavimo v neenačbi 3.4 in 3.5, dobimo rezultat enak neenačbama 3.9 in 3. na strani 3. V tem rimeru veljajo nastavitvena ravila oisana na strani 3 od točkami a,b in c. Nastavitvena ravila nadaljujemo v točki c nastavitvenih ravil za βpidy regulator. Nazornejši rikaz βpidy arametrov kažejo slike 3. do 3.3. Kakor ri PID regulatorju, smo tu rav tako izbrali K na osnovi ZN nastavitvenih ravil (enačba 3.5 na strani 4), β smo ostavili na vrednost. Na slikah 3. in 3. imamo rikazan izračunan i v odvisnosti od razmerja a in revzona σ, na slikah 3. in 3.3 a izračunan d. Oazimo, da tako kot ri izračunu PID arametrov, dobimo ri βpidy arametrih v nekaterih odročjih a in σ negativno vrednost d. V teh odročjih sta ač kršeni neenačbi 3.4 in 3.5. Za raktično uorabne rezultate se je otrebno držati nastavitvenih ravil za βpidy regulator. Pri β si lahko ogledamo še vrednost K. Le to kažeta sliki 3.4 in 3.5. Oazimo lahko, da ri velikih razmerjih a / ostane K (osebno ri večjih σ) izredno velik in neuoraben v raksi.
8 6 i [s] 4 4.8 8.33 a [-] (log).9.5 σ [ ] Slika 3. : Integracijska konstanta βpidy regulatorja v odvisnosti od a / in revzona σ; s. - - Slika 3. : i odan v logaritmičnem merilu; odatki s slike 3.; σ, -- σ.3,... σ.6, -.- σ.9. a [-] 3
8 6 d [s] 4-4.8 8.33 a [-] (log).9.5 σ [ ] Slika 3. : Diferencialna konstanta βpidy regulatorja v odvisnosti od a / in revzona σ; s. - - -3-4 -5 Slika 3.3 : d odan v logaritmičnem merilu; odatki s slike 3.; σ, -- σ.3,... σ.6, -.- σ.9. a [-] 4
E5 E4 K [-]. 4.8 8.33 a [-] (log).5 σ [ ].9 Slika 3.4 : Vrednost faktorja K v odvisnosti od razmerja a / in revzona σ. 5 4 3 - Slika 3.5 : K odan v obliki grafa; σ, -- σ.3,... σ.6, -.- σ.9. a [-] 5
Za rimer izračunajmo vrednost arametrov βpidy regulatorja za sistem s,.5s ri K in σ. (enako kakor v rimeru za PID regulator na strani 7). Po točki b nastavitvenih ravil za βpidy regulator (stran ) izračunamo β: β β min ( π + ln σ) ( ) ln σ + ( π + ln σ) 85. τ τ in τ +τ izračunamo iz enačb 3. in 3.3: ττ. 587s K β ττ ln σ τ + τ. 865s π + ln σ Preostane nam še izračun reostalih dveh arametrov βpidy regulatorja o enačbah 3.9 in 3.: i ( τ + τ ) K ( β) K + 5. s d + ( τ + ) τ i β i + K ( β) s + ττ 45. Rezultat simulacije (izhoda iz rocesa) kaže slika 3.6. V rimerjavi s sliko 3.8 (stran 9) oazimo razliko. Odziv rocesa načrtovan s PID regulatorjem je hitrejši od odziva s βpidy regulatorjem ri istem revzonu (σ.). o je razumljivo, ker je diferencialni člen ri βpidy regulatorju vezan na izhod rocesa in ne na signal regulacijskega ogreška, hkrati a je tudi roorcionalni člen le delno vezan na signal reference (β.85). 6
..8.6.4..5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 ime [s] Slika 3.6 : Odziv na izhodu iz rocesa za s in.5s ri βpidy regulatorju načrtovanem za K in σ.. 7
3. Načrtovanje PID in βpidy regulatorjev za regulacijsko delovanje Najogosteje je regulator vstavljen v sistem zato, da izkrmili motnje, ki vlivajo na roces ri določenem, fiksnem, signalu reference. V ta namen smo oskušali ugotoviti konstante PID in βpidy regulatorjev tako, da dobimo zadovoljiv odziv izhoda rocesa (y) na motilni signal (d) (slika 3. na strani ). Prenosna funkcija med motnjo in izhodom iz rocesa je ri obeh tiih regulatorjev (PID in βpidy) enaka in tretjega reda z ničlo v koordinatnem izhodišču. ako smo ostavili naslednjo zartozančno funkcijo: Ys () GC Ds () Ks ( + sτ )( + sτ )( + sτ ) 3 (3.8) V rimeru, če je signal motnje na vhod v roces enak enotini stonici: Ds (), (3.9) s bo imel signal na izhodu iz rocesa naslednji časovni otek: Kτ bt K yt ( ) e cosωt+ csin ωt + e ττ τ 3 t τ 3 (3.3) Pri tem omenijo: τ τττ 3 τ τ + τ τ τ ( ) 3 ( ) ( ) τ τ + τ τ τ 3 K τ 3 τ + τ τ τ τ 3, (3.3), (3.3) K τ 3 K 3( + ) 3 τ τ τ τ τ τ τ + τ b ττ ( ) 3, (3.33), (3.34) τ 3 τ + τ τ τ τ c, (3.35) τ τ τ 8
ω τ τ ττ. (3.36) Iz enačbe 3.3 oazimo, da je časovni odziv rocesa na stoničasto motnjo sestavljen iz dveh delov. Prvi je dušeno harmonično nihanje, drugi del a je eksonentno adajoči signal. Pri regulaciji motenj je ogosto omembna informacija o hitrosti uadanja harmoničnega nihanja na izhodu iz rocesa. o hitrost označimo v nadaljnjem besedilu z izrazom hitrost uadanja (decay ratio v tuji literaturi). Hitrost uadanja dejansko omeni razmerje amlitud naslednjega harmoničnega vala s rejšnjim (o reteku časa ene eriode) in je tako enaka razmerju amlitud δy /y na sliki.3 na strani 6. Ponavadi želimo, da drugi člen v enačbi 3.3 čim rej izzveni, za kar je omembno razmerje med τ 3 in eriodo harmoničnega nihanja s frekvenco ω: α τ 3 π ω (3.37) Perioda harmoničnega nihanja na izhodu iz rocesa je: K + γ + γ + τ 3 4 π γ π ω K + τ 3 ( + ) (3.38) K 4 γ π + γ + + α, kjer je γ ln δ (3.39) Faktor δ omeni hitrost uadanja (decay ratio). Časovni konstanti τ in τ ostaneta: τ τ 4π + γ 4π + γ ( γ + jπ) ( γ jπ) 9
τ γ + τ 4π + γ ττ 4π + γ (3.4) (3.4) Preostane nam še izračun reostalih dveh konstant regulatorja: d i K K (3.4) [ ττ + τ 3( τ + τ ) K( + )] i + + + i [ ττ α( τ τ ) K( )] (3.43) K τττ 3 α 3 ( 4π + γ ) (3.44) udi tu se zgodi, da dobimo vrednost diferencialne konstante ( d ) manjšo od, kar je lahko recej neugodno. Da do tega ne ride, mora α ustrezati naslednji neenačbi: α k + αk + (3.45) 4 α k + k k k 4 α k k k k (3.46) k k k a 4γ k ( a ) + ( 4π + γ ) K aγ 4γ + ( + a ) K + ( α α ) ( α α ) ( α α ) ( α α ) > < > < > < (3.47) Pri tem omeni a /. V enačbi 3.46 sta odani mejni vrednosti α in α. Pri uoštevanju neenačbe 3.45 dobimo omejitev za vrednost α v odvisnosti od koeficienta k, odano v izrazu 3.47. Mejni vrednosti α in α kažeta sliki 3.7 in 3.8. Ker za 3
vrednost α izbiramo ozitivno vrednost, lahko iz obeh slik vidimo, da v izbranem odročju (a.., δ,..,9) zadovoljimo ogojem neenačbe 3.45 z izbiro vrednosti α<,9. Na slikah 3.7 in 3.8 smo K izračunali s omočjo ZN ravil (enačba 3.5 na strani 4). Nastavitvena ravila za PID in βpidy regulator za regulacijsko delovanje so tako naslednja: a. Določi K in hitrost uadanja δ (decay ratio). b. Izračunaj γ o enačbi 3.4 in določi α ob uoštevanju neenačbe 3.45 c. Izračunaj o enačbi 3.38 d. Izračunaj τ +τ in τ τ o enačbah 3.4 in 3.4 e. Določi še reostali dve konstanti PID oz. βpidy regulatorja s omočjo enačb 3.4 in 3.43. Primere izračunov ri različnih K in hitrostih uadanja δ kažejo slike 3.9, 3. in 3.. Oazimo, da se z večanjem ατ 3 / časi ri različnih hitrostih uadanja δ vse manj razlikujejo. -. α [ ] -. -.3 -.4 -.5 a [-] (log).9.5 δ [ ]. Slika 3.7 : Vrednost koeficienta α v odvisnosti od razmerja a / in hitrosti uadanja δ (decay ratio). 3
α [ ] - a [-] (log).9.5 δ [ ]. Slika 3.8 : Vrednost koeficienta α v odvisnosti od razmerja a / in hitrosti uadanja δ (decay ratio). - - K [-] Slika 3.9 : Perioda nihanja [s] ri ατ 3 /. in s; δ., -- δ.5,... δ.9. 3
- - K [-] Slika 3. : Perioda nihanja [s] ri ατ 3 /.3 in s; δ., -- δ.5,... δ.9. - - K [-] Slika 3. : Perioda nihanja [s] ri ατ 3 / in s; δ., -- δ.5,... δ.9. 33
Slike 3. do 3.7 rikazujejo izračunane integracijske in diferencialne konstante PID in βpidy regulatorjev za regulacijsko delovanje. Pri tem smo K določili na osnovi ZN ravil (enačba 3.5 na strani 4). Za rimerjavo kažejo slike 3. do 3.7 tudi otek i in d izračunana s omočjo ZN nastavitvenih ravil [4]: d i (3.48) l 5. (3.49) l Pri tem je l oisan v enačbi.4 na strani 6. Na slikah 3. in 3.3 imamo i in d izračunane ri hitrosti uadanja δ., sliki 3.4 in 3.5 rikazujeta isto ri δ.5, sliki 3.6 in 3.7 a kažeta izračun ri δ.5. Podobnost med i določenim z ZN nastavitvenimi ravili (enačba 3.48) in med i določenim o PID oz. βpidy nastavitvenimi ravili na strani 3, kaže na to, da so bila ZN ravila ostavljena za regulacijsko delovanje (odravljanje motenj v rocesu). S rimerjavo i in d lahko tudi oazimo, da nastoi najboljše ujemanje med nastavitvenimi ravili ri δ.5, za kar a so ZN ravila tudi bila načrtovana. Pri tem je najboljše ujemanje ri relativno majhnih razmerjih a /. ZN ravilom takrat ustreza vrednost α, rahlo večja od. (sliki 3.4 in 3.5). - - Slika 3. : Vrednost integracijske časovne konstante i ri δ. in s; ZN, -- α.5,... α., -.- α.. a [-] 34
- - -3 Slika 3.3 : Vrednost diferencialne časovne konstante d ri δ. in s; ZN, -- α.5,... α., -.- α.. a [-] - - -3 Slika 3.4 : Vrednost integracijske časovne konstante i ri δ.5 in s; ZN, -- α.5,... α., -.- α.. a [-] 35
- - -3 Slika 3.5 : Vrednost diferencialne časovne konstante d ri δ.5 in s; ZN, -- α.5,... α., -.- α.. a [-] - - -3 Slika 3.6 : Vrednost integracijske časovne konstante i ri δ.5 in s; ZN, -- α.5,... α., -.- α.. a [-] 36
- - -3-4 Slika 3.7 : Vrednost diferencialne časovne konstante d ri δ.5 in s; ZN, -- α.5,... α., -.- α.. a [-] Primer načrtovanja PID in βpidy regulatorja za regulacijsko delovanje o nastavitvenih ravilih oisanih na strani 3 nam kaže naslednji zgled. Za roces s časovnimi konstantami s načrtajmo regulator za hitrost uadanja δ.5. Najrej določimo K, ki ga izračunamo s omočjo ZN nastavitvenih ravil (ni nujno). Uorabimo enačbi.4 (na strani 6) in 3.5 (na strani 4): l a a e r ln( a) a a a + + a K a a 3 e r e... 58 3 e l Nato uorabimo še enačbi 3.39 in 3.46 za izračun γ, α in α : γ ln( 5. ). 386 4 α k + k k. 77 k 4 α k k k. 9 k 37
Vrednost k je negativna, zato se mora želen α nahajati med vrednostima α -.77 in α.9. Ker mora biti vrednost α tudi ozitivno število (v rimeru negativnega števila, bi o enačbi 3.3 na strani 8 dobili nestabilen odziv), mora biti α manjši od.9. Izberemo vrednost α. in s omočjo enačbe 3.38 (stran 9) izračunamo : s K 4 γ π + γ +. 344 + α Preostane nam še izračun τ +τ in τ τ iz enačb 3.4 in 3.4: γ τ + τ. 57s 4π + γ ττ. 33s, 4π + γ ter K in reostalih dveh arametrov regulatorja o enačbah 3.4 in 3.43: d K α 3 ( 4π + γ ) i K K 36. s 3. s [ ττ + α( τ + τ ) K( + )]. 98s i Rezultata odzivov rocesa na signal motnje, enake enotini stonici, na vhodu v roces (zgoraj) in odziv rocesa na enotino stonico signala reference (sodaj), kaže slika 3.8. Pri obeh odzivih oazimo odobno hitrost iznihavanja (δ). 38
.6.4. -. -.4 3 4 5 6 7 8 9 ime [s].5.5 3 4 5 6 7 8 9 ime [s] Slika 3.8 : Zgoraj - odziv rocesa na motnjo ri δ.5; sodaj - odziv rocesa na signal reference ri δ.5. Za rimerjavo smo uorabili enak roces, sremenili a smo hitrost uadanja δ.. Izbrali smo enako vrednost α. in dobili naslednje vrednosti za i in d : i d 57. s. 967s Rezultata odzivov sta rikazana na sliki 3.7. u oazimo dosti večjo hitrost iznihavanja rocesa, kot v rejšnjem rimeru, kar je osledica manjše vrednosti δ. 39
.6.4. -. 3 4 5 6 7 8 9 ime [s].5.5 3 4 5 6 7 8 9 ime [s] Slika 3.9 : Zgoraj - odziv rocesa na motnjo ri δ.; sodaj - odziv rocesa na signal reference ri δ.. 4
3.3 Kontrola revzona βpidy regulatorja nastavljenega na regulacijsko delovanje V redhodnem tekstu smo videli, da se nastavitvena ravila razlikujejo v odvisnosti od tega, ali želimo regulator nastaviti za sledilno delovanje, ali a za regulacijsko delovanje. Ponavadi rimerna nastavitev za sledilno delovanje nezadovoljivo odravlja motnje v rocesu, hkrati a nastavitev za regulacijsko delovanje onavadi ovzroča recejšnje revzone na izhodu iz rocesa ob stoničasti sremembi signala reference. o je dokaj dobro vidno na slikah 3.8 in 3.9, kjer znašata revzona ribližno 5% (σ.5). Iz enačbe 3.6 na strani 9 lahko vidimo, da faktor β vliva na signal reference, hkrati a ne vliva na signal izhoda iz rocesa. ako ga lahko uorabimo za zmanjševanje revzona ri regulatorju nastavljenemu za regulacijsko delovanje, kar je tudi osnovna funkcija faktorja β [,3]. Prav tako, kot faktor β, lahko uorabimo tudi limiter na vhodu v integracijski člen regulatorja in s tem zmanjšamo revzon na izhodu iz rocesa. Pri limiterju a moramo biti revidni, ker lahko remajhna vrednost limit ovzroči, da bo tudi signal regulacijskega ogreška, ri regulaciji motnje, limitiran. Oba načina za zmanjševanje revzona (faktor β in limiter na vhodu v integracijski člen regulatorja) rikazuje slika 3.3. Slika 3.3 : Prikaz βpidy regulatorja z dodatkom limiterja na vhodu v integracijski člen. Limiter red integratorjem deluje tako, da v rimeru, če je regulacijski ogrešek (e) absolutno večji od e lim, ga limiter omeji: 4
e i e; elim; elim; e < e < e lim e > e e < e Vliv faktorja β in limiterja, na revzon na izhodu iz rocesa, kažeta sliki 3.3 in 3.3. lim lim lim.8.6 σ [ ].4. a [-] (log).5 β [ ] Slika 3.3 : Odvisnost revzona σ od razmerja a / in faktorja β ri s, K določenem z ZN ravili, i in d a za δ.5 in α...8.6 σ [ ].4. a [-] (log)..5 elim [-] Slika 3.3 : Odvisnost revzona σ od razmerja a / in amlitude limiterja e lim ri s, K določenem z ZN ravili, i in d a za δ.5 in α.. 4
Iz slik je razvidno, da je zmanjšanje revzona na izhodu iz rocesa večje ri uorabi faktorja β v območju,5.. in faktorja e lim ri vrednostih manjših od,5. Ker ri uorabi faktorja β ne moremo reducirati revzona na manj kot 4% (σ.4), v raksi a ogosto želimo manjše revzone, smo se odločili, da izračunamo faktorje e lim za dosego %, %, 3% in 4% revzona ri hitrosti uadanja δ.5 in vrednostih β in β. Rezultate rikazujeta sliki 3.33 in 3.34..6 elim [-].4. a [-] (log)..4 σ [ ] Slika 3.33 : Vrednost limiterja e lim ri faktorju β in δ.5 v odvisnosti od razmerja a / in želenega revzona σ..8 elim [-].6.4. a [-] (log)..4 σ [ ] Slika 3.34 : Vrednost limiterja e lim ri faktorju β in δ.5 v odvisnosti od razmerja a / in želenega revzona σ. 43
Za raktično nastavitev so odane ovrečne vrednosti faktorja e lim ri β in β za želene revzone % do 4% (σ,..,4) v tabeli 3.. Prevzon (σ) β β..78.4..54.396.3.63.68.4.48.98 abela 3. : Povrečna vrednost vrednosti e lim v odvisnosti od faktorja β in želenega revzona σ. Vrednosti na slikah 3.3 do 3.34 ter v tabeli 3. veljajo samo za sremembo signala reference enako enotini stonici. Vrednosti v tabeli 3. se morajo množiti z amlitudo stonice signala reference. Primer na sliki 3.35 kaže odziv rocesa rikazanega na sliki 3.8 (stran 39) ri želenem revzonu rocesa % in β ri sremembi signala reference enako enotini stonici. Oazimo, da ni sremembe v regulaciji motnje (zgoraj), da a občutno zmanjšamo revzon ri sremembi reference (sodaj). Prevzon ni točno %, ker smo uorabili vrednost e lim iz tabele 3. (e lim.54), ki kaže le ovrečne vrednosti za koeficient a v območju od do. Če uorabimo točno vrednost e lim.78 (iz slike 3.33), dobimo odziv, rikazan na sliki 3.36. Sedaj je vrednost revzona natančno %. 44
.6.4. -. -.4 3 4 5 6 7 8 9 ime [s].5 3 4 5 6 7 8 9 ime [s] Slika 3.35 : Zgoraj - odziv rocesa s slike 3.8 ri uorabi β in e lim.54 (iz tabele 3.); sodaj - odziv rocesa na signal reference..6.4. -. -.4 3 4 5 6 7 8 9 ime [s].5 3 4 5 6 7 8 9 ime [s] Slika 3.36 : Zgoraj - odziv rocesa s slike 3.8 ri uorabi β in e lim.78 (iz slike 3.33); sodaj - odziv rocesa na signal reference. 45
ZAKLJUČEK Podana nastavitvena ravila za roces. reda odajajo le teoretične osnove za uglaševanje PID in βpidy regulatorjev, ker ne uoštevajo omejitve, katere ogosto srečujemo v raksi. Omejitve so v reguliranem rocesu, ki je lahko: nelinearen, šumen, slabo ocenjen (konstanti in ), višjega reda, ali a v regulatorju, kjer imamo lahko težave zaradi: imlementacije digitalnih algoritmov, relativno velikih časov vzorčenja, vgrajenih analognih in digitalnih filtrov. Vliv nekaj omenjenih omejitvenih faktorjev bo redmet naše nadaljnje analize. 46
LIERAURA [] K.J.Åström, C.C.Hang, P.Persson, W.K.Ho: owards Intelligent PID Control, Automatica, Vol. 8, No., January 99. [] K.J.Åström, B. Wittenmark: Comuter Control Systems - heory and Design, Prentice Hall, age 8, 984. [3] K.J.Åström, W.K.Ho: Refinements of the Ziegler-Nichols tuning formula, IEE roceedings-d, Vol. 38, No., March 99,. -8. [4].B.Kinney: uning Process Controllers, Chemical Engineering, Setember 9, 983. 47