Grđeisi fultet u Beogrdu Ktedr z geodeziju i geoiformtiu MEOD NAJMANJIH KVADRAA Rču izrj osoi urs/ri_ Osoe studije 3. semestr, šols 6/7 Prof. dr Bro Božić, dil.geod.iž.
Sdržj Uod Prost ritmetič sredi Ošt ritmetič sredi Njolj oce rmetr model Vrijs, orijs, oftori i težie Jedostiji MNK rolemi mtrič iterretcij
UVOD - Defiicij i lsificij merej Crdll d Seloom (97: Mereje redstlj uoređije eozte eličie s oztim stdrdom omoću istrumet Rezultt merej je smo jed rosimcij redosti Ko tču redost ije moguće doiti, merej o defiiciji sdrže greše Merej mogu iti: diret i idiret
UVOD-Klsificij greš merej Podel greš rem rirodi uticj: grue (luders, mistes, sistemtse i c slučje (ccidetl, rdom Nei utori dodju i osttu grešu isti z i redost (r. dicio ostt Slučje greše siome: greše mle o itezitetu se češće, jed erotoće oje ozitiih i egttiih redosti greš, 3 ml erotoć oje greš eliih o itezitetu
UVOD-Greše, orecije i reziduli Mere eliči: istiit ili jerotij redost Njerotij redost = jolj oce M olii roj merej relizoli ećemo doiti istiitu redost Aritmetič sredi sd u jolje ocee Rezultt merej - Istiit redost = Istiit greš Njolj oce Rezultt merej = Rezidul Korecij = - (Greš Korecij (or uzim se o sioim reči rezidul (
. Prost ritmetič sredi Ne je slučj eliči mere ut i e su doijee sledeće redosti,,...,. Ne je µ istiit redost, - ritmetič sredi. d je... Rezidul
.Gusso rici jmjih drt (lest squres ricile "... Njerotij redosti ee fiziče eličie iće o od oje je sum drt rzli između ožj i je sme, omože s merom recizosti ožj miiml."
.Prost ritmetič sredi rime rici jmjih drt Ne je relizoo rezultt merej,,..., ee fiziče eličie. Po defiiciji: Rezultt merej + Rezidul = Njolj oce ili,...,,,,..., Prici jmjih drt: Njolj oce se doij miimizirjem sume drt rezidul
.Prost ritmetič sredi rime rici jmjih drt Ne je rži se d d ili ( (... ( d d ( (... (... Deoom oe stre s i oslođjem od zgrde doij se
Mere recizosti uzor Pretoste: Pozt recizost merej (recizost = mer diserzije merej u odosu sredju redost, Vrijs sttistič mer recizosti Stdrdo odstuje - ozitii ore od rijse U zisosti od dimezij su, zise i izrzi z rijsu i stdrdo odstuje
Mere recizosti uzor iz oulcije očih dimezij Prem Dei d Kilde (999 od uzor oji ridju oulciji ogričee dimezije N N N N ( N ( N Sredj redost Vrijs oulcije Stdrdo odstuje oulcije
Mere recizosti uzor oji ridju oulciji esočih dimezij s s ( ( - = roj steei sloode Neomere oce rijse oulcije Neomere oce stdrdog odstuj oulcije, md Dei d Kilde (999 geerlo, md ez eog ročitog rtičog uticj ude drugi izrz s ( c 3 4 3 9-3 4 9 4 9 9 89 c.64.7. 3.3 8. 3. 8. 8. 88.
Odos teži i rijsi s s ili s Kostt roorciolosti ili referet rijs ili ftor rijse eži Z = s Vrijs ožj jediiče težie (Pretost: merej su eorelis PRIMER: Mereje :. (s =. Mereje :. (s =. Mereje 3:.3 (s =.3 Njece s (.3 3 (.3 (.3 (.3 9,,, 3 (. (.
3. Ošt ritmetič sredi Ne su,,..., merej s težim,,..., i e je jolj oce merej. Po defiiciji: Mereje + Rezidul = Njolj oce,...,,,,..., Rešeje tržimo rimeomi rici miimum sume drt roizod rezidul i teži ili
Ošt ritmetič sredi (... ( ( ( d d (... ( ( d d...... Deoom s i oslodjjem od zgrde
4. Jedostiji modeli - Njolj oce rmetr model - Lie of Best Fit, rmetri model, idiret merej rmetr Ngi re t Prese re s osom
Oce rmetr model merej iste recizosti ( d d, i d d X tč -4. -4. -. -4. 3. -. 4 38.. 67. 3. ( (... ( Neohod uslo miimum
( (... ( ( ( ( ( (... ( ( ( ( d d d d Normle jedčie Normle jedčie u mtričom oliu N N Oce rmetr model merej iste recizosti MNK ocee
( N,,,,, u u u u N. 378.. 6. 6. 788. 9.6737.4777 788. 6. 6.. 6. 6.. (788. Oce rmetr model jede težie MNK ocee
Oce rmetr model merej jede recizosti - reziduli 3 4 7.8 6. 7.9 3.6.
Oce rmetr u modelu merej rzličite recizosti č i -4. -4. -. -4. 3. -. 7 4 38.. 3 67. 3. 3 (... ( (, d d i d d ( (... ( ( ( ( ( (... ( ( ( ( d d d d
Oce rmetr u modelu merej rzličite recizosti 7. 6.. 3. 3. 84..6693.9968.9..3.4.4 4 3 De ormle jedčie Pr je omere i 3, zog teži
Jedostiji MNK rolemi mtrič iterretcij Miimum sume drt rezidul...... P........ Neorelis merej
4 4 4 3 3 3 c Ošti model PRIMER.... l d f f A Vetor sloodih člo Vetor ostti (ul etor od lierog model Vetor ožj Mtric oeficijet Vetor rezidul Jedostiji MNK rolemi mtrič iterretcij oce rmetr model regresioe re
Jedostiji MNK rolemi mtrič iterretcij oce rmetr model regresioe re f P Pf ( f ( f (f f A (A P(f A A PA P(f A P(f A A Pf A PA = A f ili = f - A Slood čl (od elierih model = riližo mereo, od lierih model f = l f Pf f PA A Pf A PA Slri f Pf f PA (A PA d d d d f PA (A PA (A PA A Pf Normle jedčie N
Korijcioe mtrice K I A riori ftor diserzije Korijcio mtric ožj K ˆ K A A A A A A A K A A Korijcio mtric oce eoztih rmetr A A K K ˆ ˆ K Aˆ K AK H I H ˆ A A(A (I H K A K ˆ A (I HK (I H Korijcio mtric oce ožj Korijcio mtric oce rezidul
Oce rijse osteriori u u E H (I ˆ ˆ ˆ ( ˆ ( ˆ ˆ ˆ Oce ftor diserzije ili osteriori diserzij (rijs
Jedostiji MNK rolemi mtrič iterretcij oce rmetr model regresioe re N N f A ˆl l Izrz izrje idiretih ožj, redložili su Mihil i Grice 976 i 98. godie uzuje d so ožje redstlj jedo idireto mereje eoztih rmetr. U geodetsom remeru oriste se i drugi zii, o: rmetrso izrje, izrje jedči ožj metodom jmjih drt ili izrje jedči rezidul metodom jmjih drt. Osoe rteristie MNK: - Mtemtiči model (jedči oezuje ožj, rezidule i eozte rmetre - Z ožj ostoji miimlih o eohodih z rešje u eoztih rmetr (u oom slučju o = u do je r = o roj suiših merej - Z so ožje ostlj se jed jedči, tj. je uu roj jedči
Primer N lirciooj zi mereo je šest rso: AB=6.8, BC=.4, CD=4.8, AC=9.3, AD=.63 i BD=7.. Oceiti eozte rsoe duži ze, AB, BC i CD rimeom MNK. 6 3 6 3 4 4 3 3 3 l l l l l l A B C D 3 6 4 3 3 7.6 4.3 9. 4.76.37 6.84 4.8.4 6.83 ˆ l A A (A N.6..6.6..6 ˆ.4m s
Primer 3 - model role RMI Uiersit - Dei c c c Z = 6 i u = 3 Neozti rmetri:,, c A f Mtemtiči model role
MNK oce rmetr model role 6 (6, (3, 6 6 (6,3 6 (6,.,,...,. c f A P I Z N N A f l l ˆ
Primer 4 - model elise č X Y 7-4.8 7. 8-4.47 36.6 9-8.4 3. -. 63.7 8. 63.44 7.49. 3 8.8 34. 4 98.8 9.4.69-7.3 6 3.83-46.96 7 88.4-7. 8 6.6-86.84 9 6.47-9.7-6.9-8.37-34. - 9.4 -. - 9.8 3-6.3 -.3 u u u u cos si si cos ( ( (3
c s s c u s c si, cos rsoojem rethode mtrice c s s c u (4 ( Zmeom (4 i ( u ( c s cs cs cs cs s c c s s c c s s c ( MNK oce rmetr u modelu elise
MNK oce rmetr u modelu elise A A H H H A B (6 Jedči elise cetris u oorditi očet, ri s osm i i uglom rotcije β Ne je r cos r si Acos Pozitii ugo mere suroto od retj zlje stu u odosu osu H cos si B si Rdijlo rstojje od cetr elise r (7 Miimum i msimum jedčie (7 defiiše dužie i rce os elise Acos f H Acos cos si H si Bsi Bsi r Ndjimo ri i drugi izod od f (8
MNK oce rmetr u modelu elise f f f m f i je d je mi f i ( B Asi H cos ( B Acos 4H si f f (9 Pri izod Drugi izod Msiml redost od f sledi d ri izod izjedčimo s ulom t H A B ( Vredost od θ može se ezti i z msimum ili miimum od f. o, osou redosti drugog čl u (9 i redosti od θ u ( eodređeost se defiiše reo z drugog izod od f m mi d je f f (
MNK oce rmetr u modelu elise U olroj jedčii elise (7, f m je oresodeto s r mi, f mi s r m to d se ugo β u odosu osu (oziti redost je surot retju zlje stu elioj osi elise određuje o r r m mi d je f i f N osou slie i ošte jedčie elise u rouglom sistemu, sledi X hxy X Y X dx ey i Y Y gde je Jedči elise h (X (Y X hy hx hx Y I zmeom u rethodi izrz d e Y dx r m =, r mi = ey Koeficijeti uz, ostt
Kd su oeficijeti uz, jedi uli, td je ishodište elise u cetru, sistem ( ey dx Y Y hx X c c h, e Y hx d hy X e d h h h Y X Y X h h e d Ili, mtričo (, ( h e dh Y h d eh X ( (3 MNK oce rmetr u modelu elise
MNK oce rmetr u modelu elise Deoom ( s c, A A H c, H h c B, B c Idetičo s (6 (4 N osou ošte jedčie elise u D sistemu, X hxy Y dx ey ri čemu tre imti u idu d i u gorjoj jedčii isu oluose elise. Polzeći od rici jmjih drt, eličiu, oli i orijetciju elise doijmo osou su jedči ožj, oli X hx Y Y dx ey Rezidul s lee stre izrz uzuje eoistetost model izzu meteim moorditm X, Y
Sglso rimeru P I,....... 7 7 7 7 7 e d h Y X Y Y X X Y X Y Y X X Y X Y X Y X Rešeje o doij se rem sledećoj roceduri: A f N N Pf A PA A N Rčuje oeficijet ormlih jedči Rčuje etor Rčuje ierze mtrice od N Oce etor eoztih rmetr Oce rezidul MNK oce rmetr u modelu elise
MNK oce rmetr u modelu elise Iteresto je istći d reziduli u oom slučju imju mli rtič zčj jer se e odose dužie ili oordite. Veći zčj im h (ur duži od elise do tče Vredost h se rču rem sledećem: - oceiti,h,,d i e rimeom MNK - srčuti oordite X,Y i osttu c (izrz - srčuti oeficijete A,H i B (izrz 4 i elemete elise β, i (izrzi 7 do - srčuti u, oordite (izrz 3 - srčuti h
MNK oce rmetr u modelu elise si e f ( f e f cos u h u si e t se reš itertio
Pitj z oljje. MNK rešeje z rostu i oštu ritmetiču srediu. Mere recizosti, rijs, orijs, orelcij, težie, oftori 3. Oce eoztih rmetr u modelu re 4. Oce eoztih rmetr u modelu role. Oce eoztih rmetr u modelu elise