Mališa Žižoviæ Olivera Nikoliæ

Transcript

1 Mliš Žižoviæ Oliver Nikoliæ

2 UNIVERZITET SINGIDUNUM Prof. dr Mliš Žižović Prof. dr Oliver Nikolić KVANTITATIVNE METODE Šesto izmejeo i dopujeo izdje Beogrd,.

3 KVANTITATIVNE METODE Autori: Prof. dr Mliš Žižović Prof. dr Oliver Nikolić Recezet: Prof. dr Duš Adđević Izdvč: UNIVERZITET SINGIDUNUM Beogrd, Dijelov 3 Z izdvč: Prof. dr Milov Stišić Tehičk obrd: Novk Njeguš Dizj koric: Aleksdr Mihjlović Godi izdj:. Tirž: 35 primerk Štmp: Mldost Grup Lozic ISBN:

4 SADRŽAJ Predgovor III I - GLAVA LINEARNA ALGEBRA. DETERMINANTE.. DEFINICIJA DETERMINANTE DRUGOG I TREĆEG REDA.. O PARNIM I NEPARNIM PERMUTACIJAMA PRIRODNIH BROJEVA 3.3. DETERMINANTE PROIZVOLJNOG REDA 5.4. OSOBINE DETERMINANATA 6.5. IZRAČUNAVANJE VREDNOSTI DETERMINANATA Izrčuvje vredosti determit drugog red Izrčuvje vredosti determit trećeg red Rzlgje determite po elemetim proizvolje vrste (koloe) 9. MATRICE.. DEFINICIJA MATRICE.. NEKI POSEBNI OBLICI MATRICA 3.3. OSNOVNE OPERACIJE SA MATRICAMA 5.3. Jedkost mtric Trspoov mtric Sbirje i oduzimje mtric Možeje mtrice brojem Možeje mtric 7.4. INVERZNA MATRICA.5. RANG MATRICE 4 3. SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA OSNOVNI POJMOVI MATRIČNI OBLIK SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA Mtričo rešeje i Krmerove formule Gusov lgoritm Kroeker - Kpelijev stv 37

5 II - GLAVA FUNKCIJE 4. ELEMENTI MATEMATIČKE ANALIZE MODUL REALNOG BROJA NEKI PODSKUPOVI SKUPA REALNIH BROJEVA I NEKE NJIHOVE OSOBINE POJAM FUNKCIJE Pojm fukcije jede ezvise promeljive Grfik fukcije NIZOVI OSNOVNI POJMOVI TAČKA NAGOMILAVANJA GRANIČNA VREDNOST NIZA KOŠIJEV OPŠTI KRITERIJUM KONVERGENCIJE ARITIMETIČKE OPERACIJE SA NIZOVIMA BESKONAČNO MALI I BESKONAČNO VELIKI NIZOVI NEKI VAŽNIJI NIZOVI REDOVI POREDBENI KRITERIJUM REDOVI SA POZITIVNIM ČLANOVIMA DELIMIČNO SUMIRANJE I ALTERNIRAJUĆI REDOVI 7 7. GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE ARITMETIČKE OPERACIJE SA GRANIČNIM 79 VREDNOSTIMA FUNKCIJA 7.. BESKONAČNO MALE I BESKONAČNO VELIKE FUNKCIJE NEKE OSNOVNE GRANIČNE VREDNOSTI NEPREKIDNOST FUNKCIJA Neprekidost fukcije u tčki Tčke prekid fukcije Neprekidost fukcije itervlu GRANIČNA VREDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJA VIŠE PROMENLJIVIH 9

6 III - GLAVA DIFERENCIJALNI RAČUN 8. DIFERENCIJALNI RAČUN IZVOD FUNKCIJE DIFERENCIJABILNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE U TAČKI DIFERENCIJAL FUNKCIJE NAJVAŽNIJE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA IZVODI I DIFERENCIJALI FUNKCIJA DVE NEZAVISNO PROMENLJIVE 8.6. PRIMENA DIFERENCIJALNOG RAČUNA EKONOMSKE FUNKCIJE Fukcij tržje Fukcij poude Modeli tržišt Fukcij troškov Fukcij prihod Fukcij dobiti Elstičost ekoomskih fukcij Elstičost tržje 48 IV - GLAVA INTEGRALNI RAČUN 9. NEODREĐENI INTEGRAL OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA NEODREĐENI INTEGRAL TABLICA NEODREĐENIH INTEGRALA OSNOVNIH FUNKCIJA OSNOVNA PRAVILA INTEGRACIJE INTEGRACIJA RACIONALNIH FUNKCIJA INTEGRACIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA INTEGRACIJA ALGEBARSKIH IRACIONALNOSTI PRIMENA INEGRALNOG RAČUNA 7. određei itegrl 7.. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA ODREĐENI INTEGRAL 7.. OSNOVNE TEOREME VEZANE ZA ODREĐENI INTEGRAL NESVOJSTVENI INTEGRAL 8.4. PRIMENA ODREĐENOG INTEGRALA 85

7 V - GLAVA ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE. ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE 9.. EKSPERIMENTI SA SLUČAJNIM ISHODIMA - SLUČAJNI DOGAĐAJI 9.. POJAM VEROVATNOĆE USLOVNE VEROVATNOĆE - NEZAVISNOST FORMULA TOTALNE VEROVATNOĆE I BAJESOVA FORMULA SLUČAJNE PROMENLJIVE Jedodimeziole slučje promeljive Višedimeziole slučje promeljive Mrgile i slučje rspodele Nezvisost slučjih promeljivih Numeričke krkteristike slučjih promeljivih Disperzij slučjo promeljive.5.7. Fukcij rspodele slučje promeljive Slučje promeljive koje se jčešće koriste Korelcij dve slučje promeljive Zkoi velikih brojev. Cetrl grič vredost 5 VI - GLAVA ELEMENTI TEORIJE STATISTIKE. UVOD U STATISTIKU 7.. STATISTIČKO POSMATRANJE, PRIKUPLJANJE I PRIKAZIVANJE PODATAKA 8.. O STATISTIČKIM SERIJAMA 9.3. STATISTIČKE TABELE, POLIGONI I HISTOGRAMI 3.4. MERE Sredje vredosti Mere odstupj i cetrli mometi Mere oblik 4.5. IZBOR SLUČAJNOG PROSTOG UZORKA 4.6. OCENE PARAMETARA INTERVALI POVERENJA TESTIRANJE STATISTIČKIH HIPOTEZA 48

8 .9. PIRSONOV χ TEST 57.. METOD NAJMANJIH KVADRATA 6.. ODREĐIVANJE REGRESIONIH LINIJA POMOĆU UZORKA 64 VII - GLAVA FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA 3. FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA PROCENTNI RAČUN PROMILNI RAČUN PROST INTERESNI RAČUN SREDNJI ROK PLAĆANJA ESKONTOVANJE JEDNAKOST EFEKATA SLOŽENI INTERESNI RAČUN ELEMENTI OSIGURANJA OSIGURANJE KAPITALA UPLATOM MIZE MEŠOVITO OSIGURANJE OSIGURANJE VIŠEKRATNIM PREMIJAMA 33 LITERATURA 39

9

10 I - GLAVA LINEARNA ALGEBRA DETERMINANTE POJAM MATRICE OPERACIJE SA MATRICAMA RANG MATRICE INVERZNA MATRICA SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA I METODE ZA NJIHOVO REŠAVANJE HOMOGENI SISTEM LINEARNIH JEDNAČINA MATRIČNI METOD CILJEVI UČ ENJA Kd ovo poglvlje proučite zćete:. št su mtrice,. defiišete mtriče opercije, 3. št su determite i kko se oe izrčuvju, 4. d defiišete i koristite iverze mtrice, 5. kko izgledje sistemi lierih jedči, 6. rešvte sisteme lieih jedči rzličitim metodm. - -

11 . DETERMINANTE.. DEFINICIJA DETERMINANTE DRUGOG I TREĆEG REDA Rešvjući sistem od dve liere jedčie s dve epozte () + =b, + =b ekom od poztih metod (recimo, metodom jedkih koeficijet) dolzimo do sledećeg rešej h = h, uz pretpostvku d je -. Lko se uočv d su imeioci u ovim rzlomcim isti i d egzisteciju jedistveog rešej određuje čijeic d li je - ili e. Zbog tog se ovj broj zove determit. Pošto sistem () im dve jedčie s dve epozte, ovu determitu ćemo zvti determitom drugog red. Dkle, možemo dti sledeću defiiciju: Defiicij. Broj D= - se zpisuje u obliku sledeće šeme D = i ziv se determit drugog red. Brojevi ij (i=,; j=,) se zivju elemetim determite. Poređi su u dve vrste i dve koloe. Pri tome smo koristili z svki elemet (isto ko i u - -

12 sistemu () z koeficijet uz epoztu) dv ideks, pri čemu prvi ideks ozčv vrstu u kojoj se elemet lzi, drugi ideks ozčv kolou u kojoj se elemet lzi (kod sistem prvi ideks ozčv jedčiu u kojoj je koeficijet, drugi uz koju epoztu stoji koeficijet, dok slobod čl im jed ideks - ozku jedčie u kojoj je). Do logog zključk se dolzi i kod rešvj sistem =b, =b, =b 3. i logo djemo defiiciju determite trećeg red. Defiicij. Broj D= zovemo determitom trećeg red i zpisujemo u sledećem obliku: 3 D = O PARNIM I NEPARNIM PERMUTACIJAMA PRIRODNIH BROJEVA Posmtrjmo prvih prirodih brojev,,3,...,. Njih možemo rzmeštti rze čie. Defiicij 3. Sve moguće rzmeštje ovih brojev zovemo permutcijm

13 Permutciju (,,3,...,) u kojoj su brojevi poređi po veličii zovemo prirodom ili osovom permutcijom. Stv. Broj permutcij od rzličitih elemet je!. Dokz: Dokzujemo mtemtičkom idukcijom. Z = tvrđeje je tčo, jer jed elemet im smo jed rzmeštj i!=. Pretpostvimo d je tvrđeje tčo z - brojev, tj. d je broj jihovih permutcij (-)!. Dokžimo d je tvrđeje tčo i z brojev. Postvimo broj prvo mesto i prvimo sve moguće rsporede od preostlih - brojev - im ih (-)! po pretpostvci. Postvimo sd drugo mesto, ostle brojeve rsporedimo sve moguće čie preostlih - mest, opet immo (-)! permutcij. Produžujući tko do zdjeg -tog mest dolzimo do zključk d od rzličitih brojev (elemet) immo (-)!=! permutcij. Defiicij 4. U ekoj permutciji brojev, dv broj čie iverziju ko isu u svom prirodom poretku, tj. ko veći broj stoji ispred mjeg broj. N primer, u permutciji (3,,,4,5) immo dve iverzije: 3 ispred i 3 ispred. Permutciju zovemo prom ko je ukup broj iverzij pr broj (ulu tkođe ovde smtrmo prim brojem), eprom ko je ukup broj iverzij epr broj. Tko su (,,3), (,3,) i (3,,) pre permutcije, (,3,), (,,3) i (3,,) epre permutcije. Stv. Prome mest dv elemet pru permutciju prevodi u epru i obrto

14 Dokz: Dokz izvodimo u dve etpe: () Posmtrjmo specijl slučj kd su u permutciji (,,..., k, k+,..., ) zmeili mest susedi k i k+, tj. posmtrmo ovu permutciju (,,..., k+, k,..., ). Pri tkvoj promei broj iverzij elemet k i k+ u odosu ostle elemete permutcije isti je u ob slučj. Pri tome može biti k > k+ p će u ovoj permutciji broj iverzij biti smje z jed, ko je k < k+, od će u ovoj permutciji broj iverzij biti poveć z jed, što dokzuje stv. () Nek mejju mest elemeti k i m, pri čemu između jih u permutciji (,..., k,..., m,..., ) im s elemet. Dokz izvodimo tko što mejmo mesto elemetu k, zmejujući g upred s susedim s+ put do promee s elemetom m, ztim mejmo mesto elemetu m zmeom s susedim u obrtom smeru dok e dođemo do mest gde je bio elemet k, tj. s put. U ovoj permutciji (,..., m,..., k,..., ) smo tko imli ukupo s+ prome prosti, eprosti, što dokzuje stv..3. DETERMINANTE PROIZVOLJNOG REDA Posmtrjući determitu trećeg red ( isto i drugog red) primetimo prvo d su svi sbirci, proizvodi tčo od po tri elemet uzeti iz svke vrste i svke koloe po jed, d prvi ideksi čie osovu permutciju, d drugi ideksi z rzličite sbirke čie rzličite permutcije i d proizvod im tčo ooliko koliko i permutcij od tri elemet, d proizvodi čiji drugi ideksi čie pru permutciju ulze u zbir s zkom +, ko čie epru permutciju, s zkom -. Ove zkoitosti ćemo uopštiti d bi defiisli determitu proizvoljog red. Defiicij 5. Determit -tog red je broj koji je predstvlje kvdrtom šemom od -vrst i -kolo i koji predstvlj zbir od sbirk koji su proizvodi od po elemet uzetih tčo po jed iz svke vrste i svke koloe. Sbirci čiji drugi ideksi čie pru permutciju ulze u zbir s zkom +, ko čie epru permutciju, s zkom -, pri čemu prvi ideksi čie osovu permutciju

15 Determitu red zpisujemo u obliku sledeće šeme: D =, i to je broj koji se može i ovko zpisti gde je ((,,..., )) p k k k pk ( ) ( ),..., k k k,..., k, D= ( k,..., k ).4. OSOBINE DETERMINANATA ( k k k ) ( k k k ) ko je,,..., epr permutcij = ko je,,..., pr permutcij Determite proizvoljog red imju čitv iz zjedičkih osobi. Ovde ćemo vesti jvžije, dokzti smo jedu rdi ilustrcije. ) Vredost determite se e mej kd vrste pređu u koloe, odoso koloe u vrste. ) Ako u determiti promee mest dve vrste (koloe), determit mej smo zk. 3) Vredost determite s dvem jedkim vrstm (kolom) je jedk uli. 4) Ako svi elemeti jede vrste (koloe) sdrže zjedički možitelj, od je o čiilc determite. 5) Vredost determite s dvem proporciolim vrstm (kolom) jedk je uli

16 6) Ako su svi elemeti eke vrste (koloe) zbirovi od po sbirk, od je determit jedk zbiru determit u kojim su elemeti odgovrjućih vrst (kolo) prvi, odoso drugi, odoso -ti sbirci, dok su elemeti u ostlim vrstm (kolom) isti ko u polzoj determiti. 7) Vredost determite se e mej ko jedoj vrsti (koloi) dodmo odgovrjuće elemete eke druge vrste (koloe) pomožee jedim istim brojem. Dokz osobie : Nek su D = i k k... k D = ,... m m m gde je D determit stl od determite D promeom mest k-toj i m-toj vrsti (k<m). Po defiiciji determite immo d je pk ( ) ( ),..., k k k,..., k. D= ( k,..., k ) Ako u permutciji (s,...,s m,...,s k,...,s ) promee mest s k i s m mej se prost - eprost permutcije i td je p ( ) (( s )),..., sm,..., sk,..., s D=,..., ( s,..., s,..., s,..., s ) m k s s s i posle promee mest čiiocim k-tom i -tom mestu (pri čemu se proizvod e mej), determit D postje - 7 -

17 p ( ) (( s )),..., sk,..., sm,..., s D= ( s,..., s,..., s,..., s ) k m s ksk msm s ovj zbir desoj stri je jedk determiti D, tj. vži D=D..5. IZRAČUNAVANJE VREDNOSTI DETERMINANATA.5.. Izrčuvje vredosti determit drugog red Prem defiiciji iz tčke.. immo d je =. Prem tome, vredost determite drugog red dobij se ko se od proizvod elemet s glve dijgole oduzme proizvod elemet s sporede dijgole. Primer : = = Primer : si cos -cos si ( ) = si cos =

18 .5.. Izrčuvje vredosti determit trećeg red Vredost determite trećeg red može se izrčuti pomoću Srusovog prvil. To se prvilo sstoji u tome što se kvdrtoj šemi dopišu s dese stre prv i drug kolo, ztim se pomože po tri elemet koji leže istoj dijgoli. Proizvod elemet s glve (sporede) dijgole i joj prlelih biće pozitiv (egtiv). Algebrski zbir ovko dobijeih člov dje vredost determite trećeg red. Primer 3: = =-. Često se vredost determite trećeg red izrčuv ko lgebrski zbir proizvod od po tri elemet uzet po sledećoj šemi: Zk + Zk - S zkom + uzimju se elemeti koji leže glvoj dijgoli ( 33 ) i u temeim dv jedkokrk trougl čije su osovice prlele s glvom dijgolom. S zkom - uzimju se elemeti koji leže sporedoj dijgoli ( 3 3 ) i u temeim dv jedkokrk trougl čije su osovice prlele sporedoj dijgoli

19 Primer 4: = = Rzlgje determite po elemetim proizvolje vrste (koloe) Ako iz determite -tog red izostvimo i-tu vrstu i j-tu kolou (u čijem se preseku lzi elemet ij ) dobijmo ovu determitu red - koju zovemo miorom polze determite i koj se ozčv s D ij, koj odgovr elemetu ij. Proizvod (-) i+j D ij ozčvmo s A ij i zovemo lgebrskom dopuom elemet ij ili kofktorom elemet ij. Bez dokz vodimo sledeću teoremu, vžu z izrčuvje vredosti determit. Stv 3. Determit -tog red je jedk zbiru proizvod elemet proizvolje vrste (koloe) i jim odgovrjućih kofktor. Dkle, rzvije po elemetim m-te vrste, determit D izgled ovko: D= m m m3... m = m A m + m A m m A m Ov teorem, pozt ko Lplsov teorem, omogućv izrčuvje vredosti determite -tog red preko determit (-)-red, koristeći se još i osobim determit, izrčuvje vredosti determite -tog red se može svesti izrčuvje vredosti smo jede determite (-)-red, što će biti objšjeo primeru: - -

20 Primer 5: Izrčuti 3 3 D = 3 Rešeje: Rzvijjući prem Lplsovoj teoremi po elemetim prve vrste dobijmo: D = ( ) ( ) 3 + ( ) 3 + ( ) i rčuje ove determite smo sveli rčuje četiri determite trećeg red. Rezultt posle rčuj pomoću Srusovog prvil determit trećeg red je D=-. Primetimo d ko bi u prvoj vrsti eki elemet bio jedk uli, td tu determitu trećeg red e rčumo (jer je =). Dkle, ko koristimo osobie determit u ekoj vrsti (koloi) dobijmo d su svi elemeti izuzev jedog ule, od se rčuje determit četvrtog red svodi rčuje jede determite trećeg red. U ovom slučju pomožimo prvu kolou s -, p dodjmo drugoj, dobijmo: 3 D = 3 - -

21 U ovoj determiti pomožimo prvu vrstu s - p dodjmo drugoj vrsti, td je 3 D = 3 i rzvijemo po elemetim druge koloe: ( ) + D = 3 =. - -

22 . MATRICE.. DEFINICIJA MATRICE Mtric tip m je skup od m brojev (i=,,3,...,m; j=,,3,...,) ili ekih drugih mtemtičkih veliči, rspoređeih u m vrst i kolo u obliku prvougoe šeme (tblice) koju stvljmo u uglstu zgrdu ij m m... m () Brojevi ij (i=,,3,...,m; j=,,3,...,) mtrice () su jei elemeti. Prvi ideks (i) obeležv vrstu, drugi (j) kolou u kojoj se elemet lzi. U opštem slučju elemeti mtrice mogu biti bilo koji mtemtički objekti: reli brojevi, kompleksi brojevi, fukcije, vektori itd. Smu mtricu ozčvmo velikim slovim A, B, C,... Često ćemo, d bi uprostili pisje mtric, mtricu () ozčvti krtko i sledeći či ij m, Horizotli redovi se zivju vrste, vertikli koloe. Tko, primer, elemeti i i i3... i mtrice () čie jeu i-tu vrstu, elemeti jeu j-tu kolou. j j 3j. mj - 3 -

23 .. NEKI POSEBNI OBLICI MATRICA Broj vrst (m) i broj kolo () u mtrici može biti proizvolj, pri čemu broj vrst može biti i mji i jedk i veći od broj kolo. Posebo vžu ulogu imju kvdrt mtric, ztim mtric-vrst, mtric-kolo, dijgol i jediič mtric. Defiicij. Ako je u mtrici () broj vrst jedk broju kolo (m=), mtric je kvdrt i to, kko se od kže, red. U kvdrtoj mtrici... A=... () elemeti čie glvu dijgolu mtrice, elemeti (- )... sporedu dijgolu mtrice. S kvdrtom mtricom () vezuje se determit čiji su elemeti, elemeti kvdrte mtrice A. Nziv se determit kvdrte mtrice i ozčv se deta, tj det A=... Ako je determit kvdrte mtrice A rzličit od ule (deta ) mtric A je regulr, ko je jedk uli, o je sigulr

24 Defiicij. Mtric-vrst je mtric koj im jedu vrstu (m=), proizvoljo kolo (proizvoljo), tj. mtric oblik [ 3... ]. Defiicij 3. Mtric-kolo je mtric koj im jedu kolou (=), proizvoljo vrst (m-proizvoljo), tj. mtric oblik 3.. m Defiicij 4. Mtric s proizvoljim brojem vrst i kolo čiji su svi elemeti ule ziv se ul mtric. U lgebri mtric tkv mtric im ulogu ule i ozčv se s. Defiicij 5. Kvdrt mtric, čiji su svi elemeti v glve dijgole ule, zove se dijgol mtric. Zpisuje se u obliku

25 Defiicij 6. Dijgol mtric čiji su svi elemeti glvoj dijgoli jediice, tj. mtric..... ziv se jediič mtric i obeležv se I ili E. U slučju ko je red jediiče mtrice obeležvćemo s I ili E. Jediič mtric pri možeju mtric im u lgebri mtric istu ulogu ko i obič jediic u lgebri brojev..3 OSNOVNE OPERACIJE SA MATRICAMA.3. Jedkost mtric Defiicij 7. Z dve mtrice A= ij m, i B= b ij p,q kžemo d su jedke kd su oe istog tip (m=p, =q) i kd imju jedke odgovrjuće elemete. Drugim rečim, ko su mtrice ko i smo ko je: A = ij i B bij = tip m, oe su jedke ij =b ij (i=,,...m; j=,,...)

26 .3.. Trspoov mtric Ako u mtrici A vrste pređu u koloe, odoso koloe u vrste, e mejjući pri tome redosled, dobij se trspoov mtric mtrice A, koj se ozčv A T. Prem tome, ko je m... A= od je A T =... m m m.3.3. Sbirje i oduzimje mtric Defiicij 8. Pod zbirom dve mtrice istog tip m podrzumevmo mtricu istog tip m čiji su elemeti jedki zbiru odgovrjućih elemet mtric koje se sbirju. Drugim rečim, ko su mtrice A+ B = C = + b ij ij m,. A = ij i B bij = tip m, od je Alogo defiišemo zbir kočog broj mtric istog tip m. Polzeći od defiicije () ije teško pokzti d z sbirje mtric vži sledeći stv. Stv. Sbirje mtric im osobie: A+B=B+A (komuttivost), (A+B)+C=A+(B+C) (socijtivost), A+=+A=A

27 Rzlik dve mtrice defiiše se logo: A-B=[ ij -b ij ] m, gde su A i B mtrice tip m. Defiicij 9. Dve mtrice A i B su istog tip m čiji je zbir ul mtric, tj. kd je A+B= zovu se suprote. Iz A+B= sledi d je ij +b ij =, tj. b ij =- ij, što zči d su elemeti suprotih mtric suproti brojevi. Z mtricu B čiji su svi elemeti suproti elemetim mtrice A, pišemo B = bij = ij = A Možeje mtrice brojem Defiicij. Proizvod mtrice A= ij m, i broj k je mtric tip m čiji su elemeti jedki proizvodu odgovrjućih elemet mtrice A i broj k, tj. A k = k A= k. ij m, Z operciju možej mtrice brojem vže zkoi možej dti sledećim stvom. Stv. Opercij možej mtrice brojem im osobie s (ka)=(sk)a=k(sa), k(a+b)=ka+kb, (k+s)a=ka+sa gde su k,s brojevi i A, B mtrice istog tip. Tkođe je očigledo d je. A=A, A. = (ul mtric)

28 .3.5 Možeje mtric Dve mtrice A= ij m, i B = b ij p,q se mogu pomožiti jed s drugom smo u slučju kd je broj kolo prve mtrice u proizvodu jedk broju vrst druge mtrice u proizvodu. N tj či, z gore pise mtrice A,B proizvod AB možemo izrčuti smo u slučju kd je =p, proizvod BA smo kd je q=m. Defiicij. Proizvod AB mtric A= [ ik ] m, i B= b kj,p je mtric C = c ij m,p, čiji su elemeti c ij određei sledećom formulom c = b = b + b b ij ik kj i j i j i j k = ( i= m ),,..., ; j=,,...,p. Prem tome, obrzovje elemet c ij (elemet iz i-te vrste i j-te koloe mtrice C=AB) je dost jedostvo: uočvju se i-t vrst mtrice A i j-t kolo mtrice B:... b j b j... i i i3... i... b3j bj... ztim se svki elemet i-te vrste moži s odgovrjućim elemetom j-te koloe i dobijei proizvodi sberu. Pri tome su odgovrjući elemeti i i b j, i i b j,...,i i i b j. Primetimo d mtric C=AB im toliko vrst koliko ih im u prvom fktoru (mtrici A) i toliko kolo koliko ih im u drugom fktoru (mtrici B) proizvod AB: A m B p =C mp - 9 -

29 Primer : Nći proizvod AB ko je A =, 3 B = 3 3 Rešeje: AB = = =. 5 6 Iz defiicije proizvod dve mtrice proizilzi d z proizvod dve mtrice uopšte uzevši e vži zko komuttivosti, tj. AB BA. U stvri, ko prvo, može se desiti d proizvod AB im smisl, d je proizvod BA emoguće izrčuti (broj kolo mtrice A jedk je broju vrst mtrice B, o broj kolo mtrice B ije jedk broju vrst mtrice A); drugo, i ko je moguće ći ob t proizvod, oi u opštem slučju eće biti jedki. Defiicij. Z dve kvdrte mtrice jedog te istog tip čiji proizvod e zvisi od poretk čiioc (AB=BA) kžemo d su komuttive. - -

30 Ostle osobie možej mtric iskze su sledećim stvom koji vodimo bez dokz. Stv 3. Možeje mtric im sledeće osobie: () (AB)C=A(BC)=ABC () A(B+C)=AB+AC (3) (A+B)C=AC+BC (4) AI=IA=A. Primer : Z mtrice A = i B = proizvod AB em smisl; međutim proizvod BA možemo ći: BA = + + =. + + Primer 3: Z mtrice - A =, B= 3, 3 moguć su ob proizvod: - -

31 ( ) ( ) AB BA = = = = Mtrice AB i BA e smo d isu međusobo jedke, već su i rzličitih tipov. Primer 4: Mtrice su komuttive, jer je tj. AB=BA. Primer 5: Z dijgole mtrice A=, B= je = = B 4 3 A, , = = = = BA AB b b b b - -

32 b b AB=BA= b b Prem tome, dijgole mtrice istog tip () uvek su komuttive. Njihov proizvod je dijgol mtric čiji su elemeti jedki proizvodu dijgolih elemet mtrice koje se može, i tip je ()..4. INVERZNE MATRICE Defiicij 3. Iverz mtric A - kvdrte mtrice A je tkv mtric koj pomože s A bilo slev bilo zdes dje jediiču mtricu I, tj. AA - = A - A=I. Iz defiicije 3 sledi d je svk kvdrt mtric komuttiv s svojom iverzom mtricom. Sledeći - osovi stv koji vodimo bez dokz dje m odgovor pitje koje mtrice imju iverzu mtricu, i dje jed od či formirj iverze mtrice. Stv 4. Svk regulr mtric A im jedozčo određeu iverzu mtricu A - čiji su elemeti ' ik određei formulom Aki ' ik = ( i=,,...,; k=,,..., ), det A gde je kofktor elemet ' ik determite det A. A ki - 3 -

33 Prem tome, iverz mtric kvdrte mtrice A red je A A A A 3... A A A A... A det A... A* det A A A A 3... A 3 = = gde mtricu A* zivmo djugovom mtricom mtrice A. Primer 6: Dt je mtric 4 A = Ispitti d li dt mtric im iverzu mtricu A -, i ko je im ći je. Rešeje: Determit mtrice A je jedk -. Prem tome, dt mtric A je regulr i prem stvu 4 im iverzu mtricu A -. Nđimo kofktore A ij elemet determite deta: A =8 A =- A 3 =- A = A =- A 3 = A 3 =-6 A 3 = A 33 =- N osovu stv 4 immo - 4 -

34 A A A A 3... A A A A... A det A... det A A A A 3... A 3 = = Npomeimo d z bilo koji prirod broj m vži gde je A kvdrt mtric. A -m =(A - ) m,.5. RANG MATRICE Defiicij 4. Ako se u mtrici A tip m izostve p ( m ) vrst i q ( ) kolo, tko d preostli elemeti čie kvdrtu mtricu tip (m-p-q), od se t kvdrt mtric ziv kvdrt submtric mtrice A, je determit mior mtrice A. Defiicij 5. Mtric A im rg r ko među jeim miorim postoji br jed r-redi mior rzličit od ule, dok su svi miori višeg red (ko ih im) jedki uli. Rg ul-mtrice je. Ako je r rg mtrice A, to se ozčv rg A=r

35 Primer 7: Odrediti rg mtrice A = Rešeje: Prvo, izrčujmo sve miore četvrtog red dte mtrice A (u ovom slučju jvišeg red). Pošto mtric A im četiri vrste i pet kolo, to će o imti C 5 = ( 4 ) = = mior četvrtog red, koji će se jed od drugog rzlikovti smo kolom: 3 5 D = =, D = =, D 3 = =, D = =, D 5 = = Sve ove determite jedke su uli jer je u svkoj od jih četvrt vrst proporciol trećoj. Prem tome, rg mtrice A ije četiri

36 Ispitjmo sd, miore trećeg red. Kko je dobij se rg A=3. 3 = 9, - Broj mior rzličitog red dte mtrice običo je vrlo veliki. Ako je m<, mior jvišeg red m biće ( ), ko je <m, mior jvišeg red biće m ( m ). Zto određivje rg mtrice osljjući se eposredo izrčuvje mior dte mtrice običo zhtev dost rčuj, p se z određivje rg mtrice koriste i drugi metodi. Jed od jih se bzir sledećem stvu koji bez dokz vodimo. Stv 5. Rg mtrice se e mej ko se izvrše sledeće opercije: () Rzme mest dve vrste (koloe); () Dodvje elemetim jede vrste (koloe) elemet eke druge vrste (koloe), pošto su prethodo pomožei jedim brojem; (3) Možeje elemet jede vrste (koloe) jedim brojem rzličitim od ule; (4) Sve vrste zmee kolom. Opercije pod -4 zovemo elemetrim trsformcijm mtrice. Defiicij 6. Z dve mtrice koje se mogu trsformisti jed u drugu kočim brojem elemetrih trsformcij kže se d su ekvivlete. Ako su dve mtrice A i B ekvivlete, to se ozčv A~B

37 Stv 6. Pri izostvljju jede vrste (koloe) eke mtrice rg mtrice se e mej ko i smo ko je dotič vrst (kolo) lier kombicij ekih (ili svih) preostlih vrst (kolo). U protivom slučju rg mtrice se smjuje z jed. Određivje rg mtrice... () A= m m... m pomoću elemetrih trsformcij mtrice se sstoji u tome d se pomoću elemetrih trsformcij dt mtric () svede ekvivletu mtricu - specijlog oblik: () B b b... b r... b b... b... b b rr... b r = r (r ) u kojoj su svi "dijgoli" elemeti,,..., rr rzličiti od ule, elemeti ispod "dijgole" jedki uli. Dkle, rg mtrice B je jedk broju r, kko je mtric B ekvivlet s mtricom A, immo d je rg A=rgB=r. Smo svođeje mtrice A oblik () specijli oblik () vrši se ustljeim postupkom: Nek je mtric A oblik (). Pre sveg pomeimo d ko se u procesu trsformisj mtrice A pojvi vrst koj je lier kombicij ekih drugih vrst, ili vrst čiji su svi elemeti jedki uli, od se t vrst osovu stv 6 može izostviti. N tj či, u svkoj preostloj vrsti postoji br jed elemet koji ije jedk uli. Koristeći to lzimo u prvoj vrsti mtrice A elemet j koji je rzličit od ule. Rzmeom mest (ko - 8 -

38 je j>) prve i j-te koloe dovodimo tj elemet ( j ) prvo mesto u prvoj vrsti. N tj či možemo pisti. Dodvjem svkoj vrsti počevši od druge, prvu vrstu pomožeu s odgovrjućim brojem (z i-tu vrstu o je i ) dobijmo mtricu oblik ,,, A = 3..,...,,, m m3... m u kojoj su svi elemeti prve koloe izuzev jedki uli. Sd, u drugoj vrsti mtrice A lzimo elemet, k koji je rzličit od ule. Pomoću rzmee, mest kolo (ko je k>) tj elemet ( k ) dovodimo drugo mesto u drugoj vrsti; dodvjem svkoj vrsti počevši od treće, drugu vrstu pomožeu s odgovrjućim brojem, dobijmo mtricu oblik Primer 8: ,,, 3...,,,, A = ,,,, m3... m Produžujući postupk, dobijmo mtricu oblik (). Odrediti rg mtrice = A ~ α α

39 (Elemetim druge vrste dodti su elemeti prve vrste pomožei s -3; elemetim treće vrste dodti su elemeti prve vrste pomožei s -3; elemetim četvrte vrste dodti su elemeti prve vrste pomožei s -5). U zdjoj mtrici treć vrst je lier kombicij druge vrste te se može izostviti, p dobijmo A~ ~ α α-4 (Elemetim treće vrste dodti su elemeti druge vrste pomožei s -). Ako u zdjoj mtrici pet i treć kolo rzmee mest dobijmo: A~ α-3 Rg posledje mtrice, smim tim i dte je 3, z rg je z α = 3. α 3, odoso je - 3 -

40 3. SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA 3.. OSNOVNI POJMOVI Defiicij. Sistem od m lierih jedči s epoztih,,..., čie jedčie =b, =b, () m + m m =b m, gde su ij,b i (i=,,...,m; j=,,...,) dti brojevi, pri čemu se brojevi ij zivju koeficijetim uz epozte, b i slobodi človi sistem jedči. Defiicij. Rešejem sistem lierih jedči () zivmo vredosti iz uređee -torke (c, c,...c ) z koje jedčie sistem prelze u idetitete, posle zmee epoztih i odgovrjućim vredostim c i, tj: c + c c b, c + c c b, m c + m c m c b m. Defiicij 3. Z sistem () kže se d je sgls ko im br jedo rešeje; u protivom, sistem je esgls. Sgls sistem je određe ko im smo jedo rešeje, eodređe ko im više od jedog rešej

41 Defiicij 4. Z dv sistem lierih jedči s istim brojem epoztih kžemo d su ekvivlet ko je svko rešeje jedog sistem istovremeo rešeje i drugog sistem i obrto (ili ko su istovremeo ob esgls). 3.. MATRIČNI OBLIK SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA Sistem jedči () može se pomoću mtric predstviti u obliku mtriče jedčie () AX=H, gde je A - mtric sistem, tj. mtric čiji su elemeti koeficijeti uz epozte,,..., : A =,... m m... m X - mtric-kolo čiji su elemeti epozte,,..., ; H - mtric-kolo čiji su elemeti slobodi človi b, b,..., b m ; X. =,.. b b. H =.. b Zist, kko je broj kolo mtrice A jedk broju vrst mtrice X, to možemo ći proizvod AX: - 3 -

42 AX m + m m = Elemeti dobijee mtrice-koloe AX su leve stre jedči sistem (), te se osovu defiicije jedkosti dve mtrice, sistem () može pisti u obliku mtriče jedčie () REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA Mtričo rešeje i Krmerove formule Posmtrjmo sistem od lierih jedči s epoztih =b, =b, () =b, ili u mtričom obliku () AX=H, gde je mtric sistem A - kvdrt mtric red. Pretpostvimo d je determit mtrice A rzličit od ule, tj. A m m... m = Td A im iverzu mtricu A - i možejem obe stre jedčie () slev s A -, dobijmo A - (AX)=A - H

43 Kko je A - (AX)=(A - A)X=IX=X to je X=A - H i ovj či rešvj zovemo mtričo rešeje sistem (). Tkođe iz odoso dobijmo (3). =.. det A = det A A A... A X=A - H, A... A A... A A... A b b. =.. b Ab + Ab Ab Ab Ab... +Ab Ab i + Ab i Aib Ab + Ab Ab i = ( A ib + Aib Aib) det A Di = Ab ki k = ( i=,,..., ), deta D k = gde je D - determit mtrice sistem () (ziv se i determit sistem), D i - determit dobije iz determite D kd se koeficijeti i, i,..., i uz epoztu i (tj, i-t kolo u determiti D) zmee slobodim človim b, b,..., b

44 Dobijee formule (3) zivju se Krmerove formule. Ovim formulm iskzo je Krmerovo prvilo: Ako je determit sistem () rzličit od ule, sistem je sgls i im jedistveo rešeje. Vredost epozte je rzlomk čiji je imeilc determit sistem, brojilc determit dobije iz determite sistem kd se umesto koeficijet uz epoztu stve slobodi človi sistem. Formul X=A - H predstvlj mtriči oblik Krmerovih formul Di i =. D Pri izvođeju Krmerovih formul pretpostvili smo d je determit sistem (D) rzličit od ule. Ako je D=, td stup jed od sledećih slučjev: () sistem je esgls i em rešej, () sistem je sgls, li eodređe (im više od jedog rešej) Gusov lgoritm Nek je dt sistem jedči =b, =b, () =b 3,... m + m m =b m. Td sledeće trsformcije prevode dti sistem u ekvivlet i zivju se elemetrim trsformcijm: prome mest dvem jedčim u sistemu, možeje proizvolje jedčie sistem brojem rzličitim od ule i dodvje levoj i desoj stri proizvolje jedčie sistem odgovrjuće stre eke druge jedčie tog sistem pomožee proizvoljim brojem

45 Dti sistem () posle kočog broj prime elemetrih trsformcij (kork) prevodimo u ekvivleti sistem zvrše forme koji možemo rešiti ili koji je kotrdiktor. Prvi kork se sstoji u uočvju jede jedčie sistem u kojoj je koeficijet uz epoztu rzličit od ule. Pomoću te jedčie u ostlim jedčim elimiišemo epoztu. Bez umjej opštosti možemo pretpostviti d je. Nepozte u drugoj jedčii se oslobđmo možeći prvu jedčiu s i dodjući je drugoj jedčii. N log či se oslobđmo epozte i u ostlim jedčim. Posle ovog prvog kork sistem je prevede u ekvivlet sistem sledećeg oblik: =b, ' +...+' =b', () ' ' 3 =b' 3, ' m +...+' m =b' m. Pri tome mogu stti sledeći slučjevi: ) Sistem (), ekvivlet sistem sistemu (), je zvrše forme, pri čemu je ek od jedči sistem dobil oblik =b' k, gde je b' k. U tom slučju je sistem (), p i sistem () kotrdiktor (emoguć). ) Sistem (), ekvivlet sistem sistemu (), je zvrše forme, pri čemu su svi koeficijeti ' ij i slobodi človi b' ij jedki uli. Td se sistem () sstoji iz jede jedčie (prve u sistemu ()). Ako su u toj jedčii svi koeficijeti, osim, jedki uli, sistem im jedistveo rešeje. U protivom sistem je eodređe. 3) Sistem () ekvivlet sistemu (), ije zvrše forme, tj. u preostlih (m-) jedči se e pojvljuje kotrdiktorost, iti su svi koeficijeti ' ij i slobodi človi b i ( i m, j ) jedki uli. U ovom slučju prelzimo drugi kork

46 Pre ego što pređemo drugi kork pomeimo d, ko smo zjedo s epoztom elimiisli još eku epoztu, kžemo d immo ekvivleti sistem () s skokom, ko se pojvljuju sve epozte (izuzevši ) d immo ekvivleti sistem bez skok. U drugom korku sistem () prevodimo u ekvivleti sistem tko što uočvmo jedu jedčiu sistem () (izuzimjući prvu) u kojoj se pojvljuje prv sledeć epozt (posle ) i primejujemo postupk ko u prvom korku. N ovj či, posle kočog broj kork (jviše (m-)) dolzimo do sistem zvrše forme koji se može rešiti. Pri tome se mestu zdje jedčie u sistemu zvrše forme može pojviti jedči s jedom ili više epoztih. Ako je jedči s jedom epoztom i pri tome u sistemu ije bilo skokov, sistem im jedistveo rešeje koje dobijmo sledeći či: Rešimo posledju jedčiu ko jedčiu s jedom epoztom p se s tim rešejem vrtimo u prethodu jedčiu (koj im dve epozte, - ) i o postje jedči s jedom epoztom -, koju rešvmo po - i vrćmo se u prethodu jedčiu koj sd tkođe postje jedči s jedom epoztom. Ovj postupk se sprovodi do prve jedčie iz koje kočo dobijmo i rešeje z epoztu. Ako je posledj jedči s više epoztih ( primer s), rešvje sistem se svodi prethodi slučj tj či što se u zdjoj jedčii (ko i u celom sistemu) fiksir (s-) epozt od oih s iz zdje jedčie, p se zdj jedči svodi jedu jedčiu s jedom epoztom. Alogo se postup i u slučju kd immo skok. U jedčii pre skok, ko i u ostlim jedčim pre je, fiksirju se sve epozte koje se e pojvljuju u redoj jedčii, izuzev jede epozte, tko d ov jedči postje jedči s jedom epoztom

47 Jso je d u ob zdj slučj sistem im beskočo mogo rešej jer "fiksirim" epoztim možemo dvti beskočo mogo rzličitih vredosti, tj. oe u rešeju sistem imju ulogu prmetr. Primer : Rešiti sistem lierih jedči = =5 +3 +α 3 =β Rešeje: (A) Rešimo sistem mtričim metodom: Sistem se može zpisti sledeći či: 3 5 =, 3 α 3 β odoso AX=B. - α--4 α- Z α 3 A = - - α-3 α-3 α α-3 α-3 α-3 i X α β+ = α 3 8 β α 3 i = α β+ =. α 3 β 8 3 = α

48 (B) Krmerovom metodom: Δ =α 3, Δ =α 3, Δ = α β+, Δ 3 =β 8 Δi i kko je i = to se dobijju ist rešej ko i (A). Δ (C) Gusovom metodom: Ako prvu jedčiu u sistemu pomožimo s (-) i dodmo drugoj, odoso prvu jedčiu pomožimo s (-) i dodmo prvoj prvu prepišemo, dobijmo ekvivlet sistem: = = + α =β 6 ( ) 3 Ako drugu pomožimo s (-) i dodmo trećoj, dobijmo ekvivlet sistem zvrše forme = = + α =β 6 ( ) 3 Mogu stupiti sledeći slučjevi: β 8 ) α 3 td je rešeje jedistveo: iz treće dobijmo 3 =, iz α 3 β 8 α β+ druge dobijmo = = i iz prve dobijmo α 3 α 3 α β+ β 8 3α 9 α+β β+ 8 α 3 = 3 = = =. α 3 α 3 α 3 α 3 ) α=3 i β 8 sistem je emoguć

49 3) α=3 i β=8 sistem se svodi = = ( α 3) 3 =β 8 i fiksirjući 3 =t immo =-t =, odoso immo beskočo mogo rešej Kroeker-Kpelijev stv Posmtrjmo sistem od m lierih jedči s epoztih =b, =b, ()... m + m m =b m. Ovj sistem se može pisti i u obliku () Nek je b b = m m m bm A m m... m = Mtricu A zivmo mtricom sistem (), mtricu B prošireom mtricom tog sistem

50 Z rg mtrice A i proširee mtrice B sistem () vži sledeći stv. Stv. Rg mtrice A i rg proširee mtrice B sistem () međusobo su jedki ko i smo ko je posledj kolo mtrice B lier kombicij ekih (ili svih) kolo mtrice A. Sd ćemo formulisti teoreme o egzisteciji rešej sistem (). Stv. - Kroeker-Kpelijev stv. D bi sistem lierih jedči () bio sgls, potrebo je i dovoljo d rg mtrice sistem () bude jedk rgu proširee mtrice tog sistem (rga=rgb). Dokz: Pretpostvimo d je sistem () sgls i d je =c, =c,..., =c, jedo od jegovih rešej. Dokžimo d je rga=rgb. Kko je, prem pretpostvci, =c, =c,..., =c jedo od rešej sistem (), to je b b.... (3) c + c c =, m m m bm tj. posledj kolo proširee mtrice B sistem () je lier kombicij svih kolo mtrice A, te je prem stvu rga=rgb. Prem tome, dokzli smo d je uslov rga=rgb potreb. Dokžimo sd d je o i dovolj, tj. d je sistem () sgls ukoliko je rga=rgb. Pošto je rga=rgb, to postoji mior, koji je bziči mior kko mtrice A, tko i mtrice B. Dkle, posledj kolo mtrice B je lier kombicij kolo bziče mtrice, odoso kolo mtrice A. To zči d postoje brojevi c, c,..., c, tkvi d je - 4 -

51 (4) b b.... c+ c c = m m m bm Upoređujući jedčiu (4) s jedčiom (), zključujemo d je c, c,..., c rešeje sistem (). Prem tome, sistem () je sgls. Stv 3. Ako je rg mtrice sglsog sistem jedk broju epoztih, sistem im jedistveo rešeje. Stv 4. Ako je rg mtrice sglsog sistem mji od broj epoztih, sistem im beskočo mogo rešej. Primer : Dt je sistem lierih jedči = = = α =β 3 4 Odrediti kd sistem im jedistveo rešeje, kd em rešeje i kd im beskočo mogo rešej

52 Rešeje: Njčešće se rg mtrice i proširee mtrice ispituju istovremeo: α β - α β 8 α β α β 5 α+ β 5 Dkle: z α - sistem im jedistveo rešeje jer je r(a)=r(b)=4; z α=- i β -5, r(a)=3 i r(b)=4 p sistem em rešeje; z α=- i β=-5, r(a)=3 i r(b)=3 p sistem im beskočo mogo rešej. Npome: Ovj postupk je prktičo isti ko Gusov postupk z rešvje sistem p se dopisivjem epoztih može ći i rešeje z sistem

53 PITANJA ZA PONAVLJANJE. Št je mtric?. Nvesti vrste mtric. 3. Defiisti mtriče opercije. 4. Št je detrmit? 5. Defisti Srusovo prvilo z izrčuvje determiti. 6. Defisti Lplsovo prvilo z izrčuvje determiti. 7. Nbrojti osove osobie determiti. 8. Št je rg mtrice i kko se određuje? 9. Defiisti iverzu mtricu.. Št je djugov mtric? KLJUČNI POJMOVI MATRICA RANG MATRICE MINOR KOFAKTOR ADJUNGOVANA MATRICA INVERZNA MATRICA DETERMINANTA SARUSOVO PRAVILO LAPLASOVO PRAVILO RANG MATRICE

54 II - GLAVA FUNKCIJE FUNKCIJE JEDNE PROMENLJIVE NIZ GRANIČNA VREDNOST NEPREKIDNOST FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH CILJEVI UČ ENJA Kd ovo poglvlje proučite zćete:. Št su fukcije jede i više promeljivih,. defiišete osobie fukcij, 3. št su iverze i složee fukcije, 4. pojm iz, 5. pojm griče vredosti, 6. pojm eprekidosti. 4.. MODUL REALNOG BROJA 4. ELEMENTI MATEMATIČKE ANALIZE Defiicij. Modulom ili psolutom vredošću relog broj zivmo eegtivi reli broj jedk broju ko je, odoso jedk broju - ko je <

55 Neposredo iz defiicije modul sledi d je z svko R =, odoso. Geometrijski, modul relog broj predstvlj rstojje tčke koj odgovr tom broju brojoj prvoj do tčke koj odgovr broju ul. Tko je 4 = 4, = itd. Sd možemo zključiti d je ejedkost < ε, (ε >) ekvivlet s ejedkostim ε< <ε. Može se pokzti d je ejedkost <ε ekvivlet s ejedkostim ε< < +ε. Z module relih brojev možemo iskzti ekoliko jedostvih stvov. Stv. Modul zbir relih brojev ije veći od zbir modul sbirk, tj. + b + b. Dokz: D bi dokzli d je + b + b rzlikujemo dv slučj. Prvi: + b. Td je + b = + b. Kko je i b b, to je i + b + b, p je + b + b. Drugi: +b<. Td je + b = ( + b) = ( ) + ( b) + b. Jedkost vži ko su i b istog zk. Stv. Modul rzlike ije mji od rzlike modul umjeik i umjioc. Dokz: Ako je -b=c, td je =b+c, p je = b+ c b + b. Odvde je b b. Tkođe vži i ejedkost b b. Stv 3. Modul proizvod jedk je proizvodu modul čiilc, tj. b = b

56 Dokz: Ako je b, td je b = b. Pri tome može biti, b ili, b. U prvom slučju je = i b = b, p je jso b = b = b. U drugom slučju = i b = b, p je jso b = b = ( ) ( b) = b. Ako je b <, td može biti <, b<o ili >, b<. Pri tome je b = ( b ). U prvom slučju je = i b = b, u drugom =, i b = b p je jso b = ( ) b= b u prvom, odoso ( ) slučju. b = b= b u drugom Stv 4. b = ( b ). b Dokz: b Iz = b ( b ) Npome: sleduje = b = b, odoso =. b b b b Koristeći se mtemtičkom idukcijom i stvom, može se dokzti i uopšteje stv :

57 4.. NEKI PODSKUPOVI SKUPA REALNIH BROJEVA I NEKE NJIHOVE OSOBINE Defiicij. Ako su b, R, <b, td podskupove skup relih brojev defiise sledeći či: b, = b [ ] { } ( b, ] = { < b} [ b, ) = { < b} ( b, ) = { < < b} zovemo redom: ztvoreim itervlom (segmetom), poluotvoreim itervlom s, lev, poluotvoreim itervlom s, des, odoso otvoreim itervlom (itervlom). Defiicij 3. Ako je R, td podskupove relih brojev defiise sledeći či:, + = > i ( ) { } ( ) = { < } [ + ) = { } (-,] = { }, -,, odoso, i zovemo redom: beskočim otvoreim itervlim, odoso beskočo ztvo-reim itervlim. Pored ovih ozk često ćemo i z skup svih relih brojev upotrebljvti ozku (, + ). U dljem tekstu pred pomeute itervle krtko ćemo zvti itervlim, uvek kd je iz jihove ozke jso o kom je itervlu reč. Defiicij 4. Skup X R zivmo ogričeim odozgo, ko postoji rel broj b, tkv d je b z svko X. Z broj b kžemo d je gorje ogričeje skup X

58 Defiicij 5. Skup X R zivmo ogričeim odozdo, ko postoji rel broj, tkv d je z svko X. Z broj kžemo d je doje ogričeje skup X. Defiicij 6. Skup ogriče odozdo i ogriče odozgo zovemo ogričeim. Z skupove koji isu ogričei kžemo d su eogričei. Npomeimo,,(,, b,, b, ogričei odozgo, d su skupovi,,, + ), b,, b, ogričei odozdo. Jso, ogričei skupovi su b R, <b. d su skupovi ( ) ] ( ) [ ] ( ) [ ( ) [ ] ( b, ),[ b, ),( b, ] z proizvolje, Defiicij 7. Z broj M X R kžemo d je jveći elemet skup X ko z svko X, M. Alogo z broj m X R kžemo d je jmji elemet skup X ko z svko X, m. Iz defiicije sledi d ztvorei itervl im jveći i jmji elemet; isto tko je jso d [, ), b, em b im jmji ( b ] jveći elemet. D [ ) jveći elemet (isto ko i (,b)), logo i d ( b, ] odoso (,b) emju jmji elemet, sleduje eposredo iz sledećeg rsuđivj: Pretpostvimo d [ b, ) im jveći elemet i d je to b. Jso b < b po defiiciji ovog itervl. Nek je Pri tome je b b o = ε. b b b+ b b+ b o b+ε= bo+ = < = b

59 p je i broj b [ b) +ε,, što je suproto pretpostvci d je b jveći elemet. Odvde sledi zključk d ogričei skupovi relih brojev e morju imti jveći iti jmji elemet. Defiicij 8. Broj M zivmo supremumom skup X Rko je (I) M z X (II) ε > X tkvo d je > M ε. Ako tkv koč broj M postoji td pišemo d je supx =M ko e postoji pišemo po defiiciji sup X= +. Defiicij 9. Broj m zivmo ifiumom skup X (I) m z X (II) ε > X tkvo d je <m+ ε. R ko je Ako tkv koč broj m postoji td pišemo d je ifx=m ko e postoji pišemo po defiiciji if X =. Bez dokz vodimo sledeći stv. Stv 5. Svki eprz skup relih brojev ogriče odozgo im koč supremum, ogriče odozdo koč ifimum. Npomeimo d iz defiicij jvećeg, jmjeg elemet i supremum i ifimum skup sledi d ko skup im jveći elemet od im supremum jedk tom elemetu (logo z ifimum i jmji elemet). Obruto e mor vžiti

60 Stv 6. Z proizvolji eprz podskup skup relih brojev supremum i ifimum su jedistvei. Dokz: Pretpostvimo suproto, tj. ek postoji X R tkv d je supx=m i supx=m, gde je M <M. Ozčimo s M -M = ε >. Kko je M =supx sledi d je z svko X, < M i z ε= M M postoji ε X tko d je > M ε= M ( M ε M ) = M ovo protivreči čijeici d je M =supx. Alogo z ifimum. Npome: Očigledo je d su ovde eki pojmovi "poovljei" jer o jim je bilo reči u poglvlju o uređeim skupovim jer je i (R, ) uređe skup. Povljje je "mero" zbog vžosti ovih pojmov u skupu relih brojev. Od zčj je z dlj izlgj upozti se s pojmom okolie eke tčke. Defiicij. Proizvolj skup U R zovemo okoliom tčke ko postoji ε >, tkvo d ε, +ε U. je ( ) Iče sm skup (, ) ε +ε U, ko otvorei itervl, zvćemo još i ε - okoliom tčke i ozčvti s ε ( ). Zključimo ovo poglvlje s sledećim stvom o ztvoreim itervlim: Stv 7. Sistem ztvoreih itervl [, b],[, b],...[, b ],... tkv d je b... b b sdrži tčo jed broj u skupovim sistem, ko se z svko ε > može ći itervl p, b p koji pripd sistemu tkv d je p b p<ε

61 Dokz: Očigledo je d svi ztvorei itervli imju zjedičkih tčk. Pretpostvimo d postoje dve tčke, y R <y, tkve d je z svko y b odoso y-< b. Nek je y-= ε>. Po pretpostvci teoreme, immo d postoji p N tkvo d b < ε =y-, to je u kotrdikciji s prethodim zključkom d je z je p p svko y-< b. Dkle, sistem ztvoreih itervl koji zdovoljvju uslove teoreme sdrži smo jedu tčku POJAM FUNKCIJE Pojm fukcije jede ezvise promeljive Defiicij. Nek su X i Y eprzi podskupovi skup R i ek je f proizvolji zko koji svkom elemetu skup X pridružuje tčo jed elemet y iz skup Y, koji ćemo ozčiti s y=f(). Td kžemo d je skupu X defiis fukcij y=f() s vredostim u skupu Y. Pri tome y zovemo vredošću fukcije, slikom, ili zviso prome-ljivom, rgumetom, origilom ili ezvisom promeljivom. Sm skup X zovemo dome ili oblst defiisosti fukcije skup Y tidome ili oblst vredosti fukcije f(). Nije teško videti d se ov defiicij poklp s defiicijom fukcije u lgebrskom smislu (vidi preslikvje). Fukcije kod kojih su dome i tidome podskupovi skup relih brojev zovu se rele fukcije rele promeljive (s kojim ovde isključivo rdimo). Zbog ovog, fukcije će m jčešće biti zde formulm (litičkim izrzim) y=f() (odoso y=y(), y=f(), y= φ ( )...) bez ukzivj oblst defiisosti i oblst vredosti fukcije. Pod oblšću defiisosti fukcije y=f() podrzumevmo skup tčk z koji izrz f() im smisl (jso, u skupu relih brojev)

62 Tko, primer, fukcij y= 9 im oblst defiisosti D=[ 3,3], skup vredosti, skup [,3 ]. Fukcij (,) (, ) R \ { } + =, jer izrz y = im oblst defiisosti D= z = em smisl. Alogo, fukcij y = l im oblst defiisosti (,) (, + ) jer izrz l im smisl jedio z >. Ako su dte fukcije u=g() i y=f(u), od može biti defiis fukcij y=f(g()) koju ćemo zvti složeom fukcijom ovih dveju fukcij. Tko, primer, fukcij u i u = 9-. y = 9 je slože fukcij od fukcij y= Primetimo isto tko d fukcij y= f( ) može biti slože i od tri i više fukcij. N primer, fukcij y u v 3 = si, u =, v = z, z = cos. y 3 = si cos je slože fukcij od fukcij U vedeim primerim y je defiiso eksplicito ko fukcij od, tj. jedčiom y=f(). Primetimo d y ko fukcij od može biti zd i implicito, tj. jedčiom F(,y)=. Rzjsimo kd jedči F(,y)= defiiše fukciju y=f(). Nek je X skup vredosti tkvih, d z svko X jedči F(,y)= im po y br jedo rešeje koje je relo. Sd svkom elemetu pridružimo rel broj y() (tčo jed) tkv d je F(,y())=. N ovj či smo jedčiom F(,y)= zdli skupu X, ko oblsti defiisosti, fukciju y=y(). Jso je d se jčešće jedčiom F(,y)= može implicito zdti više fukcij y=y(). Tko, primer, jedčiom + y R = mogu biti defiise i ove dve fukcije = i y = - (ko i druge). y R R Ako je zdt fukcij y=f() tkv d je defiis ekom skupu X, tidomeom Y i ko je pri tome svko y Y slik tčo jedog elemet iz skup X, td možemo skupu Y defiisti fukciju koj proizvoljom elemetu y Y, pridružuje X tkv d je y=f(). Ovko defiis fukcij

63 skupu Y ozčv se s =f (y) i zove se iverz fucij fukcije y=f(). Pri tome je jso d vži f (f())= z X ( ) i ( ) f f y = y z y Y. Npomijemo d se z iverzu fukciju fukcije y=f() jčešće upotrebljv ozk f (), jer je uobičjeo d se s ozčv ezvis promeljiv s y zvis promeljiv. Tko, primer, fukcij y = z > im ispujee prethode uslove: jer preslikvje =[, + ) u y = [, + ) i svko y Y je slik tčo jedog elemet iz skup X. Iverz fukcij fukcije y= je fukcij = y (odoso y= ). Fukcij y=f() može biti zdt i sledeći či. Nek su dte fukcije y ( t) i = ( t) Nek fukcij = φ ( t) im iverzu fukciju t ( ) =ψ ϕ defiise istom skupu T i ek su im tidomei Y i X. =φ. Z fukciju y=f(), koj im z dome skup X z tidome skup Y, koj se dobij ko slože ( ) fukcij fukcije y=ψ ( t) i t =φ ( ), tj. y=f()= ψ φ ( ) zdt prmetrski jedčim y=ψ ( t) i = φ ( t) fukcij y, kžemo d je. Tko je, primer, = zdt prmetrski jedčim y=si t, =cos t t [ o, ] π. Zist, fukcij =cost im iverzu fukciju ovom itervlu t=rccos, p je y=si(rccos)= ( ) ( ) cos rccos = cos rccos = N krju, pomeimo d se fukcije u primem mogu zdvti tbelro ( kočim skupovim), grfički (u skldu redog odeljk), u obliku progrm rčuru itd, jer ije uvek moguće svkoj fukcioloj zvisosti pridružiti litički izrz u prksi. Primetimo d je ovde, u prethodom tekstu, bio specijlo istkut dome fukcije, li je isto tko zčj tidome z defiisje rzih osobi fukcij. N primer, z fukciju y=f() kžemo d je ogriče ko joj je tidome (ko skup ogriče) logo ogriče odozgo i odozdo

64 Nvešćemo i još eke zčje osobie fukcij. () MONOTONE FUNKCIJE Defiicij. Z fukciju y=f() defiisu u ekom skupu E kžemo d je rstuć (opdjuć) ko je z (, E) < f( )<f( ) (f( )>f( )). Rstuće i opdjuće fukcije zovemo zjedičkim imeom mootoe fukcije. Defiicij 3. Z fukciju y=f() defiisu u ekom skupu E kžemo d je eopdjuć (erstuć) ko je z (, E) < f( ) f( ) (f( ) f( )). Nerstuće i eopdjuće fukcije ćemo zvti slbo mootoim fukcijm. Jso je d je svk mooto fukcij slbo mooto, dok obruto e mor vžiti. Itervle u kojim slbo mooto fukcij im kosttu vredost zovemo itervlim kosttosti. Jso je d mootoe fukcije emju itervle kosttosti. Primer : Fukcij y=e je rstuć fukcij u celoj oblsti defiisosti. Primer : Fukcij y=e - je opdjuć fukcij u celoj oblsti defiisosti. Primer 3: Fukcij y=[] ([] je celobroj vredost od ) je eopdjuć fukcij u celoj oblsti defiisosti

65 () PARNE I NEPARNE FUNKCIJE Defiicij 4. Z fukciju y=f() defiisu skupu D kžemo d je pr (epr) ko iz D sleduje - D i f(-)=f() (f(-)=-f()) z svko iz oblsti defiisosti. Iz defiicije je jso d oblst defiisosti fukcije koj je pr (epr) mor biti deo ose simetrič u odosu koorditi početk. Primer 4: Fukcij y = je pr fukcij y = je epr fukcij. (3) PERIODIČNE FUNKCIJE Defiicij 5. Fukciju y=f() defiisu skupu D zivmo periodičom ko postoji rel broj T, tkv d z svko D sleduje ± T D i f()=f( ± T). Njmji od svih pozitivih brojev T koji zdovoljvju prethodu defiiciju ziv se osov period fukcije i ozčv se s ω. Iz defiicije sledi d ko pripd oblsti defiisosti fukcije f(), ω je osov period fukcije f(), od i svki od brojev ± kω (k=,,,3,...) pripd oblsti defiisosti fukcije f() i pri tome je f()=f( ± kω) (k=, ±, ±,...) što se može dokzti mtemtičkom idukcijom. Primer 5: Trigoometrijske fukcije si i cos su periodiče s osovom periodom ω=π fukcije tg i ctg su tkođe periodiče s osovom periodom ω=π

66 4.3.. Grfik fukcije Defiicij 6. Grfikom fukcije y=f(), u Dekrtovom koorditom sistemu, u rvi, zovemo skup tčk u rvi M(,f()). Primer 6: Grfik fukcije zdte tbelom y 4 je prikz slici. Slik. Dkle, grfik ove fukcije je skup tčk G={M,M,M 3,M 4,M 5 }. Tko, primer, tčk M (,4) pripd grfiku dte fukcije jer je y()=

67 Primer 7: Grfik fukcije y = 6 je polukrug izd -ose (sl. ). Slik. Primer 8: Grfik fukcije y= je prikz slici 3. Primer 9: Grfik fukcije < y = je prikz slici 4. Slik 3. Slik 4. Primer : Grfik fukcije ( ) > f = sg = = < je dt slici

68 Slik 5. Npome : Postoje fukcije kojim je emoguće crtti grfik. Primer tkve fukcije je Dirišleov fukcij rciolo D ( ) = irciolo Npome : Ako je dt fukcij y=f() i je grfik, od je grfik fukcije y=f - () koj je iverz dtoj fukciji simetrič u odosu prvu y=, što sledi iz čijeice d iverz fukcij =f - (y) im isti grfik ko i fukcij y=f() zme promeljivih dovodi do pomeute simetrije. Npome 3: Iz defiicije pre fukcije proizilzi d je je grfik simetrič u odosu y- osu iz defiicije epre fukcije d je je grfik simetrič u odosu koorditi početk što se vidi, primer, iz grfik fukcij y = (sl. 6), y = (sl. 7). y y= y= - - y Slik 6. Slik

69 Npome 4: Iz defiicije periodiče fukcije proizilzi d je je grfik "dovoljo" crtti u jedom itervlu [ ; + ] ω gde je ω je osov period. Ceo grfik će čiiti beskočo mogo grfik kogruetih s crtim, koji se lze u itervlim [ ; + ω ] gde je k ceo broj. Tko, primer, grfik fukcije y= [ ] koj je periodič s osovom periodom ω = itervlu [, ] je deo prve y= z [,] i y= =. Ceo grfik posmtre fukcije je dt sl. 8. [] - celobroj vredost od Slik 8 pr. [,]= [,]= [-,]=- Npome 5: Do sd smo fukcije predstvljli grfički u Dekrtovom prvouglom koorditom sistemu. To je moguće učiiti i u drugim koorditim sistemim potpuo isti či kko je to urđeo u prethodom slučju

70 5. NIZOVI 5.. OSNOVNI POJMOVI Defiicij. Pod izom podrzumevmo preslikvje defiiso skupu prirodih brojev = f( )( =,,...) Skup vredosti pri tome može biti: Skup relih brojev (te izove zovemo reli izovi), skup kompleksih brojev (kompleksi izovi), skup fukcij (fukcioli izovi) itd. Ovde ćemo rzmtrti isključivo rele izove. Vredosti fukcije f()= z svko N se zovu elemetim ili človim iz broj se ziv ideksom elemet. Niz ćemo ozčvti jed od sledećih či:, =,,..., ili s ( ), ( primer 3 =,,, , ( cos ) (,,,,,... ) π = ). Elemet iz ( ) se zove opšti čl iz. Primetimo d se elemeti iz e morju rzlikovti po veličii. Tko primer kod iz ( cos π ) = 3=... = = 4=... =. Ako je zdt proizvolji iz ( ) od jeg možemo beskočo mogo či formirti ovi iz ( ) = (,,...) k gde ideksi k uzimju vredosti u skupu prirodih brojev i pri tome je < <...< k... Niz ( k ) zovemo podizom iz ( ). Niz ( ) zivmo mootoo rstućim (opdjućim) ko je z svko N < + ( > + )

71 Niz ( ) zivmo mootoo eopdjućim (erstućim) ko je z svko N + ( + ). Niz ( ) zivmo ogričeim odozgo (odozdo) ko postoji rel broj M (m), tkv d je z svko N M ( m). Niz ( ) zivmo ogričeim ko je o ogriče odozgo i odozdo. 5.. TAČKA NAGOMILAVANJA Defiicij. Z broj kžemo d je tčk gomilvj iz ( ), ko se u proizvoljoj okolii tog broj lzi beskočo mogo elemet iz. S prethodom defiicijom je ekvivlet sledeć: Defiicij 3. Broj je tčk gomilvj iz ( ) ko z proizvoljo ε > postoji podiz ( k ) dtog iz tkv d svi elemeti dtog podiz imju osobiu <ε. k Primer : Niz s opštim člom ( ) si π = im tri tčke gomilvj, i -, jer je = 4 =...= =...=, = 5 = =...=, 3 = 7 =...= 4- =...=- ( N )

72 Primer : Niz s opštim člom ( ) = im ko tčku gomilvj jer z m koje ε>, postoji prirod broj o tkv d je < ε, p od počevši od ( ) svi človi iz s većim ideksom (tj. jih beskočo mogo) pripdju okolii ( ) ε. Iz ovih primer zključujemo d iz može imti više tčk gomilvj () ko i to d tčk gomilvj e mor biti i čl iz (). Isto tko postoje izovi koji emju tčk gomilvj ( primer izovi s opštim člom =3 ili =). Nije teško primetiti d su ob iz koje smo veli ko primere iz koji emju tčku gomilvj bili eogričei. Z ogričee izove vži pozti "Vjerštrsov stv" koji vodimo bez dokz. Stv. Ogričei iz im br jedu tčku gomilvj GRANIČNA VREDNOST NIZA Defiicij 4. Broj zivmo gričom vredošću ili limesom iz ( ) ko se u proizvoljoj okolii tčke lze skoro svi človi iz. Pod iskzom "skoro svi človi iz" podrzumevmo izuzimje evetulo jih kočo mogo. Ov defiicij može d se iskže i sledeći ekvivlet či:

73 Defiicij 5. Broj zivmo gričom vredošću ili limesom iz ( ) ko z svko ε> postoji ( ε ) N tko d je <ε z svko N, > ( ε ). Čijeicu d je broj grič vredost iz ( ) ozčvmo sledeći či: lim = ili ( ). Nizovi koji imju griču vredost zovu se kovergeti, izovi koji emju griču vredost zovu se divergeti. Primer 3: Niz s opštim člom + = im griču vredost. Rešeje: Zist, z proizvoljo ε >, ko uzmemo d je >, N dobijmo z ε svko N, > : Alogo ko u prethodom primeru immo d je lim =. Nvedimo sd eke jvžije stvove o kovergetim izovim. Stv. Ako je iz koverget od je o ogriče. Stv 3. Koverget iz im jedistveu griču vredost

74 Dokz: Pretpostvimo d iz ( ) im dve griče vredosti, tj. ek je lim = i lim = b, b >. b Nek je = ε. Td immo d postoji N tkv d z svko N, >, je zdovolje ejedkost b <ε=. Isto tko postoji N tkv d z svko N, > je zdovolje b ejedkost b <ε=. N, > m, vže obe pred pomeute Očigledo je d z svko { } relcije: -ε< <+ε i b-ε< <b+ε. b + b + b Kko je +ε= + = i b- ε= to dobijmo d je + b < <, što je emoguće. Isto tko je emoguće d bude >b, i mor biti =b. Posledic: Ako je iz koverget od je jegov grič vredost jedi tčk gomilvj. Npome: Obrto tvr eje d je iz s jedom tčkom gomilvj koverget vži smo z ogričee izove dok postoje eogričei izovi koji imju jedu tčku gomilvj koji isu kovergeti. Tkv je primer iz s ( ) opštim člom = odoso iz (,,,4,,..., ) koji im ulu ko jediu 3 5 tčku gomilvj, li je diverget. Stv 4. Svki mootoi rstući (opdjući) iz ogriće odozgo (odozdo) je koverget

75 Stv 5. Ako su dti izovi ( ), ( y ) i ( z ) tkvi d je z svko N y z, td ko je lim = lim z = od je i iz (y ) koverget i lim y = KOŠIJEV OPŠTI KRITERIJUM KONVERGENCIJE Ako je iz ( ) koverget i im griču vredost, od z proizvoljo ε N tko d je z >, N ε> postoji ( ) <ε /. Ako su i m prirodi brojevi td je, kd su oi veći od, <ε/ i m <ε / p je i ε ε m = ( ) ( m ) + m = + =ε, odoso vži tvr eje: Ako je iz ( ) koverget od o zdovoljv "Košijev uslov": Z svko ε> postoji ( ε) N tkv d z svko m, Nm,, > je zdovolje ejedkost: m <ε. Može se pokzti d vži i obrto tvr eje (koje ovde vodimo bez dokz): Ako iz ( ) zdovoljv Košijev uslov od je koverget, tj. postoji broj tkv d je lim =

76 Ako sd spojimo prethod dv tvr ej dobijmo stv pozt ko Košijev opšti kriterijum kovergecije: Niz ( ) je koverget ko i smo ko z svko tkv d je + p <ε, z svko N, > i svko p N. ε > postoji ( ) ε N 5.5. ARITIMETIČKE OPERACIJE SA NIZOVIMA Nek su ( ) i (y ) dv iz. Nzovimo izove ( + y ), ( -y ) i ( y ) zbirom, rzlikom i proizvodom izov ( ) i (y ). Ako je y z svko N, td iz zovemo količikom izov ( ) i (y ). y Z kovergete izove ( ) i (y ) prirodo je postviti pitje št je s jihovim zbirom, rzlikom, proizvodom i količikom. Odgovor pitje koje je postvljeo dje sledeći stv. Stv 6. Ako je lim = i lim y = b od je : () ( ) lim ± y = lim ± lim y = ± b () lim y = lim lim y = b lim (3) lim = = (y i b ). y lim y b

77 Primetimo d se može dogoditi d postoji grič vredost zbir, rzlike, proizvod i količik dvju izov li td e morju postojti griče vredosti smih tih izov. N primer, izovi s opštim člom =y = su divergeti, iz s opštim člom -y = je koverget, ili izovi s π π opštim človim = si i y = cos su divergeti, iz s opštim π π člom y = si cos = je koverget BESKONAČNO MALI I BESKONAČNO VELIKI NIZOVI Z iz ( ) kžemo d je beskočo mli (ul iz) ko je o koverget i ko je lim =. Nije teško videti d vži sledeći stv: Stv 7. Niz ( ) im griču vredost ko i smo ko postoji ul iz α tkv d je =+α. Z iz ( ) kžemo d je beskočo veliki ko z svko M>, postoji (M) N tkv d je z svko N, > > M. U tom slučju pišemo d je lim = ili kd. Ako je dt beskočo veliki iz ( ) i ko je počevši od ekog prirodog broj, stlo (I) pozitivo, odoso (II) egtivo od ćemo pisti (I) lim = +, odoso (II) lim =. Bez dokz vodimo sledeć svojstv

78 Stv 8. Ako je iz ( ) ogriče iz (y ), y, beskočo veliki od je iz beskočo mli. y Stv 9. Ako je psolut vredost iz ( ) ogriče odozdo pozitivim brojem, (y ) je ul iz čiji su elemeti rzličiti od ule, od je beskočo veliki y iz NEKI VAŽNIJI NIZOVI () Niz s opštim člom =q, <q<, je koverget i pri tome je lim q =. Zist kko je <q< to je q + <q, p je iz mootoo opdjući, kko je i q > z svko N to je o i ogriče p postoji grič vredost ovog iz. Nek je lim q = A. Jso je d pri tome mor biti i lim q + = A, odoso qlim q = A ili qa=a, odkle je (kko je q ) A=. Npomeimo d se može pokzti d je lim q = z q <. () Niz s opštim člom =q, q >, je beskočo veliki iz. Sledi iz prethodog primer i iz stv 9. (3) Niz s opštim člom S =+q+q +...+q zove se geometrijsk progresij. Opšti čl ovog iz se može zpisti i drugi či: + q S = jer je q ( ) ( ) + + S qs = q q q = q

79 Sd osovu prethodih primer sledi d je u slučju <q<, ovj iz koverget i lim S = q u slučju q > ovj iz beskočo veliki. (4) Broj e. Ovde ćemo dokzti d iz s opštim člom = + kovergir. U tom cilju ćemo pokzti d je ovj iz mootoo rstući i ogriće odozgo. D bismo pokzli d je iz ogriče odozgo primeimo izrz biomi obrzc: + + = k = k ( ) ( )...( + ) ( )...( + ) k = = k! k!! k = ! k!! - Kko je, -,..., - < < < to je < kko je! 3!! k!=...k k- to je < p je k! k - 7 -

80 < ! 3!! D bismo pokzli d je iz ( ) mootoo rstući posmtrjmo i + rzvijee po biomom obrscu: k = ! k!! + k = ! + k! + +! + +! + + Ako uporedimo ov dv izrz primećujemo d je ( ) = <!! <...!! + + i i jer je > + odoso i > +, i uz to u drugom rzvoju immo jed sbirk više (koji je, ko i svi, pozitiv) p je < +. Dkle, iz ( ) je koverget i jegovu griču vredost ćemo ozćiti s e, tj. lim + = e. Broj e je irciol i jegov vredost je e=, Ovj broj im veliki zčj u mtemtici jer je o prirod osov z logritme

81 6. REDOVI Defiicij. Nek je dt iz ( ), s ( p q) q k= p ( ) pridružimo iz (S ) defiis s S ozku ili skrćeo () k =.. Ozčimo sumu p + p q. Nizu =. Z iz (s ) uzimmo i sledeću k = k Simbol () se zove beskoči red ili red i jčešće će biti još krć ozk. Brojeve s zovemo delimičim summ ovog red. Ako iz (s ) kovergir k S reći ćemo d red () kovergir i pisćemo = = s. Broj S se zove zbir red, md je o uistiu grič vredost iz delimičih sum i ije dobije sbirjem. Ako iz (s ) divergir, z red se kže d je diverget. Košijev kriterijum z kovergeciju izov može biti preformulis u sledeći oblik z redove: Teorem. Red kovergir ko i smo ko z svko ε> postoji prirod broj N tkv d je z svko m,, m N. m k= k ε Specijlo, stvljjući m= dobijmo ε, N, odoso vži: - 7 -

82 Teorem. Ako red kovergir, od je lim =. Uslov jeste potreb uslov, li ije i dovolj z kovergeciju red. Tko, primer, red = divergir, iko ispujv dti uslov. (Divergecij ovog red će biti pokz ešto ksije.) Teorem o kovergeciji mootoih izov može biti primeje sledećoj teoremi z redove. Teorem 3. Red s eegtivim človim kovergir ko i smo ko je jegov iz delimičih sum ogriče. 6.. POREDBENI KRITERIJUM Teorem 4. () Ako je c z N, gde je N eki određei ceo broj, od ko red c kovergir, kovergir i red. (b) Ako je d o z N i ko red d divergir, od divergir i red. Dokz: () Nek je ε> i td zbog kovergecije red postoji N N tkv d je z svko m N m k= c k ε. c po Košijevom kriterijumu

83 Sd je očigledo i () vži. m m m c ε k k k k= k= k= (b) Ako bi bio koverget red, moro bi i d emoguće po pretpostvci teoreme. biti prem (), to je 6.. REDOVI SA POZITIVNIM ČLANOVIMA Njjedostviji redovi s pozitivim človim su geometrijski redovi z koje vži sledeći: Stv. Z < red = z red divergir. = Dokz: + k Z immo S = =. Stvljjući dobijmo tvrđeje k = teoreme z. Z = red očigledo divergir. U mogim slučjevim človi red su mootoo opdjući. Sledeć Košijev teorem im veliki zčj u teoriji redov. Teorem 5. Nek je Td red k = kovergir. k = k 4 8 kovergir ko i smo ko red =

84 Dokz: Prem teoremi 3 dovoljo je pokzti d su izovi prcijlih sum ov dv red ogričei. Nek je s = k t = k k k + Z, s ( ) ( )... ( k... k + ) Dkle, s t k. < k k = t. k Z > k mi immo s ( ) ( ) ( k k ) k k = t. k Dkle, s t k. Odvde zključujemo d su t k i s zjedo ili ogričei ili eogričei, p svki od jih kovergir ko i smo ko kovergir drugi. Primer : kovergir z p>, divergir z p. p Rešeje: Z p divergecij red sledi iz čijeice d opšti čl e teži uli. Z p> š red im mootoo opdjuće člove, p možemo primeiti prethodu teoremu, odkle dobijmo d š red kovergir ko i smo ko p = k ( pk ) kovergir red = kp koji je geometrijski i kovergir jedio u k= k= p slučju = <, odoso -p<, odoso p>

85 6.3. DELIMIČNO SUMIRANJE I ALTERNIRAJUĆI REDOVI Teorem 6. Nek su ( ) i (b ) izovi. Ozčimo s p q vži q q ( ) ( ) + q q p p = p = p A = k, i A - =. Td ko je k = b = A b b + Ab A b. Dokz: Iz q q q q q q b = ( A A ) b = Ab A b = Ab Ab +, = p = p = p = p = p = p odkle je jso d vži ( ). Formul ( ) je pozt pod zivom " formul delimičog sumirj" i koriso se primejuje u proučvju redov oblik b, ročito kd je iz (b ) mooto. Teorem 7. Nek je: () Niz delimičih sum A red b ogriče (b) b b b... (c) lim b = + Td red b kovergir. Dokz: Izberimo M tkvo d je ε tkvo d je b N M A M z svko. Z proizvoljo ε> postoji N (zbog lim b = ). Z N p q immo + q q q ( ) ( ) b = A b b + Ab A b M b b + b + b = + q q p p + q p = p = p = p =Mb Mb =ε. p N

86 (Prv ejedkost u izu je moguć jer je b -b +.) Teorem 8. Nek je: () C C C3... Td red (b) C m- C m <, m N (c) lim C = + C kovergir. Dokz: Primeom teoreme, stvljjući =(-) +, b = C. Npome: Red s osobiom (b) zove se lterirjući red. Ov teorem pozt je ko Ljbicov kriterijum z kovergeciju lterirjućih redov. Defiicij. Red je psoluto koverget ko red kovergir. Teorem 9. Ako red kovergir psoluto, od o kovergir. Dokz: Izlzi iz ejedkosti m m k= k= i Košijevog kriterijum. Z redove s pozitivim človim psolut kovergecij je isto što i kovergecij. U slučju d red kovergir red divergir, kžemo d red epsoluto kovergir

87 Primer epsoluto kovergetog red je red jer red ( ) divergir dti red po Ljbicovom kriterijumu kovergir. Defiicij 3. Nek je (k ), =,,... iz u kome se svki pozitiv broj pojvljuje tčo jedom (dkle, (k ) je bijektiv fukcij N N). Stvljjući (=,,...) = k kžemo d je red Σ ' preuređeje red Σ. Ako posmtrmo izove prcijlih sum red i jegovog preuređej i ko su to izovi (S ) i (S '), očigledo je d su to rzličiti izovi u opštem slučju. Postvlj se pitje kd red i jegovo preuređeje imju istu sumu. Odgovor ovo pitje je dt sledećim stvom: Stv. Red i jegovo proizvoljo preuređeje = kovergir. = ' imju isti zbir ko red = Npomeimo ovde d ko red e kovergir psoluto, td = možemo z upred zdti broj izbrti preuređeje d zbir ovog red bude bš tj zdti broj

88 7. GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE Defiicij. Z fukciju y=f(), defiisu u ekoj okolii tčke, (osim možd u smoj tčki ), kžemo d im griču vredost b ko z proizvolju okoliu tčke b postoji okoli tčke koj se (s evetulim izuzetkom tčke ) preslikv u pomeutu okoliu tčke b fukcijom f. Nvedimo sd i drugu ekvivletu defiiciju griče vredosti odoso limes fukcije: Defiicij. Z fukciju y=f(), defiisu u ekoj okolii tčke (osim možd u smoj tčki ), kžemo d u tčki im griču vredost b, ko z svko ε> postoji δ(ε)>, tkv d z svko koje zdovoljv ejedkosti < <δ je zdovolje ejedkost f ( ) b <ε. Čijeicu d je b grič vredost fukcije f u tčki zpisujemo sledeći či: lim f ( ) = b ili f ( ) b ( ). Nvedimo i treću defiiciju griče vredosti fukcije: Defiicij 3. Z fukciju y=f(), defiisu u ekoj okolii tčke (osim možd u smoj tčki ), kžemo d im griču vredost b, ko i smo ko z svki iz ( ) čiji elemeti su rličiti od, pripdju okolii tčke u kojoj je fukcij defiis i koji kovergir k tčki, iz (f( )) je koverget i pri tome je ( ) ( ) ( ) lim f = b ili f b

89 Sd ćemo dokzti d je ov defiicij ekvivlet s prethodom. Pretpostvimo d fukcij y=f() u tčki im griču vredost b. Td, prem drugoj defiiciji z proizvoljo ε> postoji δ(ε)>, tko d je z svko koje zdovoljv ejedkost < <δ ispuje ejedkost f ( ) b. <ε Nek je ( ) iz čiji su človi rzličiti od i koji kovergir k, td z dto δ> postoji N tkvo d je z svko > zdovolje ejedkost < <δ. No td prem prethodom mor biti i f ( ) b. <ε p je iz (f( )) koverget i jegov grič vredost je b. Obrto, ko fukcij em griču vredost b u tčki, td postoji eko ε > tkvo d z svko δ> među brojevim koji zdovoljvju ejedkost < <δ. postoji br jed broj δ tkv d je f ( ) b <ε, Možemo izbrti d je δ= =,,... i td z svki od tih brojev izberemo tčku = δ tkvu d je < < ( ) i d je pri tome f ( ) b ε ( ) Odvde je jso d ( ) =,,... kd i d f b kd, p fukcij f() em griču vredost b kd i po trećoj defiiciji. S ovim je ekvivletost u potpuosti dokz. Npomeimo d z defiiciju griče vredosti fukcije y=f() u tčki ije bito d li je fukcij u tčki defiis ili e. Isto tko kd je fukcij defiis u tčki z griču vredost fukcije u toj tčki ije bit vredost fukcije u toj tčki. Z sledeće defiicije gričih vredosti fukcije (lev i des grič vredost u kočoj tčki, ko i grič vredost u beskočoj tčki) e djemo i ekvivlete defiicije pomoću izov md je jso d se iste mogu dti

90 Defiicij 4. Z fukciju y=f() defiisu ekom itervlu (,), <, kžemo d im u tčki levu griču vredost b, ko z svko ε> postoji δ(ε)> tkv d z svko koje zdovoljv ejedkosti -δ<< vži ejedkost f ( ) b <ε. U ovom slučju pišemo ko je, odoso ko je =. lim lim ( ) f = b ( ) f = b Defiicij 5. Z fukciju y=f() defiisu ekom itervlu (, ), < kžemo d u tčki im desu griču vredost b, ko z svko ε> postoji δ(ε)> tkvo d z svko koje zdovoljv ejedkosti <<+δ vži ejedkost f( ) b <ε. U ovom slučju pišemo ko je, odoso lim + lim + ( ) f = b ( ) f = b ko je =. Nije teško zključiti d, ko fukcij im griču vredost, od o im i levu i desu griču vredost, d obrto vži jedio u slučju kd fukcij im i levu i desu griču vredost i kd su oe međusobo jedke

91 Postoje fukcije koje u ekoj tčki imju i levu i desu griču vredost li e i griču vredost. Tkv je recimo fukcij y=sg kod koje je lim sg =, lim sg =, + - dok limsg e postoji. U prethodo dtim defiicijm pretpostvili smo d je koč broj. Ako je = + odoso =- od immo sledeće defiicije: Defiicij 6. Z fukciju f() defiisu u ekom itervlu (, ) + kžemo d im griču vredost b kd "teži" k +, ko z svko ε> postoji M(ε)>, tkv d z svko koje zdovoljv ejedkost >M, immo d je f ( ) b <ε. Ovu čijeicu ozčvmo sledeći či + ( ) = ( ). lim f b ili f b, + N potpuo log, dul či se defiiše grič vredost fukcije kd "teži" k. Npome : ( ) ( ) lim f = b ili f b, +. + se čit sledeći či: limes od f() je jedk b, kd teži k (odoso: limes od f() je jedk b kd teži +; limes od f() je jedk b kd teži -). Primetimo d u prvom slučju može biti kko kočo tko i, odoso. Teorem. Fukcij y=f() u ekoj tčki iz oblsti defiisosti im jviše jedu griču vredost

92 Stv. Ako fukcij y=f() im koču griču vredost u tčki, od je o ogriče u ekoj okolii te tčke. Stv. Ako fukcij y=f() im pozitivu (egtivu) griču vredost u ekoj tčki, od postoji okoli te tčke u kojoj je fukcij pozitiv (egtiv) (jso je d je iz te okolie izuzet možd tčk ). Stv 3. Ako fukcije u() i v() imju griče vredosti u tčki, i ko postoji okoli () tčke, tkv d je z svko () ( ) ispuje ejedkost u() v(), td je lim u lim v. ( ) ( ) Stv 4. Ako fukcije u() i w() imju istu griču vredost u tčki, i ko su u ekoj okolii () tčke ispujee ejedkosti u() v() w() z svko () ( ), td postoji grič vredost fukcije v() i pri tome je limu = limv = lim w. ( ) ( ) ( )

93 7.. ARITMETIČKE OPERACIJE SA GRANIČNIM VREDNOSTIMA FUNKCIJA Stv 5. Ako je ( ) ( ) lim f = A i lim g = B i A i B su koči brojevi od je () ( ( ) ( )) ( ) ( ) lim f ± g = lim f ± lim g = A ± B () ( ) ( ) ( ) ( ) (3) od. lim f g = lim f lim g = AB ( ) ( ) ( ) ( ) f lim f A = lim g lim g = B pod pretpostvkom d je B rzličito Dokz: Kko odgovrjuć tvrđej vže z izove, koristeći se trećom defiicijom griče vredosti fukcije, stv se eposredo dokzuje. Dokžimo primer drugu jedkost: Nek i z svko lim f A lim g = B p je i grič vredost N. Td je ( ) = i ( ) proizvod ovih izov jedk proizvodu gričih vredosti, tj. lim f ( ) g( ) = AB čime je dokz jedkost lim f ( ) g( ) = AB. 7.. BESKONAČNO MALE I BESKONAČNO VELIKE FUNKCIJE Z fukciju y=f() kžemo d je beskočo ml kd (pri čemu lim f =. može biti i beskočo), ko je ( ) Beskočo mle fukcije se još zivju i ifiitezimle. Tko, primer, y=cos je beskočo ml fukcij kd kπ k= ±, ±,...; y= je beskočo ml kd + i kd itd. Jedi kostt koj je beskočo ml je ul

94 Pomoću beskočo mle fukcije može se opisti grič vredost fukcije. Nime, jedostvo se može dokzti : Stv 6. Fukcij y=f() im griču vredost b kd ko i smo ko postoji beskočo ml fukcij g() kd, tkv d je f()=b+g(). Z fukciju y=f() defiisu u ekoj okolii tčke (osim možd u tčki kžemo d je beskočo velik kd, ko z svko M> postoji δ(m)> tko d je z svko koje zdovoljv ejedkosti < <δ je zdovolje ejedkost f ( ) > M. U ovom slučju fukcij em griču vredost u skldu s defiicijm dtim početku, p se zbog tog ovde uslovo kže d je lim f ( ) = ili f ( ),. Ako je fukcij f() beskočo velik kd i stlo pozitiv f + f (egtiv) u ekoj okolii tčke od pišemo ( ) ( ( ) ) ( ) kd ili ( ) ( ) lim f = + lim f =. Beskočo velike fukcije mogu se defiisti i pomoću izov. Isto tko beskočo velike fukcije se mogu defiisti i ko tčk ije koč. Beskočo mle i beskočo velike fukcije su poveze jer vži sledeći stv. Stv 7. Fukcij f() je bekočo ml, rzličit od ule, kd ko je beskočo velik fukcij. f ( ), ko i smo

95 Dokz: Ako je f() beskočo ml fukcij i M>, td je ε = >, p postoji M δ(ε)> tko d je z svko koje zdovoljv ejedkosti < <δ zdovolje ejedkost f ( ) M f ( ) > p je f ( ) logo. <ε=, ovo je ekviv- leto s M beskočo velik fukcij. Obrto je Beskočo mle i beskočo velike fukcije se mogu defiisti i kd + i NEKE OSNOVNE GRANIČNE VREDNOSTI. si lim = si Fukcij lim = je defiis z svko R\{ }. D bi odredili si griču vredost izrz y = kd posmtrćemo sledeć dv slučj π () < < π () < < N trigoometrijskom krugu (sl. ) predstvlj dužiu kružog luk AB, odoso veličiu ugl AOB. Pri tom je trougo Δ OAB upis u kruži isečk BOA ovj u trougo Δ COA. Dkle, immo d je P < P < P ΔBOA BOA ΔCOA

96 U slučju () je: Slik. si P Δ BOA =, P BOA =, tg P Δ COA =, p je si tg < < odoso si si<< odoso cos si < < odoso cos si cos< <. U slučju () je : si P Δ BOA =, P BOA =, tg P Δ COA =,

97 p je si tg < < odoso si si>> cos odoso < < si cos odoso si cos< <. π π Dkle, z svko, \{ } su ispujee ejedkosti si cos < <. si Kko je pri tome limcos = i lim = to je i lim =.. lim + = e Ov grič vredost se dokzuje koristeći se dokzom gričom vredošću z broj e kod izov i trećom defiicijom griče vredosti fukcije. Alogo se dokzuje i grič vredost lim( ) + = e

98 7.4. NEPREKIDNOST FUNKCIJA Neprekidost fukcije u tčki Defiicij 7. Z fukciju y=f() defiisu u ekoj okolii tčke, kžemo d je eprekid u tčki, ko je lim f = f. ( ) ( ) Imjući u vidu defiicije griče vredosti fukcije mogu se dti i sledeće defiicije eprekidosti fukcije u tčki. Defiicij 7'. Z fukciju y=f() defiisu u ekoj okolii tčke, kžemo d je eprekid u tčki, ko z svko ε> postoji δ(ε)> tkvo d je f ( ) f ( ) <ε z svko koje zdovoljv ejedkost <δ. Defiicij 8. Z fukciju y=f() defiisu u ekoj okolii tčke, kžemo d je eprekid u tčki, ko z proizvolju okoliu U tčke f( ) postoji okoli V tčke, tkv d je f(v) U. Ako je fukcij y=f() defiis u ekom itervlu (,b), i ko su, (,b), td rzliku - ozčvmo s Δ i zovemo prirštjem rgumet u tčki, rzliku f()-f( )=f( +Δ)-f( ) ozčvmo s Δy i zivmo prirštjem fukcije u tčki z dti prirštj rgumet. Ko direkt posledic teoreme iz... može se vesti sledeći stv:

99 Stv 8. Fukcij y=f(), defiis u ekoj okolii tčke, eprekid je u tčki, ko i smo ko je lim Δ y =. Δ Direkt posledic teoreme iz..4. i defiicije je sledeć teorem. Teorem. Ako su fukcije f() i g() eprekide u tčki td su i fukcije f + g, f g, eprekide u tčki. ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ), ( uz uslov g( ) ) g( ) f g N krju, iskžimo teoremu o eprekidosti složee fukcije u tčki. Teorem 3. Ako je fukcij y=f() eprekid u tčki fukcij f(y) eprekid u tčki y =ϕ( ) od je i fukcij F()=f(ϕ()) eprekid u tčki. Posledic. Ako je fukcij y=f(z) eprekid u tčki z i ko je fukcij z=ϕ() eprekid u tčki td je ( ) ( φ ( )) = φ ( ) lim f f lim. o Tčke prekid fukcije Nek je fukcij y=f() defiis itervlu (,b), izuzevši možd (,b). Tčku zivmo tčkom prekid fukcije y=f() ko ije ispuje jedkost lim f = f. ( ) ( ) - 9 -

100 Ov jedkost može biti eispuje zto što e postoji lim f = f., ( ) ( ) ili zto što e postoji f( ), ili zto što je ( ) = ( ) lim f f. Ako je tčk prekid fukcije f() i ko postoje koči limesi ( ) = ( ) ( ) = ( + ) lim f f i lim f f, + od tu tčku zovemo tčkom prekid prve vrste. Veličiu f( +)-f( -) zovemo skokom fukcije f() u tčki. Tko, primer, fukcij f ( ) = u tčki = im prekid prve vrste jer je lim = lim = + - skok je jedk. Z fukciju y=f() koj u tčki im prekid prve vrste i čiji je skok u toj tčki jedk uli, tj. kod koje je f( +)=f( -) kžemo d u tčki im otklojiv prekid. Zist, stvivši d je ( ) = lim ( ) = lim ( ) f f f + dobijmo eprekidu fukciju u tčki. si Tko, primer, z fukciju f ( ) = koj u tčki = ije defiis, im u toj tčki otklojiv prekid. Ako je tčk tčk prekid fukcije y=f() i ko br jed od limes f( -), f( +) je beskoč ili e postoji, od tčku zivmo tčkom prekid druge vrste

101 Tko, primer, tčk = je tčk prekid druge vrste z fukciju y = jer je lim = lim = +. + Isto tko fukcij bez obzir što je 3 y = im u tčki = prekid druge vrste jer je lim 3 + =+ lim 3 = Neprekidost fukcije itervlu Defiicij 9. Z fukciju y=f() kžemo d je eprekid itervlu (,b), ko je eprekid u svkoj tčki tog itervl. D bismo defiisli eprekidost fukcije ztvoreom itervlu, treb defiisti eprekidost fukcije u tčki slev i zdes. Defiicij. Ako je fukcij y=f() defiis itervlu (-ε,], ([,+ε)) (ε>) i pri tome je lim f = f lim f = f, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + od kžemo d je fukcij f() u tčki eprekid slev (zdes). Defiicij. Z fukciju y=f() kžemo d je eprekid itervlu [,b] ko je eprekid itervlu (,b), dok je u tčki eprekid zdes u tčki b eprekid slev

102 Npomeimo d ovde, očigledo, vže stvovi logi teoremi i teoreme kko z otvorei tko i z ztvorei itervl. Z fukcije eprekide ztvoreom itervlu ćemo formulisti ekoliko teorem i grfički ih objsiti. Teorem 4. Ako je fukcij eprekid ztvoreom itervlu [,b], od je o ogriče tom itervlu. Npomeimo d ov teorem e mor vžiti otvoreom ili poluotvoreom itervlu. Tko, primer, fukcij y = je eprekid itervlu (,] li ije ogriče jemu. Teorem 5. Neprekid fukcij ztvoreom itervlu dostiže jveću i jmju αβ, b, tkve d je z svko vredost, tj. postoje tčke [ ] [, b] f( α) f ( ) f ( β ) (sl..). Slik. Npomeimo d ov teorem tko e e mor vžiti z otvore, odoso poluotvore itervl, čk i u slučju d je fukcij y=f() jemu eprekid i ogriče. N primer, y= itervlu (,) je i eprekid i ogriče li em tom itervlu i jveću i jmju vredost

103 Teorem 6. Ako je fukcij y=f() eprekid ztvoreom itervlu [, ] b i brojevi f() i f(b) su rzličitog zk, od itervlu (,b) postoji br jed tčk c tkv d je f(c)=. Fukcij y=f() predstvlje grfički slici. zdovoljv uslove teoreme 3, p je geometrijski očigledo d grfik fukcije mor u jmje jedoj tčki seći -osu. Posledic : Ako je fukcij y=f() eprekid itervlu [, ] b, od o dostiže u br jedoj od tčk ovog itervl bilo koju vredost koj se lzi između jveće i jmje vredosti GRANIČNA VREDNOST I NEPREKIDNOST Koristeći se stvovim o eprekidosti, pre sveg stvom o eprekidosti složee fukcije, mogu se dost lko rčuti griče vredosti fukcij. To ćemo ilustrovti ekoliko primer. Primer : α α lim + = e, α. Rešeje: Zist, kd α α i p je + = + α α i zbog eprekidosti fukcije e α sledi gorj relcij. α

104 Primer : ( + ) log lim = log e ( > ). Rešeje: log ( + ) Kko je = log ( ) + i kko je logritmsk fukcij eprekid u tčki e sledi gorje tvr eje. Primer 3: lim = l ( > ). Rešeje: Stvljjući -=t dobijmo =t+ i =l (+t). Kd i t p je t lim = lim = = l t log + t log e Primer 4: ( ) ( ) + lim = α α Rešeje: Stvljjući +=e y (y kd ) dobijmo αy e α α αy ( + ) e αy α lim = lim = lim = =α. y y y y e e

105 7.6. FUNKCIJA VIŠE PROMENLJIVIH Defiicij fukcije s dve promeljive se dje isti či ko i defiicij fukcije s jedom promeljivom, s' tom rzlikom što je oblst defiisosti ove fukcije eki skup ure eih prov (,y) relih brojev. Skup vredosti fukcije je i u ovom slučju eki podskup skup relih brojev. Defiicij. Fukcij s dve promeljive je bilo koje prvilo, zko po kome svkom ure eom pru (,y) iz ekog skup A R pridružujemo tčo jed broj z B R. Skup A je dkle oblst defiisosti, skup B je skup vredosti fukcije, i y se zovu ezvisim promeljivim (ili rgumetim), z se zove zvisom promeljivom ili fukcijom. Fukcije s dve promeljive ozčvmo slič či ko i fukcije s jedom promeljivom: z=f(,y), z=f(,y), z=z(,y), itd. Z lžeje vredosti z fukcije z=f(,y) z odre ee vredosti rgumet = i y=y, koristićemo jčešće sledeću ozku z =f(, y ). Fukcij s dve promeljive, logo ko i u slučju fukcije s jedom promeljivom, može biti zdt rze čie: tbelro, litičkim izrzom, itd. Često put pri zdvju fukcije litičkim izrzom se e ukzuje oblst defiisosti iste i u tkvim slučjevim z oblst defiisosti fukcije se uzim skup tčk u rvi O y, z koje izrz f(,y) im smisl. Tko, primer, poliomi prvog stepe z=+by+c, poliomi drugog stepe z= +by +cy+d+ey+f, i poliomi proizvoljog stepe su defiisi z svku tčku iz rvi O y. Rciole fukcije s dve promeljive, tj. količici dvju poliom s dve promeljive i y, su defiise u svim tčkm rvi O y z koje je poliom u imeiocu rzličit od ule. Tko, primer, rciol fukcij

106 z = y 4y + + 3y je defiis u svim tčkm rvi, izuzevši tčke s prve -3y=. Fukcij z y = 4 je defiis z 4- -y, odoso u uutršjosti krug i kružici +y =4. Ko što smo defiisli fukcije s dve promeljive, isti či se mogu defiisti i fukcije s tri promeljive i fukcije s više od tri promeljive. D bismo defiisli griču vredost fukcije s dve promeljive potrebo je defiisti pojm okolie tčke P (,y ). Defiicij 3. Okoliom tčke P (,y ) zivmo proizvolj skup tčk u rvi koji sdrži uutršjost krug s cetrom u tčki P poluprečik ε, gde je ε eki pozitiv rel broj. Specijlo uutršjost krug s cetrom u tčki P poluprečik ε zovemo ε-okoliom tčke P. Broj b zivmo gričom vredošću fukcije z=f(,y) kd, y y, ko z svko ε> postoji δ okoli tčke P (,y ) tkv d z sve tčke iz te okolie, osim možd z tčku P, vži ejedkost: f(,y)-b < ε. Td pišemo lim f ( P) = b odoso P P lim f ( y, ) = b. y y Alogo se može defiisti i grič vredost fukcije s više promeljivih

107 Z griče vredosti fukcij dve ili više promeljivih vže logi stvovi ko z griče vredosti fukcije s jedom promeljivom. Pojm eprekidosti fukcij s dve ili više promeljivih u tčki se dje logo ko i u slučju fukcije s jedom promeljivom. Defiicij 4. Fukcij z=f(,y) je eprekid u tčki P ko je defiis u ekoj okolii ove tčke i ko je ( ) = ( ) lim f P f P. P P Z fukcije s dve ili više promeljivih eprekide u ekoj tčki vže logi stvovi ko i z fukcije s jedom promeljivom eprekide u ekoj tčki. Kod fukcij s jedom promeljivom smo posmtrli eprekidost fukcije itervlu, dok se kod fukcij s dve ili više promeljivih posmtr eprekidost fukcije u odgovrjućoj oblsti log či i s logim stvovim. Ovde ćemo dti pojm dvodimeziole oblsti i pojm eprekidosti fukcije s dve promeljive u oblsti. Otvore oblst je skup tčk u rvi koji zdovoljv sledeć dv svojstv:. Z svku tčku iz oblsti postoji ek okoli te tčke koj pripd oblsti.. Svke dve tčke iz oblsti mogu se spojiti liijom koj je eprekid i cel pripd oblsti. Tčku P zivmo gričom tčkom eke oblsti G ko svk okoli tčke P, pored tčk iz oblsti G, sdrži tčke koje e pripdju oblsti G. Skup svih gričih tčk eke oblsti zovemo jeom gricom

108 Ako ekoj otvoreoj oblsti pridružimo sve jee griče tčke dobijmo skup tčk koje zovemo ztrvoreom oblšću. Ako z dtu oblst možemo ći krug koji pokriv tu oblst, od tu oblst zovemo ogričeom, u protivom oblst zovemo eogričeom. Oblst zovemo jedosvezom ko s svkom ztvoreom koturom (liijom) koj pripd oblsti, oblsti pripd i deo rvi koji o ogričv. U protivom oblst je višesvez. Pri defiisju pojm eprekidosti ztvoreoj oblsti zhtev se eprekidost u svkoj tčki iz te oblsti pri čemu se z griče tčke podrzumev d je fukcij eprekid u gričoj tčki P ko je lim f P = f P kd P teži k P po tčkm koje ispuje jedkost ( ) ( ) P P pripdju oblsti. Z fukcije eprekide u ogričeoj ztvoreoj oblsti F vži d su u toj oblsti:. Ogričee;. Dostižu u toj oblsti jveću i jmju vredost; 3. Dostižu u toj oblsti svku vredost između jveće i jmje vredosti. Ovi stvovi se dokzuju logo ko i u slučju fukcije s jedom promeljivom

109 PITANJA ZA PONAVLJANJE. Št je fukcij?. Nbrojti i defiisti osobie fukcij. 3. Kko glsi defiicij iz? 4. Defiisti osove osobie izov. 5. Grič vredost iz i osobie. 6. Grič vredost fukcije i osobie. 7. Pojm simptot fukcije. 8. Neprekidost fukcije jede promeljive. 9. Pojm fukcije više promeljivih.. Grič vredost fukcije više promeljivih.. Neprekidost fukcije više promeljivih. KLJUČ NI POJMOVI Fukcij Dome Kodome Niz Asimptote Tčk gomilvj Grič vedostlimes Kovergecij Divergecij Neprekidost Broj e - -

110 III-GLAVA DIFERENCIJALNI RAČUN IZVOD FUNKCIJE DIFERENCIJABILNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE U TAČKI DIFERENCIJAL FUNKCIJE NAJVAŽNIJE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA IZVODI I DIFERENCIJALI FUNKCIJA DVE NEZAVISNO PROMENLJIVE PRIMENA DIFERENCIJALNOG RAČUNA EKONOMSKE FUNKCIJE Cilj m je d ovj rču uvedemo preko:. Osovih pojmov.. Defiicij. 3. Tblic izvod elemetrih fukcij. 4. Prvil diferecirj. 5. Osovih teorem diferecijlog rču. 8.. IZVOD FUNKCIJE 8. DIFERENCIJALNI RAČUN Osovi pojm diferecijlog rču je izvod fukcije u određeoj tčki, tko d ćemo rzmtrje ovog rču početi jegovim uvođejem. U ovom odeljku ko defiisj izvod fukcije i geometrijskog tumčej levog i desog izvod, vodi se teorem o diferecijbilosti fukcij, defiicij izvode fukcije i izvodi osovih fukcij. Defiicij izvod fukcije u tčki Nek je f :( b, ) R eprekid fukcij i ( b, ). Ako se z rzliku uvede ozk Δ, Δ, +Δ (, b) i ko količik - -

111 f ( + Δ) f( ) Δ im koču vredost kd Δ, td ov grič vredost predstvlj izvod fukcije u tčki i ozčv se s f '( ). Zči: f ( + Δ) f( ) f '( ) = lim Δ Ako postoji izvod fukcije u tčki tj. ko vedei količik im koču vredost z defiise prmetre, fukcij f je diferecijbil u tčki. U slučju d fukcij em izvod u tčki td f ije diferecijbil u tčki. Primeri s rešejim: 3. Nći izvod fukcije y = u tčki = 3 3 f( +Δ) f() ( +Δ) f '() = lim = lim = Δ Δ Δ Δ 3 Δ + 6Δ +Δ = lim = Δ Δ. Odrediti izvod fukcije y = e u tčki = +Δ f( +Δ) f() e e f '() = lim = lim = Δ Δ Δ Δ Δ e = e lim = e Δ Δ 3. Ispitti d li fukcij y= 3 im izvod u tčki =. Grič vredost: 3 f( Δ) f() Δ 3 lim = lim = lim Δ Δ Δ Δ Δ Δ e postoji, p fukcij f em izvod u tčki =. 4. Odrediti izvod fukcije f ( ) = + b u bilo kojoj tčki. - -

112 [ ( + Δ ) + b] [ + b] Δ f( ) f( +Δ) f( ) = = Δ Δ Δ Δ Δ = = Δf( ) '( ) = lim = f Δ Δ Teorem o geometrijskoj iterpretciji izvod fukcije Ako fukcij f im izvod u tčki, td grfik ove fukcije im tgetu u tčki (, f '( )) čiji je koeficijet prvc jedk izvodu fukcije f u tčki (sl..). f ( + Δ) f( ) k = f '( ) = lim Δ Δ y k = tgα = Δ Δ sl. l Vži i obrut stv, ko grfik eprekide fukcije f im tgetu u tčki (, f '( )) td je koeficijet prvc jedk izvodu fukcije f u tčki

113 Primer s rešejem: 5. Nći jedčiu tgete krive f : y= e + u tčki = f( ) = f() = e + =, p je M o(,). koeficijet prvc tgete. Δ f( +Δ) f() e k = lim = lim =, Δ Δ Δ Δ p je jedči tgete: y = + Sličo pojmu izvod fukcije u ekoj tčki, defiišu se i pojmovi levog i desog izvod fukcije u određeoj tčki. Defiicij levog izvod fukcije Nek je fukcij f defiis i eprekid u okolii tčke. Ako se z rzliku uvede ozk Δ, Δ < i ko količik f ( + Δ) f( ) Δ im koču vredost kd Δ, td ov grič vredost predstvlj levi izvod fukcije u tčki i ozčv se s f '( ). Dkle, f ( + Δ) f( ) f '( ) = lim Δ Δ Alogo defiiše se pojm desog izvod fukcije u određeoj tčki. Defiicij desog izvod fukcije Nek je fukcij f defiis i eprekid u okolii tčke. Ako se z rzliku uvede ozk Δ, Δ > i ko količik f ( + Δ) f( ) Δ im koču vredost kd Δ, td ov grič vredost predstvlj desi izvod fukcije u tčki i ozčv se s f+ '( ). Dkle: f ( + Δ) f( ) f+ '( ) = lim + Δ Δ Relcij između levog i desog izvod fukcije u određeoj tčki i diferecijbilosti fukcije u toj tčki je iskz sledećom teoremom

114 Teorem o diferecijbilosti fukcije u tčki Ako je fukcij f diferecijbil u tčki td vži: f '( + ) = f '( ) = f '( ) i obruto, tj. ko z eku fukciju f vži: f '( ) = f ' + ( ) = f ' ( ) td je fukcij f diferecijbil u tčki. Ako je f '( + ) f '( ), td fukcij f ije diferecijbil u tčki, f td em tgetu u tčki M (sl..). sl DIFERENCIJABILNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE U TAČKI Pri defiisju fukcije f u tčki, pretpostvljeo je d je fukcij f eprekid u ekoj okolii tčke. Ispitjmo sd u kkvom su odosu eprekidost i diferecijbilost fukcije u tčki. Teorem Ako je fukcij f diferecijbil u ekoj tčki, td je o eprekid u toj tčki. Dokz Nek postoji f '( ), td je: f( + Δ) f( ) Δ f '( ) = ε ( Δ ) - 5 -

115 fukcij od Δ i pri tom ε( Δ ), kd Δ. Ako ozčimo = +Δ, td je: f ( ) = f( ) +Δ f '( ) +Δ ε ( Δ ) odoso: lim f ( ) = lim ( f( ) +Δ f '( ) +Δ ε ( Δ )) = f( ), Δ što zči d je fukcij f eprekid u tčki. Obruto e vži tj. ko je fukcij eprekid u ekoj tčki td o e mor biti diferecijbil u toj tčki. N primer, fukcij y = je eprekid z svko p i z =. Međutim u ovoj tčki fukcij ije diferecijbil. Defiicij diferecijbilosti fukcije određeom itervlu Ako fukcij f im izvod odoso diferecijbil je u svkoj tčki itervl ( b, ) td je fukcij f diferecijbil itervlu ( b, ), odoso im izvod z svko ( b, ). f '( ) = f +Δ f lim Δ ( ) ( ) Δ Ovko defiis fukcij f ' ziv se izvod fukcij ili izvod fukcije f. Defiicij izvode fukcije (prvog izvod) Izvod fukcij ili prvi izvod fukcije f je fukcij kojom se skup tčk ( b, ) preslikv u skup vredosti odgovrjućih izvod f '. Određivje izvode fukcije ziv se diferecirje. U tbeli. su dti izvodi elemetrih fukcij: - 6 -

116 Fukcij Izvod fukcij f ( ) = A, A = cost, R f '( ) = f( ) =, N, R f '( ) = α f ( ) =, α R, R f '( ) = α α f ( ) =,<, R f '( ) = l f( ) = e, R f '( ) = e + f( ) = log,<, R f '( ) = l + f( ) = l, R f '( ) = f ( ) = si, R f '( ) = cos f ( ) = cos, R f '( ) = si f ( ) = tg, R\ {(k + ) π /; k Z} f '( ) = cos f ( ) = ctg, R\ { kπ ; k Z} f '( ) = si f ( ) = rcsi, <, R f '( ) = f ( ) = rc cos, <, R f '( ) = f ( ) = rctg, R f '( ) = + f ( ) = rc ctg, R f '( ) = + Tbel. Izvodi elemetrih fukcij Prvil z diferecirje U ovom odeljku su dt osov prvil z diferecirje. Uz svko prvilo vži pretpostvk d su dte fukcije diferecijbile u tčki

117 Izvod zbir i rzlike fukcij: Ako je fukcij oblik f ( ) = f( ) ± f( ) ±... ± f( ) td je f '( ) = f ' ( ) ± f ' ( ) ±... ± f ' ( ) z svko z koje su defiise fukcije f, f,..., f, f ', f ',..., f '. Specijl slučj vedeog prvil je z =. Td je fukcij oblik vži: f ( ) = f ( ) ± f ( ) f '( ) = f ' ( ) ± f ' ( ) Izvod proizvod fukcij: Ako je fukcij oblik f ( ) = f( ) f( )... f( ), td je f '() = f'() f()... f() + f() f '()... f() f() f()... f '() Specijl slučj vedeog prvil je z = ; f ( ) = f ( ) f ( ) f '( ) = f ' ( ) f ( ) + f ( ) f ' ( ) Izvod proizvod kostte i fukcije: Ako je fukcij oblik f ( ) = Cg( ) f '( ) = C g'( ), C-kostt Izvod količik fukcij: Ako je fukcij oblik f( ) f '( ) = f ( ) f ( ) =, td je f '( ) f ( ) f ( ) f '( ) [ f ( ) ] Specijl slučj vedeog prvil je fukcij oblik f( ) =, f ( ), f '( ) = f ( ) f '( ) [ f ( ) ] - 8 -

118 Izvod složee fukcije: Ako fukcij u = f ( ) im izvod u tčki, fukcij y = g( u) im izvod u tčki u = f ( ), td slože fukcij y = g[ f( ) ] im izvod u tčki koji je jedk y'( ) = g'( u) f '( ) Primeri s rešejim: 6. Izrčuti prve izvode sledećih fukcij ) y = + b + c ' ' ' y ' = ( ) + ( b) + c = + b b) y = l y' = 'l + (l )' c) y = tg y ' = = cos = l + = l + si (si )'cos si (cos )' cos cos cos si ( si ) cos si + = = = cos cos cos 7. Nći prvi izvod fukcije h ( ) = lsi h ( ) = g( f( )) u= f( ) = si gu ( ) = lu cos h'( ) = g'( u) f '( ) = cos = = ctg u si 8. Izrčuti prvi izvod fukcije y = e u= u y= e y' = e ( )' = e = e u - 9 -

119 Npome: Formul z izvod složee fukcije, lko se preosi slučj kd je slože fukcij formir od više fukcij. N primer y = h( g( f ( ))), td je y' = h'( g( f ( )) g'( f ( )) f '( ). y = tg f( ) = g( f( ) = tg y' = ( tg )' = ( )' = tg tg cos 4cos tg Pored prvog izvod fukcij može imti drugi, treći,..., u opštem slučju -ti izvod. Defiicij izvod fukcije višeg red U slučju d je i izvod fukcij f ' u tčki diferecijbil u istoj toj tčki, tj. d izvod fukcij i sm im izvodu fukciju, t ov izvod fukcij se obeležv s f '' i ziv se drugi izvod ili izvod drugog red fukcije f u tčki '' ', f = ( f )' ( ) ( ) Alogo se defiišu izvodi višeg red. Tko je treći izvod ili izvod trećeg red izvod fukcij drugog izvod i obeležv se s f ''' U opštem slučju izvod - tog red se dobij ko izvod fukcij od ( -)- og izvod: ( ) ( ) f ( ) = f ( ) ' Primeri s rešejim: 9. Treći izvod fukcije y = l je: y' =,, y'' =, y''' =

120 4 3. Četvrti izvod fukcije y= : y y y y 3 ' = ; '' = ; ''' = ; iv = 96. -ti izvodi fukcij su: ) y = e, y ( = e. b) y = l, ( ( )! ) y = ( ). π c) Ako je y = si, td je y' = cos = si( + ) p je ( ) π y = si( + ). d) ( ) π y = cos, y = cos( + ). e) ( ) y =, y = (l ) DIFERENCIJAL FUNKCIJE U ovom odeljku se rzmtr još jed pojm iz diferecijlog rču. To je diferecijl fukcije koji im veom vžu ulogu u mtemtičkoj lizi. Prvo se defiišu pojmovi prirštj fukcije i diferecijl fukcije, rzmtr se geometrijsk iterpretcij diferecijl fukcije, d bi se krju odeljk vel osov prvil z jegovo izrčuvje. Defiicij prirštj fukcije Nek je f fukcij koj im izvod f ' u ekoj tčki. Prirštj fukije Δ f ( ) u tčki je defiis sledeći či. Δ f ( ) = f '( ) Δ + αδ pod uslovom d α, kd Δ. Iz defiicije prirštj fukcije mogu se uočiti dve vredosti, to su f '( ) Δ i αδ. Ako se izvrši poređeje ove dve vredosti uz uslove koji vže d α i Δ, može se zključiti d čl αδ im beskočo mlu vredost koj je zto mj od vredosti čl f ( ) Δ. N osovu ove lize vredosti prirštj fukcije dobijmo d je: - -

121 Δf ( ) f ( ) Δ Vredost koj se dobil z prirštj fukcije ziv se glvi ili lieri deo prirštj fukcije i predstvlj uprvo pojm koji je tem ovog odeljk, tj. diferecijl fukcije. Defiicij diferecijl fukcije Diferecijl fukcije f u tčki je jedk proizvodu izvod fukcije f ' u tčki i prirštj Δ ezviso promeljive. Obeležvmo g s df. N osovu defiicije diferecijl fukcije vidi se d o u opštem slučju predstvlj fukciju s dv rgumet (, Δ ). Kko je Δ ml veliči, proksimtiv relcij je: Δf ( ) df ( ), Kko je Δ f ( ) = f ( +Δ) f ( ) uz prethodu relciju dobijmo ovu: f ( + Δ) f ( ) + df ( ) Obe proksimtive relcije se veom često koriste u teoriji približih rču z približo izrčuvje vredosti određeih izrz. Ako se uvedu ozke d = Δ i dy = Δ f ( ), td je izvod fukcije: dy f '( ) = d N ovj či se dobij još jed defiicij izvod fukcije f, ko količik diferecijl fukcije i diferecijl ezviso promeljive. Teorem o geometrijskoj iterpretciji diferecijl fukcije Dt je fukcij f čiji grfik im tgetu u tčki M (, f ( )). Diferecijl fukcije geometrijski predstvlj promeu ordite tgete u posmtroj tčki kd se promei z Δ, odoso z d. - -

122 NQ = NM tgα = f '( ) Δ = dy sl. 3 Tkođe, ko što je pri rzmtrju izvod fukcije dt pregled osovih prvil dobijj izvod fukcij, to o postoji i pri izrčuvju diferecijl fukcije. U svim vedeim prvilim vži d su u = u( ) i v = v( ) diferecijbile fukcije. Prvil z izrčuvje diferecijl fukcij d( u ± v) = du± dv d( uv) = vdu + udv u vdu udv d( ) =, v v v Alogo pojmovim drugog izvod i u opštem slučju -tog izvod defiišu se i pojmovi diferecijl drugog red, odoso u opštem slučju diferecijl - tog red. Defiicij diferecijl fukcije drugog red Diferecijl drugog red je jedk diferecijlu diferecijl prvog red, odoso d y= d( dy) = y'' d N osovu ove relcije može se izvesti zključk d je drugi izvod fukcije jedk količiku diferecijl drugog red fukcije i kvdrt diferecijl rgumet, odoso d y y '' = d - 3 -

123 Alogo se dobij izrz z -ti izvod. O je količik diferecijl -tog red fukcije i diferecijl rgumet stepe, odoso ( ) d y y = d Diferecijl -tog red može se zpisti ( ) d y= y d. Primeri s rešejim:. Diferecijli sledećih fukcij su: ) d ( α α ) = α d b) de ( ) = ed c) d(l ) = d d) d(si ) = cos d e) d( rctg ) = d + 3. Koristeći prvil z izrčuvje diferecijl zbir, rzlike, proizvod i količik fukcij, izrčuti su diferecijli sledećih fukcij: ) y = + si dy = d + cos d = ( + cos ) d b) y = e dy = e d + e d = ( e + e ) d si c) y = cos cos d si ( si d ) (cos + si d ) dy = = = d cos cos cos

124 8.4. NAJVAŽNIJE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA U prethodim odeljcim ovog poglvlj dte su defiicije osovih pojmov diferecijlog rču, izvod i diferecijl fukcije, ko i osov prvil koj se koriste z izrčuvje vedeih pojmov. Koristeći rzmtre defiicije i prvil u ovom odeljku se upozju jvžije teoreme diferecijlog rču: Fermov, Rolov, Lgržov i Košijev teorem, Lopitlovo prvilo i Tejlorov formul. Fermov teorem Nek je fukcij f diferecijbil itervlu ( b, ) i ek u tčki ( (, b)) im lokli ekstrem. Td je prvi izvod fukcije jedk, odoso: Dokz Fermove teoreme f '( ) = Pretpostvimo d tčk predstvlj tčku loklog mksimum fukcije f (postupk dokz je log kd se rzmtr lokli miimum fukcije). Td prem defiiciji loklog mksimum fukcije vži: ( ξ > )( )( < < ξ) f( ) < f( ). Nek je prirštj Δ >, tko d vži relcij + Δ < + ξ Iz defiicije loklog se dobij f ( + Δ ) < f( ) f ( + Δ) f ( ) <. Δ Alogo, z Δ <, vži relcij + Δ > + ξ Iz defiicije loklog mksimum se dobij f ( + Δ ) > f( ) - 5 -

125 f ( + Δ) f ( ) > Δ Primeićemo griče vredosti prethodo dobijee izrze: f ( + Δ) f ( ) Δ f ( + Δ) f ( ) lim = f ' ( ) Δ lim = f ' + ( ) U teoremi je pretpostvljeo d je fukcij f diferecijbil u tčki. Iz diferecijbilosti sledi f '( ) = f '( ) = f '( ) + Ako se uporede posledje tri relcije, dolzi se do zključk d f ' mor d ispujv zhteve f '( ) i f '( ), to je moguće smo ko je f '( ) =, što je i treblo dokzti. N potpuo log či se izvodi dokz i z slučj loklog miimum, čime je teorem dokz. Fermovom teoremom je vede potreb uslov z postojje loklog ekstrem diferecijbilih fukcij. Treb pomeuti d e vži obrut stv, ko je f '( ) =, td tčk ije uvek tčk loklog ekstrem. Tčke u kojim je ispuje uslov f '( ) = zivju se stciorim tčkm fukcije. N primer fukcije z koju je f '( ) =, ije tčk loklog 3 ekstrem, je fukcij f ( ) =, z vredost =. U ovoj tčki je f '() =, ije tčk loklog ekstrem, li jeste stcior tčk. Rolov teorem Nek je fukcij f :. eprekid segmetu [ b, ]. diferecijbil itervlu ( b, ). 3. f ( ) = f ( b) - 6 -

126 Od postoji tčk ξ koj pripd dtom segmetu, tkv d vži f '( ξ ) =. Dokz Rolove teoreme Pri dokzivju ove teoreme koristi se jed pomoć teorem. O glsi d ko je fukcij f eprekid segmetu [ b, ] td o tom segmetu dostiže br jedom svoju mksimlu vredost i br jedom svoju miimlu vredost. Ako se u posmtrom slučju mksiml vredost ozči s MAX, miiml s MIN, to zči d je vredost posmtre fukcije f segmetu [ b, ] siguro već ili jedk od MIN, mj ili jedk od MAX, z svko koje pripd segmetu [ b, ]. MIN f ( ) MAX Iz prethodog tvrđej može se zključiti d je vredost MAX siguro već ili jedk vredosti MIN. N osovu tog rzlikujemo dv slučj z koje se dokzuje Rolov teorem. Prvi je d je vredost MAX jedk vredosti MIN, drugi d je vredost MAX već od vredosti MIN. U prvom slučju (z koji vži MAX = MIN ) zključujemo d je fukcij kostt posmtrom segmetu f ( ) = MAX = MIN = C, z svko koje pripd segmetu [ b, ], p je f '( ) =, z svko koje pripd segmetu [ b, ], Rolov teorem je z ovj slučj dokz, jer ξ može biti bilo koj tčk iz segmet [ b, ] U drugom slučju vži MAX > MIN. Nek je ξ tčk u kojoj fukcij im vredost MAX, < ξ < b. Kko je f ( ) = f ( b) po Fermovoj teoremi zključujemo d je f '( ξ ) = Rolov teorem im i svoju geometrijsku iterpretciju

127 Geometrijsk iterpretcij Rolove teoreme N grfiku fukcije f, koj segmetu [ b, ] ispujv uslove Rolove teoreme postoji br jed tčk u kojoj je tget prlel (sl.4.) ili se poklp s osom O. Primeri s rešejim: sl Pokzti d fukcij f ( ) = zdovoljv uslove Rolove teoreme z,. Nći odgovrjuće vredosti ξ. Urditi isto z,. f je eprekid z,. 3 f '( ) 4 4 f () =, =, p je f diferecijbil z, 4 3 f ( ) = ( ) ( ) = 4 = Zči ispujei su uslovi Rolove teoreme p vži: f '( ξ ) = z ξ (, ) 3 4ξ 4ξ = - 8 -

128 4 ξξ ( ) = ξ = ξ = ξ = Smo ξ = pripd itervlu (, ). Posmtrjmo itervl,. Uslovi eprekidosti i diferecijbilosti su ispujei ko i f( ) = f( ) = p postoji ξ (, ) tko d je f '( ξ ) = 3 4ξ 4ξ = ξ = ξ = ξ = Zči postoje tri vredosti z koje je f '( ) =. 5. Proveriti d li fukcij f ( ) [,]. Fukcij je eprekid z [,] 3 = ispujv uslove Rolove teoreme 3 3 f( ) = = f() = = f '( ) =,, p fukcij ije diferecijbil z = 3 3 Košijev teorem Nek su fukcije f i g eprekide segmetu [ b, ] i diferecijbile itervlu ( b, ). Ako z svku tčku koj pripd itervlu ( b, ) vži g'( ),td postoji tčk ξ ( b, ) tko d je f '( ξ) f( b) f( ) = g'( ξ ) g( b) g( ) Dokz Košijeve teoreme D bi se dokzlo vedeo tvrđeje defiiše se ov fukcij, u ozci h, sledeći či f( b) f( ) h ( ) = f( ) f( ) [ g ( ) g ( )] gb ( ) g ( ) z svko koje pripd segmetu [ b, ]

129 Ako se lizir ovodefiis fukcij dolzi se do zključk d ov fukcij zdovoljv sve uslove Rolove teoreme. Neprekid je segmetu [ b, ], diferecijbil itervlu ( b, ) i h ( ) = hb ( ) =. Kd bi fukcij g tkođe ispujvl uslove Rolove teoreme, postojl bi tčk ξ koj pripd segmetu [ b, ], tkv d je g '( ξ ) =, to je suproto pretpostvci teoreme. Može se zključiti d fukcij g ( ) e ispujv uslove Rolove teoreme i vži g( ) g( b). N osovu prethodih zključk može se primeiti Rolov teorem fukciju h f( b) f( ) h'( ) = f '( ξ) g'( ξ) = gb ( ) g ( ) Iz predhodog izrz dobijmo f '( ξ) f( b) f( ) =, g'( ξ) g( b) g( ) čime je Košijev teorem dokz. Primeri s rešejim: 6. D li su ispujei uslovi Košijeve teoreme z fukcije f ( ) = si i π g( ) = cos( ) odsečku,? Nći tčku ξ. π π Fukcije f i g su eprekide z, i diferecijbile z (, ), π jer f '( ) = cos g '( ) = si i g'( ) z (, ) p su ispujei π uslovi Košijeve teoreme, tj. postoji ξ (, ) tko d je: π f ( ) f () f '( ξ ) = g '( ξ ) π g( ) g() - -

130 cosξ = siξ π π π tgξ = tgξ = ξ = (, ) Zšto se Košijev teorem o sredjoj vredosti e može primeiti 3 fukcije f ( ) = i g ( ),? g'( ) 3 = segmetu [ ] = i '( ) g = z = [,]. Lgržov teorem Nek je fukcij f eprekid itervlu [ b, ] i diferecijbil itervlu ( b, ). Td postoji tčk ξ koj pripd dtom itervlu, tkv d vži f '( ξ ) = f ( b) f ( ) b Dokz Lgržove teoreme Primeom Kođijeve teoreme uz pretpostvku g( ) = dokzujemo Lgržeovu teoremu. Geometrijsk iterpretcij Lgržove teoreme N grfiku fukcije f koj segmetu [ b, ] ispujv uslove Rolove teoreme, postoji br jed tčk u kojoj je tget prlel s sečicom koj spj tčke f ( ) i f ( b )(sl. 5.) - -

131 Primeri s rešejim: sl U kojoj tčki je tget krive B (, 3). Posmtrjmo fukciju y 4 y = 4 prlel tetivi AB, (,) = itervlu [,] z [,] diferecijbil z (,) A,. O je eprekid, y' = p ispujv uslove Lgržove teoreme. f() f( ) f '( ξ ) = ( ) 3 5 ξ = ξ = ξ = f ( ξ) = 4 = Zči u tčki C(, ) tget krive y = 4 je prlel tetivi 4 AB. 9. Zšto se e može primeiti Lgržov teorem fukciju itervlu [, ]? f ( ) 4 = Fukcij ije defiis u tčki =. - -

132 . Zšto se e može primeiti Lgržov teorem fukciju, < f( ) = odsečku [, ]. Fukcij f je eprekid segmetu [, ] li ije diferecijbil u tčki = (,). Tejlorov teorem Nek je fukcij f -put diferecijbil segmetu [ b, ] i im izvod b. Td z [ b, ] vži: (+)-og red itervlu (, ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) f( ) = f( ) + ( ) f '( ) + f ''( ) f ( ) + f ( ξ )!! ( + )! gde broj ξ pripd itervlu (, ) z >, odoso broj ξ pripd itervlu (, ) z >. Dokz Tejlorove teoreme D bi se dokzlo vedeo tvrđeje defiišu se dve ove fukcije g i h rgumet r, sledeći či ( r) ( r) ( ) g() r = f () f () r + ( r ) f '() r + f ''() r f () r + h() r! + ( r) hr () = ( + )! Ako se uzmu u obzir svi uslovi koje zdovoljv fukcij f,može se zključiti d fukcije g i h ispujvju sve uslove Košijeve teoreme segmetu [, ]. Zto postoji broj ξ koji pripd itervlu (, ) z > i z kog vži sledeć relcij g'( ξ) g( ) g( ) = h'( ξ) h( ) h( ) - 3 -

133 D bi dokzli Tejlorovu teoremu potrebo je u gorjem izrzu zmeiti vredosti g '( ξ ), h'( ξ ), g( ), h'( ), g( ), h( ). Ako u izrzim z fukcije g( r ) i hr ( ) rgumet r zmeimo s, dobijmo d je u tom slučju vredost fukcij g( ) = h( ) =, ko rgumetu r dodelimo vredost, vredost fukcij g( r ) i hr ( ) je ( ) ( ) ( ) g ( ) = f( ) f( ) + ( ) f'( ) + f''( ) f ( ) + h ( )! ( ) h ( ) = ( + )! +. Tkođe vredosti prvih izvod fukcij g( r ) i hr ( ) u tčki ξ je ( ξ + ) = f ξ, h' ( ξ ) ( ) ξ g'( ξ) ( )( =.!! Kd se fukcije g( r ) i hr ( ) i jihovi prvi izvodi u tčkm i, zmee u Košijevoj teoremi z posmtre fukcije dobij se: + ( ) ( ) ( ) ( + ) f( ) = f( ) + ( ) f '( ) + f ''( ) f ( ) + f ( ξ)!! ( + )! N isti či se izvodi dokz z segmet [, ], gde ξ pripd itervlu (, ) čime je Tejlorov teorem dokz. + ( ) ( + ) U Tejlorovoj formuli uobičjeo je d se čl f ( ξ ) ozčv ( + )! ko R ( ) +, i predstvlj grešku proksimcije ili osttk. Deo Tejlorove formule ( ) ( ) ( ) T( ) = f( ) + ( ) f '( ) + f ''( ) f ( ).!! se ziv Tejlorov poliom stepe. Tejlorov poliom im široku primeu pri izrčuvju proksimtive vredosti rzličitih fukcij z eku vredost rgumet. Pri ovkvoj proksimciji čii se grešk, koj je uprvo jedk člu R ( ) +, koji se iz tog rzlog i ziv grešk proksimcije ili osttk i predstvlj rzliku između tče vredosti i jee proksimtive vredosti. Specijl slučj Tejlorove formule z vredost = ziv se - 4 -

134 Mkloreov formul. Ov formul vži z koje pripd itervlu [,b ] i glsi: ( ) f ( ) = f() + f '() + f ''() f () + R!! ( + ) ( ) gde je osttk R = + + f ( ξ). ( + )! Primeri s rešejim:. Aproksimirti fukciju f( ) = +, Tejlorovim poliomom drugog stepe u okolii tčke =. f ( ) = = + f '( ) = f '( ) = = ( + ) ( + ) f ''( ) = f ''( ) = = 3 3 ( + ) ( + ) T ( ) = f( ) + f '( )( + ) + f "( )( + )!! T ( ) = + ( )( + ) + ( )( + ) T ( ) = ( + ) ( + ). Koristeći Mkloreov poliom dokzti vljost približe formule 4 cos +. 3 f( ) = cos f() = f '( ) = cos ( si ) = si, f '() = f ''( ) = cos, f ''() = f '''( ) = 4 si, f '''() = IV f ( ) = 8cos, IV f () =

135 f ( ) f() + f '() + f ''() + f '''() + f ()!! 3! 4! 4 cos + ( ) cos IV 4 Lopitlov teorem Fukcije f i g su diferecijbile u ekoj okolii tčke, osim evetulo u tčki. Nek su zdovoljei uslovi: f ( ) i g( ) kd, g'( ) z i postoji f '( ) f ( ) f ( ) f '( ) lim td postoji lim i vži lim = lim. g '( ) g ( ) g ( ) g'( ) Dokz Lopitlove teoreme D bi se dokzlo vedeo tvrđeje defiišu se dve ove fukcije f i g sledeći či f ( ) f( ) =, z svko i f ( ) = z =. g ( ) g( ) =, z svko i g ( ) = z =. Ovko defiise fukcije zdovoljvju sledeće jedkosti: lim f ( ) = lim f( ) = f ( ) = i lim g ( ) = lim g( ) = g ( ) = N ovkv či defiise fukcije f i g zdovoljvju sve uslove Košijeve teoreme, jer kko su fukcije f i g diferecijbile u okolii tčke, osim evetulo u tčki, od su oe i eprekide u defiisoj okolii, osim evetulo u tčki. Iz vedee kosttcije i defiicije fukcij f i g sledi d su i fukcije f i g eprekide u posmtroj okolii. Iz Košijeve teoreme sledi d postoji tčk ξ, koj zdovoljv sledeću jedkost

136 f( ) f( ) f'( ξ ) =. g( ) g( ) g'( ξ ) Rije je pokzo d je f ( ) = i g ( ) =, p se iz prethodo vedee jedkosti z vredosti dobij f( ) f '( ξ) =. g ( ) g'( ξ) f( ) f '( ξ ) lim = lim, g ( ) ξ g'( ξ ) čime je Lopitlov teorem dokz. Specijl slučj Lopitlove teoreme se dobij z vredosti lim f( ) = lim g( ) =. f '( ) Ako postoji lim, td vži Lopitlov teorem i dobij se g '( ) f ( ) f '( ) lim = lim. g ( ) ξ g'( ) Lopitlov teorem im primeu pri određivju gričih vredosti, jer se pomoću odgovrjućih trsformcij dobijju griče vredosti z eodređee izrze ko što su,,,,,,. Primeri s rešejim: 3. Nći lim 3 Kko je lim( ) = i 3 lim( ) 3 = diferecijbile u okolii tčke = i kko su fukcije y = i y =, to se može primeiti Lopitlov teorem p će biti lim lim lim 3 = = = si 4. Izrčuti lim

137 Kko je lim( si ) = i 3 lim 3 = diferecijbile u okolii tčke = = i kko su fukcije y = si i y, to se može si cos primeiti Lopitlov teorem: lim = lim. 3 3 Immo oblik ( ) i kko fukcije zdovoljvju uslove primeićemo još jedom Lopitlovu teoremu: cos si lim = lim = Nći lim + e. Fukcije y = i y= e zdovoljvju uslove Lopitlove teoreme lim = ( ) = lim =. + e + e 6. Izrčuti lim l + Ov grič vredost je oblik, ko je pišemo d primeimo Lopitlov teorem: l lim l lim lim = = = lim = Izrčuti lim l l lim + Ovj limes je oblik l. Sobzirom d je = e = e i d je ekspoecijl fukcij eprekid biće, l l lim lim lim lim e e e = = = = e moći ćemo - 8 -

138 8.5. IZVODI I DIFERENCIJALI FUNKCIJA DVE NEZAVISNO PROMENLJIVE Nek je z = f (, y) eprekid fukcij dve ezviso promeljive u oblsti D R. Prcijli izvod fukcije dve ili više ezviso promeljivih po jedoj promeljivoj je izvod te fukcije po toj promeljivoj uz predpostvku d su ostle promeljive kostte. Ako fukcij z im izvod po promeljivoj od se tj izvod zove prcijli izvod fukcije z po i obeležv se s: z f (, y) f( +Δ, y) f(, y) z' = = = f '( ) (, y) = lim Δ Δ Ako fukcij z im izvod po promeljivoj y od se tj izvod zove prcijli izvod fukcije z po y i obeležv se s: z f(, y) f(, y+δy) f(, y) z' y = = = f '( y) (, y) = lim y y Δ y Δy Iz defiicije prcijlih izvod sledi d se oi izrčuvju pomoću prvil z izrčuvje izod fukcij s jedom promeljivom. Primeri s rešejim: 3. Prcijli izvodi fukcije z = + y+ 3+ y su: z y 3 z = + + = + y y 3. Z fukciju z = + y pokzti d je: z z + y = z y z y z = i =, ( + y) y ( + y) y + y = y. ( + y) ( + y) + y - 9 -

139 Prcijli diferecijl fukcije s dve i više promeljivih po jedoj promeljivoj je proizvod prcijlog izvod fukcije po toj promeljivoj i prirštj te promeljive, odoso diferecijl te promeljive. U slučju fukcije z = f (, y) prcijli diferecijli su sledeći: z z z z dz = Δ = d dz y = Δ y= dy. y y Zbir svih prcijlih diferecijl se ziv totli diferecijl. U slučju fukcije z = f (, y) totli diferecijl je: z z z z dz = Δ + Δ y = d + dy y y Prirštj fukcije z = f (, y) po defiiciji je: Δ z = f ( +Δ, y+δy) f (, y) z z Δ z = Δ + Δ y+ εδ + εδy y gde ε i ε, kd Δ i Δy Totli diferecijl može se upotrebiti u približim rčuim. Ako su Δ i Δ y dovoljo mli, od se prirštj fukcije z može zmeiti s totlim diferecijlom fukcije z, tj. Δ z = f ( +Δ, y+δy) f (, y) dz. Prcijli izvodi i totli diferecijli višeg red Nek je dt fukcij z = f (, y) koj im prcijle izvode prvog red: z f z f = = f '(, y) = z'(, y) i = = f '(, y y) = z'(, y y) y y Ovi prcijli izvodi su tkođe fukcije od, y i mogu imti svoje prcijle izvode odoso prcijle izvode drugog red ili drugi prcijli izvod: z f z f = = f ''(, ) '' (, ) y= z y = = f '' y( y, ) = z'', y( y, ) y y z f = = f '' y( y, ) = z'' y( y, ) y y z z = = f '' (, ) '' (, ) yy y= z yy y y y Ako su prcijli izvodi prvog red eprekide fukcije td su mešoviti prcijli izvodi drugog red jedki: - 3 -

140 z z = y y N slič či se dobijju prcijli izvodi trećeg, četvrtog,..., -tog red. Iz defiicije prcijlog izvod sledi d egzistecij prcijlog izvod -tog red u ekoj tčki povlči z sobom egzisteciju predhodih (-)-og prcijlog izvod u okolii posmtre tčke. Nek je dt fukcij z = f (, y) i totli diferecijl prvog red. z z dz = d + dy y Kko se d i dy mogu smtrti ko kostt, tko je totli diferecijl prvog red fukcij od i y, koj može imti svoj totli diferecijl, koji se zove totli diferecijl drugog red (drugi totli diferecijl) z z d z = d( dz) = d d + dy y = z z z z = d + dy d + d + dy dy = y y y z z z z = d + dyd + ddy + dy = y y y z z z = d + ddy + dy y y N slič či se dobijju totli diferecijli trećeg, četvrtog,..., -tog red. Primer s rešejem: Nći prvi i drugi totli diferecijl fukcije z = + 4 y + 7y+ z = 3 3 z 4 + 8y + 7y = y + 7 y z 3 z = + 8y = 4 y y z z = 4y + 7 = 4y + 7 y y 3 3 dz = (4 + 8y + 7 y) d + ( y + 7 ) dy - 3 -

141 d z = ( + 8 y ) d + (4y + 7) ddy + 4 ydy 3 Ekstreme vredosti Potreb uslov z postojje ekstreme vredosti D bi fukcij z = f (, y) iml ekstremu vredost u tčki (, y ) potrebo je d: z'(, y ) = i z'( y, y ) = Tčke u kojim su prvi prcijli izvodi jedki uli su stciore tčke. Dovolj uslov z postojje ekstreme vredosti Nek je (, y ) stcior tčk fukcije z = f (, y) i ek je: A= z'' (, y ) ; B = z'' y (, y) ; C = z'' yy (, y) ; Δ = B A C ) Ako je Δ < fukcij z = f (, y ) im u tčki (, y ), (, y) ekstremu vredost i to ko je A< ( C < ) im mksimum, ko je A> ( C > ) im miimum. b) Ako je Δ > fukcij z = f (, y ) em u tčki (, y ), (, y) ekstremu vredost. c) Ako je Δ = slučj je eodređe i potreb su dlj ipitivj. (, y) Uslovi ekstrem Ekstrem vredost fukcije z = f (, y) gde su promeljive i y veze ekim dodtim uslovom g(, y ) = je uslovi (vezi) ekstrem fukcije. Z određivje uslovog ekstrem jpre se formir tzv. Lgržov fukcij F(, y ) : F(, y) = f (, y) + λ g(, y) gde je λ - kostt (Lgržov možilc). Stciore tčke z egzisteciju ekstrem Lgržove fukcije određuju se iz uslov: F f g = + λ = F f g = + λ = y y y - 3 -

142 F f = + g(, y) = + g(, y) = g(, y) = λ λ Iz ovog sistem jedči određuju se vredosti i, y i i λ odoso stciore tčke (, y ) u kojim fukcij može imti ekstremu vredost. i i D li u stcioroj tčki (, y ) fukcij im ekstremu vredost određuje se preko zk drugog diferecijl u toj tčki: F F F ϕ ϕ d F = d + ddy + dy gde je d + dy = y y y Ako je d F < fukcij z f (, y ) (, y) stcioroj tčki i z m = f(, y ), ko je = im uslovi mksimum u d F > td fukcij (, y) z = f (, y) im uslovi miimum u stcioroj tčki i zmi = f(, y ). Ako je d F = potreb su dlj ispitivj. Primeri s rešejim: 34. Nći ekstreme vredosti fukcije z = + + 4y y. Njpre se određuju stciore tčke z = =, z =, z = 4 y =, z y =. y Ztim se određuju prcijli izvodi drugog red z z z = = = y y N osovu dobijeih podtk određuje se Δ= ( )( ) = 4< A = <, fukcij z im mksimum u tčki (, ) zm = z(, ) = Nći uslove ekstreme fukcije z = + y pri uslovu + y = Fukcij Lgrže je Fy (, ) = + y+ λ( + y ) Prcijli izvodi prvog red su:

143 F = + λ, F F = y + λ, = + y y λ Rešeje sistem jedči + λ = y + λ = + y = =, y =. λ =, F F F Kko su: =, =, = y y,, df = d+ dy >. zči d fukcij z = + y pri uslovu + y = im miimum u tčki,, z mi = PRIMENA DIFERENCIJALNOG RAČUNA Ispitivje tok i crtje grfik fukcije Nko izlgj osov diferecijlog rču, u ovom odeljku će se rzmotriti jed jegov prime. Ispitivje tok i crtje grfik fukcije čii zčjo poglvlje u mtemtici, diferecijli rču je eizostvljiv pri ovim opercijm. Iz vedeih rzlog u dljem tekstu će se dti jvžije defiicije i teoreme koje se koriste. Neki od osovih pojmov koji se pomiju pri ispitivju tok i grfik fukcije su već vedei i defiisi u predhodom tekstu - pojmovi loklog ekstremum (loklog mksimum i miimum) i stciorih tčk su defiisi u delu tekst s dokzom Fermove teoreme, p ih ećemo povljti. Prv teorem koj se rzmtr je teorem o vezi mootoosti fukcije i prvog izvod fukcije

144 Teorem o mootoosti fukcije Nek je fukcij f diferecijbil i mootoo rstuć itervlu ( b, ), td je f '( ) z svko koje pripd itervlu ( b, ). Tkođe vži i obrut relcij, ko je f '( ) > z svko koje pripd itervlu ( b, ) td je f mootoo rstuć fukcij z svko koje pripd itervlu ( b, ). Ako se vede teorem posmtr geometrijski dobij se sledeć situcij. Nvedeo je u rijem tekstu d je geometrijsk iterpretcij prvog izvod fukcije u ekoj tčki koeficijet prvc tgete fukcije u posmtroj tčki. U slučju d je fukcij mootoo rstuć, td je prem teoremi prvi izvod fukcije pozitiv, zči tges ugl između tgete i pozitivog smer ose je pozitiv, p je ugo oštr. Alogi zključci se izvode i z mootoo opdjuće fukcije, gde je prvi izvod egtiv. Geometrijsk iterpretcij ovog tvrđej je d je ugo između tgete u posmtroj tčki i pozitivog smer ose tup (sl. 6.). sl. 6 Sledeće teoreme dju dovolje uslove z postojje loklih ekstremih tčk fukcije. Postoji više či određivj loklih ekstremih tčk fukcije. Jed je pomoću zk prvog izvod fukcije u okolii tčke čiji je prvi izvod jedk

145 Teorem o loklim ekstremim fukcije pomoću zk prvog izvod Nek je fukcij f diferecijbil u okolii tčke, ko je f '( ) = i ( ( δ, )) f '( ) >, ( ( + δ, )) f '( ) < gde je δ pozitiv dovoljo mli broj, td je tčk, tčk loklog mksimum fukcije f (sl. 7.). sl. 7 Alogo glsi teorem z tčku loklog miimum fukcije. Tčke loklih ekstrem mogu se odrediti i pomoću vredosti drugog izvod fukcije. Teorem o loklim ekstremim fukcije pomoću drugog izvod Nek je fukcij f diferecijbil itervlu ( b, ) i ek vži relcij f '( ) =. Td sledi: ko je f ''( ) <, td je tčk loklog mksimum, ko je f ''( ) >, td je tčk loklog miimum. Pomoću vedee teoreme se u većii slučjev može odrediti lokl ekstrem tčk fukcije. Problem predstvljju situcije kd drugi izvod fukcije im vredost, jer ov situcij ije obuhvće izložeom teoremom. Z tkv slučj potreb je geerlizcij prethode teoreme korišćejem izvod višeg red

146 Teorem o loklim ekstremim fukcije pomoću izvod -tog red Nek je f diferecijbil fukcij koj im sve izvode, od prvog red do izvod ()- tog red, i ek vži relcij ( ) ( ) f '( ) = f ''( ) =... = f ( ) = i f ( ) z vredosti. Td vže sledeć prvil: ko je pr broj, jeste lokl ekstrem tčk i to lokli mksimum ko je ( ) f ( ) >. ( ) f ( ) <, lokli miimum ko je ispujeo ko je epr broj, ije lokl ekstrem tčk. Pored određivj tčk loklih ekstremum, diferecijli rču pojedostvljuje i postupk ispitivj koveksosti ili kokvosti fukcije i određivj prevojih tčk. Prvo je potrebo defiisti vedee pojmove. Teorem o kokvosti (koveksosti) fukcije pomoću izvod Ako je f diferecijbil fukcij, td je f kokv (koveks) fukcij itervlu ( b, ) ko i smo ko je f '( ) eopdjuć (rstjuć) ili f ''( ) ( f ''( ) ) fukcij itervlu ( b, ). Dokz teoreme o kokvosti (koveksosti) fukcije pomoću prvog izvod Dokz se izvodi u dv del. Prvi deo dokzuje tvrdju o kokvosti ko je prvi izvod eopdjuć fukcij, drugi deo dokzuje ko je prvi izvod eopdjuć fukcij, td je fukcij kokv. Nek je f kokv fukcij i t i r dve tčke koje pripdju itervlu ( b, ) i to tkve d vži t < r. Iz tvrdje d je fukcij koveks z eku tčku [ tr, ] sledi: r t f ( ) f ( t) + f ( r) r t r t f ( ) f ( t) f ( r) f ( ) t r S gričim vredosti dobij se:

147 f f ( ) f ( t) f ( r) f ( ) f ( r) f ( t) '( t) = lim lim =. t + t t + r r t Tkođe vži i f () r f() t f() f() t f() r f() = lim lim = f '( r) r t t t t r p se izvodi zključk d je f ( r) f ( t) f '( t) f '( r). r t Ovim tvrđejem je dokzo d je u slučju kokve fukcije je prvi izvod eopdjuć fukcij. Pretpostvljmo d je f ' eopdjuć fukcij. Nek su t i r dve tčke koje pripdju itervlu ( b, ) i to tkve d vži t < r i ek su c i d reli brojevi z koje vži c+ d =. Treb dokzti d je f ( ct + dr) cf ( t) + df ( r). Specijle vredosti c i d su kd je jed od ov dv broj jedk, drugi jedk. U ovim slučjevim dokz ovog del teoreme je očigled. Z ostle vredosti c i d, zmeimo s = ct + dr, td pripd tr, i može se primeiti Lgržov teorem, p postoji tčk segmetu [ ] α (, t) i β (, r) i, tko d vži f ( ) f ( t) = f '( α )( t) f ( r) f ( ) = f '( β )( r ) Pretpostvk d je f ' eopdjuć fukcij, f ( ) f ( t ) ( ) ( ) '( ) '( ) f r = f α f β = f, t ( r ) odoso r t f ( ) f ( t) + f ( r). r t r t Ovim tvrđejem je teorem dokz

148 Alogo mootoosti fukcije i pojvi loklih ekstremih tčk, uz pojm kokvosti (koveksosti) fukcije povez je pojv prevojih tčk fukcije. Defiicij prevojih tčk fukcije Nek je fukcij f eprekid u tčki. Ako vže relcije ( ( δ, )) f je kokv (koveks) i ( ( + δ, )) f je koveks (kokv) gde je δ pozitiv dovoljo mli broj, td je tčk prevoj tčk fukcije f. Zči prevoje tčke su oe tčke u kojim fukcij mej svoju koveksost, odoso kokvost, u kojim tget seče grfik fukcije. sl. Alogo rije vedeim teoremm o izrčuvju loklih ekstremih tčk pomoću diferecijlog rču postoje i teoreme o izrčuvju prevojih tčk pomoću diferecijlog rču. Teorem o postojju prevoje tčke grfik fukcije Nek je P (, f( )) prevoj tčk grfik fukcije f i ko je f '' eprekid fukcij u okolii tčke, td je f ''( ) =

149 Teorem o prevojim tčkm grfik fukcije pomoću zk drugog red Nek je fukcij f diferecijbil u okolii tčke, i ko je f ''( ) = i vže relcije ( ( δ, )) f ''( ) > ( f ''( ) < ) i ( ( + δ, )) f ''( ) < ( f ''( ) > ) gde je δ pozitiv dovoljo mli broj, td je tčk P (, f( )) prevoj tčk fukcije f. Teorem o prevojim tčkm fukcije pomoću izvod -tog red Nek je f ( ) - put diferecijbil, z čije izvode vži: ( ) ( ) f '( ) = f ''( ) =... = f ( ) = i f ( ). z. Td vže sledeć prvil ko je pr broj td ije prevoj tčk fukcije f ko je epr broj td jeste prevoj tčk fukcije f D bi se odredio tok i grfik fukcije pri ispitivju fukcije, potrebo je posebo ispitti postojje simptot. Nko svih vedeih defiicij i teorem, z ispitivje fukcije potrebo je preko sledećih kork ispitti eke osobie i crtti grfik: Kork br. Odrediti oblsti defiisosti fukcije; Kork br. Ispitti pošje fukcije rubovim dome i odrediti simptote; Kork br. 3 Ispitti d li je fukcij pr, epr ili periodič; Kork br. 4 Odrediti tčke presek grfik s osm. Zk fukcije; Kork br. 5 Ispitti mootoost fukcije i ći ekstreme tčke fukcije; Kork br. 6 Odrediti itervle koveksosti i kokvosti fukcije i ći prevoje tčke; - 4 -

150 Kork br. 7 N osovu dobijeih tčk i ispitih osobi crtti grfik fukcije. Primeri s rešejim: 8. Ispitti osobie fukcije y = + i crtti je grfik. ) Fukcij je defiis i eprekid skupu D = (, + ). ) Kd ±, lim =, grfik fukcije im horizotlu simptotu y =. 3) Fukcij je pr. 4) Z = + y = ; z y =, = ± ; preseče tčke grfik s koorditim osm su: A(,), B(,) ; C(,) 5) y > z (, ) (, + ). y < z (,). 6) Prvi izvod fukcije: 4 y ' = ( + ) postoji z svko i pri tom y ' < z < ; y ' = z = ; y ' > z > ; fukcij opd (,) i rste (, + ) i pri tom je ymi = y() =. Ekstrem tčk miimum E(, ). 7) Drugi izvod fukcije 4( 3 ) y '' =, 3 ( + ) postoji z svko i pri tom je: y '' <, (, 3 3 ) (, + ) y '' >, (, ) y '' =,, =±

151 3 3 Grfik fukcije f je kokv krive (, ) koveks (, ) (, + ) Prevoje tčke: P (, ) i P (, ). 3 3 N osovu dobijeih podtk grfik fukcije je dt (sl..). sl Ispitti osobie fukcije y = i kostruisti je grfik. 4 ) Fukcij defiis i eprekid skupu D = (, ) (,) (, + ). ) Kd ±, td f ( ) ± ; kd ±, td f ( ) ± ; vertikle simptote su = i =. 4 Fukcij se može pisti u obliku f( ) = + p je kos 4 4 simptot y =, 4 kd ±. 3) Fukcij je epr. 4) Preseč tčk grfik s koorditim osm je O (,). 5) y > z (, ) (,); - 4 -

152 y < z (,) (, + ). 6) Izvod fukcije ( ) y ' = (4 ) postoji z D i pri tom je: y ' = z =± 3; y ' >, ( 3, ) (,) (, 3); y ' <, (, 3) ( 3, + ) i ymi = y( 3) = 3 3; ym = y( 3) = 3 3; Ekstreme tčke E ( 3,3 3) i E ( 3, 3 3). 7) Drugi izvod fukcije: 8 ( + ) y '' = 3 (4 ) postoji z D i pri tom je: y '' >, (, ) (,); y '' <, (,) (, + ); y '' =, = p je prevoj tčk P (,) Grfik fukcije je dt (sl..). sl

153 3 3. Ispitti fukciju y= e. ) Fukcij je defiis i eprekid skupu D = (, + ). ) Kd +, f ( ), p je horizotl simptot y =. Kd, f ( ) +. 3) Tčk presek s osm je O (,). 4) y > z. 5) ( 3 ) e Izvod fukcije y ' = postoji z i pri tom je: 3 3 y ' < z (,) (, + ); 3 y ' > z (, ) ; 3 ymi = y() = ; ym = y( ) = e, Ekstreme tčke (,) E(, e ). 3 9 Drugi izvod fukcije: (9 ) e y '' = postoji z i pri tom je: y '' = z ± 6 y '' = ; y '' > z (, ) (, + ); 3 3 y '' < z (,) (, ); 3 3 Postoje dve prevoje tčke čije su pscise: =,5 i =, y = f( ),34 i y = f( ),3 (sl. 3.)

154 sl EKONOMSKE FUNKCIJE Pri lizirju ko i progozirju rd poslovih subjekt u zvisosti od vrste i oblik zdtk koriste se dekvte metode i modeli u cilju uspešijeg poslovj i svodjej rizik miimum.ovog put mi ćemo upozti elemetre ekoomske fukcije: fukcije tržje, poude, troškov, dobiti. Uočvje moguće fukciole zvisosti izmedju veliči cee i tržje, obim proizvod i troškov, prihod, omogućv ekoomsku iterpretciju fukcij, uz primeu diferecijlog i itegrlog rču poslovu lizu čii precizijom i kvli-tetijom Fukcij tržje Posmtrjmo tržištu proizvod X. Alizirjući tržju (prodtu količiu proizvod X) zviso promeljivu, uočvmo d jeu promeu utiču: ce,broj potecijlih potrošč, kupov moć, mrketig (promocij), kvlitet, kokurecij i td. = f ( p,, d, m, k,...),. Dkle to je fukcij od više ezvi-so promeljivih. Domit uticj tržju proizvod X im jegov ce, p fukciju tržje u jedostvijem obliku možemo predstviti ko = f ( p), gde je p > - ce proizvod X ; ' d ( >, obim proizvodje proizvod X koji se trži tržištu) p = < dp fukcij tržje je, po prvilu, mootoo opdjuć. Nvedee uslove: p >, >, ' < uz vedeu iterpretciju zovemo potrebim uslovom postojj fukcije = f ( p) ko fukcije tržje

155 sl. 3. Ceu p možemo izrziti ko iverzu fukciju tržje p = f ( ) Primeri s rešejim:. Fukcij = 3 p+, p >, >, ' < je fukcij tržje pod dtim uslovim itervlu,, (sl. 4.). 3. Fukcij sl. 4. p p = + 4, >, >, ' < je fukcij tržje itervlu (, ) jer su svi potrebi uslovi ispujei. (sl. 4)

156 8.7.. Fukcij poude Zemrujući ostle promeljive ko fktore koji mogu uticti poudu u jedostvijem obliku možemo je posmtrti ko fukciju cee i izrziti: y = g( p), p >, ce; y >, poud proizvod X; ' dg y = > poud je, po prvilu, rstuć fukcij. dp Uslovi: p >, y >, y' > uz vedeu iterpretciju su potrebi uslovoi postojj fukcije y = g( p) ko fukcije poude. Ceu možemo izrziti ko iverzu fukciju poude p= g ( y) Primeri: 3. Fukcij y = p+ je fukcij poude s uslovim p >, y >, y' > itervlu p (, + ) 4. Fukcij y p 4 p ispujei uslovi p >, y >, y' > 5. Ncrtj fukcije poude i ći jihove iverze fukcije: p y = p+, y= p +, y= e = je fukcij poude itervlu (, ) + gde su Modeli tržišt Kojukciju fukcij tržje i poude smtrmo modelom tržišt = f ( p) y = g(p) Ceu p= p z koju se postiže ov rvotež tržištu možemo ći litički r i grfički (sl. 5.). f ( p ) = g( p ) = y r r

157 sl. 5. pk - zovemo rvotež ce i z ceu vredosti robe postiže se idel situcij tržištu te robe, emmo i viškov (zlih), i mjkov (estšic). Primeri s rešejim: 6. Dte su fukcije tržje i poude = p+ 4 i y= p +. Alitički rvotežu ceu p r dobijmo ko rešeje jedčie = y p+ 4= p + p r =. Grfičko rešeje prikzo je (sl. 6.). sl Tržj poude ekog proizvod dt je sledećim relcijm: = 6 p i y = 4p. Proći ceu i količiu pri kojim se ostvruje rvotež tržištu ovog proizvod

158 = 6 p y = 4p = y 6 p = 4 p 6 p+ 4 = + p = pr = pr =, = y = 4, = 8,8 = 6, Fukcij troškov Fukciju ukupih troškov možemo lizirti ko fukciju obim proizvodje proizvod X i ozčvmo je s C = F( ), >, obim proizvodje; C > ; ukupi troškovi. Uslove >, C >, uz vedeu iterpretciju, zivmo potrebim uslovim z egzisteciju fukcije troškov C = F( ). Troškove možemo izrčuti i po jediici proizvod, proseče troškove, i obeležiti s C : C F( ) C = = Cilj svkog profitbilog poslovj je miimizirje prosečih troškov. Dkle, iz uslov miimum : Nđemo izvod fukcije prosečih troškov C, izjedčimo s ulom i izrčumo. Z tu vredost ( ) drugi izvod C '' treb d bude pozitiv (uslov miimum), dkle, C'( ) = C''( ) > lzimo obim proizvodje z koju su proseči troškovi miimli F( ) Cmi ( ) =. Fukcij gričih troškov C ' je prvi izvod fukcije ukupih troškov df ΔF C' = F'( ) = = lim d Δ Δ, što je mer psolute promee ukupih troškov jediicu prirštj proizvodje

159 Primeri s rešejim: 8. Dt je fukcij ukupih troškov C ( ) = +, fukcij prosečih C + troškov je C( ) = = = + gričih troškov je C' = + ' = +.Grfički prikz ovih fukcij dt je (sl. 7.). ( ) ( ) sl Fukcij ukupih troškov dt je u obliku C = ) Odrediti fukciju prosečih troškov. b) Odrediti fukciju gričih troškov. C = C C = C = = C = ' C = 75 75= 3 C = 37,5 z < 37,5 proseči troškovi opdju z > 37,5 fukcij prosečih troškov rste ' C =

160 Fukcij prihod Fukcij ukupih prihod se može predstviti ko proizvod, količii prodte robe (tržje) i cee p, što zpisujemo: P = p >, fukcij tržje p >, ce, Uslovi >, p > su potrebi uslovi z egzisteciju fukcije P = p, ko fukcije prihod P. Fukciju ukupih prihod možemo izrziti preko cee: P( p) = p = p f ( p), gde je = f ( p); ili preko količie prodte robe P ( ) = f ( ), gde je p = f ( ). Fukcij prosečih prihod je količik ukupih prihod i fukcije tržje: P P = = p, dkle, proseč prihod proizvod X je jegov ce p. Prvi izvod fukcije prihod, po promeljivoj ili p, je fukcij gričih prihod: ' dp P = ; d ' dp Pp =, dp to je mer psolute promee ukupog prihod u odosu relizov obim proizvodje li u odosu prodju ceu jediice proizvod. Uspešo poslovje podrzumev težj k mksimirju prihod.ukoliko je fukcij prihod dt proporciom: P( ) = f ( ) ili P( p) = p f ( p), je mksimum lzimo sledeći či: Prvi izvod fukcije prihod, P ' izjedčimo s ulom i rešimo po (ili p). Tko dobijmo vredosti (ili p ). To su potecijle vredosti z količiu robe (ili jeu ceu) z koju se postiže mksiml prihod. Ako je drugi izvod fukcije prihod P " z (ili p ) mji od ule, to jesu vredosti koje dovode do mksimum fukcije P. Dkle, P' = ( P'' <) ili P' = ( P'' < ) ( ) ( ) ( p) ( p) - 5 -

161 Primeri s rešejim:. Ako je tržj z proizvodom X: = p+ ći mksiml prihod. P= p= p + p P' = p+ = p = P''() = < Pm() =. Fukcij tržje ekog prizvod je = p+ 4. Odrediti: ) ceu i tržju z koju će ukup prihod biti mksiml; b) Vredost mksimlog ukupog prihod. P = p = p+ 4 p = + 4 p = + P= + p = + P= + p = 6 + ' p = 6 P = + = ' P = + = P = 6 P m = Fukcij dobiti Fukcij dobiti se može defiisti ko rzlik fukcij prihod i troškov (sl. 8.). D( ) = P( ) - C( ) Ako je P( ) - C( ) > od se proizvodj proizvod X smtr retbilom. Itervl retbile proizvodje ( b, ) dobijmo iz uslov D=, odoso P( ) = C( ) i P( b) = C( b)

162 sl. 8. Svko profitbilo poslovje trži mksimirje ove fukcije. Odredimo prvi izvod fukcije dobiti, D' i jeg izjedčimo s ulom. Rešeje jedčie, odoso ule prvog izvod D ' dju vredost optimlog obim proizvodje op z koji se postiže mksiml dobit smo ko je z tu vredost drugi izvod, D " mji od ule. Dkle potreb i dovolj uslov z mksimum ove fukcije je: D'( p) = P'( p) C'( p) = D''( p) < D ( ) m op se postiže pri obimu proizvodje p, optimlom obimu proizvodje. Primeri s rešejim:. Fukcij dobiti je D ( ) = P ( )- C ( ) = Nje mksimum određujemo: D' = + = p = D'' = < D () = 499 m 3. Ukupi troškovi dti su fukcijom C = + ukupi prihodi dti su fukcijom P= + 3. Odrediti optimlu proizvodju i ceu pri kojoj će 5 dobit biti mksiml

163 C = + P = D P C = = + = 5 5 ' + 5 D = 5 + 5= op = P P= p p = p= 5 5 p = + 3 p = + 3 = = Dm = 5 D = 5 m Elstičost ekoomskih fukcij Pod pojmom elstičosti se smtr mogućost d jed veliči reguje promeu veličie od koje zvisi. Elstičost se meri i izrčuv pomoću jeog koeficijet E y, ( je ezviso promeljiv, y je zviso promeljiv). Po defiiciji koeficijet elstičosti je grič vredost količik reltivih prome promeljivih y i kd prirštj Δ teži. E y, Δy y Δy = lim = lim = y'. Kd je: Δ Δ y Δ Δ y

164 E y, < y je eelstič prem E y, = jedči ormle elstičosti E y, > y je elstič prem Kokreto z vedee ekoomske fukcije možemo ći jihove koeficijete elstičosti: Elstičost tržje p Ep, = ' Zk mius se kod elstičosti tržje dodje u defiiciji d se obezbedi pozitiv vredost koeficijet ( ' im, po prvilu, egtivu vredost). E, p pokzuje z koliko će se procet (promil) približo promeiti (smjiti) tržj kd se ce poveć z jed procet (promil). E p, < tržj je eelstič, porst cee z % dovodi do pd tržje z mje od % E = tržj opd z % kd ce rste z % p, E p, > tržj je elstič,kd se ce poveć z % tržj opd z više od % Primeri s rešejim: 4. Z tržju =- p+ koeficijet elstičosti je p p Ep, = ( p+ )' =. Z ceu p = 8 elstičost p+ p+ 8 je E,8 = = 4 Ce z koju je elstičost tržje jediič zove se krkteristič ce i obeležv se s p c. 5. Z fukciju tržje =- 3p+ 6 koeficijet elstičosti je 3p 3 Ep, =- krkteristič ce je p - 3p + c = E, 6 p = =

165 Elstičost ukupih troškov izrčuv se po koeficijetu: C' C' Ec, = C ' koji se može pisti i Ec, = = C C C Elstičost prosečih troškov je: C' C E = C' = = C' = E, C, C C C C Dkle može se E izrčuti i preko E C, C,. Aliz koeficijet elstičosti ukupih troškov upućuje s povezost gričih i prosečih troškov. Kd je: E <, td je C' < C; C, E =, td je C' = C; C, E >, td je C' > C. C, Primer s rešejem: 3 6. Dt je fukcij ukupih troškov C= - +. Nći koeficijet elstičosti z fukcije CCC,, '. Pokzti d su miimli proseči troškovi jedki gričim C, = ( + )' = 3 E + + E = ( + )' = C, EC, = = = E C, + + S obzirom d je fukcij prosečih troškov C= - +, je miimum lzimo sledeći či: 7 ( C)' = = = Cmi = 4 7 C' = 3 + C' =

166 U opštem slučju vži d su miimli proseči troškovi jedki gričim troškovim. Elstičost fukcije prihod p ' Koeficijet elstičosti izrčuvmo preko cee EP, p= P( p), ili preko P tržje E p, = P( )'. P Kko je P= p p = p f( p) to se E Pp, može izrziti : p f( p) + p f '( p) EPp, = ( f( p) + p f '( p) ) = = p f( p) f( p) p + f '( p) = + Ep, f( p) Kd je E p, < (tržj eelstič), ukupi izdci potrošč se povećvju. Ako je E p, =, td porst ili pd cee e utiče prodju. Z E p, > (tržj je elstič) porst cee dovodi do opdj prihod i obruto. Primer s rešejem: 7. Odrediti elstičost sledećih fukcij ) b) c) d) 3 y = + 3 z = 3 y = e z = 3 y = e z = 5 y = 4 l z = e

167 ) b) c) d) 3 = + y 3 y' 3 4 E E E (3 4 ) y, = 3 y, 3, y E =. y y= e = = = = > fukcij je elstič. 3 y' = 6e E E 3 y, 3, y y = 3 6e = = 6 e = 6 > fukcij je elstič 3 e ' = y e e y = e + E E 3 ' (3 ) y, 3 y, 3 e (3 + ) 3 = = 3 + e = + = + = > 4 y = l y ' = 4 l + = 4 l + = (4l + )

168 E E 3 y, = = 3 ey, (4l + ) (4l + ) 4 l 4l e(4l e+ ) 5e = = 4le 4 KLJUČNI POJMOVI: DIFERENCIJABILNOST IZVOD TANGENTA DIFERENCIJAL PARCIJALNI IZVOD

169 - 6 -

170 IV-GLAVA INTEGRALNI RAČUN SADŽAJ OVOG POGLAVLJA JE: OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA NEODREĐENI INTEGRAL TABLICA NEODREĐENIH INTEGRALA OSNOVNIH FUNKCIJA OSNOVNA PRAVILA INTEGRACIJE PRIMENA INTEGRALNOG RAČUNA Cilj m je d ovj rču uvedemo preko:. Osovih pojmov.. Prvil i osobi. 3. Tblic itegrl. 4. Nekih metode z rešvje. 9. NEODREĐENI INTEGRAL 9.. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA NEODREĐENI INTEGRAL U rijem delu tekst prikzi su čii izrčuvj izvod. Tem ovog poglvlj je iverz proces. Pitje je ko je pozt izvod eke fukcije, kko odrediti tu fukciju. Tko dolzimo do pojm itegrl. D bi se defiiso pojm itegrl i čii jegovog izrčuvj, potrebo je uvesti eke ove pojmove. Jed od jih je pojm primitive fukcije. Defiicij primitive fukcije Fukcij F se ziv primitivom fukcijom fukcije f itervlu ( b, ) ko je F diferecijbil fukcij itervlu ( b, ) i ko z svko iz ovog itervl vži F '( ) = f ( ) - 6 -

171 U defiiciji primitive fukcije može d se i e vede uslov d je F diferecijbil fukcij, jer se tj zključk može izvesti iz uslov defiicije. Tkođe, iz sme defiicije primitive fukcije e može se zključiti koji su uslovi potrebi z postojje ove vrste fukcij. Teorem o uslovim postojj primitive fukcije Ako je fukcij f eprekid itervlu ( b, ) td o tom itervlu im primitivu fukciju. U sledećim teoremm biće dokze eke osobie primitivih fukcij. Teorem o obliku primitive fukcije Ako je fukcij F primitiv fukcij fukcije f itervlu ( b, ) i C je proizvolj kostt, td je i fukcij F+ C tkođe primitiv fukcij fukcije f. Vži i obrut stv, d se svk primitiv fukcij fukcije f može pisti u obliku F+ C, gde je z svko iz posmtrog itervl prvi izvod fukcije F jedk f. Dokz teoreme o obliku primitive fukcije Dokz ove teoreme se sstoji iz dv del, gde se u svkom delu dokzuje po jed stv iskz u teoremi: Prvo se vodi dokz prvog stv teoreme. Iz uslov d je F prmitiv fukcij fukcije f, sledi d je prvi izvod ove fukcije jedk f. Td vži sledeće tvrđeje ( F( ) + C)' = F '( ) = f ( ), čime je prvi stv teoreme dokz. Iz ovog stv se može izvesti zključk d ko ek fukcij im primitivu fukciju određeom itervlu, td tom itervlu im beskočo mogo primitivih fukcij koje se rzlikuju z kosttu. Sd treb dokzti drugi stv teoreme. D bi dokzli ovj stv uvodimo ovu fukciju h koj je ek primitiv fukcij fukcije f, što zči d vži d je je prvi izvod jedk f. Uvodimo rzliku ovodefiise fukcije i fukcije F i izrčuv se prvi izvod ove rzlike. r'( ) = ( h( ) F( ))' = h'( ) F( ) = f ( ) f ( ) = Fukcije F i h su primitive fukcije, p osovu rije dokze teoreme sledi d su i eprekide i diferecijbile posmtrom itervlu. Smim - 6 -

172 tim i fukcij koj predstvlj rzliku ove dve fukcije je eprekid i diferecijbil itervlu ( b, ). Prvi izvod ove fukcije je, zči d je r( ) = C gde je C proizvolj kostt, po defiiciji ove fukcije o je r( ) = h( ) F( ), h ( ) = F ( ) + C čime je i drugi stv teoreme dokz. N osovu prethodo defiisih pojmov i dokzih teorem može se defiisti pojm eodređeog itegrl fukcije. Defiicij eodređeog itegrl fukcije Skup svih primitivih fukcij fukcije f ziv se eodređei itegrl ove fukcije i ozčv se def f ( d ) = F( ) + C ( F ( ) + C)' = f( ) Postupk lžej primitive fukcije z dtu fukciju se ziv itegrcij, fukcij f se ziv poditegrl fukcij, izrz f ( d ) se ziv poditegrli izrz. Fukcij f z koju postoji eodređei itegrl oblik f ( d ) se ziv iegrbilom fukcijom. Iz defiicije eodređeog iegrl fukcije može se zključiti d je izvod eodređeog iegrl jedk poditegrloj fukciji: f ( d ) ' = f( ), diferecijl eodređeog iegrl jedk poditegrlom izrzu: d f( d ) = f( d ) Tkođe još jed osobi eodređeog itegrl je d je eodređei itegrl diferecijl fukcije f ( ) jedk f ( ) + C (C je proizvolj kostt),tj. df ( ) = f ( ) + C U redim odeljcim je dt tblic eodređeih itegrl osovih fukcij i osov prvil itegrcije, čime se pojedostvljuje či izrčuvj itegrl ekih fukcij

173 9.. TABLICA NEODREĐENIH INTEGRALA OSNOVNIH FUNKCIJA N osovu tblice izvod osovih fukcij, koj je prikz u rijim poglvljim i osovih pojmov koji su rzmtri u prethodom odeljku, dobij se tblic eodređeih itegrl osovih fukcij. Nvedei itegrli prikzi u ovoj tblici se zivju još i tbliči itegrli. U dtoj tblici, u svim prvilim, C predstvlj proizvolju kosttu.. d = + C d= + C, + d = l + C = + ed e C d= + C, < l 6. si d = cos + C 7. cos d = si + C d = tg+ C cos d = ctg+ C si d = rcsi + C, <. d = rctg+ C. + d = l C. + d = l + + C 3. d = l + C 4. + d = rcsi + C 5. d = rctg + C 6. + Treb glsiti d svko prvilo vži u itervlu u kome je poditegrl fukcij defiis

174 9.3. OSNOVNA PRAVILA INTEGRACIJE U ovom odeljku su dt prvil itegrcije koj predstvljju osovu iregrlog rču. Ako je C proizvolj kostt C, td vži Cf ( ) d = C f ( ) d Neodređei itegrl zbir fukcij jedk je zbiru eodređeuh itegrl ovih fukcij: f ( ) + f ( ) d= f ( ) d+ f ( ) d Primeri s rešejim: [ ]. Izrčuti itegrl. Izrčuti itegrl 3 + d= + + C (3 ) I = ( + )( + ) d ( + )( + ) = = + = +, I = ( + ) d= d+ d= + + C = + + C Izrčuti itegrl ( ) I = d 3 ( ) + = = + = , 3 3 I = ( + ) d = d d + d =

175 = + + C = C Izrčuti itegrl Kko je 3 ( + ) I = d ( + ) ( + ) = = = = , I = d+ 3 d+ 3 d+ d= C = C Izrčuti itegrl I = tg d. Kko je si cos tg = = =, cos cos cos d I = ( ) d = d = tg + C. cos cos

176 Metode itegrcije Metod zmee ili metod smee promeljivih Nek je f ( g( )) slože diferecijbil fukcij itervlu ( cd, ) i ek je g mooto i diferecijbil fukcij itervlu ( b, ), pri čemu vredost g ( ) pripd itervlu ( cd, ). Td vži sledeć relcij [ ] f ( d ) = f gt ( ) g'( tdt ), gde posle itegrcije treb zmeiti t = g ( ). Ovo prvilo omogućv d ko je f fukcij eke složee fukcije po d se uvede sme = gt (), odoso d = g '( t) dt, čime se dobio tbliči itegrl. Nko izrčuvj ovog itegrl primejuje se iverz opercij, odoso t se izržv u fukciji od ( t = g ( )). Primeri s rešejim: 6. Izrčuti itegrl Uvodimo smeu 5 I = si cos d t = si dt = cos d, 7. Izrčuti itegrl = = + = si I tdt t C C d I = + t = + dt = d d = dt, dt I = = l t + C = l( + ) + C. t 8. Izrčuti itegrl d I =. + Prvo vršimo idetičku trsformciju poditegrle fukcije

177 d d I = = ( + ) + ( ) ztim uvodimo smeu t = dt = d d = dt, dt dt I = = = rc tg t + C = rctg + C. + t + t 9. Izrčuti itegrl d d d I = = =, ( > ). ( ) ( ) t = dt = d d = dt, dt I = rcsi t C rcsi C. t = + = +. Izrčuti itegrl d I = 4 + t = dt = d d = dt, dt I = = rctg t+ C = rctg + C. + t. Izrčuti itegrl I = d, ( > ). = si t d = costdt i t = rcsi, I = si t cost dt = cos tdt = ( + cos t) dt = = ( t+ si t) + C = rcsi + + C

178 . Izrčuti itegrl I = e d. t = dt = d d = dt, t t t I = e dt = e dt = e + C = e + C I = e I = e ( e e + C) = e e + e + C= = e + + C ( ). Metod prcijle itegrcije Nek su fukcije f I f diferecijbile fukcije itervlu ( b, ) I ek postoji eodređei itegrl f( ) f'( ) d. Td itervlu ( b, ) postoji I eodređei itegrl f( ) f ' ( ) d I vži sledeće tvrđeje f( ) f ' ( ) d= f( ) f( ) f( ) f ' ( ) d Ako obeležimo s u = f( ) v= f ( ) od možemo ovo prvilo zpisti vdu = u v udv. Dokz: Treb poći od izvod proizvod fukcij f i f ( f( ) f( ))' = f ' ( ) f( ) + f( ) f ' ( ) odoso ( f( ) f( ))' f( ) f ' ( ) = f ' ( ) f( ) Sd se može izvršiti itegrcij gorje jedkosti i dobij se f( ) f ' ( ) d= ( f( ) f( ))' d f( ) f ' ( ) d. Potrebo je izrčuti itegrl ( f( ) f( ))' d. Koristeći osove osobie eodređeih itegrl dobij se ( f( ) f( ))' d= f( ) f( ) i zmeom u dobijeu jedkost sledi

179 f ( ) f ' ( ) d= f ( ) f ( ) f ( ) f ' ( ) d čime je prvilo br. 4 dokzo. Primeri s rešejim: 3. Izrčuti itegrl I = l d. u = l du = d i dv = d v =, p je () I = l d = l d = l + C = (l ) + C. 4. Izrčuti itegrl I = si d. u = du = d i dv = si d v = cos, I = cos ( cos ) d= cos + cos d= cos + si + C 5. Izrčuti itegrl I = rctgd. u = rctg du = d i dv = d v =, + d I = rctg = rctg l( + ) + C + 6. Izrčuti itegrl I = e d. u = du = d i dv = e d v = e, I = e e d= e e d= e e d. D bi izrčuli itegrl I = e d primeićemo poovo metodu prcijle itegrcije u = du = d i dv = e d v = e, I = e e d= e e + C, - 7 -

180 7. Izrčuti itegrl I = ( + 7 5)cos d. u= du= (+ 7) d dv = cos d v = si, I = ( + 7 5) si (+ 7)si d. D bi izrčuli itegrl I = ( + 7)si d primeimo još jedom prcijlu itegrciju u = ( + 7) du = d i dv = si d v = cos, I ( 7) = + cos cos d I = (+ 7)cos+ si + C, I = ( + 7 5) si I 4 4 si cos I = ( + 4 ) + (+ 7) + C Izrčuti itegrle I = e cosbd i I = e si bd. Primeom metode prcijle itegrcije prvi itegrl biće u = c du = e d i dv = cosbd v = si b, b I = e si b e si bd I = e si b I b b b b bi+ I = e si b. Primejujući metodu prcijle itegrcije itegrl I dobijmo u = e du = e d i dv = si bd ve cos b, b I = e cosb+ e cosbd I = e cosb+ I b b b b I bi = e cos b. Rešvjem sistem jedči po I i I biće kočo - 7 -

181 I e ( bsib+ cos b) = + C + b I e ( sib bcos b) = + C. + b i 9. Izrčuti itegrl J = d. d u = du = = d dv = d v = + J = d= d d J = d+ J = J + rcsi C J rcsi C, + = + + J = + rcsi + C., - 7 -

182 9.4. INTEGRACIJA RACIONALNIH FUNKCIJA METOD OSTROGRADSKOG Rciole fukcije su količici dv poliom Pm ( ) R ( ) = Q ( ). Poliom P m () je stepe m i Q () stepe. Ako je m< rciol fukcij je prv ko je m od se o zove eprv. Nrvo d se eprve mogu uvek zpisti ko zbir jedog poliom i prve rciole fukcije i zbog tog ćemo se zdržti itegrciji prvih rciolih fukcij. Pm ( ) Dlje u izrzu pretpostvićemo d je m<. Pri tome se poliom Q ( ) u imeiocu može rstviti fktore: Q b p q r s ( ) ( ) α ( ) β ( ) δ ( ) γ = gde su,..., b reli korei korei kvdrtih triom +p+q,... +r+s su kojugovo-kompleksi i pri tome je α + +β+ δ+ + γ= Z itegrciju tkvog izrz R( d ) Ostrogrdski je predložio sledeću metodu Pm ( ) p ( ) d = + α β δ γ Q ( ) ( ) ( b) ( + p+ q) ( + r+ s) d d C + D EX + F + A + + B + d+ + d b + p + q + p + q gde je p() poliom s epoztim koeficijetim čiji red je z jed mji od poliom u imeiocu prvog sbirk dese stre i rvo A,..., B,..., E i F su epozti koeficijeti. Oi se dobijju diferecirjem prethode relcije i izjedčvjem leve i dese stre i korišćejem stv d su dv poliom jedk ko imju iste koeficijete uz odgovrjuće stepee

183 Nrvo, ostje potom d se reše još i dv tip itegrl d ) l c = + i AX + B ) I = d koji se rešv svođejem imeioc sledeći oblik tj. + p + q p p + p+ q= + + q p pri čemu je q (jer su korei 4 4 triom p +p+q kojugovo-kompleksi) i uvođejem smee + = t i p = q dobijmo 4 p A t + B tdt Ap dt I = dt = A + B = t + t + t + Ap B + A = l ( + p + q) + rctg + C p p q q 4 4 Primer 8: d Nći I = ( + ) Rešeje: Primeimo formulu Ostrogrdskog Diferecijcijom dobijmo I = + d+ b c A B C ( )

184 ( ) 3 ( )( ) ( 3 )( ) ( ) + b b + c A B+ C = + +, odoso 4 +b 3 + +b-3 4-3b 3-3c - -b-c+ +A 5 +A 3 +A+B 5 +B 3 +C 4 +C, odkle je A+B= C-= A+B-b= -3c+C= A= -c= A= B= b= C== 3 c=- odoso d 3 I = = ( )

185 9.5. INTEGRACIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA Rešvmo itegrle oblik: ( si,cos ) R d Pretpostvk je d je R(si,cos) rciol fukcij s dve promeljive (količik dv poliom s si i cos ko promeljivim). Kod ovkvog zdtk prelzimo itegrciju rciole fukcije t t dt smeom t = tg i dobijmo si =, cos = i d =. U + t + t + t slučju d je: ) R(-si,cos)=-R(si,cos) može se primeiti i sme cos=t; ) R(si,-cos)=-R(si,cos) može se primeiti i sme si=t; 3) R(-si,-cos)=R(si,cos) može se primeiti i sme tg=t z dobijje rciole fukcije. Npomeimo d se u ov tri zdj slučj dobijju prostije rciole fukcije z itegrciju. Primer 9: Nći I = si d + cos Rešeje: Pošto je fukcij epr po si, ko uvedemo smeu cos=t dobijmo - sid=dt i dt I = = l + t + c= l + cos + c. + t Ako primeimo smeu t ( + t )( 3+ t ) tg = t dobijmo t dt + tg I = = = + C = + C + t + t 4tdt + t l l 3 + t + 3+ tg + t ovj slučj je zto komplikoviji

186 9.6. INTEGRACIJA ALGEBARSKIH IRACIONALNOSTI Fukcije oblik p b q b R + +,,..., c + d c + d pr qr, gde je d-bc se zivju lgebrskim irciolostim (R je rciol fukcij). Itegrli ove fukcije se prevode u itegrciju rciolih fukcij uvođejem smee + b = t c + d N, gde je N jmji zjedički sdržlc brojev q,..., q r. Primer : Nći I = + d 3 Rešeje: Ovde je očigledo =, b=, c=, d= i posle uvođej smee =t 6 dobijmo: 8 tdt 6 4 dt I = 6 = 6 t dt 6 t dt + 6 t dt 6 dt + 6 = + t + t t t t = t+ 6rctgt+ c Nekoliko pome: pomeuto je d eke elemetre fukcije emju primitivu fukciju među elemetrim fukcijm. Među jim im i jko vžih fukcij (i vžih jihovih itegrl). Nvedimo eke od jih: e, si, cos, l, e,

187 9.7. PRIMENA INTEGRALNOG RAČUNA Fukcij troškov Ako m je pozt fukcij gričih troškov C' = F '( ), od ćemo fukciju ukupih troškov dobiti preko itegrl te fukcije po promeljivoj : Primer s rešejem:. C= C'( d ) = F'( d ) 5. Fukcij gričih troškov C ' = + 5. Odrediti fukciju ukupih troškov iz uslov C () = 7 C ' = + 5 dc 5 d = + dc = + 5 d dc = + 5 d C = + 5+ A 4 C () = 7 A = 7 C = Fukciju prihod Fukciju ukupih prihod iz fukcije gričih prihod dobijmo preko itegrl:

188 P P d; ' ( ) P = P dp. p = Primer s rešejem: 6. Pozt je fukcij gričih prihod P' = 6 4. Proći fukciju ukupih prihod. ' ( p) P= P' d= (6 4 ) d= 6 KLJUČNI POJMOVI: NEODREĐENI INTEGRAL PRIMITIVNE FUNKCIJE PARCIJALNA INTEGRACIJA METOD INTEGRACIJE

189 . ODREĐENI INTEGRAL SADŽAJ OVOG POGLAVLJA JE: OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA ODREĐENI INTEGRAL OSNOVNE TEOREME NESVOJSTVENI INTEGRAL PRIMENA ODREĐENOG INTEGRALA Cilj m je d ovj rču uvedemo preko:. Defiicije.. Prvil i osobi. 3. Geometrijske iterpretcije. 4. Metod itegrcije... OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA ODREĐENI INTEGRAL U ovom odeljku se dje defiicij i osov prvil vez z pojm određeog itegrl. Pre defiicije određeog itegrl fukcije potrebo je uvesti pojm itegrlog zbir fukcije. Defiicij itegrlog zbir fukcije Nek je f defiis i ogriče itervlu [, b], i ek se ovj itervl podeli prcijlih itervl [, ], [, ],..., [ k-, k ],..., [ -, ], pri čemu vže sledeće relcije =, b =, < < <... < k- < k <... < - < b. Nek je l k, k =,, duži itervl, t.j. l k = k - k-, i ek je ξ k proizvolj tčk koj pripd itervlu [ k-, k ]. Ako vže svi vedei uslovi td se zbir f(ξ )l + f(ξ )l f(ξ k- )l k- + f(ξ k )l k f(ξ - )l - + f(ξ )l ziv itegrli zbir fukcije f itervlu [, b]. Iz defiicije itegrlog zbir fukcije može se uočiti d vredost zbir zvisi od više prmetr (od broj prcijlih itervl, či podele glvog itervl prcijle, izbor proizvolje tčke iz prcijlog itervl). Ov osobi itegrlog zbir fukcije se koristi pri defiiciji određeog itegrl fukcije

190 Defiicij određeog itegrl fukcije Nek je f defiis i ogriče itervlu [, b]. Ako z svku podelu < < <... < k- < k <... < - < itervl [, b] i svki izbor tčk ξ, ξ k,..., ξ k,..., ξ, koje zdovoljvju uslov d je ξ k proizvolj tčk koj pripd itervlu l =[ k-, k ], postoji uvek ist grič vredost k lim f ( ξ ) l l k = td se ov grič vredost ziv određeim itegrlom fukcije f itervlu [, b] i ozčv se s b k f ( ) d. Z fukciju koj im određei itegrl itervlu [, b] kže se d je itegrbil tom itervlu, f se ziv poditegrlom fukcijom, je itegrcio promeljiv, itervl [, b] se ziv oblst itegrcije, dok je doj, b gorj gric određeog itegrl. D li je ek fukcij itegrbil može se ustoviti osovu jeih osobi: svk eprekid fukcij određeom segmetu, itegrbil je tom segmetu, svk mooto i ogriče fukcij određeom segmetu, itegrbil je tom segmetu, ko je fukcij ogriče i im koč broj prekid određeom segmetu, td je fukcij itegrbil tom segmetu, ko se određei itervl može podeliti kočo mogo itervl u kojim je fukcij mooto i ogriče, td je fukcij itegrbil tom segmetu. Određei itegrl im veliku ulogu u određivju površi figur eprvilog oblik. Nek je dt eprekid i eegtiv fukcij itervlu [, b], koj s krivom svog grfik, orditm u tčkm i b i osom čii, u opštem slučju, figuru eprvilog oblik, koj se ziv i krivoliijski trpez (sl.4). Izrčuvje površie krivoliijskog trpez, ko ije u pitju eki osovi geometrijski oblik ije jedostv problem. O se rešv tko što se posmtri itervl podeli određei broj poditervl. Iz eprekidosti fukcije zključuje se d svkom poditervlu postoje tčke u kojim fukcij poditervlu dostiže jmju vredost. Pomoću ovih tčk dobijju se dv prvougoik, opisi i upisi, od kojih jed im veću ili jedku površiu od površie posmtrog del krivoliijskog trpez, drugi prvougoik im mju ili jedku površiu. Sbirjem površi svih k - 8 -

191 upisih, odoso opisih površi dobijmo dve sume. Ako postoje griče vredosti ovih sum, kd broj podeljeih poditervl teži beskočosti, i ko se te vredosti jedke, td je površi krivoliijskog trpez jedk dobijeoj vredosti. sl.4. Geometrijsk iterpretcij određeog itegrl Nek je dt eprekid i eegtiv fukcij f itervlu [, b], koj s krivom svog grfik, orditm u tčkm, b i osom čii figuru eprvilog oblik. Površi P ove figure eprvilog oblik je jedk Primeri s rešejim: b P = f ( ) d. Izrčuti itegrl b d. Kko je fukcij f ( ) = eprekid kočom itervlu [ b, ], o je itegrbil [ b, ]. Izrčuvje ovog itegrl izvršićemo u četiri kork. o Nek je δ proizvolj podel segmet [ b, ] prcijlih segmet: [ =, ],[, ],...,[ i, i],...,[, = b]. o i i Izbor tčk ξ i izvršićemo tko d je ξi =

192 3 o Formirje itegrle sume: f ( ξ ) = ξ, td je + i σ = ξ Δ = = = i i i f( i) i ( i i ) i= i= i= = ( i ) + ( ) ( ) = ( b ) 4 o Određivje griče vredosti itegrle sume σ limσ = lim ( b ) = ( b ). λ λ Prem tome, b ( d = b ).. Izrčuti itegrl Fukcij f ( ) d >,( ). i i = eprekid je skupu R, p je tkv i svkom kočom itervlu [, ]. Prem tome, o je i itegrbil [ ],. Izrčuvje određeog itegrl dte fukcije f izvršićemo u sledeć četiri kork: o Itervl [, ] podelićemo jedkih delov, čije su dužie Δ i =. o Tčke ξ i izbrćemo tko d je ξi = i, zbog čeg je ξi = i = + ( i ) Δ i = ( i ) Δ i = ( i ) f( ξi) = ξi = ( i ). 3 o Itegrl sum je 3 σ = f( ξi) Δ i = ( i ) ( ) ( i ) i i = = = = i= 3 = ( ) ( )

193 Koristeći formulu z zbir kvdrt prvih prirodih brojev 3 ( + )(+ ) ( )( ) k =, σ = i= 4 o Kko je dt fukcij itegrbil [ ],, to zči d postoji grič vredost jee itegrle sume, koj je po defiiciji vredost određeog itegrl fukcije f, tj. d 3 3 ( )( ) = limσ = lim =. λ 6 3 D bi proces izrčuvj određeog itegrl bio jedostviji postoje određe prvil. U dljem tekstu su dt osov prvil z izrčuvje određeog itegrl. Uz svko prvil vži pretpostvk d su fukcije itegrbile posmtrom itervlu. Osobie određeog itegrl Ako je > b, td je b f ( ) d = f ( ) d. b Ako je = b, td je f ( ) d =. Nek je dt rel broj c, td je Nek su f i g itegrbile fukcije, td je b b b cf ( ) d = c f ( ) d. ( ) + g( )] d = f ( ) d + b [ f g( ) d. Nek je c tčk koj pripd posmtrom itervlu, td je b c ) d = f ( ) d + f ( f ( ) d. (sl. 5.). b c b b

194 sl. 5. Ako je fukcij itegrbil i pozitiv posmtrom itervlu, td je b f ( ) d >. Ovo prvilo se logo može primeiti i egtivu fukcije, pri čemu bi određei itegrl bio, tkođe, egtiv. Ako je f() g(), gde je tčk koj pripd posmtrom itervlu, td je b f ( ) d g( ) d. I ovo prvilo se može logo primeiti z slučj d je f već ili jedk od g posmtrom itervlu. Ako je f itegrbil posmtrom itervlu, td je if itegrbil istom itervlu i vži b b f ( ) d f ( ) d. Upotrebom vedeih prvil i osovih teorem koje će biti vedee u sledećem odeljku defiiše se izrčuvje određeog itegrl. b

195 .. OSNOVNE TEOREME VEZANE ZA ODREĐENI INTEGRAL U ovom odeljku su dte osove teoreme koje služe z izrčuvje određeih itegrl i predstvljju eke od jvžijih teorem itegrlog rču. Teorem o vredosti prve formule o sredjoj vredosti određeog itegrl Ako je fukcij f itegrbil itervlu [, b], i ko z svko koje pripd ovom itervlu vži d je f() m, odoso f() M, gde su m i M doj i gorj gric fukcije f, posmtrom itervlu, td postoji broj α, tkv d je m α M i vži b f ( ) d = α ( b ) Dokz: Iz uslov d je α broj tkv d je m α M, može se zključiti d vži b b md f ( ) d Md, Koristeći rije vedeu teoremu, sledi b b m( b ) f ( ) d M ( b ), m f d M b ( ). Zči postoji broj b α = f ( ) d b koji zdovoljv sve uslove teoreme, čime je teorem dokz. Iz prethode teoreme se izvodi : Teorem o sredjoj vredosti određeog itegrl Ako je fukcij f itegrbil itervlu [, b], td postoji tčk ξ koj pripd posmtrom itervlu i z koju vži b f ( ) d = f ( ξ )( b ) Dokz: Koristeći prethodo dokzu teoremu i čijeicu d je fukcij f eprekid posmtrom itervlu, td postoji tčk ξ tko d je f(ξ) = α, p se zmeom u prethodu teoremu dobij b

196 što je i treblo dokzti. b f ( ) d = f ( ξ )( b ), Nvede teorem im i svoju geometrijsku iterpretciju. Z fukciju f koj je pozitiv ekom itervlu [, b], površi krivoliijskog trpez d posmtrim itervlom je jedk površii prvougoik čije su strice (b ) i f(ξ). Teorem o sredjoj vredosti određeog itegrl je veom bit, jer omogućv d se odredi vez između određeog i eodređeog itegrl. Teorem o vezi određeog i eodređeog itegrl Njut-Ljbicov formul Ako je fukcij f itegrbil itervlu [, b], i z svku tčku ovog itervl vži d je F'() = f(), gde je F primitiv fukcij fukcije f, td vži b f ( ) d = F( b) F( ) Dokz: Defiiše se fukcij F ko primitiv fukcij fukcije f sledeći či, F ( ) = f ( t) dt gde pripd itervlu [, b]. F i F su obe primitive fukcije fukcije f, p se rzlikuju z kosttu f ( t) dt = F( ) + α, gde je α kostt z koju se dve primitive fukcije rzlikuju. Ako se zmei s u prethodoj jedkosti i iskoriste osov prvil z izrčuvje određeog itegrl, dobij se f ( t) dt = F( ) + α =, Dkle α = F( ). Zmeom dobijee vredosti α u prethodoj jedkosti dobij se zmeom = b, f ( t) dt = F( ) F( ),

197 čime je teorem dokz. b f ( ) d = F( b) F( ) Prethod teorem omogućv u slučjevim kd je pozt primitiv fukcij itegrbile fukcije, d se je određei itegrl ekom itervlu e mor izrčuvti ko grič vredost itegrlog zbir fukcije, već je dovoljo obrzovti rzliku vredosti primitive fukcije krjevim itervl itegrcije. N tj či uspostvlje je vez između određeog i eodređeog itegrl. Primeri s rešejim: 3. Oceiti itegrl π I = + cos π 4 Treb odrediti mksimum i miimum fukcije f ( ) = + cos π π π segmetu itegrcije, 4. m = mi f ( ) = f( ) =, π 6 M = m f( ) = f( ) = 4 π π π 6 Kko je duži segmet b =, I Odrediti izvod po promeljivoj fukcije ( ) = cos t dt. F Ov fukcij dt je u obliku itegrl i o je slože fukcij po promeljivoj. Uvođejem smee u, cos( ) ( ) = u t dt = G u, možemo fukciju F pisti u obliku: F ( ) = Gu ( ), u=

198 Prem tome, treb tržiti izvod složee fukcije F ( ) = G( ). Kko je G'( u) = cos( u ), u ' =, cos F'( ) = G'( u) u' = cos( u ) =. 5. Primeom Njut-Ljbicove formule izrčuti itegrl d I =. + d π π π = rctg = rctg rctg( ) = ( ) = Pri rzmtrju eodređeog itegrl uvedei su pojmovi smee promeljivih i prcijle itegrcije. Primeu ovih pojmov kod određeih itegrl objšjvju teoreme koje slede. Teorem o smei promeljivih kod određeog itegrl Nek je fukcij f eprekid itervlu [, b] i ek = g(t) im eprekid izvod itervlu [c, d], gde su c i d tčke koje ispujvju sledeće uslove g(c) t c, d, g( t), b, td vži = i g(d) =b, i z svko [ ] [ ] b b f ( ) d = f [ g( t)] g'( t) dt. Teorem o prcijloj itegrciji određeog itegrl Nek fukcije u = u( ) i v = v( ) imju eprekide izvode itervlu [, b], td vži b udv = u b) v( b) u( ) v( ) ( vdu. b

199 Primeri s rešejim: 6. Izrčuti: π / = u du = d π / π / ) si d = = ( cos ) + cos d si d = dv v= cos π π / = cos cos si π si π + = si = e + = t = t = e b) l ( + ) d = = l t dt = d = dt = e t = e dt l t = u du = e e dt = ( tl t) t = t dt = dv v = t e ( ) = el e l t = e e = e e+ = 7. Izrčuti itegrl 3 I rctgd. = 4 3 d u( ) = rctg, dv( ) = d, p je du = i v = d π J = rctg d = rctg ( ) d 4 4 = π = ( + rctg) =

200 .3. NESVOJSTVENI INTEGRAL U prethodom odeljku je defiis pojm određeog itegrl. U smoj defiiciji oblst itegrcij je ogriče, korišće je itervl [, b] i itegrbil fukcij je posmtrom itervlu defiis i ogriče. Ako itegrl ije koč ili ko fukcij ije ogriče kočom itegrlu, td ovkve itegrle zovemo esvojstvei itegrli i oi morju biti posebo defiisi. Postoje dve vrste esvojstveog itegrl, u dljem tekstu se dju jihove defiicije i osobie. Defiicij esvojstveog itegrl prve vrste Nek je fukcij f eprekid itervlim [, ), (-, b], (-, ). Td su esvojstvei itegrli prve vrste fukcije f itervlim [, ), (-, b], (-, ), sledeće griče vredosti: ) d = lim f ( f ( ) d, b b b b ) d = lim f ( f ( ) d, f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d sl.. Nesvojstvei itegrl prve vrste se još ziv i esvojstvei itegrl u odosu oblst itegrcije. U prethodim defiicijm ko postoji grič vredost - 9 -

201 td esvojstvei itegrl kovergir, ko e postoji, td tj itegrl divergir. Primer s rešejem: 8. Izrčuti površiu "beskočog trpez", ogričeog krivom y =, 3 prvom ( ), +. + = > i itervlom [ ) b d d b = lim lim ( ) lim ( ). 3 b 3 b + = = = + b + b Vredost esvojstveog itegrl je koč p površi ovog " beskočog trpez" izosi P =. Poekd se kovergecij ekog esvojstveog itegrl može odrediti bez određivj jegove primitive fukcije, i to osovu sledeće teoreme. Teorem o kovergeiciji dve fukcije Ako su z svko, fukcije f i g defiise, i ko je z svko tkvo vži g() f(), i ko je itegrl g ( ) d, koverget, td je i itegrl f ( ) d, koverget, i vži relcij f ( ) d g( ) d. + + Ako je f ( d ) diverget od je i gd ( ) Defiicij esvojstveog itegrl druge vrste diverget. Nek je fukcij f eprekid itervlu [, b] i ek fukcij f ije ogriče u svkoj okolii tčke b, tj. ispuje je br jed od jedkosti - 9 -

202 lim f( ) = + ili lim f( ) =, b b td je esvojstvei itegrl druge vrste fukcije f itervlu [, b] grič vredost b b ε f ( d ) = lim f( d ). ε + Nesvojstvei itegrl druge vrste se još ziv i esvojstvei itegrl u odosu poditegrlu fukciju. U prethodoj defiiciji ko postoji grič vredost td esvojstvei itegrl kovergir, ko e postoji, td tj itegrl divergir. Alogo se defiiše esvojstvei itegrl druge vrste u odosu tčku, (sl..) ko fukcij ije ogriče u svkoj okolii tčke itervlu [, b], ko b f ( d ) = lim f( d ). b ε + +ε sl.. Ako eprekid fukcij f ije ogriče u svkoj okolii tčke b itervlu [, b) (b, c] td je c b t f ( ) d = lim f ( ) d + lim f ( ) d. t + t + b+ t c

203 Primeri s rešejim: 9. "Beskočom trpezu", koji je ogriče hiperbolom y =, prvom ( ), +, e možemo dodeliti meri broj jer je = > i itervlom [ ) + d t = lim (l ) = lim (l t l ) =+. t + t +.4. PRIMENA ODREĐENOG INTEGRALA b Videli smo d određei itegrl f ( d ) geometrijski predstvlj meri broj površie krivoliijskog trpez d itervlom [ b, ]. U kokretim primem može predstvljti veličiu put, veličiu rd itd. Uopšte, kd se mogu formirti sume beskočo mogo mlih sbirk, p postoji grič vredost tih sum, td postoji mogućost primee određeog itegrl. Izrčuvje površi rvih figur Izložićemo ekoliko rzličitih slučjev izrčuvj površie rvih figur. f : b, Ritegrbil. Nek je fukcij [ ]. Ako je f, od se krivoliijski trpez lzi izd ose O i jegov površi se defiiše ko broj def b () P = f( ) d (sl. 6.) Izrz dp = f ( ) d predstvlj elemetru površiu

204 sl. 6.. Ako je f, krivoliijski trpez je ispod ose O i td je vredost itegrl () egtiv (sl. 7.). Kko je pk, meri broj površie uvek pozitiv, to će površi krivoliijskog trpez u ovom slučju biti broj () P= f( ) d. Ovu formulu koristićemo i u slučju kd je fukcij f promeljivog zk. b Primer s rešejem: sl. 7.. Izrčuti površiu rvog lik ogričeog krivom f ( )cos između ordit u i π i segmetom [,π ] (sl. 8.). Prem formuli () biće

205 jer je π π π π π P = cos d = cos d + cos d = cos d + ( cos ) d = π π π π π = si si = ( ) =, cos π cos z, = π cos z, π. sl Kd je rv figur ogriče liijm y = f ( ) i y = g( ), td se je površi dobij ko rzlik površi krivoliijskih trpez. b P= f( ) d g( ) d b, tj. = [ ( ) ( )] b P f g d, gde su grice itegrl rešej jedčie f ( ) = g( ). f ( ) = g( ) i f ( b) = g( b) (sl. 9.)

206 sl. 9. Primer s rešejem:. Izrčuti površiu elipse b + y = b. Uvešćemo smee = cost, y = bsi t, odkle je d = si t dt. Sd prem formuli () immo + P = yd = bsi t( si t) dt = π π cost sit π b si t dt b dt b( t ) πb. π = = = = Z = b dobijmo kružicu poluprečik r=, p će površi krug biti P = π = π r. (sl..) sl