Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii Metodele iterative pot fi scrise in general sub forma: x(t + 1) = T (x(t)), t = 0, 1,... unde T este o functie definita pe o submultime X a spatiului R n cu valori in X si care are proprietatea: unde α [0, 1). T (x) T (y) α x y, x, y X (1) Definition 1.1 O astfel de functie ce are proprietatea 1 se numeste contractie, iar procesul iterativ asociat ei se numeste iteratie de tip contractie. Fie o functie T : X X. Orice vector x X care verifica T (x ) = x se numeste punct fix al lui T si iteratia x = T (x) poate fi privita ca un algoritm de determinare a unui astfel de punct fix. Se observa ca functiile contractie sunt continui: daca avem un sir {x(t)} care converge la un punct x X si functia T este continua in punctul x, atunci x este un punct fix al lui T. Ca o alternativa la functiile de tip contractie se poate presupune ca o functie T : X X are un punct fix x X si are proprietatea T (x) x α x x, x X (2) unde α [0, 1). Se poate observa ca inegaliatea 2 este mai slaba decat conditia de contractie 1. Definition 1.2 Orice functie ce are proprietatea 2 se numeste pseudocontractie. In figura 1 se observa un exemplu de contractie (T : R R, T (x) = x 2, α = 1 2, T(0)=0) si un exemplu de pseudocontractie (T : [0, 2] [0, 2], T (x) = max{0, x 1}. Urmatoarea proprietate ne arata ca o contractie are un unic punct fix si ca iteratia corespunzatoare contractiei converge la acest unic punct fix. Proposition 1.1 Presupunem ca T : X X este o contractie de constanta α [0, 1) si ca X este o submultime inchisa a lui R n. Atunci: Functia T are un unic punct fix x X; Pentru orice vector initial x(0) X, sirul {x(t)} generat de x(t + 1) = T (x(t)) converge geometric la x. In particular: x(t) x α t x(0) x, t 0 1
Figure 1: Exemplu de contractie si pseudocontractie Proposition 1.2 Presupunem ca X R n si ca functia T : X X este o pseudocontractie de constanta α [0, 1) si cu un punct fix x X. Atunci T nu mai are alt punct fix si sirul {x(t)} generat de x(t + 1) = T (x(t)) satisface: x(t) x α t x(0) x, t 0 pentru orice alegere a vectorului initial x(0) X. In particular sirul {x(t)} converge la x. Proposition 1.3 Daca X R n este nevida, convexa si compacta si daca T : X X este o functie continua, atunci exista x X astfel incat T (x ) = x (un exemplu se poate vedea in figura 2). Figure 2: Teorema de punct fix 2
2 Contractii peste produse carteziene de multimi In continuare presupunem ca X = m X i, unde X i R ni si n 1 + + n m = n. Orice vector x X poate i=1 fi descompus in x = (x 1,..., x m ), cu x i X i. Fie T : X X o contractie si fie T i : X X i componenta i a functie T: Se poate observa ca: T (x) = (T 1 (x),..., T m (x)) T i (x) T i (y) i max T j (x) T j (y) j = T (x) T (y) α x y j In figura 3 se poate observa o simulare a iteratiei Seidel-Gauss pentu contractii bloc. Figure 3: Convergenta iteratiei Seidel-Gauss pentru contractii bloc Ca o alternativa la gasirea unui punct fix al functiei T putem cauta o solutie a sistemului x = T (x). Acest sistem poate fi descompus in m sisteme mai mici: x i = T i (x 1,..., x m ), i = 1,..., m care pot fi rezolvate simultan. Fie R i (x) multimea tuturor solutiilor ecuatiei i din sistem definita prin: R i (x) = {y i X i, y i = T i (x 1,..., x i 1, y i, x i+1,..., x m )} Se da un vector x(t) X, componenta i a vectorului urmator x i+1 este aleasa ca solutie a ecuatiei i a sistemului: x i (t + 1) R i (x(t)) Proposition 2.1 Presupunem ca X este inchisa si ca T : X X este o contractie bloc. Atunci multimea R i (x) are un singur element pentru fiecare i si pentru fiecare x X. 3
Definim functia Q i : X X i prin egalarea lui Q i (x) cu elementul unic al multimii R i (x). Si unim aceste functii in cadrul functiei Q : X X Q(x) = (Q 1 (x),..., Q m (x)) Metoda de rezolvare a sistemului poate fi descrisa cu ajutorul algoritmului (figurile 4 si 5): x(t + 1) = Q(x(t)), t = 0, 1,... Figure 4: Functia Q Proposition 2.2 Daca T : X X este o contractie bloc, atunci Q este deasemenea o contractie bloc. Daca X este inchisa, atunci metoda x(t + 1) = Q(x(t)) converge la un punct fix al lui T. Acelasi rezultat se obtine si in cazul in care T este o pseudocontractie si multimea X este inchisa si convexa. Rezultate similare cu cele de mai sus se obtin si pentru functii monotone. 4
Figure 5: Metoda Seidel-Gauss bazata pe functia Q pentru rezolvarea sistemului x = T (x) 5