Teorem o prostim brojevima

Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski sveučiliši studij Matematika Zlatko Durmiš Teorem o prostim brojevima Završi rad Rijeka, 22.

Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski sveučiliši studij Matematika Zlatko Durmiš Teorem o prostim brojevima Metor: doc. dr. sc. Neve Grbac Kolegiji: Kompleksa aaliza, Uvod u teoriju brojeva, Matematička aaliza Završi rad Rijeka, 22.

Sadržaj Uvod 2 Riemaova zeta fukcija 2 3 Aalitički teorem 4 4 Teorem o prostim brojevima 23 5 Zaključak 25

SAŽETAK Cilj rada je dokazati teorem o prostim brojevima korištejem komplekse aalize. Najprije ćemo, u prvom poglavlju, defiirati Riemmaovu zeta fukciju ζs), skraćeo zeta fukciju, i fukcije Φs) i ϑ). Pokazat ćemo podskupove od C a kojima su ζs) i Φs) holomorfe, u lemi i 2. U lemi 3 ćemo pokazati da se zeta fukcija može zapisati u obliku Eulerovog produkta, što će am poslije biti vrlo koriso, aročito u dokazu leme 6. Takoder ćemo pokazati da se zeta fukcija može aalitički produljiti a veći podskup komplekse ravie u lemi 4, što ćemo korisiti takoder u lemi 6. U lemi 5 ćemo pokazati jedo od svojstava fukcije ϑ), što će am biti bito u završoj fazi dokaza teorema o prostim brojevima. U lemi 6 ćemo vidjeti da zeta fukcija e poprima vrijedost ula i da je fukcija Φs) s holomorfa a pravcu Rs), što ćemo koristiti poslije u lemi 7. Prije toga, u aredom poglavlju, proći ćemo kroz dokaz aalitičkog teorema, koji am je osova za dokaz leme 7. Lema 8 avodi još jedo svojstvo fukcije ϑ), čiji dokaz provodimo svodejem a kotradikciju sa lemom 7. I koačo, u poglavlju 4, avodimo dokaz teorema o prostim brojevima korištejem prethodo dokazaih rezultata. Ključe riječi: teorem o prostim brojevima kompleksa aaliza Riemmaova zeta fukcija aalitičko produljeje aalitički teorem

Uvod Jedom je veliki matematičar Leopold Kroecker 823.-89.) rekao: Bog je stvorio prirode brojeve, sve ostalo je djelo čovjeka. Naime, pojam prirodog broja jeda je od osovih pojmova u matematici i jeda od pojmova koji je usko poveza sa svakodevim praktičim životom. Bita podskup prirodih brojeva čie prosti brojevi, brojevi čiji jedii djelitelji su jeda i o sam. Kako prema osovom teoremu aritmetike zamo da je svaki broj prost ili se može a jedistve ači prikazati kao umožak prostih faktora, bez uzimaja u obzir poretke faktora, vidimo da prosti brojevi a eki ači izgraduju prirode brojeve, sličo kao što atomi u fizičkom svijetu, izgraduju raze predmete u ašoj okolii. Iako aočigled veoma jedostava pojam, prosti brojevi bili su uzrokom razvoja mogih matematičkih disciplia i pojavljivaja ekih od ajtežih problema u matematici, od kojih se eki još i daas, ako više desetljeća ili čak stoljeća, opiru razumijevaju ajboljih itelektualih umova modere zaosti. Uatoč svim aporima, još i daas ije u potpuosti ajprecizije pozato pravilo raspodjele prostih brojeva medu prirodim brojevima. Jeda od možda ajraijih pokušaja razumijevaja u tom smjeru bio je i teorem o prostim brojevima. Teorem je prije dokaza bio hipoteza koju su postavili Legedre i Gauss 796. godie. Prvi su ga dokazali, ezaviso jeda o drugome, Hadamard i de la Valle Poussi 896. godie. Metodu kojom ćemo provesti dokaz je razvio D.J.Newma oko 98. godie.

2 Riemaova zeta fukcija U ovom odlomku ćemo defiirati Riemmaovu zeta i još ekoliko dodatih fukcija i dokazati eka jihova potreba svojstva. Defiicija Za iz kompleksih brojeva c ) N, red azivamo Dirichletov red. c, gdje je s C, s Rs) + iis), Rs), Is) R, s Defiicija 2 Ako je c,, tada red ζs) azivamo Riemaova zeta fukcija. Defiicija 3 Defiiramo fukcije, gdje je s C, s Rs) + iis), Rs), Is) R, s Φs) p s, ϑ) p, gdje je s C, R, a P je ozaka za skup prostih brojeva. Sada ćemo dokazati ekoliko dodatih, potrebih svojstava, prethodo defiiraih fukcija. Lema Fukcija ζs) je holomorfa za Rs) >. Dokaz: Očito vrijedi s e s l e Rs) l cosis) l ) + i siis) l )) Sada imamo e cos Rs) l 2 Is) l ) + si 2 Is) l ) Rs). }{{} s, Rs) 2

a taj red kovergira za Rs) >, pa kovergira apsoluto za Rs) >. s Takoder vrijedi s, za Rs) >, < σ < Rs), N. Rs) σ Iz kovergecije reda s pozitivim člaovima, slijedi uiforma koverge- σ cija reda za Rs) >. s I još imamo da red d ds s kovergira uiformo za Rs) >, pa vrijedi d ds d s ds l s s ζ s). Slijedi da derivacija ζ s) postoji i eprekida je za Res) >. Dakle red s defiira a Rs) > holomorfu fukciju, a to je upravo ζs). Q.E.D. Lema 2 Fukcija Φs) je holomorfa za Rs) >. Dokaz: Imamo Stavimo σ Rs) >. Fukcija f) l itegral 2 Naime, vrijedi σ p s p Rs). je eprekida i padajuća a [2,. Pokažimo da epravi l d kovergira za σ >. σ l σ+ d σ σ + l σ+ σ + d σ σ l σ d σ pa iz toga slijedi σ σ l σ σ), 2 3

l A l d lim 2 σ A 2 d σ ) A σ A σ lim l A A σ σ) 2 σ 2 σ l 2 + 2 σ σ) 2 2 σ 2 σ l 2 +, jer je σ σ) 2 l A lim A A σ l A [ ] lim A [ ] A σ lim A [ primjeom L Hospitalovog pravila ] A lim σ )Aσ 2 A i takoder je Dakle, iz kovergecije 2 σ >. Takoder vrijedi, σ )Aσ lim A A σ, jer je σ >. l d slijedi da red σ p s kovergira apsoluto za p s prs) p, za Rs) >, < σ σ < Rs), N. slijedi uiforma koverge- Iz kovergecije reda s pozitivim člaovima cija reda za Rs) >. p s I još imamo da red d ds p s kovergira uiformo za Rs) >, pa vrijedi p σ l 2 p p s d ds p s d ds p s Φ s). Slijedi da derivacija Φ s) postoji i eprekida je za Res) >. Φs). Dakle red p s defiira a Rs) > holomorfu fukciju, a to je upravo Q.E.D. Slijedeća lema govori da Riemmaova zeta fukcija ima Eulerov produkt. 4

Lema 3 Vrijedi ζs) p s ), za Rs) >. Dokaz: Neka je m N proizvolja. Tada vrijedi Ako iskoristimo ζs) p s ) s N p<m p<m ) p<m p s oda imamo p ) s jer je s p) ) ) p s p<m s p<m N, pαp), αp) N, p m, takav da je αp) N p ) s. p s < za Rs) >, p za Rs) r,r 2,... N N,, s p αp), αp) N p<m p ) s s p,p 2,... P p i <m p r i i )s N, s p αp), αp) N p<m s s s m m m, za m, Rs) jer je m ostatak reda Rs), koji kovergira za Rs) >, prema lemi. Rs) Dakle, pokazali smo da vrijedi lim m Lema 4 ζs) s p<m p s ) p s ) ζs), za Rs) >. se može proširiti do holomorfe fukcije a Rs) >. 5 Q.E.D.

Dokaz: Najprije pokažimo da vrijedi Naime, imamo d, za Rs) >. s s A ) s+ d lim d lim s A s A s + A s+ lim A s + ) A s+ lim s + A s + + s s. Sada za Rs) > imamo + ζs) s s + s d + d s s ) d s s d + s + A ) d s ) d. s s Sada N, s C, Rs) >, primjeom teorema o sredjoj vrijedosti imamo + fa) fb) + ) s s b a f t) dt ma a t b f t) b a, + d d d ) d s s s s d ma + ) s+ + s+ ma + Red s pozitivim člaovima apsolutu kovergeciju reda s Rs)+ s Rs)+ + s Rs)+. Sada primjeom Leibizovog itegralog pravila imamo d ds + kovergira za Rs) >, što povlači ) s d za Rs) >. s ) d s s 6

+ d ds ) d s s + l + l ) d. s s I sada opet, kao raije, N, s C, Rs) >, primjeom teorema o sredjoj vrijedosti imamo + l + l ) + d s s d d + s l s+ d ma + s l ma + Rs)+ l + l ) d s s s l s+ + ) + s l + ) Rs)+. Red s pozitivim člaovima + s l+) Rs)+ + s l+) Rs)+, Rs)+ kovergira za Rs) >, jer oba reda sa dese strae jedakosti, kako je prethodo pokazao, kovergiraju za Rs) >, što povlači uiformu kovergeciju reda d + ) ds s d, a to zači da d s ds ζs) s ) postoji za Rs) > i eprekida je. Dakle, fukcija ζs) s je holomorfa za Rs) >. Q.E.D. Neka su f i g fukcije reale varijable. postoje kostate C, B R takve da vrijedi Kažemo da je f) Og)), ako f) Cg), B. Lema 5 Vrijedi ϑ) O). Dokaz: Neka je N proizvolja. Tada za svaki p P, < p 2 vrijedi p 22 )... + 2) + )), a kako možemo pisati 22 )... + 2) + ) 2)!! ) 2! i kako zamo da p!, slijedi p 2 ), iz čega možemo zaključiti <p 2 p ) 2 ) 2 + ) 2 +... + 7 ) 2 + ) 2 2 2. 2

Sada primjeom strogo rastuće fukcije l a obje strae ejedakosti slijedi 2 l 2. <p 2 Ako uzmemo da je 2 k, za eki k N, tada imamo 2 k l 2. 2 k <p 2 k Sada za k,..., m dobijemo m ejedakosti 2 l 2, <p 2 4 l 2, 2<p 4 4<p 8 8 l 2, 2 m l 2. 2 m <p 2 m Sumirajem ejedakosti imamo m 2 + 2 2 + 2 3 +... + 2 m ) l 2 2 <p 2 p 2 m 2 m+ 2) l 2 2 m+ l 2, odoso p 2 m 2 m+ l 2. Kako za svaki možemo izabrati m N tako da vrijedi 2 m < 2 m, slijedi ϑ) 2 m+ l 2 4 l 2)2 m 4 l 2), p p 2 m odoso ϑ) C,, 8

ϑ) O). Lema 6 ζs) i Φs) s Dokaz: je holomorfa za Rs). Q.E.D. Zbog apsolute kovergecije reda, apsoluto kovergira i Eulerov produkt toga reda, za Rs) >, u koača broj različit od ule. Dakle, ζs) s za Rs) >. Preostaje am pokazati da je ζs) za Rs). Prema raije pokazaome, Φs) je holomorfa za Rs) >, a takoder i, pa s zaključujemo da je Φs) holomorfa za Rs) >. Preostaje am pokazati da s je holomorfa i za Rs). Sada za Rs) > imamo l ζs) l pa derivirajem po s dobijemo ) p s l p s), ζ s) ζs) p s ) p s ) 2 p s ) ) Primjeom formule za sumu geometrijskog reda slijedi p s. p s ζ s) ζs) p s p s 2 p s p s p 2s p s p s p s p s ), odoso ζ s) ζs) Φs) + p s p s ). Oduzimajem s od obje strae jedakosti i promjeom rasporeda imamo Φs) s ζ s) ζs) + s + ). ) p s p s ) U astavku ćemo proučiti pojedie člaove sa dese strae jedakosti ). Najprije, a zatim ζ s) +. Ako je svaki pojedii čla holomorfa za p s p s ) ζs) s Rs), tada je i fukcija Φs), sa lijeve strae jedakosti ), holomorfa s za Rs), a upravo to želimo pokazati. 9

KORAK : Pokažimo da red kovergira apsoluto i uiformo za Res) >. p s p s ) 2 Neka je σ Res) >. Korištejem 2 ps p σ i z z 2 z z 2, z, z 2 C, vrijedi p σ p s p s, pa imamo p s p s ) p σ p s p σ p σ p σ ) 2. Provjerimo kovergeciju reda, za σ >. Naime, red s pozitivim p σ ) 2 2 člaovima Φ2σ) kovergira, prema lemi 2, za 2σ >, odoso za σ > p 2σ 2 i takoder vrijedi lim p p σ ) 2 p 2σ lim p p 2σ p σ ) 2 lim p 2 p σ + p 2σ <, pa prema teoremu o usporedivaju redova sa pozitivim člaovima, zaključujemo da i red kovergira za σ >. Na temelju toga slijedi uiforma i p σ ) 2 2 apsoluta kovergecija reda. p s p s ) Red ) takoder kovergira uiformo, što zači da polazi red d ds p s p s ) p s p s ) defiira holomorfu fukciju za Rs) > 2. KORAK 2: Pokažimo sada da je ζ s) ζs) + s holomorfa za Rs) >, osim gdje ije defiiraa. Naime, raije smo pokazali da je fukcija ζs) s holomorfa za σ Rs) >. Kako vrijedi ζs) s s )ζs), slijedi da je s )ζs) holomorfa za σ >, pa je i s Dakle, d s )ζs)) holomorfa za σ >. ds d s )ζs)) ds s )ζs) ζ s) ζs) + s je meromorfa za σ >, kao kvocijet dvije holomorfe fukcije. ultočkama azivika. Njei polovi se mogu pojaviti jedio u KORAK 3:

U astavku ćemo pokazati da je s )ζs), za σ. Na taj ači ćemo pokazati da je fukcija ζ s) ζs) + s holomorfa za σ, a kako i red p s p s ) defiira holomorfu fukciju u σ, time ćemo dokazati da je Φs) s holomorfa za σ. Prvo pokažimo da je s )ζs), za s. Naime, jer je ζs) holomorfa za σ >, oda je holomorfa i u s, gdje s poprima koaču vrijedost koja izosi lim ζs) ) lim s s s s )ζs) s Zato jer je lim s s ), mora vrijediti i lim s s )ζs) ), odoso ). lims )ζs)), pa je s )ζs), za s. s Sada ćemo pokazati da vrijedi s )ζs), za σ, t Is), t R, što je ekvivaleto sa ζ + it), za t, t R. Pretpostavimo suproto, odoso da ζs) ima ultočku reda µ u točki s +it, za eki t, t R. Kako je ζs) s holomorfa u s to je i ζs) holomorfa u s, pa je µ. Cilj am je pokazati da je µ, iz čega bi slijedilo da ζs) ema ultočaka a pravcu Rs). Kako je s ultočka reda µ, fukciju ζs) možemo prikazati u obliku ζs) s s ) µ ζ s), ζ s ), pa takoder vrijedi iz čega slijedi jedakost ζ s) µs s ) µ ζ s) + s s ) µ ζ s), ζ s) ζs) µs s ) µ ζ s) + s s ) µ ζ s) s s ) µ ζ s) Sada za proizvolja ɛ > imamo ζ s + ɛ) ζs + ɛ) µ + ζ s + ɛ) s + ɛ s ζ s + ɛ). µ + ζ s) s s ζ s)

Ako pomožimo obje strae jedakosti sa ɛ i uzmemo da ɛ +, slijedi ζ s + ɛ) lim ɛ + ζs + ɛ) ɛ µ + lim ζ s + ɛ) ɛ + ζ s + ɛ) ɛ. Kako je ζs) diferecijabila za σ >, pa ima derivaciju svakog reda a istom području, to je i ζ s) diferecijabila za σ >, i jedaka je ekom koačom broju. Takoder je ζ s ), jer bi u protivom red ultočke bio strogo veći od µ, što je kotradikcija, pa vidimo da limes sa dese strae jedakosti teži ka uli, iz čega slijedi Prema prethodome, iz Φs + ɛ) ζ s + ɛ) lim ɛ + ζs + ɛ) ɛ µ. s + ɛ ζ s + ɛ) ζs + ɛ) + s + ɛ + ), ) p s +ɛ p s +ɛ ) možejem obje strae jedakosti sa ɛ i ako uzmemo da ɛ +, imamo sljedeće lim Φs ζ s + ɛ) + ɛ) ɛ lim ɛ + ɛ + ζs + ɛ) ɛ µ. Ovdje posljedji red iz zagrade sa dese strae jedakosti ) kovergira, pa možejem sa ɛ teži ka uli, kada ɛ +. Pretpostavimo da je s + 2ti ultočka reda ν, pa aalogo kao za s, imamo da vrijedi Takoder iz Φ + ɛ) lim Φs + ɛ) ɛ ν. ɛ + + ɛ ζ + ɛ) ζ + ɛ) + + ɛ + ), 2) p +ɛ p +ɛ ) možejem obje strae jedakosti sa ɛ i ako uzmemo da ɛ +, slijedi lim Φ + ɛ) ɛ. 3) ɛ + Ovdje posljedji red iz zagrade sa dese strae jedakosti 2) kovergira, pa možejem sa ɛ teži ka uli, kada ɛ +. Takoder je ζ s) + holomorfa za s, kako ζs) s smo pokazali a početku koraka 3, pa taj izraz možejem sa ɛ teži ka uli, kada ɛ +. Na lijevoj strai ostae lim ɛ + Φ + ɛ) ɛ, pa sada slijedi jedakost 3). 2

Ako je s ultočka od ζs), tada je i s ultočka od ζs). Za astavak am je bito da je s istoga reda kao i s, pa ćemo to sada pokazati. Uočimo da vrijedi ζs) s ζs), s s e s l e ξ iψ) l e ξ+iψ) l s, jer je pa sada imamo ζs) s s ) µ ζ s) ζs) s s ) µ ζ s) s s ) µ ζ s) s s ) µ ζ s), iz čega slijedi ζ s) ζ s), a posebo ζ s ) ζ s ), dakle s je takoder reda µ. Takoder zbog ζ s) l s l s ζ s), imamo ζ s) µs s ) µ ζ s) + s s ) µ ζ s) ζ s) µs s ) µ ζ s) + s s ) µ ζ s) µs s ) µ ζ s) + s s ) µ ζ s), pa zbog ζ s) ζ s) imamo da je ζ s) ζ s), odoso ζ s ) ζ s ). Dakle, s je takoder reda µ i cijeli postupak koji smo prošli za s vrijedi i za s. Takoder, prisjetimo se da je Φs) Sada uočimo sljedeće p s. )) 4 2R p it p +ɛ 2 p it p +ɛ 2 ) it 4 + p 2 p +ɛ p 2it + 4p it + 6 + 4p it + p 2it) p +ɛ 2it + 4 p +ɛ it + 6 p +ɛ + 4 p +ɛ+it + p +ɛ+2it Φ 2it + ɛ) + 4Φ it + ɛ) + 6Φ + ɛ) + 4Φ + it + ɛ) + Φ + 2it + ɛ) Φs + ɛ) + 4Φs + ɛ) + 6Φ + ɛ) + 4Φs + ɛ) + Φs + ɛ). 3

Ako sada pomožimo obje strae ejedakosti sa ɛ > i uzmemo da ɛ +, korištejem prethodo dobiveih jedadžbi dobijemo ejedakost lim Φs + ɛ) ɛ lim Φs + ɛ) ɛ µ, ɛ + ɛ + lim Φs + ɛ) ɛ lim Φs + ɛ) ɛ ν i ɛ + ɛ + lim Φ + ɛ) ɛ, ɛ + ν 4µ + 6 4µ ν 2ν 8µ + 6. Zato jer je ν, imamo 6 2ν 8µ 6 8µ, iz čega slijedi 8µ 6, odoso µ 6 <, pa slijedi da je µ. Time smo pokazali da je ζs), za Rs), 8 pa prema koracima, 2, 3 i iz jedakosti ), slijedi da je Φs) holomorfa za s Rs). Q.E.D. 3 Aalitički teorem Teorem Aalitički teorem) Pretpostavimo da je ft), t, ograičea i lokalo itegrabila kompleksa fukcija. Neka se fukcija gs) ft)e st dt, koja je holomorfa a području Rs) >, aalitički produlji do holomorfe fukcije a otvoreom skupu koji sadrži zatvorei skup Rs). Tada itegral ft)dt kovergira i jedak je g). Dokaz: Za fiksi T > stavimo da je g T s) T ft)e st dt. g T s) je holomorfa a čitavom C. Naime, primjeom Leibizovog itegralog pravila imamo da je d ds g T s) d T T ft)e st dt ds d ) T ft)e st dt ft) t)e st dt. ds Kako je ft) lokalo itegrabila, a t i e st takoder, tada postoji d ds g T s), za svaki s C, odoso g T s) je holomorfa a C. 4

Trebamo pokazati da vrijedi lim g T ) g). T Neka su R > i δ > takvi da je gs) holomorfa a podskupu od C koji sadrži kompakta skup D {s C : s R, Rs) δ} i eka je Γ rub od D. Tada, prema Cauchyjevoj itegraloj formuli, vrijedi g) g T ) g)e T g T )e T gs)e st ds g T s)e st ds 2πi Γ s 2πi Γ s gs) g T s)) est 2πi Γ s ds + gs) g T s)) est s 2 2πi Γ sr ds. }{{ 2 } Poditegrala fukcija, posljedjeg itegrala iz prethode jedakosti, je aalitička a području koje sadrži Γ, pa prema Cauchyjevom teoremu taj itegral poprima vrijedost ula, kako smo azačili. Zato smo ga mogli dodati. Sada možemo pisati g) g T ) gs) g T s)) e st ) + s2 ds. 2πi Γ s R 2 Kako je ft) ograičea, postoji kostata M >, takva da je ft) M, za svaki t. Sada za Rs) >, imamo gs) g T s) T T ft) e t dt M ft)e st dt ft) e st dt T T e t dt M lim A A T e t dt M lim ) A A e t M lim A e A + ) e T Me T T ) dok je za s R, fukcija e st + s2 holomorfa i vrijedi s R 2 ) est + s2 e T s + s R 2 R s 2 [ ] s s, args ) args), pa je s R e i args), s R 2 ei args) R 5,

e T R e i args) + R ei args) et R 2R cos args)) et 2 2 R 2 Iz eprekidosti gs) g T s), možemo zaključiti gs) g T s)) e st ) + s2 Me T s R 2 et R e i args) + R e i args) R 2 2eT R 2. 2eT R 2 2M R 2, za svaki s Γ + Γ {s C : Rs) }, iz čega slijedi gs) g T s)) e st ) + s2 ds 2πi Γ + s R 2 2M 2π Γ + R ds 2 2π 2M R 2 Rπ M R. Sada promotrimo itegral a Γ Γ {s C : Rs) < }, posebo za gs) i g T s). Pogledajmo prvo za g T s). Kako je g T s) holomorfa a čitavom C, prema Cauchyevom teoremu možemo, umjesto koture Γ, uzeti polukružicu Γ {s C : s R, Rs) < }. Sada, za Rs) <, imamo g T s) T T ft)e st dt M e t dt M T e t dt T M lim e t dt lim ) T A A A e t A M lim A e T + ) ea M e T Me T. Imamo da otprije vrijedi ) est + s2 2eT, pa iz svega slijedi s R 2 R 2 2πi Γ g T s)e st ) + s2 ds s R 2 2π Me T 2eT R 2 Γ ds M R. }{{} Rπ Sada pogledajmo za gs). Kako je gs) holomorfa a kompaktom skupu Γ, tada je i ograičea a tom 6

skupu, pa tada postoji kostata K KR, δ) >, tako da vrijedi Sada vrijedi ) gs) + s2 K, za svaki s Γ s R 2. gs)e st ) + s2 ds 2πi Γ s R 2 2π K e st ds, Γ a ako uzmemo da T, tada zbog lim T e st lim T e T, dobijemo lim T Sada imamo da vrijedi g) g T ) 2πi gs)e st ) + s2 ds 2πi Γ s R 2. Γ gs) g T s)) e st ) + s2 ds s R 2 gs) g T s)) e st ) + s2 ds + gs) g 2πi Γ + s R 2 T s)) e st ) + s2 ds 2πi Γ s R 2 gs) g T s)) e st ) + s2 ds 2πi Γ + s R 2 + gs) g T s)) e st ) + s2 ds 2πi Γ s R 2 M R + gs)e st ) + s2 ds 2πi Γ s R 2 + g T s)e st ) + s2 ds 2πi Γ s R 2 M R + M R + 2π K est ds, Γ iz čega slijedi a kako vrijedi lim R 2M R lim sup g) g T ) 2M T R,, to je oda lim g T ) g). T Q.E.D. Lema 7 Nepravi itegral ϑ) d kovergira. 2 Dokaz: Primjeit ćemo aalitički teorem kako bismo pokazali da dai itegral, ozačimo ga sa I, kovergira. 7

Kako je >, možemo staviti e t, pa imamo I ϑ) 2 d ) ϑ) d [ e t t l, [, ] t [, ], dt d ] ϑe t )e t ) dt Ako defiiramo ft) ϑe t )e t, imamo I ft)dt. Sada, zbog ϑ) O), lema 5, postoje kostate C R i t [,, takve da vrijedi ft) ϑe t )e t ϑe t ) e t + Ce t )e t + C +, za svaki t t. Kako ft) ima jedio prekide prve vrste i to za t P, očito je ograičea a [, t, pa slijedi da je ograičea a [,. Takoder, a svakom kompaktom skupu K [,, fukcija ft) ima samo koačo mogo prekida prve vrste, pa je itegral po K od ft) koača, a temelju čega zaključujemo da je ft) lokalo itegrabila fukcija. Defiirajmo sada gs) ft)e st dt, za Rs) >. Ako pokažemo da je gs) holomorfa za Rs), tada bi sve pretpostavke aalitičkog teorema bile ispujee, pa bi slijedilo da ft)dt kovergira i jedak je g). Pokazat ćemo da vrijedi jedakost ϑe t )e s+)t dt Φs + ), za Rs) >, s + jer pomoću je slijedi gs) e st dt lim A ϑe t )e t ) e st dt ϑe t )e s+)t dt A e st dt e st dt lim s ) A A e st lim A s e + ) sa s s 8

[ Φs + ) s + s s s s + s + ] s + + Φs + ) s ) ss + ) s +, odoso vrijedi gs) Φs + ) s ) s +. Ako dobivea jedakost vrijedi za Rs) >, tada je Rs + ) >, pa prema prethodo dokazaome rezultatu da je Φs) holomorfa za Rs), slijedi s da je Φs + ) holomorfa za Rs), iz čega slijedi da je gs) holomorfa za s Rs), pa prema aalitičkom teoremu itegral I ft)dt kovergira i jedak je g). Kako je gs) holomorfa za Rs), pa dakle i u s, to zači da g) poprima koaču vrijedost u s, pa je dakle itegral Pokažimo sada raije avedeu jedakost ϑ) d kovergeta. 2 ϑe t )e s+)t dt Φs + ), za Rs) >. s + Ozačimo itegral sa lijeve strae jedakosti sa J. Sada imamo sljedeće J ϑe t )e s+)t dt Napravimo zamjeu varijabli e t. Vrijedi ϑe t )e s+2)t e t dt. e t t l, Pa imamo J t [, [,, dt d d dt et dt. Gdje je p, a p i P, i N. ϑ) d s+2 k pk+ p k ϑ) d. s+2 Razlog ovakvog rastava itegrala je zbog toga što za proizvolja p k, p k+ vrijedi ϑ) p p p k ϑp k ), pa možemo pisati J k pk+ ϑp k ) d. p k s+2 Izračuajmo itegral koji se alazi pod sumom sa dese strae jedakosti, za 9

proizvolja k, pk+ d p k s+2 Iz avedeog slijedi ) p s k+ s s + p k J s + k s+ ϑp k ) p s+ k p k s + p k+ ) p s+. k+ p s+ k ) p s+. k+ Uočimo da vrijedi ϑp k ) ϑp k+ ) k+ i zamo otprije da ϑp)p s+) i Φs + ) kovergiraju apsoluto za Rs) >, pa slijedi s + J s + s + k ϑ) }{{} + k ϑp k ) p s+ k ϑp l+ ) l p s+ l+ Dakle, dobili smo da vrijedi ϑpk ) p s+ k k ϑp ) k+) k+ p s+ k+ ) ϑp k+ ) p s+ k+ + k k+ p s+ k+ ϑp k+ ) +Φs + ) Φs + ). s + k p s+ k+ } {{ } J Φs + ), za Rs) >. s + Q.E.D. Za dvije fukcije, f i g, kažemo da su asimptotički jedake i pišemo f) g), ako vrijedi lim f) g). Lema 8 Vrijedi ϑ). Dokaz: Trebamo pokazati da vrijedi: a) ɛ >, > tako da > ϑ) < ɛ, i b) ɛ >, > tako da > ϑ) < ɛ. 2

Dokažimo te dvije tvrdje svodejem a kotradikciju. a) Pretpostavimo suproto, odoso ɛ > tako da >, > tako da je ϑ) ɛ, što je ekvivaleto sa ϑ) λ, gdje je λ + ɛ >. Kako je ϑ) rastuća fukcija, odoso vrijedi < 2 ϑ ) p p 2 ϑ 2 ), tada slijedi t λ λ ϑ) ϑt) ϑλ), pa imamo sljedeće λ λ ϑt) t λ dt t 2 λ λ ) λ t 2 dt λ ϑ) t λ λ t dt dt t 2 t 2 t dt λ t ) λ + l l λ λ + l λ + l t λ λ l λ. Za λ > vrijedi Cλ) λ l λ >, jer je C) i C λ) λ >, pa je Cλ) strogo rastuća fukcija. Sada astavimo postupak iduktivo. Ozačimo sa i λ sa λ. Uzmimo da je λ >. Za taj ovi postoji 2 > takav da vrijedi ϑ 2 ) λ 2. Uzmimo sada da je λ 2 >. Za taj ovi postoji 3 > takav da vrijedi ϑ 3 ) λ 3. Dalje, a ovaj ači, iduktivo defiiramo iz ) N za koji vrijedi > λ i ϑ ) λ, za svaki N, pa slijedi λ ϑt) t t 2 dt Cλ), za svaki N. Sada imamo ϑt) t dt t 2 λ ϑt) t dt t 2 Cλ), 2

a kako vrijedi da red Cλ) divergira jer je Cλ) >, dobili smo kotradikciju sa kovergecijom ϑt) t t 2 dt. b) Pretpostavimo suproto, odoso ɛ > tako da >, > tako da je ϑ) ɛ, što je ekvivaleto sa ϑ) λ, gdje je λ ɛ <. Kako je ϑ) rastuća fukcija, imamo sljedeće λ t ϑλ) ϑt) ϑ) λ, pa oda vrijedi λ λ ϑt) t dt t 2 λ λ t 2 dt λ λ λ ) Sada vidimo da za λ < vrijedi ϑ) t λ t dt dt t 2 λ t 2 t dt λ t ) λ + l t + l λ l λ + l λ. λ Cλ) λ + l λ <, jer je C) i C λ) + λ > za < λ <. Odoso, Cλ) strogo raste i C), pa je Cλ) egativa za λ <. Sada, aalogo kao pod a), astavimo postupak iduktivo. Ozačimo sa i λ sa λ. Uzmimo da je λ >. Za taj ovi postoji 2 > takav da vrijedi ϑ 2 ) λ 2. Uzmimo sada da je λ 2 >. Za taj ovi postoji 3 > takav da vrijedi ϑ 3 ) λ 3. Dalje, a ovaj ači, iduktivo defiiramo iz ) N za koji vrijedi > λ i ϑ ) λ, za svaki N, pa slijedi λ ϑt) t t 2 dt Cλ), za svaki N. Sada imamo ϑt) t dt t 2 λ ϑt) t dt t 2 Cλ), 22

a kako vrijedi da red Cλ) divergira jer je Cλ) <, dobili smo kotra- ϑt) t dt ϑt) t dt. t 2 t 2 dikciju sa kovergecijom Q.E.D. 4 Teorem o prostim brojevima Teorem 2 Vrijedi što se može pisati i kao lim π) / l, π) gdje je π) broj prostih brojeva, R. l, Dokaz: Imamo da vrijedi ϑ) p, za svaki ɛ >. ɛ <p Uočimo da, zbog strogog rasta fukcije l, vrijedi ɛ p l ɛ l. Primjeom prethodog, imamo da vrijedi ϑ) ɛ) l π) π ɛ ) ) ɛ) l. ɛ <p Kako očito vrijedi π ɛ ) ɛ,, imamo ϑ) π) ɛ) ɛ) l. Takoder vrijedi ϑ) p l π) l, pa iz svega skupa imamo da vrijedi π) ɛ ) ɛ) l ϑ) π) l, 23

odoso, dijeljejem obje strae sa >, dobije se π) l ɛ) l ) ϑ) ɛ Sada uzmimo da u obje ejedakosti. Kako je i kako je slijedi l lim ɛ ϑ) lim π) l., što smo raije pokazali, [primjeom L Hospitalovog pravila] lim ɛ, ɛ l lim ɛ)π) pa imamo da vrijedi, iz prve ejedakosti π) l lim, za svaki ɛ >, lim sup π) l, i iz druge ejedakosti lim if π) l. Na temelju posljedje dvije ejedakosti, koačo možemo zaključiti π) l lim. Q.E.D. Time je teorem o prostim brojevima dokaza. 24

5 Zaključak Teorem o prostim brojevima tvrdi da je omjer π) i l se povećava. Uatoč tome, pokazao je da razlika π) veća. Sličo vrijedi i za π) i aproksimacija fukcije π) je 2 l dt. l t sve bliže jediici kako l postaje sve veća i, iako je razlika maja. Takodjer, vrlo dobra Teorem se smatra jedim od ajvećih poduhvata u teoriji brojeva. Ako pratimo povijeso, ije jedom da se ovako bita rezultat riješio s amjerom da se riješi jeda drugi, puo teži problem. Naime, teorem o prostim brojevima je rješe s amjerom razrješavaja, sada već čuvee, Riemaove hipoteze. Temeljije proučavaje komplekse aalize i jezie primjee a rješavaje gorućih problema matematike devetaestog stoljeća, e samo da je omogućilo bolje razumijevaje raspodijele prostih brojeva ego i mogih problema primjejee matematike i fizike, čija je oa daas eizostava dio. 25

Literatura. Edwards, H. M.: Riema s Zeta Fuctio, Dover Publicatios, Ic., Mieola, New York, 2. 2. Rockmore Da: Stalkig the Riema Hypothesis, Vitage books, A Divisio of Radom House, Ic., New York, 25. 3. Garrett, P.: Simple proof of the prime umber theorem, etc., 25., URL: http://www.math.um.edu/ garrett/m/v/pt.pdf. 9.2.22.). 4. Zagier: Newma s Short Proof of the Prime Number Theorem, The America Mathematical Mothly, Vol. 4, No.8 Oct. 997), pp. 75-78, URL: http://mathdl.maa.org/images/upload l ibrary/22/chauveet/zagier.pdf. 2.4.22.). 5. Kurepa, S.-Kraljević, H.: Matematička aaliza, četvrti dio; Fukcije komplekse varijable, prvi svezak, Tehička kjiga, Zagreb, 986. 6. Elezović, N.- Petrizio, D.: Fukcije komplekse varijable, Zbirka zadataka, Elemet, Zagreb, 994. 7. Kurepa, Svetozar: Matematička aaliza, Difereciraje i itegriraje, Tehička kjiga, Zagreb, 984. 8. Kurepa, Svetozar: Matematička aaliza 2, Fukcije jede varijable, Tehička kjiga, Zagreb, 984. 26