Inegalităţi funcţionale şi probleme de transport cu aplicaţii în economie

Σχετικά έγγραφα
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Curs 4 Serii de numere reale

Integrala nedefinită (primitive)

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Curs 1 Şiruri de numere reale

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Curs 2 Şiruri de numere reale

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Criptosisteme cu cheie publică III

Subiecte Clasa a VIII-a

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

Capitolul 2. Integrala stochastică

z a + c 0 + c 1 (z a)

Subiecte Clasa a VII-a

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

riptografie şi Securitate

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Integrale cu parametru

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

Probleme pentru clasa a XI-a

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

Câmp de probabilitate II

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

8 Intervale de încredere

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

Subiecte Clasa a VIII-a

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Algebra si Geometrie Seminar 9

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

NOŢIUNI INTRODUCTIVE

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

MARCAREA REZISTOARELOR

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare


Conice şi cercuri tangente

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Siruri de numere reale

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

Curs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Transcript:

Inegalităţi funcţionale şi probleme de transport cu aplicaţii în economie Anca Bonciocat IMAR Proiect "Cercetarea ştiinţifică economică, suport al bunăstării şi dezvoltării umane în context european - CerBun" POSDRU ID 62988

Inegalităţi slabe de transport (inegalităţi Talagrand slabe) pe spaţii discrete şi grafuri ; Inegalităţi Brunn-Minkowski pe spaţii discrete şi grafuri ; Probleme de transport pe reţele de trafic. Abordare : via "mass transportation"

Problema de transport Problema clasică : Monge, Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais, 1781 ; observaţie extrem de importantă din punctul de vedere al "geometriei" transportului optimal : transportul trebuie să urmeze linii drepte, ortogonale pe o familie de suprafeţe. Această observaţie l-a condus la studiul liniilor de curbură. Varianta liniarizată : Kantorovich şi Rubinstein, anii 40 ; teoremă de dualitate, programare liniară. Abia în 1975 Kantorovich a primit Premiul Nobel pentru Economie, "pentru contribuţiile sale la teoria alocării optimale a resurselor".

Problema de transport Relansată : R. McCann (A convexity principle for interacting gases, 1997), F. Otto, C. Villani (Generalization of an inequality by Talagrand and links with the logarithmic Sobolev inequality, 2000), Sturm-Lott-Villani - geometria spaţiilor metrice 2006, etc. Cea mai cuprinzătoare monografie pe acest subiect : C. Villani, Optimal Transport, Old and New, 2009. Gamă largă de aplicaţii : econometrie, economie urbană, "nonlinear pricing", teoria economică a stimulării ("incentive theory"), teoria transmiterii informaţiei, meteorologie, ecuaţii de difuzie şi mecanica fluidelor, cu consecinţe în biologie, etc.

Cazul Riemannian Teoremă (von Renesse-Sturm 2005) Pentru orice varietate riemanniană netedă şi conexă M cu metrica riemanniană d şi măsura volum m, şi pentru orice K R, următoarele proprietăţi sunt echivalente : 1 Ric x (v, v) K v 2 pentru orice x M şi v T x (M). 2 Funcţionala entropie Ent( m) este K -convexă pe P 2 (M) în sensul că pentru orice geodezică γ : [0, 1] P 2 (M) şi pentru orice t [0, 1] Ent(γ(t) m) (1 t)ent(γ(0) m) + tent(γ(1) m) K 2 t(1 t) d2 W (γ(0), γ(1)).

Minoranţi pentru curbură pe spaţii metrice cu măsură Definiţie (Sturm, Acta Math. 2006) Un spaţiu metric cu măsură (M, d, m) are curbura K pentru un K R dacă entropia relativă Ent( m) este slab K -convexă pe P2 (M, d, m) : pentru orice pereche de măsuri ν 0, ν 1 P2 (M, d, m) există o geodezică Γ : [0, 1] P2 (M, d, m), ce uneşte ν 0 şi ν 1, cu Ent(Γ(t) m) (1 t)ent(γ(0) m) + tent(γ(1) m) pentru orice t [0, 1]. K 2 t(1 t) d2 W (Γ(0), Γ(1))

Curbura discretă - din perspectiva geometriei grosiere Geometria grosieră (coarse geometry) studiază proprietăţile spaţiilor "la scară mare".

Minoranţi grosieri pentru curbură Definiţie (M, d, m) are curbura h-grosieră K dacă pentru orice ν 0, ν 1 P2 (M, d, m) şi pentru orice t [0, 1] există un punct t-intermediar h-grosier η t P2 (M, d, m) între ν 0 şi ν 1, ce îndeplineşte Ent(η t m) (1 t)ent(ν 0 m)+tent(ν 1 m) K 2 t(1 t) d±h W (ν 0, ν 1 ) 2, unde semnul în d ±h W (ν 0, ν 1 ) este ales + pentru K > 0, şi pentru K < 0. Pe scurt, scriem în acest caz h- Curv(M, d, m) K.

Stabilitate Teoremă 1 Stabilitate la convergenţă : Fie (M, d, m) un spaţiu metric cu măsură normalizat şi {(M h, d h, m h )} h>0 o familie de spaţii normalizate cu diametre uniform mărginite, astfel încât h- Curv(M h, d h, m h ) K h, cu K h K pentru h 0. Dacă pentru h 0, atunci (M h, d h, m h ) D (M, d, m) Curv(M, d, m) K. 2 Stabilitate la discretizare : Dacă (M, d, m) este un spaţiu metric cu măsură şi Curv(M, d, m) K, atunci pentru orice h > 0 şi pentru orice discretizare (M h, d, m h ) with R(h) h/4, avem h- Curv(M h, d, m h ) K.

Exemplu : Grafurile planare omogene G(l, n, r) cu vârfurile de grad constant l 3, cu feţele poligoane cu acelaşi număr n 3 de muchii şi cu toate muchiile de aceeaşi lungime r > 0.

Exemplu : Grafurile planare omogene 1 Dacă 1 l + 1 n < 1 2, atunci G(l, n, r) poate fi scufundat în spaţiul hiperbolic 2-dimensional de curbură secţională constantă K = 1 r 2 [ ( ( ) arccosh 2 cos2 π 2 n sin 2 ( ) 1)]. π l 2 Dacă 1 l + 1 n > 1 2, atunci G(l, n, r) poate fi scufundat în sfera 2-dimensională de curbură secţională constantă K = 1 r 2 [ ( ( ) arccos 2 cos2 π 2 n sin 2 ( ) 1)]. π l 3 Dacă 1 l + 1 n = 1 2, atunci G(l, n, r) poate fi scufundat în planul euclidian (K = 0).

Exemplu : Grafurile planare omogene Echipăm G(l, n, r) cu metrica d indusă de metrica riemanniană corespunzătoare şi cu măsura uniformă m pe muchii. Propoziţie (G(l, n, r), d, m) are h-curbura K pentru h r C(l, n), unde ( )] 2 [arccosh 1 2 cos2 ( π n ) r 2 sin 2 ( π l ) 1 for 1 l + 1 n > 1 2 ( )] K = 2 1 [arccos 2 cos2 ( π n ) r 2 sin 2 ( π l ) 1 for 1 l + 1 n < 1 2 0 for 1 l + 1 n = 1 2 u arcsinh@ 1 t cos2 ( π n ) sin( π n ) sin 2 ( π l ) 1 iar C(l, n) = 4! arccosh 2 cos2 ( π n ) sin 2 ( π l ) 1 0 v u 1 A

Inegalitatea Talagrand clasică de transport Inegalitatea Pinsker-Csizsar-Kullback : pentru orice două probabilităţi µ şi ν avem 1 µ ν TV 2 Ent(ν µ). Mai general : Definiţie Fie (M, d) un spaţiu metric, iar m P 2 (M, d) dată. Spunem că m satisface o inegalitate Talagrand (sau o inegalitate de transport cu cost pătratic) de constantă K, dacă pentru orice ν P 2 (M, d) 2 Ent(ν m) d W (ν, m). (4.1) K

Inegalităţi slabe de transport Propoziţie Fie (M, d, m) un spaţiu metric cu măsură, cu h- Curv(M, d, m) K pentru h > 0 şi K > 0. Atunci pentru fiecare ν P 2 (M, d) avem Definiţie 2 Ent(ν m) W (ν, m). (4.2) K d +h Dacă (M, d) este un spaţiu metric şi m P 2 (M, d), spunem că m satisface o inegalitate (slabă) h-talagrand de transport de constantă K > 0 dacă pentru orice ν P 2 (M, d) d +h 2 Ent(ν m) W (ν, m). K

Concentrarea măsurii Pentru A M măsurabilă notăm B r (A) := {x M : d(x, A) < r} for r > 0. Funcţia de concentrare a spaţiului (M, d, m) este { α (M, d,m) (r) := sup 1 m(b r (A)) : A B(M), m(a) 1 }, r > 0. 2 Propoziţie Fie (M, d, m) un spaţiu metric cu măsură cu h- Curv(M, d, m) K > 0. Atunci există r 0 > 0 astfel incât pentru orice r r 0 α (M, d,m) (r) e Kr 2 /8.

Stabilitatea la D-convergenţa Teoremă Fie (M, d, m) un spaţiu metric cu măsură, normalizat şi compact, şi fie {(M h, d h, m h )} h>0 o familie de spaţii metrice cu măsură normalizate, cu diametrele uniform mărginite şi astfel încât fiecare (M h, d h, m h ) să îndeplinească o inegalitate h-talagrand de constantă K h, pentru K h K când h 0. Dacă (M h, d h, m h ) D (M, d, m) pentru h 0, atunci (M, d, m) îndeplineşte o inegalitate Talagrand de constantă K.

Tensorizare Teoremă Fie {(M i, d i, m i )} i=1,...,n n spaţii cu măsură normalizate, ce îndeplinesc fiecare câte o inegalitate h-talagrand de constantă K. Atunci spaţiul M = M 1... M n, cu metrica d(x, y) = n d i (x i, y i ), x, y M i=1 şi cu măsura m = m 1... m n, îndeplineşte o inegalitate h-talagrand de constantă K.

Condiţia curbură-dimensiune Pentru a obţine rezultate geometrice mai consistente, este necesară şi o constrângere impusă dimensiunii. Condiţia curbură-dimensiune (h )CD(K, N) revine la : 1 (h-)curbura K 2 (N-)dimensiune N (cu N 1) Funcţionala entropie Rényi : S N ( m) : P 2 (M, d) R cu S N (ν m) := ρ 1/N dν, M unde ρ este densitatea părţii absolut continue ν c în raport cu m în descompunerea Lebesgue ν = ν c + ν s = ρm + ν s a măsurii ν P 2 (M, d).

Condiţia (h-)cd(0, N) Un spaţiu (M, d, m) satisface h-cd(0, N) dacă pentru orice pereche de măsuri ν 0, ν 1 P 2 (M, d, m) există un cuplaj h-optimal q al lui ν 0, ν 1 astfel încât pentru orice t [0, 1] să existe un punct t-intermediar h-grosier η t P 2 (M, d, m) între ν 0, ν 1 cu S N (η t m) (1 t) S N (ν 0 m) + t S N (ν 1 m), pentru orice N N.

Condiţia generală curbură-dimensiune Definiţie (M, d, m) satisface condiţia h-cd(k, N) (resp. h-cd s (K, N)) dacă pentru orice ν 0, ν 1 P 2 (M, d, m) există un cuplaj δh-optimal q cu ν 0, ν 1 asfel încât pentru orice t [0, 1] există un punct t-intermediar h-grosier (resp. în sens tare) η t P 2 (M, d, m) între ν 0, ν 1 cu [ S N (η t m) τ (1 t) K,N (( d(x 0, x 1 ) δh) + ) ρ 1/N 0 (x 0 ) pentru orice N N. +τ (t) K,N (( d(x 0, x 1 ) δh) + ) ρ 1/N 1 (x 1 ) ] dq(x 0, x 1 ) ρ i este densitatea părţii absolut continue a lui ν i în raport cu m, δ = 1 pentru K < 0, iar δ = 1 pentru K 0.

Consecinţe geometrice - Inegalitatea Brunn-Minkowski Propoziţie ( Inegalitatea Brunn-Minkowski generalizată ) Fie (M, d, m) un spaţiu metric cu măsură normalizat, care îndeplineşte h-cd s (0, N). Atunci pentru orice mulţimi măsurabile A 0, A 1 M cu m(a 0 ) m(a 1 ) > 0, pentru orice t [0, 1] şi N N m(a h t ) 1/N +h 1 1/N (1 t) m(a 0 ) 1/N + t m(a 1 ) 1/N. unde A λ t := { y M : (x 0, x 1 ) A 0 A 1 cu (1 t) d(x 0, y) 2 + t d(y, x 1 ) 2 t(1 t)( d(x 0, x 1 ) 2 + λ 2 ) }.

Consecinţe geometrice - Inegalitatea Brunn-Minkowski Teoremă ( Inegalitatea Brunn-Minkowski generalizată ) Fie (M, d, m) un spaţiu normalizat ce îndeplineşte h-cd s (K, N). Atunci pentru orice mulţimi măsurabile A 0, A 1 M cu m(a 0 ) m(a 1 ) > 0, şi pentru orice t [0, 1] şi N N m(a h t ) 1/N +h 1 1/N τ (1 t) K,N (Θ h )m(a 0 ) 1/N +τ (t) K,N (Θ h )m(a 1 ) 1/N, unde Θ h := { infx0 A 0,a 1 A 1 ( d(x 0, x 1 ) h) +, pentru K 0 sup x0 A 0,a 1 A 1 ( d(x 0, x 1 ) + h), pentru K < 0.

Consecinţe geometrice - Teorema Bonnet-Myers Propoziţie Oricare ar fi spaţiul metric cu măsură normalizat (M, d, m), ce îndeplineşte condiţia curbură-dimensiune h-cd s (K, N) pentru numerele reale h > 0, K > 0 şi N 1, suportul măsurii m are diametrul N 1 L K π+h. În particular, dacă avem K > 0 şi N = 1, atunci supp[m] constă dintr-o bilă de rază h.

Probleme de transport pe reţele de trafic Fie M o submulţime convexă şi mărginită M a lui R N, pentru N 2, înzestrată cu metrica euclidiană d. Considerăm distanţa dintre doua drumuri Lipschitziene γ 1, γ 2 : [0, 1] M d(γ1, γ 2 ) = inf ϕ max γ 1(t) γ 2 (ϕ(t)), t [0,1] unde infimumul este luat după toate funcţiile ϕ : [0, 1] [0, 1] crescătoare şi bijective. Definim Γ ca mulţimea tuturor claselor de echivalenţă de drumuri Lipschitziene din M, parametrizate peste [0, 1], unde γ 1 si γ 2 sunt echivalente dacă d(γ 1, γ 2 ) = 0. Γ este un spaţiu metric echipat cu distanţa d.

Probleme de transport pe reţele de trafic Fie A, B : R + R + două funcţii monoton crescătoare cu : A(0) = B(0) = 0 ; A continuă ; B inferior semicontinuă. Interpretăm A(s) drept costul de transport cu mijloace proprii pe o distanţa s (costul combustibilului, al taxelor de autostradă, consumul de timp, oboseala, mersul pe jos, etc.). Interpretăm B(s) ca fiind costul de transport folosind transportul în comun pe distanţa s ("preţul biletului").

Probleme de transport pe reţele de trafic Pentru o reţea de transport urbană G M (e.g. un graf metric finit), costul total de transport pe un drum γ Γ este dat de C G (γ) = A(H 1 (γ \ G)) + B(H 1 (γ G)), unde H 1 este măsura Hausdorff 1-dimensională, iar γ := γ([0, 1]). Definim o "distanţă" pe M, ce depinde de G şi este dată de costul cel mai mic de transport al drumurilor ce unesc două puncte : D G (x, y) = inf{c G (γ) : γ Γ, γ(0) = x, γ(1) = y} Funcţia D G : M M R + este continuă.

Probleme de transport pe reţele de trafic Scop : găsirea celei mai potrivite reţele de transport G, pentru a transporta populaţia de la "domicilii" la "locurile de munca". Fie µ şi ν două probabilităţi pe M ; µ dă o distribuţie a domiciliilor, pe cand ν dă o distribuţie a locurilor de muncă. Fiecărui cuplaj π îi putem asocia costul de transport dat de formula I G (π) = D G (x, y)dπ(x, y) M M Definiţie Se numeşte măsură de traseu o măsură Φ pe Γ astfel încât (p 0 ) Φ = µ şi (p 1 ) Φ = ν, unde pentru t {0, 1} am notat p t : Γ M, p t (γ) = γ(t).

Probleme de transport pe reţele de trafic Costul total de transport asociat unei măsuri de traseu : T G (Φ) = C G (γ)dφ(γ) Notăm, pentru o reţea urbană G, Γ K(G) = inf{t G (Φ) : Φ măsură de traseu} Fie L : R + R + { } cu L monoton crescătoare şi inferior semicontinuă ; L(0) = 0 ; lim l L(l) =. Interpretăm L(l) ca fiind costul de mentenanţă al unei reţele de transport G de lungime H 1 (G) = l. Costul total de folosire a reţelei G : T (G) = K(G) + L(H 1 (G))

Reţele optimale de transport Considerăm doar reţele G conexe. Funcţie cost mai generală : f : (R + ) 3 [0, + ], cu proprietăţile : f inferior semicontinuă ; f continuă în prima variabilă ; f monoton crescătoare în fiecare dintre cele trei variabile (f (s, t, u) f (s, t, u ) pentru orice s s, t t, u u ) ; Pentru orice s, t R + fixate, lim u f (s, t, u) =. Caz particular : f (s, t, u) = A(s) + B(t) + L(u)

Reţele optimale de transport Redefinim în acest context "distanţa" D G de pe M : { D G (x, y) = inf f (H 1 (γ \ G), H 1 (γ G), H 1 (G)) : γ Γ, γ(0) = x, γ(1) = y} Teoremă Fie µ şi ν două măsuri de probabilitate pe M. Atunci, cu notaţiile precedente, problema de optimizare admite o soluţie G opt. min{k(g) : G M, G conexă}