LOGIKA, DÔVODENIE, DÔKAZY VÝROK A JEHO PRAVDIVOSTNÁ HODNOTA

1 LOGIKA, DÔVODENIE, DÔKAZY VÝROK A JEHO PRAVDIVOSTNÁ HODNOTA Termíny výrok, pravdivostná hodnota výroku, pravdivý výrok, nepravdivý výrok, zložený výrok označujú základné pojmy logiky. Význam slov každý, žiadny, aspoň, najviac, a, alebo, práve, ak-tak, nech-potom, v bežnej hovorovej reči a v matematike. DEF: VÝROK je oznamovacia veta, o ktorej má zmysel uvažovať, či je pravdivá alebo nepravdivá, čiže zrozumiteľne oznamuje niečo, čo môže byť buď len pravdivé, buď len nepravdivé. (teda, či má zmysel otázka Je Pravda, že? ) Pravdivostná hodnota výroku je to priradenie jednej z pravdivostných hodnôt pravda, nepravda danému výroku. - pravdivý výrok výrok platí logická 1 označenie p - nepravdivý výrok výrok neplatí logická 0 označenie n Medzi charakteristické vlastnosti výrokov patria najmä tieto 3 vlastnosti: a) Každému výroku možno jednoznačne priradiť jednu z dvoch pravdivostných hodnôt pravda, nepravda. b) Z každého výroku možno vytvoriť negáciou nový výrok, ktorý má inú, hovoríme opačnú, pravdivostnú hodnotu než pôvodný výrok. c) Ľubovoľné výroky možno určitým spôsobom spojovať tak, že výsledkom spojenia je vždy zase výrok. Niektoré vety, napr. zvolacie, opytovacie, rozkazovacie vety nie sú výroky, pretože ich nemožno ohodnotiť z hľadiska pravdivosti či nepravdivosti (napr.: Riešte rovnicu!, Ktoré čísla sú deliteľmi nuly? ). Za príklady výrokov sa nehodia ani tie oznamovacie vety, ktoré sú neúplne formulované (napr.: Nie je tu., Susedné strany pravouholníka sú zhodné., 2+2 ) alebo vety raz pravdivé, raz nepravdivé ( Uhlopriečky v štvoruholníku sa rozpoľujú ). Vety výroky : Týždeň má osem dní. Bratislava je hlavné mesto Slovenska. Trojuholník má 3 strany. 2+5 = 6. Existuje červené auto. Každé auto má štyri kolesá. Vety nevýroky: Dobré ráno. Pes. Deň a noc. x + 3 = 5. nemôžeme uvažovať o pravdivosti výrokov.

2 Príklad 1: Ktoré z nasledujúcich viet možno považovať za výroky? a) Varšava je hlavné mesto SR. 0 b) Žilina je hlavné mesto Poľska. 0 c) Riešte nerovnicu! - d) Existuje snežný muž Yetti. - e) Základy matematickej logiky. - f) Ktoré čísla sú deliteľmi nuly? - g) Narysuj pravouhlý trojuholník, ak sú dané jeho odvesny. - h) Susedné strany pravouholníka sú zhodné. 1 i) Existuje pravouholník, ktorého susedné strany sú zhodné. 1 j) V každom pravouholníku sú každé dve susedné strany zhodné. 1 k) Nie je tu. - l) (x + 1) 2 = x 2 + 1. 0 DEF: VÝROKOVÁ FORMA je výraz, ktorý sám nie je výrokom, ale obsahuje premenné, za ktoré ak dosadíme prípustné hodnoty, dostaneme výrok. V(x) výroková forma ; V(5), V(2) - výrok (výroková forma), (pravdivý výrok), (nepravdivý výrok) DEF: HYPOTÉZA (domnienka) je oznamovacia veta, ktorá niečo zmysluplné tvrdí, ale nevieme rozhodnúť, či toto tvrdenie je alebo nie je pravdivé. (označiť vetu ako hypotézu je do určitej miery subjektívne) - Na Marse existujú živé bytosti. V Bratislave teraz prší. Príklad 2: Sformulujte, ako by ste postupovali pri vyvracaní hypotézy (návod: uvedieme tzv. kontrapríklad, teda konkrétny príklad, kedy dané tvrdenie neplatí): a) Danými dvoma bodmi prechádza jediná kružnica. b) Pre každé dve reálne čísla a, b platí, že a b a b c) Číslo 2 n + 1 je pre každé prirodzené číslo n prvočíslo. DEF: AXIÓMA je pravda, ktorú pri budovaní určitej teórie označíme za evidentnú, tzn. nedokazujeme ju, pretože je daná. DEFINÍCIA je dohoda o význame nejakého útvaru, slova alebo pojmu. MATEMATICKÁ VETA je výrok dokázateľný v danej teórii. Teória Axiomatická výstavba Definície Matematické vety a lemy Tvrdenia (Kurt Gödel v každom bezospornom aritmetickom systéme existuje pravdivá veta, ktorá sama o sebe tvrdí, že je nedokázateľná ak by táto veta nebola pravdivá, bola by dokázateľná, čo je spor!)

3 NEGÁCIA JEDNODUCHÝCH VÝROKOV DEF: PROTIPÓL VÝROKU V je výrok, ktorý nemôže súčasne platiť s pôvodným výrokom. DEF: NEGÁCIA VÝROKU V je výrok, označujeme ho symbolom V, utvorený z daného výroku a popierajúci jeho pravdivosť. Negácia v sebe zahŕňa všetky protipóly. Spôsob negovania priradíme slová Nie je pravda, že... alebo K slovesnému tvaru pridáme zápor ne-. Príklad 1: V: Mám ostrý nôž. V : Nie je pravda, že mám ostrý nôž. alebo Nemám ostrý nôž. Príklad 2: Traja kamaráti sa dohadovali, kedy boli naposledy v kine. Vedeli, že to bolo v prvý prázdninový týždeň. Peter: Boli sme v kine cez víkend. Ján: Boli sme v kine v stredu. Matúš: Boli sme v kine cez pracovný deň. - Jánovo tvrdenie je protipólom k Petrovmu tvrdeniu a Matúšovo tvrdenie je negáciou Petrovho tvrdenia. Výrok V Negácia výroku V V Dvojitá negácia výroku V V 0 1 0 1 0 1 Tvrdenie: V = V Dvakrát negovaný výrok je ten istý výrok. Jednoduché kvantifikované výroky za kvantifikované výroky považujeme tie oznamovacie vety, ktoré udávajú presný počet alebo určitý odhad počtu predmetov, osôb a pod., ktoré majú uvedenú vlastnosť. Výrok Negácia výroku Aspoň n je (n>1) Najviac (n-1) je Najviac n je (n 1) Aspoň (n+1) je Práve n... je... Najviac (n-1)... je... ; Aspoň (n+1)... je... Napr: Aspoň dvaja žiaci chýbajú, V triede bolo 7 študentov., Odišli najviac traja., Na výlet nás pôjde menej ako 18., Práve jeden žiak sa hlási., Nikto nemal úraz., Aspoň jeden nefajčí. Príklad 3: Domáca úloha P. Č. Výrok Negácia výroku 1. Včera aspoň 3 žiaci nemali Dú. 2. Práve jeden z vás klamal. 3. V bitke boli zranení najviac 2 bitkári.

4 4. Štvorec má každý vnútorný uhol pravý. 5. V peňaženke mám práve 20. 6. Najmenej 8 krát som ho upozornil. 7. V prvej dvadsiatke je práve 8 8. prvočísel. Číslo 6 je deliteľné najviac 4 ciframi. 9. Práve 4 dni nepretržite pršalo. 10. Všetci mali pravdu. 11. Rovnica má práve jeden koreň. 12. Žiadne prvočíslo nie je párne. 13. Najviac traja chýbajú. 14. Nikto neodišiel. 15. Bolo nás najviac päť. 16. Každý mlčal. 17. Rovnica má dva korene. 18. Koreň rovnice je menší ako 15. 19. Meškal si aspoň 10 minút. 20. Aspoň dvaja odišli. 21. Nikto neprišiel. 22. Zostaneme aspoň štyria. 23. 24. 25. 26. Aspoň traja z nás boli vyznamenaní. V trojuholníku je najviac jeden tupý uhol. Každý zostrojený trojuholník je ostrouhlý. Aspoň 1 koreň rovnice nie je záporný. 27. Bolo nás najviac päť. 28. Nedostal nijakú knihu. 29. Našiel aspoň desať húb. 30. Predbehol každého súpera. 31. Priamky majú spoločný najviac 1 bod. 32. Kružnice majú spoločný aspoň 1 bod. 33. Nijaké prvočíslo nie je párne. 34. Paraboly majú spoločné práve 3 body. 35. Žiadna priamka nepretína kružnicu.

5 36. Každý má súčet ťažníc menší ako súčet strán. 37. Každé prvočíslo je nepárne. 38. Každé dve priamky sa pretínajú. 39. Každé tri body ležia na jednej kružnici. 40. Každé 4 body ležia na dvoch parabolách. KVANTIFIKÁTORY, VŠEOBECNÝ A EXISTENČNÝ VÝROK A ICH NEGÁCIE DEF: Všeobecný (veľký) kvantifikátor vyjadruje, že každý uvažovaný objekt má alebo žiadny objekt nemá vlastnosť, o ktorú ide. Okrem slov každý, žiadny sa na tento účel používajú aj slová všetky, ľubovoľný, ktorýkoľvek, ani jeden a pod. Zápis všeobecného výroku: pre všetky prvky x z množiny M platí výroková forma V(x) Negácia všeobecného výroku: existuje prvok x z množiny M, pre ktorý neplatí výroková forma V(x) DEF: Existenčný (malý) kvantifikátor vyjadruje, že aspoň jeden uvažovaný objekt má alebo nemá vlastnosť, o ktorú ide. Okrem slov aspoň jeden sa používajú slová niektorý, možno nájsť, existuje a pod. Zápis existenčného výroku: existuje aspoň jeden prvok x z množiny M, pre ktorý platí výroková forma W(x) Negácia existenčného výroku: pre všetky prvky x z množiny M neplatí výroková forma W(x) Napr.: Výrok : x N; x +1/x = 2 Negácia výroku : x N; x +1/x 2 Výrok : n N; n 1 Negácia výroku : n N; n 1 Príklad 1: Určte pravdivostnú hodnotu výroku a potom vytvorte negácie výrokov s kvantifikátorom: a) x N; 2x = 8 h) x N; 2x = 7 b) n N; 0 n (p) ( n N; 0> n (n)) i) x N; x +3x = x-4 c) n N; n+1 n 2 j) x N; 2.x > 8 d) n N; 2.n+1 n+2 k) x R; x < x 2

6 e) x N; 2.x > x l) n Z; (n-2) 2 n f) x N; 2.x > x 2 m) x R + ; 0 > x g) x R; 0 < x 2 n) x R; x 2 = x Výrok: Negácia výroku: Pre každý... platí, že je.... Existuje aspoň jeden..., ktorý nie je.... Existuje aspoň jeden..., ktorý Pre každý... platí, že nie je.... alebo Žiadny... nie je.... je.... Každý je Aspoň jeden nie je Aspoň jeden je Ani jeden nie je Príklad 2: V: Každý vie písať. V : Aspoň jeden nevie písať. F: Existuje lichobežník, ktorý je rovnoramenný. F : Žiaden lichobežník nie je rovnoramenný. G: Pre každý zlomok platí, že sa dá zjednodušiť. G : Existuje aspoň jeden zlomok, ktorý sa nedá zjednodušiť. V: V : H: Existuje aspoň jedno párne prvočíslo. H : Každé prvočíslo je nepárne. W: Niektorí hráči dnes neprišli na tréning. W : Všetci hráči dnes prišli na tréning. P: Aspoň jeden žiak našej triedy má narodeniny v novembri. P : Žiadny žiak našej triedy nemá narodeniny v novembri. R: R : T: Uhlopriečky obdĺžnika sú na seba kolmé. T : Existuje obdĺžnik, ktorého uhlopriečky na seba nie sú kolmé. K: Žiadny trojuholník nemá dva tupé uhly. K : Existuje aspoň jeden trojuholník, ktorý má dva tupé uhly. Z: Všetci nemali domácu úlohu. Z : Aspoň jeden mal domácu úlohu. D. Ú. Nová učebnica Z. Kubáček 2009, str. 85,86/111-116.

7 ZLOŽENÉ VÝROKY DEF: ZLOŽENÉ VÝROKY sú výroky, ktoré dostaneme spojením dvoch, alebo viacerých výrokov pomocou logickej spojky. DEF: KONJUNKCIA a, a súčasne, resp. i, a tiež ozn. - je zložený výrok, ktorý dostaneme tak, že medzi výroky vsunieme logickú spojku a, a súčasne ( ozn. ) a dostaneme A B. Konjukcia je pravdivá práve vtedy, keď obidva výroky sú súčasne pravdivé. V ostatných prípadoch je nepravdivá. A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 A: Prší. B: Svieti slnko. A B: Prší a svieti slnko. A B = B A konjukcia je komutatívna. DEF: DISJUNKCIA / ALTERNATÍVA alebo ozn. je zložený výrok, ktorý dostaneme tak, že medzi výroky vsunieme logickú spojku alebo (ozn. ) a dostaneme výrok A B. Alternatíva je pravdivá, ak aspoň jeden z výrokov A, B je pravdivý. A B A B A B 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 A: Prší. B: Svieti slnko. A B: Prší alebo svieti slnko. A B = B A alternatíva je komutatívna. Nevylučujúce alebo (aspoň jedna) - (Rozhodca môže povoliť hráčovi vymeniť si prepotený alebo poškodený dres v prestávke medzi setmi.) Vylučujúce alebo (práve jedna) - (Predávajúci môže podľa svojej voľby chybný tovar nahradiť alebo poskytnúť primeranú zľavu.) DEF: IMPLIKÁCIA ak..., tak... nech..., potom... keď..., tak... ozn. - implikáciu výroku B výrokom A dostaneme tak, že pred výrok A predradíme ak..., pred výrok B tak... a dostaneme zložený výrok (ozn. ). Implikácia je nepravdivá vtedy, keď z pravdy vyplýva nepravda, v ostatných prípadoch je pravdivá.

8 A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Pavol sľúbil Monike: Ak bude v nedeľu pekne, prídem za Tebou. Môžu nastať tieto situácie: - Bolo pekne, Pavol prišiel. (sľub splnený, implikácia platí) - Bolo pekne, Pavol neprišiel. (sľub porušený, implikácia neplatí) - Nebolo pekne, Pavol prišiel. (sľub splnený, implikácia platí) - Nebolo pekne, Pavol neprišiel. (sľub splnený, implikácia platí) A B B A implikácia nie je komutatívna. Obrátená implikácia - k implikácii je obrátená - pôvodná a obrátená implikácia nemusia mať rovnakú pravdivostnú hodnotu. Obmenená implikácia - k implikácii je obmenená - pôvodná a obmenená implikácia majú vždy rovnakú pravdivostnú hodnotu. DEF: EKVIVALENCIA -... práve vtedy, keď... (obojstranná implikácia)... vtedy a len vtedy... ( A B ) ( B A )... je ekvivalentné... ozn. - je zložený výrok, ktorý dostaneme tak, že medzi výroky vsunieme práve vtedy, keď alebo vtedy a len vtedy a dostaneme výrok A práve vtedy, keď B ( ozn. ). Ekvivalencia je pravdivá vtedy a len vtedy, keď obidva výroky sú buď pravdivé alebo obidva výroky sú nepravdivé. A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A B A B B A A B 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 A B = B A ekvivalencia je komutatívna. Príklad 1: Rozhodnite, ktoré výrokové operácie predstavujú nasledujúce zložené výroky: A: Máme pivo a minerálku. B: Večer pôjdem do kina alebo do divadla. C: Ak je číslo deliteľné deviatimi, tak je deliteľné aj troma. D: Nemám hlad ani smäd. E: Pomaranče kúpim práve vtedy, keď nebudú jablká.

9 F: Nikto nie je dokonalý. G: Ak vodič vidí vlak alebo počuje zvukové znamenie, nesmie vojsť na železničný prechod. Tabuľka pravdivostných hodnôt zložených výrokov: A B A B A B A B A B 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Výrokové premenné A, B označujú ľubovoľné výroky, preto sú v tabuľke všetky prípady ich pravdivostných hodnôt. Výrokové formuly sú výrazy zostavené iba z výrokových premenných, zátvoriek a symbolov,,,, napr. A B DEF: Tautológiou nazývame výrokovú formulu pravdivú vo všetkých kombináciách pravdivostných hodnôt. Kontradikciou nazývame výrokovú formulu nepravdivú vo všetkých kombináciách pravdivostných hodnôt. Príklad 2: Dané sú výroky A, B, C, D. Napíšte zložené výroky a znegujte ich (najprv symbolicky, potom slovne). A: Sneží. B: Fúka studený vietor. C: Pôjdem sa korčuľovať. D: Pôjdem sa lyžovať. a) A B n) C D A b) A B o) C D A B c) A B C d) (A B) e) A C f) B D g) A C h) B D i) A B D j) A B C k) D A B l) C A B m) C D A B

10 Príklad 3: Určte pravdivostnú hodnotu výrokovej formuly: A B A B tautológia? A B A A B B 1 1 1 0 0 1 0 0 Príklad 4: A B 1 1 1 0 0 1 0 0 Príklad 5: X Y Z 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Príklad 6: (A /\ B) <=> (A' \/ B') A B A A B A B. Je to A B A B (A /\ B) (A' \/ B') (A /\ B) <=> (A' \/ B')

11 NEGÁCIA ZLOŽENÝCH VÝROKOV DEF: DE MORGANOVE PRAVIDLÁ sú pravidlá, podľa ktorých tvoríme negáciu zložených výrokov. Negácia konjukcie: (A B)' A' B' A B A' B' A B (A B)' A' B' (A B)' A' B' 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 Je tautológia, platí. Negácia alternatívy: (A B)' A' B' A B A' B' A B (A B)' A' B' (A B)' A' B' 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 Je tautológia, platí. Negácia implikácie: (A B)' A B' Je tautológia, platí. A B B' A B (A B)' A B' (A B)' A B' 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 Negácia ekvivalencie: (A B)' ( A B') ( A' B) A B A' B' A B (A B)' ( A B') (A' B) (A B)' ( A B') ( A' B) 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 Je tautológia, platí.

12 Príklad 1: Učiteľ povedal žiakovi: Do školy ste si mali doniesť písacie a rysovacie pomôcky. A Ty si to zase nespravil. Čo teda spravil daný žiak? Riešenie: Sú 3 možnosti: - žiak si priniesol písacie pomôcky, ale nepriniesol si rysovacie pomôcky. - žiak si nepriniesol písacie pomôcky, ale priniesol si rysovacie pomôcky. - žiak si nepriniesol ani písacie pomôcky, ani rysovacie pomôcky. Príklad 2: Znegujte dané výroky: P. Č. Výrok Negácia výroku 1. 2. 3. 4. 5. 6. Ak je prirodzené číslo deliteľné 3, tak je deliteľné 5. Uhlopriečky obdĺžnika sú na seba kolmé. Súčet veľkostí vnútorných uhlov Δ je 180 Ak je trojuholník Δ pravouhlý, tak je aj rovnoramenný. Ak je Δ rovnostranný, tak je aj rovnoramenný. Ak pre reálne číslo platí, tak aj Príklad 3: Zistite, či daný zložený výrok je tautológia: a) A B B A B b) A C B B C A C Príklad 4: Určte pravdivostnú hodnotu zloženého výroku. a) [(A B) (A B )] A B b) (A B) (A B ) A B c) [(A B) C ] (A B ) C d) (A B ) (A B) A B e) (A B) (A B) (A B ) Existuje prirodzené číslo, ktoré je deliteľné 3, ale nie je deliteľné 5. (pravdivé, napr. 6, 9,... ) Existuje obdĺžnik, ktorého uhlopriečky na seba nie sú kolmé. (pravdivé) Existuje Δ, v ktorom súčet veľkostí vnútorných uhlov je iný ako 180. (nepravdivé) Existuje Δ, ktorý je pravouhlý, ale nie je rovnoramenný. (pravdivé) Existuje Δ, ktorý je rovnostranný, ale nie je rovnoramenný. (nepravdivé) Existuje reálne číslo, pre ktoré platí a súčasne. (pravdivé, napr. 5, - 8, ) Príklad 5: Negujte nasledujúce zložené výroky: a) Ak pôjdeme do kina, tak nepôjdeme do divadla. b) Kúpim si pivo a minerálku. c) V sobotu pôjdeme na chatu alebo k starej mame. d) Mobil dostanem práve vtedy, keď budem mať dobré vysvedčenie.

13 e) Každý štvoruholník má 4 uhly a všetky tieto uhly sú pravé. f) Kvadratická rovnica nemá koreň alebo má dva korene. Príklad 6: Niekto vyslovil hypotézu: "Ak sa v konvexnom štvoruholníku rozpoľujú uhlopriečky, tak je stredovo alebo osovo súmerný." Keby sme chceli túto hypotézu vyvrátiť, museli by sme nájsť taký konvexný štvoruholník, ktorého uhlopriečky sa A nerozpoľujú a pritom je stredovo aj osovo súmerný B nerozpoľujú a pritom je stredovo alebo osovo súmerný C rozpoľujú a pritom je stredovo súmerný, ale nie je osovo súmerný D rozpoľujú a pritom je osovo súmerný, ale nie je osovo súmerný E rozpoľujú a pritom nie je ani osovo, ani stredovo súmerný (návod: utvoriť negáciu výroku zloženého z dvoch výrokov.) Príklad 7: K danej implikácii vytvorte negáciu, obmenu, obrátenú vetu. a) Ak nedostanem zlú známku, dostanem odmenu. b) Ak sú dané čísla párne, tak ich súčin je párny. c) Keď fúka východný vietor, neprší. d) Ak je Mesiac v nove, o polnoci je v lese tma. e) Keď pracujem, nehovorím. f) Keď nemám dosť vlastných peňazí, požičiavam si ich od priateľa. g) Keď nie je v izbe dosť svetla, v izbe nerysujem. h) Keď bude fúkať studený vietor a pršať, do divadla nepôjdem. i) Keď bude fúkať studený vietor alebo pršať, do divadla alebo kina nepôjdem. j) Keď bude fúkať studený vietor a pršať, do divadla alebo kina nepôjdem. k) Pre každé dva rovinné útvary U 1, U 2 platí, že ak sú zhodné, majú rovnaký obsah. l) Pre každý štvoruholník Q platí, že ak nie sú uhlopriečky štvoruholníka Q navzájom kolmé, tak Q nie je kosoštvorec. m) Ak má funkcia f v bode a limitu f(a), tak f je v bode a spojitá. n) Ak má funkcia g v bode a lokálny extrém, tak g (a) = 0. Príklad 8: Určte druh zložených výrokov, napíšte zložený výrok symbolicky, symbolicky ho znegujte a potom zložený výrok vyjadrite slovne: a) Príde Peter a Karol alebo Táňa. b) Ak nebude pršať, potom pôjdem do kina alebo do divadla. c) Ak nebude pršať alebo fúkať studený vietor, potom pôjdem do kina. d) Ak bude pršať a fúkať studený vietor, potom nepôjdem do kina alebo do divadla. e) Ak bude pršať alebo fúkať studený vietor, potom nepôjdem do divadla. f) Mám chrípku alebo angínu a vysokú teplotu. g) Do kina alebo do divadla pôjdem vtedy, ak nebude pršať alebo fúkať studený vietor. h) Do kina alebo do divadla nepôjdem vtedy, ak bude pršať a fúkať studený vietor.

14 Negovanie zložených výrokov: A B A B V: Príde Jana a Ivana. V : Jana nepríde alebo Ivana nepríde. A B A B V: Príde Peter alebo Pavol. V : Peter a Pavol neprídu. A B A B V: Ak príde Michal, príde Ján. V : Michal príde a Ján nepríde. A B A B A B V: Karol príde práve vtedy, keď príde Jozef. V : Buď Karol príde a Jozef nepríde alebo Karol nepríde a Jozef príde. Význam spojok a, alebo v hovorovom jazyku nie je stály: A: Ján vyberá červené a zelené jablká. B: Karol vyberá jablká, ktoré sú veľké a červené. O každom jablku v Jánovom koši možno povedať, že je červené alebo zelené, zatiaľ čo v Karolovom koši je každé jablko veľké a červené. C: Malého Igora opatruje stará mama alebo starý otec. D: Tohto roku vyhrá ligu Trnava alebo Slovan. Milana môžu opatrovať niekedy i obidvaja starí rodičia súčasne, zatiaľ čo liga môže mať len jedného víťaza. ÚSUDOK DEF: ÚSUDOK je akt myslenia, ktorý pozostáva z niekoľkých bodov predpoklady úsudku (poznáme pravdivostné hodnoty výrokov) a záverov úsudku (pravdivostné hodnoty priraďujeme ďalším výrokom). Pri kontrole správnosti úsudku vyplníme tabuľku pravdivostných hodnôt všetkých formúl, ktoré v úsudku vystupujú. Potom keď nájdeme riadok, v ktorom platia predpoklady, ale neplatí záver, získame logicky nesprávny úsudok, keď v každom riadku so splneným predpokladom platí aj záver získame logicky správny úsudok. Napr.: Na základe toho, že v pondelok celý deň prší (predpoklad úsudku), bude v utorok mokro (záver úsudku) alebo bude stále pršať.