Lokaalsed ekstreemumid

Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Kui definitsioonis Δy < 0 -range lokaalne maksimum Kui definitsioonis Δy > 0 -range lokaalne miinimum G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 1 / 16

Statsionaarsed ja kriitilised punktid Elnevalt me näitasime, et kui f (a) eksisteerib ja f (a) < 0, siis funktsioon f on punktis a rangelt kahanev ning kui f (a) > 0, siis funktsioon f on punktis rangelt kasvav. Seega lokaalsed ekstreemumid saavad tekkida punktides, kus f = 0 (Fermat teoreem) või f ei eksisteeri. (statsionaarne punkt) Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) statsionaarseks punktiks, kui f (a) = 0. (kriitiline punkt) Punkti a nimetatakse funktsiooni f (x) kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt või punktis a ei ole sel funktsioonil tuletist. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 2 / 16

Näide (Näide) Nii funktsioonidel f 1 (x) = x 2 kui ka f 2 (x) = x on lokaalne miinimum punktis 0. f 1 (x) = (x 2 ) = 2x, seega f 1 (0) = 0 ja on tegemist statsionaarse punktiga. f 2 (x) = ( x ) = sgn x, seega f 2 (0) ei eksisteeri kuna f 2 (0+) := lim x 0+ sgn x = 1 ja f 2 (0 ) := lim x 0 sgn x = 1. Funktsioonid g 1 (x) = x 3 ja g 2 (x) = x + 2x on kasvavad iga x R korral. Samal ajal g 1 (0) = 0 ja g 2 (0) ei eksisteeri (g 2 (0+) = 3 ja g 2 (0 ) = 1). G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 3 / 16

Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Meie eesmärgiks on tuletada piisavaid tingimusi lokaalsete ekstreemumite olemasoluks. Selleks kasutame Lagrange keskväärtusteoreemi ja Taylori valemit. Lause (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused) Kui leidub selline δ > 0, nii et funktsioon f on pidev lõigul [a δ, a + δ] ja diferentseeruv vahemikes (a δ, a) ja (a, a + δ), kusjuures f (x) 0, x (a δ, a) f (x) 0, x (a, a + δ) siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne maksimum. Kui f (x) 0, x (a δ, a) f (x) 0, x (a, a + δ) siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne miinimum. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 4 / 16

Tõestus. Funktsioonil on punktis a lokaalne maksimum parajasti siis, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < x a < δ Δy 0. Lagrange keskväärtusteoreemi põhjal x (a δ, a) leidub c (x, a) Δy = f (x) f (a) = f (c)(x a) kuna x a < 0, siis Δy 0 kui f (c) 0 iga c (a δ, a). Analoogiliselt x (a, a + δ) korral leidub c (a, x), nii et Δy = f (x) f (a) = f (c)(x a) kuna x a > 0, siis Δy 0 kui f (c) 0 iga c (a, a + δ). Seega on vajalik funktsiooni pidevus punktis a, tuletise olemasolu punktis a ei ole vaja. Analoogilselt saame tõestada lokaalse miinimumi juhtumi. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 5 / 16

Näide Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused 1.0 Vaatame juhtu kus funktsioon on katkev meid huvitavas punktis. f (x) = { e x 2, x = 0 0, x = 0 0.8 0.6 0.4 0.2 3 2 1 1 2 3 Ilmselt a = 0 ümbruses Δy = f (x) f (a) = f (x) > 0, seega on tegemist lokaalse miinimumiga. Samal ajal f (x) = { 2x e x 2, x = 0, x = 0 ja f (x) > 0 kui x < 0 ning f (x) < 0 kui x > 0, mis eelneva teoreemi põhjal tähendaks lokaalset maksimumi. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 6 / 16

Vaatame juhtu kus f katkeb punktis a. f 2 (x) = x, f 2 (x) = sgn x = 1, x < 0 0, x = 0 1, x > 0 Eelneva teoreemi eeldused on täidetud. Kuna f muudab märki on tegemist lokaalse ekstreemumiga. f 2 (x) = x + 2x, f 2 (x) = sgn x + 2 = 1, x < 0 2, x = 0 3, x > 0 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 Kuna f säilitab märki siis lokaalne ekstreemum puudub. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 7 / 16 0.5 1.0

Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Tuletise märgi hindamine ei pruugi olla elementaarne ülesanne. Kasutades Taylori valemit saame sõnastada järgneva teoreemi, kus saame kasutada konkreetseid arve, mitte hinnanguid. Lause (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused) Kui leidub selline δ > 0, nii et Kui funktsiooni f (x) korral f (a) =... = f (n) (a) = 0 ja f (n+1) (a) = 0 ning f (n+1) (x) C(a), siis 1) juhul kui n on paaritu arv, on funktsioonil f (x) punktis a range lokaalne ekstreemum, kusjuures f (n+1) (a) < 0 korral on punktis a range lokaalne maksimum ja f (n+1) (a) > 0 korral range lokaalne miinimum, 2) juhul kui n on paarisarv, ei ole funktsioonil f (x) punktis a lokaalset ekstreemumit. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 8 / 16

Tõestus Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Funktsioonil on punktis a lokaalne maksimum parajasti siis, kui leidub selline positiivne arv δ, et Paneme kirja Taylori valemi Δy = f (x) f (a) = 0 < x a < δ Δy 0. n k=1 f (k) (a) (x a) k + (R n f )(x). k! Kuna f (a) =... = f (n) (a) = 0 ja meil eksisteerib (n + 1)-järku tuletis siis x (a δ 1, a) (x (a, a + δ 1 )) korral leidub c (x, a) (c (a, x)) Δy = f (x) f (a) = (R n f )(x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x a)n+1. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 9 / 16

Tõestus Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Kui n on paaritu, siis (x a) n+1 on positiivne. Kuna f (n+1) (a) = 0 ja f (n+1) on pidev punktis a, siis leidub U δ2 (a) kus f (n+1) > 0 või f (n+1) < 0. Võttes δ = min{δ 1, δ 2 }, saame et Δy < 0 kui f (n+1) (a) < 0 ja Δy > 0 kui f (n+1) (a) > 0. Kui n on paaris, siis jääkliikme märk vaheldub ja lokaalset ekstreemumit ei ole. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 10 / 16

Näide Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Vaatame juhtu kus funktsioon ja esimene tuletis on pidevad, kõrgemad tuletised katkevad. 1.0 (x + 1) 2, x < 1 f (x) = 0, 1 x 1 (x 1) 2, x > 1 0.8 0.6 0.4 0.2 2 1 1 2 2 2(x + 1), x < 1 f (x) = 0, 1 x 1 2(x 1), x > 1 1 2 1 1 2 1 2 G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 11 / 16

Kumerus Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on kumer punktis a (täpsemini punktis (a, f (a))), kui leidub punkti a selline δ-ümbrus, et funktsiooni f (x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a δ, a + δ) allpool (täpsemini, mitte ülalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f (a)) funktsiooni graafikule. Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on kumer hulgal X, kui selle funktsiooni graafik on kumer hulga X igas punktis. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 12 / 16

Nõgusus Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on nõgus punktis a (täpsemini punktis (a, f (a))), kui leidub punkti a selline δ-ümbrus, et funktsiooni f (x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a δ, a + δ) ülalpool (täpsemini, mitte allpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f (a)) funktsiooni graafikule. Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on nõgus hulgal X, kui selle funktsiooni graafik on nõgus hulga X igas punktis. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 13 / 16

Käänupunktid Öeldakse, et punkt a (täpsemini punkt (a, f (a))) on funktsiooni f (x) graafiku käänupunkt, kui leidub selline δ > 0, et funktsiooni f (x) graafik on kumer hulgal (a δ, a) ja nõgus hulgal (a, a + δ) või nõgus hulgal (a δ, a) ja kumer hulgal (a, a + δ). G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 14 / 16

Lause Kui f (x) on pidev punktis a, siis f (a) < 0 funktsiooni f (x) graafik on kumer punktis a, f (a) > 0 funktsiooni f (x) graafik on nõgus punktis a. Lause Kui f (x) C[a, b] ja f (x) (x (a, b)), siis funktsiooni f (x) graafiku kumerusest (nõgususest) vahemikus (a, b) järeldub, et x (a, b) f (x) 0 (f (x) 0). G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 15 / 16

Lause Kui f (a) = 0, f (a) = 0 ja f (x) on pidev punktis a, siis punkt a on funktsiooni f (x) graafiku käänupunkt. Lause Kui f (a) = f (a) =... = f (m) (a) = 0 ja f (m+1) (a) = 0 ja f (m+1) (x) on pidev punktis a, siis 1) paarisarvulise m korral on funktsiooni f (x) graafikul punktis a käänupunkt, 2) paarituarvulise m korral ei ole funktsiooni f (x) graafikul punktis a käänupunkti. G. Tamberg (TTÜ) YMM3731 Matemaatilne analüüs I 16 / 16