VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,] Reštev:[Reštev v MATLABU VNm] a(e) = 6e + 3e 2 + 2e 3 NALOGA 2: Prever, da so vektor e = [,,,], e 2 = [,,,], e 3 = [,,,] n e 4 = [,,,] baza vektorskega prostora R 4 Določ koordnate vektora a = [2, 3,,5] v te baz Kakšne so koordnate vektora a v baz f = [,,,], f 2 = [,,,], f 3 = [,,,] n f 4 = [,,,]? Reštev: a(e) = [5, 4, 4,5], a(f) = [ 2,4, 3 2, 3 2 ] NALOGA 3: V prostoru R 4 so dan vektor e = [,2,,], e 2 = [,2,,] n e 3 = [,3,,] Dopoln h do baze prostora R 4 Reštev: Na prmer e 4 = [,,,] NALOGA 4: Preprča se, da sestavlao vektor e = [,2,,3], e 2 = [,3,2,], e 3 = [,5,3,4] n e 4 = [2,,,2] podprostor razsežnost 2 v prostoru R 4 NALOGA 5: Določ parameter a R tako, da bo vektor a = [,a + 2, 2,a 2 + a + ] prpadal podprostoru, razpetemu z vektor e = [,,2,4], e 2 = [3,,,2] n e 3 = [5,,5,3] Reštev: a = 2 NALOGA 6: Na bosta M n N podprostora v R 5 Podprostor M e napet na vektorh e = [,,,, ] n e 2 = [,,,,], podprostor N pa na vektorh f = [,,,,], f 2 = [3,2,2,2,] n f 3 = [,,2,2,3] Določ bazo podprostora M N Reštev:[Reštev v MATLABU VN6m] M N = {λf 2 λ R} NALOGA 7: Zapš polnom f (t) = t 2 + 4t 3 kot lnearno kombnaco polnomov p (t) = t 2 2t + 5, p 2 (t) = 2t 2 3t n p 3 (t) = t + 3 Reštev: f = 3p + 2p 2 + 4p 3 NALOGA 8: V vektorskem prostoru P 4 (R) mamo podprostora U = {p P 4 (R) p () = p () = } n V = {p P 4 (R) p () = p() = } Pokaž, da sta U n V podprostora v P 4 (R) n pošč po eno od baz za podprostora U +V n U V Reštev: Podprostor U +V = P 4 (R) n zan lahko vzamemo standardno bazo, t, t 2, t 3 n t 4 Baza za U V pa e polnom 4t 3 + 3t 4 NALOGA 9: Na bosta U = L{[,,,,],[,,,,] } n V = {x = [x,x 2,x 3,x 4,x 5 ] R 5 x + 2x 2 + x 3 + x 4 + x 5 =, x + x 3 + x 4 + x 5 = } podprostora v R 5 Določ po eno od baz za V n U V Reštev: Baza za podprostor V sta npr vektora [,,,,] n [,,,, ], za U V pa vektor [,,,, ] NALOGA : Dan sta matrk [A] =, [B] =
Na bo U = {[X] M 3 (R) [A] [X] = [X] [A]} n V = {[X] M 3 (R) [B] [X] = [X] [B]} Pokaž, da sta množc U n V vektorska podprostora v M 3 (R) n pošč baze prostorov U, V n U V Reštev: [ ] NALOGA : Na bo [A] = n V = {[X] M 2 (R) det([a]+[x]) = det[a]+det[x]} Pokaž, da e V vektorsk podprostor v M 2 (R) n določ negovo dmenzo n eno od baz NALOGA 2: Izračuna determnant 2 3 4 7 3 4 5 9, 4 5 6 2 3 4 3 6 8 7 3 2 26 3 23 55 42 Reštev:[Reštev v MATLABU VN2m] 26, 5 NALOGA 3: Izračuna determnanto n-tega reda n n n 2 3 n Reštev: 2 ( n)n (n + ) NALOGA 4: Izračuna determnanto z rekurzsko formulo: 2 2 2 2 2 Reštev: D n = ( ) n (n + ) NALOGA 5: Dana e matrka [A] = [ ] Izračuna [A] n n rezultat prever z ndukco NALOGA 6: Določ rang matrk 3 7 5 2 4 2 3 2, 2 4 3 3 2 2 3 4 3 5 8 7 Reštev:[Reštev v MATLABU VN6m] 4, 2 NALOGA 7: Dan sta matrk [A] = [ ] 2, [B] = 2 4 [ ] a b
Kakšna zveza mora velat med parametroma a n b, da bosta matrk [A] n [B] ekvvalentn? Določ parametra a n b tako, da bosta matrk [A] n [B] podobn Izračuna tud matrko [P], za katero e [A] = [P] [B] [P] Reštev: Matrk sta ekvvalentn, če e b = a, podobn pa pr a = b = 4 NALOGA 8: Za vsako realno števlo a zračuna rang matrk 2 2 2 [A] = 2 a + 2, [B] = a 3 + a 3 3 3 2 a 4 5 + a n pokaž, da sta matrk [A] n [B] ekvvalentn Reštev: Za a e rang obeh matrk enak 3, za a = pa 2 NALOGA 9: Pokaž, da za kvadratn matrk [A], [B] vela ([A] [B]) = [B] [A] če sta matrk [A], [B] še obrnlv, e matrka [A] [B] obrnlva n e ([A] [B]) = [B] [A] Dokaž tud, da vela ([A] ) = ([A] )! Pokaž, da nverzna operaca ohrana smetro (poševno smetro) matrke NALOGA 2: Za kvadratno matrko lahko defnramo sled matrke [A] kot tr([a]) = a + + a nn Pokaž, da e sled lnearen operator Pokaž, da e tr([a] [B]) = tr([b] [A]) Če e [Q] obrnlva, pokaž, da e tr([q] [A] [Q]) = tr([a]) Če e [A] smetrčna [B] pa poševno smetrčna matrka, potem e tr([a] [B]) = NALOGA 2: Reš sstem enačb x 2x 2 + x 3 + x 4 + = 2x + x 2 x 3 x 4 2 = x + 2x 2 x 3 x 4 3 = 3x + x 2 + x 3 2x 4 4 = Reštev:[Reštev v MATLABU VN2m] x = [,2,,] NALOGA 22: Pošč splošno reštev sstema 3x 2x 2 x 3 x 4 = 6x 4x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 3 3x 2x 2 + 5x 3 + 4x 4 = 2 9x 6x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 4 Reštev:[Reštev v MATLABU VN22m] x = [,,6, 7] +α [,, 5,8] +α 2 [,,, 2], α,α 2 R NALOGA 23: Zapš reštev sstema lnearnh enačb ( + a)x + x 2 + x 3 = x + ( + a)x 2 + x 3 = a x + x 2 + ( + a)x 3 = a 2 glede na parameter a R Reštev: Pr a = 3 n a = sstem n rešlv, pr vseh drugh vrednosth parametra a pa mamo reštev x = a(a+3) [2 a2,2a,a 3 + 2a 2 a ]
NALOGA 24: matrko glede na parameter a R Določ razsežnost n eno od baz prostora reštev sstema homogenh enačb podanega z a 2a [A] = a a a a a + a a Reštev: Za a = mamo le trvalno reštev, za a mamo dvoparametrčno reštev NALOGA 25: Reš matrčno enačbo [A] [X] + [B] = [], ker sta matrk 3a 2 4b Reštev: [X] = 3 4 NALOGA 26: Podana e matrčna enačba a b 2 [A] =, [B] = 3 4 [ ] [ ] [ ] 2 a [X] [X] = 2 Za katere vrednost parametra a e enačba rešlva? Določ matrko [X] za a = [ ] Reštev: a 7 2, [X]() = 7 5 3 NALOGA 27: Izračuna lastne vrednost n lastne vektore matrk 2 A = 2, B =, C = Reštev:[Reštev v MATLABU VN27m] NALOGA 28: Izračuna: a) δ, b) δ δ, c) k δ δ k δ k, d) δ δ k, e) δ A k, f) k e k e k, g) k e k a a k,
ker sta e permutacsk smbol, δ pa Kroneckerev delta Reštev: δ = 3, δ δ = 3, k δ δ k δ k = 3, δ δ k = δ k, δ A k = A k, k e k e k = 6, k e k a a k = NALOGA 29: Dokaž velavnost denttet a (b c) = (a c)b (a b)c, (a b) a = NALOGA 3: Dokaž velavnost denttete δ mp δ mq δ ms e pqs e mnr = δ np δ nq δ ns δ rp δ rq δ rs, NALOGA 3: NALOGA 32: Z uporabo reštve gorne naloge dokaž velavnost denttet e pqs e snr = δ pn δ qr δ pr δ qn, s q e pqs e sqr = 2δ pr s Izračuna lastne vrednost n prpadaoče lastne vektore matrke 3 [A] = 3 Pokaž, da mata matrk [A] n [A] 2 enake lastne vektore Reštev: Lastne vrednost so λ =, λ 2 = 2, λ 3 = 4 Lastn vektor so [e ] = [,,] T, [e 2 ] = [e 3 ] = 2 2 [,,]T 2 2 [,,]T, NALOGA 33: Dokaž trdtev: Lastn vektor smetrčne matrke, k prpadao razlčnm lastnm vrednostm, so pravokotn med sebo NALOGA 34: Z uporabo destva, da mata smetrčn matrk [T ] n [T ] 2 enake lastne vektore, zračuna [T ] za matrko 5 [T ] = 4 4 Reštev: NALOGA 35: Z uporabo rezultata 544 586 586 [T ] = 42 586 4863 35 586 35 4863 det[a] = e k A A 2 A 3k
pokaž velavnost det([a][b]) = det[a] det[b] NALOGA 36: Na vela [B] = [Q] [A][Q], ker e [Q] ortogonalna matrka (rotaca) Pokaž, da velao enakost 2 k p A = B A A = e k e k p A p = B B, k A = I [A] = I [B] = B, (A A A A ) = I [A] 2 = I [B] 2 = 2 det([a]) = I [A] 3 = I [B] 3 = det([b]) e k e k p B p, p (B B B B ), NALOGA 37: Pokaž da vela Na velata enakost u = ω u n v = ω v, ker smo s pko označl odvod po času d (u v) dt = ω (u v) NALOGA 38: sledeč načn: V prostor postavmo kartezev koordnatn sstem z bazo e x, e y, e z Nov baz dobmo na Vektora e x n e y napre zavrtmo v smer vektora e z za kot α = 3 Bazn vektor e x, e y, e z predeo v nove bazne vektore e x, e y, e z Bazne vektore zavrtmo za kot α = 3 okrog enotskega vektora e d = vektor e x, e y, e z predeo v nove bazne vektore e x, e y, e z 3 3 (e x + e y + e z ) Bazn Določ rotacsk matrk [R] za oba prmera Namg za drug prmer: Rotaca v prostoru e določena z enotskm vektorem e n n kotom zasuka α Na bo e n podan v Kartezevem koordnatnem sstemu z bazo e e x, e 2 e y, e 3 e z t e n = n e + n 2 e 2 + n 3 e 3 = n e Defnramo matrko n 3 n 2 [N] = n 3 n n 2 n Potem rotacsko matrko [R] lahko zapšemo z enačbo [R] = [I] + snα [N] + ( cosα)[n] 2