Kola u ustalenom prostoperiodičnom režimu svi naponi i sve strue u kolu su prostoperiodične (sinusoidalne ili kosinusoidalne funkcie vremena sa istom kružnom učestanošću i u opštem slučau različitim fazama x( t X m cos( ω t θ, gde su: o x (t strua ili napon u vremenskom domenu o X m amplituda o ω kružna učestanost o θ faza o t vremenska promenliva π važi ednakost: ω πf, gde e: T o f frekvencia o T perioda ( T f Fazori 4 Dati su vremenski oblici napona i strua Odrediti odgovarauće fazore a u ( t 4 cos(77t 4 b i ( t cos(77t 0 c u ( t cos(77t 4 d i ( t 8 sin(t 4, 4 e u ( t sin(π ft, f 0kHz f i ( t 8 sin(π ft, f 0kHz 6
Rešene: a u ( t 4 cos(77 4 4 4 t b i ( t cos(77 0 6 0 t c u ( t cos(77 4 4 6 t d i ( t 8 sin(t 4, 8 cos(90 (t 4, 4 i 4 ( t 8 cos( t 8,8 8 cos(t 8,8 4 8 8, 8 e u ( t sin(π ft cos(90 πft cos(πft 90 90 f i ( t 8 sin(π ft 8 sin(πft 80 8 sin(πft 4 6 i6 ( t 8 cos(90 (π ft 4 8 cos( πft 4 8 cos(πft 4 6 4 4 Konvertovati date fazore u vremenske oblike odgovaraućih napona i strua ako e poznato da e f 60Hz a 6 0 b 0 7
Rešene: a 6 0 u( t 6 cos(π ft 0 u ( t 6 cos(0π t 0 b 0 7 i( t 0 cos(π ft 7 i ( t 0 cos(0π t 7 6 Konvertovati date fazore u vremenske oblike odgovaraućih napona i strua ako e poznato da e f 400Hz a 0 0 b 60 Rešene: a 0 0 u( t 0 cos(π ft 0 u ( t 0 cos(800π t 0 b 60 i( t cos(π ft 60 i ( t cos(800π t 60 Konverzia napona i strua iz vremenskog domena u kompleksni (frekventni domen i obratno konverzia napona i strua iz vremenskog domena ( x( t X m cos( ω t θ u kompleksni x (frekventni domen ( X a b : X m θ ( t X m cos( ωt θ fazor θ X θ X X e, gde e: X X m X ( cos θ sinθ X cosθ X sin a b θ X e X θ, gde su: a X cosθ, b X sinθ, imaginarna edinica (
konverzia napona i strua iz kompleksnog (frekventnog domena ( X a b u vremenski domen ( x( t X m cos( ω t θ : kvadrant X a X m b θ 0 kvadrant kvadrant 4 kvadrant Re X θ a b X e, pri čemu e: X a b b arctg ; za i 4 kvadrant a θ b 80 arctg ; za i kvadrant a Dale se dobia: X e θ fazor X θ pri čemu e: X m X x( t X cos( ωt θ m 7 Konvertovati date napone i strue iz vremenskog u kompleksni domen ako e poznato da e f khz a u( t 6 cos(πft b u ( t cos(π ft 4 c i( t sin(πft d i4 ( t cos(πft Rešene: a ( cos0 sin 0 0 u( t 6 cos(π ft 0 e ( 0
b u ( t cos(πft 4 4 e ( cos4 sin 4 4 ( c i ( t sin(πft cos(90 πft cos(πft 90 i ( t cos(π ft 90 90 e ( cos( 90 sin( 90 90 ( 0 d ( cos0 sin 0 0 i4 ( t cos(π ft 4 0 4 e ( 0 4 4 8 Konvertovati date napone i strue iz vremenskog u kompleksni domen ako e poznato da e ω 6krad/s a u ( t sin( ω t 0 b i ( t sin( ω t Rešene: a u ( t sin( ωt 0 cos(90 ( ωt 0 cos(40 ω t u( t cos(40 ωt cos( ωt 40 40 e cos( 40 sin( 40 ( 40
b i ( t sin( ωt cos(90 ( ωt cos( ω t i ( t cos( ωt cos( ωt ( cos( sin( ( e 9 Konvertovati date napone i strue iz kompleksnog u vremenski domen ako e poznato da e khz f a ( b ( 4 Rešene: arctg 4 a ( e e 4 4 u( t 0 cos(π ft 4 u ( t 0 cos(4000π t 4 4 80 arctg e e ( ( 80, 6,87 b ( 4 ( 4 6,87 e 6,87 6,87 i ( t cos(π ft 6,87 i ( t cos(4000π t 6,87 e 40 Konvertovati date napone i strue iz kompleksnog u vremenski domen ako e poznato da e ω 0krad/s a ( 7 b (
Rešene: a ( 80 arctg ( 7 ( 80,9 9,9 ( 7 ( 7 ( e e e 9,9 e 9,9 9,9 u( t 06 cos( ω t 9,9 u ( t 06 cos(0000t 9,9 ( arctg 68, b ( ( e 9 e 9 68, 9 68, i( t 8 cos( ω t 68, i ( t 8 cos(0000t 68, Rešavane kola u ustalenom prostoperiodičnom režimu Rešavane kola u ustalenom prostoperiodičnom režimu se vrši u četiri koraka: konverzia svih napona i strua iz vremenskog u kompleksni domen konverzia otpornosti otpornika, induktivnosti kalemova i kapacitivnosti kondenzatora u odgovarauće impedanse ( R R, L ωl, C ω C rešavane kola u kompleksnom domenu primenom zakona i metoda koe su rađene kod kola sa ednosmernim struama konverzia dobienog rezultata (strue i/ili napona iz kompleksnog u vremenski domen 4 a kolo sa slike e poznato u( t 0 cos( ω t 0, R, L 0mH i C 0µF a zračunati ekvivalentnu impedansu tri redno vezana elementa (otpornika, kalema i kondenzatora, kao i struu i (t ako kolo radi na frekvencii f 60Hz b zračunati ekvivalentnu impedansu tri redno vezana elementa (otpornika, kalema i kondenzatora ako kolo radi na frekvencii f 400Hz
R L C i(t u(t Rešene: a R R R L C L ω L π 60Hz 0mH 7, 4 C, 0 C ω C π 60Hz 0µF ω ( u( t 0 cos( ωt 0 0 0 0 ( 0 e 0 0 cos0 sin 0 EK R C L EK ( 4, EK ( ( ( 4, ( ( 4, ( 4,, 9,64 4, 696,6 ( 0,00 0,967 0,96 e ( 8088,78 0,96 e 9, ( 0,00 0,967 e 0,96 9, 0,967 80 arctg ( 0,00 0,96 9, i( t 0,96 cos(π ft 9, i( t,6 cos(0π t 9, b R R L C ω L π 400Hz 0mH 0, 7 7, 96 ω C ω C π 400Hz 0µF
EK R C L EK ( 4, 4 a kolo sa slike odrediti ekvivalentnu impedansu između tačaka i 6 4 Rešene: 6 ( ( 8 8 ( 8 6 ( 4 4 4 ( 4 8 6 ( ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 6 6 8 6
( EK 4 EK 4 (adatak za vežbu a kolo sa slike odrediti ekvivalentnu impedansu između tačaka i 4 4 6 Rešene: EK (,8,08 44 a a kolo sa slike odrediti ekvivalentnu impedansu između tačaka i b ko e f 0Hz, realizovati dobienu ekvivalentnu impedansu korišćenem minimalnog broa pasivnih komponenata (otpornika i/ili kalemova i/ili kondenzatora i odrediti nihove vrednosti 4
Rešene: a ( ( 4 4 (0,67 ( 8 0,67 ( 0, 67 ( ( 0, 67 ( ( 0,67 0,67 0,67 0,67 ( 0,67 0,67 ( 0,8 0,48 ( 0,67 ( 0,67 EK EK ( 0,67 0,67 0,8 0, 48 (,48 0, 9 (( 0,67 ( 0,67 ( 0,8 0, 48
b (,48 0,9 R L R fl EK ω π R, 48 L 604,8µH R L 4 (adatak za vežbu a a kolo sa slike odrediti ekvivalentnu impedansu između tačaka i b ko e f 00Hz, realizovati dobienu ekvivalentnu impedansu korišćenem minimalnog broa pasivnih komponenata (otpornika i/ili kalemova i/ili kondenzatora i odrediti nihove vrednosti Rešene: a ( 4 4 EK 4 4 R 4 C 98µF ω C π fc b ( 4 R R EK R C
46 Direktnom primenom Kirhofovih zakona i Omovog zakona odrediti napone u (, u ( i strue i (, i ( i i ( u kolu sa slike oznato e u ( t 4 sin( t 0 ω i ω 0krad/s t t t t t u (t i ( t 4 8 i ( t u ( t 600 µh u ( t µf i ( t Rešene: L 600µH L ω L 0krad/s 600µH 6 C µf C 4 ωc ωc 0krad/s µf u u ( t 4 sin( ωt 0 4 cos(90 ( ωt 0 4 cos( 60 ωt ( t 4 4 cos( ωt 60 4 60 ( 4 e 60 4 ( cos60 sin 60 4 8 6 4 4 8 K 6 K 4 Kontura K : 6 4 ( 0 Kontura K : ( 4 8 6 0 Čvor : ( 6 4 6 6 8 4 6 8 4 8 4 8 4 0
0 0 ( 0 ( ( 7 ( 7 ( ( ( ( (,6 0,4,7,6 7,7,6 i ( t,8 cos(0000t,6 (,6 0,4 (,86,4, 9,0, 9,0 i ( t,4 cos(0000t 9,0 6 (,6 0,4 ( 0,47,76,8 0,0 0,8 0,0 i ( t,7 cos(0000t 0,0 6 (,6 0,4 6 (,8,9 6,6 78,44 6,6 78,44 u ( t cos(0000t 78,44 ( 4 ( 0,47,76 ( 4 (7,04,884 7,7,0 7,7,0 u ( t 0,8 cos(0000t,0
47 a kolo sa slike e poznato ( t cos(πft, ( t cos(πft i f khz Odrediti struu i ( : 0 t u a primenom metode potenciala čvorova; b primenom metode superpozicie; c primenom metode transformacie izvora; d primenom Tevenenove teoreme; e primenom Nortonove teoreme i,8µf u (t,8µh i ( t 0 i (t Rešene: L,8µH L ω L π 000Hz,8µH C,8µF C ωc ωc π 000Hz,8µF u ( t cos(πft ( 0 0 e 0 ( cos0 sin 0 i ( t cos(πft ( 0 0 e 0 ( cos0 sin 0 0
a ( ( ( (,,6 6 8 (,6 6,8 8 4 ( 9 7,,44,,6 0 7,9 7,69 cos(0000 ( 0 t t i π b ( ( ( EK 6 EK EK 4 ( 6 ( 6 0 0 EK 0 EK
0 EK 0 EK EK ( EK 4 ( ( ( 0 ( EK 4 4 8 6 0 0 0 (,6,,44 7, 0 9 i0 ( t 7,69 cos(0000π t 7,9 c 0
0 (6 6 ( 0, 0, ( 6 6 ( 0, 0, 0 (6 (0, 6 ( 0, ( ( 0, 0, ( ( ( 0, 0, 0
(0 4 ( ( 0, 0, 0 0, 0, 0 4 8 6 0 (0, 0, (,6,,44 7, 0 9 i0 ( t 7,69 cos(0000π t 7,9 d 0 D K O Kontura K : 0 Čvor D : 0 0 ( T O ( ( ( 7 T T T T (
( 7 (,6,,44 7, 0 9 0 7 7 8 6 0 0, 0,, 0, i0 ( t 7,69 cos(0000π t 7,9 e 0 D K K KS Kontura K : 0 Kontura K : ( 0 Čvor : Čvor D : KS KS 0 ( KS ( 0 ( 0 KS KS KS KS KS ( KS ( KS N KS (
N N N N ( ( 0, 0, 8 6 0 ( 0, 0, 0 (,6,,44 7, 0 9 i0 ( t 7,69 cos(0000π t 7,9 48 a kolo iz prethodnog zadatka odrediti faktor snage, kompleksnu, aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu koa se razvia na otporniku kroz koi protiče strua i 0 Rešene: 0 0 Kompleksna snaga: 0 0 0 0 0 S (,6, S 9, 6 S Q ktivna snaga: 9,6W Reaktivna snaga: Q 0r rividna snaga: S S Q S 9,6 Faktor snage: cosφ cos φ S
49 a kolo sa slike odrediti faktor snage, kompleksnu, aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu koa se razvia na potrošaču,( 0,6( ( 4 Rešene:,( 0,6( ( 4 T T 6( T T ( 0 ( 0 6( ( 4 ( 0 6( ( 4
6( ( (, ( 0 ( 4 0,6 Kompleksna snaga: S ( 4 ((, 0,6 S,4 7, S Q ktivna snaga: Reaktivna snaga:,4w Q 7,r rividna snaga: S S Q S 9 Faktor snage: cosφ cos φ 0, 6 S 0 Kolo naizmenične strue sa slike radi u ustalenom prostoperiodičnom režimu na frekvencii f 0kHz oznato e da e u g ( t cos(π ft 4, u g ( t sin(πft, i g ( t cos(π ft 4 i i g ( t sin(πft a Odrediti parametre ekvivalentnog Tevenenovog generatora u kompleksnom domenu za deo kola levo od tačaka i b Odrediti elemente (i vrednosti elemenata koi treba da sačinavau potrošač, tako da se na nemu razvia maksimalna aktivna snaga c od uslovom iz tačke b odrediti struu i ( t,9µf u g ( t i g ( t i g ( t 9,4µH u ( t g,8µh i (t
Rešene: 4 u ( t cos(π ft 4 e ( g g 90 u ( t sin(π ft e g g 4 i ( t cos(π ft 4 e ( g 90 i ( t sin(π ft e g g L,8µH L ω L π 0000Hz,8µH L,4µH L ω L π 0000Hz 9,4µH 9 g C,9µF C ωc ωc π 0000Hz,9µF ( ( a ( ( O T O ( T (
T ( T T T b T T ( T R C R C,8µF c T T 4 6 ( 6 6 6 e i ( t cos(π ft 4 i ( t cos(00000π t 4