Vremenski promenljive struje

Transcript

1 remenski promenljive struje

2 Fazorski dijagram Fazorski dijagram se koristi za prikazivanje relativnog odnosa dva ili više sinusnih talasnih oblika iste frekvencije. Fazor u fiksnoj poziciji se koristi da reprezentuje ceo sinusni talas jer kad se fazni ugao izmeñu dve ili više sinusoida iste frekvencije ili izmeñu sinusoide i neke reference uspostavi, fazni ugao ostaje konstantan tokom ciklusa. Na primer, na slici (a) su data dva sinusna talasna oblika koja se mogu predstaviti fazorskim dijagramom (slika (b)). Kao što se vidi, sinusni talas B prethodi sinusnom talasu A za 30 i ima manju amplitudu od amplitude sinusnog talasa A, što se naznačava dužinom fazora.

3

4 Primer: sinusne talasne oblike napona sa slike predstaviti fazorskim dijagramom v()

5 Ugaona brzina fazora Jedan ciklus sinusnog talasa se formira rotacijom fazora kroz 360 ili 2π radijana. Što je veća brzina rotacije, to je formiranje sinusoide brže. Tako su perioda i frekvencija povezane sa brzinom rotacije fazora. Brzina rotacije se zove ugaona brzina i označava se sa ω. Kada fazor rotira kroz 2π radijana, jedna kompletna sinusoida se formira. reme neophodno za rotaciju fazora kroz 2π predstavlja periodu sinusnog talasa T, pa se ugaona brzina može izraziti kao: ω 2 π / T 2π f Kada fazor rotira ugaonom brzinom ω, onda je ωt ugao kroz koji fazor prolazi u nekom trenutku: θ ωt Trenutna vrednost prostoperiodičnog sinusnog napona se može izraziti kao: v Ako signal ima neko fazno kašnjenje: sinθ sinωt sin 2πft ( θ + φ) sin( ωt+ φ) sin( π + φ) v sin 2 ft

6 Prosta kola naizmenične struje

7 Kolo sa otpornikom v v sinωt Prema drugom Kirhofovom zakonu, u svakom trenutku mora biti: v v v i 0 gde je v trenutni napon na otporniku, i i struja kroz otpornik. Iz jednačine za kolo, trenutna vrednost struje kroz otpornik je: i sinωt pri čemu je maksimalna vrednost struje: Trenutna vrednost napona na otporniku je: v v I v I sinωt sinωt

8 Struja kroz otpornik ima isti oblik sinωt kao i napon na otporniku (slika (a)). Nule i amplitude napona i struja se poklapaju, pa se kaže da su napon i struja u fazi, tj. ne postoji fazna razlika izmeñu napona i struje. Na slici (b) je prikazan fazorski dijagram napona na otporniku i struje kroz otpornik u nekom trenutku t, za koji je trenutna vrednost faze θ ωt.

9 ili: Kolo sa kalemom v v sinωt avnotežu naponu izvora u kolu održava samo indukovana elektromotorna sila e v u kalemu zbog promenljive struje. Jednačina po drugom Kirhofovom zakonu je: di dt v v sinωt ešavanjem ove jednačine dobija se struja kroz kalem: v di dt 0 i di sinωt dt sinωt dt ω cosωt

10 ( ) Ako se iskoristi trigonometrijski identitet cosωt sinωt π / 2 kroz kalem: i ω π sin ωt 2, onda je struja Trenutna vrednost struje i kroz kalem i trenutna vrednost napona na kalemu v su fazno pomereni za (π/2) rad ili 90. Kaže se da struja kasni za naponom za π/2 rad.

11 Trenutna vrednost struje se može napisati i kao: gde je: eličina X : i ω π sin ωt 2 I ω I X ω X π sin ωt 2 u kolu sa kalema ima ulogu otpornosti jer ograničava struju pa se naziva prividna otpornost ili reaktansa kalema. Izražava se jedinicom om. Trenutna vrednost napona na kalemu je: v di dt sinωt I X sinωt

12 Kolo sa kondenzatorom v v sinωt U kolu naizmenične struje, kondenzator se naizmenično puni i prazni i ovo kretanje naelektrisanja predstavlja struju. avnotežu naponu napajanja u kolu predstavlja napon na kondenzatoru usled trenutne količine elektriciteta koja se nalazi na oblogama kondenzatora: v v 0 v v sinωt Iz definicije kapacitivnosti ( q / v ), trenutna količina naelektrisanja na oblogama kondenzatora je: q v sinωt Kako je struja kroz kondenzator jednaka promeni količine nalektrisanja u vremenu, to je: i dq dt ω cosωt

13 Ako se iskoristi trigonometrijski identitet kroz kondenzator: i ω cosω t sin t+ sin ωt+ π 2 ( ω π / 2), onda je struja Trenutna vrednost struje i kroz kondenzator i trenutna vrednost napona na kondenzatoru v su fazno pomereni za (π/2) rad ili 90. Kaže se da struja prednjači naponu za π/2 rad.

14 Maksimalna vrednost struje kroz kondenzator je: gde je: I ω 1 X ω X veličina koja u kolu sa kondenzatorom ima ulogu otpornosti i naziva se reaktansa kondenzatora, a izražava se u omima.

15 redno kolo v v v sinωt v Struja u kolu će se, u odnosu na primenjeni napon, vremenski menjati po sledećoj jednačini: i I sin t ( ) ω φ gde je φ fazni ugao (ili fazna razlika) izmeñu napona napajanja i struje u kolu. ilj je odrediti I i φ. Da bi smo odredili nepoznate parametre trenutnih vrednosti struje u kolu, moraćemo analizirati fazorski dijagram za kolo. Kako su elementi u kolu vezani redno, kroz sve elemente u kolu struja mora biti jednaka u bilo kom trenutku vremena (u svim tačkama kola u nekom trenutku struja ima istu amplitudu i fazu).

16 Naponi na pojedinim elementima kola imaju različite amplitude i faze, kao što se vidi sa slike: otpornik kalem kondenzator Pojedinačno, napon na otporniku je u fazi sa strujom, napon na kalemu prednjači struji za 90, i napon na kondenzatoru kasni za strujom za 90. Koristeći ove fazne relacije, mogu se napisati izrazi za trenutne vrednosti napona na pojedinim elementima kola: v v v I I I sinωt X X sin sin sinωt ( ωt+ π / 2) cosωt ( ωt π / 2) cos t ω

17 Trenutna vrednost napona napajanja u kolu mora biti jednaka sumi napona na pojedinim elementima kola: v v + v + v Iako je ovaj analitički pristup korektan, ovu sumu je jednostavnije dobiti pomoću fazorskog dijagrama koji je prikazan na slici (sva 3 fazorska dijagrama sa prethodne slike su prikazana ovde preko jednog dijagrama (slika a)). Ukupni napon se može dobiti vektorskim zbirom (slika (b)). ektorska suma amplituda napona, i jednaka je fazoru čija je dužina jednaka amplitudi primenjenog napona. (a)

18 Ovaj fazor sa fazorom struje dužine I zaklapa ugao φ. Potrebno je napomenuti da su fazori napona i u suprotnim smerovima na istom pravcu, pa je bilo potrebno formirati njihovu razliku koja je normalna na fazor. Iz bilo kog od ova dva trougla je: ( ) ( I ) + ( I X I X ) I ( X X ) 2 Odavde se može dobiti prvi nepoznati parametar trenutne vrednosti struje: Impedansa kola Z se definiše kao: I ( X X ) Z 2 Z ( X X ) + ω ω

19 Uklanjanjem zajedničkog faktora I iz svakog fazora sa prethodnog dijagrama, konstruiše se trougao impedansi: Iz ovog fazorskog dijagrama se može odrediti fazni ugao izmeñu napona napajanja i struje u kolu: X X φ arctg Iz trougla impedansi se takoñe vidi da je cos φ / Z. Kada je X >X (obično na visokim frekvencijama), fazni ugao je pozitivan, što znači da struja kasni za primenjenim naponom. Kada je X <X fazni ugao je negativan, označavajući da struja prednjači primenjenom naponu. Kada je X X, fazni ugao je jednak nuli, i impedansa je jednaka otpornosti. Struja ima maksimalnu vrednost, datu sa /. Frekvencija na kojoj se ovo dešava se naziva rezonantna frekvencija (više o ovom kasnije!!!).

20 element kola impedansa Z fazni ugao φ negativan, izmeñu 90 i 0 pozitivan, izmeñu 0 i 90 negativno, ako je X > X pozitivno, ako je X < X

21 Primer: U rednom kolu, amplituda napona napajanja je 120 i osciluje na frekvenciji 60 Hz. Kolo se sastoji od kalema čija se induktivnost može menjati, otpornika otpornosti 200Ω i kondenzatora kapacitivnosti 4µF. Odrediti vrednost induktivnosti tako da napon na kondenzatoru kasni za primenjenim naponom za 30. Na slici je prikazan fazorski dijagram napona na elementima kola. Sa slike se vidi da je fazni ugao o φ 60, zato što su fazori I i u fazi. Iz jednačine za φ, dobija se: X X φ arctg 1 ω + tgφ ω Tražena induktivnost je: X 2π f 1 1 tg 2 + φ 2 π f π f X 1 2π f + tgφ 0.84 H + tgφ

22 Primer: edno ac kolo ima sledeće parametre: 425Ω, 1.25H, 3.5µF, ω377s 1 i 150. a) Odrediti reaktanse i impedansu kola; b) Odrediti maksimalnu struju u kolu; c) Naći fazni ugao izmeñu napona i struje; d) Odrediti trenutne vrednosti napona na svakom elementu. a) eaktanse kola i impedansa su jednake: X X Z ω 471Ω 1/ ω 758Ω ( X X ) ( 425Ω) + ( 471Ω 758Ω) 513 Ω b) Maksimalna struja u kolu je: I Z Ω A

23 c) Fazni ugao je: X X φ arctg 471Ω 758Ω arctg 425Ω Kako kolo ima kapacitivni karakter, φ je negativno i struja prednjači primenjenom naponu. d) Amplitude napona na pojedinim elementima kola su: I I I X X 0.292A 425Ω A 471Ω A 758Ω 221 Trenutne vrednosti napona na pojedinim elementima kola su: v v v 124 sin 377t 138 cos 377t 221 cos 377t o 34

24 Metod kompleksnih brojeva

25 Pokazali smo da se električna kola mogu rešavati primenom fazorskog dijagrama (odreñivanje amplitude i faze u odreñenom vremenskom trenutku). Da bi se zadržala jednostavnost rešenja, a izbegao precizan i grafički rad, uvodi se kompleksan račun. Umesto vektora (fazora) uvodi se kompleksan broj, a umesto grafičkog rešavanja uvodi se jednostavnije i lakše analitičko rešavanje samo sa kompleksnim brojevima. realna osa + imaginarna osa imaginarna osa + realna osa U kompleksnoj ravni, horizontalna osa se naziva realna osa, a vertikalna osa je imaginarna osa. Kod analize električnih kola, prefiks ±j se koristi za označavanje brojeva koji leže na imaginarnoj osi kako bi se napravila razlika u odnosu na brojeva sa realne ose. U matematici se obično koristi i kao oznaka za ovaj imaginarni operator.

26 2. kvadrant 1. kvadrant 3. kvadrant 4. kvadrant Ugaone pozicije se prikazuju u kompleksoj ravni kao na slici. Pozitivni realni broj predstavlja 0, +j označava ugao od 90, negativni realni broj odgovara uglu od 180, j je tačka od 270, i nakon pune rotacije od 360 sledi povratak na realni pozitivni broj. Predstavljanje tačke u kompleksnoj ravni ealni broj +4 ealni broj 2 Imaginarni broj +j6 Imaginarni broj j5

27 Ukoliko broj ne leži na nekoj od osa, nego se nalazi u nekom od 4 kvadranata, to je kompleksan broj i definiše se obema kordinatama. Ako se pozitivni broj, npr. 2, pomnoži sa j, rezultat je 2j. Množenje efektivno premešta broj 2 za 90 do +j ose. Slično, kada se broj 2 pomnoži sa j, on rotira do j ose, pa se j može smatrati operatorom rotacije. Matematički, j operator ima vrednost 1. Prema tome, množenjem pozitivnog realnog broja sa j 2, dobija se negativni realni broj, što u stvari znači rotaciju od 180 u kompleksnoj ravni.

28 Kompleksan broj se može pisati u obliku: A+ gde je A projekcija vektora (fazora) na realnu osu, a B projekcija na imaginarnu osu. Ako je θ ugao koji fazor zaklapa pozitivnom realnom osom, a dužina fazora, onda je: jb A B cosθ sinθ Kompleksan broj se sada može napisati u obliku: ( cosθ j sinθ) + koji se naziva trigonometrijski oblik.

29 Prema Ojlerovoj transformaciji: kompleksan broj dobija oblik: θ e j cosθ+ e j sinθ koji se naziva polarni ili eksponencijalni oblik. Na slikama se najčešće označava sa θ. jθ Prelaz izmeñu pojedinih oblika vrši se preko sledećih relacija: A cosθ, B sinθ A 2 + B 2, θ arctg B A

30 Matematičke operacije Sabiranje Kompleksni brojevi moraju biti u opštem obliku da bi se mogli sabirati: Sabiraju se realni delovi svih kompleksnih brojeva da bi se dobio realan deo sume. Sabiraju se imaginarni delovi svih kompleksnih brojeva da bi se dobio imaginaran deo sume. ( 20 j10) + ( 12+ j6) ( ) + j( 10+ 6) 32 j4 Oduzimanje Kompleksni brojevi moraju biti u opštem obliku da bi se mogli oduzimati: Oduzimaju se realni delovi svih kompleksnih brojeva da bi se dobio realan deo razlike. Oduzimaju se imaginarni delovi svih kompleksnih brojeva da bi se dobio imaginaran deo razlike. ( 15+ j15) ( 10 j8) ( 15 10) + j( 15 ( 8) ) 5+ j23

31 Množenje Množenje dva kompleksna broja se izvodi tako što se svaki član jednog broja množi sa svakim članom drugog broja: ( 5+ j3)( 2 j4) 10 j20+ j j14 Množenje kompleksnih brojeva je lakše ako su oni izraženi u eksponencijalnom obliku: Amplituda rezultujućeg broja se dobija množenjem amplituda svih brojeva koji učestvuju u multipliciranju, a ukupna faza se dobija algebarskim sabiranjem faza množitelja. 10e 2e j45 j60 5e 4e j20 j( 30 ) (10 5) e (2 4) e j( ) j(60 30 ) 50e 8e j65 j

32 Deljenje Deljenje dva kompleksna broja se izvodi tako što se i imenilac i brojilac pomnože konjugovano-kompleksnim brojem imenioca: ( 10+ j5)( 2 j4) ( 2+ j4)( 2 j4) 10+ j5 20 j j30 2+ j j1.5 Deljenje kompleksnih brojeva je lakše ako su oni izraženi u eksponencijalnom obliku: Amplituda brojioca se podeli amplitudom imenioca da bi se dobila amplituda količnika. Fazni ugao imenioca se oduzme od faznog ugla brojioca da bi se dobila faza količnika. 100e 25e 15e 3e j50 j20 j10 j( 30) 100 e e 3 j(50 20 ) j(10 ( 30 )) 4e 5e j30 j