Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η f είναι πολύκλαδη στα σημεία αλλαγής τύπου χρησιμοποιούμε τον ορισμό). Ελέγχουμε το πρόσημο του γινομένου f( ) f( )(το οποίο πρέπει να είναι αρνητικό για να ισχύει το θεώρημα).. Δίνεται η συνάρτηση: 3 f 5 4 Να δειχτεί ότι εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στο διάστημα, και να βρεθεί ο ώστε, f. ΛΥΣΗ Στα διαστήματα,,, η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Εξετάζουμε τη συνέχεια στο σημείο. Είναι f 3 και, f lim f lim 3 lim lim 5 4 Οπότε η f είναι συνεχής στο άρα και στο,.
Επίσης f και f 544 δηλαδή f f Συνεπώς ισχύει το θεώρημα Bolzano άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε. f. Λύνοντας την εξίσωση f. 3 βρίσκουμε,77, 3 και είναι 6. Δίνεται η συνάρτηση: f Να προσδιοριστούν οι παράμετροι και ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στο διάστημα,. ΛΥΣΗ Αρχικά θα πρέπει η f να είναι συνεχής στο. Έχουμε: lim 3, lim Πρέπει 3 και. f., Λύνοντας το σύστημα αυτών εξισώσεων βρίσκουμε 4 και 3. Όμως στα διαστήματα,,, η f είναι συνεχής ως πολυωνυμική και πηλίκο συνεχών αντίστοιχα. Άρα η f είναι συνεχής στο,. Για τις τιμές αυτές είναι f 4 3 και f Οπότε f( ) f (). Δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano. 3. Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) τότε:
Αν η εξίσωση που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές που δεν ορίζονται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος (, ), τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Θέτουμε το πρώτο μέλος συνάρτηση f (). Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την f στο.,.3 Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση 5 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,. ΛΥΣΗ 5 4 5 4. στο,. Η συνάρτηση f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Θεωρούμε την συνάρτηση f 5 4 f 5 4 Είναι: άρα f f. f 5 4 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, της f δηλαδή μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης 5 4..4 e Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση, με,. έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι η εξίσωση δεν ορίζεται στα, οπότε θα κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών. e e. 3
στο Θεωρούμε την συνάρτηση f e Η f είναι συνεχής στο, ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. e f e e άρα f f f Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει στο, μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης e f e..5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, 3 και για κάθε, 3 f 9, να δειχθεί ότι η εξίσωση f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ΛΥΣΗ f f. Θεωρούμε την συνάρτηση g f,, 3. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο g g3 f f 3 9 αφού f και f,., 3 ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και ισχύει 3 9. Σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano η εξίσωση, 3. ισχύει, 3. g f μια τουλάχιστον ρίζα στο.6 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα ΛΥΣΗ ' σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη,. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, Η f είναι συνεχής στο, ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Είναι f και f, οπότε f f. τέτοιο, ώστε f. 4
Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον, f. Το είναι η τετμημένη του σημείου στο οποίο η C f τέμνει τον άξονα '. τέτοιο ώστε.7 Δίνονται οι συναρτήσεις f ln και 3 g e. Να δειχτεί ότι οι γραφικές παραστάσεις έχουν κοινό σημείο (οι καμπύλες τέμνονται) στο διάστημα,e. Οι εξισώσεις των καμπύλων είναι ΛΥΣΗ y f και y g. Οι συντεταγμένες, y του κοινού σημείου επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις: y f και y g οπότε f g τουλάχιστον ρίζα η εξίσωση: f g f g. Έτσι θα πρέπει να δείξουμε τελικά ότι έχει μία ln e 3. Θεωρούμε την συνάρτηση: h e f g e Η f είναι συνεχής στο ln 3,,., e ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Είναι h e3 και he e ee 3 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον, e h f g. ώστε Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Υπάρχουν ασκήσεις που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) αλλά τα f, f δεν ορίζονται τότε ακολουθούμε δύο μεθόδους. Α μέθοδος Με δοκιμές βρίσκω, (, ) τέτοια ώστε f( ) f( ) οπότε εφαρμόζουμε θεώρημα Bolzano στο διάστημα,. 5
Β μέθοδος Υπολογίζουμε τα lim f ( ), lim f ( ) f ομόσημο του lim f ( ) lim f ( ). οπότε θα υπάρχει (, ) με και δ (, ) με Έπειτα εφαρμόζουμε θεώρημα Bolzano στο διάστημα,. f ομόσημο του.8 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση διάστημα,. ln 4 έχει μία τουλάχιστον λύση στο ΛΥΣΗ Για, η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: ln 4 ln 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση: f ln 4, με,. (Το πεδίο ορισμού της f είναι το, και δεν μπορούμε να θεωρήσουμε την f στο Παρατηρούμε ότι: lim f lim ln 4 διότι lim ln και lim 4. Αφού lim f Παρατηρούμε ότι: Η, υπάρχει, f είναι συνεχής στο Είναι τέτοιο, ώστε f και ln 4 f., ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. f, δηλαδή ισχύει ότι Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση: f ln 4ln 4 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα,,. f f., ) 6
Τρόπος αντιμετώπισης: 4. Υπάρχουν ασκήσεις που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) αλλά τα f, f δεν είναι ετερόσημοι αριθμοί ή δεν μας δίνουν καν το διάστημα (, ). Στις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιούμε τις μεθόδους που περιγράψαμε στον τρόπο αντιμετώπισης 3. e.9 Να δείξετε ότι η εξίσωση: ln, έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα. ΛΥΣΗ e e ln ln f,. Η συνάρτηση f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Έχουμε : f e ενώ f f e. Θεωρούμε την συνάρτηση ln e f e συνεπώς Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον e e f ln ln e., τέτοιο ώστε Σημείωση: θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το της άσκησης.8. lim f και να ακολουθήσουμε την μέθοδο Τρόπος αντιμετώπισης: 5. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει κ τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (, ) τότε: Αν η εξίσωση που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές που δεν ορίζονται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος (, ), τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Θέτουμε το πρώτο μέλος συνάρτηση f (). 7
Χωρίζουμε το διάστημα (, ) σε κ υποδιαστήματα που δεν έχουν μεταξύ τους κοινά εσωτερικά σημεία. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την f σε καθένα από τα υποδιαστήματα.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 ρίζες στο διάστημα,4. ΛΥΣΗ Για, η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: 3 3 ln 5 5 3ln 5 5 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση: f 3 ln 5 5 3, με, 4 3 ln 5 5 έχει δύο τουλάχιστον Η f είναι συνεχής στο, 4, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης παρατηρούμε ότι: f 3 ln 5 5 3 3 f 333ln33 53 533 3 f 434ln44 54 54ln44 Επομένως έχουμε: Η f είναι συνεχής στο, 3 και ισχύει ότι f f 3 προκύπτει ότι η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα. Από το θεώρημα Bolzano, 3. Η f είναι συνεχής στο 3, 4 και ισχύει ότι f 3 f 4 προκύπτει ότι η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση: 3 3 f 3ln 5 5 3 ln 5 5 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα, 4.. Από το θεώρημα Bolzano 3, 4. 8
Τρόπος αντιμετώπισης: 6. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα (, ) τότε: Βρίσκουμε με την βοήθεια του θεωρήματος Bolzano ότι έχει τουλάχιστον μια ρίζα. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι - ή γνησίως μονότονη στο (, ) οπότε η ρίζα είναι μοναδική.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση πραγματική ρίζα. 5 3 5 () έχει ακριβώς μία ΛΥΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση 5 3 πολυωνυμική. f 5, με, η οποία είναι συνεχής στο ως Είναι f και f 64, οπότε f f. Από θεώρημα.bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε f. Για να είναι η ρίζα μοναδική, αρκεί να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη.,,, με Για 5 5 3 3 5 3 5 3 5 5 ά 5 5 άρα 5 5 άρα f f 5 3 5 3 δηλ. για έχουμε f f. Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. Άρα, η εξίσωση () έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα, που είναι το ζητούμενο. 9
Τρόπος αντιμετώπισης: 7. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (, ) τότε: Χωρίζουμε το διάστημα (, ) σε δύο κατάλληλα υποδιαστήματα που δεν έχουν κοινά εσωτερικά στοιχεία. Βρίσκουμε με την βοήθεια του θεωρήματος Bolzano ότι έχει τουλάχιστον μια ρίζα σε καθένα από τα παραπάνω υποδιαστήματα. Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε κάθε υποδιάστημα ή ότι είναι πολυωνυμική δευτέρου βαθμού. Οπότε έχει ακριβώς δύο ρίζες. Όμοια αντιμετωπίζουμε και τις ασκήσεις που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς κ ρίζες.. Αν,, και, να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες. ΛΥΣΗ Με απαλοιφή των παρονομαστών η εξίσωση γράφεται Θεωρούμε τη συνάρτηση: f με Επειδή δεν μας λέει η άσκηση σε ποιο διάστημα θα αναζητήσουμε τις ρίζες εμείς θα πάρουμε τα διαστήματα που προκύπτουν από τις τιμές που μηδενίζουν τους παρανομαστές δηλαδή τα,,,. Η f είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική, συνεπώς είναι συνεχής και στα διαστήματα,,,. Είναι f, f, f οπότε f f, f f Από θεώρημα Bolzano, η εξίσωση f έχει μια τουλάχιστον ρίζα σε κάθε ένα από τα ξένα μεταξύ τους διαστήματα,,,.οι ρίζες αυτές είναι άνισες και προφανώς διαφορετικές από τα,,. 3
Επειδή η εξίσωση f είναι πολυωνυμική δευτέρου βαθμού, έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. Άρα η εξίσωση f έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες άνισες. Τρόπος αντιμετώπισης: 8. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (κλειστό) διάστημα, τότε: Αποδεικνύουμε την συνέχεια της f στο [, ]. Διαπιστώνουμε ότι f( ) f( ). Διακρίνουμε τις περιπτώσεις Αν f( ) f( ) τότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, της f. Αν f( ) f( ) τότε f ( ) ή f ( ) οπότε το α ή το β είναι ρίζα της f. Οπότε σε κάθε περίπτωση η f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα,..3 Έστω f συνεχής συνάρτηση στο, με f f η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. ΛΥΣΗ f f f f (), επίσης ισχύει f f f Αν f f f ή εξίσωσης f. Η f συνεχής στο.. Να αποδειχθεί ότι f, τότε ή είναι ρίζα της Αν f f, τότε σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. Σε κάθε λοιπόν περίπτωση η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, 3.
.4 Έστω οι συναρτήσεις f και g συνεχείς στο και για κάθε f g c, c. Αν η εξίσωση, να δειχθεί ότι η εξίσωση,. ισχύει f έχει ρίζες, ετερόσημες με g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ΛΥΣΗ Είναι f f. f gc Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο και ισχύει:, g g f c f c c g f c Αν gg τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση μια τουλάχιστον ρίζα στο,. Αν g g g ή g. Τελικά η εξίσωση g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,. g έχει Τρόπος αντιμετώπισης: 9. Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ (, ) που ικανοποιεί μια ισότητα: Αν η ισότητα που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές που δεν ορίζονται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος (, ), τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και στην θέση του ξ τοποθετούμε το. Θέτουμε το πρώτο μέλος συνάρτηση f (). Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την f στο.,.5 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, 3 τέτοιο, ώστε ΛΥΣΗ 3 3. 3
3 3 Έχουμε 3 3. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f 3, με Η f είναι συνεχής στο, 3 ως πολυωνυμική συνάρτηση., 3. 3 3 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο Είναι f f 377 Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον, 3 τέτοιο, ώστε 3 3 f 3 3, που είναι το ζητούμενο..6 Αν f γνησίως αύξουσα στο, με τουλάχιστον, ώστε f. ΛΥΣΗ Αφού η f γνησίως αύξουσα στο, είναι f f Έχουμε f f Θέλουμε ένα τουλάχιστον, που να επαληθεύει την Έστω h f συνεχής στο () h f f h f f,να δειχτεί ότι υπάρχει ένα (). f., ως πράξεις συνεχών. h άρα h Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον, h f f τέτοιο, ώστε.7 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο, με f f f f ώστε να ισχύει.,, που είναι το ζητούμενο.. Να δειχτεί ότι υπάρχει ΛΥΣΗ Έχουμε f f f f f f. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f f f μία λύση στο,. έχει τουλάχιστον 33
Θεωρούμε την συνάρτηση g f f f,, Η συνάρτηση g είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και ισχύει: f f f f f f ( g g f f f f Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει, ώστε g f f f f f f. f ).8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι f και f, f.. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε ΛΥΣΗ Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον λύση στο, της εξίσωσης: f f Θεωρούμε τη συνάρτηση: h f, με, Η h είναι συνεχής στο, h f h f Παρατηρούμε ότι: h h Δηλαδή ισχύει hh. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης έχουμε: Αν hh h ή h, τότε η εξίσωση το. h έχει ρίζα το ή Αν hh, τότε από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε h. Άρα σε κάθε περίπτωση, υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε: h f f 34
Κατηγορία η Πρόσημο συνεχούς συνάρτησης Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να βρούμε το πρόσημο μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ τότε: Διαπιστώνουμε την συνέχεια της f στο Δ. Λύνουμε την εξίσωση f στο Δ. Σχηματίζουμε πίνακα στον οποίο τοποθετούμε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και τα άκρα του διαστήματος Δ. Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό λ και βρίσκουμε το πρόσημο του f. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα..9 Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης f ( ), [, ]. ΛΥΣΗ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. f (, διότι αν τότε και αυτό όμως είναι αδύνατο). Λύνουμε την εξίσωση,. 4 4 7 Πρέπει: με, άρα κ = ή κ =. 4 4 4 4 Οπότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι 5 ή. 4 4 35
Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της f σε κάθε διάστημα. Επιλεγμένος αριθμός 5 4 4 π f ( ) Πρόσημο Επομένως, στα διαστήματα 5,,, 4 4 είναι f( ), ενώ στο διάστημα 5, είναι f( ). 4 4 Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν ρ, ρ δύο διαδοχικές ρίζες της συνεχούς συνάρτησης f τότε f( ),. Επίσης η f είναι συνεχής άρα στο διάστημα για κάθε διατηρεί σταθερό πρόσημο.,. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ρίζες της εξίσωσης f. Να βρεθεί το όριο ΛΥΣΗ Θέτουμε με f και, 5 δύο διαδοχικές lim f 3 5. g f 3 5, με Επειδή η f είναι συνεχής στο διάστημα,5 και οι αριθμοί, 5 είναι διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης f, η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο στο,5. Αφού, f είναι και f, για κάθε,5. Οπότε, Είναι lim g lim f 35 f 3 5 lim f 3 5 f 3 5 lim 36
Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :,4, με f για κάθε,4 οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο, 5. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f 6 f διάστημα,4. β) Να βρείτε το όριο ΛΥΣΗ lim f 3 5 3 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Επομένως η, της έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο., 4 και ισχύει f για κάθε, 4 f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, 4 f διέρχεται από το σημείο, 5, οπότε ισχύει f 5. Άρα ισχύει ότι: f για κάθε, 4.. Επίσης η γραφική παράσταση της f f f f 6 6 α) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: Θεωρούμε τη συνάρτηση: g f f 6, με, 4 Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, 4, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης ισχύουν: gf f 646 g44f 4f 44 66f 4, αφού είναι f για κάθε, 4 Άρα ισχύει gg4. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, η εξίσωση g η αρχική, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, 4. β) Ισχύει ότι: lim f 3 5 3 lim f 3 διότι είναι f και lim 3., άρα και 37
. Αν η f είναι συνεχής στο, και γνησίως αύξουσα με f f f διατηρεί πρόσημο στο,. ΛΥΣΗ τότε η Έστω ότι η f δεν διατηρεί πρόσημο στο., Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν,, ώστε f f. Επίσης η f είναι συνεχής στο,. Τότε όμως από το θεώρημα Bolzano έχουμε ότι υπάρχει, ή, τέτοιο ώστε f. Όμως: f : f f f f f οπότε f f άτοπο. Τρόπος αντιμετώπισης: f για την οποία ισχύει: f g 4. Έστω μια συνάρτηση : για κάθε A και g για κάθε A. () Από την παραπάνω σχέση δεν προκύπτει ότι ή ότι f g για κάθε A f g για κάθε A αφού υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν την (). g, A Για παράδειγμα η f g, A Αν όμως γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο στο Α τότε μπορούμε να πούμε ότι f g για κάθε Aή ότι f g για κάθε A..3 Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει:, για κάθε. e e f f ΛΥΣΗ e Έχουμε e f f e f e f e f f e e f 38
Θέτουμε he f με Για ισχύει Επομένως, h και επειδή η h είναι συνεχής, διατηρεί πρόσημο στο., άρα και h e f, e e f f, e Αν h, τότε e f f Αν h, τότε.4 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : f με: f 9 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού. β) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης f. γ) Να αποδειχθεί ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα 3,3. δ) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f. ΛΥΣΗ α) Είναι: f 9 3,3 οπότε 3,3 β) Είναι:. για κάθε f f 9 9 3 ή 3. γ) Η f είναι συνεχής στο 3,3 και f για κάθε 3,3 Επομένως η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο 3,3.. δ) Εφόσον η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα 3,3, θα είναι: f για κάθε 3,3 ή f για κάθε 3,3 Όμως f 9, οπότε: αν f, τότε f 9, 3,3 αν f, τότε f 9, 3,3. Επειδή f 3 f 3, προκύπτει ότι: f 9, 3,3 ή f 9, 3,3 39
Κατηγορία 3 η Θ.Ε.Τ - Θ.Μ.Ε.Τ Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχει, f τότε: Υπολογίζουμε τα f f,. Διαπιστώνουμε f( ) f( ) ή f( ) f( ). τέτοιο, ώστε Με την βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών προκύπτει το ζητούμενο. Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να θέσουμε χρησιμοποιήσουμε θεώρημα Bolzano. g f και να 5 3.5 Δίνεται η συνάρτηση f 5.Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε 5 ΛΥΣΗ f. 5 3 Η συνάρτηση f 5 είναι συνεχής στο 5 3 f 5 5 5 3 f 5 8 Ο αριθμός 5 είναι ανάμεσα στις τιμές f και f τιμών, υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε f 5. Β τρόπος Θέτουμε g f 5,,. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, ως πολυωνυμική., ως πολυωνυμική.. Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων g 5535 και g 853 άρα g g. Τότε από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ένα τουλάχιστον,, g. 4 τέτοιο, ώστε
.6 Έστω η συνεχής και περιττή συνάρτηση f : με f ότι υπάρχει σημείο της ΛΥΣΗ C f με τεταγμένη. f Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε Επειδή η f είναι συνεχής έχουμε f f Αφού η f είναι περιττή και Η f είναι συνεχής στο,. D f lim, έχουμε f. lim. Να δείξετε f f και f f. Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ένας τουλάχιστον,,, τέτοιος, ώστε f..7 Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f :,3. Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ακριβώς, 3 τέτοιος, ώστε 3f f f f 3. ΛΥΣΗ Επειδή η f γνησίως φθίνουσα στο, 3 και είναι 3 έχουμε: f f f 3 οπότε f 3 f f f 3 f f f 3 f 3 f. Με πρόσθεση κατά μέλη 3f 3 f f f 3 3f άρα f f f 3 f 3 f 3 Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ένας τέτοιος, ώστε: τουλάχιστον,, 3 3 f f f f 3f f f f 3 3 Και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, το είναι μοναδικό. Β τρόπος Θα θέταμε h3f f f f 3 για, 3. Η συνάρτηση h είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών. Eπίσης h f f f 3 h 3 f 3 f f 3 Από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ένα τουλά- τέτοιο, χιστον, 3 ώστε h. 4
Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχει, f f... f f τέτοιο, ώστε και δεν ξέρουμε την μονοτονία της... f τότε: Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής. Παίρνουμε δύο περιπτώσεις η f να είναι σταθερή και να μην είναι σταθερή..8 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα τέτοιο ώστε να ισχύει: f f f 3 f 3 4 f 4,5,5 να αποδειχθεί ότι υπάρχει. ΛΥΣΗ Η f είναι συνεχής στο,5 άρα από το θεώρημα Μέγιστης και ελάχιστης τιμής θα υπάρχουν δυο αριθμοί mm, ώστε να ισχύει: για κάθε m f M έχουμε έχουμε έχουμε f m f M f Για έχουμε Για Για 3 Για 4,5. m f M mf M m f 3 M 3m3f 3 3M m f 4 M 4m4f 4 4M Με πρόσθεση κατά μέλη τις ανισότητες ισχύει: f f 3f 34f 4 m f f 3f 3 4f 4M m M Αν η f είναι σταθερή τότε m = M και f c, c για κάθε,5 οποιοδήποτε,5 ικανοποιεί την σχέση: f άρα f f 3f 34f 4 Αν η f δεν είναι σταθερή τότε m < M, οπότε το σύνολο τιμών της η f είναι το mm, και ο αριθμός 3 3 4 4 f f f f mm, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον,5 τέτοιο ώστε f 4 3 3 4 4 f f f f.
.9 Αν f, g συνεχείς στο, g f g με f g ώστε,,. ΛΥΣΗ να δειχθεί ότι υπάρχουν, Επειδή h f g,, και συνεχής στο, ελαχίστης τιμής θα υπάρχουν mm, αφού h,, mh M ή m f g M ή g m f g M άρα υπάρχουν, ( m και ) ώστε να ισχύει το ζητούμενο. από θεώρημα μεγίστης και ώστε Κατηγορία 4 η Σύνολο τιμών Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ τότε: Αποδεικνύουμε την συνέχεια της συνάρτησης f. Βρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτησης f. Η εύρεση του συνόλου τιμών γίνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Διάστημα Δ Μονοτονία f Σύνολο τιμών f,, Γνησίως αύξουσα f, f Γνησίως φθίνουσα f, f Γνησίως αύξουσα lim f( ), f Γνησίως φθίνουσα f,lim f( ) 43
Διάστημα Δ Μονοτονία f Σύνολο τιμών f,, Γνησίως αύξουσα f,lim f( ) Γνησίως φθίνουσα lim f( ), f Γνησίως αύξουσα lim f ( ), lim f( ) Γνησίως φθίνουσα lim f ( ), lim f( ).3 Δίνεται η συνάρτηση f 5 ln. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f 5 ln ορίζεται όταν: και και Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο,. β) Έστω,, με. Τότε έχουμε: 5 5 () ln ln ln ln () Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες () και () προκύπτει ότι: 5 ln 5 ln f f Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. γ) Η f έχει πεδίο ορισμού το,, είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα έχει σύνολο τιμών το: f f f Είναι: lim,. 44
f 5 lnl 5 lim f lim 5 ln Επομένως είναι f,5..3 Έστω f συνεχής και γνήσια μονότονη συνάρτηση στο διάστημα,5 με και f 4. α) Να δείξετε ότι f για κάθε,4 f 4 β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f έχει μοναδική λύση στο διάστημα ΛΥΣΗ α) Αφού f γνήσια μονότονη στο,5 και 4 f f 4 στο,5 και επειδή είναι συνεχής θα ισχύει f, 4 f 4, f, 4 f, 4. f 4,5. η f θα είναι γνήσια φθίνουσα επομένως f f f f 4 β) Είναι f f και f f δηλαδή 4 f f 4 επομένως ο αριθμός n είναι μεταξύ του f, f οπότε από θεώρημα f 4 ενδιάμεσων τιμών υπάρχει, ώστε f και επειδή η f είναι γνήσια μονότονη η ρίζα είναι μοναδική. Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να δείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f έχει μία τουλάχιστον ρίζα σε ένα διάστημα Δ εκτός από την χρήση του θεωρήματος Bolzano υπάρχει και ο παρακάτω τρόπος. Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Αν το σύνολο τιμών της περιέχει το μηδέν τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ώστε f. Δηλαδή η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα. Αν επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη τότε η εξίσωση f έχει μοναδική ρίζα. 45
.3 Θεωρούμε τη συνάρτηση ln με f e,,. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e ln έχει ακριβώς μια ρίζα. ΛΥΣΗ α) Για κάθε,, με έχουμε e e ln ln Επειδή οι ανισώσεις είναι ομοιόστροφες και όλα τα μέλη είναι θετικά, αν τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε e ln e ln e ln e ln f f Οπότε, η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. β) Η f είναι συνεχής στο, και επειδή είναι γνησίως αύξουσα στο,, θα έχει ως σύνολο τιμών το lim, lim f f Είναι lim f lim e ln e ln l lim f lim e ln αφού lim e lim ln Επομένως, το σύνολο τιμών της f, είναι το f,. γ) Είναι e ln e ln f. Επειδή, επομένως, το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών, οπότε από η θεώρημα ενδιάμεσων τιμών παίρνει την τιμή μηδέν, δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε f. Η ρίζα είναι μοναδική, αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. 46
Σύνθετες ασκήσεις.33 Μια συνεχής συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα,5. Αν f 3 και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, να αποδειχθεί ότι: α) f και f 5, β) η εξίσωση f 3 έχει μοναδική ρίζα. ΛΥΣΗ, 5. α) Είναι 3 5 και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Επομένως: f f 3 f 5 f f 5 Επομένως f και f 5. g f. Πρέπει: 35,. β) Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 Επομένως η g ορίζεται στο Η g είναι συνεχής στο ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων (η f 3 είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f και 3). Είναι g f, αφού f και g f 5 αφού f 5. Επειδή λοιπόν gg, από το θεώρημα του Bolzano συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση g, άρα και η f 3, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. Επίσης η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο, θα είναι: 3 3, f 3 f 3 δηλαδή: f 3 f 3 g g. και Άρα η παραπάνω ρίζα της g είναι μοναδική., αφού με, και.34 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει 3 f f f e (), για κάθε. Να δείξετε ότι η C f τέμνει τον άξονα ' σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη,. 47
Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε Η f είναι συνεχής στο,. Η σχέση () γράφεται f f f e Το τριώνυμο f f έχει διακρίνουσα 3 και για κάθε f, οπότε από την () θα πάρουμε f Από τη σχέση (3) το Για είναι e. Για είναι f είναι ομόσημο του f. (), για κάθε e. e f f e, οπότε f f Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο, ώστε Το είναι η τετμημένη του σημείου που η, C τέμνει τέμνει τον άξονα f, οπότε είναι θετικό (3) f. '..35 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : Αν η εξίσωση f f g g εξίσωση f g έχει λύση. με την ιδιότητα: f g g f έχει μία τουλάχιστον ρίζα, να αποδειχθεί ότι και η ΛΥΣΗ Έστω ότι η εξίσωση f g δεν έχει λύση. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση: h f g είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και δεν μηδενίζεται στο. Επομένως η h διατηρεί σταθερό πρόσημο. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης f f g g, δηλαδή f f g g ισχύει: h f f f g f και h g f g g g Επομένως: h f hg f f g f f g gg f f gg f gg f διότι f f g g και f g g f. Αλλά η σχέση h f hg οδηγεί σε άτοπο, διότι οι αριθμοί h f, hg είναι ομόσημοι. Επομένως η εξίσωση f g θα έχει μία τουλάχιστον λύση., τότε θα.36 Να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f στο, για την οποία ισχύει: f 48
Έχουμε f f Είναι f f Η f στο,. Οπότε,. Αν f στο,, τότε στο διάστημα αυτό είναι αφού Αν f στο,, τότε στο διάστημα αυτό είναι f f, αφού Επειδή, επιπλέον, f έχουμε: f κάθε, Η f στο,. Όμοια με το προηγούμενο f f,, για κάθε, ή f f, για κάθε, ή f, για κάθε, Συνδυάζοντας τα παραπάνω η f έχει έναν από τους παρακάτω τύπους: f, f f,, f,,,, για.37 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο, ώστε f και f 3, για την οποία ισχύει: α) Να δείξετε ότι f f f 3 f 4 β) Να δειχτεί ότι υπάρχει ώστε f f f., γ) Να δείξετε ότι η f δεν είναι '' ''. ΛΥΣΗ f f f f 3 f f f f α) Επειδή f συνεχής και f f 3,. σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ώστε Άρα για θα έχουμε: 49, 3 f, f.
f f f f 3 f f f f f f f 4 f f f 3 f 4. 3 f β) Θεωρούμε την g f f f, g f f f f f f g f f f f f f οπότε g gf f f f που είναι συνεχής και Αν f f τότε gg g ή g άρα ή Αν f f τότε επειδή f, f συνεχής και σταθερό πρόσημο δηλαδή f, άρα f f και επομένως άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει, ώστε g f f f. f, η f θα έχει, g g γ) Θεωρώντας την f f 3 f 4 ομοίως δείχνουμε ότι υπάρχει 3, 4 ώστε f f 3 f 4. Λόγω α) θα είναι f f f f f, με, και 3, 4 άρα f f. Άρα f όχι '' ''..38 Αν η συνάρτηση f : είναι συνεχής και ισχύει f f για κάθε δείξτε: α) f είναι σταθερή β) Βρείτε τον τύπο της f. ΛΥΣΗ α) Αν τότε ισχύει: f f f ή f. Άρα οι τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση είναι το και το. Αν η f δεν ήταν σταθερή τότε θα υπήρχαν f. Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (f στο, συνεχής με f f ) η συνάρτηση θα έπαιρνε και τις τιμές που είναι στο, κάτι που δεν ισχύει, άρα f σταθερή. με f και Αν για δύο συναρτήσεις, : f g A ισχύει f g για κάθε τότε δεν έπεται κατά ανάγκη ότι: f για κάθε ή g για κάθε 5
β) Αφού η f είναι σταθερή και οι μόνες τιμές που παίρνει το και το θα ισχύει: f για κάθε ή f, για κάθε..39 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :,. α) Να δείξετε ότι η g f e,, έχει μέγιστη τιμή. β) Να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε f f e ΛΥΣΗ α) Επειδή η g είναι συνεχής στο,, έχει μέγιστη τιμή. β) Αφού η g έχει μέγιστη τιμή θα υπάρχει, τέτοιο, ώστε για κάθε, g g f e f e ή Άρα f f e, για κάθε,. να ισχύει f f e e f e f e ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΧΗ!!!! Δεν προσθέτουμε ποτέ σύνολα τιμών. Για παράδειγμα έστω ότι έχουμε την συνάρτηση,, f. Είναι άρα οπότε προσθέτοντας τις ανισότητες έχουμε 3 3 3 δηλαδή είναι f 3. 3 Είναι λάθος να πούμε ότι το σύνολο τιμών της f f,, 3 γιατί η f είναι 3 5 γνησίως αύξουσα στο, και συνεχής οπότε f, f, f,. Η εξήγηση δίνεται από το ότι η πρόσθεση των ανισοτήτων δεν γίνεται για τις ίδιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής σύμφωνα με τον ορισμό της πρόσθεσης. 5
e.4 Δίνεται συνάρτηση f με τύπο f ορισμένη στο αποδείξετε ότι η εξίσωση f είναι αδύνατη στο,5. ΛΥΣΗ,5. Να Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο,5 ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Επίσης είναι και γνησίως φθίνουσα στο,5 ως άθροισμα γνησίων φθινουσών συναρτήσεων. (Η συνάρτηση και η συνάρτηση e είναι γνησίως φθίνουσες). Θεωρούμε τη συνάρτηση g f στο,5. Άρα το σύνολο τιμών της g θα είναι το η οποία είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα e g 5, g e 5 4. Παρατηρούμε ότι το δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της g. Άρα δεν υπάρχει,5 έτσι ώστε g f. Συνεπώς η εξίσωση f είναι αδύνατη στο,5..4 Δίνεται η συνάρτηση f e,,. α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση e έχει μοναδική αρνητική ρίζα. γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση e,. ΛΥΣΗ είναι αδύνατη, στο α) Η f είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Η f είναι γνησίως φθίνουσα διότι: για οποιαδήποτε,,, με και e e e e. Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε e e f f. lim f lim e lim lim e. γιατί Το σύνολο τιμών της f είναι το f f lim και lim e lim, lim,. 5
β) Για την εξίσωση e έχουμε (διαιρώντας με ) e e f. Αυτή η τελευταία εξίσωση έχει μοναδική αρνητική ρίζα, αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα και το ανήκει στο σύνολο τιμών της, σύμφωνα με το α) ερώτημα. γ) Διαιρούμε με και τα δύο μέλη της εξίσωσης και έχουμε: e e e f. Όμως ο αριθμός δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f άρα η εξίσωση f είναι αδύνατη στο,. Το ίδιο θα ισχύει και για την ισοδύναμή της εξίσωση e..4 Έστω f :, μια συνάρτηση με f α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f και ότι είναι γνησίως φθίνουσα. f γ) Να βρείτε το lim, αν θεωρήσουμε γνωστό ότι η f είναι συνεχής. f ΛΥΣΗ α) Θα βρούμε τη μονοτονία της f. Για κάθε,, με έχουμε και Άρα η f είναι συνεχής έχουμε f lim f,lim f. Είναι: lim f lim και lim f lim f,. Άρα β) Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα θα είναι και, άρα υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f. Έστω, f f με πεδίο ορισμού το y y, οπότε f. y y με, ). Επομένως f f y f f y, άρα f y f y 53, (αφού
γ) Επειδή η lim f. Άρα,, f είναι συνεχής, γνησίως φθίνουσα και f f f f f έχουμε lim lim lim. f f.43 Δίνεται η συνάρτηση f ln ln το σύνολο τιμών της f.. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και ΛΥΣΗ f ln ln ορίζεται όταν: και Η συνάρτηση και Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο:, Παρατηρούμε ότι: lim f lim ln ln διότι lim ln και: lim ln ln Επίσης είναι: lim f lim ln ln διότι lim ln ln 4 και lim ln u lim ln u. u Τέλος, η f είναι συνεχής στο,, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων, άρα το σύνολο τιμών της είναι το. Έστω f :, μια συνεχής συνάρτηση. Αν ισχύει: lim f lim f ή lim f lim f τότε το σύνολο τιμών της f είναι το ακόμα και αν η μονοτονία της f αλλάζει στο,. 54