ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σχολικό έτος: 2015-2016 1
Περιεχόμενα ΜΕΡΟΣ 1 ο Εκφωνήσεις των θεμάτων ΘΕΜΑ Α4 ΘΕΜΑ Β6 ΘΕΜΑ Γ9 ΘΕΜΑ Δ17 Απαντήσεις-Λύσεις των θεμάτων ΜΕΡΟΣ 2 ο ΘΕΜΑ Α20 ΘΕΜΑ Β24 ΘΕΜΑ Γ39 ΘΕΜΑ Δ56 2
Εκφωνήσεις των Θεμάτων (Α+Β+Γ+Δ) Μ Ε Ρ Ο Σ 1 ο 3
ΘΕΜΑ Α Ερώτηση 1 α) Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα Αν η είναι συνεχής στο, να δείξετε ότι για κάθε αριθμό μεταξύ των υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθμός τέτοιος ώστε β) Έστω ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το ; Ερώτηση 2 i Πότε δύο συναρτήσεις λέγονται ίσες; ii Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; iii Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Πότε λέμε ότι η είναι συνεχής στο ; Ερώτηση 3 α) Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; β) Τι ονομάζουμε σύνθεση δύο συναρτήσεων με πεδία ορισμού αντίστοιχα; Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της ; γ) Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής Ερώτηση 4 i Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το ; ii Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano iii Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνάρτηση 1-1; 4
Ερώτηση 5 i Να διατυπώσετε το θεώρημα της μέγιστης της ελάχιστης τιμής ii Πότε μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Ερώτηση 6 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) πότε σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Ερώτηση 7 i Τι ονομάζεται ακολουθία; ii Πότε μπορούμε να αναζητήσουμε τα όρια ; Ερώτηση 8 iνα διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano Ποια είναι η γεωμετρική του ερμηνεία; iiνα συγκρίνετε τους αριθμούς Πότε ισχύει η ισότητα; Ερώτηση 9 Δίνεται το πολυώνυμο Να αποδείξετε ότι: Ερώτηση 10 Δίνεται η ρητή συνάρτηση: όπου, πολυώνυμα του με, Να αποδείξετε ότι: 5
ΘΕΜΑ Β ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: α) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση στο ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο ii Να λύσετε την εξίσωση iii Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται η συνάρτηση με: i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να βρείτε το σύνολο τιμών της iii Να ορίσετε την ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνεται η συνάρτηση με: 6
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1 iii Να ορίσετε την ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται η συνάρτηση με: i Να βρείτε το είδος μονοτονίας της ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός τιμή 2011 για τον οποίο η συνάρτηση παίρνει την iii Να λύσετε την ανίσωση: ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται η συνάρτηση με : i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα τη iii Να βρείτε το πρόσημο της ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρείτε το, όταν: i ii 7
iii ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται η συνεχής γνησίως μονότονη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση περνάει από τα σημεία i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παίρνει την τιμή iii Υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε: ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνεται η συνάρτηση με: i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται iii Να ορίσετε την iv Να λύσετε την ανίσωση: ΑΣΚΗΣΗ 10 Δίνεται η συνάρτηση με : 8
i Να βρείτε το είδος μονοτονίας της ii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται iii Να λυθεί η εξίσωση iv Να λυθεί η ανίσωση ΑΣΚΗΣΗ 11 Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε i Να βρείτε το ii Να βρείτε το iii Να λυθεί η εξίσωση iv Να βρεθεί το ΑΣΚΗΣΗ 12 Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι: i Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της περνάει από το σημείο iiνα βρείτε το ΑΣΚΗΣΗ 13 Δίνεται η συνάρτηση με: 9
i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της iii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται να μελετήσετε την ως προς τη συνέχεια iv Να βρείτε τα όρια: ΑΣΚΗΣΗ 14 Δίνεται η συνάρτηση η συνάρτηση με τύπο: i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να βρείτε συνάρτηση για την οποία να ισχύει: iii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή 10
ΘΕΜΑ Γ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνονται οι συνεχείς στο συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν: για κάθε Οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο είναι δύο διαδοχικές ρίζες της Να αποδείξετε ότι: α) η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο β) για κάθε γ) ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: i Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ii Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης iii Να αποδείξετε ότι για κάθε, η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα iv Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: 11
ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει η σχέση: i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο, για κάθε ii Αν το σύνολο τιμών της είναι το, να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται να βρείτε την iii Να λύσετε την εξίσωση iv Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ΑΣΚΣΗΣΗ 4 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση η οποία είναι γνησίως μονότονη στο η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να βρείτε το πρόσημο της iii Να λύσετε την εξίσωση iv Να λύσετε την ανίσωση ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται η συνάρτηση συνεχής στο για την οποία ισχύει: i Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης για κάθε ii Να αποδείξετε ότι η διατηρεί πρόσημο στο διάστημα 12
iii Να βρεθεί ο τύπος της iv Αν επιπλέον να βρείτε το όριο ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε Να βρείτε: i Το όριο: ii Το όριο: iii Το όριο: iv Το ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε i Να βρείτε το ii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται iii Να βρείτε το iv Να λύσετε την εξίσωση: ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει: 13
i Να αποδείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο για κάθε ii Αν να βρείτε τον τύπο της iii Να υπολογίσετε το όριο: iv Να υπολογίσετε το όριο: ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει: i Να αποδείξετε ότι: για κάθε ii Να βρείτε το όριο: iii Να βρείτε το όριο: iv Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε ΑΣΚΗΣΗ 10 i Αν 14
,να βρείτε το ii Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε Να βρείτε το, αν είναι γνωστό ότι υπάρχει είναι πραγματικός αριθμός iii Να βρείτε το όριο: ΑΣΚΗΣΗ 11 Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε i Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται να ορίσετε την ii Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα iii Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων, αν γνωρίζετε ότι αυτά βρίσκονται πάνω στην ευθεία με εξίσωση iv Να λυθεί η εξίσωση: ΑΣΚΗΣΗ 12 Δίνονται οι συναρτήσεις: i Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων ii Να ορισθεί η συνάρτηση 15
iii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται να βρείτε την iv Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης ΑΣΚΗΣΗ 13 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με: i Να βρείτε τα ii Να υπολογίσετε το όριο: iii Να υπολογίσετε το όριο: iv Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 16
ΘΕΜΑ Δ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται η συνάρτηση με: i Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία την ii Να υπολογίσετε τα όρια: iii Να λυθεί η εξίσωση iv Να βρείτε τον πραγματικό θετικό αριθμό μ για το οποίο ισχύει: ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι συνθήκες:, για κάθε, για κάθε i Να βρείτε το όριο ii Να βρείτε το iii Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε: 17
για κάθε (1) η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο i Να βρείτε τα ii Αν να βρείτε την iii Να βρείτε το όριο: ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνεται η συνάρτηση με: i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να βρείτε το όριο iii Να βρείτε το όριο iv Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία ακριβώς ρίζα στο για κάθε 18
Μ Ε Ρ Ο Σ 2 ο Απαντήσεις-Λύσεις των θεμάτων (Α+Β+Γ+Δ) 19
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑ Α Ερώτηση 1 Λύση α) Έστω ότι Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση, παρατηρούμε ότι: Η είναι συνεχής στο, αφού Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει τέτοιο, ώστε οπότε β) Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό To ονομάζεται τιμή της στο συμβολίζεται με Ερώτηση 2 i Δύο συναρτήσεις λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού για κάθε ισχύει ii Μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε με ισχύει: iii Έστω μια συνάρτηση ένα σημείο του πεδίου ορισμού Λέμε ότι η είναι συνεχής στο, όταν Ερώτηση 3 α) Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε με ισχύει: β) Αν είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντίστοιχα, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την, τη συμβολίζουμε με, τη συνάρτηση με τύπο, όπου το πεδίο ορισμού της αποτελείται από όλα τα στοιχεία 20
του πεδίου ορισμού της για τα οποία το ανήκει στο πεδίο ορισμού της Δηλαδή είναι το σύνολο Είναι φανερό ότι η ορίζεται αν, δηλαδή αν γ) Έστω οι συναρτήσεις Αν κοντά στο Ερώτηση 4 τότε i Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού θα λέμε ότι: παρουσιάζει στο ολικό ελάχιστο, το, όταν για κάθε ii Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα Αν η είναι συνεχής στο επιπλέον, ισχύει τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε Δηλαδή, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης στο ανοικτό διάστημα iii Μια συνάρτηση ισχύει η συνεπαγωγή: λέγεται συνάρτηση "1-1", όταν για οποιαδήποτε αν τότε Ερώτηση 5 i Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο, τότε η παίρνει στο μια μέγιστη τιμή μια ελάχιστη τιμή ii Μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν α) Δεν υπάρχει το όριό της στο ή β) Υπάρχει το όριό της στο, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, στο σημείο Ερώτηση 6 21
Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) πότε σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Ερώτηση 7 Μια συνάρτηση σε κάθε σημείο του (α,β) λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), όταν είναι συνεχής Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) επιπλέον Ερώτηση 8 i Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα Αν η είναι συνεχής στο επιπλέον, ισχύει, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε Δηλαδή, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης στο ανοικτό διάστημα Η γεωμετρική ερμηνεία του ΘBolzano είναι ότι η γραφική παράσταση της σε ένα τουλάχιστον σημείο τέμνει τον ii Για κάθε Η ισότητα ισχύει μόνο όταν Ερώτηση 9 Έστω το πολυώνυμο Έχουμε: 22
Επομένως Ερώτηση 10 Είναι: Επομένως,, εφόσον 23
ΛΥΣΕΙΣ- ΘΕΜΑ Β ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η συνάρτηση έχει Για κάθε με έχουμε: άρα Οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα β) Η έχει πεδίο ορισμού το, είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα, άρα έχει σύνολο τιμών το: Είναι: (αφού ) (αφού ) 24
Επομένως είναι γ) Αφού το σύνολο τιμών της είναι το που περιέχει το 0, θα υπάρχει τέτοιος ώστε Επειδή επιπλέον η είναι γνησίως φθίνουσα στο, η είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης ΑΣΚΗΣΗ 2 i Η συνάρτηση έχει Για κάθε με Έχουμε: άρα Οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ii Η είναι συνεχής στο γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό Εξάλλου επομένως: iii Είναι: η είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε: Για κάθε, έχουμε: Για κάθε, έχουμε: ΑΣΚΗΣΗ 3 i Πρέπει: Άρα ii Για κάθε με έχουμε: 25
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο Οπότε αφού η είναι συνεχής (πράξεις συνεχών) το σύνολο τιμών της είναι: Έχουμε: Άρα iii Η είναι 1-1 ως γνήσια αύξουσα (ii) επομένως αντιστρέφεται Για κάθε έχουμε: Άρα με 26
ΑΣΚΗΣΗ 4 i Πρέπει: άρα ii Έστω με Έχουμε: Άρα η είναι 1-1 iii Έχουμε: επομένως, πρέπει, Άρα iv ή ή αδύνατον 27
ΑΣΚΗΣΗ 5 i Η συνάρτηση έχει Για κάθε με έχουμε: άρα Οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ii Έχουμε:, αφού οπότε, αφού οπότε Επειδή η είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα στο, έχει σύνολο τιμών το: 28
Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, υπάρχει μοναδικός για τον οποίο η συνάρτηση παίρνει την τιμή 2011 iii Η ανίσωση γίνεται: (αφού ) γνησίως φθίνουσα στο ΑΣΚΗΣΗ 6 i Η συνάρτηση έχει Για κάθε με έχουμε: Άρα Οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ii Έχουμε: άρα ρίζα της επειδή η γνησίως αύξουσα στο η ρίζα αυτή είναι μοναδική iii Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική η μοναδική της ρίζα, τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα Η είναι γνησίως αύξουσα στο άρα για κάθε ισχύει, ενώ για κάθε ισχύει 29
ΑΣΚΗΣΗ 7 i Θέτουμε επειδή είναι για τιμές κοντά στο 1 Επίσης: Οπότε: ii Θέτουμε:, οπότε Επίσης Άρα iii Θέτουμε:, οπότε Επίσης για τιμές κοντά στο 1, οπότε Άρα ΑΣΚΗΣΗ 8 i Είναι: αφού γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως αύξουσα ( ) ii Η είναι γνησίως αύξουσα συνεχής στο άρα έχει σύνολο τιμών το: 30
iii Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα για κάθε με θα είναι Έτσι έχουμε: οπότε: Άρα σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών θα υπάρχει τέτοιο ώστε: αφού γνησίως αύξουσα θα είναι μοναδικό ΑΣΚΗΣΗ 9 i Για να ορίζεται η, πρέπει: που αληθεύει για κάθε Άρα, το πεδίο ορισμού της είναι: ii Για κάθε με έχουμε: Οπότε η είναι γνησίως αύξουσα, άρα οπότε αντιστρέφεται 31
iii Έχουμε: οπότε Άρα iv Έχουμε: ΑΣΚΗΣΗ 10 i Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το Για κάθε με έχουμε: άρα Οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα ii Η είναι γνησίως φθίνουσα άρα οπότε αντιστρέφεται iii 32
iv Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, θα ισχύει: (Σχήμα Horner) ) (αφού διότι ΑΣΚΗΣΗ 11 i Η είναι γνησίως αύξουσα στο άρα, οπότε αντιστρέφεται Θέτουμε όπου το στη δοθείσα σχέση έχουμε: ii Για η δοθείσα σχέση γίνεται: iii Είναι: (από ii) iv Είναι: αφού είναι: 33
Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής θα είναι Όμοια για το ΑΣΚΗΣΗ 12 i Θέτουμε: Έτσι έχουμε: Επειδή η είναι συνεχής στο θα ισχύει: Άρα η γραφική της παράσταση περνάει από το σημείο ii Είναι, οπότε, κοντά στο Άρα 34
ΑΣΚΗΣΗ 13 i Για να ορίζεται η, πρέπει: Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το: ii Η είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων με, αφού για κάθε, ισχύει: iii Για κάθε με έχουμε: Άρα η αντιστρέφεται Είναι: Επειδή: 35
ή που αληθεύουν για κάθε, παίρνουμε: Η είναι συνεχής ως πηλίκο των συνεχών συναρτήσεων Η είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών Πράγματι για κάθε, ισχύει: Η είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών Πράγματι για κάθε, ισχύει: iv Είναι: Αν θέσουμε αφού για, θα έχουμε: 36
Αν θέσουμε αφού για, έχουμε ΑΣΚΗΣΗ 14 i Για να ορίζεται η, πρέπει: Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το: Επίσης έχουμε: οπότε το πεδίο ορισμού της είναι: ii Ισχύει (1) Θέτουμε:, οπότε έχουμε: αφού, για κάθε Άρα η (1) γίνεται: iii ή 37
Για κάθε Για κάθε έχουμε Άρα η περιττή 38
ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η συνάρτηση είναι συνεχής στο για κάθε Έστω με Τότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε που είναι άτοπο Άρα η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο β) Η συνάρτηση είναι συνεχής στο στο αφού είναι διαδοχικές ρίζες της Άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Επίσης Οπότε για κάθε γ) Είναι: Άρα από α) είναι για κάθε Οπότε Επίσης από β) Άρα ΑΣΚΗΣΗ 2 i Η συνάρτηση έχει Για κάθε με έχουμε: άρα 39
Οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ii Η είναι συνεχής γνησίως αύξουσα στο άρα έχει σύνολο τιμών το: Είναι: Επομένως είναι: iii Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα έχει σύνολο τιμών το, άρα η εξίσωση iv Έχουμε:, όπου, έχει μοναδική ρίζα Αρκεί να δείξουμε λοιπόν ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε Αυτό ισχύει αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο ΑΣΚΗΣΗ 3 i για κάθε Για είναι Αφαιρώντας κατά μέλη, έχουμε: 40
Αφού διότι είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο ως προς με διακρίνουσα: Άρα: Οπότε Αλλά παρεμβολής, θα ισχύει: οπότε σύμφωνα με το κριτήριο ii Έστω με τότε Επίσης προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε: Άρα η είναι 1-1 επομένως αντιστρέφεται Η έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της που είναι το Είναι: Οπότε: 41
Άρα iii iv Η είναι γνησίως αύξουσα στο άρα η, οπότε τα κοινά τους σημεία είναι στην Παρατήρηση: Τις προτάσεις Α) Αν η είναι γνησίως μονότονη τότε η είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας Β) Aν η είναι γνησίως αύξουσα τότε τα κοινά σημεία των, (αν υπάρχουν), βρίσκονται στην ευθεία Πρέπει να τις αποδεικνύουμε για να τις χρησιμοποιήσουμε σε μία άσκηση ΑΣΚΗΣΗ 4 i Επειδή η είναι γνησίως μονότονη με είναι, η είναι γνησίως αύξουσα ii Είναι: επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (άρα 1-1) η τιμή που μηδενίζει την είναι μοναδική Επομένως για: Άρα για κάθε για κάθε iii Αφού η είναι 1-1 έχουμε: 42
iv Αφού η είναι γνησίως αύξουσα έχουμε: ΑΣΚΗΣΗ 5 i Αν ρίζα της, τότε έχουμε: ή ii Επειδή η συνάρτηση, ως συνεχής στο, είναι συνεχής στο δεν μηδενίζεται στο διάστημα αυτό, διατηρεί πρόσημο στο iii Αν, τότε από τη σχέση έχουμε: Αν, τότε από τη σχέση έχουμε: iv άρα από το ερώτημα (Γ3) έχουμε: Οπότε 43
ΑΣΚΗΣΗ 6 i ii Επειδή για κάθε, έχουμε: Αλλά Οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα είναι iii Για κάθε έχουμε: Αλλά (από i ερώτημα) (από ii ερώτημα) 44
Άρα σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι iv Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής στο, είναι συνεχής στο Άρα ΑΣΚΗΣΗ 7 i Η σχέση ισχύει για κάθε οπότε για έχουμε: ii Έστω με, τότε έχουμε: (επειδή η είναι συνάρτηση) άρα οπότε η είναι, άρα αντιστρέφεται iii Θέτουμε όπου το έχουμε: iv Έχουμε: 45
ΑΣΚΗΣΗ 8 ή i Είναι για κάθε Η είναι συνεχής στο για κάθε άρα, η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ii Επειδή είναι για κάθε Άρα iii, αφού άρα iv 46
, αφού άρα ΑΣΚΗΣΗ 9 i Είναι για κάθε Η είναι συνεχής στο για κάθε άρα, η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ii Επειδή είναι για κάθε Άρα iii, αφού άρα iv 47
, αφού άρα ΑΣΚΗΣΗ 10 i Η σχέση ισχύει για κάθε Για, έχουμε: Για, έχουμε: iiγια, θέτουμε όπου το στη δοσμένη σχέση έχουμε: Είναι: Άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε: iii Είναι: 48
αφού (από ii), iv Έστω Η είναι συνεχής στο Επίσης ισχύει: αφού Άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε ΑΣΚΗΣΗ 11 i Θέτουμε: Έτσι, έχουμε: ii Είναι:, για κάθε οπότε έχουμε: Αν, τότε: επομένως 49
Αν, τότε: επομένως Άρα iii Είναι: Αφού ΑΣΚΗΣΗ 12 i Έστω με, τότε έχουμε: άρα οπότε η είναι, άρα αντιστρέφεται Θέτουμε όπου το στη δοθείσα σχέση έχουμε: 50
ii Για κάθε με έχουμε: άρα οπότε γνησίως αύξουσα iii Έχουμε: iv Η είναι, οπότε έχουμε: (1) Η (1) έχει προφανή ρίζα την Έστω Για κάθε με έχουμε: άρα 51
Οπότε γνησίως αύξουσα στο Επομένως η ρίζα είναι μοναδική ΑΣΚΗΣΗ 13 i Για να ορίζεται η, πρέπει: Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το: Το πεδίο ορισμού της είναι το: (πολυωνυμική) ii Το πεδίο ορισμού της είναι: Άρα για κάθε έχουμε: iii Για κάθε έχουμε: Άρα, η αντιστρέφεται Έστω, (πρέπει ) οπότε με iv Για κάθε με έχουμε: Άρα η είναι γνησίως αύξουσα Για κάθε με έχουμε: Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα 52
Για κάθε με Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο ΑΣΚΗΣΗ 14 i Η είναι συνεχής στο, άρα στο : συνεχής στο Άρα: ii Για έχουμε: οπότε: 53
iii Είναι: αφού:, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε: iv Θεωρούμε τη συνάρτηση Η είναι συνεχής στο (ως σύνθεση αποτέλεσμα πράξεων συνεχών) Επίσης: Άρα από το θεώρημα Bolzano έχουμε ότι η εξίσωση ΑΣΚΗΣΗ 15 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο i Είναι: 54
Έχουμε: Αν τότε το ή Αν τότε έχουμε: Δηλαδή υπάρχει το αν μόνο αν ii Είναι: iii Θέτουμε: για έχουμε: iv Είναι: 55
ΛΥΣΕΙΣ-ΘΕΜΑ Δ ΑΣΚΗΣΗ 1 i Η συνάρτηση έχει Για κάθε με έχουμε: Άρα Οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο iiείναι: αφού, αφού iii, (αφού η γνησίως αύξουσα άρα 1-1) η ρίζα είναι μοναδική iv Είναι: 56
(Διπλή ρίζα) ΑΣΚΗΣΗ 2 i Ισχύει: Για έχουμε: αλλά: Για, έχουμε: αλλά λόγω του κριτηρίου παρεμβολής έχουμε: οπότε Άρα επομένως ii Η σχέση ισχύει για κάθε άρα για οπότε έχουμε: 57
Αλλά συνεχής οπότε: Άρα iii Αρκεί να υπάρχει τέτοιο, ώστε Έστω Είναι: Οπότε: Επειδή η είναι συνεχής στο, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων, από το θεώρημα Bolzano συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο, ώστε ΑΣΚΗΣΗ 3 i, άρα Η σχέση (1) για γίνεται: για έχουμε: οπότε: 58
Αλλά η είναι συνεχής στο 0, οπότε: ii Η σχέση (1) για γίνεται: Για η τελευταία γίνεται: Επίσης έχουμε: Άρα iii Είναι: ΑΣΚΗΣΗ 4 i Το πεδίο ορισμού της είναι το, αφού για κάθε Είναι: Για κάθε με έχουμε: 59
, αφού η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα Άρα οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα ii Είναι:, αφού οπότε: iii Είναι:, αφού οπότε: iv Η f είναι συνεχής (πράξεις συνεχών), είναι γνησίως αύξουσα άρα Το περιλαμβάνεται στο σύνολο τιμών της, οπότε η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, η ρίζα είναι μοναδική 60