Διαφορικός Λογισμός Συλλογή 5 Ασκήσεων mathmatica -
ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Διαφορικός Λογισμός:- Μια συλλογή 5 ασκήσεων. Έλυσαν οι: XRIMAK Βασίλης Κακαβάς Γιάννης Κουτσούκος Γιάννης Σταματογιάννης Δημήτρης Ιωάννου Δημήτρης Κατσίποδας Διονύσης Βουτσάς Κώστας Ρεκούμης Κώστας Τηλέγραφος Μυρτώ Λιάπη Νίκος Αλεξανδρόπουλος Περικλής Παντούλας Ροδόλφος Μπόρης Στάθης Κούτρας Χρήστος Στραγάλης Χρήστος Τσιφάκης parmnids5 Μέλη του mathmatica.gr. mathmatica -4
Μαθηματικά Γ Λυκείου ΘΕΜΑ 7 Προτείνει ο Περικλής Παντούλας Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R, συνεχής στο σημείο και ισχύει f h lim m R h h Θέλουμε να δείξουμε ότι m. Να αποδείξετε ότι ισχύει f ( ). f f( ) m lim. Παρατηρούμε ότι έχουμε ένα όριο που τείνει στο h ) και ζητάμε όριο που τείνει στο o o. Οπότε κάνουμε αλλαγή μεταβλητής. t f h Θέτουμε h t h το h, άρα t οπότε η lim h h f t f t f t m γίνεται lim m lim m lim. t t t t t t f t Θεωρούμε τη συνάρτηση g(t) t για m t με limg(). t Έχουμε f t g(t) f t g(t) t t οπότε, m limf t limg(t) t. t t Όμως η f συνεχής στο R, άρα limf(t) f( ) B τρόπος t οπότε η γίνεται f t m f t f( ) m m lim lim f ( ). tt t t h h f f( ) lim h h f f( ) f h f( ) lim lim h h m Η f είναι συνεχής στο άρα h h m h h h f( ) lim f limf li f h h mathmatica -5
Διαφορικός Λογισμός h f h f f( ) lim h lim limh m h h h h h οπότε f h f ( f( ) ) f h f f( ) m h lim lim lim h h h συνεπώς η f είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο f ΘΕΜΑ 7 Προτείνει ο XRIMAK Η συνάρτηση f :R R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν οι σχέσεις : f() f() lim f () για κάθε (,) ημ Ε. Να δείξετε ότι f(). Ε. Να αποδείξετε ότι f () 9. Ε. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(,f()). Ε4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο διάστημα (, ). Ε5. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε f(ξ) ξ. Ε6. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, (, ) τέτοια ώστε f ( ) f ( ). Ε. Στη σχέση κοντά στο. Πηγή: Ι.Γαρατζιώτης - Π. Μάστακας (εκδόσεις Κέδρος) f lim θέτω ημ m f g ημ με Τότε f ημ g και Αφού η f συνεχής στο o limf lim ημ g. limg,για (ως παραγωγίσιμη) έχουμε f limf. Ε. Αφού η f παραγωγίσιμη, είναι ημg ημg f f() f() f() f () lim lim lim Απο Ε ημ lim g 9. mathmatica -6
Μαθηματικά Γ Λυκείου Αφού (*) ημ ημ ημu lim lim lim u u και limg. (*)Θέτω u, τότε B τρόπος Έχουμε Επιπλέον limu lim. f f f lim lim (). ημ ημ Τότε στη( ) θέτω ημ ημu lim lim u u ( όπου u ). h με f f ημ f f ημ h. limh και Άρα f f ημ lim lim h 9. Οπότε f 9. Ε. Η εφαπτομένη της C f στο y f f y 9. A,f έχει εξίσωση Ε4. Έστω ότι η εξίσωση f έχει δύο διαφορετικές ρίζες ρ,ρ με ρ ρστο διάστημα,. Τότε fρ fρ και επιπλέον η f είναι συνεχής στο ρ,ρ, ως παραγωγίσιμη (αφού η f δύο φορές παραγωγίσιμη) και παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο ανοιχτό διάστημα. Από θεώρημα Roll λοιπόν, θα h ρ,ρ f h. f για κάθε υπάρχει τέτοιο ώστε Άτοπο. αφού,. Συνεπώς η εξίσωση f δεν μπορεί να έχει δύο ρίζες στο,. Ε5. Θεωρώ τη συνάρτηση h f,,. Η h συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών αφού η f συνεχής και επιπλέον mathmatica -7
Διαφορικός Λογισμός h f και Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε hξ f ξ ξ f ξ ξ. h f. Ε6. Η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα,ξ και ξ,, όπου ξ, το ξ του ερωτήματος (Ε5) και συνεπώς υπάρχουν,ξ και ξ, f ξ f ξ f ξ ξ Οπότε τέτοια ώστε : και ξ ξ f f. ξ ξ f f ξ ξ ξ f. ξ ξ ξ ΘΕΜΑ 7 Έστω η συνάρτηση 6 f, R. Προτείνει ο Περικλής Παντούλας) Ε. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα σημεία καμπής. Ε. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Ε. Να δείξετε ότι, R. 6 Ε4. Έστω η συνάρτηση g : R R ώστε Να δείξετε ότι limg. g g lim g. 6 Πηγή: Γ.Μπαϊλάκης (εκδόσεις Σαββάλας) Ε. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με παράγωγο f () 6 6. mathmatica -8
Μαθηματικά Γ Λυκείου Από το διπλανό πίνακα, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,] και γνησίως φθίνουσα στο [, ) και παρουσιάζει ολικό μέγιστο για το f(). - + + - + + f () + - f() 9 Τ.μ Ακόμη η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με παράγωγο f () ( ) ( ). 6 6 Από το διπλανό πίνακα, η f είναι κοίλη στο - + - - + + + + f () - - + f() 4 4Σ.κ (,] και κυρτή στο [, ) και παρουσιάζει καμπή στο σημείο M(, ). Ε. Είναι Δ (,] f(δ ) ( lim f(),f()] (,] γιατί η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δκαι lim ( ), lim 6 και Δ [, ) f(δ ) ( lim f(),f()] (,] γιατί η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ και 6 lim f() lim lim lim lim. D LH D LH D LH Άρα f(r) f(δ ) f(δ ) (,]. Ε. Η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f() άρα και f() ( ). 6 6 g() g () g () Ε4. Ισχύει λόγω του (Ε) ότι : g() 6 g g και επειδή είναι lim g 6 και lim σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει : g () g () g () lim lim lim limg () (). mathmatica -9
Διαφορικός Λογισμός Αν φ() g () με limφ() θα είναι g() (φ(), οπότε και και αφού g() g() g(), από κριτήριο παρεμβολής είναι και lim g() limg(). ΘΕΜΑ 74 Προτείνει η Μυρτώ Λιάπη Έστω f τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R τέτοια ώστε να ισχύει f(α) f(β) f() για κάθε πραγματικό. Ε. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο ώστε f ( ). Ε. Να δείξετε ότι f (α) f (β). Ε. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β) τέτοιο ώστε f (ξ). Πηγή: Ε.Τσακουμάγκος Α.Μπαλωμένου (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική) f(α) f(β) Ε. Έχουμε f(), για κάθε R. f(α) f(β) Για α έχουμε f(α) f(α) f(β) (). f(α) f(β) Ενώ για β έχουμε f(β) f(β) f(α) (). Από (), () έχουμε f(α) f(β). f συνεχής στο [α,β], διότι είναι παραγωγίσιμη στο R, f παραγωγίσιμη στο (α,β), διότι είναι παραγωγίσιμη στο R, f(α) f(β) Από θεώρημα Roll υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο ώστε f ( ). f(α) f(β) Ε. Έχουμε f() f(α) f(β), για κάθε R (). Από την () έχουμε ότι η f λαμβάνει μέγιστο στις θέσεις α και β. Οπότε από θεώρημα Frmat έχουμε f (α) f (β). Ε. f συνεχής στο [α, ] διότι η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, f παραγωγίσιμη στο (α, ) διότι η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, f (α) f ( ). Από θεώρημα Roll υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α, ) τέτοιο ώστε f(ξ ). f συνεχής στο [,β] διότι η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, mathmatica -
Μαθηματικά Γ Λυκείου f παραγωγίσιμη στο (,β) διότι η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, f (β) f ( ). Από θεώρημα Roll υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,β) τέτοιο ώστε f(ξ ). Ισχύει πως α ξ ξ β ξ ξ. f συνεχής στο [ξ,ξ ] διότι η f είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο R, f παραγωγίσιμη στο (ξ,ξ ) διότι η f είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο R, f (ξ ) f (ξ ). Από θεώρημα Roll υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (ξ,ξ ) τέτοιο ώστε f (ξ). ΘΕΜΑ 75 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f () f() για κάθε R. Ε. Να μελετηθεί η μονοτονία της f. Προτείνει ο XRIMAK Ε. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την Ε. Να βρεθεί το πρόσημο της f. f. Ε4. Να αποδείξετε ότι η f έχει ένα μόνο σημείο καμπής, το οποίο και να προσδιορίσετε. Ε5. Αν α β, να αποδείξετε ότι f(α) f(β) f(α). α β α Ε6. α. Να βρεθεί η μονοτονία της g() f(). β. Να λυθεί η ανίσωση Ε. Και τα δυο μέλη της f( ). Πηγή: Κ.Ρεκούμης - Κ.Λαγός (εκδόσεις Μεταίχμιο) f () f() είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων οπότε παραγωγίζοντας θα ισχύει f () f () f ()f () f () f () f () άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Ε. Η f είναι άρα και αντιστρέψιμη, αφού είναι γνησίως αύξουσα. Πρώτα βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f. Α τρόπος Είναι f () f() για κάθε R. mathmatica -
Διαφορικός Λογισμός Θεωρώ την A() για κάθε R είναι A () άρα η A() είναι γνήσια αύξουσα στο R οπότε άρα αντιστρέφεται δηλαδή υπάρχει η A (). Είναι lim A() lim, lim A() lim. Η A είναι συνεχής στο R ως πολυωνυμική και γνησίως αύξουσα σε αυτό άρα A9 A R A, lim A(), lim A(), R. Δηλαδή το πεδίο ορισμού της A () είναι το R. Είναι f () f() για κάθε R. A f() f() A () για κάθε R. Οπότε το πεδίο τιμών της f είναι το πεδίο τιμών της της A() που είναι το R A () δηλαδή το πεδίο ορισμού Οπότε θέτουμε f() y f (y) στην δοσμένη, άραf (), R. Β τρόπος Αν yo Rτότε για y y θα ισχύει o o o f ( ) f( ) y y f ( ) y f( ) y f( ) y f ( ) f( )y y. f( ) y f ( ) f( )y y f( ) y Άρα ή f( ) y ή f ( ) f( )y y η οποία είναι αδύνατη γιατί Δ y. Άρα f( ) yοπότε το πεδίο τιμών της f είναι το R. Οπότε θέτουμε f() y f (y) στη δοσμένη, άραf (), R. Γ τρόπος Έστω yo R.Θα αποδείξουμε ότι αν θέσουμε yo yo,τότε f( o) yo. Πραγματικά, επειδή Af() για κάθε R, έχουμε : y A(f( )) A(y ) f( ) y o o o διότι η συνάρτηση A είναι.. mathmatica -
Μαθηματικά Γ Λυκείου Να σημειώσουμε ότι η επιλογή y y είναι απολύτως δικαιολογημένη, αφού o o οι συναρτήσεις f,a αναμένουμε να είναι αντίστροφες.άρα το σύνολο τιμών της f είναι το R. Έτσι,για κάθε y R, υπάρχει μοναδικό R, ώστε f() y. Η δοσμένη λοιπόν σχέση δίνει ότι : f () f() y y f (y) y y για κάθε y R, δηλαδή f (), R. Ε. Για στη δοθείσα ισότητα προκύπτει ότι f()(f () ) f(), αφού f (). Οπότε για αφού η f είναι γνησίως αύξουσα θα ισχύει f() f() f() και για f() f() f() και η f έχει μοναδική ρίζα το. Ε4. Παραγωγίζοντας την αρχική ισότητα προκύπτει ότι f ()f () f () και επειδή η f δύο φορές παραγωγίσιμη παραγωγίζοντας την ισότητα πάλι έχουμε ότι 6f()(f ()) f ()f () f () απ όπου λύνοντας ως προς f () έχουμε ότι Επειδή (f () )f () 6f()(f ()). 6f()(f ()) f () (f () ) () που για είναι (f () ) έχουμε ότι 6f()(f ()) f () αφού (f () ) f() από (Ε) και ακόμη επειδή λόγω (Ε) για ισχύει f() και για ισχύει f() θα ισχύουν f (), (, ) που σημαίνει ότι f είναι κοίλη στο (, ] και f (), (, ) που σημαίνει ότι η f είναι κυρτή στο [, ), άρα το σημείο O(, )είναι σημείο καμπής της f και μάλιστα μοναδικό. f(α) f() f(β) f(α) Ε5. Αρκεί να δείξω ότι (). α β α Η f είναι συνεχής στο [,α], παραγωγίσιμη στο (,α) και από Θ.Μ.Τ. υπάρχει f(α) f() ξ (,α),.. f (ξ ) και από Θ.Μ.Τ. στο [α,β] θα υπάρχει α f(β) f(α) ξ (α,β),.. f (ξ ). β α f9 f(α) f() f(β) f(α) Είναι ξ ξ f (ξ ) f (ξ ) που είναι το ζητούμενο. α β α mathmatica -
Ε6. α). Είναι Διαφορικός Λογισμός f () f () f () f () f () g () f (). Άρα ισχύει g (), R που σημαίνει ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R. β). Έχουμε ισοδύναμα ότι f( ) f( ) ( ) g( ) g() (αφού η g είναι γνήσια φθίνουσα στο R ) απ όπου τελικά έχουμε ότι (,) (, ). ΘΕΜΑ 76 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (, ) R με την ιδιότητα y y f () f y y f () 6,f(). Ε. Να βρείτε την f () για. Ε. Να βρείτε την f() στο (, ). Ε. Να βρείτε το ελάχιστο της f. Προτείνει η Μυρτώ Λιάπη για κάθε και y πραγματικό,καθώς και Ε4. Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή στο (, ) και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(,f()). Ε5. Αν για τους θετικούς α,β, γ R ισχύει αβγ και δείξετε ότι α β γ. α β γ, να Πηγή: Χ. Πατήλας (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική) Ε. Η δοθείσα για, y ln για θετικά δίνει: ln ln ln ln 8 6 f f (),. ln ln 8 Ε. Είναι και αφού f() είναι τελικά c και f () 8ln f() 8ln c, f() 8ln,. Ε..Είναι mathmatica -4
Μαθηματικά Γ Λυκείου ( 4) f (), και σύμφωνα με τον πίνακα προσήμου της f για [, ) η f είναι γνήσια αύξουσα και για (, ] η f είναι γνήσια φθίνουσα και άρα έχει ολικό ελάχιστο στο το f() 6 8ln. - - + - - - - + + - + + + f () + - - + f() Τ.ε 9 8 8 Ε4. Παραγωγίζοντας την f (), έχουμε ότι f (), άρα η f κυρτή και η εφαπτομένη στο A(, f()) είναι y f() f ()( ) δηλαδή y 6 9. Ε5. Επειδή η f είναι κυρτή τα σημεία του γραφήματος της είναι πάνω από κάθε εφαπτομένη της, εκτός του σημείου επαφής άρα εδώ θα ισχύει yf () yε f() 6 9, R και εφαρμόζοντας την για α, β,γ f(α) 6α 7 f(β) 6β 7 f(γ) 6γ 7 f(α) f(β) f(γ) 6(α β γ) 7 α β γ 8 lnα lnβ lnγ 8ln(αβγ). Η ισότητα ισχύει μόνο στο σημείο επαφής άρα θα πρέπει: α β γ που είναι αδύνατο λόγω του αθροίσματος των τριών άρα: α β γ. ΘΕΜΑ 77 Προτείνει ο Βασίλης Κακαβάς Έστω συνάρτηση f :[, ) R που είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα, για την οποία ισχύει ότι f() f(f()) για κάθε [, ). Ε. Να δείξετε ότι f() για [, ) και ότι f(). f () f() Ε. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία ρίζα f() f() στο (,).. Ε. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο της A(,f()).. Πηγή: Γ.Μπαϊλάκης (εκδόσεις Σαββάλας) mathmatica -5
Διαφορικός Λογισμός Ε. Επειδή f έχει πεδίο ορισμού [, ) για να ορίζεται η f(f()) στο [, ) πρέπει αναγκαία και f() για κάθε [, ). Τώρα από f() f(f()) f() και f(f()) επειδή f() και f(f()) αναγκαία θα ισχύει άρα f(). Ε. Αρκεί να δείξουμε ισοδύναμα ότι η εξίσωση έχει ρίζα στο (,). Έτσι θεωρώντας την g() (f() ) f () πράξεις μεταξύ συνεχών και ισχύει g() f() f () και g() (f() ) f (). (f() ) f () για κάθε [,] είναι συνεχής ως Τώρα αν f() θα είναι f() ή f() και αν ισχύει f() τότε επειδή f γνήσια αύξουσα θα ισχύει f(f()) f() f(f()) f(f()) f() θα ισχύει f() f() f() f() f() και επειδή από υπόθεση που είναι άτοπο.. Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν f() επομένως αναγκαία f() και τότε g() f ().. Άρα g()g() και σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η g() έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,). Ε. Επειδή η f παραγωγίσιμη στο και f() στο f() η h() f() f(f()) παραγωγίσιμη στο με άρα η f παραγωγίσιμη και h () f () f (f())f () f () f ()f () f () (f ()) h() και h () θα είναι h (). Επομένως f () (f ()) (f ()) f () και αφού απ όπου έχουμε ότι f (), f () και επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα, η παράγωγος θα είναι μη αρνητική σε κάθε σημείο, θα είναι f () η y. ΘΕΜΑ 78 Έστω οι συναρτήσεις f,g :, και f, ώστε να ισχύει R f έτσι η εφαπτόμενη στο (,f()) θα είναι Προτείνει ο XRIMAK, όπου η f είναι παραγωγίσιμη, με f g, για κάθε c όπου,c R. Ε. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση Φ f ln ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Roll στο διάστημα,. mathmatica -6
Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε. Ε. Να αποδείξετε ότι υπάρχει, ώστε fξ lnξ. Ε. Να βρείτε τη σταθερά c. Ε4. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. H Φ συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών και H Φ παραγωγίσιμη [,] ως πράξεις παραγωγίσιμων με Φ () f () ln f () ln. Φ() Φ() άρα η συνάρτηση Φ ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήματος του Roll οπότε υπάρχει ξ (,): Φ (ξ) f (ξ) lnξ f (ξ) lnξ. Ε. Άμεση συνέπεια του ερωτήματος (Ε). Ε.. Για κάθε ισχύει ερωτήματος (Ε) θα ισχύει f g, όπου c R c f(ξ) g(ξ) lnξ g(ξ) g(ξ) ξ c ξ c ξ ξ c c αφού, οπότε και για το ξ του g(ξ). Ε4..Από το (Ε) έχουμε f() ln c, f() ln,. ΘΕΜΑ 79 Δίνεται η συνάρτηση f () ή f () ln (ln ), όποτε και επειδή f() παίρνουμε c άρα * f(), R. Προτείνει ο XRIMAK Ε. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Ε. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα. Ε. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Ε4. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης τιμές του α R. Ε5. Να βρείτε το όριο ln limf. α, για τις διάφορες mathmatica -7
Ε. Η συνάρτηση Διαφορικός Λογισμός Πηγή: Α.Μπάρλας (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο * R ως σύνθεση των συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων και, άρα η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο συναρτήσεων με / / f () ( ),. Επίσης f () ενώ για δεν ορίζεται η f, οπότε έχουμε τον παραπάνω πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f απ όπου για (,), η f γνησίως αύξουσα, για (,], η f γνησίως φθίνουσα, για [, ), η f γνησίως αύξουσα. * R ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων - + - - + - + + f () + - + f() + O.ε + - 9 9 Επομένως η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο το Επίσης limf() τιμές μικρότερες του είναι τοπικό. αφού lim και u lim u f(). άρα η συνάρτηση παίρνει και f() επομένως το ακρότατο της συνάρτησης στο Ε. Η f είναι παραγωγίσιμη στο πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με / f (), f () (,), f () (, ). * R ως - + - + + + f () - + f() 4 Σ.κ Άρα η συνάρτηση είναι κυρτή στο (, ) και κοίλη στο (,). mathmatica -8
Μαθηματικά Γ Λυκείου / / ( ) / DLH Ε. Έχουμε A lim f() lim lim lim / ( ) B lim f() αφού u lim και lim u C lim f(), επειδή lim και D limf() αφού lim και u lim u u lim u Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο Δ =(,) άρα f(δ ) (D,B) (,). Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο Δ =(,] άρα f(δ ) [,A) [, ). Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο Δ =[,,) άρα f(δ ) [,C) [, ). Άρα το σύνολο τιμών είναι το f(δ) f(δ ) f(δ ) f(δ ) (,) [, ). Ε4. Η εξίσωση f() α. α ορίζεται για και ισοδύναμα γράφεται Θεωρούμε την ευθεία y α με α R. Όταν το α μεταβάλλεται η ευθεία μετατοπίζεται παράλληλα του ' άξονα. Έτσι το πλήθος των κοινών σημείων της C με την y α είναι όσo και το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f() α έτσι f y όταν α τότε η εξίσωση έχει λύση. y=α< 6 y όταν α η εξίσωση είναι αδύνατη. 4 y=α= - - mathmatica -9
Διαφορικός Λογισμός y όταν α η εξίσωση έχει μία λύση. y=α= όταν αη εξίσωση είναι αδύνατη. y=α< y όταν α η εξίσωση έχει δύο λύσεις. y=α> y ln( ) ln( ) ln( ) Ε5. Είναι f. Οπότε ln( ) ln( ) lim f lim lim ( ) lim /. ΘΕΜΑ 8 (/) (/) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με f() Προτείνει ο Γιάννης Σταματογιάννης και ικανοποιεί τη f( h) f( h) f ( ) συνθήκη lim για κάθε R τότε h h Ε. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Ε. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. Ε. Να βρείτε τα ακρότατα και τα σημεία καμπής. Πηγή: Γ. Κομπότης (εκδόσεις Κωστόγιαννος) f( h) f( ) Ε. Έχουμε f ( ) lim R h h mathmatica -
Μαθηματικά Γ Λυκείου (*) f( h) f( ) f( u) f( ) f( u) f( ) lim lim lim f ( ) h h u u u u και (**) f( h) f( ) f( u) f( ) f( u) f( ) lim lim lim f ( ). h h u u u u (*) Θέτω h u, τότε limu limh h h. (**) Θέτω h u, τότε limu lim( h) h h Οπότε, f( h) f( h) f( h) f( ) f( h) f( ) lim lim h h h h h f ( ) ( f ( )) 5f ( ). f ( ) f ( ) Επομένως 5f ( ) f ( ). Άρα η f παραγωγίσιμη με f () f (). Οπότε, f () f () f () f () f () f () f () f () c. f () Για έχουμε c c c. Συνεπώς f () ln f () ln f() ln f() ln ( ) που επαληθεύει την αρχική δοθείσα ισότητα. Ε..Είναι f() ln( ), R. Η f παραγωγίσιμη στο R με f (),R. f (). Άρα από το διπλανό πίνακα f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] και γνησίως φθίνουσα στο [, ) και έχει ολικό μέγιστο το f(). - + + - + + f () + - f() 9 Ο.μ mathmatica -
Η f παραγωγίσιμη στο R με ( ) f () Επομένως η f στρέφει τα κοίλα άνω στο (, ] και στο [, ). Ενώ στρέφει τα κοίλα κάτω στο [,]. Διαφορικός Λογισμός ( ) f (), R. - - + + - + + + + f () + - + f() Σ.κ 4 Σ.κ Ε. Η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο με τιμή f() Η f παρουσιάζει σημεία καμπής στα A(, ln ) και B(, ln). ΘΕΜΑ 8 Δίνεται η συνάρτηση Ε. Να βρεθούν f και f. Προτείνει ο XRIMAK f() ( ), R. Ε. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρεθούν τα σημεία καμπής. Ε. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. Ε4. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. Ε5. Να λύσετε την εξίσωση f() και να προσδιορίσετε το πρόσημο της f. Ε6. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f. Πηγή: Σημειώσεις Μπ.Στεργίου με τίτλο Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ (/5/8) Ε. Έχουμε f() ( ), R. Η f παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f () ( ) 4 ( ) 4, R. Η f παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με 4 4 4 f () ( ) 4 (4 ) 4 4. 4 4 A() Ε. Είναι f (). Θεωρούμε A() 4 4, R με προφανή ρίζα την. mathmatica -
Μαθηματικά Γ Λυκείου Είναι, R οπότε η A() γνησίως αύξουσα. A () 4 Άρα η ρίζα είναι μοναδική οπότε η συνεχής συνάρτηση A() διατηρεί πρόσημο στα διαστήματα(,), (, ). Επομένως, αφού για, A( ) 4 4, για κάθε (,) θα ισχύει f (). Ενώ αφού για 4, 4 4 A(4) 4 4 4 4 για κάθε (, ) θα ισχύει f (). Συνεπώς η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο (,] και τα κοίλα άνω στο [, ). Και παρουσιάζει σημείο καμπής το O(,f()) (,). Ε. Επειδή για κάθε (, ) έχουμε f (), επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ), οπότε για f () f () δηλαδή f (), (, ) άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο (, ]. f9 Ενώ επειδή για κάθε (,) έχουμε f (), θα είναι η f γνησίως φθίνουσα στο (,], οπότε για f f () f () δηλαδή f (), (, ) άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο [, ) και επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνήσια αύξουσα στο R. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο R δεν έχει ακρότατα. Ε4. Επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα στο R και συνεχής θα έχει σύνολο τιμών το f(r) ( lim f(), lim f()). Είναι τώρα lim f() lim ( ), διότι Ενώ lim ( ) lim lim lim f() lim ( ) ( ) lim ( ). και lim. mathmatica -
Αφού lim ( ) και Διαφορικός Λογισμός 4 4 lim lim lim ( ) ( ) ( ) DLH DLH 4 4 lim lim ( ). Συνεπώς η f έχει σύνολο τιμών το f(r) lim f(), lim f() (, ). Ε5. Έχουμε f() και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, η είναι μοναδική λύση της εξίσωσης f(). Έχουμε για f 9 f() f() άρα f(), (, ). Ενώ για f 9 f() f() άρα f(), (, ). Ε6. Επειδή η f είναι συνεχής στο R δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Επειδή lim f() και lim f(), η f() ( ) lim lim lim. Άρα η C δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο και f() lim lim f ( ) lim ( ) 4 4 DLH lim ( ), C f δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη. ψ f () ( ) χ mathmatica -4
Μαθηματικά Γ Λυκείου 4 4 διότι lim lim, lim. Επομένως η C δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο. f ΘΕΜΑ 8 Δίνεται η συνάρτηση f(). Προτείνει η Μυρτώ Λιάπη Ε. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της. Ε. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πλήθος των ριζών της Ε. εξίσωσης ( ) α για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού α. Ε4. Να δείξετε ότι,. Ε5. Να λύσετε την εξίσωσηf() f( ) ln. Ε. Είναι f(), R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με. Η f παραγωγίσιμη στο R f () f () f (). Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [, ). Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση με τιμή f(). * Οπότε για κάθε R έχουμε f() και η f έχει μοναδική ρίζα την. Ε. Έχουμε lim lim. D LH lim f() lim lim ( ) Οπότε και lim f() lim. Έτσι για το A (,], επειδή η f είναι γνήσια φθίνουσα και συνεχής, θα ισχύει ότι f(a ) [f(), lim f()) [, ). Και για το A [, ),επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα και συνεχής, θα ισχύει ότι f(a ) [f(), lim f()) [, ). mathmatica -5
Διαφορικός Λογισμός Οπότε η f έχει σύνολο τιμών το f(r) f(a ) f(a ), Τώρα, η δοθείσα εξίσωση γράφεται ισοδύναμα : ( ) α α α α f() α (). Έτσι έχουμε τις περιπτώσεις σύμφωνα με το σύνολο τιμών y η περίπτωση: Για α, η () είναι αδύνατη. y=α< y η περίπτωση: Για α, η () έχει λύση την. y=α= y η περίπτωση: Για α, η () έχει δύο λύσεις. y=α> Ε. Θεωρούμε την h(), R. Η h παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με h () f(). Aπό to πρώτο ερώτημα, γνωρίζουμε ότι για κάθε έχουμε f(). Επομένως για κάθε ισχύει h (), επειδή η h είναι συνεχής στο [, ), θα ισχύει οτι η h είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ). Οπότε για κάθε έχουμε h() h(). mathmatica -6
Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε4. Η εξίσωση έχει προφανή λύση την. Για έχουμε f() f( ) ln (), ορίζεται για f 9 f( ) f( ). ln, οπότε για κάθε (,) έχουμε Για, έχουμε οπότε για κάθε έχουμε f 9 f() f( ). f() f( ) ln. Συνεπώς η () έχει μοναδική λύση, την προφανή. Β τρόπος f() f( ) ln f() ln f( ) ln f() ln f( ) ln g() g( ) όπου g() f() ln με (, ) Ακόμα για έχουμε f( ) ln f(). Επίσης για έχουμε ln, Έστω f( ) f( ) f( ) ln f( ) ln f (, ) ln (, ) ln ln g( ) g( ) Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) οπότε και. Άρα η εξίσωση γίνεται g (, ) g() g( ). ΘΕΜΑ 8 Έστω οι συναρτήσεις f,g : R R με τύπους f() Προτείνει ο Διονύσης Βουτσάς και g(). Ε. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f() στο A(,) εφάπτεται και της γραφικής παράστασης της g(). Ε. Να δειχθεί ότι υπάρχει ακριβώς ένα α (,), τέτοιο ώστε Ε. Έστω h() f() g(), να δείξετε ότι : α. h() α α για κάθε R με α (,). β. Η εξίσωση h() έχει ακριβώς δυο λύσεις. α α. Ε. Η f είναι παραγωγίσιμη με f (), οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο A είναι της μορφής ε : y f() f ()( ) y. Έστω τώρα σημείο της g B(,g( )) που είναι παραγωγίσιμη με g (). mathmatica -7
Διαφορικός Λογισμός Για να εφάπτεται η εστο B πρέπει και αρκεί g( ) και g ( ). Δηλαδή () και που επαληθεύει και την () άρα B(,). Ε. Θεωρούμε τη συνάρτηση Α(). Η Α() συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων ακόμη Α() Α( ). Άρα η Α ικανοποιεί τις απαιτήσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [, ]. Επομένως, υπάρχει α (,) τέτοιο, ώστε τώρα η α Α(α) α (). Επειδή Α() είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ρίζα της. Ε. Α () είναι γνησίως αύξουσα και το α είναι μοναδική α) Η h() είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με h () και h (). Από () είναι h(α). - α + h () + + h () - + h() τ.ε 9 Η h είναι γνησίως αύξουσα, οπότε προκύπτει ότι η h παρουσιάζει στο α ολικό ελάχιστο.δηλαδή α α α h() h(α) h() α α h() α α α h() α α. Επομένως, h() α α, R. β) Είναι lim h() lim, lim h() lim lim. Ακόμη α α α h(α) α α α α α α α. Θέτω κ(α) α α με α [,] αφού Η συνάρτηση κ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [,] ως πολυωνυμική με παράγωγο κ (α) α όταν α [,]. mathmatica -8
Μαθηματικά Γ Λυκείου Η συνάρτηση κ είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] συνεπώς για α k( ) k(α) k() α α. h h (,α] limh(), lim h() α α, α α α,, άρα για τη συνεχή συνάρτηση h υπάρχει μοναδικό (,α](αφού ηh ) τέτοιο ώστε h( ). h9 h(α, ] limh(), lim h() α α, α α α,, άρα για τη συνεχή συνάρτηση h υπάρχει μοναδικό (α, ) (αφού ηh9 ) τέτοιο ώστε h( ). ΘΕΜΑ 84 Έστω συνάρτηση f με f() ημ. το το Προτείνει ο Νίκος Αλεξανδρόπουλος Ε. Να προσδιορισθεί το σύνολο τιμών της f. Ε. Nα δειχθεί ότι η εξίσωση f() έχει μοναδική λύση. Ε. Α τρόπος Ισχύει ότι Αν ημ() f(). g(), τότε g() f(), g() f() δηλαδή από κριτήριο παρεμβολής θα είναι στο. Επίσης αν h(), θα είναι lim g() lim( ), οπότε από το ότι f() g() και επειδή lim, g() lim άρα limf() f() lim h() lim( ) αφού η f() και επειδή ισχύει ότι f() h() στο με ανάλογο τρόπο δείχνουμε ότι limf() και αφού η f συνεχής στο R σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών θα είναι f(r) R. Β τρόπος Η f έχει πεδίο ορισμού το R και είναι παραγωγίσιμη για κάθε R με f συν. Ισχύει f για κάθε R, αφού και συν συν συν. mathmatica -9
Διαφορικός Λογισμός Δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και επιπλέον συνεχής ως άθροισμα συνεχών. Συνεπώς f R lim f, lim f,, αφού lim f lim ημ lim ημ γιατί lim και lim ημ από κριτήριο παρεμβολής αφού ημ και lim lim. Τέλος lim f lim ημ lim ημ γιατί lim με Hospital και lim ημ από κριτήριο παρεμβολής ημ αφού και lim lim. Ε. Επειδή f(r) R και f συνεχής στο R θα υπάρχει R ώστε f( ). Επειδή τώρα η f παραγωγίσιμη με f () συν και ισχύει ότι συν συν και αφού είναι f (),R. Άρα το o είναι μοναδικό, αφού η, R θα f γνησίως μονότονη. ΘΕΜΑ 85 Αν η συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιμη στο α α α αf f α f f lim. α α α Προτείνει ο Χάρης Γ. Λάλας α, να δειχθεί ότι: * R Είναι α α f f f f f f lim α α lim α α α α α α α α lim α α f f α f α α α mathmatica -4
Μαθηματικά Γ Λυκείου f f α lim α f α α α f f α lim α f α αfα f α. α α α α Β τρόπος α α α α Θέτω g() αf f α, προφανώς g(α) η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη μόνο στο α ως πράξεις των παραγωγίσιμων στο α συναρτήσεων με παράγωγο μόνο για α f α g ( ) αf f α αf α f α αf α f α g(α) αfα α α α α α άρα g(α) αf f α g() g() g(α) lim lim lim α α a α α α g(α) αf α f α α Γ τρόπος Έχουμε πως Θέτω f f f α lim f α α α f α α g, α άρα limg fα και f f α αg f αg f α οπότε α lim f α αf α α g f α f α lim α α α α α f(α) α f(α) α( α)g() lim lim αg() α α α α α α α α f α f α lim αg lim αg α α α mathmatica -4
Διαφορικός Λογισμός f α αf α f α αf α f α αfα α. α α α α ΘΕΜΑ 86 Έστω συνάρτηση f : R ln(f()) g() για κάθε R. Προτείνει ο Βασίλης Κακαβάς R συνεχής και g : R R γνήσια αύξουσα ώστε να ισχύει Ε. Να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο R. Ε. Να δείξετε ότι: α. β. Ε. Αν ισχύει ότι g() ln. (f()) (f()) (f()) lim, (f(4)) (f()) (f()) (f()) (f()) (f()) lim. (f(4)) (f()) (f()) (f()) f() lim g() με f(), να δείξετε ότι Ε4. Αν f() και ισχύει lim g(), να δείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f( ). Ε..Αρχικά, για να ορίζεται η g, πρέπει f(), R και για κάθε, R με έχουμε: g ln g( ) g( ) ln(f( ) ln(f( )) f( ) f( ). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Ε. α. Έχουμε οτι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε f() f() f() f(4). f() f() f() lim f(4) f() f() διότι f() lim f(4) = f() f() f() f() f() lim, f() f() f(4) f(4) f(4),αφού f() f(4), f() f() lim και f() f() mathmatica -4 f() f() lim. f(4) f(4)
Μαθηματικά Γ Λυκείου β. Επίσης f() f() f() lim f(4) f() f() Αφού f() lim f() f() f() lim. f() f() Ε. Είναι = f() f() f() f() f() lim. f(4) f() f() f() f(), διότι f() f(), f(4) f() lim f() f() (f()) f() g() lim lim (f()) ln(f()) f()ln(f()) DLH και και επειδή g() ln(f()) έχουμε ότι f () ln(f()) f() ln(f()) ln(f())(f() ) f(). Οπότε g() ln(f()) ln. Ε4. Θεωρούμε τη συνάρτηση h() g() ln, R. Η g() lnf() είναι συνεχής στο R ως σύνθεση των συνεχών ln και f(), άρα η h() είναι συνεχής στο R ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Έχουμε h() g() ln ln ln ln ln6 6 lim h() lim g() ln. και Επειδή lim h(), υπάρχει α τέτοιο ώστε h(α). Η h είναι συνεχής στο [,α] και h()h(α), οπότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (,α) τέτοιο ώστε h( ) g( ) ln ln(f( )) ln f( ). ΘΕΜΑ 87 Έστω συνάρτηση f με Προτείνει ο Νίκος Αλεξανδρόπουλος 5 5 f() ημ. ln 5 mathmatica -4
Διαφορικός Λογισμός Ε. Να δειχθεί ότι η f παρουσιάζει καμπή στο. Ε. Nα βρεθεί η εφαπτομένη στο. Ε. Έχουμε 5 5 f () συν, και f () 5 5 ημ με προφανή ρίζα τη. ln5 ln5 Θεωρούμε τη συνάρτηση h() 5 5 ημ προφανώς είναι h(), έχουμε είναι 5 συν, h () ln5 (5 ) συν, ln5 (5 ) ln5 (5 ) συν ln5 (5 ), 5 5 5 ln5 (5 ) h () ln5 (5 ). 5 5 5 5 5 ln5 h () ln5 (5 ) (5 ). Άρα 5 5 5 5 Δηλαδή η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση, άρα η μοναδική ρίζα της. Επομένως f (). h9 h() h() f () h9 h() h() f () συνεπώς η f έχει τα κοίλα άνω. συνεπώς η f έχει τα κοίλα κάτω. Άρα η συνάρτηση f έχει σημείο καμπής στο. Ε. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη είναι ln5 y f() f ()( ), και επειδή f(),f (), είναι ln5 ln5 ln5 y. ln5 ΘΕΜΑ 88 Προτείνει ο XRIMAK Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f() 6 ημ(6 ) lim και lim f(5). 5 5 Ε. Να δειχθεί ότι η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον λύση στο (,5). Ε. Αν η f είναι κυρτή, να βρεθεί το πλήθος των ριζών της f () στο (,5). mathmatica -44
Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε. Θεωρούμε για Τότε f g 6. την g f 6 με limg. Οπότε έχουμε limf lim g 6 6 6. Επειδή η f συνεχής στο o Ακόμη στο όριο ως παραγωγίσιμη, έχουμε ημ 6 lim f 5 5 5 ημu ημu lim f 5 6lim f 5 f 5 6. u u u u 6 f 6. θέτουμε 6 u, οπότε Θεωρούμε τη συνάρτηση h f,,5. Η h είναι συνεχής στο συναρτήσεων και επιπλέον h f 6 5 και h 5 f 5 5 6 7.,5, αφού η f συνεχής στο R ως πράξεις συνεχών Συνεπώς από θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον o,5 h f f. o o o o o τέτοιο ώστε Ε. Η f συνεχής στο,5,η f παραγωγίσιμη στο,5,f() 6 f(5). Άρα από θεώρημα Roll υπάρχει ξ,5 τέτοιο ώστε f(ξ). Η f κυρτή και συνεπώς η f γνησίως αύξουσα στο,5. Άρα η ρίζα ξ της f είναι μοναδική. ΘΕΜΑ 89 Δίνονται οι συναρτήσεις f ln,, g 5 ln, R. Προτείνει ο Περικλής Παντούλας και Ε. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων, έχουν μοναδικό κοινό σημείο, το οποίο και να βρεθεί. mathmatica -45
Διαφορικός Λογισμός Ε. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων των C f και C g στο κοινό τους σημείο. Ε. Να βρεθούν τα σύνολα τιμών των δύο συναρτήσεων, και να αποδειχθεί ότι υπάρχει μία μόνο ρίζα της f στο,,. Ε. Η συνάρτηση και μία μόνο ρίζα της g στο ln( ) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, ) ως σύνθεση των συνεχών και παραγωγίσιμων ln και. Οι συναρτήσεις f,g,hείναι συνεχείς και παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους (, ),R,(, ) αντίστοιχα ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Παίρνουμε h() f() g() ln( ) 5 ln προφανής ρίζα και επειδή h () ( )ln 5 ln5 ln ως άθροισμα θετικών, άρα η προφανής ρίζα είναι μοναδική. Άρα το Α(,f()) Α(,g()) Α(,) είναι το μοναδικό τους κοινό σημείο. Ε. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A(, ) είναι η y f() f ()( ) y ln και εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο της A(, ) είναι η y g() g ()( ) y ( ln). Ε. Eίναι f () ln, άρα η συνάρτηση f() είναι γνησίως αύξουσα και επειδή είναι συνεχής θα έχει σύνολο τιμών το lim f(), lim f() f A με A (, ). Είναι και lim f(), γιατί lim( ) lim( ) άρα lim ln( ) lim f(), γιατί lim( ) και lim( ), lim ln( ) Ακόμη είναι f(α). επομένως άρα και f A lim f(), lim f() (, ) R. limf() άρα κοντά στο υπάρχει α, τέτοιο ώστε Ακόμη f(), άρα από θεώρημα Βolzano για τη συνεχή συνάρτηση f() στο [α,], έχουμε ότι υπάρχει α,, ώστε f( ) που είναι και μοναδικό λόγω μονοτονίας της f. mathmatica -46 τέτοιο
Μαθηματικά Γ Λυκείου Για τη g() έχουμε g () ( 5 ln5 ln), άρα η συνάρτηση g() είναι γνησίως φθίνουσα και επειδή είναι συνεχής θα έχει σύνολο τιμών το g R lim g(), lim g(). Είναι τώρα lim g() lim 5 ln, lim g() lim 5 ln lim 5 ( ln ). Άρα το σύνολο τιμών της g() είναι g R lim g(), lim g(), R. Η g() είναι συνεχής στο, και επιπλέον g() και άρα από θεώρημα Βolzano υπάρχει, μοναδικό λόγω μονοτονίας της g. 4 g() ( ln) 5 τέτοιο ώστε g( ) που είναι και ΘΕΜΑ 9 Προτείνει ο Διονύσης Βουτσάς Ε. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς r, τέτοιο ώστε lnr r. Ε. Δίνεται η συνάρτηση f :(, ) R με f() (ln ). α. Μελετήστε την f() ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β. Για τον αριθμό r του ερωτήματος (Ε) να δείξετε ότι: (r ) i. f() για κάθε, r ii. Υπάρχει o r τέτοιο ώστε f( o) f ( o). Ε. Έστω g() ln,. Για την g ισχύουν: συνεχής στο [,] ως πράξεις συνέχων συναρτήσεων και g()g() ( ), άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον r (,), ώστε g(r) lnr r. Επίσης επειδή η g παραγωγίσιμη στο (, ) ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g () για κάθε έχει μοναδική ρίζα την r. θα είναι γνήσια αύξουσα στο g() f () (ln ) ln. Ε. α. Είναι,, επομένως θα mathmatica -47
Διαφορικός Λογισμός Άρα f () g() r (μοναδική λύση λόγω του (Ε) και για κάθε r λόγω της μονοτονίας της g ισχύει g() f (), άρα η συνεχής f είναι γνήσια φθίνουσα στο (,r], για κάθε r λόγω της μονοτονίας της g ισχύει g() f (), άρα η συνεχής f είναι γνήσια αύξουσα στο r,, επομένως στο r η f παρουσιάζει ελάχιστο (ολικό) το r r f(r) lnr r r r r lnr r lnr r. αφού από (Ε) είναι r r β. i.για κάθε έχουμε: f() f(r) f() f(). r r ii.έστω h() f() f (). Η h είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών στο r h r f r, αφού r r οπότε hr h. [r, ] και και h f 4 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε r, r, ΘΕΜΑ 9 Η συνάρτηση f :R h f f. R είναι παραγωγίσιμη και ισχύουν: f(), για κάθε R Ε. α. Να αποδείξετε ότι f() 5. Προτείνει οxrimak ( )f() ημ( 4) lim β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε. f( ) Ε. Αν επιπλέον ισχύει α. Να αποδείξετε ότι f(). f () f( ), για κάθε R, τότε: β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής της παράστασης στο σημείο της (,f()). γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,), τέτοιο ώστε (ξ )f (ξ) f(ξ). mathmatica -48
Μαθηματικά Γ Λυκείου ( )f() ημ( 4) Ε. α) Αν g(), τότε διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με το προκύπτει ότι ημ( 4) f() g() και επειδή είναι lim lim lim ( ) ημ( 4) ημ( 4) lim lim ( ) 4, αφού με 4 και ημ( 4) ημu lim lim 4 u u και limf() f(), αφού η f είναι και συνεχής σαν παραγωγίσιμη θα ισχύει f() 4 limg() f() 8 f() 5. και u 4 του το u β) Αρκεί η εξίσωση ( )f() ( )f() ( )( ) να έχει λύση στο (, ). Γι αυτό θεωρώντας την h() ( )f() ( )f() ( )( ) στο [,] είναι συνεχής ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών και ισχύει ότι h() f() και h() f() 5 και αφού f() και συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο στο R. Και επειδή f() 5 θα είναι f(), οπότε h() f() και έτσι h()h() και από θεώρημα Bolzano η h() έχει ρίζα στο (, ). Ε. α) Αφού για θα ισχύει f () f() f () f() έχουμε ότι f() ή f() με δεκτή την f() για το λόγο που αναφέραμε στο Ε(β). β) Η συνάρτηση συναρτήσεων f() και f( ) είναι παραγωγίσιμη στο R ως σύνθεση των παραγωγίσιμων. Και τα δυο μέλη της f () f( ) είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων οπότε παραγωγίζοντας θα ισχύει ότι mathmatica -49
Διαφορικός Λογισμός που για δίνει ότι f()f () f ( ) f()f () f ( ) f()f () f () f (), οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο (,f()) είναι y f() f ()( ) y. γ) Θεωρώντας τη συνάρτηση F() ( )f(), [,] που είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με F () ( )f () f() και F() f() και F() f(), άρα F() F() σύμφωνα με το θεώρημα Roll θα υπάρχει ξ (,), ώστε F(ξ) (ξ )f (ξ) f(ξ), άρα θα ισχύει (ξ )f (ξ) f(ξ). ΘΕΜΑ 9 Ε. Δίνεται και οι ρίζες της; Ε. Αν Προτείνει ο Διονύσης Βουτσάς f() ln( ). Ποιά είναι η μονοτονία της, τα ακρότατα της g() ln( ), να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των f(), g(), εκεί που τέμνονται από την ευθεία o, τέμνονται πάνω στον άξονα y'y Ε. Να αποδείξετε ότι η f() έχει δυο σημεία καμπής στα r,r για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις: α. f (r ) r r r f (r ) r r, β. r Ε. Η f() ln( ) ορίζεται αν. Θεωρούμε την Α(), R η A()είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με Α (). - + - + Α() Ο. ε 9 Α () Αφού Από τον παραπάνω πίνακα έχουμε ότι η A() έχει ολικό ελάχιστο στο το Α(), όποτε για κάθε R Α() Α(). H συνάρτηση ln( ) είναι παραγωγίσιμη στο R ως σύνθεση των ln και,άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f () - + - - + - + + f () - + f() Ο. ε 9 απ όπου ισχύει ότι f (). Από το διπλανό πίνακα έχουμε για ότι f (), mathmatica -5
Μαθηματικά Γ Λυκείου άρα η f γνήσια αύξουσα στο [, ) και για ότι f (), άρα η f γνήσια φθίνουσα στο (,]. Οπότε στο παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f() ln( ), γιατί οπότε ln( ) ln ln( ) ln. Επίσης επειδή f() και το (,) έχει μοναδική ρίζα στο (,) το και αφού και f() ln( ) ln ln ln lim lim το limf() και f γνήσια αύξουσα στο A [, ) θα DLH είναι f(a) [f(), limf()) [ln( ),). Και αφού το [ln( ),) τελικά έχει μοναδική ρίζα το. Ε. Η g είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Oι εφαπτόμενες στα A(,f( )) και B(,g( )) εχουν εξισώσεις y f( ) f ( )( ) () και y g( ) g ( )( ) (). Η () τέμνει το yy για στο y f( ) f ( ) και η () στο y g( ) g ( ) και αφού f() g() είναι f( ) g( ) και f ( ) g ( ), άρα από y f( ) f ( ) προκύπτει ότι y g( ) (g ( ) ) g( ) g ( ) y, άρα οι εφαπτόμενες τέμνονται στο ίδιο σημείο του yy. Ε. Από f () έχουμε ότι ( )( ) f () (). ( ) ( ) Τώρα η συνάρτηση h() είναι παραγωγίσιμη με και h () ( ) επειδή h () και h () και h () η h είναι γνήσια αύξουσα στο (,] και γνήσια φθίνουσα στο [, ). Άρα στο παίρνει μέγιστη τιμή το h() 4 και επειδή h( ) - + - + - + + Α () + - Α() 9 Ο.μ mathmatica -5
και Διαφορικός Λογισμός h() ισχύουν h( )h(),.. h()h(). Άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχουν r (,),r (,) ώστε h(r ) h(r ), δηλαδή η h() έχει δύο ρίζες και μοναδικές μία r (,] και μία r [, ) λόγω της μονοτονίας σε κάθε διάστημα που ανήκουν και για το λόγο αυτό θα αλλάζει και το πρόσημο των τιμών της h()εκατέρωθεν τους και αυτό h() αφού f () ( ) A(r,f(r )),B(r,f(r )). σημαίνει ότι η f έχει δύο σημεία καμπής τα α. Τώρα επειδή για το r (,] ή r [, ) ισχύει σαν ρίζα της r r r ότι r ( r ) r r και επίσης r r r r ( r ) δηλαδή άρα f (r r r r r ) r r. h() και r r f (r ) ln( r ) r r f (r ) r r οπότε f (r ) (r )( r ). β.και επίσης ισχύουν ( r ) r r και ( r ) και με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει ΘΕΜΑ 9 r ( r ) rr r ( r ). r r Προτείνει ο XRIMAK Έστω μια συνάρτηση f(),που ορίζεται στο [,] και είναι παραγωγίσιμη και ισχύει: f () f () f () για κάθε [,]. Ε. α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει c (,) τέτοιο ώστε f (c) f() f(). β. Να αποδείξετε ότι f() και f(). γ. Να βρείτε τη μονοτονία της f() και να αποδείξετε ότι f () για κάθε [,]. δ. Να αποδείξετε ότι f() για κάθε [,]. Aν t (,) τυχαίος, να δείξετε ότι: Ε. α. Υπάρχει r (,t) τέτοιο ώστε tf (r ) f(t). β. Υπάρχει r (t,) τέτοιο ώστε (t )f (r ) f(t). γ. Να βρείτε τον τύπο της f() για κάθε [,]. mathmatica -5
Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε. α) Η f είναι συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο(,) ως παραγωγίσιμη στο [,], οπότε από το Θ.Μ.Τ.για την f στο[,] θα υπάρχει c (,) ώστε να ισχύει f() f() f (c) f() f(). β) Επειδή λόγω υπόθεσης θα ισχύει από (Εα) ότι, (f() f()) f () f () f () f() f () f() (f() ) (f() ) και επειδή όταν f (c) f () f () ισοδύναμα θα έχουμε (f() ) (f() ) άρα όταν f(),f(). γ) Λόγω του (f() ) (f() ) ισχύει μόνο f () f () f () αφού f(),f() θα ισχύει ότι f () 4 f (), άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο [,]. Β τρόπος Αφού f '() f () f () διότι f (),f (), η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο [,]. δ)αφού f γνήσια αύξουσα στο A [,] και συνεχής θα ισχύει ότι f(a) [f(), f()] [, ], άρα θα ισχύει f(), [,]. Ε. α) Στο διάστημα [,t],t (,) σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ.για τηνf θα υπάρχει r f(t) f() (,t), ώστε να ισχύει f (r ) tf (r ) f(t). t Ε. β) Τώρα στο διάστημα [t,] σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ.για τηνf θα υπάρχει r (t,) f(t) f() ώστε να ισχύει f (r ) (t )f (r ) f(t). t γ) Λόγω (Εγ) θα ισχύουν ότι f (r ),f (r ) οπότε σύμφωνα με τα (Εα), (Εβ) θα ισχύουν, f(t) f(t) f(t) t και f(t) t για t t κάθε t (,), άρα τελικά f(t) t,t (,) και αφού f(),f() θα είναι f(), [,]. mathmatica -5
Διαφορικός Λογισμός ΘΕΜΑ 94 Προτείνει ο Απόστολος Τιντινίδης Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και κοίλη στο α,β. Αν γνωρίζετε ότι f α f β τότε: Ε. Να δείξετε ότι: fαfβ. Ε. Να βρείτε το πρόσημο της f. Ε. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον α,β f f. τέτοιο ώστε Ε. Αφού η f είναι κοίλη είναι και η f γνησίως φθίνουσα στο [α,β]. Η f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) f(β). Συνεπώς από θεώρημα Roll θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ). Ακόμη α ξ β και αφού η f είναι κοίλη, η f είναι γνησίως φθίνουσα, άρα και f(α) f (ξ) f (β) f (α) f (β) f (α)f (β). Ε. Είναι για α ξ f (α) f () f (ξ) f (), άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,ξ] ( αφού είναι και συνεχής στο ξ ). Έτσι για α f() f(α) f(). Ακόμη για ξ β f (ξ) f () f (β) f (), άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ξ,β). Έτσι για β f() f(β) f(). Οποτε f(), για κάθε (α,β), και f(α), f(β). Ε. Έστω ότι ισχύει f() f () για κάθε (α,β), τότε και f () f() f () f() ( f()), δηλαδή η Έτσι για g() f() θα είναι γνησίως φθίνουσα στο (α,β). α β α β g(α) g(β) f(α) f(β), άτοπο. (α,β) τέτοιο ώστε f( o) f ( o). Συνεπώς θα υπάρχει ένα τουλάχιστον o ΘΕΜΑ 95 Δίνεται η συνάρτηση f() ln. Προτείνει ο XRIMAK mathmatica -54
Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να δείξετε ότι είναι γνήσια αύξουσα σ' αυτό. Ε. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f είναι κυρτή ή κοίλη καθώς και τα ενδεχόμενα σημεία καμπής. f() Ε. Να βρείτε το όριο lim. ln Ε4. Να λύσετε την εξίσωση f() f. Ε. Έχουμε. Οπότε (). Για να ορίζεται η f, πρέπει R και που ισχύει για κάθε R. Επομένως η f έχει πεδίο ορισμού το R. Η συνάρτηση και που από την () που ισχύει για κάθε είναι παραγωγίσιμη στο R ως σύνθεση των παραγωγίσιμων. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμων στο R ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Η συνάρτηση f() ln παραγωγίσιμη στο R ως παραγωγίσιμων των συνεχών ln και Η f είναι συνεχής στο R ως παραγωγίσιμη στο R. είναι. Αρα f (), R. ( ) Επειδή για κάθε R ισχύει f (), έχουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Ε. Η f παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με f () ( ) f () ( ) f (). ( ) Επομένως η f στρέφει τα κοίλα άνω στο (,] και τα κοίλα κάτω στο [, ). Παρουσιάζει σημείο καμπής στη θέση, το f() mathmatica -55
Διαφορικός Λογισμός Ε. f() ln( ) lim lim lim lim lim. ln ln DLH Ε4. Η εξίσωση f() f() έχει προφανή λύση την. Για έχουμε Για έχουμε f 9 f() f() f() f(). f 9 f() f() f() f(). Οπότε η προφανής λύση είναι και μοναδική. Β τρόπος f() f() f() f() g() g() όπου g() f() με R Έστω f( ) f( ) f( ) f( ) f g( ) g( ) Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο R οπότε και. Άρα η εξίσωση γίνεται g g() g( ). ΘΕΜΑ 96 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ln. 4 Προτείνει ο Χρήστος Κανάβης Ε. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ακριβώς ένα σημείο τομής με τον '. Ε. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. Ε. Να δείξετε ότι f 4ln για κάθε. mathmatica -56
Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε. Για να ορίζεται η f πρέπει 4. Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι A,,, οπότε f ln ln ln,. 4 Είναι f() ln ή ή. Άρα το σημείο A(,) είναι μοναδικό σημείο τομής με τον. Ε. Η συνάρτηση f που ισχύει όταν είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Η συνάρτηση ln * R ως σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων ln και είναι παραγωγίσιμη στο f ln, άρα η συνάρτηση f δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη.. Ε. Είναι ln ln f ln ln ln ln Έστω για mathmatica -57
ln ln Διαφορικός Λογισμός f 4ln 4ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 4 4 4 4 4 Που ισχύει. ΘΕΜΑ 97 Προτείνει ο XRIMAK Ε. Για τις συναρτήσεις h,g ισχύει πως h() g() για κάθε κοντά στο, όπου R { }. Να δείξετε ότι: α. lim g() lim h(), β. lim h() lim g(). Ε. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει : f για κάθε R. α. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη καθώς και τα ενδεχόμενα σημεία καμπής. β. Να δείξετε ότι η g() f() είναι γνησίως αύξουσα στο R. γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. δ. Να υπολογίσετε το όριο Ε. α. Αρχικά o lim f f. limg(). Άρα κοντά στο o ισχύει h() g(), οπότε h() g() και με κριτήριο παρεμβολής lim o h() αφού h() g(). β. Όμοια για το limh(). o h() g() και με κριτήριο παρεμβολής lim, g() άρα limh() o Άρα κοντά στο o ισχύει h() g() οπότε o άρα mathmatica -58
Μαθηματικά Γ Λυκείου limg() o αφού h() g(). Ε. α. Η παράγωγος γράφεται f (), άρα είναι γνησίως αύξουσα στο R αφού είναι και συνεχής. ( ) Τώρα f () [ ] είναι f (),, - + - - + - + + f () + - + f() Σ.κ 4 Σ.κ αρα f() κυρτή στα διαστήματα (,],[, ) και κοίλη στο διάστημα [,] με σημεία καμπής στο,. β. Είναι g () f () (λόγω (α)) άρα η g γνησίως αύξουσα. γ. Για το σύνολο τιμών έχουμε: Για g9 g() g() f() f() 4 f() f() 4 lim f() lim f() 4 lim f(). Για g9 g() g() f() f() f() f() lim f() lim f() lim f(). Άρα f((, )) (, ). E E δ. Από Θ.Μ.Τ. για την f στο [, ] υπάρχει ξ,, τέτοιο ώστε Είναι f( ) f() f(ξ) f( ) f(). ( ) f () 9 f( ) f() ξ f () f (ξ) f ( ) f () f ( ) mathmatica -59
Είναι Διαφορικός Λογισμός lim f () lim lim DLH DLH lim lim lim D LH D LH και επειδή lim( ) θα είναι και lim f ( ). Άρα σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει f( ) f() lim[f( ) f()] lim () 44. ( ) ΘΕΜΑ 98 Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη f : R lim f(). Να δείξετε ότι : Ε. Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Ε. Ισχύει f() για κάθε R. Προτείνει ο χρήστηςparmnids5 R με f () για κάθε R, ώστε Πηγή: Γ. Μπαϊλάκης (εκδόσεις Σαββάλας) Ε. Αφού για κάθε R, f (), η f() στρέφει τα κοίλα άνω και συνεπώς η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο της είναι κάτω από τη γραφική παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. Δηλαδή ισχύει f() y για κάθε R. εφ Έστω τώρα ότι υπάρχει o τέτοιο ώστε Η εξίσωση εφαπτόμενης στο o είναι y f( ) f ( )( ) o y f ( ) f ( ) f( ). o f ( o). Άρα η () γίνεται o f() f ( ) f ( ) f( ) και επειδή είναι lim f ( ) f ( ) f( ) lim(f ( )) και lim f() λόγω () o προκύπτει άτοπο. Aρα για όλα τα ισχύει f (). Επειδή όμως η f είναι γνησίως μονότονη, αυτή έχει το πολύ μία ρίζα και αφού η f δεν αλλάζει πρόσημο (λόγω της ()) εκατέρωθεν της ρίζας αυτής (αν έχει), η συνάρτηση f θα είναι γνησίως φθίνουσα. mathmatica -6
Μαθηματικά Γ Λυκείου Β τρόπος. Αν υποθέσουμε πως η f έχει τουλάχιστον δυο ρίζες α,β με f (α) f (β), τότε με θεώρημα Roll για την f στο [α,β] θα υπάρχει ξ (α,β), ώστε f (ξ) άτοπο διότι f () από υπόθεση. Άρα η f () έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα, οπότε και λόγω της () προκύπτει πως η f είναι γνησίως φθίνουσα. Ε. Υποθέτουμε ότι υπάρχει R ώστε να ισχύει f( ). Για κάθε f R f() f( ) f( ) υπoθ. lim f() lim f( ) lim f( ) lim f R f( ) f( ) f( ) f( ), άτοπο. Έτσι ισχύει f() για κάθε R. ΘΕΜΑ 99 Προτείνει ο Περικλής Παντούλας y Δίνεται η μη μηδενική συνάρτηση f : R R με f y 4 f f y για κάθε, y R. Ε. Να αποδείξετε ότι f. Ε. Αν ισχύει f, τότε να αποδείξετε ότι: α. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R. β. Η συνάρτηση g : R R γ. Να βρεθεί ο τύπος της f. με g f είναι σταθερή στο R. Ε. Θέτοντας στη συναρτησιακή y και με δεδομένο ότι η συνάρτηση είναι μη μηδενική προκύπτει το ζητούμενο f 4 f f f. Ε. α. Για τυχαίο είναι h h f( h) f( ) 4 f( )f(h) f( ) 4 f(h) o o lim lim f( )lim h h h h h h mathmatica -6
Διαφορικός Λογισμός h hf(h) 4 f( )lim 4 f( )ln. h h h f(h) f(h) f() Αφού lim lim f (), και h h h h h h 4 4 ln4 lim lim h DLH h ln4. h Άρα, η f παραγωγίσιμη με f () f()ln. β. Εύκολα προκύπτει ότι ln ln c όμως g άρα g(). g f f f f f, οπότε g() g() f f. γ. Από (β) ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f :(, ) R με f() lnα αln,α. Προτείνει ο XRIMAK Ε. Να βρείτε το α, αν ισχύει f() για κάθε. Για α : Ε. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να δείξετε ότι κάθε. Ε. Να λύσετε την εξίσωση,. για β γ Ε4. Να προσδιορίσετε τους θετικούς β,γ αν ισχύει β γ για κάθε. Πηγή: Γ.Μιχαηλίδης (εκδόσεις Διόφαντος) και f(α) Ε. Αφού f,, θα ισχύει f f α,, οπότε το f α είναι ολικό ελάχιστο της f και επειδή f παραγωγίσιμη (πράξεις με παραγωγίσιμες συναρτήσεις) στο α, (εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της) από το θεώρημα του Frmat προκύπτει ότι: fα :. Όμως α α f lnα fα lnα lnα lnα lnα α. α mathmatica -6
Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε. Για α f ln με f και f. Από τον πίνακα μονοτονίας ή όπως παρακάτω έχουμε - + - - - + - + + f () - + + f() Ο. ε 9 f συνεχης στo, Για f f γνησίως φθίνουσα στο, και f συνεχης στo, για f f γνησίως αύξουσα στο,, οπότε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f δηλαδή, f ln ln 9 ln ln ln,,. Ε. Είναι αφού f και ln ln ln ln f f στo,, f f f f, και fστo, f f f f,,. Ε4. Από το ερώτημα (Ε) έχουμε: β γ Η σχέση β γ : ισχύει για κάθε,, ισχύει ότι β γ β γ ( ) :,,. οπότε για θα και από την () πάλι θα έχουμε ότι και με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε β γ β γ (4). β γ β γ Άρα από () και (4) έχουμε β β και γ γ, β β β β E β και β β και β γ β γ. Όμως άρα αναγκαία β β και ΘΕΜΑ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R f συν f για κάθε R. γ γ γ γ γ γ E γ. οπότε γ γ Προτείνει ο Στάθης Κούτρας R, για την οποία ισχύει η σχέση: mathmatica -6
Διαφορικός Λογισμός Ε. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Ε. Να αποδείξετε ότι : f f y y, για κάθε R. Ε. Να δείξετε ότι: f, R. Ε4. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και την αντίστροφη f της f. Ε. Η συνάρτηση συνf()είναι παραγωγίσιμη στο R ως σύνθεση των παραγωγίσιμων συν και f(). Και τα δυο μέλη της f() συνf() είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων οπότε παραγωγίζοντας και τα δυο μέλη προκύπτει ότι f () ημf()f () (ημf())f () και επειδή ημf() λόγω της ισότητας η f (), R, άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο R. Ε. Για y προφανώς ισχύει σαν ισότητα. Για y έστω ότι y, f() f(y) y αρκεί να δείξουμε ότι Τώρα στο διάστημα [,y] επειδή f παραγωγίσιμη σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει ξ (,y) ώστε να ισχύει f() f(y) f(ξ) και επειδή y f() f(y). ημf(ξ) y ημf(ξ) ημf(ξ) f(ξ) θα είναι ημf(ξ) Επομένως αρκεί να δείξουμε από ότι που ισχύει αφού ημf().. Ε. Αρκεί να δείξουμε ότι f() συνf(), δηλαδή αρκεί συνf(), R που ισχύει. Ε4. Α τρόπος: Επειδή είναι lim και lim λόγω της f, R από κριτήριο παρεμβολής θα είναι και limf() mathmatica -64
Μαθηματικά Γ Λυκείου Ακόμη είναι lim και lim λόγω της f, R από κριτήριο παρεμβολής θα είναι και limf() άρα το σύνολο τιμών της συνεχούς και γνήσιας αύξουσας συνάρτησης f στο R f 9 είναι το f(r) ( lim f(), lim f()) (, ) R που είναι πεδίο ορισμού της f που ορίζεται επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα άρα και ' ' το f () προκύπτει ότι και έτσι για όπου f(f ()) συν(f(f ())) f () συν f (). Β τρόπος : Επειδή είναι lim θα ισχύει ότι στο και από f() θα ισχύει ότι και επειδή lim από κριτήριο f() παρεμβολής θα έχουμε ότι lim άρα αφού f() θα είναι lim f() f() και ανάλογα επειδή lim και f() θα είναι και limf() άρα το σύνολο τιμών της συνεχούς και γνήσιας αύξουσας f στο R είναι f(r) ( lim f(), lim f()) (, ) R που είναι πεδίο ορισμού της f που ορίζεται επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα άρα και ' ' και έτσι για όπου το f () προκύπτει ότι f(f ()) συν(f(f ())) f () συν f (). ΘΕΜΑ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, Προτείνει ο Στάθης Κούτρας R, για την οποία ισχύει η σχέση: f f για κάθε,. Ε. Να εκφράσετε την f συναρτήσει μόνο του f για κάθε Ε. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη. Ε. Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα. Ε4. Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης Ε. Έχουμε f. f f f f f f f f f f. Η συνάρτηση σύνθεση των παραγωγίσιμων,. f () είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως και f(). Και τα δυο μέλη της mathmatica -65
Διαφορικός Λογισμός f () f () f () είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο (, ) ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων οπότε παραγωγίζοντας και τα δυο μέλη προκύπτει ότι f f f f f f f f f f f f f f f, για κάθε,. ( Το f f εκ τούτου f f f θεωρούμενο ως τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα και ως f f για κάθε f() R με,. Ε. Από το (E) έχουμε f f f f για κάθε,. Επιπλέον η f συνεχής στο, ως παραγωγίσιμη και συνεπώς γνησίως φθίνουσα στο,. f Ε. Η συνάρτηση f f είναι παραγωγίσιμη στο f f, ως πράξεις παραγωγίσιμων, με παράγωγο f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f κάθε,, f f f f f 6 με το ίσον να ισχύει μόνο αν. f f f f f f Διότι αν υπάρχει (, ) ώστε f( ) τότε από την f έχουμε 6 o o. για.αφού η f γνήσια μονότονη είναι και ' ' άρα αντιστρέφεται. Πριν όμως βρούμε τον τύπο της πρέπει να βρούμε το πεδίο ορισμού της.( που είναι βέβαια το σύνολο τιμών της f ). mathmatica -66
Μαθηματικά Γ Λυκείου Είναι f f για κάθε f Θεωρούμε την T(),. με πεδίο ορισμού το R Έχουμε ότι είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων με T (). Άρα η T είναι γνησίως φθίνουσα οπότε, συνεπώς υπάρχει η αντίστροφη της T. Η f f για κάθε, T για κάθε f T f f Άρα το σύνολο τιμών Όμως το σύνολο τιμών της f γίνεται,. f(α)της f ταυτίζεται με το σύνολο τιμών τη T, T είναι το πεδίο ορισμού της T που είναι το R. Συνεπώς f(α f ) R. Οπότε για την f f(α ), f έχουμε πεδίο ορισμού το Α f και αν όπου βάλουμε το R και σύνολο τιμών το f () στην f f f ή θα έχουμε και τον τύπος της f (f ()) f () (f(f ())) f () f (), R. ΘΕΜΑ Ε. Να αποδείξετε ότι για κάθε ln,. Προτείνει ο XRIMAK Ε. Μια κατακόρυφη ευθεία t, t, τέμνει τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g ln στα σημεία A,B αντίστοιχα. α. Να βρείτε την απόσταση AB συναρτήσει του t, και έστω ότι AB dt. β. Να δείξετε ότι η εξίσωση dt έχει ακριβώς μια λύση και μάλιστα αυτή ανήκει στο διάστημα,. γ. Να αποδείξετε ότι η απόσταση d γίνεται ελάχιστη για κάποιο t,. mathmatica -67
Διαφορικός Λογισμός Ε. Θεωρούμε την συνάρτηση h(), R με h (). Σύμφωνα με τον πίνακα προσήμου της h και μεταβολών της h έχουμε ολικό ελάχιστο στο o το h() δηλαδή για κάθε R έχουμε, h() h(). Για κάθε, ln ln ln άρα ισχύει,θέτουμε όπου το lnστην ln - + - + h () h() Ο. ε 9 και έχουμε για κάθε,. t Ε. α. Είναι At,f(t) At, Aν Β και Α B t,g(t) B t,lnt. t t Β Α (t t) ( t) d(t) AB y y ln lnt ερώτημα (Ε). από t β. Η d(t) lnt είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο (, ) ως πράξεις t t παραγωγίσιμων συναρτήσεων με παράγωγο, με d (t), d (t) άρα η d (t) γνησίως αύξουσα στο (, ).. Η d'(t) είναι συνεχής στο (,] ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων και d (), limd (t), άρα κοντά στο υπάρχει α τέτοιο ώστε : d (α) t οπότε από θεώρημα Βolzano, υπάρχει d (t) γνησίως αύξουσα το t μοναδικό. γ. Έχουμε d (t), η όποια t μηδενίζεται για μοναδικό t α,, σύμφωνα με το ερώτημα (Εβ). d9 t t d () d (t ), d9 t d () d (t ). t α,, : d (t ) και αφού η t t + + d (t) t t - + d (t), t Άρα η απόσταση d γίνεται ελάχιστη για κάποιο t d(t) Ο. ε 9 t,. t mathmatica -68
Μαθηματικά Γ Λυκείου ΘΕΜΑ 4 f ln. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο Προτείνει ο Χρήστος Κανάβης Ε. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Ε. Να βρεθούν τα όρια lim f και lim f. Ε. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης και το σημείο τομής τους. Ε4. Να προσδιοριστεί η θέση της C f ως προς τις ασύμπτωτες. Πηγή: Annals corrigés - Mathématiqus - Bac, Vuibrt Ε. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Πρέπει που ισχύει για κάθε R. Άρα η f έχει πεδίο ορισμού το R. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Η συνάρτηση ln( ) είναι παραγωγίσιμη στο R ως σύνθεση των παραγωγίσιμων ln και. Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f (),R. Έχουμε : f () ln ln, Οπότε έχουμε από τον διπλανό πίνακα - ln + η f είναι γνησίως φθίνουσα στο - + (,ln] και γνησίως αύξουσα στο [ln, )].Άρα παρουσιάζει ολικό + + f () ελάχιστο στη θέση ln - + με τιμή f () ln ln. h() Ο. ε 9 ln ln ln ln ln f(ln) ln( ) ln ln ln ln. Ε. Έχουμε lim f() lim ln( ) lim ln lim ln( ) mathmatica -69
Διαφορικός Λογισμός lim ln( ). Επίσης Οπότε ln( ) lim lim lim lim. D LH ( ) lim f() lim ln( ) lim ln lim ln( ) ln( ) lim ln( ) lim ( ). Ε. Επειδή η f είναι συνεχής στο R, δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Επειδή lim f() και lim f(), η f δεν έχει οριζόντιες ασύμπτωτες. Είναι ln( ) f() lim lim lim DLH και lim f() lim ln( ) lim ln( ) Οπότε η y πλάγια ασύμπτωτη στο. lim ln( ) ln lim ln. Επίσης ln( ) f() lim lim lim DLH και lim f() lim ln( ) lim ln( ). Άρα η y πλάγια ασύμπτωτη στο. Ε4. Για έχουμε : mathmatica -7
Μαθηματικά Γ Λυκείου f() ln( ) ln( ) ln( ) ln ln ln που ισχύει για κάθε. Για έχουμε f() ln( ) ln( ) που ισχύει για κάθε. Άρα η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τις ασύμπτωτες. y y f ln y ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η συνάρτηση ln f(),. Προτείνει ο XRIMAK Ε. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Ε. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. Ε. Για τις διάφορες τιμές του κ R, να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης κ,. συν Ε4. Να λύσετε την εξίσωση ημ (ημ) συν στο διάστημα π (, ). Ε5. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (, ), ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο της M(ξ,f(ξ)) να τέμνει τον άξονα yy στο. Ε6. Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει Ε7. Να υπολογίσετε το όριο ln ( ) ln f( ) f(). lim ln ( ) ln. Πηγή: Β. Παπαδάκης (εκδόσεις Σαββάλας) και Γ. Μιχαηλίδης (εκδόσεις Διόφαντος) mathmatica -7
Διαφορικός Λογισμός f Ε. Η f παραγωγίσιμη στο, ως πηλίκο παραγωγίσιμων με ln. Τότε f, ενώ f. Η f λοιπόν είναι γνησίως αύξουσα στο (,] και γνησίως φθίνουσα στο [, ) και παρουσιάζει ολικό μέγιστο για το f. ln f και - + -ln + + - + + + f () + + - f() 9 Ο.μ Ε. Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (,] και συνεπώς f (,] (lim f,f ] (, ] αφού ln lim f lim lim ln. Επιπλέον η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [, ) και συνεπώς f [, ) lim f,f, αφού ln lim f lim lim, όπου στο τελευταίο όριο έγινε χρήση DL Hospital. f Df f (,] f [, ),,,. Άρα τελικά Ε. Η εξίσωση k, είναι ισοδύναμη με την f k. Αφού για, ln ln ln k k f() k Οπότε : k k ln γιαk η εξίσωση έχει μοναδική λύση, y ln f(),. y k για y k, k k η εξίσωση έχει δύο λύσεις, y ln f(),. mathmatica -7
Μαθηματικά Γ Λυκείου y y k γιαk η εξίσωση έχει μοναδική λύση, ln f(),. για y y k, k k η εξίσωση είναι αδύνατη. ln f(),. Για Ε4. Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται συν ημ ημ συν συν ln ημ ημ ln συν ln ημ ln συν f ημ f συν. π, ημ συν, η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, συνεπώς είναι. Άρα f ημ f συν ημ συν, δηλαδή π. 4 Ε5. Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της lnξ lnξ y fξ fξ ξ y ξ. ξ ξ Αν αυτή διέρχεται από το σημείο, τότε έχουμε: ξ ξ ξ ξ M ξ,f ξ είναι lnξ lnξ lnξ lnξ ξ ξ lnξ lnξ lnξ ξ. Θεωρούμε τη συνάρτηση Η h ln,. h για h γνησίως αύξουσα στο, και το σύνολο τιμών h συνεχής ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμη με κάθε. Συνεπώς η της είναι h, lim h, lim h,. mathmatica -7
Διαφορικός Λογισμός Επειδή λοιπόν το h,, υπάρχει ξ, το οποίο είναι και μοναδικό λόγω μονοτονίας, τέτοιο ώστε hξ lnξ ξ που είναι το ζητούμενο. Ε6. Αρκεί ισοδύναμα να δείξουμε ότι f ln ln f ln ln f f. ln ln f f Θεωρούμε τη συνάρτηση s ln, η οποία είναι παραγωγίσιμη με ln s f. Από Θ.Μ.Τ. για την r,, τέτοιο ώστε s s ln ln s στο,, υπάρχει s r f r. Οπότε η ζητούμενη ανισότητα γίνεται : f f r f f f r f που ισχύει, αφού r f f r f γιατί η f γνησίως φθίνουσα για. Ε7. Από στην σχέση f ln ln f ln ln lim f lim lim f lim επειδή είναι σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει ΘΕΜΑ 6 Έστω η f δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R f( ) f( ) και f (). Ε. Να λύσετε την εξίσωση f (). Ε. Αν επιπλέον η f είναι συνεχής στο lim ln ln. Προτείνει η Μυρτώ Λιάπη R για την οποία ισχύουν, και ισχύει f() f(), να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τις θέσεις των ολικών ακροτάτων στο,. Πηγή: Α.Μπάρλας (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική) mathmatica -74
Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε. Παραγωγίζοντας την ισότητα αφού f παραγωγίσιμη προκύπτει f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) και για ισχύει ότι f () f (), άρα ρίζα της f () το. Τώρα επειδή ισχύει f () η f είναι, γιατί διαφορετικά θα υπάρχουν ώστε να ισχύει f ( ) f ( ) και από Θεώρημα Roll θα υπάρχει ρίζα της f () στο διάστημα που ορίζουν οι, που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης. Άρα η f () έχει μοναδική ρίζα την. Ε. Αφού επιπλέον η f και συνεχής θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [,], άρα θα είναι f () ή f () για [,]. Αν τώρα ισχύει f (), η f θα είναι γνήσια αύξουσα στο [,] και επειδή f () για θα ισχύει ότι f () f (). Άρα η f γνήσια φθίνουσα στο [,], άτοπο αφού είναι f() f(), οπότε θα ισχύει ότι f () για [,]. Έτσι η f θα είναι γνήσια φθίνουσα στο [,], οπότε για θα ισχύει ότι f () f () που σημαίνει ότι f γνήσια αύξουσα στο [,] και για θα ισχύει ότι f () f () που σημαίνει ότι f γνήσια φθίνουσα στο [,]. Επομένως η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο το f() και τοπικά ελάχιστα στα, και αφού από υπόθεση ισχύει f() f() και f() f() το f() θα είναι το ολικό ελάχιστο στο [,]. ΘΕΜΑ 7 α Προτείνει ο XRIMAK Δίνεται η συνάρτηση f ln α,α R. Αν f για κάθε, τότε: Ε. Να βρείτε τον α R. Για την τιμή του α που βρήκατε: Ε. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Ε. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Ε4. Να υπολογίσετε τα όρια lim f και lim f. Ε5. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και να λύσετε την εξίσωση f. ln λ ln λ 6. Ε6. Να λύσετε την ανίσωση λ 6 λ mathmatica -75
Διαφορικός Λογισμός Πηγή: Χ.Γκουβιέρος Θ. Διαμαντόπουλος (εκδόσεις Ξιφαράς) Ε. Αφού f() και f() θα ισχύει ότι f() f(), (, ) οπότε στο (, ) η f παρουσιάζει ακρότατο και επειδή είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με α f () σύμφωνα με το θεώρημα του Frmat θα ισχύει ότι f () α α. Ε. Είναι για α η f () έχουμε από τον διπλανό πίνακα ότι η f είναι : γνήσια φθίνουσα στο (,] και γνήσια αύξουσα στο [, ), άρα στο έχει ολικό ελάχιστο το f(). - + - - + + + + f () - - + f() Ο.ε 9 Ε. Είναι f (), οπότε από τον διπλανό πίνακα έχουμε ότι η f : κυρτή στο (,] και κοίλη στο [, ) και το (, f()) σημείο καμπής της f. - + + + - - + + f () - + - f() 4 Σ.κ 4 Ε4. Είναι lim(ln) και lim, άρα έχουμε απροσδιοριστία μορφής ln και τότε η f() και αφού ln lim( ln) lim lim το lim ( ln ), DLH άρα limf() και επιπλέον limf() lim(ln ). mathmatica -76
Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε5. Λόγω του ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα στο Δ (, ] και γνήσια αύξουσα στο [, ) και συνεχής θα ισχύει f(δ ) [f(), lim f()) [, ) και f(δ ) [f(), lim f()) [, ) σύμφωνα με τα (E) και (E4) και θα έχει σύνολο τιμών το f(δ ) f(δ ),. Ε6. H ανίσωση γράφεται ισοδύναμα : f(λ ) f(λ 6) f(λ ) f(λ 6) και επειδή λ, λ 6, λ R και f γνήσια αύξουσα στο [, ) ισοδύναμα θα έχουμε ότι λ λ 6 λ 4 λ,λ. ΘΕΜΑ 8 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, R. Δίνεται επίσης ότι ο μιγαδικός δείξετε ότι: Ε. f και f. Ε. Η εξίσωση f Ε. Η εξίσωση f f Προτείνει ο Περικλής Παντούλας R τέτοια ώστε, f για κάθε if z είναι φανταστικός και έχει μέτρο. Να if έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα,. έχει τουλάχιστον μία λύση στο,. Πηγή: Γ.Μπαϊλάκης (εκδόσεις Σαββάλας) Ε. Ο z είναι φανταστικός σύμφωνα με την υπόθεση, οπότε θα ισχύει, if() if() z z if( ) if() f()i f()i f()f() f()i f()i f() f().. f()f() Επειδή f (),για κάθε [,], η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. Άρα f() f(). Από την () προκύπτει ότι οι f(),f() είναι ετερόσημοι, οπότε f() f() (). Επίσης z... f () f () (). Από τις (), () και () προκύπτει ότι f() και f(). mathmatica -77
Διαφορικός Λογισμός Ε. Έστω g() f(),για κάθε [,]. Η g είναι συνεχής στο, ως παραγωγίσιμη. Επίσης g()g(). Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzanoυπάρχει τουλάχιστον ένα ξ, τέτοιο ώστε η g(ξ) ξ f(ξ) f(ξ) ξ. Επειδή g () f () η g είναι γνησίως αύξουσα οπότε και. Άρα η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική. Ε. Έστω h() f () για κάθε [,]. Η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, ως άθροισμα συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ακόμη h() 5 h(). h () f()f (). Άρα σύμφωνα με το θεώρημα. Roll υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ, ώστε η h(ξ) ξ f(ξ)f (ξ) f(ξ)f (ξ) ξ. τέτοιο ΘΕΜΑ 9 Έστω η συνεχής συνάρτηση f :, f ln ημπ για κάθε. Ε. Να βρείτε το f(). Ε. Να εξετάσετε αν η C f έχει ασύμπτωτες. Προτείνει ο Απόστολος Τιντινίδης R για την οποία ισχύει Ε. Να εξετάσετε αν υπάρχουν α,β R, ώστε για τη συνάρτηση g με α f(),αν g() β,αν να ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Roll στο [,]. Πηγή: Γ.Μπαϊλάκης (εκδόσεις Σαββάλας) Ε. ln ημ(π) Για έχουμε f(). Για επειδή είναι f συνεχής στο, ισχύει ότι ln ημ(π) f() limf() lim ( π) π, mathmatica -78
Μαθηματικά Γ Λυκείου ln ln αφού είναι lim lim lim και DLH ημ(π) ημ(π) π συν(π) lim lim lim π. DLH Άρα ln ημ(π), f() π,... Ε. Επειδή είναι συνεχής στο (, ) δεν έχει κατακόρυφες στο διάστημα ημ(π) αυτό και εξετάζουμε στο, δηλαδή ψάχνουμε το limf() lim ln και ημ(π) ημ(π) επειδή lim( ) και lim ln π πlim ln π π αφού ln ημ(π) lim( ln) lim lim( ) και lim το limf(), που DLH π σημαίνει ότι η f δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο. ημ(π) Για την οριζόντια ψάχνουμε το lim f() lim ln. ln Τώρα επειδή το lim lim και ημ(π) ημ(π) και lim, ln ημ(π) lim f() lim ημ(π) το lim σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής το limf() που σημαίνει ότι, ο είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο. Ε..Για να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Roll για την g στο, θα πρέπει η g να είναι συνεχής στο g() g(),, παραγωγίσιμη στο (,) και mathmatica -79
Αφού Διαφορικός Λογισμός limf(), η g γίνεται συνεχής στο όταν () και επειδή limf() π θα είναι lim(α f()) β α β limg() lim(α f()) α π και για να είναι συνεχής και στο πρέπει g() α π, άρα για να ισχύει και g() g() πρέπει και β α π() που είναι αδύνατο λόγω της (),άρα δεν υπάρχουν α,β ώστε να ισχύουν οι προυποθέσεις του Roll. ΘΕΜΑ Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : (, ) R ισχύει : f()g() ln για κάθε. Προτείνει ο Διονύσης Βουτσάς με την f παραγωγίσιμη για τις οποίες Ε. Αν οι συναρτήσεις έχουν πλάγιες ασύμπτωτες στο τις ε,ε αντίστοιχα, να δείξετε οτι οι ευθείες ε,εείναι κάθετες. Ε. Αν ισχύει πως lim h βρεθεί ο τύπος της f(). f( 5h) f( h) ln συν(4h) και f(), να Ε. Αν η πλάγια ασύμπτωτη της g() διέρχεται από το σημείο A(, ), ποια είναι η εξίσωση της; Ε. Από την ανισότητα έχουμε ισοδύναμα ότι ισχύει f()g() ln ln f()g() ln ή ln f()g() ln και με διαιρώντας με προκύπτει ln f() g() ln (). Και αν οι ασύμπτωτες αντίστοιχα έχουν συντελεστές λ,λ θα ισχύει ότι f() g() ln lim λ, lim λ και αφού lim lim DLH από την () με κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι λλ άρα λλ, που σημαίνει ότι οι ασύμπτωτες είναι κάθετες μεταξύ τους. f( 5h) f( h) f( 5h) f() f() f( h) Ε. Είναι lim lim h ημ(4h) h ημ(4h) mathmatica -8
Μαθηματικά Γ Λυκείου f( 5h) f() f( h) f() 5 5h h 5f () f () lim h ημ(4h) 4 4 4h f (), αφού είναι t5h f( 5h) f() f( t) f() lim lim f () h 5h h αρα t t t th f( h) f() f( t) f() f( t) f() και lim lim lim f () h h h αρα t t t t t f( 5h) f( h) ln ln Άρα από την lim έχουμε f () h ημ(4h) ln οπότε και (f()), άρα ln f() c. Και αφού f() θα είναι f() c c c άρα ln f(),. ln ln Ε. Επειδή τώρα f() και lim, (όπως στην (Ε)) θα ισχύει ότι lim(f() ) που σημαίνει ότι η πλάγια ασύμπτωτη της f στο είναι η y, άρα λ και λόγω του (Ε) είναι λ οπότε η ασύμπτωτη της g στο θα είναι η y β και αφού περνά από το A(,) θα ισχύει β β 4. Επομένως θα είναι η y 4. ΘΕΜΑ Η συνάρτηση f :,,4, όπου το,4 δύο φορές παραγωγίσιμη με f και Προτείνει ο Περικλής Παντούλας είναι το σύνολο τιμών της, είναι f. Να δείξετε ότι: Ε. α. Υπάρχουν,, με, τέτοια ώστε β. Υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε f ξ. γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε o f f f. o o o o f f. mathmatica -8
Διαφορικός Λογισμός Ε. α. Η ευθεία : y τέμνει την C f σε ένα τουλάχιστον σημείο με c,. τετμημένη o β. Υπάρχουν ξ,ξ, με ξ ξ,, τέτοια ώστε f ξ f ξ. Πηγή: Χ.Γκουβιέρος Θ. Διαμαντόπουλος (εκδόσεις Ξιφαράς) Ε. α. Επειδή η f είναι συνεχής στο [,],από θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής έχουμε ότι υπάρχουν, [,] τέτοια ώστε f( ) και f( ) 4, αφού και 4 η ελάχιστη και μέγιστη τιμή αντίστοιχα σύμφωνα με την υπόθεση. Επειδή f(), f() έχουμε ότι f( ) f() f() f( ), επομένως τα, δεν είναι τα άκρα του διαστήματος [,]. Συνεπώς τα, (,). Επειδή η f λαμβάνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή σε αυτά, στα οποία είναι παραγωγίσιμη ως παραγωγίσιμη στο [,] από θεώρημα Frmat έχουμε ότι f ( ) f ( ). Ακόμα έχουμε ότι f( ),f( ) 4. β. Αν (,), τότε η f συνεχής στο [, ], η f παραγωγίσιμη στο (, ) ως παραγωγίσιμη στο [,]και f ( ) f ( ). Από θεώρημα Roll υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) (,), τέτοιο ώστε f(ξ). Όμοια αν (,). γ. Θεωρούμε την h() f()(f () f ()), [, ]. Η h είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων h( ) f( )(f ( ) f ( )) ( ( ) ), διότι και h( ) f( )(f ( ) f ( )) 4( 4 ) 4, διότι. Επομένως από θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) (,) τέτοιο ώστε h( ) f( )(f ( ) f ( )). Ε. α. Θεωρούμε την g() f(), [,]. Η g συνεχής στο [,], g() f(), g() f(). mathmatica -8
Μαθηματικά Γ Λυκείου Οπότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα c (, ) τέτοιο ώστε g(c ). Συνεπώς η ευθεία y τέμνει την γραφική παράσταση της f σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη c (,). β. Η f συνεχής [,c ], η f παραγωγίσιμη στο (,c ). Από ΘMT υπάρχει ξ (,c ) τέτοιο ώστε f(c ) f() c (c ) f(ξ ). c c c Η f συνεχής [c, ],η f παραγωγίσιμη στο (c,). Από ΘMT υπάρχει ξ (c,) τέτοιο ώστε f() f(c ) ( c ) c f(ξ ). c c c (c ) c c c Οπότε f(ξ ) f (ξ ). c c c c ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [, ] διάστημα (, ) f()f () f () για κάθε [,]. Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας, παραγωγίσιμη δύο φορές στο, για την οποία επίσης γνωρίζουμε ότι f() και Έστω και οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει z i. Να αποδείξετε ότι : Ε. H f δεν έχει σημεία καμπής. Ε. f () f(). Ε. H συνάρτηση g() f() διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, ). Ε4. H f είναι κοίλη. Ε5. f() 4, [, ]. Ε6. Η γραφική παράσταση της f είναι μέρος του γεωμετρικού τόπου των μιγαδικών z και ότι η εφαπτομένη της στο σημείο που είναι η εικόνα του z για τον οποίο το z γίνεται μέγιστο, είναι παράλληλη στον άξονα. Πηγή: Θέμα από την Συλλογή Επαναληπτικών Ασκήσεων του gaston Ε. Έστω ότι η f έχει σημείο καμπής στο τότε θα ισχύει f ( ) και αφού και τα δυο μέλη της f()f '() f '() είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο (,) ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων τότε παραγωγίζοντας και τα δυο mathmatica -8
Διαφορικός Λογισμός μέλη προκύπτει ότι f ()f () f()f () f () και για θα ισχύει ότι (f ( )) f ( ) (f ( )) f ( ), που είναι άτοπο αφού, R, άρα δεν έχει σημεία καμπής. Ε. Από f()f () f() ισχύει ότι f()f () f() τότε και (f ()) (f() ), [,], άρα θα είναι f () f() c και για θα είναι f () f() c c, άρα f () f() f () f(). Αν υπάρχει (,) ώστε g( ) τότε θα είναι f( ) και λόγω (Ε) f ( ) f( ) 4 άτοπο αφού, g(), (,) και επειδή είναι συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Ε. θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (,) και αφού g() f() θα είναι g(), (,) άρα και f(), (,). Ε4. Από f ()f () f()f () f () έχουμε ότι f()f () (f ()) f () και λόγω (Ε) f() και (f ()) f (), R από την ισότητα προκύπτει ότι f()f (), άρα f (), (,) άρα η f είναι κοίλη. Ε5. Από (Ε) ισχύει 4, [,] οπότε και f(), (,) προκύπτει ότι f () f() 4 (f() ) 4 με f() 4 f() 4, [,]. f() 4 και επειδή λόγω (Ε) Ε6. Από z i ή εικόνα του z ανήκει σε κύκλο κέντρου K(,) και ακτίνας ρ=, που έχει αναλυτική εξίσωση (y ) 4 (y ) 4, [,], άρα y 4 επομένως προφανώς η γραφική παράσταση της f είναι το ημικύκλιο του κύκλου πάνω από τον και το μέτρο του z γίνεται μέγιστο τότε στο σημείο του yy το (,) δηλαδή όταν f() και από την αρχική ισότητα ισχύει f () f () f () που σημαίνει ότι η εφαπτομένη στο (,) είναι παράλληλη στον άξονα. ΘΕΜΑ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η fείναι γνησίως φθίνουσα στο f(α) f(β) mathmatica -84 Προτείνει ο XRIMAK α,β, παραγωγίσιμη στο α,β με α,β.
Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε. Αποδείξτε ότι f() για κάθε (α,β). Ε. α. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα μόνο (α,β) ώστε η f να παρουσιάζει μέγιστο στο. 4f( ) β. Αποδείξτε ότι υπάρχουν, (α,β), ώστε f ( ) f ( ). β α Ε. Αν επιπλέον η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β, αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) ώστε α. f (ξ), β. β α f() f (ξ). Πηγή: Θέματα ΕΜΕ () Ε. Η f είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) f(β), άρα από θ.roll θα υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ). Για α ξ και αφού η fείναι γνησίως φθίνουσα είναι f () f (ξ) f (), άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,ξ]. Έτσι για α ξ f() f(α) f(). α ξ β f () + - f() 9 Ο. μ Γιαξ β f () f (ξ) f (),άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο [ξ,β]. Έτσι για ξ β f() f(β) f(). Έτσι f() για (α,β). Ε. α. Από το (Ε) η f θα παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο o β. Η f είναι συνεχής στο [α, ], παραγωγίσιμη στο (α, ), f( ) άρα από ΘΜΤ θα υπάρχει (α, ) f ( ) (). α f( ) Όμοια από ΘΜΤ θα υπάρχει (,β), f ( ) (). β Αφαιρώντας κατά μέλη τις (), () είναι ξ το f( o). f( ) f( ) f ( ) f ( ) f( ) 4f( ). α β α β β α Αφού ισχύει mathmatica -85
Διαφορικός Λογισμός 4 β α 4 β α 4 α β β α α β β α α β β α 4αβ α β α 4 α β α αβ β 4 β 4 α αβ β 4 α β 4 α β 4 α β 4 α β. Ε. α. Αφού είναι f(),ισχύει ότι και f( ), όπου στο o ερώτημα (Ε) η f θα παρουσιάζει ολικό μέγιστο το f( ). o ξ από Η f είναι συνεχής στο [α, ], παραγωγίσιμη στο (α, ) άρα από ΘΜΤ f( ) θα υπάρχει ξ (α, ), f (ξ ). α f( ) Και όμοια θα υπάρχει ξ (,β), f (ξ ). β Αφού η f είναι φορές παραγωγίσιμη, η f είναι συνεχής στο [ξ,ξ ], παραγωγίσιμη στο (ξ,ξ ), άρα από ΘΜΤ θα υπάρχει f(ξ ) f (ξ ) ξ (ξ,ξ ), f (ξ). ξ ξ β. Έχουμε ότι ισχύει από το (α) f(ξ ) f (ξ ) f(ξ) ξ ξ Από 4f( o) f(ξ)(ξ ξ ) f (ξ ) f (ξ ) β α 4f( ) 4f() β α β α Από Εα o f(ξ)(ξ ξ ). Εβ 4f() Δηλαδή f(ξ)(ξ ξ ) f (ξ)(ξ ξ ) f (ξ)(β α) β α και άρα β α f() f (ξ) ΘΕΜΑ 4 Ε. Να δείξετε ότι ln για κάθε. Ε. Να δείξετε ότι για κάθε πραγματικό. Ε. Να λύσετε την εξίσωση. mathmatica -86. Προτείνει η Μυρτώ Λιάπη
Μαθηματικά Γ Λυκείου f () Ε4. Έστω η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f() για κάθε R. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σημείο τομής της C f με την ευθεία. Πηγή: Α. Μπάρλας, (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική) Ε. Θεωρώ συνάρτηση g() ln, που είναι παραγωγίσιμη με g'(), ως πράξεις παραγωγίσιμων οπότε g (), αφού και - + - + - - + - - + + g () - + - + g() Τ.ε 9 από των πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f η συνάρτηση στη θέση έχει ολικό ελάχιστο το g ln ln ln ln ln ln, όποτε για κάθε είναι g() g ln ln g() ln. Ε. ln Για, έχουμε ln. Για, έχουμε που ισχύει. ( ) Για έστω ( ), που ισχύει. Ε. Θεωρούμε την συνάρτηση Η συνάρτηση κ(), R είναι παραγωγίσιμη στο R ως σύνθεση των παραγωγίσιμων και. Η κ() είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με (σύμφωνα με το Ε) άρα κ() είναι γνησίως κ () αύξουσα στο R οπότε και. Έτσι η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα κ() κ() κ(). mathmatica -87
Ε4. Είναι f () Διαφορικός Λογισμός f() κ f(). Τώρα για, R με θα ισχύει λόγω της ισότητας ότι κ(f( )) κ(f( ) και επειδή η κ είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση (Ε) θα ισχύει ότι f( ) f( ) που σημαίνει ότι η f είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση. Και αφού κ(f()) κ(f()) κ() επειδή η κ είναι ' ' θα είναι f(). ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R f () f() για κάθε R. Είναι Προτείνει ο Διονύσης Βουτσάς R για την οποία ισχύει : Ε. Να αποδείξετε ότι ( ) για κάθε R. Ε. Να αποδείξετε ότι f() για κάθε R και li m f(). Ε. Να αποδείξετε ότι f() ln για κάθε li m f(). Ε4. Να αποδείξετε ότι η f() είναι γνησίως αύξουσα και στρέφει τα κοίλα κάτω. Ε5. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. Ε6. Να δείξετε ότι η f() αντιστρέφεται και βρείτε την f (). Ε. Έστω η συνάρτηση g(), Ag R. g (), άρα από τον διπλανό πίνακα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (,], γνησίως αύξουσα στο [, ) και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το g(). Άρα και g() g(). Ε. Από το (Ε) βάζοντας όπου το f() προκύπτει ότι - + g ()= - - + g() Ο. ε 9 f() f() f() f() f(). f () f () Περιοριζόμαστε κοντά στο άρα, οπότε f(). Άρα από την f() έχουμε. f() mathmatica -88
Μαθηματικά Γ Λυκείου Είναι lim και lim, άρα από κριτήριο παρεμβολής θα είναι lim lim f(), αφού f(). f() f () Ε. Εχουμε ισοδύναμα f() ln( ) f(), από (Ε) f () οπότε τελικά f() που ισχύει από το (Ε) Β τρόπος ln υποθ f () f() ln, f() f() που ισχύει λόγω (Ε). Επίσης επειδή lim ln( ), θα έχουμε από ln( ) f() ln( ) f () f() ln( ) και από κριτήριο παρεμβολής θα είναι lim lim f() f() αφού και f(),. Ε4. Η συνάρτηση παραγωγίσιμων f () είναι παραγωγίσιμη στο R ως σύνθεση των και f(). Και τα δυο μέλη της f f είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων οπότε παραγωγίζοντας και τα δυο μέλη προκύπτει ότι f () f () f () f () f ()( ) f () f () (). Από () είναι f () αφού και R. f (), άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο mathmatica -89
Διαφορικός Λογισμός Το ο μέλος της () είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R ως πράξεις f () παραγωγίσιμων συναρτήσεων (έχει αποδειχτεί πως η είναι παραγωγίσιμη στο R. Συνεπώς και η f είναι παραγωγίσιμη με f () f () f (). f () ( ) Έτσι η f είναι κοίλη στο R. Από τα (Ε) και (Ε) και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο R, είναι f(r) R. Ε5. Η f είναι και αντιστρέψιμη, αφού δείξαμε ότι είναι γνησίως αύξουσα με A f(r) R. f Θέτω f() y f (y) στην αρχική δοσμένη σχέση και έχουμε y y f (), R. ΘΕΜΑ 6 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύει : f(α ) α,f(α) α και f(α ) α, για κάποιο α R. Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας oυ Ε. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f και η διχοτόμος του και oυ τεταρτημορίου, έχουν δυο τουλάχιστον κοινά σημεία. Ε. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () f(), έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (α,α ). Ε. Αν επιπλέον η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,α ), ώστε f (ξ). Πηγή: Θέμα από την Συλλογή Επαναληπτικών Ασκήσεων του gaston Ε. Η f είναι συνεχής στο R ως παραγωγίσιμη στο R.Στα διαστήματα [α,α],[α,α ], ισχύει το θεώρημα Bolzano για την συνάρτηση g() f(), αφού είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων στα κλειστά διαστήματα [α,α],[α,α ] και g(α) f(α ) (α ),g(α) f(α) α,g(α ) f(α ) (α ). Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχουνρ,ρ που ανήκουν αντίστοιχα στα [α,α],[α,α ], τέτοια ώστε g(ρ ) f(ρ ) ρ, g(ρ ) f(ρ ) ρ. mathmatica -9
Μαθηματικά Γ Λυκείου Ε. Θεωρούμε την συνάρτηση h() (f() ) στο διάστημα είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων με h () (f () ) (f() ) με h(ρ ) h(ρ ) λόγω (Ε) οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Roll άρα υπάρχει t (ρ,ρ ) τέτοιο ώστε να είναι t t h (t) οπότε (f (t) ) (f(t) t) f (t) f(t) t. [ρ,ρ ] που Ε. Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. διαστήματα [α,α],[α,α ] για την f θα υπάρχουν f(α) f(α ) ξα,α,.. f '(ξ ) f(α) f(α ), α (α ) : f(α ) f(α) ξ α,α,.. f (ξ ) f '(ξ ) f(α ) f(α), α α και σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ.για την [ξ,ξ ] για την f : θα υπάρχει ξ (ξ, ξ ) f '(ξ ) f '(ξ ) f(α ) f(α) f(α ) ώστε f(ξ) ξ ξ ξ ξ f(α ) α f(α) α γιατί είναι σύμφωνα με την υπόθεση : f(α ) α ΘΕΜΑ 7 f(α ) f(α) f(α ) Προτείνει ο Περικλής Παντούλας Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, R για την οποία ισχύουν και f f για κάθε,. f Ε. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h στο,. f είναι γνησίως αύξουσα Ε. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Ε. Η συνάρτηση g() είναι παραγωγίσιμη στο R διερχόμενη από το σημείο (, ) τέτοια ώστε, g () f() για κάθε R.. Να g() βρείτε το lim. ln Πηγή: Γ.Μπαϊλάκης (εκδόσεις Σαββάλας) Ε. H h παραγωγίσιμη στο (, ) ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με mathmatica -9
Διαφορικός Λογισμός f () f() f () f() h (), για κάθε (, ). 4 Επειδή h (), για κάθε (, ), έχουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα στο (, ). Ε. Από την δοσμένη σχέση έχουμε ότι για f () f() f () f() f () f() 4 f() f() c. Για έχουμε c c. Επομένως Συνεπώς f() f(),. f(),, που επαληθεύει την f () f(). g() g () f() Ε. Είναι lim lim lim = ln DLH ln ln ( ) lim lim lim ln ln DLH. ΘΕΜΑ 8 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (, ) R Προτείνει ο XRIMAK για την οποία ισχύουν f() f() και f () για κάθε. Ε. Να δείξετε ότι f() για κάθε. Ε. Ένα σημείο M κινείται στη C f και έστω A η προβολή του M στον άξονα. Το σημείο A απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων O(,), με μoν ρυθμό. Τη χρονική στιγμή t που η τετμημένη του M είναι, να sc βρείτε τον ρυθμό μεταβολής: α. των αποστάσεων AM και OM, β. της γωνία MOA, γ. της απόστασης OB, όπου B το σημείο τομής της εφαπτομένης της C f mathmatica -9
Μαθηματικά Γ Λυκείου στο M με τον άξονα. Ε. Για κάθε έχουμε: Πηγή: Β.Παπαδάκης (εκδόσεις Σαββάλας) f () f() f() f() f() f () f () f() c f() c, όπου c R. Έχουμε f() c. Άρα για κάθε έχουμε: f(). Ε. Επειδή το είναι συνάρτηση του χρόνου t, έχουμε t μονάδες μήκους/sc. (t) με Η απόσταση ΑΜδίνεται από την απόλυτη τιμή της τεταγμένης του σημείου Μ, δηλ. την Τότε y(t) (t). y t t t μονάδες μήκους/sc. α) Η απόσταση ΟΜ δίνεται από την t 4 t t d t t y t t t. Οπότε t 9 t d t t d t 5 μονάδες μήκους/sc. β) Έστω θ θt η γωνία MOA. y t θ t Τότε: εφθ t t t θ t εφ θ t t t συν θ t θt t t θt t θt 5 rad/sc. γ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο τυχαίο σημείο της α,f α είναι: mathmatica -9