ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Άσκηση... 4 Άσκηση... 4 Άσκηση... 5 Άσκηση 4... 6 Άσκηση 5... 6 Άσκηση 6... Error! ookmark not defned. Άσκηση 7... Error! ookmark not defned. Άσκηση 8... Error! ookmark not defned. Άσκηση 9... Error! ookmark not defned. Άσκηση 0... Error! ookmark not defned.

Άσκηση Εκφώνηση: Τι απαιτείται για τον επακριβή καθορισμό ενός διανυσματικού μεγέθους; Σωστή Απάντηση Άσκησης : Το μέτρο, η φορά, η διεύθυνση και το σημείο εφαρμογής Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης : Το μέτρο, η γωνία, η διεύθυνση και το σημείο εφαρμογής Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης : Το μέτρο, η φορά, η ροπή και το σημείο εφαρμογής Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης : Το μέτρο, η φορά, η διεύθυνση και το σημείο καταπόνησης Άσκηση Εκφώνηση: Κατά τον υπολογισμό των κέντρων βάρους, σε τι απλά σχήματα διαιρείται η αρχική σύνθετη επιφάνεια; Απάντηση Άσκησης : Σε κύκλους, ημικύκλια, τετράγωνα, ορθογώνια και τρίγωνα. Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης : Σε κύκλους, ημικύκλια, τετράγωνα, ορθογώνια, τρίγωνα και τραπέζια. Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης : Σε κύκλους, ημικύκλια, τετράγωνα, παραλληλόγραμμα και τρίγωνα. Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης : Σε ημικύκλια, τετράγωνα, ορθογώνια και τρίγωνα. 4

Άσκηση Εκφώνηση: Πόσες συνθήκες ισορροπίας υπάρχουν και ποιες είναι αυτές; Απάντηση Άσκησης : Τρεις: - ΣF = 0 - ΣFψ = 0 - ΣΜ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΣΤΗΡΙΞΗ = 0 Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης : Τρεις: - ΣΜ = 0 - ΣΜψ = 0 - ΣF ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΣΤΗΡΙΞΗ = 0 Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης : Δύο: - ΣF = 0 - ΣFψ = 0 Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης : Τρεις: - ΣF = 0 - ΣFψ = 0 5

- ΣΜ Α = 0 Άσκηση 4 Εκφώνηση: Ποια τα χαρακτηριστικά σημεία σε ένα φορέα; Απάντηση Άσκησης 4:Η αρχή και το τέλος του, τα σημεία αλλαγής της γεωμετρίας του, τα σημεία των στηρίξεων και τα σημεία όπου ασκούνται διαφόρων ειδών φορτίσεις. Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης 4: Η αρχή και το τέλος του, τα σημεία αλλαγής της γεωμετρίας του και τα σημεία όπου ασκούνται διαφόρων ειδών φορτίσεις. Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης 4: Η αρχή του, τα σημεία αλλαγής της γεωμετρίας του, τα σημεία των στηρίξεων και τα σημεία όπου ασκούνται διαφόρων ειδών δυνάμεις. Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης 4: Η αρχή και το τέλος του, τα σημεία αλλαγής της γεωμετρίας του, τα σημεία των στηρίξεων και τα σημεία όπου ασκούνται διαφόρων ειδών ροπές. Άσκηση 5 Εκφώνηση: Τι είδους δυνάμεις παραλαμβάνουν οι ράβδοι των δικτυωμάτων; Απάντηση Άσκησης 5: Αξονικές Δυνάμεις (Θλιπτικές ή Εφελκυστικές) Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης 5: Αξονικές και Τέμνουσες Δυνάμεις Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης 5: Τέμνουσες Δυνάμεις και Ροπές 6

Λανθασμένη Απάντηση Άσκησης 5: Ροπές και Αξονικές Δυνάμεις Άσκηση 6 - ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Εκφώνηση: Σε κολώνα έχουν δεθεί δύο συρματόσχοινα, που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ=40 ο. Η τάση των συρματόσχοινων είναι P=80KN. Να βρεθεί κατά μέτρο και θέση η συνισταμένη δύναμη, που ασκείται στην κολώνα. Απάντηση Άσκησης 6: Στο σχήμα φαίνεται η διάταξη του προβλήματος. Το μέτρο της συνισταμένης δύναμης βρίσκεται με κατευθείαν εφαρμογή του τύπου: O R P P P P Cos 80 80 8080Cos(40 ) 54.7KN Η διεύθυνση της συνισταμένης βρίσκεται από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο KRP, δηλαδή: O n n P n 80 n(40 ) n 0.9 70 R P R 54. 40 Βρίσκουμε δηλαδή ότι 70.Το αποτέλεσμα ήταν αναμενόμενο, διότι το παραλληλόγραμμο των δυνάμεων είναι ρόμβος (αφού οι δυνάμεις είναι ίσες). Και είναι γνωστό ότι οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του. 7

Άσκηση 7 - ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ Εκφώνηση: Να βρεθεί το Κ.Β. της παρακάτω επιφανείας Απάντηση Άσκησης 7: Μετά το χωρισμό της επιφάνειας στα ορθογώνια παραλληλόγραμμα Ι, ΙΙ και ΙΙΙ όπως και στη γραφική μέθοδο, εγκαθιστούμε στην επιφάνεια το σύστημα ορθογωνίων συντεταγμένων O και υπολογίζουμε ως προς καθένα από αυτούς τις στατικές ροπές των επί μέρους επιφανειών. Έτσι θα έχουμε: = Σ(F ) = F = Σ(F ) = F F = ΣF = F. α/α F F F Επιφάνεια (cm) (cm) (cm ) (cm ) (cm ) Ι 0 5.000 0.000 5.000 ΙΙ 45 4,5 750.750.875 ΙΙΙ 75 5 00.500 0.500 Σ Υ Ν Ο Λ Α.050 66.50 67.75 F=ΣF = Σ(F ) = Σ(F ) 8

Έτσι οι συντεταγμένες ως προς τους άξονες και είναι: Άσκηση 8 - ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Εκφώνηση: Δίνεται το δικτύωμα του σχήματος. Οι εξωτερικές δυνάμεις, που O ασκούνται στους κόμβους είναι: P 800N P 900N. Η γωνία 60. Ζητείται να υπολογισθούν οι τάσεις των ράβδων. Απάντηση Άσκησης 8: Στο παράδειγμά μας θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των κόμβων. Συμβολίζουμε με τις εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στις ράβδους. Π.χ. την αξονική δύναμη της ράβδου τη συμβολίζουμε με. Εξετάζουμε την ισορροπία κάθε κόμβου παίρνοντας τις συνιστώσες των δυνάμεων κατά τους άξονες,, όπου ο άξονας είναι κατά τη διεύθυνση ΑΒ. Ισορροπία κόμβου Α: V n( ) 0 Cos( ) 0 9 5 Ισορροπία κόμβου Ι: Cos ) Cos( ) 0 n ) n( ) 0 ( ( 6 5 7 Cos( ) 4 6 7 n( ) P Cos( ) 7 Cos( ) Cos( ) P n( ) 7 n( ) n( ) 0 4 Cos( ) H V n( ) 0 Ισορροπία κόμβου ΙΙ: 0 0 Ισορροπία κόμβου ΙΙΙ: 0 Ισορροπία κόμβου Β: 0

Καταστρώσαμε σύστημα δέκα εξισώσεων (με την αρίθμηση που δόθηκε δίπλα σε κάθε μία). Οι άγνωστοι του συστήματος είναι δέκα: Οι αξονικές δυνάμεις των επτά ράβδων και οι τρεις άγνωστες αντιδράσεις των στηρίξεων. Οι δυνάμεις P, P καθώς και η γωνία είναι γνωστές. Επομένως η λύση του συστήματος θα μας δώσει όλες τις άγνωστες δυνάμεις. Επιλύοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε: V 4 0.9, V 444.06, 789.7, H 5 5.94, 6 900, 0.58,.88, 7 900.88, 9.88 Το αρνητικό πρόσημο της 4 σημαίνει ότι η δύναμη έχει αντίθετη φορά από αυτή που αρχικά αυθαίρετα της δόθηκε. Άσκηση 9 - ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Ν,Q,Μ Εκφώνηση: Δοκός ΑΒ στηρίζεται με άρθρωση στο σημείο Α και κύλιση στο Β. Φορτίζεται με τα φορτία P 600N και q 00N / m. Η γωνία της P με τη δοκό είναι 60. Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις των στηρίξεων και να σχεδιασθούν τα διαγράμματα εσωτερικών δυνάμεων N, Q, M. P q φ H P P q V V Απάντηση Άσκησης 9: Σχεδιάζουμε το Δ.Ε.Σ. αντικαθιστώντας τις στηρίξεις με τις δυνάμεις που μεταβιβάζουν και αναλύοντας την P σε συνιστώσες κατά τους κύριους άξονες: P P Cos( ) 6000.5 00N, P P n( ) 600 0.866 59. 6N Το φορτίο q ισοδυναμεί με δύναμη ίση με το εμβαδό του, δηλαδή ισορροπίας είναι οι εξής: F 0 H P 0, F 0 V V P 4 q 0 M 0 0 0 H 0 V 0 P P 8 4 qd 8V 0 4 q, άρα οι εξισώσεις

Αντικαθιστώντας στις παραπάνω τα P, P, q και επιλύοντας το σύστημα έχουμε: F 0 H 00, M 0 V 49. 9N, F 0 V 489. 7N Έχοντας τις συναρτήσεις των εσωτερικών δυνάμεων, μπορούμε πλέον να σχεδιάσουμε τα διαγράμματα N, Q, M. N + Q + - M +