SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD. Ivan Lulić. Zagreb, 2014.

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Iva Lulić Zagreb, 2014.

2 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Metori: Prof. dr. sc. Nedeljko Štefaić, dipl.ig. Dr. sc. Hrvoje Cajer, dipl.ig. Studet: Iva Lulić Zagreb, 2014.

3 Izjavljujem da sam ovaj rad izradio samostalo koristeći stečea zaja tijekom studija i avedeu literaturu. Zahvaljujem se svome metoru, prof.dr.sc. Nedeljku Štefaiću i asistetu dr.sc. Hrvoju Cajeru a stručoj pomoći i savjetima tijekom izrade ovog rada. Najviše se zahvaljujem Saeli a razumijevaju i pomoći te svojoj obitelji a podršci tijekom školovaja. Iva Lulić

4

5 Iva Lulić Završi rad Sadržaj Popis slika... III Popis tablica... IV Popis ozaka... V 1. Uvod Pojam i defiicija statistike Predmet proučavaja statistike - statistički skup, statističke jediice Osove faze statističkog istraživaja Sekudari i primari podaci Uređivaje i prikazivaje podataka Sredje vrijedosti i mjere raspršeosti Sredje vrijedosti - mod, medija, aritmetička sredia, geometrijska i harmoijska sredia Varijaca, stadarda devijacija i koeficijet varijacije Regresijska aaliza Povijest regresije Regresijski modeli Jedostava lieara regresija Statistički model jedostave lieare regresije Metoda ajmajih kvadrata Statističko zaključivaje Procjea varijace σ 2 (stadarde greške regresije) Aaliza varijace (ANOVA) Test jakosti modela Testovi hipoteza jedostave lieare regresije Aaliza reziduala Višestruka lieara regresija Procjea parametara metodom ajmajih kvadrata Matriči pristup kod višestruke lieare regresije Procjea varijace σ Testovi hipoteza kod višestruke lieare regresije Testiraje hipoteze o začajosti regresije Fakultet strojarstva i brodogradje I

6 Iva Lulić Završi rad 6.4. Koeficijet determiacije r 2 i korigirai koeficijet determiacije r Nelieari regresijski modeli Poliomi regresijski model Jedostavi ekspoecijali regresijski model Primjeri Jedostava lieara regresija Višestruka lieara regresija Optimizacija ezavisih varijabli uz ciljau izlazu vrijedost (ezavisu varijablu) Jedostava ekspoecijala regresija Literatura Fakultet strojarstva i brodogradje II

7 Iva Lulić Završi rad Popis slika Slika 1: Pozitiva fukcioala veza [3]... 8 Slika 2: Pozitiva statistička veza [3]... 9 Slika 3: Negativa fukcioala veza [3]... 9 Slika 4: Negativa statistička veza [3] Slika 5: Pozitiva fukcioala krivoliijska veza [3] Slika 6: Pozitiva statistička krivoliijska veza [3] Slika 7: Nema veze među pojavama [3] Slika 8: Dijagram raspršeja Slika 9: Dekompozicija sume kvadrata odstupaja [10] Slika 10: Horizotalo raspoređee točke koje sugeriraju a homogeost varijace [2] Slika 11: Raspored točaka koji sugerira a ehomogeost varijace [2] Slika 12: Raspored točaka koji sugerira a eadekvata lieari model [2] Slika 13: Dijagram rasipaja Slika 14: Excel tablica jedostave regresijske aalize Slika 15: Rezultati jedostave lieare regresije dobivei pomoću aredbe Data Aalysis u programskom alatu Excel Slika 16: Excel tablica višestruke regresijske aalize Slika 17: Rezultati višestruke lieare regresije dobivei pomoću aredbe Data Aalysis u programskom alatu Excel Slika 18: Naredba "Solver" u programskom alatu Excel Slika 19: Dijagram rasipaja Fakultet strojarstva i brodogradje III

8 Iva Lulić Završi rad Popis tablica Tablica 1: ANOVA - Aaliza varijace jedostave lieare regresije [10] Tablica 2: ANOVA - Aaliza varijace višestruke lieare regresije Tablica 3: Zavisost trošeja mekog čelika o viskozosti ulja Tablica 4: Zavisost trošeja mekog čelika o viskozosti ulja Tablica 5: Zavisost trošeja mekog čelika o viskozosti ulja Tablica 6: Excel fukcije za jedostavu liearu regresiju Tablica 7: Zavisost vremea otkazivaja kompoete stroja o radoj temperaturi, radom apou i broju okretaja motora Tablica 8: Zavisost vremea otkazivaja kompoete stroja o radoj temperaturi, radom apou i broju okretaja motora Tablica 9: Excel fukcija za višestruku liearu regresiju Tablica 10: Zavisost troškova proizvodje o količii proizvoda Tablica 11: : Zavisost troškova proizvodje o količii proizvoda Tablica 12: : Zavisost troškova proizvodje o količii proizvoda Fakultet strojarstva i brodogradje IV

9 Iva Lulić Završi rad Popis ozaka Ozaka Jediica Opis Mo Mod Me x G H σ 2 σ z i V e H 0 H 1 F 0 2 S x 2 S y S xy ê t SSE SST SSE SSR r 2 r 2 E σ y2 Medija Aritmetička sredia Geometrijska sredia Harmoijska sredia Varijaca Stadarda devijacija Stadardizirao obilježje Koeficijet varijacije Nezavisa slučaja varijabla Nulta hipoteza Alterativa hipoteza Parametar F razdiobe Sredje kvadrato odstupaje varijable x od x Sredje kvadrato odstupaje varijable y od ӯ Uzroča kovarijaca Rezidual Ozaka Studetove t-razdiobe Suma kvadrata reziduala Suma kvadrata odstupaja varijable x od x Suma kvadrata odstupaja empirijskih vrijedosti varijable y od y Suma kvadrata odstupaja regresijskih vrijedosti varijable y od y Koeficijet determiacije Korigirai koeficijet determiacije Očekivaa vrijedost Nepristraa procjea varijace varijable y Fakultet strojarstva i brodogradje V

10 Iva Lulić Završi rad Sažetak U završom radu predstavljea je regresijska aaliza s aglaskom a jedostavu i višestruku liearu regresiju te logaritamsku i poliomu eliearu regresiju. Prvo poglavlje predstavlja pojam i defiiciju statistike te opisuje osove pojmove statistike koji su važi za razumijevaje rada. Nako toga predstavlje je regresijski model. Središji dio rada sastoji se od dva poglavlja: jedostave lieare regresije i višestruke lieare regresije. U poglavlju jedostave lieare regresije opisaa je metoda ajmajih kvadrata koja je važa za dobivaje procijejeih regresijskih parametara. Nadalje, predstavlje je model jedostave lieare regresije ako kojeg slijedi statističko zaključivaje i verificiraje osovih statističkih podataka (stadarda pogreška modela, tablica aalize varijace, koeficijet determiacije, te F i T testovi koji su važi za testiraje ulte hipoteze). U poglavlju višestruke lieare regresije opisaa je metoda ajmajih kvadrata za dobivaje procijejeih regresijskih parametara te je predstavlje matriči pristup višestrukoj liearoj regresiji. Kao i kod jedostave lieare regresije poglavlje je zaključeo statističkim zaključivajem i verificirajem osovih statističkih podataka. Nako lieare regresije predstavljea je elieara regresija, odoso polioma i ekspoecijala regresija. Na kraju završog rada dai su primjeri jedostave i višestruke lieare regresije te ekspoecijale regresije koji uključuju usporedbu ručog ačia račuaja parametara regresije sa vlastitim algoritmom u programskom alatu Excel za olakšavaje račuaja parametara regresije. Fakultet strojarstva i brodogradje VI

11 Iva Lulić Završi rad 1. Uvod 1.1. Pojam i defiicija statistike Statistika je poseba zastvea disciplia koja u svrhu realizacije postavljeih ciljeva istraživaja a orgaizira ači prikuplja, odabire, grupira, prezetira i vrši aalizu iformacija ili podataka, te iterpretira rezultate provedee aalize [1]. U razim segmetima društva u ekoomiji statističke se metode i tehike koriste a razii poduzeća i a makroekoomskoj razii. Statistika se može podijeliti a deskriptivu i iferecijalu statistiku. Deskriptiva ili opisa statistika temelji se a potpuom obuhvatu statističkog skupa, čiju masu podataka orgaizirao prikuplja, odabire, grupira, prezetira i iterpretira dobivee rezultate aalize. Na taj ači se, izračuavajem različitih karakteristika statističkog skupa, sirova statistička građa svodi a lakše razumljivu i jedostaviju formu. Ako se statističke metode i tehike primjejuju a čitav statistički skup, dakle ako su istraživajem obuhvaćei svi elemeti skupa oi tvore populaciju. Iferecijala statistika temelji se a dijelu (uzorku) jediica izabraih iz cjelovitog statističkog skupa, pomoću kojeg se uz primjeu odgovarajućih statističkih metoda i tehika doose zaključci o čitavom statističkom skupu. Uvijek je prisuta odgovarajući stupaj rizika kada se koriste rezultati iz uzorka, za kojeg je poželjo da bude izabra a slučaja ači i da bude reprezetativa Predmet proučavaja statistike - statistički skup, statističke jediice Predmet proučavaja statistike su određee zakoitosti koje se javljaju u masovim pojavama [1]. Zadaća statistike je da uoči zakoitosti u masovim i slučajim pojavama, te da ih iskaže brojčao. Pri defiiraju statističkog skupa potreba je velika precizost da bi se a temelju takve defiicije moglo jedozačo utvrditi da li eki elemet pripada ili e pripada tom skupu. Statistički skup je skup elemeata kojima proučavamo jedo ili više obilježja čije se vrijedosti mijejaju od elemeta do elemeta. Statistički skup potrebo je defiirati pojmovo, prostoro i vremeski. Pojmovo - odrediti pojam ili svojstvo svakog elemeta promatraog skupa. Prostoro - odrediti prostor a koji se odosi ili kojemu pripadaju elemeti statističkog skupa. Vremeski - odrediti vremeski treutak ili razdoblje kojim će se obuhvatiti svi elemeti koji ulaze u statistički skup. Fakultet strojarstva i brodogradje 1

12 Iva Lulić Završi rad 1.3. Osove faze statističkog istraživaja Osove faze statističkog istraživaja su [1]: statističko promatraje (mjereje, brojaje, opažaje, evidecija, aketiraje) grupiraje (tabelaro i grafičko prikazivaje statističkih podataka) statistička aaliza i iterpretacija rezultata provedee aalize Sekudari i primari podaci U ovisosti o karakteru izvora podataka, statistički podaci se dijele a: sekudare podatke primare podatke. Sekudari podaci su oi koji se pribavljaju iz već postojećih baza podataka različitih državih ustaova, pr. u Hrvatskoj su to: Državi zavod za statistiku, Hrvatska gospodarska komora i sliče istitucije. Sekudari podaci su uglavom brojčai. Predočei su tablicama, a vrlo često i grafičkim prikazima. Jeda od ajčešće korišteih sekudarih izvora podataka o gospodarskom i društveom životu, te o demografskom razvitku i staju okoliša u Republici Hrvatskoj je Statistički ljetopis u izdaju Državog zavoda za statistiku. Primari podaci prikupljaju se eposredim promatrajem svojstava elemeata statističkog skupa u skladu s uaprijed defiiraim ciljevima statističkog istraživaja Uređivaje i prikazivaje podataka Prikupljei statistički podaci u svom izvorom obliku često isu pregledi, pa ih je potrebo a odgovarajući ači urediti [1]. Ako se urede prikupljei statistički podaci prema ekom obilježju ili karakteristici, dobiva se statistički iz. Grupiraje statističkih podataka je postupak diobe statističkog skupa a određei broj pod skupova prema prethodo utvrđeim modalitetima promatraog obilježja i uz poštivaje ačela isključivosti i iscrposti. Načelo isključivosti podrazumijeva da svaki elemet statističkog skupa istovremeo može pripadati samo jedoj grupi, tj. podskupu. Načelo iscrposti podrazumijeva da postupkom grupiraja trebaju biti obuhvaćei svi elemeti statističkog skupa. Tabeliraje je postupak svrstavaja grupiraih prikupljeih statističkih podataka u tablice. Tablica astaje crtajem okomitih i vodoravih liija prema određeim pravilima. Svaka statistička tablica mora imati: Fakultet strojarstva i brodogradje 2

13 Iva Lulić Završi rad Naslov tablice mora biti jasa i kratak, a istovremeo mora u sebi sadržavati pojmovu, prostoru i vremesku defiiciju statističkog skupa. Tekstuali dio statističke tablice sastoji se od dva dijela: zaglavlja i pred stupca. U zaglavlju ili tumaču stupaca opisuje se i objašjava sadržaj redaka. To su ajčešće oblici statističkog obilježja po kojemu je promatra statistički iz. Brojčai ili umerički dio tablice sastoji se od polja u koja se uose frekvecije, odoso rezultati grupiraja statističkih podataka. Zbiri ili margiali stupac sadrži zbrojeve pojediih redaka. Izvor podataka se avodi ispod tablice. O omogućuje provjeru ispravosti prikupljeih podataka u tablici, kao i evetualu dopuu podataka. Statističke tablice mogu se podijeliti a: opće ili izvještaje statističke tablice aalitičke ili sumare statističke tablice. Opće statističke tablice prikazuju ogroma broj statističkih podataka o ekom promatraom statističkom skupu. Aalitičke statističke tablice se kostruiraju za eku posebe aalize i oe su u pravilu pregledije. Grafikoima se a jedostava i pregleda ači uz pomoć različitih geometrijskih likova prezetiraju osove karakteristike statističkih izova. Grafički prikazi statističkih podataka su preglediji i razumljiviji u odosu a jihovo prikazivaje statističkom tablicom. Grafikoi omogućuju jedostavije uočavaje glavih karakteristika promatraih pojava, ali vrlo često ta pregledost ide a štetu precizosti statističkih iformacija. Stoga je poželjo uz grafički prikaz prezetirati i tablicu s origialim vrijedostima statističkog iza. Ozake a grafikou moraju biti takve da oaj tko čita sliku može jaso raspozati koje su jediice i koja je pojava prikazaa. Grafiko mora imati aslov, jediice mjere promatraog obilježja, ozake modaliteta obilježja, izvor podataka i po potrebi kazalo ili tumač ozaka. Postoje 3 skupie grafičkih prikaza: 1. površiski grafikoi 2. liijski grafikoi i 3. kartogrami. Fakultet strojarstva i brodogradje 3

14 Iva Lulić Završi rad Površiski grafikoi su: jedostavi stupci, dvostruki stupci, razdijeljei stupci, strukturi krugovi ili polukrugovi, kvadrati. Jedostavi stupci imaju jedake baze i jedako su udaljei jeda od drugog i razlikuju se samo po visii koja odgovara veličii apsolutih frekvecija. Dvostruki ili razdijeljei stupci upotrebljavaju se za grafičko prikazivaje dvaju ili više statističkih skupova koji su grupirai prema modalitetima istog obilježja. Strukturi stupci također služe za prikazivaje više statističkih skupova podijeljeih a iste grupe prema jedom obilježju. Oi su jedake veličie, a razlikuju se po strukturi. Proporcioali strukturi krugovi i polukrugovi također prikazuju dva ili više skupova podijeljea a jedake grupe. Krugovi, odoso polukrugovi, mogu biti iste veličie i razlikovati se samo po strukturi, a mogu biti i različitih polumjera, tj. proporcioali veličiama promatraih statističkih skupova Kartogrami su geografske karte a kojima se a različite ačie pokazuje prostoru rasprostrajeost statističkog skupa. Razlikuju se tri vrste kartograma: Dijagramske karte - crtaju se spajajem zemljovida i površiskih grafikoa, a primjer, kvadrata, trokuta, krugova, i sličo. Površiski grafikoi, odoso likovi, moraju biti proporcioali apsolutim frekvecijama skupa, čime se izražava itezitet promatraog obilježja ili pojave. Likovi se ucrtavaju uutar graica površie a zemljovidu koja predočava odgovarajući modalitet prostoro statističkog obilježja, čime se izražava prostora rasprostrajeost elemeata statističkog skupa. Piktogrami - prostoru rasprostrajeost i itezitet elemeata statističkog skupa prikazuju gušće ili rjeđe raspoređeim točkama (ili ekim drugim zakovima) a odgovarajućem zemljovidu.. Statističke karte - crtaju se tako da se a zemljovidu različitim bojama ili sječajem po pojediim dijelovima ekog područja pokazuje itezitet eke pojave, koji je ajčešće izraže relativim brojevima. Fakultet strojarstva i brodogradje 4

15 Iva Lulić Završi rad 1.5. Sredje vrijedosti i mjere raspršeosti Sredje vrijedosti - mod, medija, aritmetička sredia, geometrijska i harmoijska sredia Prikupljei statistički podaci u svom izvorom obliku često emaju razumljivu formu [1]. Zbog toga se vrši jihovo grupiraje, odoso formiraje statističkih izova. Na taj ači se dobiva detaljiji uvid u svojstva promatraog statističkog iza. Račuajem sredjih vrijedosti dolazi se do iformacija o vrijedostima statističkog obilježja oko kojih se raspoređuju elemeti statističkog iza. Sredja vrijedost je vrijedost statističkog obilježja oko koje se grupiraju podaci statističkog iza. Drugi aziv: mjera cetrale tedecije. Sredje vrijedosti mogu se podijeliti a: 1. Položaje sredje vrijedosti određuju se položajem podataka u izu. Najvažije položaje sredje vrijedosti jesu: a) mod b) medija. 2. Potpue sredje vrijedosti račuaju se upotrebom svih podataka u statističkom izu. Potpue sredje vrijedost jesu: a) aritmetička sredia, b) geometrijska sredia i c) harmoijska sredia. Mod je vrijedost statističkog obilježja koja se ajčešće javlja u ekom izu, tj. vrijedost obilježja kojoj pripada ajveća frekvecija. Izraz za izračuavaje moda: Mo = L 1 + (b a) (b a) + (b c) x i (1.1) Fakultet strojarstva i brodogradje 5

16 Iva Lulić Završi rad gdje je: L1 doja prava ili preciza graica modalog razreda, b ajveća korigiraa frekvecija (tj. frekvecija modalog razreda), a korigiraa frekvecija ispred frekvecije modalog razreda c korigiraa frekvecija iza frekvecije modalog razreda, i veličia modalog razreda. Medija je vrijedost statističkog obilježja koja statistički iz dijeli a dva jedaka dijela. Izraz za izračuavaje medijaa: Me = L 1 + N 2 m f i f med x i (1.2) gdje je: L1 doja prava ili preciza graica medijalog razreda, N/2 polovia elemeata statističkog iza, m f i zbroj svih apsolutih frekvecija do medijalog razreda, e uključujući medijali razred, tj. kumulativa frekvecija ispred kumulative frekvecije medijalog razreda, f med apsoluta frekvecija medijalog razreda, i veličia medijalog razreda. Aritmetička sredia je omjer zbroja svih vrijedosti umeričkog obilježja jedog iza i broja elemeata tog iza. X = N X i N = X 1 + X X N N (1.3) Geometrijska sredia je N-ti korije umoška svih vrijedosti egrupiraog umeričkog obilježja jedog iza. N N G = x i N = x 1 x 2 x N (1.4) Fakultet strojarstva i brodogradje 6

17 Iva Lulić Završi rad Harmoijska sredia je reciproča vrijedost aritmetičke sredie recipročih vrijedosti umeričkog obilježja u jedom izu. H = N 1 N X i (1.5) Varijaca, stadarda devijacija i koeficijet varijacije Varijaca je prosječo kvadrato odstupaje vrijedosti umeričkog obilježja od aritmetičke sredie [1]. Varijaca spada u potpue mjere raspršeosti jer obuhvaća sve elemete odabraog umeričkog statističkog iza. Ovaj pokazatelj mjeri odstupaja, tj. raspršeost elemeata skupa od aritmetičke sredie. σ 2 = N (X i X ) 2 N = N X i 2 N X 2 (1.6) Stadarda devijacija je pozitiva korije iz varijace i izražea je u origialim jediicama mjere. Stoga je kao potpua i apsoluta mjera disperzije vrlo često u upotrebi. Može se defiirati kao prosječo odstupaje vrijedosti umeričkog obilježja od aritmetičke sredie. Pomoću stadarde devijacije u origialim mjerim jediicama obilježja može se uspoređivati raspršeost oko aritmetičke sredie izova koji su grupirai po jedakom obilježju. σ = + σ 2 = + N (X i X ) 2 N = + N X i 2 N X 2 (1.7) Stadardizirao obilježje (zi) je lieara trasformacija origialih vrijedosti umeričkog obilježja xi, a pokazuje odstupaje vrijedosti obilježja od aritmetičke sredie u stadardim devijacijama. z i = X i X σ,,2,3,,. (1.8) Koeficijet varijacije je postotak stadarde devijacije od aritmetičke sredie. Koeficijet varijacije spada u potpue relative mjere raspršeosti jer obuhvaća sve elemete odabraog umeričkog statističkog iza, a izražava se u postocima (%). V = σ 100. (1.9) X Fakultet strojarstva i brodogradje 7

18 Iva Lulić Završi rad 2. Regresijska aaliza Regresijska aaliza je statistički postupak za procjeu odosa među varijablama. Cilj istraživaja odosa među varijablama je utvrditi statističku ovisost i pokazatelje jakosti takve ovisosti [3]. Odosi među pojavama mogu biti fukcioali (determiistički) i statistički (stohastički): Fukcioali ili determiistički odosi su postojai, izražavaju zakoitosti koje se iskazuju aalitički (formulom, jedadžbom). Svakoj vrijedosti jede pojave odgovara točo određea vrijedost druge pojave. Y f X (2.1) Statistički ili stohastički odosi su slabiji od fukcioalih. Jedoj vrijedosti jede pojave odgovara više različitih vrijedosti druge pojave. Takva odstupaja su u praksi češća. Y f X e (2.2) gdje je: f(x) - fukcioala (determiistička) kompoeta e - stohastička varijabla koja predočuje esistematske utjecaje a zavisu varijablu. Dijagram rasipaja u pravokutom koordiatom sustavu točkama prikazuje parove vrijedosti dviju promatraih umeričkih varijabli. U sljedećim slikama prikazae su različite veze dviju promatraih umeričkih varijabli. a) pozitiva fukcioala veza Slika 1: Pozitiva fukcioala veza [3] Fakultet strojarstva i brodogradje 8

19 Iva Lulić Završi rad b) pozitiva statistička veza Slika 2: Pozitiva statistička veza [3] c) egativa fukcioala veza Slika 3: Negativa fukcioala veza [3] Fakultet strojarstva i brodogradje 9

20 Iva Lulić Završi rad d) egativa statistička veza Slika 4: Negativa statistička veza [3] e) pozitiva fukcioala krivoliijska veza Slika 5: Pozitiva fukcioala krivoliijska veza [3] Fakultet strojarstva i brodogradje 10

21 Iva Lulić Završi rad f) pozitiva statistička krivoliijska veza Slika 6: Pozitiva statistička krivoliijska veza [3] g) ema veze među pojavama Slika 7: Nema veze među pojavama [3] Fakultet strojarstva i brodogradje 11

22 Iva Lulić Završi rad Regresijska aaliza uključuje moge tehike za modeliraje i aalizu varijabli, gdje se fokus stavlja a odosu između zavise varijable i jede ili više ezavisih varijabli [8]. Kokretije, regresijska aaliza pomaže razumjeti kako se mijeja vrijedost zavise varijable kada bilo koja ezavisa varijabla varira, dok su ostale ezavise varijable fikse. Najčešće, regresijska aaliza procjejuje uvjeto očekivaje zavise varijable s obzirom a ezavise varijable - to jest, prosječu vrijedost zavise varijable kada su ezavise varijable fikse. Ciljaa procjea je fukcija ezavisih varijabli odoso regresijska fukcija. U regresijskoj aalizi važo je karakterizirati varijacije zavise varijable oko regresijske fukcije, a to se može opisati pomoću distribucije vjerojatosti. Regresijska aaliza često se koristi za predviđaje i progoziraje. Također koristi se za razumijevaje odosa ezavisih o zavisim varijablama i istraživaje oblika tih odosa. U određeim okolostima, regresijska aaliza se može koristiti za zaključivaje uzročih odosa između ezavisih i zavisih varijabli. Međutim to može dovesti do pogreših ili lažih odosa iz razloga što korelacija e podrazumijeva uzročost tako da je poželja oprez. Razvijee su moge tehike regresijske aalize kao što su jedostava, višestruka, lieara i elieara. Najpozatije metode su lieara regresija i metoda ajmajih kvadrata gdje se regresijska fukcija defiira preko koačog broja epozatih parametara koji se procjejuju a temelju podataka. Fakultet strojarstva i brodogradje 12

23 Iva Lulić Završi rad 3. Povijest regresije Najraiji oblik regresije je metoda ajmajih kvadrata koju su objavili Legedre i Gauss godie [8]. Na temelju astroomskih promatraja Legedre i Gauss su primijeili metodu a problem utvrđivaje orbite ebeskih tijela oko Suca (uglavom kometa, a kasije i tadašjih ovootkriveih majih plaeta). Gauss je objavio daljji razvoj metode ajmajih kvadrata u godii u Gauss-Markov teoremu. Izraz "regresija" prvi put je uveo Fracis Galto u devetaestom stoljeću kako bi opisao biološki feome spuštaja visie potomaka visokih predaka prema ormalom prosjeku, odoso rasta visie potomaka iskih predaka. Taj feome azvao je regresija prema prosjeku. Njegov rad kasije su proširili Udy Yule i Karl Pearso. U radu Yule i Pearso-a pretpostavlja se da je zajedička distribucija zavisih i ezavisih varijabli Gaussova. Pretpostavlja se da visia siova ovisi o visii jihovih očeva te se može izraziti kao fukcija y = f(x), pri čemu je y zavisa ili kriterijska varijabla (visia siova), a x ezavisa ili prediktorska varijabla (visia očeva). Tu pretpostavku adopuio je R.A. Fisher u svojim djelima 1922 i godie u kojima pretpostavlja da zajedička distribucija užo e treba biti Gaussova ih i 1960-ih godia ekoomisti su koristili elektromehaičke stole kalkulatore za izraču regresije. Prije godie a rezultate jede regresije čekalo se preko 24 sata. 4. Regresijski modeli Neka je (X, Y) vektor slučajih varijabli X i Y [9]. Zaima as kako je distribuiraa varijabla Y uz uvjet da varijabla X poprima vrijedost x (Pišemo Y I X = x). Fukcija f (x) = E (Y I X = x) zove se regresija. U slučaju kada imamo slučaji vektor (X, Y) ormalo distribuira N(α, β, σ, τ, φ), regresijska fukcija je oblika E (Y I X = x) = β + φ τ (x - α) što aravo predstavlja σ pravac y = α + βx koji azivamo pravac regresije. Parametar β se zove regresijski koeficijet, a α je regresijska kostata. Regresijski model ima tri osova elemeta: jedadžbe, hipoteze i uzroče pretpostavke. 1. Jedadžba regresijskog modela Neka ezavisa varijabla X ima vrijedost x1,..., x, a zavisa varijabla Y ima vrijedosti y1,..., y. Promatramo vrijedost zavise varijable Y. Odos između dvije varijable X i Y može se prikazati preko modela yi = f(xi) + ei (i = 1,..., ) (4.1) gdje je f(x) regresijska fukcija, a e1,...,e ezavise slučaje varijable. Kada imamo samo jedu ezavisu varijabla tada govorimo o jedodimezioalom ili jedostavom regresijskom modelu, a kada imamo više od jede ezavise varijable tada se radi o višestrukom regresijskom modelu. Fakultet strojarstva i brodogradje 13

24 Iva Lulić Završi rad 2. Hipoteza Hipoteze u regresijskoj aalizi su defiirae a temelju regresijskih koeficijeata u regresijskoj fukciji. 3. Uzroče pretpostavke Mjereja provedea a majem dijelu populacije azivamo uzorak. S obzirom da je uzorak reprezetativa mora biti izabra epristrao i mora biti dovoljo velik.} 5. Jedostava lieara regresija Regresijska aaliza koristi se za doošeje zaključaka o izu slučajih varijabli Y1,..., Y koje ovise o ezavisoj varijabli x [2]. Zaključci se doose a temelju iza spareih mjereja (x1, y1),..., (x, y), gdje su x1,..., x vrijedosti ezavise varijable x, a y1,..., y odgovarajuće vrijedosti slučajih varijabli y1,..., y. U kokretim primjerima ezavisu varijablu x često zovemo kotroliraom ili prediktorom varijablom. Cilj je a temelju spareih mjereja (x1, y1),..., (x, y) ustaoviti ovisost slučajih varijabli yi o ezavisoj varijabli x. Matematički model defiirali smo relacijom y i = f(x i ) + e i (i = 1,, ) (5.1) gdje je: x f(x) reala fukcija jede reale varijable, e1,..., e ezavise slučaje varijable tako da je E[ei] = 0 i Var(ei) = σ 2. Prvi korak u uspostavljaju veza između varijabli y i x je prikaz podataka u dijagramu raspršeosti iz kojeg se lako vidi grupiraju li se točke (sparea mjereja) oko pravca (lieara zavisost) ili eke krivulje. Da bismo postavili što realiju pretpostavku o regresijskoj fukciji, parove podataka (x1, y1),..., (x, y) prikazujemo točkama u koordiatom sustavu (dijagram raspršeosti ili scatterplot). Ako pretpostavimo da je graf fukcije f(x) pravac, tj. da je zakoitost koja povezuje ezavisu varijablu x i vrijedosti slučajih varijabli yi liearog tipa, regresijsku fukciju u algebarskom obliku zapisujemo a sljedeći ači: f(x) = α + βx (5.2) Fakultet strojarstva i brodogradje 14

25 Iva Lulić Završi rad U tom se slučaju parametar β (koeficijet smjera) aziva koeficijet regresije, a pravac y = α + βx regresijski pravac Statistički model jedostave lieare regresije Pretpostavljamo da su vrijedosti zavise varijable yi povezae s vrijedostima ezavise varijable a sljedeći ači [2]: y i = α + βx i + e i (i = 1,, ) (5.3) gdje je: x1, x2,..., x - vrijedosti ezavise (prediktore) varijable x e1, e2,..., e - epozate kompoete greške koja je dodaa a liearu vezu. Ovo su slučaje varijable za koje pretpostavljamo da su međusobo ezavise i da sve imaju ormalu distribuciju s očekivajem 0 i istom varijacom σ 2, α i β - epozati parametri pretpostavljee veze koje treba procijeiti 5.2. Metoda ajmajih kvadrata Problem procjee epozatih parametara α i β idetificira sa procjeom epozatog regresijskog pravca [2]. U sklopu dijagrama raspršeja acrta je proizvolja pravac y = α + βx. Iz slike je vidljivo da za vrijedost xi ezavise varijable x, zavisa varijabla yi poprima vrijedost (predicted value) α + βxi. Slika 8: Dijagram raspršeja Fakultet strojarstva i brodogradje 15

26 Iva Lulić Završi rad Nas zaima razlika di = yi (α + βxi). Pretpostavljamo da su podaci (x1, y1),..., (x, y) zadai eksperimetalo. Tada regresijske parametre α i β procjejujemo metodom ajmajih kvadrata. Ideja metode je da se miimizira suma kvadratih odstupaja teoretskih od eksperimetalih vrijedosti, tj. procjee α i β regresijskih parametara α i β trebamo odrediti tako da vrijedi: D = (α, β ) = [y i (α + β x i )] 2 = mi [y (α,β) R 2 i (α + βx i )] 2 = mi D(α, β) (α,β) R2 (5.4) Procjee α i β regresijskih parametara α i β azivamo procjeama u smislu metode ajmajih kvadrata ili least square estimates. Najbolja procjea epozatog regresijskog pravca y = α + βx je pravac y = α + β x. Za aalitičko rješeje procjea α i β regresijskih parametara α i β potrebo je: Aritmetička sredia varijable xi x = 1 x i (5.5) Aritmetička sredia varijable yi y = 1 y i (5.6) Sredje kvadrato odstupaje varijable x od x S x 2 = 1 (x i x ) 2 (5.7) Sredje kvadrato odstupaje varijable y od ӯ S y 2 = 1 (y i y ) 2 (5.8) Fakultet strojarstva i brodogradje 16

27 Iva Lulić Završi rad Uzroča kovarijaca S xy = 1 (x i x )(y i y ) (5.9) Dobre procjea α i β regresijskih parametara α i β u smislu metode ajmajih kvadrata su: β = S xy S x 2 (5.10) α = y β x (5.11) Koači izrazi za koeficijete regresijskog pravca oblika y = α + βx: β = x iy i xy x 2 i x 2 (5.12) α = y βx (5.13) Koristeći formulu regresijskog pravca, za svaku pojediu eksperimetalu vrijedost xi možemo izračuati pripadu teorijsku vrijedost yi, pa možemo točo izračuati koliko izosi svako odstupaje teorijske od eksperimetale vrijedosti: ê i = y i y i = y i (α + β x) (5.14) Ovako dobive iz vrijedosti ê1,..., ê zovemo rezidualima. Suma kvadrata svih reziduala (sum of squares of errors = SSE) je miimala postiguta vrijedost za D(α, β) i predstavlja mjeru kvalitete modela koju ozačavamo sa SSE: SSE = [y i (α + β x i )] 2 = ê i 2 (5.15) Fakultet strojarstva i brodogradje 17

28 Iva Lulić Završi rad 5.3. Statističko zaključivaje Nako ocijee parametara regresijskog modela postavlja se pitaje reprezetativosti, odoso sposobosti modela da objasi kretaje ovise varijable y uz pomoć odabrae eovise varijable x [1]. U tu svrhu koriste se eki apsoluti i relativi pokazatelji. Ovi pokazatelji temelje se a raspodjeli odstupaja vrijedosti ovise varijable yi u regresijskom modelu od jee aritmetičke sredie y i jeih očekivaih vrijedosti y i Procjea varijace σ 2 (stadarde greške regresije) To je objektiva procjea pogreške regresijskog modela i ozačava se s σ 2, a zapisujemo ju kako slijedi [1]: σ 2 = 1 2 [y i (α + βx i)] 2 = SSE 2 (5.16) Stadarda greška regresije ili stadarda devijacija regresije je apsoluti pokazatelj reprezetativosti regresijskog modela, a pokazuje prosječi stupaj varijacije stvarih vrijedosti ovise varijable u odosu a očekivae regresijske vrijedosti [1]. Prikazai izraz odosi se a stadarda grešku (devijaciju) regresije jedostrukog modela. Ovaj pokazatelj izraže je u origialim jediicama mjere ovise varijable y. Stoga je a temelju stadarde greške regresije teško uspoređivati reprezetativost modela s različitim mjerim jediicama. Taj problem elimiira relativi pokazatelj - koeficijet varijacije regresije, koji predstavlja postotak stadarde greške regresije od aritmetičke sredie varijable y: V = σ 2 y 100 (5.17) Najmaja vrijedost koeficijeta varijacije je 0%, a ajveća ije defiiraa. Što je koeficijet varijacije regresijskog modela bliži uli, to je model reprezetativiji. Često se uzima dogovorea graica reprezetativosti od 30%. Dakle, ako je koeficijet varijacije maji od 30%, kaže se da je model dobar. Fakultet strojarstva i brodogradje 18

29 Iva Lulić Završi rad Aaliza varijace (ANOVA) SST = (y i y ) 2 Suma kvadrata odstupaja varijable x od x [1] (5.18) SSR = (y i y ) 2 Suma kvadrata odstupaja regresijskih vrijedosti varijable y od y (odstupaja protumačea modelom) (5.19) SSE = (y i y i) 2 Suma kvadrata odstupaja empirijskih vrijedosti varijable y od y (odstupaja e protumačea modelom) (5.20) SST = SSR + SSE (y i y ) 2 = (y i y ) 2 + (y i y i) 2 (5.21) Ovaj izraz koji je u skraćeom obliku da formulom SST = SSR + SSE zove se jedadžba aalize varijace i predstavlja temelj aalize reprezetativosti regresijskog modela. Slika 9: Dekompozicija sume kvadrata odstupaja [10] Fakultet strojarstva i brodogradje 19

30 Iva Lulić Završi rad Tablica 1: ANOVA - Aaliza varijace jedostave lieare regresije [10] Izvor varijacije ss Suma kvadrata Sredia kvadrata F-omjer Protumače modelom 1 SSR 2 SSR = s P Ne protumače modelom -2 SSE SSE 2 = s R 2 s P 2 s R 2 Ukupo -1 SST Test jakosti modela Koeficijet determiacije r 2 : Koeficijet determiacije r 2 je pokazatelj reprezetativosti regresijskog modela, koji se temelji a aalizi varijace [1,2]. Daje am iformaciju o tome koliko rasipaja izlazih podataka potječe od fukcijske ovisosti x α + βx, a koliko otpada a tzv. rezidualo ili eobjašjeo rasipaje. Također am daje iformaciju o tome koliko je jaka fukcijska veza između x i y. Što je vrijedost koeficijeta r 2 bliža 1, zavisost je jača. Koeficijet determiacije r 2 zapisujemo a sljedeći ači: r 2 = SSR SST (5.22) odoso: r 2 = (y i y ) 2 (y i y ) 2 (5.23) Vrijedost koeficijeta determiacije kreće se u itervalu 0 r 2 1. Regresijski model reprezetativiji je ako je ovaj pokazatelj bliži 1. Teorijska graica reprezetativosti modela je 0,9. U praksi je poekad vrlo teško proaći varijablu koja dobro objašjava ovisu pojavu pa se ta graica reprezetativosti spušta i do 0,6. Fakultet strojarstva i brodogradje 20

31 Iva Lulić Završi rad Korigirai koeficijet determiacije r 2: r 2 = (1 r2 ) (5.24) može biti maji ili jedak od koeficijeta determiacije ovisi i o broju vrijedosti za koje se račua epovoljo obilježje je to što može biti maji od ule kada se govori o jačii veze e smije se govoriti a ivou r, već treba uzeti u obzir i koeficijet determiacije Testovi hipoteza jedostave lieare regresije Važa dio procjee adekvatosti liearog regresijskog modela je testiraje statističkih hipoteza o parametrima modela [1,2]. Za testiraje hipoteza moraju biti zadovoljei uvjeti da su greške relacije ei međusobo ezavise, ormalo distribuirae slučaje varijable s očekivaom vrijedosti ula i varijacom σ 2. Osova ovog testa hipoteza je utvrditi je li model yi = α + βxi + ei bolji od ul-modela yi = α + ei, tj. modela u kojemu je koeficijet regresije β = 0. Ukoliko je β = 0 tada e postoji lieara ovisost između y i x. Taj problem svodi se a testiraje ulte hipoteze koju formuliramo a jeda od sljedeća dva ačia: H0: Lieara veza između y i x e postoji. H0: β = 0. Alterativa hipoteza postavljea je a sljedeći ači: H1: Lieara veza između y i x postoji. H1: β 0. Za testiraje ovih hipoteza koristi se T-test, pri čemu je vrijedost parametra t daa izrazom: t = S xβ σ 2 1 ~ T( 2) (5.25) Fakultet strojarstva i brodogradje 21

32 Iva Lulić Završi rad gdje je: S x = 1 1 (x i x ) 2 (5.26) ê 2 i σ 2 = SSE 2 = 2 (5.27) odoso: t = r 2 1 r 2 (5.28) Aaliza reziduala Potrebo je utvrditi da li su ispujee sve počete pretpostavke koje reziduali trebaju ispujavati, a to su [2]: 1. Varijace grešaka su jedake. Homogeost varijaci reziduala provjeravamo aalizom grafičkog prikaza ovisosti reziduala ei o procijejeim vrijedostima y = α + β x. Jedostavo doošeje zaključaka o varijaci dao je pomoću sljedećih slika: a) Horizotalo raspoređee točke sugeriraju homogeost varijaci. Slika 10: Horizotalo raspoređee točke koje sugeriraju a homogeost varijace [2] Fakultet strojarstva i brodogradje 22

33 Iva Lulić Završi rad b) Ovakav raspored točaka sugerira stala rast varijace, dakle varijace isu homogee. Slika 11: Raspored točaka koji sugerira a ehomogeost varijace [2] c) Ovakav raspored točaka sugerira eadekvatost liearog modela. Slika 12: Raspored točaka koji sugerira a eadekvata lieari model [2] 2. Reziduali su ormalo distribuirai. Normalost reziduala provjeravamo aalizom histograma reziduala i p-plota reziduala. 3. Reziduali moraju biti međusobo ezavisi, tj. vrijedost reziduala koji se odosi a realizaciju yi slučaje varijable y ema ikakvog utjecaja a vrijedost reziduala koji se odosi a realizaciju yj iste slučaje varijable. Ovu pretpostavku provjeravamo aalizom grafičkog prikaza reziduala za svaki pojedii slučaj i crtajem dijagrama raspršeja uređeih parova reziduala (êi, êi 1), i = 2,...,. 4. Ako reziduali êi zadovoljavaju prethodo avedee pretpostavke smatramo ih dobrim procjeama stvarih ormalih grešaka e.. Fakultet strojarstva i brodogradje 23

34 Iva Lulić Završi rad 6. Višestruka lieara regresija Moge primjee regresijske aalize uključuju situacije u kojima postoji više od jede ezavise ili regresorske varijable [6]. Regresijski model koji sadrži više od jede regresorske varijable aziva model višestruke regresije. Opći oblik modela višestruke regresije je: y = f(x 1, x 2, x 3,, x i,, x K ) + e (6.1) ili y = f(x 1, x 2, x 3,, x i,, x K ) x e (6.2) U avedeom modelu y je zavisa varijabla [5]. To je pojava čije se varijacije izražavaju pomoću ezavisih (regresorskih) varijabli x 1, x 2,, x K. Varijabla e izražava epozata odstupaja od fukcioalog odosa. Prva jedadžba je aditivi, a druga multiplikativi oblik modela. Pretpostavi li se da je veza između y i x 1, x 2,, x K lieara, model iz gorje jedadžbe je model višestruke lieare regresije: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β j x j + + β k x k + e (6.3) U avedeom modelu y je zavisa ili regresad varijabla, x 1, x 2, x 3,, x K su ezavise, regresorske ili eksplaatore varijable, β 1, β 2, β 3,, β K su epozati parametri ili regresijski koeficijeti, a e je slučaja varijabla. Pretpostavi li se da se lieara regresijska veza između varijable y i odabraog skupa regresorskih varijabli utvrđuje a osovi uzorka veličie ( opažaja ili mjereja odabraih varijabli), tada se vektorska jedadžba može apisati u vidu sustava od jedadžbi: y 1 = β 0 + β 1 x 11 + β 2 x β j x 1j + + β k x 1k + e 1 y 2 = β 0 + β 1 x 21 + β 2 x β j x 2j + + β k x 2k + e 2 y i = β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 + + β j x ij + + β k x ik + e i y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β j x j + + β k x k + e (6.4) Fakultet strojarstva i brodogradje 24

35 Iva Lulić Završi rad Polaze pretpostavke u aalizi modela višestruke lieare regresije su jedake polazim pretpostavkama za model jedostave lieare regresije, prošireim za pretpostavku kojom se izražava priroda odosa regresorskih varijabli. Te se pretpostavke mogu izraziti a slijedeći ači: Veza između zavise varijable i odabraog skupa ezavisih varijabli je lieara. Greške relacije su međusobo ezavise, idetičo ormalo distribuirae slučaje varijable s očekivaom vrijedosti ula i varijacom σ 2 : E[e i ] = 0 Var(e i ) = σ 2 e i ~ N(0, σ 2 ) Cov(e i,e j ) = E(e i,e j ) = 0, i j i,j = 1,, Nadalje se pretpostavlja da su varijable xi međusobo ezavisi vektori, te da je matrica X puoga raga. Ta se pretpostavka uvodi iz umeričkih razloga Procjea parametara metodom ajmajih kvadrata Uvrste li se u Y = Xβ + e umjesto vektora parametara β vektor jihovih procjea, tada je [5]: Y = Xβ + e (6.5) e = Y Xβ (6.6) e je procjea slučaje varijable a bazi uzorka e i zove se reziduala odstupaja. Procjea koeficijeta β metodom ajmajih kvadrata dobit će se iz zahtjeva da se miimizira suma kvadrata rezidualih odstupaja: L = e i 2 k = (y i β 0 β jx ij j=1 ) 2 mi (6.7) S obzirom da su u točki u kojoj fukcija dostiže miimum jee prve parcijale derivacije jedake uli, to se svodi a rješavaje sustava jedadžbi [6]: L β 0 k = 2 (y i β 0 β jx ij ) = 0 (6.8) j=1 Fakultet strojarstva i brodogradje 25

36 Iva Lulić Završi rad i L β j k = 2 (y i β 0 β jx ij )x ij = 0 (6.9) j=1 j = 1, 2,.., k Pojedostavljivajem gorjeg izraza dobivamo ormale jedadžbe metode ajmajih kvadrata: β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 + + β k x ik = y i 2 β 0 x i1 + β 1 x i1 + β 2 x i1 x i2 + + β k x i1 x ik = x i1 y i 2 β 0 x ik + β 1 x ik x i1 + β 2 x ik x i2 + + β k x ik = x ik y i (6.10) Postoje p = k + 1 ormale jedadžbe, po jeda za svaki od epozatih regresijskih koeficijeata. Rješeja ormalih jedadžbi biti će procjeitelji ajmajih kvadrata regresijskih koeficijeata. Normale jedadžbe mogu se riješiti rješavajem sustava liearih jedadžbi Matriči pristup kod višestruke lieare regresije U postavljaju modela višestruke regresije praktičije je izraziti matematičke operacije koristeći matriči zapis [6]. Kao što smo raije pretpostavili da postoji regresorskih varijabli i k promatraja (x i1, x i2, x i3,, x ik, y i ), i = 1,2,,, model koji povezuje regresore zapisali smo: y i = β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 + + β k x ik + e i i = 1,2,, (6.11) Ovaj model je sustav od jedadžbi koje se mogu izraziti u matričom zapisu kao y = Xβ + e (6.12) Fakultet strojarstva i brodogradje 26

37 Iva Lulić Završi rad gdje je: y = y 1 y 2 y i [ y ] X = x 11 x 21 x 12 x 1j x 1k x 22 x 2j x 2k x i2 x ij x ik x i1 [ 1 x 1 x 2 x j x k] e = e 1 e 2 e i [ e ] β = β 1 β 2 β i [ β k ] U jedadžbi y = Xβ + e y je vektor opažeih vrijedosti zavise varijable, X je matrica čiji prvi stupac sadrži jediice, a ostali stupci promatrae vrijedosti ezavisih varijabli x 1, x 2,, x K, β je vektor epozatih parametara, a e je vektor slučajih varijabli ei, tj - dimezioala slučaja varijabla. X matrica se također aziva matrica modela. Želimo proaći vektor procjee ajmajih kvadrata β. Procjeitelj ajmajih kvadrata β dobiva se iz jedadžbe: L β = 0 (6.13) gdje je: L = e i 2 = e e = (y Xβ ) (y Xβ ) (6.14) Rješeje gorje derivacije daje am ormale jedadžbe metode ajmajih kvadrata, a oe izose: X Xβ = X y (6.15) Ove jedadžbe predstavljaju ormale jedadžbe metode ajmajih kvadrata zapisae u matričom obliku. Oe su idetiča raije prikazaom skalarom zapisu ormalih jedadžbi metode ajmajih kvadrata. Iz tih jedadžbi dijeljejem sa X'X dobivamo procjeitelje ajmajih kvadrata varijable β: β = (X X) 1 X y (6.16) Ako je ispujea polaza pretpostavka o ezavisosti regresorskih varijabli matrica X'X je iverzibila matrica. Fakultet strojarstva i brodogradje 27

38 Iva Lulić Završi rad Iz jedadžbi X Xβ = X y slijedi da je: X (y Xβ ) = X e = 0 (6.17) Odoso da je: y = Xβ = X(X X) 1 X y = hy (6.18) pri čemu je matrica X(X X) 1 X (tzv. hut matrica) projektor (odoso simetriča i idempoteta matrica). Kao što je već dokazao procjeitelj vektora parametara metodom ajmajih kvadrata je uz pretpostavku da su ispujee sve polaze pretpostavke o modelu, ajbolji lieari epristrai procjeitelj Procjea varijace σ 2 Kao i kod jedostave lieare regresije važa je procjea varijace σ 2 [6]. Prisjetimo se kako se kod jedostave lieare regresije procjea stadarde greške regresije σ 2 dobila dijeljejem zbroja kvadrata reziduala sa -2. S obzirom da kod jedostave lieare regresije postoje dva parametra, kod višestruke lieare regresije javlja se p parametara, stoga je logiča procjea varijace σ 2: σ 2 = SSE p (6.19) Formula za zbroj kvadrata reziduala SSE glasi: SSE = (y i y i) 2 = e i 2 = e e (6.20) Uvrštavajem e = y y = y Xβ u gorju formulu dobivamo formulu za zbroj kvadrata reziduala SSE matričog zapisa: SSE = y y β X y (6.21) Fakultet strojarstva i brodogradje 28

39 Iva Lulić Završi rad 6.3. Testovi hipoteza kod višestruke lieare regresije Kod višestruke lieare regresije određei testovi hipoteza korisi su za mjereje adekvatosti modela [6]. U ovom poglavlju opisat ćemo ekoliko važih procedura za testiraje hipoteza. Kao i kod jedostave lieare regresije, za testiraje hipoteza moraju biti zadovoljei uvjeti da su greške relacije ei međusobo ezavise, idetičo ormalo distribuirae slučaje varijable s očekivaom vrijedosti ula i varijacom σ Testiraje hipoteze o začajosti regresije Testiraje hipoteze o začajosti regresije je test kako bi se utvrdilo da li postoji lieari odos između zavise varijable y i ezavisih regresorskih varijabli x 1, x 2,, x K [6]. Postupci testiraja hipoteza o začajosti regresorskih varijabli u modelu višestruke lieare regresije mogu se svrstati u tri grupe [5]: Test o začajosti jede regresorske varijable (pojediači test) Test o začajosti svih regresorskih varijabli (skupi test; test o začajosti regresije) Test o začajosti podskupa regresorskih varijabli Test o začajosti jede regresorske varijable (pojediači test) U regresijskoj aalizi ajčešće se provode jedosmjeri testovi o začajosti pojedie varijable xj, jer se a osovi kvalitative ekoomske aalize za smjer veze između varijabli y i xj. Pri tom se tvrdja istraživača (rada hipoteza) formulira kao alterativa hipoteza. Hipoteze jedosmjerih testova o začajosti regresijskog parametra: H 0 : β j = 0 H 0 : β j = 0 H 1 : β j > 0 H 1 : β j < 0 Uz raziu sigifikatosti α (tj. uz zadau vjerojatost pogreške da se ul-hipoteza odbaci premda je istiita) hipoteza H0 se odbacuje ako je tj > tα u testu a gorju graicu, odoso ako je tj < -tα u testu a doju graicu. Ako testovi pokazuju da podaci isu u skladu s odabraim modelom, model je eprihvatljiv i treba ga zamijeiti ovim modelom. Test o začajosti svih regresorskih varijabli (skupi test; test o začajosti regresije) Nultom se hipotezom pretpostavlja da iti jeda od k regresorskih varijabli ema utjecaja a varijacije zavise varijable. Alterativa hipoteza je po svom sadržaju suprota ultoj hipotezi, pa glasi da je barem jeda od regresorskih varijabli začaja u modelu. Formalo, hipoteze se formuliraju: H 0 : β 1 = β 2 = = β k = 0 Fakultet strojarstva i brodogradje 29

40 Iva Lulić Završi rad H 1 : β j 0 j = 1,2,, k Odbacivaje H 0 : β 1 = β 2 = = β k = 0 zači da barem jeda od regresorskih varijabli x 1, x 2,, x K začajo dopriosi modelu [6]. Test o začajosti regresije je geeralizacija postupka koji se koristi kod jedostave lieare regresije. Ukupu suma kvadrata SST čii zbroj sume kvadrata odstupaja regresijskih vrijedosti varijable y od y i sume kvadrata odstupaja empirijskih vrijedosti varijable y od regresijskih vrijedosti odoso: SST = SSR + SSE (6.22) Ako je hipoteza H 0 : β 1 = β 2 = = β k = 0 istiita, SSR/σ 2 je hi-kvadrat slučaja varijabla s k stupjeva slobode. Broj stupjeva slobode hi-kvadrat slučaje varijable jedak je broju regresorskih varijabli u modelu. Također SSE/σ 2 je hi-kvadrat slučaja varijabla s p stupjeva slobode. Statistika ispitivaja za H 0 : β 1 = β 2 = = β k = 0 glasi: F 0 = SSR k SSE ( p) (6.23) Ukoliko i jeda regresorska varijabla ije začaja u modelu procjee varijaci vrijedosti u brojiku i aziviku trebale bi biti približo jedake. Hipotezu H0 odbacujemo ako su izračuate vrijedosti F0 veće od fα,k,-p. Postupak se ajčešće prikazuje preko tablice aalize varijace. Tablica 2: ANOVA - Aaliza varijace višestruke lieare regresije Izvor varijacije ss Suma kvadrata Protumače modelom k SSR Ne protumačea odstupaja -p SSE Ukupo -1 SST Sredia kvadrata SSR k SSE p F-omjer SSR k SSE ( p) Fakultet strojarstva i brodogradje 30

41 Iva Lulić Završi rad 6.4. Koeficijet determiacije r 2 i korigirai koeficijet determiacije r 2 r 2 = SSR SST = 1 SSE SST = 1 ( p) σ 2 (y i y ) 2 (6.24) Taj pokazatelj poprima vrijedosti u itervalu 0 r 2 1, a promatrai model je reprezetativiji što je koeficijet determiacije bliži jediici [5]. Međutim, kao što se vidi iz gorjeg izraza taj pokazatelj ima edostatak da ije epristra. Ako je populacijski koeficijet determiacije jedak uli, očekivaa vrijedost r 2 je različita od ule, jer je koeficijet determiacije veći što je veći broj regresorskih varijabli uključeih u model, bez obzira a to jesu li oe začaje za objašjavaje varijacija regresad varijable ili isu. Nepristraa procjea varijace varijable y izosi: σ y2 = (y i y ) 2 1 (6.25) Oa uvrštea u izraz za koeficijet determiacije daje izraz za korigirai koeficijet determiacije r 2 : r 2 = 1 1 p (1 r2 ) = 1 1 p SSE σ 2 SST = 1 σ y2 (6.26) Korigirai koeficijet determiacije koristi se kao jeda od mogućih kriterija za izbor modela višestruke lieare regresije. Prema tom kriteriju ajbolji je model s ajvećim r 2, što je ekvivaleto izboru modela s ajmajom procijejeom varijacom. Fakultet strojarstva i brodogradje 31

42 Iva Lulić Završi rad 7. Nelieari regresijski modeli 7.1. Poliomi regresijski model U situacijama u kojima fukcioala odos između zavise varijable y i ezavise varijable x e može biti adekvato aproksimira liearim odosom, odoso kada je odgovor (ezavisa varijabla) elieara, koristi se polioma regresija [7]. Model poliome regresije drugog stupja sa jedom ezavisom varijablom glasi: y = β 0 + β 1 x + β 2 x β k x k + e (7.1) U avedeom modelu y je zavisa ili regresad varijabla, x je u ezavisa ili regresorska varijabla, β 0, β 1,, β K su epozati parametri ili regresijski koeficijeti koje trebamo procijeiti, a e je slučaja varijabla. Procjee parametara β 1, β 2,, β K dobit ćemo metodom ajmajih kvadrata tako da miimiziramo L = (y i β 0 β 1x i β 2x 2 i β kx k i ) 2 mi (7.2) gdje su β 0, β 1,, β k procjee parametara β 0, β 1,, β k. S obzirom da su u točki u kojoj fukcija dostiže miimum jee prve parcijale derivacije jedake uli, to se svodi a rješavaje jedadžbe: L β = 0 (7.3) Pojedostavljivajem gorjeg izraza dobivamo ormale jedadžbe metode ajmajih kvadrata: β 0 + β 1 x i 2 k + β 2 x i + + β k x i = y i 2 3 k+1 β 0 x i + β 1 x i + β 2 x i + + β k x i = x i y i Fakultet strojarstva i brodogradje 32

43 Iva Lulić Završi rad 2 3 k+2 β 0 x i + β 1 x i + + β k x i = x i 2 y i β 0 x i k k+1 2k + β 1 x i + + β k x i = x i k y i (7.4) Postoje k + 1 ormale jedadžbe, po jeda za svaki od epozatih regresijskih koeficijeata. Rješavajem ormalih jedadžbi dobiti ćemo procjeitelje ajmajih kvadrata regresijskih koeficijeata Jedostavi ekspoecijali regresijski model Jedostavi ekspoecijali regresijski model je elieara u parametrima i ima oblik [11]: y = αβ x (7.5) Da bi proašli parametre "metodom ajmajih kvadrata" potrebo je model trasformirati da bude lieara u parametrima pomoću logaritamskih trasformacija: logy = logα + x logβ (7.6) Pri tome logaritmirae vrijedosti parametara dobijemo miimizirajući: L = log 2 e i = (logy i logy ) 2 i mi (7.7) odoso vrijedi: β = x ilogy i xlogy x 2 i x 2 (7.8) α = logy logβx (7.9) Fakultet strojarstva i brodogradje 33

44 Iva Lulić Završi rad Logaritamskom trasformacijom model postaje lieara u parametrima (iako elieara u varijablama), a ezavisa varijabla x ostaje u epromijejeom obliku. Koačo logaritmirae vrijedosti parametara ati logaritmiramo po bazi 10 da bismo dobili parametre u početoj jedadžbi ekspoecijale regresije. Mjere reprezetativosti, kao i jedadžba aalize varijace se izvode isto kao kod lieare regresije, koristeći logaritmirae vrijedosti log y i origiale vrijedosti varijable x. Procjea varijace varijable y izosi: σ logy = SSE p = log2 e i p (7.10) Koeficijet varijacije regresije izosi: V = σ logy logy 100 (7.11) Fakultet strojarstva i brodogradje 34

45 y, volume trošeja [10-4 mm 3 ] Iva Lulić Završi rad 8. Primjeri 8.1. Jedostava lieara regresija Sljedeći primjer preuzet je iz literature Motgomery D.C., Ruger G.C.: Applied Statistics ad Probability for Egieers, str Člaak u časopisu Wear (Vol. 152, 1992, str ) prikazuje podatke o trošeju mekog čelika i viskozosti ulja. Varijabla x prikazuje viskozost ulja, a varijabla y volume trošeje (10-4 mm 3 ) Tablica 3: Zavisost trošeja mekog čelika o viskozosti ulja 1 y x 1,6 9,4 15,5 20,0 22,0 35,5 43,0 40,5 33,0 Prvi korak u regresijskoj aalizi je crtaje dijagrama rasipaja, grafičkog prikaza točaka T(x,y). Na horizotaloj osi ističe se dio aritmetičkog mjerila koji obuhvaća opažee vrijedosti varijable x, a a vertikaloj dio aritmetičkog mjerila koji obuhvaća opažee vrijedosti varijable y. Dijagram rasipaja omogućuje da se uoči: Oblik veze među odabraim varijablama Smjer povezaosti Jakost povezaosti Zavisost volumea trošeja mekog čelika o viskozosti ulja =9 300,00 250,00 200,00 150,00 y = -3,5086x + 234,07 R² = 0, ,00 50,00 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00 x, viskozost ulja Slika 13: Dijagram rasipaja Fakultet strojarstva i brodogradje 35

46 Iva Lulić Završi rad Na temelju dijagrama rasipaja zaključuje se da je veza između x i y lieara (jer su točke raspoređee blizu ekog zamišljeog pravca) i egativa. Realo je za pretpostaviti da se trošeje mekog čelika i viskozost ulja može opisati modelom: Kako bi se odredio procijeje model: y = α + βx + e y = α + β x Potrebo je odrediti vrijedosti regresijskih koeficijeata α i β Tablica 4: Zavisost trošeja mekog čelika o viskozosti ulja 2 i x y xy x 2 y 2 1 1,60 240,00 384,00 2, ,00 2 9,40 181, ,40 88, , ,50 193, ,50 240, , ,00 155, ,00 400, , ,00 172, ,00 484, , ,50 110, , , , ,00 113, , , , ,50 75, , , , ,00 94, , , ,00 Suma 220, , , , ,00 Iz gorje tablice dobiveo je: 9 9 x = 220,50 y = 1333, xy = 26864,40 x 2 = 7053,67 y 2 = ,00 Uvrštavajem kokretih vrijedosti u jedadžbe za dobivaje koeficijeata regresije dobiva se da je: β = (xy) x y (x 2 ) ( x) 2 = 9x26864,4 220,5x1333 9x7053,67 220,5 2 = -3,5086 Fakultet strojarstva i brodogradje 36

47 Iva Lulić Završi rad α = y (x2 ) x (xy) y β x = (x 2 ) ( x) 2 = 1333 ( 3,5086x220,5) 9 = 234,0707 U kokretom slučaju, procijejea regresijska jedadžba glasi: y = 234,0707 3,5086x Regresijski koeficijet β = 3,5086 pokazuje da će se a temelju procijejeog modela, za smajeje volumea trošeja mekog čelika za 10-4 milimetara kubih viskozost ulja u prosjeku smajiti za 3,5086. U kokretom slučaju vrijedost α = 234,0707 ozačava očekivau vrijedost volumea trošeja (10-4 milimetara kubih) ako viskozost ulja izosi 0. Ako se za svaki i = 1, 2,..., u procijejeu regresijsku jedadžbu y = 234,0707 3,5086x uvrste stvare vrijedosti ezavise varijable x, dobivaju se regresijske vrijedosti y zavise varijable y. Prva regresijska vrijedost y dobiva se uvrštavajem prve vrijedosti varijable x koja izosi x1 = 1,60 pa je y = 234,0707 3,5086x1,6 = 228,46 Aalogo se dobivaju i ostale regresijske vrijedosti. Regresijske vrijedosti y procjee su vrijedosti stvarih vrijedosti zavise varijable y. U kokretom se primjeru, y se iterpretira a slijedeći ači: za viskozost ulja od 1,6 očekivaa vrijedost volumea trošeja mekog čelika izosi 228,46 milimetara kubih. Stvara volume trošeja mekog čelika y za vrijedost viskozosti ulja x = 1,6 je 240. Razliku čii rezidualo odstupaje e. Reziduala odstupaja razlike su stvarih vrijedosti zavise varijable od procijejeih. e i = y i y i i = 1,2,, U kokretom primjeru, prvo rezidualo odstupaje je: e 1 = y 1 y 1 = ,46 = 11,54 Fakultet strojarstva i brodogradje 37

48 Iva Lulić Završi rad U sljedećoj tablici prikazaa su sve ostale regresijske vrijedosti i reziduala odstupaja: Tablica 5: Zavisost trošeja mekog čelika o viskozosti ulja 3 i x y y i e e 2 1 1,60 240,00 228,46 11,54 133,24 2 9,40 181,00 201,09-20,09 403, ,50 193,00 179,69 13,31 177, ,00 155,00 163,90-8,90 79, ,00 172,00 156,88 15,12 228, ,50 110,00 109,52 0,48 0, ,00 113,00 83,20 29,80 887, ,50 75,00 91,97-16,97 288, ,00 94,00 118,29-24,29 589,93 Suma 220, , , ,96 9 SSE = ê i 2 = 2787,96 Pearsoov koeficijet regresije r izosi: (xy) x y r = [ (x 2 ) ( x) 2 ][ (y 2 ) ( y) 2 ] 9x26864,4 220,5x1333 = [9x7053,67 220,5 2 ][9x ] = 0,9378 Pripada p vrijedost izosi p = 0,0002. Budući da je p < 0,05, dobivei koeficijet je statistički začaja, tj. a uzorku od 9 promatraja postoji statistički začaja lieara veza između volumea trošeja mekog čelika i viskozosti ulja. Procjea pogreške regresijskog modela σ izosi: σ = 1 [y 2 i (α + βx i )] 2 = SSE = 2787,96 = 19, Fakultet strojarstva i brodogradje 38

49 Iva Lulić Završi rad Stadarda greška regresije ili stadarda devijacija regresije je apsoluti pokazatelj reprezetativosti regresijskog modela, a pokazuje prosječi stupaj varijacije stvarih vrijedosti ovise varijable u odosu a očekivae regresijske vrijedosti. Prikazai izraz odosi se a stadarda grešku (devijaciju) regresije jedostrukog modela. Ovaj pokazatelj izraže je u origialim jediicama mjere ovise varijable y. Stoga je a temelju stadarde greške regresije teško uspoređivati reprezetativost modela s različitim mjerim jediicama. Taj problem elimiira relativi pokazatelj - koeficijet varijacije regresije, koji predstavlja postotak stadarde greške regresije od aritmetičke sredie varijable y: V = σ y 100 = 19, /9 100 = 13,29 % Najmaja vrijedost koeficijeta varijacije je 0 %, a ajveća ije defiiraa. Što je koeficijet varijacije regresijskog modela bliži uli, to je model reprezetativiji. Često se uzima dogovorea graica reprezetativosti od 30 %. U kokretom primjeru koeficijet varijacije je maji od 30 % stoga zaključujemo da je model dobar. Kako bi olakšali izraču regresijskih koeficijeata te pokazatelja reprezetativosti modela izrađea je Excel tablica. Naračastom bojom ozačee su varijable x i y koje samostalo uosimo dok su žutom bojom ozačee varijable koje su automatski izračuate pomoću Excel fukcija. Na sljedećoj slici prikazaa je Excel tablica sa svim potrebim podacima za jedostavu liearu regresijsku aalizu. Slika 14: Excel tablica jedostave regresijske aalize Fakultet strojarstva i brodogradje 39

50 Iva Lulić Završi rad Fukcije korištee pri izradi tablice: Tablica 6: Excel fukcije za jedostavu liearu regresiju Koeficijet β (Slope) Koeficijet α (Itercept) Pearsoov koeficijet regresije, r (Correlatio coefficiet) Koeficijet determiacije, r2 (R-squared) Stadarda pogreška, σ (Stadard error) Pripada p-vrijedost, p COUNT SLOPE INTERCEPT CORREL RSQ STEYX TDIST Dobivee rezultate možemo usporediti sa rezultatima dobiveim pomoću programske aredbe Daa Aalysis u programskom alatu Excel. Na sljedećoj slici prikazai su rezultati dobivei pomoću programske aredbe Daa Aalysis u programskom alatu Excel: Slika 15: Rezultati jedostave lieare regresije dobivei pomoću aredbe Data Aalysis u programskom alatu Excel Fakultet strojarstva i brodogradje 40

51 Iva Lulić Završi rad Kao što je vidljivo a slici svi rezultati podudaraju se s rezultatima dobiveim ručim postupkom ili pomoću izrađeog algoritma u Excel tablici. U praksi koeficijeti regresijske aalize kao i svi ostali statistički pokazatelji e račuaju se ručo ego se koriste gotovi programski alati kao pr. aredba Daa Aalysis u programskom alatu Excel ili programski alat Statistica Višestruka lieara regresija Sljedeći primjer preuzet je iz literature Ross S., Probability ad Statistics for Egieers ad Scietists, str Vrijeme potrebo za otkaz kompoete stroja povezao je s radim apoom x1, brojem okretaja motora u okretajima po miuti x2 i radom temperaturom x3. Na temelju eksperimeata provedeih u laboratoriju za istraživaje i razvoj dobivei su sljedeći podaci gdje y predstavlja vrijeme potrebo do pojave kvara kompoete stroja u miutama: Tablica 7: Zavisost vremea otkazivaja kompoete stroja o radoj temperaturi, radom apou i broju okretaja motora 1 i y, mi x1, V x2, mi -1 x3, C Suma Kako bi se odredio procijeje model: y = α + β 1x 1 + β 2x 2 + β 3x 3 Potrebo je odrediti vrijedosti regresijskih koeficijeata α i β 1, β 2, β 3 Fakultet strojarstva i brodogradje 41

52 Iva Lulić Završi rad Iz tablice 6 dobivei su sljedeći podaci: x 1 = 1160 x 2 = 9020 x 3 = 1580 y = x 1 = x 2 = x 3 = y 2 = x 1 x 2 = x 1 x 3 = x 2 x 3 = x 1 y = x 2 y = x 3 y = Normale jedadžbe za višestruku liearu regresiju dobivee metodom ajmajih kvadrata u poglavlju 6.1. glase: α + β 1 x i1 + β 2 x i2 + + β k x ik = y i 2 α x i1 + β 1 x i1 + β 2 x i1 x i2 + + β k x i1 x ik = x i1 y i 2 α x ik + β 1 x ik x i1 + β 2 x ik x i2 + + β k x ik = x ik y i Uvrštavajem kokretih vrijedosti u ormale jedadžbe dobiva se: 10α β β β 3 = α β β β 3 = α β β β 3 = α β β β 3 = Fakultet strojarstva i brodogradje 42

53 Iva Lulić Završi rad Rješavajem sustava jedadžbi dobivaju se koeficijeti višestruke lieare regresije: α = 1108,72 β 1 = 8,6393 β 2 = 0,2608 β 3 = 0,7114 Za kokreti slučaj, procijejea regresijska jedadžba glasi: y = 1108,72 + 8,6393x 1 + 0,2608x 2 0,7114x 3 Ako se za svaki i = 1, 2,..., u procijejeu regresijsku jedadžbu y = 1108,72 + 8,6393x 1 + 0,2608x 2 0,7114x 3 uvrste stvare vrijedosti ezavisih varijabli x, dobivaju se regresijske vrijedosti y zavise varijable y. Prva regresijska vrijedost y dobiva se uvrštavajem varijabli x1, x2, x3 pa je y = 1108,72 + 8,6393x ,2608x750 0,7114x140 = 2155,03 Aalogo se dobivaju i ostale regresijske vrijedosti. Regresijske vrijedosti y procjee su vrijedosti stvarih vrijedosti zavise varijable y. U kokretom se primjeru, y se iterpretira a slijedeći ači: za radi apo od 110 V, broj okretaja motora 750 mi -1 i radu temperaturu 140 C očekivao vrijeme pojave kvara kompoete stroja je ako 2155,03 miute. Stvara vrijeme pojave kvara kompoete stroja y za radi apo od 110 V, broj okretaja motora 750 mi -1 i radu temperaturu 140 C izosi 2145 miuta. Razliku čii rezidualo odstupaje e. Reziduala odstupaja razlike su stvarih vrijedosti zavise varijable od procijejeih. e i = y i y i i = 1,2,, U kokretom primjeru, prvo rezidualo odstupaje je: e 1 = y 1 y 1 = ,03 = 10,03 Fakultet strojarstva i brodogradje 43

54 Iva Lulić Završi rad U sljedećoj tablici prikazaa su sve ostale regresijske vrijedosti i reziduala odstupaja: Tablica 8: Zavisost vremea otkazivaja kompoete stroja o radoj temperaturi, radom apou i broju okretaja motora 2 i y, mi x1, V x2, mi -1 x3, C y i ei e ,03-10,03 100, ,65 2,35 5, ,22-0,22 0, ,85 7,15 51, ,43 18,57 345, ,05 26,95 726, ,62 27,38 749, ,56-24,56 602, ,58-2,58 6, ,01-45, ,35 Suma SSE = ê i 2 = 4615 Kao i kod primjera jedostave lieare regresije važa je procjea varijace σ. Kod jedostave lieare regresije procjea stadarde greške regresije σ dobila dijeljejem zbroja kvadrata reziduala sa -2. S obzirom da kod jedostave lieare regresije postoje dva parametra, kod višestruke lieare regresije javlja se p parametara, stoga je logiča procjea varijace σ : σ = SSE p = = 27,73 Koeficijet varijacije regresije koji predstavlja postotak stadarde greške regresije od aritmetičke sredie varijable y: V = σ y 100 = 27, / = 1,24 % U kokretom primjeru koeficijet varijacije izosi 1,24 % što je maje od 30 % stoga zaključujemo da je model dobar. Fakultet strojarstva i brodogradje 44

55 Iva Lulić Završi rad Kako bi olakšali izraču regresijskih koeficijeata kao i kod primjera jedostave lieare regresije izrađea je Excel tablica. Naračastom bojom ozačee su varijable x1, x2, x3, i y koje samostalo uosimo dok su žutom bojom ozačee varijable koje su automatski izračuate pomoću Excel fukcija. Na sljedećoj slici prikazaa je Excel tablica sa svim potrebim podacima za višestruku liearu regresijsku aalizu: Slika 16: Excel tablica višestruke regresijske aalize Fukcija korištea pri izradi tablice: Tablica 9: Excel fukcija za višestruku liearu regresiju Koeficijeti α i β LINEST Fakultet strojarstva i brodogradje 45

56 Iva Lulić Završi rad Kao i u primjeru jedostave lieare regresije dobivee rezultate možemo usporediti sa rezultatima dobiveim pomoću programske aredbe Daa Aalysis u programskom alatu Excel. Na sljedećoj slici prikazai su rezultati dobivei pomoću programske aredbe Daa Aalysis u programskom alatu Excel: Slika 17: Rezultati višestruke lieare regresije dobivei pomoću aredbe Data Aalysis u programskom alatu Excel Kao i u primjeru jedostave lieare regresije svi rezultati se podudaraju sa ručo dobiveim rezultatima te rezultatima dobiveih pomoću izrađeog algoritma u Excel tablici. Fakultet strojarstva i brodogradje 46

57 Iva Lulić Završi rad Optimizacija ezavisih varijabli uz ciljau izlazu vrijedost (ezavisu varijablu) Nako dobivaja procijejeih koeficijeata višestruke lieare regresije te procijejee regresijske jedadžbe y = 1108,72 + 8,6393x 1 + 0,2608x 2 0,7114x 3 pretpostavimo da želimo dobiti ciljau izlazu vrijedost odoso vrijeme potrebo za otkaz kompoete stroja y = 2100 mi uz uvjete da ezavise varijable izose: radi apo stroja x1 110 V, broj okretaja motora x2 900 mi -1, rada temperatura stroja x3 150 C. S obzirom da je vrijeme potrebo za otkaz kompoete stroja povezao s radim apoom x1, brojem okretaja motora x2 i radom temperaturom x3 imamo jedu jedadžbu s tri epozaice. Za optimizaciju parametara x1, x2 i x3 koristi se aredba Solver u programskom alatu Excel. Na sljedećoj slici prikazaa je aredba Solver te dobivei rezultati uz zadae uvjete: Slika 18: Naredba "Solver" u programskom alatu Excel Za ciljau vrijedost zavise varijable y = 2100 optimizirae ezavise varijable izose x1 = 99,11, x2 = 899,67, x3 = 140 što zači da će se otkaz kompoete stroja pojavit ako 2100 miuta rada ako je radi apo stroja 110 V, brzia vrtje stroja 899,67 mi -1 te rada temperature stroja 140 C. Fakultet strojarstva i brodogradje 47