STATISTIKA. 1. Osnovni pojmovi

Transcript

1 STATISTIKA. Osovi pojmovi Matematička statistika se bavi proučavajem skupova sa velikim brojem elemeata, koji su jedorodi u odosu a jedo ili više zajedičkih kvalitatitvih ili kvatitativih svojstava. Kako idividuali slučajevi mogu pokazivati maja ili veća odstupaja od prosečog ili tipičog, to je eophodo da se posmatraju u velikom broju, u masi, da bi se otkrilo oo što je jima opšte i zakoito - jer se zakoitost ispoljava u masi. Predmet ispitivaja Matematičke statistike su skupovi (populacije, mase čiji su elemeti objekti i pojave razolikog karaktera. Skip elemeata koji posmatramo zove se populacija (ili geerali skup, ili prostor uzoraka. Kod svakog elemeta (statističke jediice posmatramo jegovu odred eu umeričku karakteristiku X, koju azivamo obeležjem. Ako populaciju posmatramo kao skup Ω elemetarih dogad aja ω, oda je obeležje X = X(ω umerička fukcija defiisaa ad Ω. Primer. Kutija sadreži N kuglica od kojih N p belih i N q crih (p + q =. Tih N kuglica u kutiji čii jedu populaciju. Kao obeležje svakog elemeta (kuglice uzećemo jeu boju. To ije umerička karakteristika, ali može se lalo svesti a takvu. Na primer, stavimo da je obeležje ako je kuglica bela i 0 ako je cra (kodiraje. Primer 2. Skup svih seoskih domaćistva eke zemlje čii jedu populaciju. Obeležje svakog domaćistva može da bude veličia poseda, broj koja, prios pšeice, itd. Primer 3. Celokupa proizvodja fabrike sijalica čii jedu populaciju. Obeležje svake sijalice može, a primer, da bude,,dužia života izražea u časovima. Broj elemeata populacije može da bude koača ili beskoača (prebrojiv ili eprebrojiv. Primetimo da kod svakog elemeta možemo da posmatramo e samo jedo obeležje, već dva ili više istovremeo (Primer 2. U tom slučaju poekad je od iteresa posmatrati jihovu med uzavisost. Osovi problem kojim se Matematička statistika bavi sastoji se u sledećem: za datu populaciju aći raspodelu datog obeležja a jeim elemetima. U toku statističkog proučavaja mogu se razlikovati tri etape: statističko posmatraje; 2 grupisaje i sred ivaje podataka; 3 obrada sa aučom aalizom rezultata. Primer. Zamislimo da am je epozat broj belih i crih kuglica. Raspodelu obeležja zaćemo ako oderdimo broj p jer tada imamo Np belih i N Np = Nq crih kuglica. Primer 2. Ako je obeležje veličia poseda, raspodelu tog obeležja imamo ako zamo koliko je poseda od 0 do hektara, 2 hektara, itd. Primer 3. Raspodelu,,dužie života zamo ako am je pozat proceat proizvedeih sijalica čija je,,dužia života u odred eim graica [a, b] za svako a, b (a < b. Statistička ispitivaja mogu se podeliti a dve vrste:

2 2 potpua ispitivaja celokupe populacije; 2 delimiča ispitivaja, odoso ispitivaje jedog dela populacije (uzorka. Prva vrsta ispitivaja je vrlo retka u praksi. U ogromoj većii slučajeva koje srećemo u primeama ije moguće dobiti kompletu iformaciju o raspodeli obeležja u celoj populaciji. Razlog može da leži u brojosti populacije, u velikim troškovima vezaim sa registrovajem obeležja kod svakog elemeta, velikim gubitkom vremea, uištavaju elemeata populacije (Primer 3, itd. Zbog avedeih teškoća, po pravilu se iz cele populacije uzima jeda deo i to koača i o se izučava. Taj deo se zove uzorak. Broj elemeata u uzorku je koača i zove se obim uzorka. Na izabraom uzorku regustruje se obeležje kod svakog elemeta a zatim se vrši ekstrapolacija a celu populaciju, tj. dobijea raspodela obeležja proširuje se sa uzorka a ceo skup. Odmah se ameće pitaje tzv. reprezetativosti takvog uzorka. Bez matematičke rigorozosti možemo reći da je eki metod uzimaja dela populacije reprezetativa, ako je kriterijum po kome se uzima taj deo ezavisa od obeležja koje posmatramo. Jeda od ačia postizaja reprezetativosti je da taj deo izaberemo slučajo. Metod slučajog uzorka sastoji se u tome da se slučajo bira elemet ω iz Ω i registruje jegovo obeležje X = X(ω. Dakle, obeležje X je slučaja promeljiva i eka je F (x jea fukcija raspodele. Ako vršimo takvih biraja elemeata, odoso registrovaja obeležja X, imamo uzorak obima, tj. -dimezioalu slučaju promeljivu (X,..., X, gde je X i (i =,..., obeležje X u i-tom biraju. Prost slučaji uzorak je uzorak kod koga su slučaje promeljive X i (i =,..., ezavise i imaju istu raspodelu kao X. Odred ee umeričke vredosti kojima registrujemo slučaje promeljive X i (i =,..., obeležavamo malim slovima x i. -dimezioali vektor (x,..., x baziva se realizova uzorak. Ocea geeralog skupa (populacije a osovu podataka iz uzorka, predstavlja oblik iduktivog uopštavaja: osobie ispitaog dela pripisuju se celii iz koje je uzet. Da bi uzorak dobro reprezetovao geerali skup, mora da budu ispujei sledeći uslovi: svaki elemet geeralog skupa mora da ima jedaku šasu da ud e u uzorak; 2 uzorak mora da bude dovoljo broja. Osovi zadatak Matematičke statistike jeste da pomoću uzorka (X,..., X odredi raspodelu F (x obeležja X. Da je to moguće tvrdi cetrala teorema statistike (o kojoj će biti reči kasije pod uslovom da je vrlo veliko. Kako u primeama radimo samo sa koačim obimom uzorka, raspodelu za X možemo da odredimo samo približo, utoliko tačije ukoliko je veće. U rešavaju postavljeog problema radimo sa fukcijama slučajog uzorka (X,..., X. Defiicija. Za dati prost uzorak (X,..., X, empirijska fukcija raspodele defiiše se, za svako x R, sa S (x = k/, gde je k broj elemeata iz uzorka koji isu veći od x. Neka je X (, X (2,..., X ( varijacioi iz, koji čie vredosti slučajih promeljivih X, X 2,..., X ured ee po veličii od ajmaje do ajveće. Tada se empirijska raspodela može odrediti pomoću 0, ako je x < X (, k S (x =, ako je X (k x X (k+, k,, ako je x X (. ( Primer 4. U eksperimetu su dobijee sledeće broje vredosti uzorka obima = 0 : 9, 5, 7,, 7, 9, 7, 2, 7, 5. Varijacioi iz je 7, 7, 7, 9, 9,, 2, 5, 5, 7. Iz jedakosti ( ili direkto iz Defiicije alazimo da je

3 S (x = 0, x < 7, 3 0, 7 x < 9, 5 0, 9 x <, , x < 2,, 2 x < 5,, 5 x < 7,, x 7. 3 Stepeasta kriva empirijske fukcije raspodele S (x prikazaa je a gorjoj slici deso. Neka je X R fiksirao. Defiišimo Y i = ako je X i x i Y i = 0 ako je X i > x. Tada zbir Y + +Y predstavlja broj oih slučajih promeljivih iz uzorka X,..., X čije su vredosti x, pa je S (x = Y + + Y. Prema zakou velikih brojeva za svako fiksirao x R važi ( P lim S (x = F (x + =. (2 Ovaj rezultat opravdava aproksimaciju fukcije raspodele jeom empirijskom raspodelom dobijeom iz uzorka. Sledeća teorema, pozata i pod azivom cetrala teorema statistike, tvrdi da je ta aproksimacija uiforma po x : Teorema (Gliveko-Katelijeva teorema. Ako je F (x fukcija raspodele slučaje promeljive X i S empirijska fucija raspodele dobijea iz prostog uzorka (X,..., X obima, tada je ( P sup S (x F (x 0, kada + x R =. Smisao ove teoreme je sledeći: kada je uzorak dovoljo broja, tada sa verovatoćom bliskom jediici empirijska raspodela se malo razlikuje od teorijske, drugim rečima, ukoliko je uzorak brojiji, utoliko bolje reprezetuje celokupost. 2. Prikazivaje statističkih podataka iz uzorka Eksperimetali podaci se, radi statističke obrade, predstavljaju a dva osova ačia: tabličo i grafički. Tabliči metod daje podatke u obliku tabele, često pored ae u rastućem poretku dajući tzv. varijacioi iz obeležja. O pruža osovu za dalja razmatraja u vezi sa raspodelom. Primer 5. U 20 odeljeja osove škole registrova je broj učeika sa atprosečim sposobostima: 5, 6, 8, 0, 9, 8, 4, 7, 7, 3, 6, 4, 8, 7, 6, 6, 5, 3, 6, 6. Varijacioi iz uzorka je: 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 0. Za odred ivaje raspodele obeležja koristi se sledeća tabela: Tabela

4 4 U tabeli su korišćee ozake: k broj odeljeja sa posmatraim brojem atprosečih učeika, f apsoluta učestaost, f relativa učestaost, x broj odeljeja sa e više od x atprosečih učeika, f zbira (kumulativa učestaost, f zbira relativa učestaost. Od posebog iteresa su zbire relative učestaosti S (x = x /, gde je x, zapravo, slučaja veličia. Kao što smo raije videli, a što se može zapaziti i iz tabele X, fukcijom S (x = x / je odred ea empirijska fukcija raspodele obeležja X (broj atprosečih učeika u pojediim odeljejima u Primeru X. Kod obeležja apsoluto eprekidog tipa podaci u tabeli se sred uju po uapred odabraim itervalima (klasama. Broj i raspored itervala zavisi od broja podataka i samog obeležja. Strogog pravila za izbor broja i dužie itervala ema, ali se u praksi preporučuje da broj itervala k zadovolji ejedakosti log 0 = + log 2 k 5 log 0 za obim uzoraka. Broj itervala k se može odrediti i a jeda od sledećih ačia: k =, k = 2 /3 ili k = 5 log 0. Dužie itervala se odred uju a sledeći ači: Odred uju se ajmaja x mi i ajveća x max vredost u realizovaom uzorku (x,..., x, a zatim se dužia itervala račua po formuli h = x max x mi, k pri čemu se vodi račua da su graice itervala jedostave za rad (celi brojevi, brojevi deljivi sa 5 i sličo. Raspodela obeležja grafički se prikazuje preko učestaosti, zbirih učestaosti ili zbirih relativih učestaosti, tj. emprijiske fukcije raspodele. Grafički metodi prikaza su ajčešće poligo, kumulativa kriva, razi dijagrami, histogram (isključivo za obeležje apsoluto eprekidog tipa i sličo. Na slikama od do 3 prikazai su podaci koji se odose a Primer 5. Figure a slikama a i b su poligoi, a a slikama 2 i 3b su trakasti dijagrami. Kumulativa kriva relativih učestaosti sa slike 3a prikazuje emprijsku fukciju raspodele. Sl. Poligoi: a apsolutih učestaosti; b relativih učestaosti u % (Primer 5

5 5 Sl. 2 Trakasti dijagram apsolutih ušetaosti (Primer 5 Sl. 3 a Kumulativa kriva relativih učestaosti; b trakasti dijagram zbirih učestaosti (Primer 5 Primer 6. Testom za proveru motorih sposobosti je mere ivo sposobosti učeika jedog odeljeja i dobijei rezultati su svrstai u tri kategorije: izak (, sredji (s i visok (v ivo sposobosti. U odeljeju je registrova sledeći iz podataka:,, s, v, s, s, s,, v, v, s, s, s,, v, v, v, s, v,,, s, v, s. Na osovu iza realizacija dobijea je tabela Tabela 2 Prilikom grafičkog prikaza kvalitativih obeležja, vredosti obeležja se mogu proizvoljo pored ati, recimo prema rašćeju ili opadaju učestaosti, azbučom redu, itd. Na slikama 4 i 5 prikazaa su četiri karakterističa ačia ilustracije apsolute učestaosti kod kvalitativih obeležja (za Primer 6.

6 6 Sl. 4 a Vertikali i b horizotali trakasti dijagram (Primer 6 Sl. 5 Podela a kruga (,,pita,,,kolač i b pravougaoika za prikazivaje učestaosti u uzorku (Primer 6 Defiicija 2. Statistika Z je fukcija uzorka Z = f(x,..., X koja e zavisi eksplicito od epozatih parametara. Statistika je slučaja promeljiva koja opisuje empirijsku raspodelu obeležja X. Neke važije statistike su. X mi miimum uzorka ili ajmaja vredost uzorka; 2. X max maksimum uzorka ili ajveća vredost uzorka; 3. R = X max X mi raspo uzorka; 4. X = X k sredia uzorka; 5. S 2 = (X k X 2 disperzija uzorka; 6. S 2 = (X k X 2 popravljea disperzija uzorka; 7. S = S 2 stadardo odstupaje uzorka; 8. T = X k total uzorka;

7 7 9. koeficijet korelacije uzorka gde je S X = R X,Y = Xk 2 (X 2, S Y = X i Y i X Y i= S X S Y, Y 2 k (Y 2. Napomea. Disperzija uzorka S 2 se jedostavije račua po formuli Zaista, imamo S 2 = = S 2 = Xk 2 X 2. (X k X 2 = Xk 2 2 X (Xk 2 2X X k + X 2 X k + X 2 = Xk 2 X 2. Primer 7. U Primeru obeležje X uzima dve vredosti: ako je kuglica bela i 0 ako je kuglica cra. Slučaja promeljiva X ima Berulijevu raspodelu verovatoća ( 0 X :. p q Prost slučaja uzorak obezbed ujemo ako kuglice izvlačimo jedu po jedu i pošto kod svake registrujemo jeu boju vraćamo je u kutiju pre sledećeg izvlačeja. Raspodela obeležja X potpuo je odred ea parametrom p. Izmeimo ozake tako što ćemo uzorak (X,..., X preimeovati u (I,..., I, gde je I k (k =,..., u stvari idikator dogad aja da u k-tom izvlačeju kuglica bude bele boje. Tada je slučaja promeljiva S = I + I I jeda statistika koja predstavlja broj izvučeih belih kuglica. Opisai eksperimet sa Berulijevom raspodelom dužie defiiše biomu raspodelu S : B(, p za koju zamo da je E(S = p i σ 2 (S = pq. Uvedimo statistiku X = S = X + + X. Kako je E(X = E(S = p, a osovu zakoa velikih brojeva sledi P ( X p ε 0 kad, tj. statistika X sve je bliža epozatom parametru p sa porastom obima uzorka. Na osovu cetrale graiče teoreme možemo više da kažemo o ovoj približosti i da je oceimo. Kako S ima približo raspodelu N (p, pq, sledi da X = S / takod e ima približo ormalu raspodelu sa parametrima E(X = p, σ 2 (X = σ 2 (S 2 = pq. Primetimo da pq = p( p = p p 2 za 0 < p < ije veće od /4. Dakle, σ 2 (X 4. Na primer, za ( = 00 raspodela za X 00 je približo N p, pq i disperzija ije veća od /400. Gustia raspodele skiciraa 00

8 8 je a slici 6. Vidimo da su verovatoće odstupaja X od epozatog parametra p vrlo male. Na primer P ( X 00 p < 0. ( S 00 = P = P = P ( S 00 00p < 0 00 p < 0. ( S 00 00p 0 < = P 00pq 00pq ( S 00 00p 00pq < pq ( P Z < P ( Z < 2 = 2Φ(2 = = pq Sl. 6 Dakle,,,šase da X 00 odstupi od epozatog parametra p više od 0. maje su od 5%. Hi kvadrat raspodela 3. Neke raspodele važe u statistici U Teoriji verovatoće, razmatrajući raspodele eprekidih slučajih promeljivih, defiisali smo Gama raspodelu sa parametrima α i λ, u ozaci Γ(α, λ. Za ovu raspodelu je f(x = λα e λx x α, E(X = α Γ(α λ, D(X = α λ 2, ϕ(t = λ α (λ it α. (3 Poseba slučaj ove raspodele, Γ( 2, 2 ima važe primee u verovatoći i statistici. Defiicija 3. Raspodelu defiisau gustiom f(x = 2 /2 Γ( 2 x 2 e x 2, (x > 0 azivamo hi kvadrat raspodelom sa stepei slobode, u ozaci χ 2 (. Broj može biti proizvolja pozitiva broj, ali je u primeama važa slučaj kada je priroda broj. Za = 2 dobija se E(/2 raspodela. Na sl. 7 prikazaa je gustia fukcije za ekoliko stepei slobode.

9 9 Sl. 7 Gustie hi kvadrat raspodele Na osovu izraza za karakterističu fukciju Gama raspodele (3, u specijalom slučaju za α = /2 i λ = /2 dobijamo karakterističu fukciju χ 2 ( raspodele ϕ(t =. (4 ( 2it /2 Teorema 2. Neka su X,..., X ezavise slučaje promeljive sa N (0, raspodelom i eka je Slučaja promeljiva V ima χ 2 ( raspodelu. V = X X 2, N. Dokaz. Slučaja promeljiva V je zbir ezavisih slučajih promeljivih sa istom raspodelom. Karakterističa fukcija svakog sabirka je ϕ 0 = E(e itx2, X N (0,, odoso, ϕ 0 (t = 2π + e itx2 e x2 /2 dx = + 2π ( exp x2 ( 2it 2 dx = 2it. Pored ejem sa (4 vidimo da svaka od ezavisih slučajih promeljivih Xi 2 (i =,..., ima χ 2 ( raspodelu. S obzirom da su X,..., X ezavise sluǎcje promeljive, karakterističa fukcija jihovog zbira je ( ϕ(t = ϕ 0 (t = ( 2it /2, a ovo je karakterističa fukcija χ 2 ( raspodele. Time je dokaz završe. Da bismo istakli da slučaja promeljiva V ima χ 2 ( raspodelu, u astavku ćemo umesto V pisati χ 2. Iz (3 (za α = /2 i λ = /2 dobijamo E(χ 2 =, D(χ 2 = 2. (5 Iz oblika karakterističe fukcije (4 vidimo da zbir ezavisih slučajih promeljivih sa χ 2 ( i raspodelom (i =,..., k ima χ 2 ( + + k raspodelu. Naziv,,broj stepei slobode, koji se koristi za parametar hi kvadrat raspodele, potiče uglavom od ove osobie. Suštiski, broj stepei slobode ozačava broj liearo ezavisih slučajih promeljivih med u X, X 2,..., X u izrazu za χ 2. Ako bi,

10 0 a primer, med u X, X 2,..., X postojala jeda lieara veza, recimo X + X X = 0, tada bismo imali χ 2 = X 2 + X X 2, dakle, broj stepei slobode je umaje za. Koristeći osobiu karakterističe fukcije ezaviso promeljivih, lako se dokazuje sledeća teorema. Teorema 3. Ako su X i Y ezavise slučaje promeljive takve da X ima χ 2 (raspodelu a Y χ 2 (r raspodelu, tada X + Y ima χ 2 ( + r raspodelu. Dokaz. Kako je ϕ X (t = ( 2it /2 i ϕ Y (t = ( 2it r/2, iz ezavisosti X i Y sledi ϕ X+Y (t = ϕ X (tϕ Y (t, tj. ϕ X+Y (t = ( 2it /2 ( 2it r/2 = ( 2it +r 2, a to je karakterističa fukcija χ 2 ( + r raspodele. Verovatoće vezae za hi kvadrat raspodelu daju se tabelaro (videti Tabelu II. S obzirom a ajčešću primeu u Matematičkoj statistici te tablice su tako sačijee da za dati stepe slobode (običo =, 2,..., 30 i dati broj α (0 < α < (običo α = 0.0, 0.05,..., 0.80 u tablici čitamo broj χ 2 ;α (ovo ije slučaja promeljiva, za razliku od χ 2 takav da je P (χ 2 χ 2 ;α = α. Sl. 8 Na sl. 8 prikazaa je jeda hi kvadrat gustia, broj χ 2 ;α i broj α koji (kao verovatoća predstavlja površiu izmed u x-ose i krive gustie za x > χ 2 ;α. U tablicama se broj stepei slobode običo e daje za 30. Za 30 a osovu cetrale graiče teoreme χ 2 ima približo (i to za primee sasvim zadovoljavajuće tačo ormalu raspodelu. Kako je E(χ 2 = i D(χ 2 = 2, zači da χ 2 ima probližo N (, 2 raspodelu. Precizije, važi teorema. Teorema 4. Kada +, fukcija raspodele sluǎje promeljive χ 2 2 kovergira fukciji raspodele N (0,. Raspodela matematičkog očekivaja µ i sredie X = (X + + X / je razmatraa u sledećoj teoremi.

11 Teorema 5. Neka su X,..., X ezavise slučaje promeljive sa istom raspodelom N (µ, σ 2. Tada važi σ 2 (X k µ 2 χ 2 (, 2 σ 2 (X k X 2 χ 2 (. Napomea 2. U slučaju 2 broj stepei slobode je jer med u slučajim promeljivim X k X postoji jeda lieara veza (X k X = X k X = 0. Napomea 3. Posmatrajmo disperziju uzorka iz ormale populacije (tj. populacije čije je obeležje X N (µ, σ 2 S 2 = (X k X 2. Na osovu 2 sledi da slučaja promeljiva S2 σ 2 ima χ 2 ( raspodelu. Primer 8. Neka obeležje X ima E(X = µ i D(X = σ 2. Ako je obim uzorka (X,..., X veliki (recimo 30, tada a osovu cetrale graiče teoreme sredima uzorka ima približo ormalu raspodelu. Kako je ( E(X = E X = X + + X X k = E(X k = µ = µ i ( D(X = D X k = 2 D(X k = 2 σ2 = σ2, sledi da je to ormala raspodela N (µ, σ 2 /. Primetimo da smo u gorjem izračuavaju E(X i D(X koristili čijeicu da je (X,..., X prost uzorak, tj. da su X,..., X ezavise slučaje promeljive i da svaka ima istu raspodelu kao i obeležje X. Na osovu dobijeog rezultata vidimo da stadardizovaa slučaja promeljiva X µ σ/ ima ormalu raspodelu N (0,. Studetova t raspodela Neka su X,..., X ezavise slučaje promeljive sa N (µ, σ 2 raspodelom. Na osovu Primera 8 sledi da stadardizovaa slučaja promeljiva X = X µ σ/

12 2 ima stadardu ormalu N (0, raspodelu. Med utim, ako σ 2 ije pozato, uzima se ocea i formira se slučaja promeljiva s 2 = (X k X 2 t = X µ s/ čija raspodela je pozata pod azivom t raspodela ili Studetova raspodela. Ovu raspodelu je otkrio i proučavao Vilijam Goset početkom dvadesetog veka. O je radio u Guiessovoj pivari u Dabliu (Irska i iz poslovih razloga koristio je pseudoim Studet. Defiicija 4. Raspodela defiisaa fukcijom gustie f(x = Γ( ( (+/2 + 2 ( π Γ + x2, x R, > 0 2 aziva se Studetovom t raspodelom sa stepei slobode, u ozaci t(. Parametar može biti proizvolja pozitiva broj, ali se ova raspodela uglavom koristi kada je N. Za veliko, t( raspodela može se aproksimirati N (0, raspodelom, kao što se vidi a slici 9. Sl. 9 Gustie t( raspodele za = 2, 5, 5 u pored eju sa ormalom N (0, raspodelom (isprekidaa liija Primee t raspodele proizilaze iz sledeće teoreme. Teorema 6. Neka su slučaje promeljive Z N (0, i χ 2 ezavise. Tada slučaja promeljiva t = Z χ 2 ima t( raspodelu. Kao i u slučaju χ 2 raspodele, verovatoće vezae za t raspodelu daju se tabličo (Tabela III. Za odred ei broj stepei slobode i dati broj α (0 < α <, iz tablica se čita pozitiva broj t ;α takav da je P ( t t ;α = α.

13 Na slici 0 verovatoća je prikazaa kao zbir šrafiraih površia koje odgovaraju dogad aja {t t ;α } i {t t ;α }. Primetimo da je P ( t t ;α = P (t t ;α + P (t t ;α = α 2 + α 2 = α. 3 Sl. 0 Teorema 7. Ako je (X,..., X uzorak iz populacije sa obeležjem X koje ima ormalu raspodelu N (µ, σ 2, tada statistika X µ S ima Studetovu t( raspodelu. Dokaz. Jedostavim trasformacijama počete statistike dobijamo X µ (X µ = σ S S 2 σ = X µ σ. S 2 σ 2 ( X µ S 2 ima stadardu N (0, raspodelu (Primer 8, a σ σ 2 ima χ 2 ( raspodelu (Napomea 3. Koristeći Teoremu 6 zaključujemo da X µ ima Studetovu t( raspodelu. S 4. Ocee parametara Neka je (X,..., X ezavisa uzorak iz eke raspodele. U opštem slučaju ovaj uzorak zavisi od epozatog parametra θ, gde θ može biti vektor (kao u slučaju ormale raspodele, θ = (µ, σ 2 ili skalar (kao kod Puasoove raspodele θ = λ. Skup mogućih (dozvoljeih vredosti parametra θ obeležavamo sa Θ. Problem ocee parametara sastoji su u tome da se ad e statistika ˆθ = ˆθ(X,..., X kojom će se oceiti parametar θ. Ta ocea može biti ad ea a dva ačia: kao tačkasta ili itervala ocea. Ako za oceu parametra θ u jedom realizovaom uzorku (x,..., x uzmemo broj u = ˆθ(x,..., x, to je tzv. tačkasta ocea. Cilj je odabrati takvu statistiku ˆθ koja daje bliske vredosti epozatom parametru θ koji ocejujemo.

14 4 Tačkaste ocee Navešćemo eke kriterijume a osovu kojih procejujemo koliko je dobra izabraa tačkasta ocea. Defiicija 5. Neka je ˆθ = ˆθ(X,..., X statistika koja se koristi kao ocea parametra θ. Kažemo da je ˆθ stabila ili postojaa ocea za θ ako ˆθ kovergira u verovatoći ka θ kada +, tj. ako je lim + P ( ˆθ θ > ε = 0 za svako θ Θ i ε > 0. Ocea je cetriraa ako je E(ˆθ = θ za svako θ Θ. Ocea je asimptotski cetriraa ako E(ˆθ θ kada +. Napomea 4. Svaka stabila ocea parametra θ je asimptotski cetriraa. S druge strae, svaka cetriraa ocea ije stabila. Primer 9. Neka je (X,..., X ezavisa uzorak iz raspodele sa epozatim matematičkim očekivajem µ. Oceimo ovaj parametar pomoću sredie uzorka X = X + + X. U Primeru 8 vudeli smo da je E(X = µ. Ocea X je cetriraa. To zači da ako poavljamo ocejivaje veliki broj puta,,,u proseku dobijamo tača rezultat µ. Pokažimo da je ocea i stabila. Na osovu zakoa velikih brojeva sledi da je ( lim P X k µ ε 0, + te je ocea i stabila (postojaa. Primer 0. Neka je (X,..., X prost uzorak. Ispitajmo da li je disperzija uzorka S 2 cetriraa u odosu a disperziju σ 2. Najpre izračuavamo Kako je imamo da je ( E(S 2 = E ( = E (X k X 2 ( = E Xk 2 X 2 = E(X 2 = 2 E ( X 2 k + i j Xk 2 2 X X k + X 2 E(Xk 2 E ( X 2 = E(X 2 E(X 2. X i X j = E(X2 + E2 (X, E(S 2 = E(X2 E2 (X = σ2. (6 Na osovu posledjeg izraza zaklučujemo da ocee statistike (disperzije uzorka S 2 za disperziju σ2 obeležja X ije cetriraa. Med utim, kako kada +, sledi da je ova ocea asimptotski cetriraa. Iz (6 vidimo i kao treba,,popraviti oceu obeležja X : Uočimo tzv. popravljeu disperziju uzorka S 2 = (X k X 2.

15 5 Kako je S 2 = S2, imamo E( S 2 = E(S2 = σ2 = σ 2. Dakle, S 2 je cetriraa ocea za σ2. Primetimo da ako je veliko, tada je uzorka ema začaja da li uzimamo S 2 ili S 2 kao oceu za disperziju. tako da kod velikog broja Cetriraost i stabilost su poželje osobie svake ocee. Za kriterijum bliskosti stvaroj vredosti parametra uzima se sredje kvadrato odstupaje, tj., što je isto, disperzija D(ˆθ = E((ˆθ θ 2 koja predstavla meru rasejavaja. Defiicija 6. Ocea ˆθ je bolja (u smislu sredjeg kvadratog odstupaja od ocee ˆθ 2 ako je E((ˆθ θ 2 < E((ˆθ 2 θ 2, (θ Θ. Neka je S dati skup statistika a bazi uzorka (X,..., X. Kažemo da je ocea ˆθ ajbolja ocea parametra θ a skupu S ako ˆθ S i E((ˆθ θ 2 = mi { E((ˆθ θ 2, ˆθ S }. Neka su ˆθ i ˆθ 2 cetrirae ocee parametra θ. Iz Defiicije 6 proizilazi da je bolja oa ocea koja ima maju disperziju. Defiicija 7. Neka su ˆθ i ˆθ 2 cetrirae ocee parametra θ. Kažemo da je ocea ˆθ efikasija od ocee ˆθ 2 ako je D(ˆθ D(ˆθ 2 za svako θ Θ. Primer. Neka je (X, X 2 ezavisa uzorak iz raspodele sa epozatim matematičkim očekivajem µ. Svaka statistika oblika ˆµ α = αx + ( αx 2 jeste cetriraa ocea parametra µ. Disperzija ove ocee je α 2 + ( α 2 i miimala je za α = /2. Prema tome, ajbolja (ajefikasija ocea u skupu {ˆµ α } je ˆµ /2 = (X + X 2 /2. Od iteresa je odrediti doju graicu disperzije svih mogućih cetriraih ocea parametra θ. Bez dokaza avodimo sledeći važa rezultat. Teorema 8 (Nejedakost Rao-Kramera. a Ako je obeležje X eprekidog tipa sa fucijom gustie f(x; θ, tada je D(ˆθ = E ( (ˆθ θ 2 + [ log f(x; θ ]. 2f(x; θdx θ b Ako je obeležje X diskretog tipa sa skupom vredosti {x, x 2,... } i ako stavimo p i (θ = P (X = x i (i =, 2,..., tada je D(ˆθ = E ( (ˆθ θ 2 i [ log pi (θ ] 2pi (θ. θ Defiicija 8. Najefikasija je oa ocea θ za koju je dostigut ifimum disperzije a kao meru efikasosti eke ocee možemo uzeti κ = D(θ D(ˆθ.

16 6 Primer 2. Prema teoremi Rao-Kramera, ajefikasija ocea µ raspodelom N (µ, σ 2 (σ je pozat parametar ima disperziju parametra µ obeležja X sa ormalom D(µ = [ log f(x; µ ] 2f(x;. µdx µ S obzirom da je posle kraćeg izračuavaja dobijamo f(x; µ = σ 2π exp ( 2 D(µ = σ2. ( x µ σ 2, Kako je D(X = E(X 2 E 2 (X, a osovu Primera 0 i E 2 (X = E 2 (X alazimo D(X = E 2 (X + E(X2 + E2 (X = ( E 2 (X + E(X 2 = σ2 = D(µ. Dakle, ocea X je ajefikasija. Metod maksimale verodostojosti Metod maksimale verodostojosti uvede je u Matematičku statistiku u drugoj deceiji dvadesetog veka. Ideja ovog metoda je da se za oceu parametra izabere vredost θ pri kojoj je verovatoća realizacije dobijeog uzorka ajveća. Pokazalo se da ovaj metod daje ocee koje su asimptotski (tj. za veliki uzorak efikasije od ocea dobijeih a bilo koji drugi ači. Med utim, primea tog metoda često je vezaa za složea izračuavaja. Defiicija 9. Neka je (X,..., X prost uzorak obima i eka je (x,..., x realizova uzorak. Ozačimo sa g(x; θ gustiu raspodele f(x; θ obeležja X ako je X eprekidog tipa, a sa P (X = x; θ, x {x,..., x } ako je X diskretog tipa. Fukcija verodostojosti L(θ defiiše se kao { g(x ; θ g(x 2 ; θ g(x ; θ, X je eprekidog tipa, L(θ = L(x, x 2,..., x ; θ = p(x ; θ p(x 2 ; θ p(x ; θ, X je diskretog tipa. Neka je θ = ψ(x,..., x vredost parametra kojim se postiže maksimum fukcije L(θ pri fiksiraim x,..., x. Statistika ˆθ = ψ(x,..., X je ocea maksimale verodostojosti parametra θ. Napomea 5. S obzirom da je logaritamska fukcija mootoa, poekad je lakše aći maksimum rešavajući jedačiu dl(θ = 0. dθ Primer 3. Za ezavisa uzorak (X,..., X iz Berilijeve raspodele sa epozatim parametrom p, fukcija verodistojosti je L(p = p k ( p k, k = x j. Iz jedačie d log L(p dp j= = d( k log p + ( k log( p dp = 0, p (0,

17 7 alazimo da fukcija p l(p = log L(p dostiže maksimum za p = k/. Prema tome, ocea maksimale verodostojosti za p je ˆp = X j (= X. j= Primer 4. Obeležje X ima biomu raspodelu B(k, p, gde je k N pozat, a p (0, epozat parametar. Na osovu prostog uzorka obima oceićemo parametar p metodom maksimale verodostojosti. Fukcija verodostojosti data je sa ( k L(p = L(x,..., x ; p = p x i ( p k x i. Maksimum fucije p l(p = log L(p alazimo polazeći od rešeja jedačie Dobijamo log L(p p = p i= i= x i p p = k x i (k x i = 0. i= x i. Na osovu ovog zaključujemo da je ocea maksimale verodostojosti za p data statistikom je ˆp = k i= i= X i = X k. Primer 5. Neka obeležje X ima Puasoovu raspodelu P(λ, gde je λ epozat parametar. U ovom slučaju f(x; λ = P λ (X = λ = λx x! e λ, (x = 0,, 2,.... Uzimajući da je uzorak (X,..., X prost i, dakle, X,..., X ezavise, dobijamo Odavde je Iz L(x, x 2,..., x ; λ = f(x k ; λ = λx +x 2 + +x x!x 2! x! e λ. log L(x, x 2,..., x ; λ = λ + (x + x x log λ d log L dλ = + x + x x λ log x i!. alazimo da fukcija log L(x, x 2,..., x ; λ (pri fiksiraim x, x 2,..., x dostiže maksimum za = 0 Odavde zaključujemo da statistika λ = x + x x. ˆλ = X + X X predstavlja oceu maksimale verodostojosti za parametar λ. (= X

18 8 Primer 6. Neka je (X,..., X prost uzorak iz ormale raspodele sa epozatim θ = (µ, σ 2. Fukcija verodostojosti je L(µ, σ 2 = f(x k ; µ, σ 2 = ( (2πσ 2 exp (x k µ 2 /2 2σ 2 = (2π ( /2 (σ 2 exp /2 (x k µ 2 2σ 2. Očigledo je da kostata e utiče a položaj maksimuma, pa se (logaritmovajem problem svodi a (2π /2 oderd ivaje maksimuma fukcije l(µ, σ 2 = log σ 2σ 2 (x k µ 2, (µ R, σ 2 > 0, gde smatramo da su x,..., x kostate. Nalažejem pracijalih izvoda dobijamo jedačie Rešeja ovog sistema jedačia su l µ = σ 2 (x k µ = 0, l σ 2 = σ + σ 3 (x k µ 2 = 0. µ = x k, σ 2 = ( x k 2. x j j= Dakle, ocee maksimale verodostojosti a osovu ezavisog uzorka (X,..., X k su statistike ˆµ = X k (= X, σ2 = (X k ˆµ 2 = (X k X 2 (= S 2. Primer 7. Neka je (X,..., X prost uzorak iz ekspoecijale raspodele E(λ sa epozatim λ. Fukcija verodostojosti je L(λ = f(x k ; λ = λe λ x k = λ e λ (x + +x. Posle logaritmovaja problem se svodi a oderd ivaje maksimuma fukcije smatrajući da su x,..., x kostate. Iz jedačie alazimo da fukcija l(λ dostiže maksimum za l(λ = log L(λ = log λ λ(x + + x l λ = λ (x + + x = 0, λ = x + + x.

19 9 Prema tome, ocea maksimale verodostojosti a osovu ezavisog uzorka (X,..., X k data je statistikom ˆλ = =. X + + X X Itervali povereja U prethodom odeljku smo videli a koji ači se može vršiti tačkasta ocea epozatog parametra θ koji figuriše u raspodeli F (x, θ obeležja X. Očigledo da zbog prirode postupka i čijeice da ta ocea predstavlja slučaju promeljivu, ije moguće govoriti o grešci u klasičom smislu. Često je zbog toga pogodije koristiti itervale ocee, tj. alažeje itervala u kojem se sa ekom verovatoćom alazi epozat parametar θ. Defiicija 0. Neka je (X,..., X uzorak obeležja X čija je raspodela F (x, θ i eka su ˆθ = ˆθ (X,..., X i ˆθ 2 = ˆθ 2 (X,..., X dve statistike koje e zavise od epozatog parametra θ, takve da je ˆθ ˆθ 2 i da je P (ˆθ < θ < ˆθ 2 = β = α, gde je β uapred zadata verovatoća. Tada se slučaji iterval [ˆθ, ˆθ 2 ], koji zavisi od uzorka (X,..., X, zove iterval povereja za parametar θ, a verovatoća β ovo povereja. Prirodo je tražiti što,,uže itervale povereja [ˆθ, ˆθ 2 ], i što viši ivo povereja β; običo se uzima β = 0.95 ili Jaso je da su ova dva zahteva, uopšte uzev, opreča. Kao što teorija i praksa pokazuju, izlaz leži u povećaju obima uzorka. Kada smo uzeli uzorak i dobili brojeve (x,..., x, tada statistike ˆθ = ˆθ (X,..., X i ˆθ2 = ˆθ 2 (X,..., X postaju odred ei brojevi ˆv = ˆθ (x,..., x i ˆv 2 = ˆθ 2 (x,..., x, a slučaji iterval [ˆθ, ˆθ 2 ] postaje odred ei iterval [ˆv, ˆv 2 ]. Pogrešo bi bilo smatrati da sa verovatoćom β iterval [ˆv, ˆv 2 ] sadrži epozati parametar θ; dogad aj {ˆθ θ ˆθ 2 } je izvesta ili emoguć dogad aj i jegova verovatoća je, odoso 0, a ikako ije β. Verovatoća β je samo verovatoća da slučaji iterval [ˆv, ˆv 2 ] prekrije epozati broj θ. Zamislimo da smo,,uzeli mogo serija uzoraka obima i dobili izove brojeva (x,..., x, (x,..., x, (x,..., x... i a osovu jih izračuali itervale povereja [ˆv, ˆv 2 ], [ˆv, ˆv 2], [ˆv, ˆv 2 ],.... Tada se a te itervale može gledati kao a realizacije slučajog itervala [ˆθ, ˆθ 2 ]. Kako je P (ˆθ θ ˆθ 2 = β i tumačeći verovatoću kao graiču vredost relativih učestaosti, možemo reći da približo 00β% umeričkih itervala [ˆv, ˆv 2 ], [ˆv, ˆv 2], [ˆv, ˆv 2 ],... pokriva epozat broj θ, a ostalih 00( β% e prekriva (sl.. v 2 Sl. Pokrivaje parametra θ realizovaim itervalima v

20 20 Itervali povereja za epozatu verovatoću p. Kod svakog elemeta populacije iteresujemo se da li se realizovao dogad aj A. Njegova verovatoća P (A = p je epozata. Dakle, kao obeležje možemo da posmatramo idikator dogad aja A : I A = I. Prost uzorak obima je dakle (I, I 2,..., I. Statistika S = I + I I predstavlja broj koliko se puta u uzorku obima realizovao dogad aj A. Na osovu cetrale graiče teoreme (S p/ pq ima probližo N (0, raspodelu. Za svaki zadati ivo povereja β možemo odrediti broj z β takav da je P ( Z z β = β, gde Z N (0,. Na primer, koristeći se Tablicom I imamo P ( Z z β = 2Φ(z β = β. Ako je, recimo, β = 0.95 imamo Φ(z 0.95 = i iz Tablice I čitamo z 0.95 =.96. Imamo približo ( S p P zβ = β. p( p Dogad aj koji je u pitaju može se drukčije pisati ( ( S p (S P p 2 zβ = P zβ 2 p( p p( p ( ( 2 + zβp 2 2 (2S + zβp 2 + S 2 0 = (ˆp (S p ˆp 2 (S, gde su ˆp (S i ˆp 2 (S respektivo maji i veći kore kvadrate jedačie ( 2 + z 2 βp 2 (2S + z 2 βp + S 2 = 0. [ˆp (S, ˆp 2 (S ] jeste iterval povereja za p sa ivoom povereja β, jer je Ekspliciti oblik za taj iterval je [ + z 2 β ( S + z2 β 2 z S ( S β + z2 β 4 2 P (ˆp (S p ˆp 2 (S = β., + zβ 2 ( S + z2 β 2 + z S ( S β + z2 β 4 2 ] Ako smo,,uzeli odred ei uzorak (i, i 2,..., i dobili smo odred eu vredost s = i + i i i iterval povereja je odred ei umerički iterval [ˆp (s, ˆp 2 (s ] koga treba tumačiti oako kako je to učijeo u diskusiji opšteg slučaja. Primetimo da, iako je epozata verovatoća p siguro u itervalu [0,], dobijei umerički iterval povereja [ˆp (s, ˆp 2 (s ] za p e mora da bude sadrža u [0,]. Primer 8. U odred eom proizvodom procesu tokom jedog daa proizvedeo je 79 artikala, med u kojima su ad ea 3 defekta. Naći 95% (β = 0.95 iterval povereja za epozatu verovatoću p = P (,,da je proizvod defekta. Ovde je = 79, s 79 = 3 i rešeje kvadrate jedačie daje iterval povereja [0.03, 0.06] za p. ( p 2 ( p = 0

21 Iterval povereja za matematičko očekivaje µ u slučaju pozate disperzije Videli smo da kod velikog uzorka sredia uzorka X uzima približo N (µ, σ 2 / raspodelu. Dakle, P ( X µ σ/ z β = β 2 i ili ( X µ σ/ σ σ σ z β = ( X µ z β = ( z β X µ z β σ σ = (X z β µ X + z β, σ σ P (X z β µ X + z β = β. Iterval povereja za µ je zači: [X z β σ, X + z β σ ]. Primetimo da u ovom slučaju dužia itervala povereja ije slučaja već je jedaka 2z β se kako se iterval sužava sa porastom obima uzorka. σ. Zapaža Primer 9. Pretpostavimo da imamo dovoljo razloga da smatramo da je stadarda devijacija visie u jedoj velikoj ljudskoj grupaciji σ = 6cm. Sredja vredost visie kod 00 slučajo izabraih ljudi je x 00 = 75. Odrediti 99% iterval povereja za sredju visiu u celoj grupaciji. Iz Tablice I alazimo z 0.99 = 2.58, te za 99% iterval povereja imamo [ , ] [7, 79]. Iterval povereja za matematičko očekivaje µ kada disperzija σ 2 ije pozata Podsetimo se ekih ozaka uvedeih raije: t( ozačava Studetovu t raspodelu sa stepei slobode, dok je t slučaja promeljiva. Raije smo pokazali (Teorema 7 da je i da iz Tablice III čitamo broj t ;α takav da X µ S t( P ( t t ;α = α ili P ( t t ;α = α = β. Za dati ivo povereja β i statistiku X µ iz Tablice III možemo pročitati broj t ; β takav da je ili S P ( t t ; β = β P ( X µ S t ; β = β.

22 22 Odavde, posle izvesih maipulacija kao u prethodom slučaju, dobijamo ( P X t ; β S S µ X + t ; β = β. Dakle, 00β% iterval povereja je [ S S X t ; β, X + t ; β ]. Primetimo da je u ovom slučaju dužia itervala 2t ; β slučaja promeljiva, tj. varira od jedog do drugog realizovaog uzorka. Primer 20. Pretpostavimo da je godišji vodei talog a odred eom lokalitetu slučaja promeljiva X sa ormalom raspodelom. U toku 8 godia registrovae su sledeće vredosti taloga S 34., 33.7, 27.4, 3., 30.9, 35.2, 28.4, 32.. Odrediti 90% iterval povereja za E(X = µ. Ovde imamo = 8 i β = 0.9, te iz Tablice III čitamo broj t 7;0. =.89. Odredimo x 8 i s 8 : x 8 = ( = 3.6, 8 s 8 = 8 x 2 k x 2 8 = 8 8 ( = 7.5. Dakle, 90% iterval povereja za µ je [ ] , ili približo [29.6, 33.6]. Iterval povereja za epozatu disperziju σ 2 Disperzija obeležja X meri a eki ači homogeost tog obeležja u populaciji (meru rasejavaja oko očekivaog rezultata i u izu situacija u primeama važa je samo gorja graica disperzije. Zato je ovde iteresatiji tzv. jedostrai iterval povereja, tj. iterval čija je jeda krajja tačka statistika, a druga eslučaja broj. S obzirom a ovo, iterval povereja za disperziju tražićemo u obliku [0, ˆσ 2 0]. Podsetimo se da je χ 2 = S2 σ 2 (Teorema 5 i Napomea 3 i da iz Tablice II čitamo broj χ 2 ;α takav da je P (χ 2 χ 2 ;α = α. Za dati ivo povereja β čitamo iz Tablice II broj χ 2 ;β takav da je P (χ 2 χ 2 ;β = β ili ( 2 S P σ 2 χ 2 ;β = β. Odavde odmah dobijamo ( P σ 2 S2 χ 2 ;β = β.

23 23 Dakle, 00β% jedostrai iterval povereja za disperziju je [ ] 0, S 2 χ 2 ;β Dvostrai iterval povereja za σ 2 možemo da dobijemo a sledeći ači: za dati ivo povereja β čitamo iz Tablice II brojeve χ 2 ;(+β/2 i χ2 ;( β/2 (sl. 2. Na taj ači je ( P χ 2 ;(+β/2 χ2 χ 2 ;( β/2 = β, ( P χ 2 ;(+β/2 S2 σ 2 Dakle, dvostrai iterval povereja za σ 2 je [ S 2 χ 2, ;( β/2. χ 2 ;( β/2 = β. S 2 χ 2 ;(+β/2 ]. Sl. 2 Primer 2. Dimezija ekog proizvoda ima ormalu raspodelu. U uzorku od = 20 takvih proizvoda ad eo je x 20 = mm i 20 s 2 20 = 2.53 mm 2. Naći 96% jedostrai i dvostrai iterval povereja za epozatu disperziju σ 2 dužie proizvoda u celokupoj proizvodji. Liearom ekstrapolacijom vredosti iz Tablice II dobijamo χ 9;0.96 tako da 96% jedostrai iterval povereja za σ 2 je [0, 2.53/] ili približo [0, 0.23 mm 2 ]. Za dvostrai 96% iterval povereja iz Tablice II čitamo χ 2 ;( β/2 = χ2 9;0.02 = i liearom ekstrapolacijom dobijamo χ 2 ;(+β/2 = χ2 9; , tako da je tražei dvostrai iterval [ , 2.53 ] 0.77 ili približo [0.07 mm 2, 0.23 mm 2 ]. 5. Testiraje statističkih hipoteza Osovi problem u Matematičkoj statistici je da se a osovu uzorka ocei kakvu raspodelu u celoj populaciji ima posmatrao obeležje. U zavisosti od prirode problema uočava se skup logički mogućih raspodela (a osovu histograma, poligoa,..., koji se aziva skup dopustivih raspodela. Na primer, X N (µ, σ 2, µ (50, 80, σ 2 (0, 30.

24 24 Svaka pretpostavka o kokretoj raspodeli obeležja X zove se statistička hipoteza, a postupak jeog verifikovaja pomoću uzorka (u smislu prihvataja ili odbacivaja hipoteze zove se statistički test. Statistika kojom se služimo u tom postupku zove se test statistika. Ako skup dopustivih raspodela zavisi od ekog parametra θ, F (x, θ, x R i ako se statistička hipoteza odosi a vredost tog parametra, radi se o parametarskom testu. Ako se statistička hipoteza odosi a saglasost statističkog uzorka sa kokretom raspodelom obeležja X, radi se o eparametarskom testu. Statistička hipoteza je prosta akao je jome potpuo odred ea raspodela obeležja, dakle θ = θ 0. U suprotom, statistička hipoteza je složea (a primer, θ {θ, θ 2, θ 3 }. Test začajosti mogao bi se ovako opisati: Neka je F (x, θ fukcija raspodele obeležja X. Pretpostavlja se hipoteza H(θ = θ 0. Vrši se izbor odgovarajuće statistike U = u(x,..., X i registruje jea vredost u = u(x,..., x. Pretpostavljajući da je hipoteza H(θ = θ 0 tača, alazimo verovatoću dobijeog odstupaja statistike U od očekivae vredosti. Ako je dobijea verovatoća maja od raije usvojeog praga (ivoa začajosti α (običo 0.05 ili 0. hipotezu H(θ = θ 0 odbacujemo, jer veličia odstupaja e može se objasiti samo slučajim odstupajima pod pretpostavkom da je hipoteza tača, pošto bi takva odstupaja imala vrlo malu verovatoću (maju od α. Ako je dobijea verovatoća veća od α, e možemo još zaključiti da je hipoteza H(θ = θ 0 tača. Testovi začajosti e daju afirmativi odgovor (prihvataje hipoteze, može se samo zaključiti da registrovai uzorak e protivureči hipotezi. Izbog statistike U i praga začajosti α zavisi od kokretog zadatka. Hipoteza o verovatoći p, H(p = p 0 Pretpostavimo da obeležje X ima Berulijevu raspodelu X ( 0, (0 < p <. p p Ozačimo sa K broj jediica u uzorku (X,..., X = (I,..., I (u stvari, broj realizacija posmatraog dogad aja. Slučaja promeljiva K ima biomu raspodelu B(, p. Neka je k broj jediica u realizovaom uzorku (x,..., x. Pod pretpostavkom da je p = p 0 aćićemo verovatoću da odstupaje relative učestaosti K/ od očekivae vredosti p 0 bude veće ego u realizovaom uzorku. Imamo ( ( K P p 0 k p K p 0 0 = P p0 ( p 0 k p 0. p0 ( p 0 Na osovu teoreme Muavra-Laplasa, raspodelu slučaje promeljive (K p 0 / p 0 ( p 0 možemo aproksimirati N (0, raspodelom, te dobijamo ( K P p 0 k ( p k p 0 0 = 2Φ = α. p0 ( p 0 Ako je α < α, gde je α uapred zadat prag začajosti, hipotezu odbacujemo, a ako je α α hipotezu e odbacujemo. Primer 22. Pretpostavimo da smo iz 00 bacaja ovčića dobili 36,,pisama. Ovo ije apsoluti dokaz da ovčić ije,,fer (homoge i pravilog oblika, aime ije emoguće da se takav rezultat dobije sa ovčićem kod koga je hipoteza H(p = 0.5 da pade pismo. Iz iskustva zamo da am ovakav rezultat eksperimeta daje jake dokaze protiv hipoteze p = 0.5. Zadatak statističke teorije testiraja hipoteza jeste da kvatifikuje stepe sumje u eku hipotezu. U ašem eksperimetu registrovao je odstupaje = 0.4 relative učestaosti.

25 25 Ispitajmo kolika je verovatoća, pretpostavljajući da je hipoteza H(p = 0.5 tača, da se pojavi i veće odstupaje od 0.4. Prema cetraloj graičoj teoremi (Muava-Laplasa slučaja promeljiva sa biomom raspodelom S 00 B(00, 0.5 ima u graičom slučaju približo ormalu raspodelu N ( p, p( p = N (50, 5 2, te je S N (0.5, Primetimo da je u ovom slučaju stadardizovaa promeljiva S = (S 00 /00 0.5/0.05 i ima približo ormalu raspodelu N (0,. Nalazimo ( S ( S P = P = 2Φ(2.8 = (iz Tablice I. Dakle, pretpostavljajući da je hipoteza H(p = 0.5 tača, realizovao se dogad aj čija je verovatoća bila vrlo mala (= Zači da treba da odbacimo hipotezu o,,fer ovčiću, odoso hipotezu H(p = 0.5. Hipoteza o matematičkom očekivaju µ, H(µ = µ 0, ako je σ pozato Obeležje X ima N (µ, σ 2 raspodelu sa epozatim parametrom µ i pozatom stadardom devijacijom σ. Pretpostavimo da je µ = µ 0. Posmatraćemo odstupaje aritmetičke sredie X uzorka (X,..., X od očekivae vredosti µ 0. Sa x ćemo ozačiti aritmetičku srediu realizovaog uzorka (x,..., x. Koristićemo čijeicu da X ima N (µ, σ 2 / raspodelu (Primer X, odakle sledi da X µ ima σ N (0, raspodelu. Tada je P ( X µ 0 x µ 0 = P ( X µ 0 σ x µ 0 = 2Φ σ ( x µ 0 = α. σ Ako je α < α hipotezu H(µ = µ 0 odbacujemo, a ako je α α, hipotezu H(µ = µ 0 e odbacujemo. Primer 23. Neka obeležje X ima ormalu raspodelu N (µ, i eka je sredia uzorka od 25 elemeata x 25 = 50. Testirati hipotezu H(µ = 49.5 za prag začajosti α = 0.0. Ovde je ( α = 2Φ 25 = 2Φ(2.5 = Kako je α > α, hipotezu e odbacujemo. Hipoteza o matematičkom očekivaju µ, H(µ = µ 0, ako σ ije pozato Obeležje X ima N (µ, σ 2 raspodelu sa epozatim parametrima µ i σ. Postavimo hipotezu H(µ = µ 0. Neka X i S 2 ozačavaju srediu uzorka i disperziju uzorka (X,..., X a x i s 2 vredost tih statistika za realizova uzorak (x,..., x. Na osovu Teoreme 7 zamo da statistika X µ 0 S ima Studetovu t( raspodelu. Imamo ( X µ 0 x µ 0 P = α. S s Vredost α alazimo iz tablica za Studetovu t raspodelu. Ako je α < α, gde je α uapred usvoje prag začajosti, hipotezu H(µ = µ 0 odbacujemo, a ako je α α, hipotezu H(µ = µ 0 e odbacujemo. Primer 24. Za obeležje X dobije je realizova uzorak (x, x 2, x 3, x 4, x 5 = (.0,.30,.20,.0,.30. Testiraćemo hipotezu H(µ = za prag začajosti α = 0.. Najpre izračuavamo x 5 =.20, s 2 = i s Kako je x µ 0.2 = , s 0.09 iz Tablice III za Studetovu t raspodelu alazimo α 0.0. Hipotezu odbacujemo jer je α < α.

26 26 Hipoteza o disperziji σ 2, H(σ 2 = σ 2 0 Obeležje X ima N (µ, σ 2 raspodelu sa epozatim parametrom σ. Postavljamo hipotezu H(σ 2 = σ 2 0. Ako je S 2 disperzija uzorka (X,..., X a s 2 realizovaa vredost disperzije uzorka, tada je P ( S 2 σ 2 0 s2 σ 2 0 = α. Zamo da S2 σ 2 0 ima χ 2 ( raspodelu (videti Napomeu 3. Verovatoću α upored ujemo sa uapred zadatim pragom začajosti α i ako je α < α hipotezu H(σ 2 = σ 2 0 odbacujemo, u suprotom je e odbacujemo. Primer 25. Obeležje X ima ormalu raspodelu i disperziju uzorka s 2 30 = 0 za izabrai uzorak od 30 elemeata. Testiraćemo hipotezu H(σ 2 = 5 za prag začajosti α = 0.0. Najpre alazimo vredost količika s 2 σ 2 0 = = 20. Kako je P ( S 2 σ = α = 0.9 (pročitao iz Tablice II za χ 2 raspodelu, i α > α, hipotezu H(σ 2 = 5 e odbacujemo. Izbor hipoteza Izbor izmed u dve hipoteze, azovimo ih H 0 ulta hipoteza i H alterativa hipoteza, pojavljuje se u različitim oblastima primee, u stvari kad god treba dokazati eko tvrd eje ili verifikovati eku ovu teoriju, tehologiju, proizvod. Na primer, ako se pojavi ovi proizvod, proizvod ač mora dokazati da je o bolji od postojećih. Da bi dokazao tu hipotezu, o mora da obori suprotu hipotezu. Ako želimo da dokažemo eko tvrd eje, oda suproto tvrd eje (ili eutralo ili postojeće staje uzimamo za ultu hipotezu H 0, a samo tvrd eje za hipotezu H. Cilj postupka testiraja je da se ispita, a osovu rezultata eksperimeta, ima li dokaza protiv hipoteze H 0, a u korist hipoteze H. Test je odred e ako je defiisaa statistika U (statistika testa i skup vredosti za U za koje odbacujemo hipotezu H 0 (oblast odbacivaja ili kritiča vredost. Ako je oblast odbacivaja testa oblika {U > c}, {U c}, {U < c} ili {U c}, za broj c kažemo da je kritiča vredost testa. Na primer, ako za statistiku koristimo srediu uzorka X, za dati prag začajosti testa α kritiču vredost testa c odred ujemo iz relacije α = P (X < c. (7 Zaključak testa može biti jeda od sledeća dva: Odbacujemo H 0 jer smo u eksperimetu dobili U u oblasti odbacivaja. Kao objašjeje udimo hipotezu H. Ne odbacujemo H 0 jer je vredost za U u eksperimetu bila va oblasti odbacivaja. dokaze protiv H 0. Pri testiraju hipoteza moguće su dve vrste grešaka: Greška prve vrste astaje ako se H 0 odbaci kada je H 0 tača. Greška druge vrste astaje ako se H 0 e odbaci kada je H tača. Nemamo

27 S obzirom a iterpretaciju hipoteza H 0 i H, običo am je važije da e apravimo grešku prve vrste, jer bismo tim postupkom dokazali tvrd eje koje ije tačo (hipoteza H. Greška druge vrste ije toliko začaja, jer ako emamo dovoljo jakih dokaza protiv H 0, a verujemo da je H ipak tača, postupak dokazivaja hipoteze H možemo astaviti izvod ejem ovih obimijih eksperimeata. Primer 26. Brašo se prodaje u pakovajima omiale mase kg. Na zahtev potrošača, koji su primetili da je masa maja od kg, potrebo je izvršiti proveru a bazi slučajog uzorka od 25 pakovaja braša. Pozato je da mašia za pujeje ima stadardu devijaciju σ = 5 g. U ovom problemu možemo pretpostaviti da je masa jedog pakovaja braša ormala slučaja promeljiva sa matematičkim očekivajem µ i disperzijom σ 2 = 5 2 = 225. Zadatak je da se testira H 0 : µ = 000 protiv H : µ < 000. Uzećemo prag začajosti α = Statistika testa može da bude sredia uzorka X koja, kao što zamo, ima N (µ, σ 2 / raspodelu (Primer 8, gde je = 25. Maje vredosti (od 000 za X su dokaz protiv hipoteze H 0 ; oblast odbacivaja je {X < c}, sa ekim c koje izračuavamo iz ivoa začajosti, videti formulu (7. Statistika X pri ultoj hipotezi ima N (000, 9 raspodelu, tako da je ( α = P (X < c = P Z < c 000 = ( c Φ. 3 Odavde za α = 0.05 iz Tablice I (imajući u vidu da je Φ( x = Φ(x, alazimo da je (c 000/3 =.64, odakle je c = 995 (zaokružeo a ceo broj. Prema tome, test sa pragom začajosti 0.05, a bazi uzorka obima 25, ima sledeće pravilo odlučivaja: Ako je X < 995, hipoteza H 0 se odbacuje u korist H (tj. u korist potrošača; u suprotom slučaju, hipoteza H 0 se e odbacuje. Sa pragom začajosti α = 0.0 dobija se c = 993, dok se sa α = 0. dobija c = 996. Testiraje eparametarskih hipoteza Ovim testovima se ispituje saglasost izmed u hipotetiče (teorijske raspodele populacije F (x i empirijske raspodele uzorka S (x. Ako S (x aproksimira F (x,,dovoljo dobro, oda prihvatamo hipotezu da je F (x fukcija raspodele populacije iz koje je uzet uzorak. Da bismo doeli ovakvu odluku moramo zati koliko mogo S (x može da odstupa od F (x, ako je hipoteza o saglasosti tača. Zbog toga uvodimo meru odstupaja S (x od F (x i tražimo raspodelu verovatoća ove mere, pod pretpostavkom da je hipoteza tača. Primer 27. Pretpostavimo da imamo 50 podataka za koje smo izračuali učestaosti i relative učestaosti. Na osovu ovog acrta je grafik emprijske raspodele (,,stepeasta kriva a sl. 3 i upored e sa grafikom fukcije N (0, raspodele (eprekida kriva a sl. 3. Na prvi pogled izgleda da empirijska raspodela dobro aproksimira stadardu ormalu raspodelu, sa izvesim odstupajima, med utim to ije dovoljo za prihvataje ove hipoteze. Da li, a primer, podaci uzorka i odgovarajuća empirijska raspodela bolje aproksimiraju N (0,.2 raspodelu? Da bismo odgovorili a ovo pitaje, potreba am je eki kriterijum pomoću koga bismo ispitali da li su odstupaja u dozvoljeim graicama ili isu. 27 Sl. 3 Empirijska fucija raspodele u pored eju sa fukcijom raspodele N (0,

28 28 Za rešavaje postavljeog problema izložićemo eparametarski hi kvadrat test. Ovaj test uveo je u statistiku Karl Pirso ( i zato se često aziva i Pirsoov test. Daas je to jeda od testova sa ajširom oblašću primee. Neka je (X,..., X ezavisa uzorak iz epozate raspodele sa fukcijom raspodele F. Želimo da proverimo da li je F = F 0, gde je F 0 data fucija raspodele. Podelimo realu osu a r disjuktih itervala A j = (a j, a j ] (j =,..., r, pri čemu je a 0 =, a r = +. Ukoliko priroda problema zahteva, graice a 0 i a r mogu biti koače. Kako X,..., X imaju istu raspodelu, verovatoća da vredost slučaje promeljive X i pripada itervalu A j jedaka je p j = P (X A j = F (a j F (a j, (j =,..., r. S druge strae, za raspodelu F 0, odgovarajuće verovatoće su p j0 = F 0 (a j F 0 (a j, (j =,..., r. (8 Neparametarsko testiraja hipoteze svodi se a problem testiraja hipoteze H 0 : p = p 0,..., p r = p r0 protiv alterative hipoteze H : (p,..., p r (p 0,..., p r0. Za testiraje am je potreba statistika testa i jea raspodela pod ultom hipotezom. Sledeća teorema sugeriše jeda izbor. Teorema 9. Neka je (X,..., X ezavisa uzorak iz raspodele sa fukcijom raspodele F 0. Neka je N j broj oih slučajih promeljivih iz uzorka slučajih promeljivih čije se broje karakteristike alaze u itervalu A j. Neka je p j0 defiisao sa (8. Statistika r (N j p j0 2 j= ima asimptotsku χ 2 (r raspodelu (kad +. p j0 (9 Statistika defiisaa sa (9 aziva se Pirsoov hi kvadrat statistikom i obeležava se sa χ 2. Brojevi N j su rezultat posmatraja (stvaro staje dok je p j0 matematičko očekivaje broja slučajih promeljivih X i čije su se vredosti realizovale u itervalu A j. Dakle, imamo da je χ 2 (stvaro očekivao 2 = očekivao j=. Velike vredosti statistike χ 2 ukazuju a veliku razliku izmed u stvarog i očekivaog, pa je to idikacija za odbacivaje hipoteze H 0. Neka je ν broj stepei slobode χ 2 raspodele a α prag (ivo začajosti (ili rizik prihvataja hipoteze. U Tabeli II se daju vredosti χ 2 ν;α za raze vredosti ν i α prema relaciji Verifikacija hipoteze vrši se a sledeći ači: P ( χ 2 > χ 2 ν;α = α. Ako je izračuata vredost χ 2 (iz (9 veća od χ 2 ν;α, oda hipotezu odbacujemo, smatrajući da su odstupaja empirijske raspodele od pretpostavljee raspodele bita. Kako je u tom slučaju P ( χ 2 > χ 2 ν;α = α,

29 29 možemo biti siguri da su ova odstupaja bita, jer bi aš zaključak bio isprava u oko 95% (= ( α 00 odsto slučajeva za α = Ako je izračuata vredost χ 2 maja od χ 2 ν;α, oda emamo osovu da odbacujemo hipotezu, što još e zači da je hipoteza potpuo tača. Da bismo prihvatili hipotezu kao taču, treba je proveriti a ekoliko drugih uzoraka. Primer 28. Zelimo da testiramo hipotezu H 0 : E(0.005 da dužia,,života X sijalice ima ekspoecijalu raspodelu E( Podsećamo da ova raspodela ima fukciju gustie { λe λx, x 0, f(x = 0, x < 0 i da se često koristi u Teoriji pouzdaosti. U kokretom slučaju je λ = U uzorku od 50 sijalica dobijeo je da 47 sijalica imaju,,život u itervalu [0,00] časova, 40 u [00,200], 35 u [200,300] i 28 traju preko 300 časova. Hipotezu H 0 : E(0.005 testiramo primejujući Pirsoov χ 2 test. Ovde je Za ove itervale alazimo da je Dalje je Prema formuli (9 je χ 2 4 = 4 j= r = 4, A = [0, 00], A 2 = [00, 200], A 3 = [200, 300], A 4 = [300, + ]. p 0 = P H0 (0 X < 00 = p 20 = P H0 (00 X < 200 = p 30 = P H0 (200 X < 300 = p 40 = P H0 (X 300 = N = 47, N 2 = 40, N 3 = 35, N 4 = f(xdz = e 0.005x dx = 0.24, 0.005e 0.005x dx = 0.5, 0.005e 0.005x dx = e 0.005x dx = 0.39, (N j 50p j0 2 ( ( ( ( = p j =.56. Usvojimo α = 0.0 i iz Tablice II čitamo kritiču vredost χ 2 3;0.0 =.34. Kako je χ 2 3 > χ 2 3;0.0, odbacujemo hipotezu H 0 : E( Lieara regresija i korelacija Reč regresija je dospela u statistiku kada je 855. gidie Frasis Galto objavio publikaciju u kojoj je aalizirao visiu siova u zavisosti od visie očeva. Zaključak ove studije bio je da siovi ekstremo visokih očeva isu toliko visoki, dakle, regresiraju. Promea jedog obeležja statističkog skupa često utiče a promeu drugih obeležja zbog med usobe povezaosti. Povezaost izmed u obeležja može se razlikovati i po smeru i po jačii povezaosti. Najjača ili ajuža veza izmed u obeležja je fukcioala veza, tj. takva veza da svakoj vredosti jedog obeležja odgovara tačo odred ea vredost drugog. Labavija veza izmed u obeležja, koja su podloža majim ili