Domáce úlohy k predmetu MATEMATICKÉ METÓDY TEORETICKEJ FYZIKY. Marián Fecko Letný semester 2016/2017

Transcript

1 Domáce úlohy k predmetu MATEMATICKÉ METÓDY TEORETICKEJ FYZIKY Doktorandská prednáška Marián Fecko Letný semester 2016/2017 Úloha č.1 Priamym riešením (stacionárnej) Navierovej-Stokesovej rovnice (v jazyku foriem :-) nájdite výsledok úlohy o Newtonovom vedre, ktoré sa - už strašne dlho - točí uhlovou rýchlost ou ω: Určte z neho - tvar hladiny vody vo vedre, - výškový rozdiel hladiny na okraji a v strede (valcové vedro polomeru R) Návod: V cylindrických súradniciach ansatz v = f(r) φ (prečo, čo nás motivuje?), p = p(r, z), ρ = ρ 0 Úloha č.2 Ako si pamätáme z druháckej teoretickej mechaniky (a vyjde aj tu :-), voda sa v Newtonovom vedre pohybuje,,ako tuhé teleso, akoby bola zamrznutá. V tom prípade by ale viskozita nemala hrat úlohu, lebo vrstvy sa o seba netrú. Na to isté (a len to isté) riešenie by sme teda mali príst aj zo stacionárnej Eulerovej rovnice. Je to naozaj tak? Návod: Preskúmajte, k čomu privedie ten istý ansatz v Eulerovej rovnici. Úloha č.3 Nájdite vírové čiary pre tečenie vody v Newtonovom vedre podl a výsledku 1.úlohy. Zodpovedá výsledok tomu, čo by ste čakali intuitívne? (Ako by ste nájdený výsledok obhajovali z názornej predstavy o tečení?) Návod: Čiary z rovnice, ktorú,,sme sa učili. (Vyzerala i γ dṽ = 0.) 1

2 2 Úloha č.4 Vyrátajte (pre tečenie v Newtonovom vedre podl a výsledku 1.úlohy.) explicitne Bernoulliho funkciu B = v2 2 + P + Φ a overte, že je naozaj konštantná - na prúdniciach - na vírových čiarach. Prečo nie je konštantná aj v celom objeme vody? Návod: všetko v tých cylindrických súradniciach. Úloha č.5 Priamym riešením Navierovej-Stokesovej rovnice (v jazyku foriem :-) nájdite riešenie úlohy o,,vonkajšom Newtonovom vedre : Určte tvar hladiny (viskóznej, nestlačitel nej) vody, ktorá sa pohybuje pod vplyvom nekonečného valca polomeru R, ktorý sa - už strašne dlho - točí uhlovou rýchlost ou ω okolo osi z (zaujíma nás len voda mimo valca - a to až do nekonečna; vnútri valca voda nie je). Návod: 1 V cylindrických súradniciach ansatz v = f(r) φ, p = p(r, z), ρ = ρ 0 Úloha č.6 V úlohách č. 1 aj 5 hrá istú úlohu výška h = (ωr)2 2g 1 Pozorný čitatel si iste všimol, že ansatz pre úlohy č. 1 a 5 je rovnaký. Nepozorného na to špeciálne upozorňujeme. Zároveň mu odporúčame, aby už bol druhýkrát pozorný a nemuseli sme strácat vzácny čas na to, aby sme ho zakaždým na niečo upozorňovali. Vedeli by sme ho využit aj užitočnejšie. (Aj ked nás práve nenapadá, že ako konkrétne.)

3 3 Akú? (Ako sa dá jednoducho vysvetlit laikovi, ktorý nerozumie vzorcom?) Návod: Napr. pozriet sa poriadne na vzorce, ktoré vyšli pri hl adaní hladín. Úloha č.7 Príroda oslavovala okrúhle výročie Vel kého tresku. Trochu požúrovala, trochu popila. A tak ked na tretie ráno vyliezla spod stola, poplietla si stupne foriem vo svojej základnej teórii, v elektromagnetizme. Konkrétne, posunula ich o jeden vyššie. Myslela si teda, že elektromagnetické F má byt 3-forma (a jej potenciál A 2-forma): F = da F = 3-forma, A = 2-forma (Našt astie, aspoň Minkowského priestor si zapamätala správne.) i) Urobte štandardný 1+3 rozklad foriem F a A a zistite, akými 3-rozmernými pol ami sa parametrizujú (čo sú analógy polí E, B a ϕ, A). ii) Napíšte trojrozmerné vyjadrenia polí cez potenciály (rovnicu F = da) iii) Z predpokladu, že účinok vol ného pol a má tvar S[A] = 1 2 F, F odvod te pohybové rovnice ( Maxwellove rovnice bez zdrojov) Návod: rozklady z paragrafu 16.1; i) d F = 0 df = 0 F = F µ dσ µ = F 0 dv dt F j ds j =: dt Ê ˆB oproti,,normálu tak (E, B) ( F, F 0 ) a podobne (ϕ, A)... ; pole B teda schudlo na B a ϕ naopak stučnelo na ϕ Úloha č.8 Pokračujeme v úlohe č.7. i) Pre účinok našej (popletenej) teórie S[A] = 1 2 F, F

4 4 napíšte tenzor energie hybnosti T ab ii) Vyjadrit jeho zložky T 00 a T 0j pre vol né pole cez 3-rozmerné polia (t.j. nájst hustotu energie a analóg Poyntingovho vektora) iii) Kol ko energie a kol ko hybnosti je v objeme V? iv) Explicitne zapíšte v integrálnom tvare bilanciu (zákon zachovania) energie pre objem V v) Explicitne zapíšte v integrálnom tvare bilanciu (zákon zachovania) hybnosti pre objem V Návod: i) , ; ii) ; iv) a v) Úloha č.9 Pokračujeme v úlohe č.7. i) Pridajte do účinku vhodný člen tak, aby sme dostali štandardný tvar ( Maxwellových ) rovníc so zdrojom d F = J df = 0 J = zdroj = 2-forma ii) Zapíšte tieto rovnice v trojrozmernom jazyku (analóg div E = ρ atd.) Návod: i) pridajte A, j a vyberte j tak, aby vyšiel tvar, ktorý chceme; ii) podl a analógie s rozložit J = dt ( j dr) + ρ ds (ρ stučnelo na ρ) Úloha č.10 Sme v Kaluzovej-Kleinovej teórii. Na prednáške sme zistili, že skalárna krivost na totálnom priestore (P, g) hlavného fibrovaného priestoru (potrebujeme ju na,,hilbertov účinok) sa dá zapísat ako R = Ω αβ (e α, e β ) (kde e α = (e a, e i ) je uvažované repérne pole). Overte si, že sa ked sa to detailne zráta (potrebné fakty boli na prednáške), dá sa to zapísat celkovo aj takto: R = π 3 ˆR + 4 Ω iabω iab c ijkc ijk = π ˆR K ij(ω i, Ω j ) c ijkc ijk

5 5 Návod: vzorce na formy konexie boli na prednáške. Presvedčte sa, že Ω ba (e b, e a ) = π ˆR Ω iabω iab Ω ji (e j, e i ) = 1 4 c ijkc ijk 2Ω bi (e b, e i ) = 1 2 Ω iabω iab Úloha č.11 Uvažujme grupu horných trojuholníkových matíc, t.j. matíc tvaru A(x, y, z) := 1 x z 0 1 y (hovorí sa jej aj Heisenbergova grupa). Nájdite i) bázu l avonvariantných 1-foriem e a ii) bázu l avonvariantných vektorových polí e a iii) štruktúrne konštanty c a bc (pomocou výsledkov i) aj ii)) iv) bázu pravoinvariantných 1-foriem f a a vektorových polí f a v) l avoinvariantný metrický tenzor g L, ktorý má v počiatku súradníc (v jednotke grupy) tvar g 0 = dx dx + dy dy + dz dz vi) l avoinvariantnú formu objemu ω L (a overte explicitne jej l avoinvariantnost ) vii) pravoinvariantný metrický tenzor g R, ktorý má v počiatku súradníc (v jednotke grupy) tvar g 0 = dx dx + dy dy + dz dz (a overte explicitne jej pravoin- viii) pravoinvariantnú formu objemu ω R variantnost ) Návod: i) technikou A 1 da