Diferenciálne rovnice. Základný jazyk fyziky

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Diferenciálne rovnice. Základný jazyk fyziky"

Νέμεσις Καλογιάννης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky

2 Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa padajúceho v gravitačnom poli. rt ( )???? mr mg F mg v mg r Fyzikálny zákon r(0) r(0) h v 0 Počiatočné podmienky

3 Rovnica, v ktorej vystupuje neznáma funkcia spolu so svojimi deriváciami sa nazýva diferenciálna rovnica.

4 Klasifikácia DR Rovnica, v ktorej vystupuje neznáma funkcia spolu so svojimi deriváciami sa nazýva diferenciálna rovnica. druh DR analytický tvar obyčajné parciálne lineárne nelineárne d dt v 1 sin t x a f dx dt t = cosx x = 0 t at f = expt najvyšší stupeň derivácie prvého druhého n-tého rádu

5 Všeobecné riešenie Počiatočná podmienka vybere jednu krivku:

6 Počiatočné podmienky DR rôznych rádov počiatočné podmienky hodnoty hľadanej funkcie a jej derivácii až do n-1 stupňa (vrátane)

7 DIFERENCIÁLNE ROVNICE PRVÉHO RÁDU

8 Smernicová metóda Informácia o smerniciach hľadanej funkcie y f ( x, y) y y x Smerové pole

9 y y x

10 y 0.xy y x,0 y 0, y 0 Horizontálne elementy Pri fixovanom x smernica rastie so zväčšovaním y

12 Diferenciálne rovnice 1. rádu Najjednoduchšie DR: y f ( x) y f ( x) dx y e x

13 Diferenciálne rovnice 1. rádu Najjednoduchšie DR: y f ( x) y f ( x) dx Určte rýchlosť v homogénnom gravitačnom poli. Teleso v čase t=0 malo rýchlosť v(0)=v 0. mv mg mx mg Vektorové rovnice prepisujeme do algebraického tvaru Častica sa pohybuje z bodu [0,0] rýchlosťou: Nájdite jej trajektóriu. v = ai bxj.

14 Diferenciálne rovnice so separovanými alebo separovateľnými premennými y = f x, y h( x) g( y) dy g y = h x dx Úprava: Každá strana rovnice obsahuje len jednu premennú y = e x y Rádioktívny rozpad

15 1 x dy ydx 0 dy dx y 1 x

16 dy dx x y y 4 3

17 dy 4xy y 0 1 dx dy y 4 xdx 1 y x C

18 4y cos y dy 3x 0 y 0 0 dx Niekedy sa nedá funkcia vyjadriť explicitne ani cez x ani cez y

19 Zákon premeny- štatistický charakter Jadro nemá pamäť a pravdepodobnosť rozpadu za jednotku času je konštanta, až pokiaľ sa jadro nerozpadne Pravdepodobnosť, že hociktoré jadro sa rozpadne počas dt je dt Počet premenených jadier v čase t,t+dt Počet nepremenených jadier, t.j rádioaktívnych Pravdepodobnosť, že premena sa zrealizuje v čase t+dt Stredná doba života Polčas premeny čas, za ktorý počet jadier klesne na ½ dn Ndt N 0 dn t N T 1/ 0 N 0 e t t e t t e dt dt 1 ln ln

20 JADROVA FYZIKA

21 Rádioaktívny rozpad dn Ndt N N e t 0

22 Rádioaktívna premena má štatistický charakter Ak polčas je 10 h, potom pre každé jadro je pravdepodobnosť, že sa rozpadne 50 %, ale nemá istotu 100 %, že sa rozpadne za 0h t 1/ polčas premeny je doba života

23 Za čas dt vytečie z nádoby objem dv, ktorý sa rovná úbytku kvapaliny v nádobe Vo valcovej nádobe s prierezom S siaha kvapalina do výšky H. Určte čas, za aký vytečie voda z nádoby cez otvor s prierezom s. Nájdite taký tvar nádoby, aby hladina kvapaliny klesala s konštantnou rýchlosťou, tj. dh/dt=a v gh V objem kvapaliny v nádobe: V=Sh dv=sdh Úbytok objemu kvapaliny v nádobe dv=-svdt dh s h S Počiatočná podmienka gdt h0 H s ht H gt S T S H gs

24 HYDRODYNAMIKA

25 Vo valcovej nádobe s prierezom S siaha kvapalina do výšky H. Určte čas, za aký vytečie voda z nádoby cez otvor s prierezom s. Nájdite taký tvar nádoby, aby hladina kvapaliny klesala s konštantnou rýchlosťou, tj. dh/dt=a dh s h S gdt y x yx a s y x g

26 Bernouliho rovnica ZÁKON ZACHOVANIA ENERGIE W A 1 p v gy konst 1 1 1

27 1 p v gy konst gh 1 v v gh

28 TERMODYNAMIKA

29 Teplota plynu sa mení s výškou T=T 0 (1-x). Určte, ako sa mení tlak a hustota plynu v atmosfére. Na povrchu zeme h=0 je tlak p 0. 1, Teplota plynu sa mení s výškou T=T 0 (1-x)., izotermická atmosféra x Sila pôsobiaca na JEDNU molekulu: Objem plynu ds p(x+dx) p(x) Sily pôsobiace na objemový element v smere osi x: Pole: Susedné vrstvy: df1x df x ndxdsmg dp dxds dx Podmienka pre termodynamickú rovnováhu: df 1x dfx 0 dp nmg 0 p nkt dx dp mg dx p kt ( 1 x) 0

30 ADIABATICKÝ DEJ Q 0 pv κ konst TV κ 1 konst T p 1 konst

31 Adiabatický dej C p p v Cv C C R 1. veta termodynamická Q W du 0 pdv nc dt v Stavová rovnica pv nrt dpv pdv nrdt pv κ konst

32 Ochladzovanie telies dt dt k T T 0 T 0 0 dt T 0 kdt Určenie k: za čas sa ochladí na T

33 Počiatočná teplota Teplota okolia Počiatočná teplota

34 MECHANIKA

35 d m v mg v dt v 0 v 0 x 0 0 mg m mg mg mg v v0 e tm / x t t v0 e c mg m mg x t t v e tm / 0 1 t m

36 d m v mg v dt Ak počiatočná rýchlosť je väčšia dv/dt<0, teleso spomaľuje. Ak počiatočná rýchlosť je menšia dv/dt>0, rýchlosť telesa sa začne zmenšovať až dosiahne terminálnu rýchlosť. 50 m/s Počiatočná rýchlosť Konečná rýchlosť 10 m/s Počiatočná rýchlosť

37 Homogénne diferenciálne rovnice y y f x substitúcia u y x yux u du dx f ( u) u x Vedie k separovateľnej DR xy y x 0

38 xy y x x y 0 xy y cos ln y x y xy xy

39 Lineárne DR 1. rádu metóda viariácie konštánt = a x y a x y g x y P x y Q x 1. Nájdeme homogénne riešenie y Aexp P( x) dx. Konštantu povýšime na funkciu A A(x) y A( x)exp P( x) dx 3. Dosadíme počiatočné podmienky

40 Metóda variácie konštánt xy y x 0 y y x x 1 y y x e x x y xy x Aj separovateľná aj homogénna

41 Partikulárne, homogénne a všeobecné riešenia y P x y = Q x Partikulárne riešenie hocijaké konkrétne riešenie vyhovujúce rovnici: = y h Px yh =0 y P x y Q x p p Všeobecné riešenie y y y p h Homogénne riešenie riešenie vyhovujúce rovnici: y y P x y y Q x = = = p h p h y y P x y P x y Q x h p p h y P x y y P x y Q x h h p p Nájdi hocijaké partikulárne riešenie a keď k nemu pripočítaš homogénne, dostaneš všeobecné

42 DR prvého rádu s konštantnou pravou stranou a konštantnými koeficientami Základná črta - saturácia

43 dn A N dt 18 F Ndt dn Ndt qdt

44 Príklady, ktoré vedú k rovnakej diferenciálnej rovnici dn Ndt qdt Nájdite priebeh prúdu v RL obvode, keď ho zapojíme na konštantné napätie U 0 di L Ri U dt 0

45 Príkladdy, ktoré vedú k rovnakej rovnici Určte priebeh rýchlosti telesa padajúceho v homogénnom gravitačnom poli. Predpokladajte, že odpor je úmerný jeho rýchlosti dv m mg v dt

46 Bernoulliho DR m y A x y B x y m 0,1 y m y A m 1 y B zaviesť substitúciu : 1m m z y z (1 m) y y 1 z m Az B LDR

47 m y A x y B x y xy y xy 0

48 y f ( x) y z z f ( x) y Zníženie rádu z y sin x z sin x z cos x C1 y sin x C1x C Chýba y y f ( x, y) y z y z z f ( x, z) 1 x y xy 0 1 x z xz 0 z C1 1 x 3 x y C x C 3 1 Chýba x y f ( y, y) dz z f ( y, z) dy dy y z y dx dz dy dz y z z dy dx dy 1 y 1z yy dz yz dy

49 Špeciálne pohybové rovnice vo fyzike mx F t v x mv F t Loďka sa pohybuje rýchlosťou v0 a vypla motor. Odpor vody je úmerná druhej mocnine rýchlosti. Určte čas, za ktorý rýchlosť klesne na polovicu. Určte dráhu, ktorú loďka prešla mx F x x v v0 m m = F xdx x 0 mv mdv = = F x Fxdt dx mdv = F x v mvdv = v v d m = F x dx v 0 x 0 x F x dx x 0 x v v0 m m = F xdx Keďže za čas dt teleso sa posunie o dx=vdt

50 Teleso s hmotnosťou m bolo vrhnuté z povrchu Zeme rýchlosťou v0. smerom nahor. Nájdite jeho polohu v ľubovoľnom čase, pričom berte do úvahy nehomogénnosť gravitačného poľa = 1 1 = = v R y M v v R y M v dy y M y vdv v z z z z z z R v v dy dt = = = z z Mm d y m dt y Mm dv m dt y = my f y z z z z R v M R M y 0 max =

51 Loďka sa pohybuje rýchlosťou v 0 a vypla motor. Odpor vody je úmerná druhej mocnine rýchlosti. Určte čas, za ktorý rýchlosť klesne na polovicu. Určte dráhu, ktorú loďka prešla d x m v dt dv m v dt

52 Diferenciálna rovnica Diferenciálna rovnica v zložkovom tvare Počiatočné podmienky d v x v x 0 d dt m m v mg v dt d vy vy g dt m v v x y 0 v 0 (0) 0

Σχετικά έγγραφα

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky