1 MECHANIKA TEKUTÍN. 1.2 Hydrostatika nestlačiteľnej kvapaliny

Transcript

1 1 MECHNIK TEKUTÍN 1. Hdrostatika nestlačiteľnej kvapalin Hdrostatika sa aoberá skúmaním tekutín, ktoré sa vľadom na oraničený priestor nepobujú. Eulerova rovnica drostatik Rovnováu objemovýc a povrcovýc síl v tekutine, ktorá sa nepobuje, je nestlačiteľná a omogénna, vjadruje Eulerova rovnica drostatik. V kartéskom súradnicovom sstéme má Eulerova rovnica tvar R d + R d + R d = kde R, R a R sú ložk jednotkovej objemovej sil R. 1 dp, (1..1) ρ V priestore aplnenom tekutinou eistujú ploc, na ktorýc je tlak konštantný. Tieto ploc sa naývajú ekvipotenciálne alebo ladinové. Rovnicu ladinovýc plôc ískame (1..1), ak dp = R d + R d + R d =. (1..) Tekutina v poli emskej príťažlivosti Tekutina sa nacáda v absolútnom pokoji v gravitačnom poli Zeme. Na každú časticu tekutin pôsobí iba jediná objemová sila, emská príťažlivosť (obr. 1..1). Zložk jednotkovej objemovej sil majú nasledovné odnot: R =, R =, R = g. g Po dosadení do rovnice (1..) a integrovaní, rovnica ekvipotenciálnej ploc nadobudne tvar = konšt., (1..3) teda ladinové ploc sú vodorovné rovin. p =? Obr Roloženie absolútneo tlaku v tekutine ískame rovnice (1..1) po jej integrovaní a dosadení podmienok jednonačnosti p = + ρ g = + p. [Pa] (1..4) bsolútn tlak p v ľubovoľnom bode tekutin sa rovná súčtu atmosferickéo (vonkajšieo) tlaku a drostatickéo tlaku p, ktoréo odnota ávisí od ustot kvapalin a ĺbk bodu pod ladinou. 9

2 1.3 Relatívn pokoj kvapalin O relatívnom pokoji kvapalin ovoríme vted, ak je kvapalina vľadom na nádobu, v ktorej sa nacáda, v pokoji a samotná nádoba sa pobuje vľadom na Zem. V prai sa najčastejšie vsktujú nasledovné prípad relatívneo pokoja kvapalin: 1. translačný pob nádob vislým smerom,. translačný pob nádob vodorovným smerom, 3. rotačný pob nádob okolo vislej osi. Translačný pob nádob vislým smerom +a a g ± a Nádoba naplnená kvapalinou sa pobuje rovnomerne rýcleným pobom vislým smerom v smere súradnicovej osi (obr ). Výsledná objemová sila sa skladá o sil otrvačnej a gravitačnej. V prípade pobu vislým smerom naor (nadol) jednotkové objemové sil majú nasledovné odnot: R =, R =, R = g ± a. Dosadením odnôt do (1..) dostaneme rovnicu pre ekvipotenciálne ploc v tvare = konšt. (1.3.1) bsolútn tlak v ľubovoľnom bode kvapalin určíme Eulerovej rovnice drostatik (1..1) p = + ρ g ± ρ g a = + p + p. [Pa] (1.3.) kde = ( ) a p = ± ρ a je prírastok tlaku v dôsledku relatívneo pokoja kvapalin, p je drostatický tlak. p =? Obr Znamienko platí pre rýclenie a pri pobe nádob nadol a namienko + pri pobe naor. Translačný pob nádob vodorovným smerom a a B g p =? R l l Obr Nádoba s kvapalinou sa pobuje rovnomerne rýcleným pobom v smere súradnicovej osi (obr. 1.3.). Na častice kvapalin pôsobí výsledná objemová sila, ktorá sa skladá gravitačnej sil v smere súradnicovej osi a otrvačnej sil v smere súradnicovej osi. Potom jednotkové objemové sil sa rovnajú: R = ± a, R =, R = g. Rovnica ekvipotenciálnc plôc má tvar = a ± + konšt. [m] (1.3.3) g 1

3 Z rovnice (1.3.3) vplýva, že ekvipotenciálne ploc sú naklonené rovin, ktoré vierajú s rovinou uol a = arctg. g (1.3.4) bsolútn tlak v ľubovoľnom bode kvapalin je p = + ρ g ( ) ± ρ a = + p + p. [Pa] (1.3.5) a Podľa obr platí: = ( ), tg = = a =. g Z rovnice (1.3.5) vplýva, že absolútn tlak v ľubovoľnom bode pod ladinou môžeme vjadriť ako súčet vonkajšieo, drostatickéo tlaku a prírastku tlaku v dôsledku relatívneo pokoja kvapalin. Rotačný pob nádob okolo vislej osi Nádoba s kvapalinou sa otáča okolo vislej osi ulovou rýclosťou ω, (obr ). Na častice kvapalin pôsobí výsledná objemová sila, ktorá sa skladá gravitačnej a odstredivej sil, Jednotkové objemové sil v smere súradnicovýc osí budú: R = ω, R = ω, R = g. Rovnica ekvipotencionálnc plôc bude mať tvar: = mrω., H r ω = konšt. [m] (1.3.6) g Ekvipotenciálne ploc sú rotačné paraboloid, ktoré sa otáčajú okolo vislej osi. Paraboloid majú H 1 H 1 r rω g R R ω p =? r ω ω R rω Obr e vrcol obrátený smerom nadol. Rovnica voľnej ekvipotenciálnej ploc má tvar: ω r e = g u =, [m] (1.3.7) g kde u je obvodová rýclosť na polomere r. Celková výška paraboloidu na polomere R bude ω R H = g [m] (1.3.1) Z vlastností rotačnéo paraboloidu vplýva, že výška, o ktorú paraboloid na obvode nádob vstúpi nad pôvodnú ladinu, sa rovná výške, o ktorú klesne v osi nádob pod pôvodnú ladinu. Celková výška paraboloidu je H = H 1. Kružnica, v ktorej sa pretínajú rotačné paraboloid voľnej ladin s pôvodnou voľnou ladinou, ávisí R len od polomeru nádob a jej polomer je r =. 11

4 bsolútn tlak v ľubovoľnom mieste kvapalin rotujúcej okolo vislej osi v poli emskej príťažlivosti vpočítame o vťau u p = + ρ g + ρ = + p + p, [Pa] (1.3.8) kde = ( ). 1.4 Tlaková sila na plocu Účinok tlaku tekutin pôsobiaceo na plocu sa prejavuje silou. Tlakovú silu uvažujeme ako súčet elementárnc síl d pôsobiacic d na element d, ktoré tvoria celkovú plocu (obr ). Tlaková sila na element bude definovaná d d = p d alebo = p d. [N] (1.4.1) Tlaková sila je vžd kolmá na plocu a bod, v ktorom pôsobí, Obr naývame pôsobiskom sil. Tlaková sila na rovinnú plocu od rovnomerne roloženéo tlaku Pre prípad rovnomerne roloženéo tlaku pôsobiaceo na rovinnú plocu bude veľkosť tlaku v každom bode ploc rovnaká, t. j. p = konšt. Potom celková sila pôsobiaca na plocu bude = p. Pôsobisko sil sa nacáda v ťažisku ploc. Tento prípad môže nastať a nasledovnýc podmienok: a) Nec na rovinnú plocu pôsobí tlak plnu. V priestore aplnenom plnom považujeme tlak a konštantný, rovný atmosferickému, resp. vonkajšiemu tlaku. Sila sa potom bude rovnať =. b) Pri pobe nádob voľným pádom sa tlak p = a pôsobiaca sila na rovinnú plocu bude =. c) Tlak pôsobí na vodorovnú rovinnú plocu, ktorá je ekvipotenciálna ladina, napr. na dno nádob (obr. 1.4.). V každom bode dna nádob bude rovnaký tlak p = + ρ g. Potom veľkosť sil bude = ( + ρ g ). [N] (1.4.) Obr Veľkosť drostatickej sil pôsobiacej na dno nádob neávisí od tvaru nádob, ale len od výšk stĺpca kvapalin. 1

5 Tlaková sila na rovinnú plocu od nerovnomerne roloženéo tlaku Rovinná ploca sa nacáda pod voľnou ladinou kvapalin. Rovinná ploca je sklonená od vodorovnej rovin o uol. Na voľnú ladinu pôsobí atmosferický tlak ( = ) a kvapalina je v pokoji. Podľa obr bude ploca aťažovaná tlakovou silou iba od drostatickéo tlaku, ktoréo odnota sa mení s ĺbkou. Potom celkovú tlakovú silu vpočítame = ρ g sin d. [N] (1.4.3) Integrál vo výrae (1.4.3) vjadruje statický moment ploc vľadom na súradnicovú os I st = d = t. [m 3 ] (1.4.4) t Z obr vplýva: sin = t a ĺbka ťažiska ploc je t = t sin. t d Ť d t Ť e t Hodnota tlakovej sil, ktorá pôsobí na celú plocu sa vpočíta = ρ g t. [N] (1.4.5) Pôsobisko tlakovej sil vpočítame rovnosti momentov výslednej sil a elementárnc síl d. Pôsobisko tlakovej sil nebude v ťažisku ploc, ale bude posunuté o určitú odnotu e (ecentricitu) pod ťažiskom ploc. Platí I = t + e = t +, [m] (1.4.6) Ist kde I je moment otrvačnosti ploc k osi, ktorá precáda ťažiskom ploc a Hĺbka pôsobiska tlakovej sil je definovaná výraom (obr ) e I I =. = t + e sin. [m] (1.4.7) V prípade, že na voľnú ladinu pôsobí vonkajší tlak, môžeme veľkosť tlakovej sil pôsobiacej na rovinnú plocu vpočítať ako súčet tlakovýc síl od vonkajšieo tlaku a od drostatickéo tlaku (obr a), Obr = p pr + ρ g t [N] (1.4.8) Pôsobisko tlakovej sil je v ťažisku aťažovacieo obraca tlaku. Určíme o o námc pôsobísk tlakovej sil od vonkajšieo tlaku a tlakovej sil od drostatickéo tlaku. Takýmto spôsobom st 13

6 postupujeme vžd, ak pod voľnou ladinou je iba časť rovinnej ploc (obr b). k je celá rovinná ploca pod voľnou ladinou, potom výpočet jednodušíme pomocou redukovanej ladin. Redukovaná ladina je fiktívna ladina, do ktorej b vstúpila kvapalina v prípade, že b na ňu pôsobil atmosferický tlak (obr ). Redukovanú ladinu určíme tak, že pripočítame ku skutočnej ladine kvapalin výšku fiktívnej ladin red, ktorú vpočítame ppr red = [m] (1.4.9) ρ g Rovnicu (1.4.9) upravíme na tvar p ρ g = red +. [m] (1.4.1) Vo vťau (1.4.1) na pravej strane je tlak vjadrený pomocou výšk kvapalinovéo stĺpca, ktorú naývame tlakovou výškou. p pr p pr p pr red aťažovací obraec tlaku t e Ť ρg Ť t1 p pr ppr ρg Ť 1 p pr p a ) b ) Obr Obr p 14

7 1.5 Tlaková sila na všeobecnú plocu Tlaková sila na všeobecnú plocu od rovnomerne roloženéo tlaku O pôsobení tlakovej sil na všeobecnú plocu od rovnomerne roloženéo tlaku ovoríme vted, ak je tlak konštantný na celej ploce. Napríklad nec p = (atmosferický, vonkajší tlak). Potom ložk tlakovej sil v smere osí,, sa rovnajú: = d =, = d =, = d =.[N] (1.5.1) Ploca je ploca kolméo priemetu všeobecnej ploc v smere osi do rovin, v smere do rovin a v smere do rovin. Hodnotu celkovej tlakovej sil vpočítame o vťau = + +. [N] (1.5.) Smer výslednej tlakovej sil sa určí o smerovýc kosínov cos =, cos β =, cos γ =. (1.5.3) Tlaková sila na všeobecnú plocu od nerovnomerne roloženéo tlaku t d d tlačné teleso Obr d d d t d Predpokladáme, že absolútn tlak v tekutine sa mení v súlade s podmienkami jednonačnosti podľa (1..1). Zložk tlakovej sil (obr ) v smere osí,, vpočítame pre i =,, : i = ρ g d i. [N] (1.5.4) i k sú náme tvar a ploc kolmýc priemetov všeobecnej ploc do jednotlivýc rovín, potom je náma aj vdialenosť ťažiska priemetov plôc od voľnej ladin t a t. Pre ložk a platí: = ρ g t. [N] (1.5.5) = ρ g t. [N] (1.5.6) Zložku tlakovej sil vo vislom smere (os ) vjadrujeme vťaom = ρ g V. [N] (1.5.7) Objem V predstavuje tv. objem tlačnéo telesa, uavretéo vislicami medi danou plocou a jej vislým priemetom na voľnú ladinu, resp. redukovanú ladinu, (rovnica pre i = ). Zvislú ložku tlakovej sil určujeme ako tiaž tlačnéo telesa. Keď je objem tlačnéo telesa určovaný vonkajšej (neomočenej) stran ploc, vted sila pôsobí smerom ore. Veľkosť tlakovej sil vpočítame podľa vťau (1.5.) a jej smer podľa (1.5.3). Miesto pôsobenia celkovej tlakovej sil určíme pôsobísk jednotlivýc ložiek síl. Vodorovné ložk tlakovej sil a majú pôsobisko v ťažisku aťažovacieo obraca tlaku. Pôsobisko vislej ložk tlakovej sil sa nacáda v ťažisku tlačnéo telesa. 15

8 Príklad Vpočítajte veľkosť vertikálnej a oriontálnej sil pôsobiacej na valcový uáver, ktorý oddeľuje dve nádrže naplnené vodou (obr. 1.5.). Výška ladin vod v prvej nádrži je 1 = 3 m a v druej nádrži je ladina vod vo výške = 1,5 m. Polomer valca je r = 1,5 m a dĺžka valca je L = 1 m. Ďalej vpočítajte veľkosť výslednej tlakovej sil a smer jej pôsobenia. Dané: 1 = 3 m, = 1,5 m, r = 1,5 m, L = 1 m, ρ = 1 kg.m 3 Hľadané:,,, Riešenie: Výpočet oriontálnej sil je podľa (1.5.5) ako rodiel pôsobiacic síl v smere osi = 1 = ρ g t1 1 ρ g t 1 t1=, 1 = 1 L t=, =.L ρ g L 1.9,81.1 = 1 = ( ) ( 3 1, ) 5 = N. Obr Výpočet vertikálnej sil v smere osi je podľa vťau (1.5.7). Tlačné teleso sa vľadom na valcový uáver určuje vonkajšej stran(obr ), t. j. ložka tlakovej sil bude pôsobiť ore (v kladnom smere osi ) = ρ.g.v, V = π r L = π.1,5.1 = 63,6 m 4 4 = 1.9,81.63,6 = 6411, N. Veľkosť výslednej tlakovej sil vpočítame analogick o vťau (1.5.) = + = , = 73984,8 N. Smer pôsobenia výslednej tlakovej sil určíme pomeru veľkostí jej ložiek podľa vťau (1.5.3) cos = = 73984,8 cos =,537 = 57,5. Grafické riešenie ložk tlakovej sil pomocou tlačnýc objemov kvapalín pôsobiacic na valcový uáver je obraené na (obr ). V 1 V 1 V 1 V r Obr = + = V Obr