Smernicový tvar rovnice priamky

Transcript

1 VoAg1-T List 1 Smernicový tvar rovnice priamk RNDr.Viera Vodičková U: Medzi prevratné objav analtickej geometrie patrí to, že s priamkou nenarábame ako s geometrickým objektom, ale popisujeme ju rovnicou. Ž: To už poznám. Viem napísať parametrické rovnice priamk i všeobecnú rovnicu priamk. U: Napriek tomu bola priamke priradená rovnica už dávno predtým, v inej oblasti matematik. Pamätáš sa na funkcie? Ž: Funkcie? To bol taký predpis, vlastne priradenie, sme priraďovali. U: V podstate áno. K funkciám neodmsliteľne patria ich graf. Ž: Á, to mslíte všetk tie rôzne čiar, ktoré sme znázorňovali - zakresľovali do sústav súradníc. Niektoré z nich boli priamk. U: Práve tie nás budú zaujímať. Funkcie, ktorých grafom je priamka, nazývame lineárne. Boli dané predpisom: f : = a + b, a, b R, a. Ž: Pamätám sa na ne. Lineárne ako línia - čiara. U: Povedal si, že poznáš všeobecnú rovnicu priamk a + b + c =. Táto priamka je grafom istej lineárnej funkcie. Vieš akej? Ž: Chcete túto všeobecnú rovnicu prerobiť na predpis funkcie? U: Presne tak. Predpis funkcie získame tak, že z rovnice vjadríme. Ž: To b som zvládol aj ja. Člen a a c prenesieme na druhú stranu: Teraz stačí už len vdeliť a máme: b = a c. = a b c b. U: Pozor! Mohol si to urobiť len za podmienk b. Ž: Rovnica vzerá dosť zložito. U: Ab vzniknutá rovnica pôsobila lepším dojmom, premenujeme si koeficient. Koeficient pri sa zvkne označovať ako k, a teda k = a. Zvšný koeficient sa označuje ako q, t. j. b q = c. Rovnica priamk bude mať potom tvar: b = k + q, k, q R. Tento tvar rovnice nazývame smernicový tvar rovnice priamk. Vrátime sa ešte k podmienke b. Pre ktoré priamk platí b =?

2 VoAg1-T List 2 Ž: No... to budú priamk, ktorých všeobecná rovnica je: a + c =. U: Výborne. V tejto rovnici nevstupuje. Preto sa nedá ani vjadriť. Všeobecnú rovnicu však môžeme v tomto prípade upraviť na tvar: = c a. Nie je to smernicový tvar rovnice priamk, ale dáva nám predstavu o polohe priamk v sústave súradníc. Ž: Jasné! To je ako napr. = 4. Sú to priamk rovnobežné s osou. U: Áno. Takže: priamk rovnobežné s osou nemajú smernicový tvar. Ž: Rád b som vedel, prečo sa volá smernicový - taký zvláštn názov. Dá sa na niečo použiť? Veď je to len inak upravená všeobecná rovnica! U: Všetko sa dozvieš. Tak ako z parametrických rovníc vieme určiť smerový vektor, zo všeobecnej rovnice normálový vektor, tak aj smernicový tvar rovnice priamk má svoj význam. Pozrieme sa na význam koeficientov k a q. Majme priamku danú smernicovým tvarom = k + q. Nakoľko nie je rovnobežná s osou, pretína ju v bode, ktorý označíme ako Q. Aké bude mať súradnice? Ž: Bod Q leží na osi, preto má prvú súradnicu rovnú nule. U: Správne. Dosadíme za - prvú súradnicu do rovnice priamk a získame - druhú súradnicu. Ž: Dobre. = k + q. Z toho dostávam: = q. U: Bod Q, priesečník priamk = k + q a osi má súradnice Q[; q]. Zakreslíme si teraz priamku v sústave súradníc. Vznačíme bod Q. p Q[; q] q U: Z obrázka vidíme, že veľkosť úsečk OQ = q. Ž: Prečo ste použili absolútnu hodnotu? U: Druhá súradnica bodu Q môže bť aj záporná, ale veľkosť úsečk je nezáporné číslo. Hovoríme, že q udáva veľkosť úseku, ktorý priamka vtína na osi.

3 VoAg1-T List 3 U: Skús vjadriť koeficient k zo smernicového tvaru. Ž: To je jednoduché. dčítam q a vdelím s, samozrejme, ak nie je. k = q. U: Dobre a teraz budeme pokračovať na našom obrázku. Na priamke si vznačíme ľubovoľný bod X[; ]. Zostrojíme si pomocný trojuholník QAX, sleduj obrázok. X p q Q ϕ A ϕ q U: Uhol XQA oznáčíme ako ϕ. Trojuholník QAX je pravouhlý, preto môžeme vjadriť uhol ϕ pomocou funkcie tangens. Ž: To b šlo. Tangens je protiľahlá odvesna k priľahlej. Pre náš prípad je to tgϕ = XA QA. U: Áno. Z obrázka je jasné, že XA = q a QA =. Preto tgϕ = q. Ž: Je to presne ten istý výraz ako keď som vjadril koeficient k! U: Áno, platí teda: k = tgϕ. Ž: Bolo to pekné. Ale čo je vlastne ϕ? Čím je tento uhol pre priamku významný? U: Pozrieme sa ešte raz na obrázok. Uhol ϕ je tiež uhol, ktorý zviera priamka a os - je vznačený červenou farbou. Tento uhol sa nazýva smerový uhol priamk. Smerovým uhlom priamk p nazývame orientovaný uhol, ktorý zviera kladná časť osi s priamkou p. Platí ϕ ; 18 ). Niekoľko priamok s ich smerovými uhlami máš na ďalšom obrázku: p p p ϕ = ϕ ϕ U: Tangens smerového uhla nazývame smernicou priamk.

4 VoAg1-T List 4 Ž: Koeficient k sa teda volá smernica a je to tangens smerového uhla. U: Priamk rovnobežné s osou majú smerový uhol ϕ = 9. Ale tg9, ako vieš, nie je definovaný. Preto tieto priamk nemajú smernicu a ani smernicový tvar rovnice. Ž: To boli tie priamk, ktoré mali vo všeobecnej rovnici b =. U: Na záver ešte jeden spôsob výpočtu smernice. Nie vžd poznáme smerový uhol priamk. Ž: Priamka je väčšinou daná dvoma rôznmi bodmi. U: Dobre, majme danú priamku dvoma rôznmi bodmi A[a 1 ; a 2 ] a B[b 1 ; b 2 ]. Ako pomocou nich určiť smernicu priamk AB? Pomôžeme si obrázkom. Vznačíme si do sústav súradníc priamku a na nej dva bod A a B. B p b 2 a 2 ϕ b A 2 a ϕ 2 C b 1 a 1 a 1 U: Vznačíme aj smerový uhol priamk. Z bodov A a B môžeme vtvoriť pomocný trojuholník ACB. Ž: Aha, už to vidím. Bude to podobné ako pred chvíľkou. Uhol ϕ sa nachádza aj v tomto trojuholníku, pri vrchole A. U: Môžeme vjadriť tgϕ. Ž: b 1 tgϕ = BC AC. U: Nakoľko BC = b 2 a 2 a AC = b 1 a 1, dostávame vzťah na výpočet smernice priamk: k = tgϕ = b 2 a 2 b 1 a 1. U: Záverečné zhrnutie si pozri v tabuľke. Smernicový tvar rovnice priamk: = k + q, k, q R k- smernica priamk k = tgϕ, ϕ - smerový uhol priamk q - veľkosť úseku, ktorý priamka vtína na osi

5 VoAg1-1 List 5 Príklad 1: Daná je priamka =. Napíšte smernicový tvar rovnice tejto priamk, určte smernicu a veľkosť úseku, ktorý priamka vtína na osi. Ž: Nakoľko tam parameter nevidím, priamka je daná všeobecnou rovnicou. U: To je pravda. Nezabúdaj však, že eistuje ešte smernicový tvar rovnice priamk a ani v ňom parameter nevstupuje. Ž: Ako rozlíšim všeobecnú rovnicu od smernicového tvaru? U: Tak sa na to pozri. Uvediem to bez podmienok, všeobecná rovnica: a + b + c =, smernicový tvar = k + q. Ž: Všeobecná rovnica má všetk člen na ľavej strane a na pravej len nulu. Smernicový tvar začína sa rovná... U: Podstatu si vstihol. Smernicový tvar je len inak upravená všeobecná rovnica. Inak upravená znamená v tomto prípade, že z rovnice je vjadrená premená. Smernicový tvar vzerá ako predpis funkcie. Pretože priamka nie je nič iné ako graf lineárnej funkcie. Ž: Dobre. Ako som už povedal, priamku máme danú všeobecnou rovnicou =. Ak som to správne pochopil, smernicový tvar dostanem, ak z tejto rovnice vjadrím. U: Presne tak. Ž: Prehodím 2 a ( 4) na druhú stranu: Teraz vdelím s ( 3): 3 = = U: Hádam si to trochu upravíme. Navrhujem rozdeliť zlomok na dva, ab sme osamostatnili člen s. Aj tých znamienok mínus je tam akosi priveľa. To je smernicový tvar rovnice priamk. = Ž: A teraz z neho zistíme smernicu a veľkosť úseku, ktorý priamka vtína na osi. U: Zopakujme si význam koeficientov v smernicovom tvare rovnice priamk = k + q, k, q R. k je smernica priamk, q udáva veľkosť úseku, ktorý priamka vtína na osi. Ž: M máme rovnicu = Porovnaním vidím, že k = 2 3, lebo je to číslo, ktoré stojí pri. Zvšok je q, teda q = 4 3. U: Smernica priamk je 2 3.

6 VoAg1-1 List 6 Ž: Veľkosť úseku, ktorý priamka vtína na osi je 4 3. U: Pozor! Veľkosť úseku nemôže bť záporné číslo! Práve preto hovoríme, že q, nie q nám udáva veľkosť úseku, ktorý priamka vtína na osi. Ž: OK. Veľkosť úseku, ktorý priamka vtína na osi je 4 3. Úloha 1: Daná je priamka =. Napíšte smernicový tvar rovnice tejto priamk, určte jej smernicu a veľkosť úseku, ktorý priamka vtína na osi. Výsledok: = , k = 1 6, q = 1 3.

7 VoAg1-2 List 7 Príklad 2: Napíšte všeobecnú rovnicu priamk, ktorá prechádza bodom A[; 2] a s kladnou časťou osi zviera uhol veľkosti 6. Ž: Na napísanie všeobecnej rovnice priamk a + b + c = potrebujem poznať normálový vektor a aspoň jeden bod priamk. Bod b tu bol, ale ako pomocou uhla zistím normálový vektor? U: Poznáme viacero tvarov rovnice priamk. Možno sa nám podarí napísať nejaký iný tvar a potom ho upraviť na všeobecnú rovnicu. Ž: Eistuje ešte parametrické vjadrenie, ale to b som potreboval smerový vektor. U: Poznáme ešte smernicový tvar rovnice priamk. Ž: Smernicový tvar rovnice priamk vzerá takto: = k + q k, q R, kde k je smernica priamk a q je veľkosť úseku, ktorý priamka vtína na osi. U: Dobre. Smernica priamk k = tgϕ. Uhol ϕ je smerový uhol priamk. Ž: Aha! Smerový uhol to je presne ten uhol, ktorý zviera priamka s kladnou časťou osi. V našom prípade ϕ = 6. Z toho vplýva, že k = tgϕ = tg6 = 3. U: Výborne. Koeficient k už poznáme. k = 3. Smernicový tvar rovnice priamk bude: Ž: Ostáva nám už len q. = 3 + q. U: Je to len jedna neznáma a m predsa poznáme súradnice bodu A[; 2], ktorý patrí priamke. Súradnice musia vhovovať rovnici priamk. Ž: Dosadím ich do rovnice, za nulu a za číslo 2: Z toho je jasné, že q = 2. 2 = 3 + q. U: Stačilo si všimnúť, že bod A[; 2] má prvú súradnicu rovnú, leží na osi. Je to priesečník priamk a osi. Jeho druhá súradnica, t. j. 2, udáva veľkosť úseku, ktorý priamka vtína na osi, čiže q = 2. Ž: Smernicový tvar rovnice priamk: = U: Upravíme smernicový tvar na všeobecnú rovnicu.

8 VoAg1-2 List 8 Ž: To asi znamená, že prehodím všetk člen na ľavú stranu: 3 2 =. Napíšem člen v správnom poradí, a dostanem všeobecnú rovnicu priamk: =. Úloha 1: Napíšte všeobecnú rovnicu priamk, ktorá prechádza bodom A[; 3] a s kladnou časťou osi zviera uhol veľkosti 135. Výsledok: =

9 VoAg1-3 List 9 Príklad 3: Napíšte smernicový tvar rovnice priamk, ktorá prechádza bodmi A[ 4; 3] a B[1; 4,5]. U: Smernicový tvar rovnice priamk má takúto podobu: = k + q, k, q R, kde k je smernica priamk a q je veľkosť úseku, ktorý priamka vtína na osi. Ž: Potrebujeme smernicu. Zdá sa mi, že bol na to nejaký vzorec ako vpočítať smernicu priamk pomocou jej dvoch bodov. U: To máš pravdu. Eistuje taký vzorec. Ak bod A a B majú súradnice A[a 1 ; a 2 ] a B[b 1 ; b 2 ], tak pre smernicu k priamk AB platí: k = tgϕ = b 2 a 2 b 1 a 1. Ž: Tak potom je to jednoduché. Dosadím súradnice bodov A a B a vpočítam smernicu: k = 4,5 ( 3) 1 ( 4) = 7,5 5 = 1,5. Rovnica priamk bude: = 1, 5 + q. U: Ostáva nám vpočítať koeficient q. To b malo bť tiež ľahké, nakoľko poznáme súradnice aspoň jedného bodu priamk. Ž: Dosadím napríklad súradnice bodu A[ 4; 3] do rovnice priamk: 3 = 1,5 ( 4) + q. Dostávam: Rovnica priamk bude: q = 3. = 1, U: Správne. U: Ponúknem ti ešte iný spôsob riešenia tejto úloh. Vzorec na výpočet smernice si nemusíš vžd pamätať. (T si si ho vlastne ani nepamätal.) Určite však vieš, že smernicový tvar rovnice priamk je: = k + q. Poznáme dva bod priamk, teda ich súradnice musia tejto rovnici vhovovať. Dosadíme ich postupne obidva.

10 VoAg1-3 List 1 Ž: Dobre. Najprv dosadím bod A[ 4; 3] a dostávam rovnicu: Potom bod B[1; 4,5]: 3 = k ( 4) + q. 4,5 = k 1 + q. U: Zostavili sme sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámmi k a q. 3 = 4k + q 4,5 = k + q Ž: Vriešim ju. Použijem sčítaciu metódu. Prvú rovnicu vnásobím ( 1) a obidve rovnice sčítam ,5 = 4k + k 7,5 = 5k Z toho máme k = 1, 5. Dosadím k = 1,5 do druhej rovnice: 4,5 = 1,5 + q. A máme: q = 3. U: Rovnica má tvar: = 1, Výsledok je ten istý. Úloha 1: Napíšte smernicový tvar rovnice priamk, ktorá prechádza bodmi K[ 3; 7] a L[ 2; 1]. Výsledok: = 6 11

11 VoAg1-4 List 11 Príklad 4: Vpočítajte veľkosť uhla, ktorý zviera priamka určená rovnicou = s kladnou časťou. Ž: Vidím, že priamka je daná všeobecnou rovnicou. To mi však nepomôže, lebo nás bude zaujímať uhol, ktorý zviera priamka s kladnou časťou osi. U: Tento uhol má aj názov, nazýva sa smerový uhol priamk. Ž: Smerový uhol? To bude súvisieť so smernicovým tvarom rovnice priamk. U: Presne tak. Smernica priamk k sa rovná tangensu smerového uhla ϕ. k = tgϕ. Ž: Mojou prvou úlohou bude prepísať všeobecnú rovnicu =. na smernicový tvar. U: Pripomeniem, že smernicový tvar rovnice priamk je: = k + q. Ž: Aha. Potrebujem z rovnice vjadriť. Presuniem člen a 4 3 na pravú stranu: Nejako je tam veľa mínusov... U: Prenásobme preto rovnicu číslom ( 1). 3 = 4 3. Ž: Dobre. 3 = Vdelím celú rovnicu odmocninou z troch. = U: To je smernicový tvar rovnice priamk. Čomu sa rovná smernica k? Ž: k - to je koeficient pri : k = 1 3. U: Výborne. Smernica sa rovná tangensu smerového uhla. k = 1 3 = tgϕ. Ž: Zoberiem kalkulačku a viem, že ϕ = 3.

12 VoAg1-4 List 12 U: No, takéto uhl b sme mali vedieť aj bez kalkulačk... Uhol, ktorý zviera priamka určená rovnicou = s kladnou časťou osi má veľkosť 3. Úloha 1: Vpočítajte veľkosť uhla, ktorý zviera priamka určená rovnicou = s kladnou časťou. Výsledok: 135

13 VoAg1-5 List 13 Príklad 5: Napíšte všeobecnú rovnicu priamk a, ktorá prechádza bodom A[ 1; 6] a je rovnobežná s priamkou b : = U: V akom tvare máme danú rovnicu priamk? Ž: Parameter tam nie je... Vjadrenie začína rovná sa, ako pri funkciách. Priamka je daná smernicovým tvarom. U: Dobre. Povedzme si niečo o tomto tvare a o koeficientoch, ktoré sa tam vsktujú. Ž: Smernicový tvar je: = k + q, k, q R, kde k je smernica priamk a q je veľkosť úseku, ktorý priamka vtína na osi. U: Výborne. Som rád, že to tak pekne vieš. Ešte dodám, že k = tgϕ, kde ϕ je smerový uhol priamk. Ž: To je ten uhol, ktorý priamka zviera s kladnou časťou osi. U: Pozrieme sa ako budú súvisieť smernicové tvar rovnobežných priamok. Zakreslime si do sústav súradníc jednu ľubovoľnú priamku b (nemusí to bť presne tá naša). Vznačíme si ϕ b - smerový uhol priamk b. b ϕ b U: Prikreslíme teraz priamku a, ktorá bude s priamkou b rovnobežná. Opäť vznačíme smerový uhol ϕ a. b a ϕ b ϕ a Ž: Z obrázku sa zdá akob smerové uhl priamok a a b boli rovnaké. U: Aj sú. Vedel b si to aj niečím zdôvodniť? Ž: Sú tam predsa rovnobežk preťaté priečkou osou. Uhl ϕ a a ϕ b sú súhlasné, a preto majú rovnakú veľkosť. U: Výborne. Rovnobežné priamk majú rovnaké smerové uhl. Nakoľko k = tgϕ, zapamätaj si, že rovnobežné priamk majú rovnaké smernice. Ž: Smernicový tvar priamk a b som už skoro vedel napísať. Začínať bude tak ako pri priamke b : = 3 + 5, len posledné číslo, t. j. q bude iné. a : = 3 + q.

14 VoAg1-5 List 14 U: Áno. Stačí dopočítať neznám koeficient q. To nebude ťažké, pretože poznáme bod A[ 1; 6], ktorý patrí priamke a. Ž: Súradnice bodu A musia vhovovať rovnici priamk, dosadím ich: 6 = 3 ( 1) + q a vpočítam q: U: Smernicový tvar rovnice priamk a je: q = 9. = Ž: Smernicový tvar prepíšem na všeobecnú rovnicu. Všetk člen presuniem na ľavú stranu a na pravej budem mať nulu. Všeobecná rovnica priamk a bude táto: =. U: Alebo aj: =. Úloha 1: Napíšte všeobecnú rovnicu priamk a, ktorá prechádza bodom A[2; 8] a je rovnobežná s priamkou b : = 3. Výsledok: = 1

15 VoAg1-6 List 15 Príklad 6: Smerový uhol priamk má veľkosť 12. Priamka prechádza začiatkom sústav súradníc. Určte jej parametrické vjadrenie. Ž: Mohol b som si nakresliť obrázok? U: Samozrejme, kresli vžd, keď to potrebuješ, na to sa nemusíš pýtať. Ž: Dobre. Načrtnem si sústavu súradníc, zakreslím priamku, ktorá prechádza začiatkom, teda bodom O[; ]. Priamku natočím tak, ab s kladnou časťou osi zvierala uhol 12. p ϕ = 12 U: Navrhujem napísať rovnicu priamk najprv v smernicovom tvare = k + q. Ž: Smernica k = tgϕ, kde ϕ je smerový uhol, teda pre našu priamku 12. Preto: k = tg12 = 3. U: Výborne. Ak sa pozrieme na obrázok, vidíme aj aký je veľký úsek, ktorý priamka vtína na osi. Ž: Priamka nevtína žiadn úsek... U: Správne. Preto Ž: Smernicový tvar rovnice priamk je: q =. = 3 U: Ostáva nám iba prepísať ho na parametrické vjadrenie. Ž: To je jednoduché, všetko dám na ľavú stranu: 3 + =. U: Pozor! To je všeobecná rovnica, nie parametrické vjadrenie. Potrebujeme zaviesť parameter t. Nech napríklad = t. Ž: Potom platí: A už máme parametrické vjadrenie: = t = 3t. = 3t, t R.

16 VoAg1-6 List 16 Úloha 1: Smerový uhol priamk má veľkosť 45. Priamka prechádza bodom P [; 5]. Určte jej parametrické vjadrenie. Výsledok: Napr. = t = 5 + t, t R.

17 VoAg1-D List 17 Príklad 7: Nech priamk p : = k 1 + q 1 a r : = k 2 + q 2 sú navzájom kolmé. Potom pre ich smernice k 1, k 2 platí k 1 k 2 = 1. Dokážte. Ž: Tieto príklad nemám veľmi rád. Sú veľmi všeobecné, žiadne konkrétne čísla. A k tomu ešte dôkaz! U: Nesnaž sa veci hneď na začiatku vidieť čierne. V matematike sú dôkaz veľmi dôležité. Matematika ako deduktívna veda musí narábať so všeobecnými vjadreniami. Uvidíš, že to spolu hravo zvládneme. Ž: Dobre, ale ako mám čosi dokázať o smerniciach priamok, keď ani neviem aké sú? U: Vieš však, čo je to smernica. Ž: Smernica k je tangens smerového uhla. U: Označme si smerové uhl priamok ako ϕ 1 a ϕ 2. Potom platí: k 1 = tgϕ 1 a k 2 = tgϕ 2. Ž: Aha. Namiesto s k-áčkami budeme pracovať s tangensmi. Zdá sa, že budem musieť vhrabať vedomosti o goniometrických funkciách. U: Tie sa vžd hodia. Vzťah je potom ekvivalentný vzťahu k 1 k 2 = 1 tgϕ 1 tgϕ 2 = 1. Potrebujeme zistiť vzťah medzi smerovými uhlami oboch priamok. Navrhujem zakresliť obe priamk do sústav súradníc. Ž: Priamk budú úplne ľubovoľne nakreslené? Dobre, načrtnem si sústavu súradníc v rovine, v nej ľubovoľnú priamku p, a ľubovoľnú priamku r na ňu kolmú. Ďalej vznačím smerové uhl oboch priamok. p r ϕ 1 ϕ 2 U: Výborne, smerový uhol je uhol, ktorý zviera priamka a kladná časť osi. Na obrázku nám vznikol pravouhlý trojuholník, označíme ho ako P RS. Vedel b si vjadriť veľkosť vnútorného uhla pri vrchole R? Ž: Súčet vnútorných uhlov v trojuholníku je 18. Jeden uhol, pri vrchole S je pravý, t. j. 9. Druhý uhol je ϕ 1. To znamená, že vnútorný uhol pri vrchole R má veľkosť 9 ϕ 1.

18 VoAg1-D List 18 p r S P ϕ 1 π 2 ϕ 1 R ϕ 2 U: Výborne. Na obrázku pekne vidno, že vnútorný uhol pri vrchole R, t. j. 9 ϕ 1, a smerový uhol priamk r, t.j ϕ 2, sú susedné uhl. Ž: To majú dokop 18. U: Áno. Platí: Vjadrime vzťah medzi smerovými uhlami. Ž: Trošku to upravím : a mám (9 ϕ 1 ) + ϕ 2 = 18. ϕ 1 + ϕ 2 = 9 ϕ 2 = ϕ U: Dostávame sa ku goniometrickým funkciám. Potrebujeme vjadriť tgϕ 2 = tg(ϕ ). Ž: Viem len, že U: To sa nám hodí. tgϕ = sin ϕ cos ϕ. tgϕ 2 = sin(ϕ ) cos(ϕ ). Spomeňme si na súčtové vzorce, podľa ktorých platí: Ž: Dobre, pokúsim sa to aplikovať na náš vzťah: sin(ϕ + 9 ) = cos ϕ cos(ϕ + 9 ) = sin ϕ. tgϕ 2 = sin(ϕ ) cos(ϕ ) = cos ϕ 1 sin ϕ 1.

19 VoAg1-D List 19 U: Podiel sínusu a kosínusu toho istého argumentu sa rovná prevrátenej hodnote funkcie tangens: tgϕ 2 = cos ϕ 1 = 1. sin ϕ 1 tgϕ 1 Čiže Teraz môžeme vjadriť súčin k 1 k 2. Ž: Skúsim to. tgϕ 2 = 1 tgϕ 1. k 1 k 2 = tgϕ 1 tgϕ 2 = tgϕ 1 ( 1 tgϕ 1 ) = 1 Dokázali sme to! U: Áno, súčin smerníc dvoch navzájom kolmých priamok je rovný ( 1).