Definícia funkcie sínus a kosínus

Transcript

1 a-go-0-t List Definícia funkcie sínus a kosínus RNDr. arián acko U: Dnešnú podobu goniometrickým funkciám dal až v 8. storočí Leonard Euler. Skúmal ich hodnot ako čísla, nie ako úsečk, ako sa to robilo dovted. Goniometrické funkcie sa totiž dlho definovali len pre ostré uhl α (0 ; 90 ) v pravouhlom trojuholníku ako pomer dĺžok dvoch jeho strán. Dĺžka úsečk ako vieme je iba kladné reálne číslo. Euler pripustil pre hodnot premenných goniometrických funkcií čísla kladné, ale aj záporné. Prostriedkom k tomu mu bola jednotková kružnica. Ž: Urobíme to tak, ako Euler, aj m? U: Áno. Pamätáš sa, čo je podstatou pojmu funkcia? Ž: Každému reálnemu číslu z definičného oboru určitým spôsobom priradí práve jedno reálne číslo. U: Z tohto dôvodu sme sa naučili v predchádzajúcej téme reálnm číslam jednoznačne priradiť bod na jednotkovej kružnici. Ž: Ale funkcia nepriraďuje reálnemu číslu bod. U: To máš pravdu. Reálnemu číslu potrebujeme priradiť reálne číslo. Bod na jednotkovej kružnici má však dve súradnice [ ; ], čo sú reálne čísla. Ak reálnemu číslu známm spôsobom priradíme na jednotkovej kružnici bod, jeho súradnice predstavujú funkčné hodnot kosínus a sínus reálneho čísla. 0 Ž: To znamená, že funkcia sínus reálnemu číslu priradí hodnotu určenú -ovou súradnicou bodu a funkcia kosínus reálnemu číslu priradí -ovu súradnicu bodu. U: Presne tak. Aj pre tieto funkcie však používame obvklé zápis f : = sin, g : = cos. Ž: Trochu mám v tom zmätok. Prečo nestačí definovať tieto funkcie iba pre ostré uhl? Kde potrebujeme napr. sin 007? U: nohé prírodovedné predmet, ako fzika a astronómia, potrebujú rozšíriť definičný obor oboch týchto funkcií na množinu všetkých reálnch čísel. Túto potrebu uvidíš aj v matematických úlohách. Preto je definičným oborom funkcií sínus s kosínus množina všetkých reálnch čísel.

2 a-go-0-t List Ž: Súvisí táto definícia zavedenia funkcií sínus a kosínus na jednotkovej kružnici s definíciou v pravouhlom trojuholníku? U: Na prvý pohľad sa zdá, že sa líšia. Ukážeme si však, že definícia na jednotkovej kružnici zodpovedá definícií pre ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku. Stačí si uvedomiť, že v jednotkovej kružnici je pravouhlý trojuholník. sin 0 cos Ž: e to trojuholník O. U: Urč dĺžk jeho strán! Ž: Dĺžk odvesien sú určené súradnicami bodu. Vjadrím ich pomocou hodnôt funkcií kosínus a sínus reálneho čísla. Prepona O má dĺžku jedna, lebo to je polomer a kružnica je jednotková. Preto platí O = = cos, = = sin, O =. ( ) U: Dĺžka oblúka je reálne číslo 0;, ktoré vjadruje veľkosť uhla O v radiánoch. ôžeš vjadriť sin v pravouhlom trojuholníku O. Ž: e to pomer protiľahlej odvesn ku prepone, čiže sin = O = =. Podľa definície na jednotkovej kružnici je to teda sínus reálneho čísla. U: Obe definície vjadrujú ten istý obsah pojmu sínus pre ostrý uhol. Podobne b si to urobil pre funkciu kosínus. U: Keďže nekonečnému počtu reálnch čísel v tvare = 0 + k vžd priradíme ten istý bod na jednotkovej kružnici, budú sa hodnot funkcií sínus a kosínus, ktoré sú určené súradnicami tohto bodu, pravidelne opakovať. Ž: To znamená, že dané funkcie sú periodické. U: áš pravdu. Aká je najmenšia perióda?

3 a-go-0-t List Ž: Dĺžka jednotkovej kružnice, teda číslo. U: To, že funkcie sínus a kosínus sú periodické s najmenšou periódou, vjadrujú vzťah sin ( + k) = sin ; cos ( + k) = cos. Tieto vzťah si treba zapamätať. Ž: To ale znamená, že na vlastnosti týchto dvoch funkcií sa stačí pozrieť na intervale 0; ). U: Začnime tým, kde sú hodnot sínus, resp. kosínus kladné, a kde záporné. Stačí si všímať súradnice bodov jednotkovej kružnice v jednotlivých kvadrantoch. Ž: Každý bod na jednotkovej kružnici v I. kvadrante má obe súradnice kladné, teda aj hodnot sínus a kosínus sú kladné. sin 0 cos U: Bod jednotkovej kružnice v II. kvadrante majú -ovú súradnicu zápornú, teda kosínus je záporný a -ovú súradnicu kladnú, sínus je kladný. sin cos 0 Ž: Ďalej je to už podľa jednotkovej kružnice jednoduché. U: Všetko sa dá včítať z jednotkovej kružnice, ak poznáš definíciu sínus a kosínus a vieš zobrazovať reálne čísla na jednotkovú kružnicu. Ž: usím uznať, že obrázok dosť napomáha k objaveniu výsledkov. U: V nasledujúcej tabuľke máš zhrnuté poznatk o kladnosti, resp. zápornosti hodnôt funkcií sínus a kosínus.

4 a-go-0-t List 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 0; ; ; ; sin + + cos + + Ž: Vedeli b sme v jednotlivých kvadrantoch určiť aj hodnot týchto funkcií? U: Vo význačných argumentoch áno, pre iné hodnot získame funkčné hodnot na kalkulačke. { } Pre 0; ; ; dokážeš určiť hodnot aj sám. B C 0 A D Ž: Odpovedajú im bod A [; 0]; B [0; ]; C [ ; 0]; D [0; ]; takže sin 0 = 0; cos 0 =, sin = ; cos = 0, sin = 0; cos =, sin = ; cos = 0. U: Okrem { týchto význačných hodnôt argumentu sú dôležité aj hodnot pre 6 ; 4 ; }. Funkčné hodnot sa dajú vpočítať vužitím rovnostranného a rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Výpočet si môžeš pozrieť v riešených úlohách. V nasledujúcej tabuľke sú uvedené hodnot funkcií sínus a kosínus vo význačných bodoch sin 0 0 cos 0 0

5 a-go-0-t List 5 Ž: Prečo sú uvedené hodnot pre časti pravého uhla iba v I. kvadrante? U: Pretože v ďalších kvadrantoch s nimi súvisia. Nieked sa líšia iba znamienkom. A neplatí to iba pre 6 ; 4 ; (, ale akúkoľvek hodnotu argumentu ) 0;. Ž: Ako to teda bude v druhom kvadrante? U: Každému bodu [cos ; sin ] na oblúku v I. kvadrante, zodpovedá bod v II. kvadrante, ktorý je s nim osovo súmerný podľa osi. V osovej súmernosti sa prenesie aj uhol veľkosti. Bude meraný od zápornej polosi k polpriamke O. Skús určiť, akú dĺžku bude mať oblúk. e to aj veľkosť uhla O. 0 Ž: Od čísla odpočítam. U: Ak vieme určiť hodnot pre z I. kvadrantu, vieme určiť hodnot sínus a kosínus aj pre ( ) z II. kvadrantu. Aký je vzťah medzi súradnicami bodov a, ak si zodpovedajú v osovej súmernosti podľa? cos( ) 0 cos Ž: -ové súradnice sú rovnaké, lebo sa to prenáša na kolmici na, -ové b mali mať opačné znamienka. U: Týmito súradnicami sú určené hodnot sínus a kosínus. Platí teda sin( ) = sin ; cos( ) = cos.

6 a-go-0-t List 6 Ž: V treťom kvadrante k priamemu uhlu pridáme uhol? 0 U: Súvisí to teraz so stredovou súmernosťou so stredom v začiatku súradnicovej sústav O. Bod O je samodružný, bod [; 0] sa zobrazí do bodu [ ; 0] a bod [cos ; sin ] do bodu. Veľkosť uhla O je ( + ), tak ako si spomenul. Verím, že ani teraz nebude pre teba problém dať do súvisu súradnice bodov a. sin cos( + ) 0 cos sin( + ) Ž: Obe súradnice sú teraz opačné ako má bod v I. kvadrante. U: V III. kvadrante platí: sin( + ) = sin ; cos( + ) = cos U: Zostáva IV. kvadrant. Pre prechod z I. kvadrantu do IV. vužijeme opäť osovú súmernosť, ale podľa osi sin 0 sin( )

7 a-go-0-t List 7 Ž: Uhl, ktoré sa prenesú budú mať rovnakú veľkosť, lebo je to zhodné zobrazenie. Zmení sa iba znamienko pre -ovú súradnicu, čiže funkciu sínus. U: Reálne číslo, ktoré odpovedá IV. kvadrantu bude ( ), a teda platí: sin( ) = sin ; cos( ) = cos U: Páčila sa mi tvoja poznámka v úvode, že funkcia nemôže reálnemu číslu priradiť bod. Hodnotami sínus a kosínus sú isté reálne čísla. Ako sa však pozeráš na zápis sin 0? Ž: slíte tým, že ako argument funkcie b sa nemali používať hodnot v stupňoch? U: 0 nie je reálne číslo. Vjadruje veľkosť stredového uhla na jednotkovej kružnici, ktorú možno vjadriť reálnm číslom v radiánoch. Zápis sin 0 musíme teda chápať ako 6 hodnotu funkcie sínus, ktorá je priradená reálnemu číslu. Tieto zápis sa však 6 bežne používajú, preto sa im nebudeme vhýbať ani m. Ž: Spomenuli ste stupne a radián. Eistuje vzorec na prevod hodnôt zo stupňovej mier na radiánovú? U: Radián sú jednotkou pre veľkosť uhla v oblúkovej miere. Prechod z jednej mier do druhej sa dá zvládnuť jednoduchou trojčlenkou. Čo si určite pamätáš je, koľko radiánov predstavuje 60 alebo 80. Ž: 80 je radiánov. U: Platí priama úmera: čím viac stupňov, tým viac radiánov, alebo naopak, čím viac radiánov tým viac stupňov. Ž: Vskúšajme na nejakom príklade, napríklad pre 0. U: 80 zodpovedá radiánom, 0 zodpovedá radiánom. Daj to do pomeru a vjadri. Ž: Pomer bude vjadrený v tvare = U: Pre neznámu dostávame = Určite si si všimol, že väčšina význačných hodnôt je vjadrená násobkom čísla. Robíme to z toho dôvodu, že je to iracionálne číslo. useli b sme pracovať iba z jeho približnou hodnotou. Aj náš príklad vedie k takémuto vjadreniu. Skús dokončiť výpočt! Ž: Po vkrátení zlomku 0-timi mám = 6.

8 a-go-0- List 8 Príklad : Určte, ktoré z čísel 0,4; ; 0; 5 ; 5 8 a môže bť hodnotou funkcie sínus. U: S ktorou premennou v zápise funkcie = sin súvisia zadané čísla? Ž: V tete úloh je otázka, ktoré z čísel môže bť hodnotou, takže s hodnotou. U: Ide o funkčné hodnot = f(). Otázka je, ku ktorému zo zadaných čísel eistuje aspoň jedno reálne číslo, tak, že = sin? Ž: Pomôžem si jednotkovou kružnicou. Funkcia sínus reálnemu číslu priraďuje -ovú súradnicu bodu na jednotkovej kružnici. Pre = 0,4 eistujú dokonca dva také bod. 0 0,4 sin U: Sú v III. a vo IV. kvadrante a zodpovedá im nekonečne veľa reálnch čísel v tvare = + k, alebo = + k kde k je celé číslo. Takže 0,4 môže bť hodnotou funkcie sínus. Ž: Analogick určím pre ostatné čísla. Vznačil som to na obrázku Ž: Hodnotou funkcie sínus môžu bť iba čísla { 0,4; } 5. 8

9 a-go-0- List 9 U: Úloha sa dala vriešiť bez grafického znázorňovania na jednotkovej kružnici. Pochopil si ju správne v tom, či dané čísla môžu bť funkčnými hodnotami. Pýtame sa teda, aký je obor funkčných hodnôt funkcie sínus? Ž: asné. e to uzavretý interval ; a do tohto intervalu patria iba čísla, ktoré som predtým uviedol.

10 a-go-0- List 0 Príklad : ( ) ( ) ( Do ktorého intervalu 0; ; ; ; ; a) sin < 0 a zároveň cos > 0; b) sin > 0 a zároveň cos = 0,6. ) ( ) ; ; ; patrí, ak Ž: Pomôžem si jednotkovou kružnicou. 0 cos sin U: Uvedom si, v ktorom z daných intervalov má funkcia sínus záporné hodnot. Ž: V treťom a vo štvrtom kvadrante. U: Podobne vrieš podmienku cos > 0. Ž: Keďže funkcia kosínus reálnemu číslu priradí -ovú súradnicu bodu na jednotkovej kružnici, tak v II. a vo III. kvadrante. sin > 0 cos < 0 sin > 0 cos > 0 0 sin < 0 cos < 0 sin < 0 cos > 0 U: Obe podmienk majú platiť súčasne. Ž: Výsledným intervalom preto bude ten, ktorý som uviedol pri. podmienke a zároveň pri. podmienke. e to III. kvadrant. ( ) U: Výsledkom úloh je ;. Vrieš podobne úlohu b). Ž: Nemôžem určiť, keďže cos = 0,6?

11 a-go-0- List U: Dalo b sa to, ale použitím kalkulačk. Získal b si však zápornú hodnotu. Pri geometrickom určení na jednotkovej kružnici bola b hodnota nepresná, nedokážeme merať ani s presnosťou na stotin centimetra. Navše úloha je analogická predchádzajúcej. Stačí si uvedomiť, že podmienka cos = 0,6 znamená cos < 0. Ž: Potom je to už ľahké. Z podmienk sin > 0 vplýva, že patrí do I. alebo II. kvadrantu. Z podmienk cos < 0 vplýva, že patrí do II. alebo III. kvadrantu. sin > 0 cos < 0 sin > 0 cos > 0 0 U: Výsledkom úloh je sin < 0 cos < 0 ( ; ). sin < 0 cos > 0 Úloha : ( ) ( ) ( Do ktorého intervalu 0; ; ; ; ; sin = 0,6 a zároveň cos = 0,8 ( ) Výsledok: ; ) ( ) ; ; ; patrí, ak

12 a-go-0- List Príklad : Určte všetk 0; ), pre ktoré platí: sin = cos. U: Úloha sa dá riešiť ako goniometrická rovnica pomocou funkcie tangens alebo kotangens. Zatiaľ nám však tieto vedomosti chýbajú. Ž: Tak prečo mám riešiť takúto úlohu? U: Pretože k jej vriešeniu stačí predstava o jednotkovej kružnici a súradniciach bodov v rovine. T túto predstavu máš. Začni od definícií funkcií sínus a kosínus na jednotkovej kružnici. Ž: Funkcia sínus reálnemu číslu priraďuje -ovú súradnicu a funkcia kosínus -ovú súradnicu bodu jednotkovej kružnice, ktorý je priradený číslu. Keďže sa hodnot funkcií sínus a kosínus rovnajú, tak sa rovnajú aj súradnice. U: Našou úlohou je teda nájsť na jednotkovej kružnici všetk bod X [; ] tak, ab súradnice pre daný bod boli rovnaké, teda =. To je predpis funkcie ktorej pomenovanie a graf určite poznáš. Ž: Viem, že grafom je priamka, ale s pomenovaním mi musíte pomôcť. U: e to špeciáln prípad lineárnej funkcie, a to priama úmernosť. Načrtni graf tejto funkcie do obrázka s jednotkovou kružnicou. Ž: Potrebujem dva bod, ak = 0, aj = 0. Pre = je =. A 0 B U: Priamka, ktorú si zostrojil sa tiež nazýva osou I. a III. kvadrantu. ej priesečník s jednotkovou kružnicou sú nami hľadané bod, ktorým priradíme reálne číslo. Ž: Bod sú v I. a v III. kvadrante. Keďže os rozdeľuje pravý uhol na polovicu, riešenia sú = 4 ; = 5 4. Úloha : Určte všetk 0; ), pre ktoré platí: cos = sin. Výsledok: = 4 ; = 7 4

13 a-go-0-4 List Príklad 4: Určte všetk reálne čísla, pre ktoré súčasne platí: sin = 0 a cos =. U: Vzhľadom na periodickosť funkcií sínus a kosínus s najmenšou periódou, stačí vriešiť obe podmienk pre 0; ). Vrieš najskôr sin = 0 tak, že vužiješ jednotkovú kružnicu. B A 0 0 Ž: Funkcia sínus reálnemu číslu priradí -ovú súradnicu bodov na kružnici. Keďže má bť nula, také bod sú dva: A [; 0]; B [ ; 0]. Sú priradené reálnm číslam = 0; =. U: Analogick vrieš podmienku cos =. Ž: Funkcia kosínus reálnemu číslu priradí -ovú súradnicu bodov na kružnici. Keďže má bť, taký bod je len jeden C [ ; 0]. Ten je priradený reálnemu číslu =. C 0 U: Ktoré bod jednotkovej kružnice vhovujú obom podmienkam súčasne? Ž: Bod C je totožný s bodom B. Hľadané číslo je. U: Zatiaľ je to tzv. základné riešenie v intervale 0; ). Všetk reálne čísla vhovujúce obom podmienkam súčasne vjadríme pomocou čísla pripočítaním celočíselných násobkov najmenšej periód funkcií sínus a kosínus. Ž: Úlohe teda vhovujú všetk reálne čísla v tvare = + k; kde k je celé číslo.

14 a-go-0-4 List 4 Úloha : Určte všetk reálne čísla, pre ktoré súčasne platí: Výsledok:. sin = a cos =.

15 a-go-0-5 List 5 Príklad 5: áme rozhodnúť o pravdivosti výroku: Pre všetk reálne čísla, platí: ak sin = sin, tak =. Ž: Neviem sa zorientovať vo význame smbolov a. U: Obe premenné sú použité vo význame argumentu, čiže nezávislej premennej. Ako keb si použil,. Ž: ám teda dokázať výrok: ( Pre všetk ; z intervalu 0; ) platí: ak sin = sin, tak =. U: Áno. Výrok o pravdivosti, ktorého máme rozhodnúť sa nazýva implikácia. Prvá časť výroku je predpoklad. Uvažujeme, že platí. Druhá časť je tvrdenie. Zadaný výrok bude pravdivý, ak tvrdenie je pravdivé. Opäť si môžeš pomôcť jednotkovou kružnicou. Ž: Funkcia sínus reálnemu číslu priradí -ovú súradnicu bodov jednotkovej kružnice. Predpoklad sin = sin znamená, že reálnm číslam a bol na jednotkovej kružnici priradený ten istý bod. U: usia bť tieto čísla rovnaké? Ž: Nie, veď množina všetkých reálnch čísel, ktorým je priradený ten istý bod jednotkovej kružnice je nekonečná. sin 0 U: Z toho vplýva, že môže platiť = + k; kde k je celé číslo. To si vužil periodickosť funkcie sínus. Ž: Teda výrok neplatí. U: Áno. Na zdôvodnenie, že výrok neplatí, sa dá vužiť aj iný argument. Pozri sa ešte raz na obrázok. Koľko bodov na jednotkovej kružnici má tebou zvolenú -ovú súradnicu? Ž: Aha! ohol som vznačiť aj bod v II. kvadrante.

16 a-go-0-5 List 6 sin = sin 0 U: Aj teraz platí, že. Vužili sme vlastnosť, že funkcia sínus nie je v základnom intervale prostá. Výsledkom úloh je: výrok neplatí. Úloha : Rozhodnite o pravdivosti výroku: ( Pre všetk reálne čísla, z intervalu 0; Výsledok: výrok platí ) platí, ak sin = sin, tak =.

17 a-go-0-6 List 7 Príklad 6: Vpočítajte: a) sin 50, b) sin 6. U: Podstata úloh spočíva v tom, ab si zistil, do ktorého kvadrantu patrí argument. Potom ho vjadríš pomocou zodpovedajúcej hodnot z I. kvadrantu, zohľadníš kladnosť, reps. zápornosť v príslušnom kvadrante. Ž: 50 je viac ako 90 a menej ako 80, takže II. kvadrant. U: 50 prepíšeme cez hodnotu zodpovedajúcu bodu v I. kvadrante. edzná hranica pre prepis v II. kvadrante je Ž: Dá sa to vjadriť v tvare U: Samotné riešenie zapíšeme v tvare sin 50 = sin (80 0 ) = sin 0 =, 50 = lebo v II. kvadrante je hodnota funkcie sínus kladná. Ž: V úlohe po b) je 6 viac ako. U: Áno. Funkcia sínus je však periodická s najmenšou periódou. Preto číslo 6 prepíšeme ako súčet dvoch zlomkov. Platí sin 6 = sin ( + 4 ) = sin 4. Ž: Hodnotu zlomku = 4 môžeme pre ďalší výpočet zanedbať. U: Dá sa to takto povedať. Číslo 4 predstavuje dve otáčk o plný uhol, takže sin 6 ( = sin + 4 ) = sin 4.

18 a-go-0-6 List 8 Ž: Teda sme sa dostali do východiskového bodu jednotkovej kružnice. Podstatné sú 4 čísla. U: Alebo sa to dá povedať tak, že sme vužili spomínanú periodickosť. Pokračuj ďalej. Ž: Číslo 4 patrí do III. kvadrantu. Vjadrím ho ako súčet čísel a. Viem, že sínus je v III. kvadrante záporný a poznám hodnotu sin. sin 4 = sin ( + ) ( = sin + ) = sin = 0 4 sin( 4 ) U: Pri prechode z III. kvadrantu do I. kvadrantu si správne zohľadnil znamienko mínus. Pozor, ab si ho nepísal až vo výsledku. Všetk zápis musia bť korektné. Úloha : ( ) 7 Vpočítajte sin. 4 Výsledok:

19 a-go-0-7 List 9 Príklad 7: Vpočítajte: a) cos 40, ( 0 b) cos ). U: Podstata úloh spočíva v tom, ab si zistil, do ktorého kvadrantu patrí argument. Potom ho vjadríš pomocou zodpovedajúcej hodnot z I. kvadrantu, zohľadníš kladnosť, reps. zápornosť v príslušnom kvadrante. Ž: 40 je v III. kvadrante, lebo 80 < 40 < 70. U: 40 prepíšeme cez hodnotu zodpovedajúcu bodu v I. kvadrante. edzná hranica pre prepis v III. kvadrante je Ž: Teda: 40 = U: V III. kvadrante je hodnota funkcie kosínus záporné číslo, ale v absolútnej hodnote rovnaké ako cos 60 v I. kvadrante. Ž: Preto platí cos 40 = cos( ) = cos 60 =. U: Vrieš analogick úlohu po b). ( ) 0 Ž: Číslo obsahuje otáčk v zápornom smere. U: Áno, funkcia kosínus je periodická s najmenšou periódou. Argument funkcie kosínus upravíme. Koľko otáčok v zápornom smere vjadruje číslo 0? Ž: Iba jednu, lebo číslo sa dá zapísať ako 6. Zostane 4, čo nie je celá druhá otáčka. U: Koľko chýba do druhej celej otáčk? Ž: Treba pridať číslo. U: Čo pridáme, to budeme musieť ubrať. Hodnotu zadaného argumentu funkcie kosínus nemôžeme zmeniť.

20 a-go-0-7 List 0 Ž: Aha! Začínam chápať. V chcete dokončiť druhú otáčku v zápornom smere, a potom sa vrátiť v kladnom smere. U: Vieš, o koľko sa vrátime v kladnom smere? Ž: Predsa o číslo, lebo to sme pridali do zápornej otáčk. U: Vidím, že si pochopil. Doterajší postup riešenia máš celý zhrnutý v rámčeku. cos 0 = cos ( + ) ( = cos + ) = cos ( 4 + Ž: Keďže číslo 4 vjadruje dve otáčk v zápornom smere, môžem ho zanedbať. U: Hovoríme tomu, že sme vužili periodickosť funkcie kosínus s najmenšou periódou. Pokračuj ďalej. ) Ž: Číslo zodpovedá bodu v II. kvadrante, vjadrím ho pomocou čísla. Preto platí cos = cos ( ) ( = cos ). 0 Ž: V II. kvadrante je hodnota funkcie kosínus záporná a hodnota cos je. Na základe toho dostávam ( cos ) = cos =. Úloha : Vpočítajte cos 5 4. Výsledok:

21 a-go-0-8 List Príklad 8: Vpočítajte hodnot sínus a kosínus pre 45. U: Použijeme goniometrické funkcie v pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C, kde naviac jeden ostrý uhol je 45. Ž: Keďže poznáme dva uhl a súčet veľkostí vnútorných uhlov v trojuholníku je 80, zvšný uhol je tiež 45. Trojuholník je aj rovnoramenný. Ale nepoznám žiadnu stranu. U: To je pravda, ale trojuholník ABC je rovnoramenný, tak a = b. Naviac je pravouhlý. Vjadrenie prepon c b nemal bť problém. Ž: Použijem Ptagorovu vetu: c = a + b. U: Keďže vieme, že a = b, za premennú b stačí dosadiť premennú a c = a + a. Ž: ocnin sčítam a nakoniec odmocním. Pre preponu c mám c = a. U: Teraz už máme vjadrené všetk stran pravouhlého trojuholníka. Vjadri teda hodnot goniometrických funkcií v pravouhlom trojuholníku. B 45 a c = a C b = a Ž: Viem, že hodnota funkcie sínus ostrého uhla α je daná pomerom protiľahlej odvesn a prepon. Po dosadení získam sin α = a c = 45 A a =. a Pre funkciu kosínus to bude analogické. Do pomeru teraz zoberiem priľahlú odvesnu k uhlu α a preponu cos α = b c = a =. a U: Zlomok prepíš tak, ab neobsahoval odmocninu v menovateli. Ž: ôžete mi pripomenúť, ako to urobiť? U: Rozšíriš zlomok číslom.

22 a-go-0-8 List Ž: Aha! Vnásobím čitateľa, aj menovateľa číslom a mám = = ( ) = U: Zaujímavý výsledok. Hodnot funkcií sínus a kosínus sú pre uhol 45 stupňov rovnaké..