Fyzika tvaru I. Mechanika tekutín. Hydrostatika

Transcript

1 Mecanika tekutín Kvapaliny a plyny, súborne onačujeme ako tekutiny. Od tuýc látok sa podstatne odlišujú poyblivosťou častíc. Častice kvapalín a plynov nemajú usporiadané poloy a môžu sa navájom relatívne voľne poybovať. Preto o tekutine všeobecne ovoríme, že jej tvar je daný vonkajšími silami, ktoré na ňu pôsobia. Tekutina aoberá objem nádoby, do ktorej je vložená. Pritom kvapalina v porovnaní s plynom je nestlačiteľná (jej stlačiteľnosť je rovnateľná so stlačiteľnosťou pevnej látky). Preto kvapalina nemusí vypĺňať celý objem nádoby a vytvára voľné roranie ladinu kvapaliny. Plyn má nestály i objem a vypĺňa cely objem, do ktoréo je vložený. V jednoducom modely dokonalej kvapaliny predpokladáme, že je to látka nestlačiteľná, be vnútornéo trenia, to namená, že jednotlivé jej časti sa po sebe posúvajú be vájomnéo pôsobenia. V jednoducom modely dokonaléo plynu predpokladáme, že je to látka dokonale stlačiteľná. To namená, že so vrastajúcim tlakom sa objem blíži k nulovému objemu. Rovnako ako kvapalina i plyn je be vnútornéo trenia, to namená, že jednotlivé jej časti sa po sebe posúvajú be vájomnéo pôsobenia. k si volíme plocu vo vnútri tekutiny, nevnikajú v nej sily, ktoré by amedovali jej poyb tekutiny podĺž tejto plocy, t. j. mali by smer rovnobežný s touto plocou. Na volenú plocu pôsobia len tlakové sily, ktorýc smer je kolmý na túto plocu. Poyb molekúl kvapaliny môže byť neusporiadaný, alebo usporiadaný. Neusporiadaný poyb je tepelný poyb, pod usporiadaným poybom roumieme prúdenie. Hydrostatika Hydrostatika sa aoberá javmi v kvapaline, ktorá je v pokoji. Na kvapalinu pôsobia sily objemové, ktoré pôsobia v objeme kvapaliny na každú jej časť a sily plošné, ktoré spôsobujú tlakové sily. Keďže tlaková sila ávisí od veľkosti plocy, na ktorú pôsobí, avádame fyikálnu veličinu tlak. Tlak je veličina určená podielom tlakovej sily a plocy, na ktorú táto sila pôsobí. Definujeme o ako podiel elementu sily d a elementu plocy, na ktorý pôsobí d p = d / d = p Jednotkou tlaku je pascal: Pa = N / m. Uvažujme najprv prípad, keď na kvapalinu pôsobia len sily tlakové. Dá sa ukáať, že tlak v kvapaline = p = p v danom mieste neávisí od smeru orientácie volenej plocy. Jednoducé vysvetlenie vycáda predstavy malej kocky ktorá by mala byť dvoc protiľalýc strán stláčaná inou silou ako na iné dve protiľalé strany(obr. 9). Takýto stav musí deformovať tekutinu v tomto objeme, kvapalina nie je Obr. 9 = p v rovnováe. Predpokladajme, že objemové sily, vyvolané napríklad tiažou kvapaliny môžeme v porovnaní s tlakovou silu anedbať. Potom tlak v kvapaline v každom mieste je rovnaký a neávisí od smeru. Na tomto princípe je aložený ydraulický lis. Predstavme si, že na kvapalinu v uavretej nádobe s dvomi piestami o rônom plošnom obsau,. k na prvý piest pôsobí sila táto vyvoláva v kvapaline tlak p = /, ktorý je rovnaký i v mieste druéo piestu a preto na druý piest musí pôso- Juraj Dillinger Katedra fyiky Strojnícka fakulta STU 005/06 - -

2 biť tlaková sila = p. Z too vyplýva skutočnosť, že malá sila pôsobiaca na piet s malou plocou vyvolá veľkú silu pôsobiacu na piest o veľkej ploce = / x G ( ) ( ) y k tlakové sily, pôsobiace na steny kocky v obr. 9 sú porovnateľné s tiažovou silou pôsobiacou na kvapalinu v tomto objeme, ydrostatický tlak bude ávisieť od Obr. 30 miesta v kvapaline. Skúmajme silové pôsobenie na malú časť kvapaliny v tvare kvádra. V tiažovom poli na motnosť pôsobí tiažová sila G. Na steny kvádra o plošnom obsau podstavy pôsobia tlakové sily, kolmé na tieto steny kvádra. Kvapalina je v pokoji, preto výsledná sila je nulová. k porovnáme sily pôsobiace o strán (vo vodorovnom smere), tieto sa musia rovnať, preto o tlaky v tomto smere sú rovnaké. V vislom smere musí platiť, že sila pôsobiaca dolnej strany sa rovná sile pôsobiacej na ornú plocu väčšenú o tiažovú silu (Obr. 3). k si tieto sily vyjadríme pomocou tlaku, dostávame Obr. 3 ( ) + G = ( ) p( ) + ρ g V = p( ), kde ρ je ustota kvapaliny, a objem V = ( ). Po dosadení a vydelení plocou p( ) + ρ g ( ) = p( ). Predstavme si kvapalinu s voľnou ladinou, na ktorú pôsobí vonkajší atmosferická tlak p 0. Potom tlak v kvapaline v ĺbke je p = p 0 + ρ g 0 = ρ g = ρg Tlak v vo vnútri kvapaliny ávisí len od výšky ladiny a nie od jej celkovej motnosti. k naplníme kvapalinou rône nádoby s rovnakým plošným obsaom dna do rovnakej výšky, potom tlaková sila na dno bude rovnaká (Obr. 3, tlak p 0 je rovnaký a sme o neapočíta- Obr.3 li).táto skutočnosť sa naýva ydrostatický paradox. Na váe, ktorá by merala tieto tlakové sily, by bola rovnováa, aj keď motnosti kvapaliny sú rône (Obr. 33, piesty ktoré tlačia na váu sú voľné, steny nádoby sú ucytené mimo váy). Pon.: Veľmi často sa amieňa tlak, s rodielom tlakov - pretlakom alebo podtlakom. Tak napr. ak sa ovorí, že pneumatika sa má naustiť na tlak Obr.33 dvoc atmosfér, ide o pretlak oproti tlaku vonkajšieo prostredia. Skutočný tlak v pneumatike je o barometrický tlak väčší. rcimedov ákon Dôsledkom ydrostatickéo tlaku je rcimedova vtlaková sila. Majme v kvapaline ustoty ρ úplne ponorené teleso romerov dx, dy, d (Obr. 34). Juraj Dillinger Katedra fyiky Strojnícka fakulta STU 005/06 - -

3 Hydrostatický tlak ávisí len na súradnici, v dôsledku čoo sa rušia tlakové síly pôsobiace na element dv v smere vodorovnom. Výsledná sila, ktorá má smer osi sa rovná rodielu tlakovýc síl pôsobiacic na dolnú a ornú ákladňu: d = ρ g dx dy -ρ g ( - d) dx dy = ρ g dx dy d Na teleso objemu dv bude pôsobiť smerom naor sila, ktorej veľkosť sa rovná tiaži kvapaliny telesom d vytlačenej. dy Odvodený vťa platí všeobecne, pre ľubovolný dx tvar telesa. = ρ g V Obr.34 rcimedov ákon: Teleso je nadľačované silou, ktorá sa rovná tiaži kvapaliny o objeme nadľačovanéo telesa. k ustota kvapaliny je väčšia, ako ustota telesa, vtlaková sila je väčšia ako tiažová. Voľné teleso pláva na povrcu kvapaliny ponorené časťou svojo objemu tak, aby vtlaková sila, daná tiažou kvapaliny o objeme ponorenej časti sa rovnala tiaži telesa. Pri rovnosti ustoty telesa a kvapaliny sa teleso voľne vnáša vo vnútri kvapaliny, pri väčšej ustote telesa klesá ku dnu. j keď sa dá, že aplikácie rcimedovo ákona sú jednoducé, skúste sa amyslieť na nasledujúcimi úloami: V poári naplnenom až po okraj je voda, na ktorej pláva (čiastočne vyššie ako je okraj poára) kocka ľadu. Pretečie voda poára, keď sa ľad rotopí? ko by to bolo, ak by kocka plávala v alkoole (s menšou ustotou ako má voda), a b c alebo naopak v osladenej vode (s väčšou ustotou)? Sklenená tenkostenná átka uatvára otvor na dne nádoby (Obr. 35). ký by mal byť je tvar (čo Obr. 35 určuje), aby vtlaková sila otvorila uáver? Pre jednodušenie si rooberte prípad b, keď na átku je pripevnený balónik so vducom, resp rooberte sily ktoré pôsobia na átku c. Hydrodynamika Hydrodynamika sa aoberá javmi v kvapaline, ktorá je v poybe. Skúmame ju ako spojité prostredie, ktorému v každom bode priraďujeme rýclosť v. Poyb malej časti kvapaliny môžeme sledovať pomocou jej trajektórie. Rýclosť má smer dotyčnice k tejto dráe. k sa smer rýclosti s prícodom ďalšej časti kvapaliny nemení, rýclosť v danom mieste nemení svoj smer, takéto prúdenie naývame laminárne prúdenie. Trajektória sa naýva prúdová čiara, prúdnica (Obr. 36) a jej tvar sa v čase nemení, podĺž tejto prúdovej čiary sa poybujú všetky rovnakéo miesta vycádajúce časti kvapalix Obr. 36 krivka, ktorou precáda prúdová tr ubica v y Ploca, ktorou precádajúce prúdnice vytvárajú prúdové vlákno prúdnica v Juraj Dillinger Katedra fyiky Strojnícka fakulta STU 005/06-3 -

4 ny. Dve prúdové čiary sa navájom nemôžu pretínať, lebo v mieste priesečníka by nebol jednonačne určený smer poybu. k si volíme v prúdiacej kvapaline malú plocu, vlákna precádajúce touto plocou vytvárajú prúdové vlákno. Prúdové vlákna precádajúce raničnou krivkou plocy (obvodom) vytvárajú prúdovú trubicu. Stenami prúdovej trubice neprecádajú dnu alebo von žiadne častice. Kvapalina tečúca v prúdovom vlákne, ako keby bola uatvorená pevnými stenami, aj keď prúdová trubica je len myslená ploca v tečúcej kvapaline. V prípade, že smer prúdenia v danom mieste sa neustále v čase mení, je náodný, caotický prúdenie kvapaliny naývame turbulentné prúdenie. Turbulentné prúdenie vniká pri vyššíc rýclostiac. Rovnica spojitosti d Sledujme poyb kvapaliny v dt m = m v prúdovej trubici v priereoc trubice d a d a krátky okami dt (Obr. 37). V mieste prvéo priereu sa kvapalina poybuje rýclosťou v, druéo priereu rýclosťou v. Za časový interval dt sa posunie v mieste prvéo priereu d v dt o vdialenosť v dt a ce druý priere vytlačí kvapalinu o objeme rovnakom, aký pretiekol prvým priereom. To platí preto, že dokonalá kvapalina je nestlačiteľná. Objem vtekajúcej a vytekajúcej x kvapaliny je rovnaký a preto platí: Obr.37 d v dt = d v dt. Vydelením rovnice časom dt dostávame rovnicu spojitosti (kontinuity) Pre prípad rovnakej rýclosti v každom bode volenéo priereu trubice o plošnom obsau paltí v = v Rovnica spojitosti ovorí, že súčin priereu a rýclosti je v prúdovej trubici konštantný. Bernoullio rovnica Poyb kvapaliny v prúdovej trubici môžeme opísať aj ľadiska práce, konanej vonkajšími silami na časti tejto kvapaliny a jej energie. Vyjadrime menu mecanickej energie kvapaliny postupujúcej ce plocu d (Obr. 37). Vľadom na to, že medi prieremi d a d mecanické meny nenastali, môžeme sa na celú menu poerať, ako by sa táto kvapalina vstupujúceo objemu d v dt presunula na nové miesto a priere d. Na postupujúcu kvapalinu pôsobili dve sily vonkajšej strany. Vypočítame ic ydrostatickéo tlaku. Prvý priere je vo výške a pôsobí v ňom tlak p druý vo výške a pôsobí v ňom tlak p = p + ρ g ( - ). Pôsobiacu silu dostaneme ako súčin tlaku p a plocy, na ktorú pôsobí, prácu vynásobením sily dráou ds, na ktorej pôsobí. Výsledná práca je rodiel práce pôsobiacej sily ora a dola: W = W W = ds ds = d p v dt d p v dt = d v dt (p p ), Juraj Dillinger Katedra fyiky Strojnícka fakulta STU 005/06-4 -

5 kde sme využili rovnicu vysvetlenú pri odvodení rovnice spojitosti: d v dt = d v dt. Podľa vety o mecanickej energii sa práca vonkajšíc síl prejaví v mene energie: W = E E = E p + E k E p E k = ½ m v + m g ½ m v m g Dosaďme a motnosť m: m = ρ V = ρ d v dt, dosadením práce W do vety o mecanickej energii dostávame: d v dt (p p ) = ρ d v dt(½ v + g ½ v g ) čoo jednoducou úpravou vyplýva Bernoullio rovnica ½ ρ v + ρ g + p = ½ ρ v + ρ g + p Prvý člen predstavuje kinetickú energiu objemovej jednotky (miesto motnosti je ustota - motnosť objemovej jednotky), druý poloovú energiu objemovej jednotky, tretí má tiež romer energie delený objemom, je to tv. tlaková energia. Bernoullio rovnica vyjadruje skutočnosť, že súčet týcto energií vtianutý na objemovú jednotku je konštantný v každom ree prúdovej trubice. Jedným dôsledkov tejto skutočnosti je tv. ydrodynamický paradox. Predstavme si vodorovné potrubie nerovnakéo priereu. Potenciálna energia v oboc volenýc priereoc je rovnaká (obr. 38) a Bernoullio rovnica sa jednoduší. ½ ρ v + p = ½ ρ v + p V mieste užšieo priereu je rýclosť kvapaliny, a preto i kinetická energia, väčšia ako v širšom prieree (rovnica spojitosti). Preto naopak tlak p v užšom mieste musí byť menší ako v širšom mieste. V potrubí sú trubky, v ktorýc vystupuje voda ore. Výška ladiny, v týcto trubičkác určuje ydrostatický tlak v potrubí. V užšom mieste bude ladina nižšie. Dokonca, môže nastať prípad, že v danom mieste nastáva podtlak, a do prúdu kvapaliny Obr. 38 trubičky je nasávaný vduc. Pretože sa to dá nelogické ovoríme o paradoxe. V otvorenom prúde vodotrysku smerujúcom ore je loptička takýmto podtlakom vtláčaná do stredu tryskajúcej vody a nevypadne prúdu von. Predstavme si špatne konštruovaný vodovodný koútik (Obr. 39). Pokiaľ je atvorený, tlačí na uáver len rýclosť a)0, b) v kvapalina pred uáverom tlakom p. by bol uatvorený, musí byť pritláčaný ore. k o pootvoríme, ačne prudko tiecť voda podĺž uáveru. Preto tlak v tomto mieste poklesne. Naopak pod uáverom voda stojí a môže v nej byť až pôvodný tlak p. Uáver je tera naopak pritláčaný silou dola a ak má vôľu touto silou je uatvorený. Tým sa nastolí pôvodný stav a uáver je ase tlačený dole. Dôsledok? Uáver ačne prudko vibrovať, táto vibrácia sa dobre prenáša vodo- tlak a) 0 b) p Juraj Dillinger Katedra fyiky Strojnícka fakulta STU 005/06 Obr. 39 tlak a) p b) p < p - 5 -

6 vodným potrubím ako vuk aj do vdialeným miest a kvíli v celom dome. Obtekanie telies Rovnice, ktoré sme odvodili, sú rovnice dokonalej kvapaliny. k si uvedomíme, že plyn je stlačiteľný a jeo ustota ávisí od tlaku moli by sme odvodiť podobné rovnice aj pre plyn. Preto o obtekaní telies budeme ovoriť všeobecne v tekutinác (Mecanikou makroskopickéo poybu plynu sa aoberá aeromecanika). V reálnej tekutine sa na rodiel od ideálnej uplatní vnútorné trenie. Táto skutočnosť sa prejaví premennou rýclosťou tekutiny v prieree nejakéo potrubia. V tesnej blíkosti pevnej steny tekutina má nulovú rýclosť. Obtekanie napr. guličky vytvára i a ňou oblasť, kde tekutina je v pokoji. (Obr. 40). V prípade vyšovania rýclosti sa i táto oblasť neusporiadanie vnáša do prúdiacej kvapaliny, a obtekajúcim telesom vnikajú výry, turbulentné prúdenie. Obtekanie telies sa študuje v aerodynamickom tunely, kde je možné merať, náorniť, rýclosť a jej smer v každom volenom bode a čase. Vodne volené teleso je potom tlačené prúdom vody, vducu nielen v smere rýclosti, ale aj naprieč. Príkladom je krídlo lietadla, ktoré má taký tvar, že na ornej strane prúdi vduc rýclejšie a pôsobí menšou tlakovou silou ak o Ro lož enie rýclosti Obt ekanie guličky Obr. 40 spodnej strany. V opačnom prípade ( otočeným krídlom ), túto silu využívame na pritlačenie napr. ávodnéo auta k emi. Sila pôsobiaca v smer relatívneo poybu vducu a telesa (lietadla, auta) predstavuje odporovú silu. Snažíme sa ju aerodynamickým tvarom telesa maximálne nížiť. Je úmerná rýclosti, v prípade turbulentnéo prúdenia štvorcu rýclosti. Naopak v prípade využitia tejto sily (veterná turbína) vodným tvarom maximálne väčšiť a jeo menením regulovať. Juraj Dillinger Katedra fyiky Strojnícka fakulta STU 005/06-6 -