Návrh regulačných obvodov pomocou vybraných metód a ich porovnanie
|
|
- Λητώ Δανάη Ανδρεάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 Portál pre odborné publikovanie ISSN Návrh regulačných obvodov pomocou vybraných metód a ich porovnanie Birkus Peter Elektrotechnika, Študentské práce Cieľom tejto práce je oboznámenie sa s vybranými spojitými a diskrétnymi metódami návrhu regulačných obvodov. Pomocou týchto metód vykonáme syntézu regulačného obvodu, s použitím regulátorov štruktúry PID. Po syntéze a odsimulovaní v prostredí MATLAB Simulink si spravíme vyhodnotenie kvality regulácie pomocou prechodových charakteristík uzavretých regulačných obvodov navrhnutých jednotlivými metódami. Ako vzorový proces pre reguláciu som si vybral proces regulácie ohrevu elektrickej pece. 1. Úvod Práca sa opiera o základné poznatky z Teórie automatického riadenia, ktorá skúma princípy fungovania a konštruovania riadiacich systémov. Ľudstvo sa odjakživa snažilo o zjednodušenie a uľahčenie fyzickej i duševnej práce. Keďže človek je tvor učenlivý a tvorivý, postupom času sa mu podarilo nahradiť seba strojmi a zariadeniami, ktoré vykonávajú prácu namiesto neho. Hlavným cieľom bolo eliminovanie ťažkej, monotónnej, namáhavej práce a to čím rýchlejšie a presnejšie. Dôsledkom týchto požiadaviek sa časom vytvoril odbor Automatizácia. Automatizácia je etapa rozvoja techniky, v ktorom sa vykonávajú výrobné, riadiace a iné procesy bez priameho zásahu človeka. Pomocou strojov a zariadení sa uskutočňuje samočinné riadenie i vykonávanie týchto procesov. Automaticky riadené a automaticky pracujúce stroje a zariadenia výraznou mierou pomáhajú človeku pri práci. Súčasne sa mnohonásobne zvyšuje produktivita i kvalita práce. Práve vďaka týmto skutočnostiam sa záujem o automatizáciu v spoločnosti rozrastá. Spolu s automatizáciu sa vyvíja aj vedná disciplína Kybernetika, ktorá sa zaoberá riadením technických, ekonomických, biologických a iných systémov. Úlohou tohto riadenia je aby všetky procesy prebiehali udaným spôsobom. Cieľom tejto práce je predstavenie teórie návrhu regulátorov štruktúry PID pomocou rôznych spojitých a diskrétnych metód a ich následným výpočtom na vzorovom procese. Jednotlivé metódy budeme postupne porovnávať z hľadiska kvality regulácie. Pomocou aplikácie MATLAB si overíme naše výpočty a premietneme si ich v grafickej podobe. 2. Syntéza regulačných obvodov POSTERUS.sk - 1 / 11 -
2 2 Pred tým ako začneme navrhovať regulačné obvody si musíme určiť požiadavky, podmienky a obmedzenia pre náš návrh. Regulačný obvod musí vyhovovať požiadavkám na stabilitu, presnosť v ustálenom stave a kvalitu v prechodovom stave pri riadení i potláčaní vplyvu porúch. Ďalej musíme dbať na to aby jednotlivé časti obvodu vyhovovali požiadavkám na spoľahlivosť, údržbu, cenu, typizáciu, pracovné prostredie, štruktúru regulátorov atď. Pri návrhu musíme poznať vlastnosti riadeného systému, predpokladaný priebeh riadiacej i poruchovej veličiny, obmedzenie akčných veličín, požiadavky na kvalitu a stabilitu riadenia. Tieto vlastnosti si musíme vyjadriť matematickými modelmi. Na určenie čo najlepších parametrov regulačného obvodu vzhľadom na dané požiadavky sa návrh robí rôznymi metódami v spojitých i diskrétnych priebehoch. Ďalej budeme pracovať iba s regulátormi so štruktúrou PID. Návrh regulačných obvodov budeme robiť pomocou vybraných spojitých a diskrétnych, ktoré patria do skupiny graficko-analytických metód. Spojité metódy: Zieglera-Nichols Graficko-analytické z nameranej prechodovej charakteristiky Inverzia dynamiky Diskrétne metódy Inverzia dynamiky Deadbeat s ohraničením akčného zásahu a bez ohraničenia akčného zásahu 2.1 Metóda Ziegler a Nicholsa Metóda je experimentálna metóda pre nastavenie optimálnych hodnôt koeficientov PID regulátora, ktorý je opísaný prenosovou funkciou v iteračnom tvare (1) Základ tejto empirickej metódy návrhu je založený na nájdení kritického zosilnenia P K uzavretého regulačného obvodu a periódy T K príslušných netlmených kmitov riadenej veličiny. Kritickú frekvenciu a kritické zosilnenie môžeme nájsť na frekvenčnej charakteristike alebo pomocou skúšania na reálnej sústave napríklad zapojením proporcionálneho regulátora a následne zvyšujeme P, až pokiaľ nedosiahneme hranicu stability. Potom môžeme označiť kritické zosilnenie regulátora ako Pk a kritickú periódu kmitov na dosiahnutej hranici stability ako T K. Parametre regulátora vypočítame pomocou tabuľky Tab.1. Tvar regulátora Tab. 1. Parametre regulátora Ziegler-Nichols Zosilnenie regulátora P Integračná časová konštanta T I Derivačná časová konštanta T D Typ P 0,5 P K - - Typ PI 0,45 P K 0,85 T K - Typ PID 0,6 P K 0,5 T K 0,12 T K Typ PD skusmo - 0,12T K POSTERUS.sk - 2 / 11 -
3 3 Z prevádzkových dôvodov nie je vždy možné vybudiť systém až na hranicu stability. Vtedy ak máme k dispozícii prenosovú funkciu G Y/W (s) s P regulátorom, môžeme určiť kritické P K a T K výpočtom. Alebo použijeme modifikovanú metódu Zieglera a Nicholsa, ktorej základná myšlienka spočíva vo vyvolaní trvalých kmitov v regulačnom obvode zapojením nelineárneho člena s reléovou charakteristikou do regulačného obvodu. Pre takýto nelineárny regulačný obvod s využitím metódy ekvivalentných prenosových funkcií sa dajú výpočtom určiť kritické P K a T K. V praxi sa môžeme stretnúť aj s prípadom, kedy uzavretý regulačný obvod je stabilný pre všetky kladné hodnoty P. Potom neexistuje kladne P K, preto uvedená metóda v takomto prípade je nepoužiteľná. 2.2 Graficko analytické metódy [7] Graficko analytickými metódami vieme určiť parametre regulačného člena, pomocou odsimulovanej prechodovej charakteristiky danej regulovanej sústavy. Prechodová charakteristika nám udáva reakciu otvoreného obvodu s regulovanou sústavou na jednotkový skok. Na prechodovej charakteristike si určíme inflexný bod, ku ktorému spravíme prislúchajúcu dotyčnicu. Priesečníky dotyčnice pri nule a pri ustálenej hodnote nám udávajú hodnoty T u a T n. Zosilnenie K p je hodnota ustálenej veličiny. Pomocou týchto odsimulovaných údajov si určíme jednotlivé zložky regulátorov PID a to buď metódou Zieglera Nicholsa (Tab.4), Cohen Coona (Tab.5) alebo metódou integrálneho súčinu času a absolútnej hodnoty regulačnej odchýlky ITAE (Tab. 6). (Tabuľky viď v prílohe) Obr. 1. Určenie konštánt Tu a Tn z prechodovej charakteristiky procesu. 2.3 Metóda inverzie dynamiky [9] Pomocou metódy inverzie dynamiky sa ľahko a rýchlo navrhujú štandardné typy analógových a číslicových regulátorov pre základné typy regulovaných sústav s dopravným oneskorením. Typ regulátora je doporučený z hľadiska vlastností regulovanej sústavy a požiadavky na nulovú trvalú regulačnú odchýlku spôsobenú skokovou zmenou polohy žiadanej veličiny, resp. poruchy pôsobiacej na výstupe regulovanej sústavy. POSTERUS.sk - 3 / 11 -
4 4 Obr.2. Regulačný obvod s vyžitím regulačnej odchýlky Regulátory Predpokladá sa použitie štandardných analógových a číslicových regulátorov s príslušnými L a Z prenosmi podľa Tab.2. Tab. 2. Metóda Ziegler Nicholsa Typ Analógový regulátor Číslicový regulátor P k p k p I PD PI PID Regulovane sústavy Pre použitie metódy inverzie dynamiky, musí byť prenos regulovanej sústavy Gs(s) v jednom zo základných tvaroch uvedených v Tab. 7 (viď príloha). Aperiodické regulované sústavy budú v tvaroch (2) Pre získanie prenosu v niektorom zo zostávajúcich tvarov je nutné použiť vhodné identifikačné či aproximačné metódy. (viď príloha Tab.8) Nastavenie regulátorov: Na základe metódy inverzie dynamiky a následného simulačného upresnenia sme získali tabuľky Tab. 7 a Tab. 8, ktoré umožňujú jednoduché a rýchle určenie hodnôt nastaviteľných parametrov doporučených regulátorov. Pre regulované sústavy bez dopravného oneskorenia (T d = 0) sa predpokladá požadovaný priebeh prechodovej charakteristiky h w (t) uzavretého regulačného obvodu podľa obr.3. Časová konštanta T w musí byť zvolená s ohľadom na obmedzenie akčnej veličiny a maximálnou nastaviteľnou hodnotou zosilnenia regulátora k Pmax a u regulačného obvodu s číslicovým regulátorom musí platiť: POSTERUS.sk - 4 / 11 -
5 5 sa určia pre doporučený typ regulátora z tab.7 zodpovedajúce hodnoty jeho nastaviteľných parametrov. Ak dopravné oneskorenie T d je veľmi malé, hodnotu určeného koeficientu a je treba vhodne znížiť s ohľadom na obmedzenie akčnej veličiny a maximálnu nastaviteľnú hodnotu zosilnenia regulátora k Pmax.Presnosť riadenia je okolo 5% u číslicových regulátoroch a u analógových je podstatne lepší. Požadovaný priebeh je možno doladiť vhodnou úpravou zosilnenia regulátora k P. Pri voľbe periódy vzorkovania T u číslicových regulátoroch je treba splniť podmienky (4) (5) kde t0,95 je doba, za ktorú prechodová charakteristika regulovanej sústavy h s (t) dosiahne 95% svojej ustálenej hodnoty, T d je dopravné oneskorenie regulovanej sústavy. 2.4 Dead beat regulátor [1] Pre spojitý systém určený prenosovou funkciou G P (s) je v sérii zapojený tvarovač nultého rádu tak potom pre G P (z) platí: (6) kde z predstavuje argument, Z je operátor diskrétnej transformácie a L -1 je operátor Laplaceovej transformácie. Pre systém popísaný prenosom G P (s) bude diskrétna transformácia vyzerať. (7) referenčná premenná je jednotkový skok ak M bude udávať minimálny počet krokov na ukončenie regulácie, tak podmienky ukončenia sú príslušné Z-obrazy veličín (8) prenosová funkcia riadenia (9) POSTERUS.sk - 5 / 11 -
6 6 (10) prenosová funkcia, určujúca vplyv riadiacej veličiny na akčnú veličinu (11) kde (12) prenosová funkcia uzatvoreného regulačného obvodu (13) z toho (14) (15) (16) po dosadení (15) a (16) do (14) dostaneme (17) určíme si konštanty regulátora bez obmedzenia akčného zásahu, M=m bez dopravného oneskorenia: (18) s dopravným oneskorením: POSTERUS.sk - 6 / 11 -
7 7 (19) q 0 je daná vzťahom (20) v rekurentnej forme, M=m Regulácia je ukončená za M krokov, ktoré udávajú aj rád regulovanej sústavy. Akčný zásah u(0) rastie pri znižovaní periódy vzorkovania T, tým že sa znižuje čas regulácie. Pri návrhu deadbeat regulátorov treba brať túto skutočnosť do úvahy s ohľadom na fyzikálne možnosti riadenej sústavy. Pri niektorých návrhoch sa berie do úvahy obmedzenie akčnej veličiny. Keď u(0) nesmie prekročiť danú hodnotu, vtedy robíme návrh deadbeat regulátora s obmedzením akčnej veličiny, kde (21) (22) určíme si konštanty regulátora s obmedzením akčného zásahu kde q 0 =u(0). Výpočet ostatných konštant regulátora sa robí pomocou ďalších odvodených výpočtových rovníc. 2.5 Kvalita riadenia v prechodových stavoch Úlohou regulačného obvodu je čo najlepšie sledovanie zmien riadiacej veličiny w(t) riadenou veličinou y(t). Pri vyhodnocovaní kvality regulačného obvodu v prechodových stavoch vychádzame väčšinou z odozvy regulačného obvodu na jednotkový skok, tj. z prechodovej charakteristiky. Z dôvodu zotrvačnosti regulačného obvodu nám vzniká oneskorenie medzi riadiacou a riadenou veličinou. Na vyhodnotenie kvality regulácie v prechodových stavoch si ukážeme niektoré základné kritériá prechodových charakteristík, ktoré sú ilustrované na obr.4. POSTERUS.sk - 7 / 11 -
8 8 Obr. 4. Prechodová charakteristika URO Čas regulácie Čas regulácie t reg sa definuje ako interval s hranicami od okamihu jednotkového skoku riadiacej veličiny w(t) až po okamih keď riadená veličina posledný krát pretne pásmo necitlivosti ±δ na prechodovej charakteristike. Čas nábehu Čas nábehu t n, je čas ktorý uplynie počas nábehu prechodovej charakteristiky od 10 do 90 percent jej ustálenej hodnoty. So skracovaním tohto času sa nám zvyšuje frekvenčná priepustnosť regulačného obvodu. Maximálne preregulovanie Definujeme ho ako rozdiel maximálnej hodnoty prechodovej charakteristiky a jej ustáleného hodnoty. Väčšinou sa pripúšťa maximálne preregulovanie v rozmedzí od 5 50 %. Sú však prípady keď nie je prípustné žiadne preregulovanie, vtedy je systém silne aperiodický. Sú to systémy so zápornými reálnymi pólmi a bez prenosových núl. (23) Čas oneskorenia Čas oneskorenia t d je čas potrebný na dosiahnutie 50% ustálenej hodnoty prechodovej charakteristiky regulačného obvodu. Ďalšie kritériá integrálne kritérium kvality riadenia kritérium lineárnej regulačnej plochy kritérium absolútnej regulačnej plochy kritérium časom váhovanej regulačnej plochy kritérium kvadratickej regulačnej plochy kritérium časom váhovanej kvadratickej regulačnej odchýlky 3. Regulovaný proces el. pec POSTERUS.sk - 8 / 11 -
9 9 Teplota elektrickej pece sa reguluje pomocou zmeny príkonu. Sníma sa skutočná teplota, podľa ktorej je pomocou riadiaceho algoritmu vykonaná zmena príkonu. Principiálna schéma regulácie ohrevu elektrickej pece je na obr.5. Tento proces nám opisuje vopred známa prenosová funkcia (24). Pomocou tejto prenosovej funkcie pre model regulácie ohrevu elektrickej pece navrhneme spojité a diskrétne regulátory rôznymi metódami, ktoré budeme postupne porovnávať a vyhdnocovať z hľadiska kvality regulácie. (24) Obr.5 Bloková schéma regulácie elektrickej pece 5. Porovnanie jednotlivých navrhnutých regulačných obvodov Pomocou vybraných spojitých a diskrétnych metód sme si navrhli regulátory so štruktúrou PID, ktoré sme následne aj porovnali a vyhodnotili pomocou programu MATLAB Simulink. Vyhodnocovať metódy návrhu PID regulátorov sme robili na prechodových charakteristikách uzatvorených regulačných obvodov podľa kritéria času regulácie t reg, času nábehu t n a maximálneho preregulovania η max. Pre určenie času regulácie sme si zvolili pásmo necitlivosti ±δ = 5%. Obr. 6 Prechodové charakteristiky URO pre spojité regulátory POSTERUS.sk - 9 / 11 -
10 10 Obr. 7 Prechodové charakteristiky URO pre diskrétne regulátory Tab. 3. Porovnanie jednotlivých metód Metóda t reg [s] t n [s] η max [%] Spojitá Ziegler Nichols Graficko analytická Z-N Graficko analytická ITAE Graficko analytická C-C Inverzia dynamiky Diskrétna Inverzia dynamiky Dead beat bez ohraničenia u(t) Dead beat s ohraničením u(t) Záver Pomocou tabuľky tab.3 sme si vyhodnotili jednotlivé metódy syntézy regulačného obvodu pre ohrev elektrickej pece z hľadiska kvality a stability v prechodových stavoch. Merania a simulácie sme uskutočňovali na našom vzorovom procese (24) zapojeným do uzavretého regulačného obvodu. Z nameraných hodnôt nám vyplýva, že pre náš konkrétny proces je zo spojitých regulátorov najvhodnejší regulátor navrhnutý pomocou metódy Inverzie dynamiky a z diskrétnych regulátorov je najlepší regulátor navrhnutý metódou Dead Beat bez ohraničenia akčného zásahu. Tieto dva regulátory potrebovali najmenší čas na dosiahnutie žiadanej regulačnej presnosti a pritom regulovali s najmenšou prereguláciou. Literatúra Harsányi L., Murgaš J., Rosinová D., Kozáková A. : Teória automatického riadenia, 1.vydanie, Vydavateľstvo STU v Bratislave, 1998, 216s, ISBN Tůma J., Wangnerová R., Farana R., Landryová L. : Základy automatizace, 1.vydanie, Ediční středisko VŠB TUO, 2007, 283s, ISBN Kozák Š. : Lineárne číslicové systémy 1, 1.vydanie, Editačné stredisko STU v Bratislave, 1991, 241s, ISBN POSTERUS.sk - 10 / 11 -
11 11 4. Kozák Š. : Lineárne číslicové systémy, Príklady na cvičenia, 1.vydanie, Vydavateľstvo STU v Bratislave, 1995, 207s, ISBN Huba M., Hubinský P., Žáková K. : Teória automatického riadenia 1, 2.vydanie, Vydavateľstvo STU v Bratislave, 2008, 418s, ISBN Zítek P., Hofreiter M., Hlava J. : Automatické řízení, Vydavatelství ČVUT Praha, 2001, 148s, ISBN Kozák, Š.: Graficko-analytické metódy určovania koeficientov spojitých a diskrétnych regulátorov, ATP journal, č.7,ročník IV, STU v Bratislave, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Teória automatického riadenia 1, dostupné na internete: 9. Vítečková,M.: Syntéza číslicových a analogových regulačních obvodů metodou inverze dynamiky, Habilitační práce, FS VŠB-TU Ostrava,1996 Prílohy Tabuľky a vzorce ku článku Spoluautorom článku je Ing. Mária Dúbravska, Ústav riadenia a priemyselnej informatiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Slovenská technická univerzita, Bratislava, Slovenská republika Práca bola prezentovaná na Študentskej vedeckej a odbornej činnosti (ŠVOČ 2011) v sekcii Kybernetika a robotika a získala Cenu SSKI, ISBN POSTERUS.sk - 11 / 11 -
Vlastnosti regulátorov pri spätnoväzbovom riadení procesov
Kapitola 8 Vlastnosti regulátorov pri spätnoväzbovom riadení procesov Cieľom cvičenia je sledovať vplyv P, I a D zložky PID regulátora na dynamické vlastnosti uzavretého regulačného obvodu (URO). 8. Prehľad
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Predná²ka 6 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότεραRiadenie zásobníkov kvapaliny
Kapitola 9 Riadenie zásobníkov kvapaliny Cieľom cvičenia je zvládnuť návrh (syntézu) regulátorov výpočtovými (analytickými) metódami Naslinovou metódou a metódou umiestnenia pólov. Navrhnuté regulátory
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Predná²ka 9 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότεραAutomatická regulácia Otázky ku skúške 3B031
Automatická regulácia Otázky ku skúške 3B031 Otázky 1. Pojem regulácie; základná bloková schéma regulačného obvodu, opis veličín a prvkov regulačného obvodu. 2. Druhy regulácií - delenie podľa typov úloh,
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραM8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie"
M8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie" Úlohy: 1. Zostavte matematický popis modelu M8 2. Vytvorte simulačný model v prostredí: a) Simulink zostavte blokovú schému, pomocou rozkladu
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότεραMeranie na jednofázovom transformátore
Fakulta elektrotechniky a informatiky TU v Košiciach Katedra elektrotechniky a mechatroniky Meranie na jednofázovom transformátore Návod na cvičenia z predmetu Elektrotechnika Meno a priezvisko :..........................
Διαβάστε περισσότεραIIR filtrov. Metóda. Metódy návrhu. 2. pretransform. 4. transformáciat. diskrétny). frekvenciu =
Metódy návrhu IIR filtrov Nepriame metódy návrhu Nepriame metódy návrhu digitálnychh filtrov vychádzajú z návrhu analógových filtrov, ktoré sa potom pretransformujú na digitálne filtre. Všeobecný postup
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Prednáška 1 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Predná²ka 8 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότεραOdporníky. 1. Príklad1. TESLA TR
Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραOtáčky jednosmerného motora
Otáčky jednosmerného motora ZADANIE: Uvažujte fyzikálno - matematický model dynamického systému, ktorý je popísaný lineárnou diferenciálnou rovnicou (LDR) 2. a vyššieho rádu. ÚLOHA: Navrhnite m-file v
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραNÁVRH A EXPERIMENTÁLNE OVERENIE ALGORITMU OPTIMÁLNEHO RIADENIA PRE VÝUKOVÝ MODEL MECHANICKÉHO SYSTÉMU
NÁVRH A XPRIMNÁLN OVRNI ALGORIMU OPIMÁLNHO RIADNIA PR VÝUKOVÝ MODL MHANIKÉHO SYSÉMU A. Jadlovská, R. Lonščák Katedra kybernetiky a umelej inteligencie, Fakulta elektrotechniky a informatiky, U v Košiciach,
Διαβάστε περισσότεραMatematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom
Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Demonštračný modul Úlohy. Zostavte matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom 2. Vytvorte simulačný model robota v simulačnom
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková
Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραRozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003
Rozsah akreditácie 1/5 Názov akreditovaného subjektu: U. S. Steel Košice, s.r.o. Oddelenie Metrológia a, Vstupný areál U. S. Steel, 044 54 Košice Rozsah akreditácie Oddelenia Metrológia a : Laboratórium
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραREZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických
REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu
Διαβάστε περισσότεραHarmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť
Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky
Διαβάστε περισσότεραSpojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.
Spojité rozdelenia pravdepodobnosti Pomôcka k predmetu PaŠ Strana z 7 RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 6. marca 3 Zoznam obrázkov Rovnomerné rozdelenie Ro (a, b). Definícia.........................................
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.5. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková
Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.5 Vzdelávacia
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραRiešenie lineárnych elektrických obvodov s jednosmernými zdrojmi a rezistormi v ustálenom stave
iešenie lineárnych elektrických obvodov s jednosmernými zdrojmi a rezistormi v ustálenom stave Lineárne elektrické obvody s jednosmernými zdrojmi a rezistormi v ustálenom stave riešime (určujeme prúdy
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότερα4 Regulačné diagramy na reguláciu meraním
Štatistické riaenie procesov egulačné iagramy 4-1 4 egulačné iagramy na reguláciu meraním Cieľ kapitoly Po preštuovaní tejto kapitoly buete veieť: čo je to regulačný iagram na reguláciu meraním, ako sa
Διαβάστε περισσότεραKompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017
Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραRozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραZákladné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότεραStrana 1/5 Príloha k rozhodnutiu č. 544/2011/039/5 a k osvedčeniu o akreditácii č. K-052 zo dňa Rozsah akreditácie
Strana 1/5 Rozsah akreditácie Názov akreditovaného subjektu: CHIRANALAB, s.r.o., Kalibračné laboratórium Nám. Dr. A. Schweitzera 194, 916 01 Stará Turá IČO: 36 331864 Kalibračné laboratórium s fixným rozsahom
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραTermodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)
ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály
Διαβάστε περισσότεραVýukový model pro intuitívni výuku regulace se systémy PLC
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ Katedra řídicí techniky Výukový model pro intuitívni výuku regulace se systémy PLC Bakalárska práca Vedúci bakalárskej práce: Ing. Martin Hlinovský
Διαβάστε περισσότεραOddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II Úloha č.:...xviii... Název: Prechodové javy v RLC obvode Vypracoval:... Viktor Babjak... stud. sk... F.. dne... 6.. 005
Διαβάστε περισσότεραAnalýza poruchových stavov s využitím rôznych modelov transformátorov v programe EMTP-ATP
Analýza poruchových stavov s využitím rôznych modelov transformátorov v programe EMTP-ATP 7 Obsah Analýza poruchových stavov pri skrate na sekundárnej strane transformátora... Nastavenie parametrov prvkov
Διαβάστε περισσότεραRiešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody
Zadanie č.1 Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Nasledujúce uvedené poznatky z oblasti riešenia elektrických obvodov pomocou metódy slučkových prúdov a uzlových napätí je potrebné využiť
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραURČENIE MOMENTU ZOTRVAČNOSTI FYZIKÁLNEHO KYVADLA
54 URČENE MOMENTU ZOTRVAČNOST FYZKÁLNEHO KYVADLA Teoretický úvod: Fyzikálnym kyvadlom rozumieme teleso (napr. dosku, tyč), ktoré vykonáva periodický kmitavý pohyb okolo osi, ktorá neprechádza ťažiskom.
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραZáklady matematickej štatistiky
1. Náhodný výber, výberové momenty a odhad parametrov Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. mája 2015 1 Náhodný výber 2 Výberové momenty 3 Odhady parametrov
Διαβάστε περισσότεραPrezentácia činnosti dynamických systémov Gulička na rovine
České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Bakalárska práca Prezentácia činnosti dynamických systémov Gulička na rovine Jozef Zakucia Vedúci práce : Ing. František Vaněk Študijný program:
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. ROČNÍKOVÁ PRÁCA č. 3 PRIBLIŽNÝ VÝPOČET TEPELNÉHO OBEHU LTKM
Technická univerzita Letecká fakulta Katedra leteckého inžinierstva ROČNÍKOVÁ PRÁCA č. 3 PRIBLIŽNÝ VÝPOČET TEPELNÉHO OBEHU LTKM Študent: Cvičiaci učiteľ: Peter Majoroš Ing. Marián HOCKO, PhD. Košice 6
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραKATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE
H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom
Διαβάστε περισσότεραOhmov zákon pre uzavretý elektrický obvod
Ohmov zákon pre uzavretý elektrický obvod Fyzikálny princíp: Každý reálny zdroj napätia (batéria, akumulátor) môžeme považova za sériovú kombináciu ideálneho zdroja s elektromotorickým napätím U e a vnútorným
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín
Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si
Διαβάστε περισσότεραTrapézové profily Lindab Coverline
Trapézové profily Lindab Coverline Trapézové profily - produktová rada Rova Trapéz T-8 krycia šírka 1 135 mm Pozink 7,10 8,52 8,20 9,84 Polyester 25 μm 7,80 9,36 10,30 12,36 Trapéz T-12 krycia šírka 1
Διαβάστε περισσότεραMERANIE OPERAČNÝCH ZOSILŇOVAČOV
MEANIE OPEAČNÝCH ZOSILŇOVAČOV Operačné zosilňovače(ďalej len OZ) patria najuniverzálnejším súčiastkam, pretože umožňujú realizáciu takmer neobmedzeného množstva zapojení vo všetkých oblastiach elektroniky.
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότερα1. Určenie VA charakteristiky kovového vodiča
Laboratórne cvičenia podporované počítačom V charakteristika vodiča a polovodičovej diódy 1 Meno:...Škola:...Trieda:...Dátum:... 1. Určenie V charakteristiky kovového vodiča Fyzikálny princíp: Elektrický
Διαβάστε περισσότεραZáklady metodológie vedy I. 9. prednáška
Základy metodológie vedy I. 9. prednáška Triedenie dát: Triedny znak - x i Absolútna početnosť n i (súčet všetkých absolútnych početností sa rovná rozsahu súboru n) ni fi = Relatívna početnosť fi n (relatívna
Διαβάστε περισσότεραÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI
ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI 1. Zadanie: Určiť odchýlku kolmosti a priamosti meracej prizmy prípadne vzorovej súčiastky. 2. Cieľ merania: Naučiť sa merať na špecializovaných
Διαβάστε περισσότερα