ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΑ Β ΛΤΚΔΙΟΤ

Transcript

1 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΑ Β ΛΤΚΔΙΟΤ Α.ΤΡΗΓΩΝΟΜΔΤΡΗΚΟΗ ΑΡΗΘΜΟΗ ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΔΙΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤ ΣΡΙΓΩΝΟΤ μήκος απέναντικάθετης πλεσράς μήκος σποτείνοσσας μήκος προσκείμενης κάθετης πλεσράς μήκος σποτείνοσσας μήκος απέναντικάθετης πλεσράς μήκος προσκείμενης κάθετης πλεσράς μήκος προσκείμενης κάθετης πλεσράς μήκος απέναντικάθετης πλεσράς ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑ ω ΜΔ 0 60 y x y, x 0 x x, y 0 y ΠΑΡΑΣΗΡΗΔΙ: Ωο ζεηηθή θνξά ησλ γσληώλ παίξλνπκε ηελ θνξά αληίζεηε κε ηνπο δείθηεο ηνπ ξνινγηνύ θαη αξλεηηθή ζύκθσλα κε ηνπο δείθηεο ηνπ ξνινγηνύ. Γσλίεο κε κέηξν κεγαιύηεξν ησλ 60 ν έρνπλ λόεκα αλ ζεσξήζνπκε όηη θάλνπλ αθέξαην πιήζνο πεξηζηξνθώλ ελόο θύθινπ θαη επηπιένλ κηαο γσλίαο ζ νπόηε θαη ηαπηίδνληαη αιγεβξηθά κε ηελ γσλία ζ

2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΟ ΚΤΚΛΟ Ο θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ελόο νξζνθαλνληθνύ ζπζηήκαηνο αμόλσλ ζπληεηαγκέλσλ θαη αθηίλα 1 νλνκάδεηαη ηριγωνομεηρικός κύκλος. ΜΝΗΜΟΝΙΚΟ ΚΑΝΟΝΑ ΓΙΑ ΣΑ ΠΡΟΗΜΑ Ο: Όια ζεηηθά (εκσ,ζπλσ,εθσ,ζθσ) Η: Ζκίηνλν ζεηηθό θαη όια ηα ππόινηπα αξλεηηθά Δ: Δθαπηνκέλε (άξα θαη ε ζπλεθαπηνκέλε) ζεηηθή θαη ηα ππόινηπα αξλεηηθά. : Σπλεκίηνλν ζεηηθό θαη όια ηα ππόινηπα αξλεηηθά. - -

3 ΣΟ ΑΚΣΙΝΙΟ Αλ έλα θπθιηθό ηόμν ηζνύηαη κε ην κήθνο ηεο αθηίλαο ηνπ θύθινπ, ηόηε απηό νξίδεηαη σο ηόμν ελόο αθηηλίνπ (1 rad). ΠΙΝΑΚΑ ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΒΑΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Γωνία ζε μοίρες Γωνία ζε ακηίνια 0 ν 0 ν 45 ν 60 ν 90 ν 180 ν 70 ν 60 ν 0 ημω 0 ζσνω 1 εθω 0 ζθω Γελ νξίδεηαη π 6 1 π 4 1 π 1 1 π π π π Γελ νξίδεηαη 0 0 Γελ νξίδεηαη Γελ νξίδεηαη 0 0 Γελ νξίδεηαη ΒΑΙΚΔ ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ ΣΑΤΣΟΣΗΣΔ 1, 0, 0 1, , 0, 0 - -

4 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΟ 1 Ο ΣΔΣΑΡΣΗΜΟΡΙΟ 1. Ανηίθεηες Γωνίες (ω,-ω) εκ(-σ)=-εκσ ζπλ(-σ)=ζπλσ εθ(-σ)=-εθσ ζθ(-σ)=-ζθσ. Γωνίες με άθροιζμα π, δηλ. Παραπληρωμαηικές (ω,π-ω) εκ(π-σ)=εκσ ζπλ(π-σ)=-ζπλσ εθ(π-σ)=-εθσ ζθ(π-σ)=-ζθσ. Γωνίες με διαθορά π (ω,π+ω) εκ(π+σ)=-εκσ ζπλ(π+σ)=-ζπλσ εθ(π+σ)=εθσ ζθ(π+σ)=ζθσ - 4 -

5 4. Γωνίες με άθροιζμα δηλ. σμπληρωμαηικές (ω, -ω) εκ( -σ)=ζπλσ ζπλ( -σ)=εκσ εθ( -σ)=ζθσ ζθ( -σ)=εθσ 5. Γωνίες με διαθορά (ω, +ω) εκ( +σ)=ζπλσ ζπλ( +σ)=-εκσ εθ( +σ)=-ζθσ ζθ( +σ)=-εθσ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΑΚΗΔΩΝ: 1) Σε αζθήζεηο κεηαηξνπήο κνηξώλ ζε αθηίληα (rad) ή αληίζηξνθα ρξεζηκνπνηνύκε ην ηύπν κεηαηξνπήο ή πην απιά θάλνπκε ηελ αληηζηνίρεζε 180 ν π 180 ) Όηαλ καο δεηνύλ λα ππνινγίζνπκε ηνπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο θάπνηαο γσλίαο ηόηε: α) Αλ ε γσλία είλαη <60 ν (ή π ζε αθηίληα) ρξεζηκνπνηνύκε ηνπο παξαπάλσ ηύπνπο αλαγσγήο ζην 1 ν ηεηαξηεκόξην β) Αλ ε γσλία είλαη >60 ν, ηόηε δηαηξνύκε ηελ γσλία κε ην 60, δει. θέξλνπκε ηελ γσλία ζηελ κνξθή σ=60θ+θ θαη ζπλερίδνπκε ηελ εξγαζία καο όπσο ζην α) γηα ηελ γσλία θ, ε νπνία έρεη ηνπο ίδηνπο ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο κε ηελ σ. ) Όηαλ καο δίλεηαη έλαο ηξηγσλνκεηξηθόο αξηζκόο θαη δεηνύληαη νη ππόινηπνη, ηόηε ρξεζηκνπνηνύκε ηηο βαζηθέο ηξηγσλνκεηξηθέο ηαπηόηεηεο (βιέπε ζει.) 4) Όηαλ καο δεηείηαη λα απνδείμνπκε κηα ηξηγσλνκεηξηθή ηαπηόηεηα ηόηε μεθηλνύκε από ην πην ζύλζεην κέινο θαη ρξεζηκνπνηώληαο ηξηγσλνκεηξηθέο ηαπηόηεηεο,αμηνζεκείσηεο ηαπηόηεηεο θαη θαηάιιειεο πξάμεηο θαηαιήγνπκε ζην άιιν κέινο - 5 -

6 ή παίξλνπκε θαη ηα δπν κέιε θαη κε ηζνδπλακίεο θαηαιήγνπκε ζε κηα ζρέζε πνπ ηζρύεη. 5) Όηαλ καο δεηείηαη λα απνδείμνπκε όηη κηα ηξηγσλνκεηξηθή ζρέζε είλαη ζηαζεξή, ηόηε ρξεζηκνπνηώληαο βαζηθέο ηξηγσλνκεηξηθέο ή αμηνζεκείσηεο ηαπηόηεηεο θαη θαηάιιειεο πξάμεηο θαηαιήγνπκε ζε θάηη ζηαζεξό δει. αλεμάξηεην από ηελ γσλία, ζπλήζσο έλαλ αξηζκό ή κηα ζηαζεξά

7 Β. ΤΡΗΓΩΝΟΜΔΤΡΗΚΔΣ ΣΥΝΑΡΤΖΣΔΗΣ - ΔΞΗΣΩΣΔΗΣ Περιοδική σνάρηηζη: Μηα ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ Α ιέγεηαη πεξηνδηθή, όηαλ ππάξρεη Τ ηέηνηνο ώζηε γηα θάζε x Α, ηζρύνπλ: (1) x+t, x-t A () f(x)=f(x+t)=f(x-t). Ο αξηζκόο Τ νλνκάδεηαη πεξίνδνο ηεο ζπλάξηεζεο f. σνάρηηζη ημίηονο: Ζ ζπλάξηεζε κε ηελ νπνία θάζε πξαγκαηηθόο αξηζκόο x αληηζηνηρίδεηαη ζην εκ(x rad) ιέγεηαη ζσνάρηηζη ημίηονο θαη ηελ ζπκβνιίδνπκε : f(x)=ημ(x). Ζ ζπλάξηεζε είλαη πεξηνδηθή κε περίοδο Σ=π θαη έρεη πεδίν ηηκώλ ην δηάζηεκα [-1,1]. Ζ κνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο θαίλεηαη εύθνια από ην δηπιαλό ζρήκα. σνάρηηζη ζσνημίηονο: Ζ ζπλάξηεζε κε ηελ νπνία θάζε πξαγκαηηθόο αξηζκόο x αληηζηνηρίδεηαη ζην ζπλ(x rad) ιέγεηαη ζσνάρηηζη ζσνημίηονο θαη ηελ ζπκβνιίδνπκε : f(x)=ζσν(x).ζ ζπλάξηεζε είλαη πεξηνδηθή κε περίοδο Σ=π θαη έρεη πεδίν ηηκώλ ην δηάζηεκα [-1,1]. Ζ κνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο θαίλεηαη εύθνια από ην δηπιαλό ζρήκα. σνάρηηζη εθαπηομένη: Ζ ζσνάρηηζη εθαπηομένη x νξίδεηαη σο f(x)= κε πεδίν x νξηζκνύ Α=x / x 0. Ζ ζπλάξηεζε εθαπηνκέλε είλαη πεξηνδηθή κε περίοδο Σ=π, έρεη πεδίν ηηκώλ όιν ην θαη είλαη γλεζίσο αύμνπζα

8 σνάρηηζη ζσνεθαπηομένη: Ζ ζσνάρηηζη ζσνεθαπηομένη x νξίδεηαη σο f(x)= κε πεδίν x νξηζκνύ Α=x / x 0. Ζ ζπλάξηεζε ζπλεθαπηνκέλε είλαη πεξηνδηθή κε περίοδο Σ=π, έρεη πεδίν ηηκώλ όιν ην θαη είλαη γλεζίσο θζίλνπζα. Παραηήρηζη: Σηηο ζπλαξηήζεηο f (x) ( x) θαη g(x) ( x) κε σ>0 έρνπκε: Περίοδος: T Μέγιζηη Σιμή: ξ Δλάτιζηη Σιμή: - ξ Παραηηρήζεις ζηις γραθικές παραζηάζεις: - 8 -

9 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ ΔΞΙΩΔΙ εκx=εκζ x ή x, θε ζπλx=ζπλζ x ή x, θε εθx=εθζ x=θπ+ζ,θε ζθx=ζθζ x=θπ+ζ, θε ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΑΚΗΔΩΝ: 1) Αλ καο δίλεηαη ε ζπλάξηεζε f(x)=ξεκ(σx) ή f(x)=ξζπλ(σx) κε σ>0, ηόηε απηή είλαη πεξηνδηθή κε πεξίνδν Τ= θαη έρεη κέγηζην ην ξ θαη ειάρηζην ην - ξ ) Αλ καο δίλεηαη ε ζπλάξηεζε f(x)=ξεκ(σx+θ) κε σ>0, θ ηόηε απηή φ γξάθεηαη: f(x)=ξεκ x θαη αλ ιάβνπκε ππόςε ηελ 1) ηόηε: Δίλαη πεξηνδηθή κε πεξίνδν Τ= Έρεη κέγηζην ην ξ θαη ειάρηζην ην - ξ Ζ γξαθηθή ηεο παξάζηαζε πξνθύπηεη από θαηάιιειε νξηδόληηα κεηαηόπηζε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f(x)=ξεκ(σx). ( Οκνίσο γηα ηηο ζπλαξηήζεηο f(x)=ξζπλ(σx+θ) ) ) Γηα λα ιύζνπκε ηξηγσλνκεηξηθέο εμηζώζεηο όπσο: εκf(x)=ι, 1 1 ζπλg(x)=ι, 1 1 εθh(x)=ι, ζθt(x)=ι, ηόηε βξίζθνπκε ηελ γσλία ζ ηέηνηα ώζηε π.ρ. γηα ηελ πξώηε εμίζσζε λα έρνπκε f (x) εκζ=ι, νπόηε πξνθύπηεη: εκf(x)=εκζ ή,θε f (x) (Οκνίσο εξγαδόκαζηε θαη ζηηο ππόινηπεο εμηζώζεηο) 4) Φξεζηκνπνηνύκε ζπρλά ηνπο παξαθάησ κεηαζρεκαηηζκνύο: f (x) g(x) f(x) g(x)... f(x) g(x) f(x) g(x)... f (x) g(x) f (x) g(x)... f (x) g(x) f(x) g(x)

10 f (x) g(x) f (x) g(x)... f (x) g(x) f (x) g(x)... f (x) g(x) f (x) g(x)... f (x) g(x) f (x) g(x)... 5) Όηαλ καο δεηείηαη λα ιύζνπκε κηα ηξηγσλνκεηξηθή εμίζσζε ζε έλα δηάζηεκα (π.ρ. (α,β) ή [α,β] ή [α,β) ή (α,β] ), ηόηε ιύλνληαο θαλνληθά ηελ εμίζσζε βξίζθνπκε ηηο άπεηξεο ιύζεηο θαη έπεηηα ιύλνληαο ηηο αληζώζεηο (π.ρ. α<x<β ή α x β θ.ι.π.) βξίζθνπκε ηηο ηηκέο ηνπ θε γηα ηηο νπνίεο νη ιύζεηο βξίζθνληαη ζην δηάζηεκα πνπ έρνπκε

11 ΑΣΚΖΣΔΗΣ A. 1) Σπκπιεξώζηε ηηο ηζόηεηεο: Α) εκ(θπ+α)= Β) εθ(8π-α)=... Γ) ζπλ(α-ιπ)= Γ) ζθ(10π-α)=. κε θ,ιε ) Να ραξαθηεξίζεηε κε ζσζηό ή ιάζνο ηηο ηζόηεηεο: εκ500 ν =εκ140 ν ζπλ750 ν =ζπλ0 ν εθ(-100 ν )=εθ(-10 ν ) ωζηό Λάθος ) Να βξεζνύλ νη ηξηγσλνκεηξηθνί αξηζκνί ησλ γσληώλ: 780 ν, 1110 ν 17 5,, 4 1) Τν εκ660 ν ηζνύηαη κε ην : Α. εκ10 ν Β. ζπλ60 ν Γ. ζπλ10 ν Γ. εκ(-60 ν ) Δ. εκ60 ν ) Να δείμεηε όηη: εθ(740 ν +x-y)-εθ(0 ν +x-y)=0 ) ( ) (7 ) Να απινπνηεζεί ην θιάζκα: ( ) (4 ) 4) Να απαληήζεηε κε Σσζηό ή Λάζνο α/α Δξώηεζε Σσζηό Λάζνο 1 Δάλ κηα γσλία θ είλαη αξλεηηθή, ηόηε έλαο ηνπιάρηζηνλ από ηνπο εκθ θαη ζπλθ είλαη επίζεο αξλεηηθόο εκ +εκ 5 =1 1 1 Αλ 0 ν x 90 ν, ηόηε εκx= 1 x 4 Δάλ κηα γσλία σ απμεζεί θαηά π, ηόηε ην ζπλσ θαη ην εκσ αιιάδνπλ πξόζεκν 5 Δάλ ν y αιιάμεη πξόζεκν, ηόηε αιιάδεη θαη ην πξόζεκν ηνπ εκy θαη ηνπ ζπλy. 6 Γηα νπνηαδήπνηε γσλία x, ηζρύεη: εκx=εκx 7 Υπάξρνπλ γσλίεο σ ηέηνηεο ώζηε: εκσ+ζπλσ=1 8 Αλ Α,Β,Γ γσλίεο ηξηγώλνπ ηόηε: εκα+εκβ+εκγ= 9 Αλ 90 ν <x<180 ν 4 θαη εκx=,ηόηε ζπλx= Αλ 180 ν <x<70 ν θαη ζπλx=, ηόηε εκx= 5 11 Αλ εκx=0 ηόηε ζπλx=0 1 Αλ εκx=0 ηόηε ζπλx=1 1 Αλ εκx>0 θαη ζπλx>0 ηόηε εθx>0 14 Δίλαη εκx

12 15 Αλ 90 ν x 180 ν ηόηε ζπλx= 16 x Υπάξρεη x ώζηε ζπλx= x 17 Αλ 0 ν <x<90 ν ηόηε εκx<εθx 18 Γηα θάζε x ππάξρεη ε εθx 1 x 5) Γίλεηαη : Α) ζπλζ= 5, όπνπ 0 ν <ζ<90 ν. Υπνινγίζηε ηα εκζ, εθζ, ζθζ Β) ζπλζ=- 4 όπνπ 180 ν <ζ<70 ν. Υπνινγίζηε ηα εκζ, εθζ, ζθζ 6) Αλ ζπλ x-5ζπλx+=0 θαη 70 ν <x<60 o, λα βξεζεί ε εθx. 7) Να απνδεηρζνύλ νη παξαθάησ ηξηγσλνκεηξηθέο ηαπηόηεηεο: Α) (εκx-ζπλx) =1-εκxζπλx B) εκ 4 x-ζπλ 4 x=εκ x-ζπλ x=1-ζπλ x=εκ x-1 Γ) (1+ζπλx+ζπλx) =(1+ζπλx)(1+εκx) 1 x Γ) =1-εκ x 1 x x E) 1- =εκx 1 x ΣΤ) εκ α(1+ζθ α)+ζπλ α(1+εθ α)= Ε) = 11) Αλ εκx + ζπλx =1, ηόηε ε γσλία x παίξλεη: Α. θακία ηηκή Β. κία ηηκή Γ) ηξείο ηηκέο Γ) άπεηξεο ηηκέο Δ) ηέζζεξηο ηηκέο 1) Αλ εκx + ζπλx =0, ηόηε ε ηειηθή πιεπξά ηεο γσλίαο x βξίζθεηαη: Α) ζην 1 ν ηεηαξηεκόξην Β) ζην ν ηεηαξηεκόξην Γ) ζην ν ηεηαξηεκόξην Γ) ζην 4 ν ηεηαξηεκόξην Δ) δελ ππάξρεη ηέηνηα γσλία x 1) Τν ζπλ( ) ηζνύηαη κε: Α) εκσ Β) ζπλ(-σ) Γ) ζπλσ Γ) εκσ Δ) θαλέλα από ηα πξνεγνύκελα 14) Ζ εθ( ) ηζνύηαη κε: Α) εθσ Β) ζθσ Γ) εθσ Γ) ζθσ Δ) θαλέλα από ηα πξνεγνύκελα 15) Να απνδείμεηε όηη: εκ450 ν +εθ0 ν +ζθ410 ν =1+εθ40 ν 16) Αλ σ νμεία γσλία λα δείμεηε όηη: α) νη γσλίεο θαη σ είλαη ζπκπιεξσκαηηθέο - 1 -

13 β) ζπλ( )=-εκσ γ) εθ( )=-ζθσ 1 17) Αλ ζπλ =, λα ππνινγίζεηε ην εκ ) Να απνδείμεηε όηη: (70 ) 1 (90 ) (180 ) 1 (180 ) 19) Να απινπνηεζεί ε θιαζκαηηθή παξάζηαζε: ( x) ( x) ( x) ( x) 0) Από ηνπο παξαθάησ ηξηγσλνκεηξηθνύο αξηζκνύο, ζεηηθόο είλαη ν: Α) εκ00 ν Β) ζπλ160 ν Γ) ζπλ(-140 ν ) Γ) εκ(-00 ν ) Δ) ζπλ(-40 ν ) 1) Τν εκ15 ν ηζνύηαη κε: Α) Β) - Γ) Γ) 1 Δ) - 1 ) Ζ εθ15 ν ηζνύηαη κε: Α) 1 Β) 1 Γ) Γ) - Δ) ) Τν εκ(π+σ) ηζνύηαη κε: Α) εκσ Β) εκσ Γ) ζπλσ Γ) ζπλ(π-σ) Δ) θαλέλα από ηα πξνεγνύκελα 4) Τν ζπλ(π-σ) ηζνύηαη κε: Α) εκ(-σ) Β) ζπλσ Γ) ζπλσ Γ) εκσ Δ) θαλέλα από ηα πξνεγνύκελα 5) Αλ εκζ=εκ4 ν θαη 90 ν ζ 180 ν, ηόηε ε γσλία ζ είλαη: Α) 1 ν Β) 18 ν Γ) 14 ν Γ) 148 ν Δ) 157 ν 6) Αλ εκσ= θαη 90 ν <σ<180 ν, ππνινγίζηε ην ζπλσ, εθσ θαη ζθσ. 7) Αλ εθσ= 15 8 θαη 180 ν <σ<70 ν, ππνινγίζηε ην εκσ, ζπλσ θαη ζθσ ) Αλ είλαη 0<α<, ηόηε λα απνδείμεηε όηη: 1-1 -

14 9) Αλ 6εκ x+εκx-1=0 θαη π<x<, λα βξεζεί ην ζπλx θαη ε εθx 0) Να εμεηάζεηε αλ νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 4x +( 1)x- =0 κπνξνύλ λα είλαη ην εκίηνλν θαη ην ζπλεκίηνλν κηαο γσλίαο ζ. 1) Αλ x=ζπλζ θαη y=εκζ, ηόηε ηζρύεη: Α) x -y x y =-5 B) 1 Γ) x +y x y =1 Γ) x y Δ) ) Ζ παξάζηαζε Α=εκ x+εκxζπλ x ηζνύηαη κε: Α) εκx Β) εκx Γ) εθ x Γ) 0 Δ) 1 ) Να δείμεηε όηη: Α) ζπλx+εκx 5 Β) εκx-10ζπλx 1 4) Αλ εκx + ζπλx =, ηόηε ε γσλία x ηζνύηαη: Α) 0 ν Β) 90 ν Γ) 180 ν Γ) 70 ν Δ) θαλέλα από ηα πξνεγνύκελα 5) Αλ x θαη y είλαη δύν νπνηεζδήπνηε γσλίεο, λα δείμεηε όηη: Α) ζπλ(x-y)=ζπλ(y-x) B) εκ(x-y)=-εκ(y-x) 6) 1 Γίλεηαη: ζπλ = 8. Υπνινγίζηε: Α) εκ Β) εκ θαη ζπλ Γ) εκ θαη ζπλ 8 8 Γ) εκ(- 8 ) θαη ζπλ(- 8 ) 5 5 Δ) εκ θαη ζπλ 8 8 7) Να ζπκπιεξώζεηε ηνλ παξαθάησ πίλαθα: Γσλία 150 ν 15 ν 10 ν 5 ν 40 ν εκ ζπλ εθ

15 8) Aλ εθx=θ, ηόηε ην ηζνύηαη κε: 1 Α) 1+εκ x Β) ζπλ x Γ) ζθ x Γ) εκ x Δ) εθ x+1 8) Αλ x 1, x είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο (1+εκθ)x -(1+εκ θ)x+(1-εκθ)εκθ=0, εκθ 1, ηόηε λα δείμεηε όηη: x 1 +x +x 1 x =1 9) Αλ ζπλx-εκx= εκx, ηόηε λα δείμεηε όηη: ζπλx+εκx= ζπλx 40) Αλ εκζ+5ζπλζ=5, ηόηε λα δείμεηε όηη: (ζπλζ-5εκζ) =9 41) Γηα νπνηαδήπνηε γσλία x, κε x θπ θαη θε, ε έθθξαζε (εκx) ηζνύηαη κε: Α) 4εκx B) εκ x Γ) εκ4x Γ) εκ4x Δ) 4εκx 4) Ζ παξάζηαζε εκ x+εκ ( -x) ηζνύηαη κε: Α) Β) 0 Γ) εκ x Γ) 1 Δ) 1-εκ x 4) Να απνδεηρζεί όηη: Α) εθ1 ν εθ ν εθ45 ν εθ91 ν εθ9 ν εθ15 ν = -1 Β) ζθ1 ν ζθ ν ζθ89 ν = 1 Β. 1) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο: Α) f(x)=ζπλ x Β) g(x)=-εκ( x) x Γ) h(x)=- ζπλ Να βξεζεί ε κέγηζηε θαη ε ειάρηζηε ηηκή θαζώο θαη ε πεξίνδνο γηα θάζε κία από ηηο παξαπάλσ ζπλαξηήζεηο. ) Απαληήζηε κε Σσζηό ή Λάζνο α/α Δξώηεζε Σσζηό Λάζνο 1 Ζ πεξίνδνο ηεο ζπλάξηεζεο f(x)=εκx είλαη Τ=π Ζ ζπλάξηεζε f(x)= -ζπλx παίξλεη ηηκέο ζην δηάζηεκα [-1,1] Ζ ζπλάξηεζε f(x)= -ζπλx είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην δηάζηεκα [0,π] 4 Τν κέγηζην ηεο ζπλάξηεζεο f(x)= -εκx+ είλαη 5 5 Τα πεδίν νξηζκνύ ηεο f(x)=εθx είλαη ην R Μηα πεξίνδνο ηεο ζπλάξηεζεο f(x)=ξεκ(σx),ξ,σ>0 6 είλαη Τ=

16 ) Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f(x)=εκ x θαη g(x)=ζπλ xεκ x. Nα απνδεηρζεί όηη είλαη πεξηνδηθέο κε πεξίνδν Τ=π θαη Τ= αληίζηνηρα. 4) Σην ίδην ζύζηεκα αμόλσλ λα ζρεδηαζηνύλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ζπλαξηήζεσλ f(x)=εκx, g(x)=εκx, h(x)=-εκx 5) Σην ίδην ζύζηεκα αμόλσλ λα ζρεδηαζηνύλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ζπλαξηήζεσλ f(x)=ζπλx, g(x)=ζπλx, h(x)=ζπλ x 6) Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο: Α) x 8 Β) x 4 4 Γ) 4x x Γ) x x 5 5 Δ) 4 x x 4 5x ΣΤ) x 7) Οκνίσο: Α) 1 x 0 Β) (1 x)( x) 0 Γ) x x 0 Γ) x 5x 0 Δ) x 1 5x 8) Nα ιπζεί ζην δηάζηεκα [0,π] ε εμίζσζε: 8 x 5x 7 Γ. 1) Να ππνινγηζηνύλ νη ηηκέο ησλ παξαζηάζεσλ: Α) Β) Γ)

17 Γ) ) 7 Να δείμεηε όηη: ) Γείμηε όηη: x x ) Γείμηε όηη ε παξάζηαζε είλαη αλεμάξηεηε από ην x: ( x) ( x) Α= ( x) ( x) 8 4 5) Αλ εθα=, ζπλβ=, π<α< θαη 0<β<, λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο: 15 5 εκ(α+β), ζπλ(α-β), εθ(α+β), ζθ(α+β). 6) Απαληήζηε κε Σσζηό ε Λάζνο: α/α Δξώηεζε Σσζηό Λάζνο 1 Γηα θάζε x ηζρύεη: ζπλ(α- )= ζπλα+εκα 6 Ηζρύεη: εκ100 ν εκ80 ν -ζπλ100 ν ζπλ80 ν = Ηζρύεη: εκ(α-β+γ)=εκαζπλ(β-γ)+εκ(γ-β)ζπλα 4 Ηζρύεη: εθ(α+β)=εθα + εθβ 1 5 Ηζρύεη: εθ15 ν = 1 6 Ηζρύεη: εκ(α+β)εκ(β-α)=εκ α-εκ β 7) Να ιπζεί ε εμίζσζε: 1 ζπλx=εκ x 8) ( ) Γείμηε όηη: ( ) ( ) 9) Γείμηε όηη: Α) x x x

18 Β) x x x 10) Αλ ζε έλα ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη: 1, δείμηε όηη είλαη ηζνζθειέο. 8) Γείμηε όηη ζε θάζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη: 1) Να ιπζεί ζην, 4 ε εμίζσζε: x x 4 4 1) Αλ ζπλ(α-β)=0, λα απνδείμεηε όηη: εκ(α-β)=εκα 14) Αλ εθα=, λα ιπζεί ζην [-π,π] ε εμίζσζε εκ(α+x)=εκ(α-x) 15) Να ιπζεί ε εμίζσζε εθ(x+α) = αλ εθα= 1 Γπιμέλεια: Καραγιώργος Παναγιώτης - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ