Δ ςυνφ Α ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ. Β, 90 ο Α, Δ, 180 ο 360 ο Ν, 270 ο. Τριγωνομετρικός κύκλος. θμφ. , εφφ. ςφφ
|
|
- Ξενοφών Δασκαλοπούλου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β θμφ, εφφ ςφφ Μ Δ ςυνφ Α Ν Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο Σελίδα 1
2 1 ο Τεταρτθμόριο : { Πλα κετικά. ο Τεταρτθμόριο : { Ημφ κετικό. 3 ο Τεταρτθμόριο : { Εφφ,ςφφ κετικζσ. 4 ο Τεταρτθμόριο : { Συνφ κετικι. ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΡΑΑΤΗΗΣΗ: Από τον τριγωνομετρικό κφκλο παρατθροφμε ότι τα θμφ,ςυνφ είναι αρικμοί που κυμαίνονται από το -1 ζωσ το 1.Ενώ οι εφφ,ςφφ μποροφν να πάρουν όποιεσ τιμζσ κζλουμε. Δθλ.: Αν παρατθριςουμε προςεχτικά τον τριγωνομετρικό κφκλο μποροφμε να βροφμε εκείνουσ τουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ που αντιςτοιχοφν ςτα 4 ςθμεία του ορίηοντα. Αν το τόξο καταλιξει ςτο Βορρά ι ςτο Νότο παρατθροφμε ότι όταν ενώςουμε αυτά τα δφο ςθμεία με το Ο και προεκτείνουμε δεν κα ακουμπιςουμε τον άξονα των εφαπτομζνων, γι αυτό και Σελίδα
3 δεν ορίηεται θ εφ και θ εφ. Ομοίωσ για τον ίδιο λόγο δεν ορίηεται θ ςφ και θ ςφ. θμ ςυν εφ 0 Χ 0 Χ 0 ςφ Χ 0 Χ 0 Χ ΑΚΤΙΝΙΟ (rad) ΟΙΣΜΟΣ: Ζνα ακτίνιο ονομάηεται θ επίκεντρθ γωνία ενόσ κφκλου που το αντίςτοιχο τόξο τθσ ζχει μικοσ ίςο με μία ακτίνα. Α Β ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σο μικοσ του κφκλου=l=π.ρ Η πλιρθσ γωνία είναι π rad Δθλ. Σελίδα 3
4 ΣΧΕΣΗ ΑΚΤΙΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΟΙΑΣ Είναι γνωςτό ότι τα π ακτίνια αντιςτοιχοφν ςτισ 180 ο.άρα: α ακτίνια π ακτίνια Τριγωνομετρικοί αρικμοί βαςικϊν γωνιϊν 0 rad θμ 0 1 ςυν 1 0 εφ 0 1 Χ ςφ Χ Σελίδα 4
5 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 ο ΤΕΤΑΤΗΜΟΙΟ ΡΑΑΡΛΗΩΜΑΤΙΚΑ ΤΟΞΑ :φ, π-φ ( ο τεταρτθμόριο) π/ π-φ θμ(π-φ)= + θμφ ςυν(π-φ)= - ςυνφ ι ςυνφ= ςυν(π-φ) εφ(π-φ)= - εφφ ςφ(π-φ)= - ςφφ π Αφοφ καταλιγω ςτο ο τεταρτθμόριο, μόνο το θμω είναι κετικό γι αυτό και βάηουμε +, ενϊ ςτουσ άλλουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ βάηουμε αφοφ είναι αρνθτικοί. π.χ θμ150 ο =θμ(180 ο -30 ο )=θμ30 ο =1/ ςυν10 ο =ςυν(180 ο -60 ο )=-ςυν60 ο = / ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΤΟΞΑ : φ,-φ (4 ο τεταρτθμόριο) ςυν>0 0 θμ(-φ)= - θμφ ι -θμφ= θμ(-φ) 3π/ ςυν(-φ)= + ςυνφ εφ(-φ)= - εφφ ι -εφφ= εφ(-φ) ςφ(-φ)= - ςφφ ι -ςφφ= ςφ(-φ) π.χ εφ(-45 ο )= - εφ45 ο = - 1 ςφ(-60 ο )= - ςφ60 ο = /3 -φ Αφοφ καταλιγω ςτο 4 ο τεταρτθμόριο, μόνο το ςυνω είναι κετικό γι αυτό και βάηουμε +, ενϊ ςτουσ άλλουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ βάηουμε αφοφ είναι αρνθτικοί. Σελίδα 5
6 ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΤΑΦΟΑ π : φ, π+φ (3 ο τεταρτθμόριο) εφ, ςφ >0 π π+φ θμ(π+φ)= - θμφ 3π/ ςυν(π+φ)= - ςυνφ εφ(π+φ)= + εφφ ςφ(π+φ)= + ςφφ Αφοφ καταλιγω ςτο 3 ο τεταρτθμόριο, μόνο θ εφφ άρα και θ ςφφ είναι κετικζσ γι αυτό και βάηουμε +, ενϊ ςτουσ άλλουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ βάηουμε αφοφ είναι π.χ θμ5 ο =θμ(180 ο +45 ο )= - θμ45 ο = / ςφ40 ο =ςφ(180 ο +60 ο )= ςφ60 ο = ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΑ π : φ, π+φ (1 ο τεταρ) θμ,ςυν,εφ,ςφ >0 π/ π+φ θμ(π+φ)= + θμφ ςυν(π+φ)= + ςυνφ εφ(π+φ)= + εφφ ςφ(π+φ)= + ςφφ 0 π Αφοφ καταλιγω ςτο 1 ο τεταρτθμόριο, όλοι τριγωνομετρικοί αρικμοί είναι κετικοί γι αυτό και βάηουμε ςε όλουσ +. Δθλαδι ςτουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ θ μία ολόκλθρθ περιςτροφι δεν επθρεάηει το αποτζλεςμα,ομοίωσ και οι δφο περιςτροφζσ κ.ο.κ οι κ περιςτροφζσ. Άρα: θμ(κπ+φ)=θμφ ςυν(κπ+φ)=ςυνφ εφ(κπ+φ)=εφφ ςφ(κπ+φ)=ςφφ Ρ.χ. θμ390 ο =θμ(360 ο +30 ο )=θμ30 ο =1/ Σελίδα 6
7 ΤΟΞΑ ΜΕ ΑΘΟΙΣΜΑ π : φ,π-φ (4 ο τεταρ) ςυν >0 0 π θμ(π-φ)= - θμφ ςυν(π-φ)= + ςυνφ εφ(π-φ)= - εφφ ςφ(π-φ)= - ςφφ Π.χ. θμ300 ο =θμ(360 ο -60 ο )=-θμ60 ο =- 3π/ π-φ Αφοφ καταλιγω ςτο 4 ο τεταρτθμόριο, μόνο το ςυνω είναι κετικό γι αυτό και βάηουμε +, ενϊ ςτουσ άλλουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ βάηουμε αφοφ είναι αρνθτικοί. ςυν315 ο =θμ(360 ο -45 ο )=ςυν45 ο =. ΡΑΑΡΛΗΩΜΑΤΙΚΑ ΤΟΞΑ: φ, π/-φ (1 0 τετ.) θμ,ςυν,εφ,ςφ >0 π/ π/-φ 0 ΡΟΣΟΧΗ : ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΑΙΘΜΟΣ θμ(π/-φ)= ςυνφ ι ςυνφ=θμ(π/-φ) Αφοφ καταλιγω ςτο 1 ο τεταρτθμόριο, όλοι τριγωνομετρικοί αρικμοί είναι κετικοί γι αυτό και βάηουμε ςε όλουσ +. ΡΟΣΟΧΗ: Πταν ζχουμε π/ αλλάηει ο τριγωνομετρικόσ αρικμόσ ςυν(π/-φ)= θμφ ι θμφ=ςυν(π/-φ) εφ(π/-φ)= ςφφ ι ςφφ=εφ(π/-φ) ςφ(π/-φ)= εφφ ι εφφ=ςφ(π/-φ) Σελίδα 7
8 ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΑ π : φ,π/+φ ( 0 τετ.) θμ >0 π/ π/+φ ΡΟΣΟΧΗ : ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΑΙΘΜΟΣ π Αφοφ καταλιγω ςτο ο τεταρτθμόριο μόνο το θμω είναι κετικό γι αυτό και βάηουμε +, ενϊ ςτουσ άλλουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ βάηουμε αφοφ είναι αρνθτικοί. θμ(π/+φ)= + ςυνφ ςυν(π/+φ)= - θμφ εφ(π/+φ)= - ςφφ ςφ(π/+φ)= - εφφ ΡΟΣΟΧΗ: Πταν ζχουμε π/ αλλάηει ο τριγωνομετρικόσ αρικμόσ ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΑ 3π/ : φ, 3π/+φ (4 0 τετ.) ςυν >0 π/ 0 3π/+φ ΡΟΣΟΧΗ : 3π/ ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΑΙΘΜΟΣ θμ(3π/+φ)= - ςυνφ ςυν(3π/+φ)= + θμφ εφ(3π/+φ)= - ςφφ ςφ(3π/+φ)= - εφφ Αφοφ καταλιγω ςτο 4 ο τεταρτθμόριο μόνο το ςυνφ είναι κετικό γι αυτό και βάηουμε +, ενϊ ςτουσ άλλουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ βάηουμε αφοφ είναι αρνθτικοί. ΡΟΣΟΧΗ: Πταν ζχουμε 3 π/ αλλάηει ο τριγωνομετρικόσ αρικμόσ. Σελίδα 8
9 ΤΟΞΑ ΜΕ ΑΘΟΙΣΜΑ 3π/ : φ,3π/-φ (3 0 τετ.) εφ, ςφ >0 ΡΟΣΟΧΗ : 3π/-φ π 3π/ ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΑΙΘΜΟΣ θμ(3π/-φ)= - ςυνφ ςυν(3π/-φ)= - θμφ εφ(3π/-φ)= + ςφφ ςφ(3π/-φ)= + εφφ Αφοφ καταλιγω ςτο 3 ο τεταρτθμόριο μόνο θ εφφ είναι κετικι άρα και θ ςφφ, γι αυτό και βάηουμε +, ενϊ ςτουσ άλλουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ βάηουμε αφοφ είναι αρνθτικοί. ΡΟΣΟΧΗ: Πταν ζχουμε π/ αλλάηει ο τριγωνομετρικόσ αρικμόσ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ i. { ii. { iii. Σελίδα 9
10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 θ Να βρεκεί το πρόςθμο των παρακάτω τριγωνομετρικϊν αρικμϊν:,,,, ΛΥΣΗ Θυμιςου το Ο.Η.Ε.Σ. ςτον τριγωνομετρικό κφκλο.,, κ.ο. κ. ΑΣΚΗΣΗ θ Αν να βρεκεί το πρόςθμο των τριγωνομετρικϊν αρικμϊν τθσ γωνίασ φ. ΑΣΚΗΣΗ 3 θ Αν να δειχκεί ότι: i. εφφ θμφ +ςφφ-ςυνφ ii. εφφ+θμφ. ΑΣΚΗΣΗ 4 θ Αν να δειχκεί ότι: i. εφφ+θμφ-ςυνφ+ςφφ ii. Σελίδα 10
11 ΑΣΚΗΣΗ 5 θ Ροιοσ είναι ο τφποσ που ςυνδζει τισ μοίρεσ με τα ακτίνια; ΑΡΑΝΤΗΣΗ Ο τφποσ που ςυνδζει τισ μοίρεσ με τα ακτίνια είναι : ΑΣΚΗΣΗ 6 θ Να μετατρζψεισ τισ παρακάτω μοίρεσ ςε ακτίνια: ΛΥΣΗ κ.ο.κ. ΑΣΚΗΣΗ 7 θ Να μετατρζψεισ τα παρακάτω ακτίνια ςε μοίρεσ: ΛΥΣΗ, κ.ο. κ. Σελίδα 11
12 ΑΣΚΗΣΗ 8 θ Nα φτιάξεισ τον τριγωνομετρικό κφκλο και να αναφζρεισ ςε κάκε τεταρτθμόριο το πρόςθμο των τριγωνομετρικϊν αρικμϊν. ΑΣΚΗΣΗ 9 θ Να αναχκοφν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί ςτο 1 ο τεταρτθμόριο: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). ΑΣΚΗΣΗ 10 θ Να υπολογιςκοφν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αρικμοί: i. θμ150 ο = ii. ςυν10 ο = iii. εφ135 ο = iv. ςφ10 ο = v. εφ40 ο = vi. θμ5 ο = vii. θμ(-30 ο )= viii. ςυν(-45 ο )= ix. εφ(-60 ο )= (Υπ. Τισ παραπάνω μοίρεσ να τισ γράψεισ ωσ άκροιςμα ι διαφορά με τισ 180 ο, π.χ. 150 ο =180 ο -30 ο και 10 ο =180 ο +30 ο ) Σελίδα 1
13 ΑΣΚΗΣΗ 11 θ Να υπολογιςκοφν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αρικμοί: i. θμπ/3= ( - ) ( ) ii. ςυν3π/4= iii. εφ5π/6= iv. ςφ4π/3= v. εφ5π/4= vi. θμ7π/6= Θυμιςου ότι θμ(π-φ)= θμφ αφοφ το π-φ ςε οδθγεί ςτο ο τεταρ. όπου το θμ 0 vii. θμ(-5π/4)= -θμ5π/4= -θμ( + )= -θμ( + )= viii. ix. - (-θμπ/4)= θμπ/4= ςυν(-3π/4)= εφ(-5π/6)= Θυμιςου ότι θμ(-φ)=- θμφ αφοφ το -φ ςε οδθγεί ςτο 4 ο τεταρ. όπου το θμ 0 αλλά και το θμ(π+φ)=-θμφ αφοφ το π+φ ςε οδθγεί ςτο 3 ο τετ. όπου θμ 0 (Υπ. Τα παραπάνω ακτίνια να τα γράψεισ ωσ άκροιςμα ι διαφορά με το π, π.χ. = - = και = + = ) ΑΣΚΗΣΗ 1 θ Να υπολογιςκοφν οι τιμζσ των παραςτάςεων: i. Α= ii. Β= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) αν φ= αν φ= Θυμιςου ότι ςυν( 3π -φ)=-θμφ αφοφ το 3π -φ ςε οδθγεί ςτο 3ο τεταρ. όπου το ςυν 0 ΡΟΣΟΧΗ: όποτε ζχω π 3π i. Α= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΛΥΣΗ αν φ= ( ), ( ) ( ) -θμφ, ( ) Αλλάηει ο τριγωνομετρικόσ αρικμ. ( ), ( ) ΑΡΑ: Α= ( ) ( ) ( ) ii. Ομοίωσ. Σελίδα 13
14 ΑΣΚΗΣΗ 13 θ Δίνεται ότι 90 ο <φ<180 ο και θμφ=.να υπολογιςτοφν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αρικμοί. ΛΥΣΗ 90 ο <φ<180 ο { ( ) Είναι γνωςτό ότι ςφφ =, εφφ δθλ. το αντίςτροφο τθσ εφφ. 1 ΑΣΚΗΣΗ 14 θ Δίνεται ότι 180 ο <φ<70 ο και ςυνφ= οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αρικμοί. ΑΣΚΗΣΗ 15 θ Δίνεται ότι 70 ο <φ<360 ο και θμφ= οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αρικμοί..να υπολογιςτοφν.να υπολογιςτοφν ΑΣΚΗΣΗ 16 θ Δίνεται ότι 0 ο <φ<90 ο και ςυνφ=.να υπολογιςτοφν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αρικμοί. Σελίδα 14
15 ΑΣΚΗΣΗ 17 θ Δίνεται ότι 90 ο <φ<180 ο και εφφ=.να υπολογιςτοφν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αρικμοί. 90 ο <φ<180 ο { ΛΥΣΗ Ράντα ξεκινάμε με τθν ςχζςθ ημ φ συν φ 1 και διαιροφμε με το ςυνφ για να εμφανιςκεί θ εφφ που είναι γνωςτι. ( ) ( ) Είναι γνωςτό ότι ςφφ =, εφφ δθλ. το αντίςτροφο τθσ εφφ. 1 ΑΣΚΗΣΗ 18 θ Δίνεται ότι 180 ο <φ<70 ο και ςφφ=.να υπολογιςτοφν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αρικμοί. Σελίδα 15
16 ΑΣΚΗΣΗ 19 θ ταυτότθτεσ: Να αποδειχκοφν οι παρακάτω τριγωνομετρικζσ i. ( ) ( ) ii. iii. Ράντα ξεκινάμε από το πιο ςφνκετο μζλοσ iv. ( ) ( ) ΛΥΣΗ i. 1 ο μζλοσ=( ) ( ) = θμα.ςυνα θμα.ςυνα= 5.( + )=5.1=5= ο μζλοσ ii. 1 ο μζλοσ= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ο μζλοσ. Σελίδα 16
17 ΑΣΚΗΣΗ 19 θ ταυτότθτεσ: Να αποδειχκοφν οι παρακάτω τριγωνομετρικζσ i. ii. 1 ημ θ - 1 εφ θ 1 1 συνα - συνα 1 + ημα = εφα Και μερικζσ δφςκολεσ αςκιςεισ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΑ ΟΙΣΜΟΙ ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΩΝ ΑΙΘΜΩΝ Α) Ερωτιςεισ Σωςτοφ (Σ) - Λάκουσ (Λ) i. H γωνία με μζτρο 3π ζχει τθν ίδια τελικι πλευρά με τθν γωνία - π. ii. Η γωνία με μζτρο 60 ο ζχει τθν ίδια τελικι πλευρά με τθν γωνία - 40 ο iii. Αν ω < 0 τότε θμω < 0. iv. Το θμ750 ο είναι κετικόσ αρικμόσ. v. Για οποιαδιποτε γωνία ω ιςχφει θμω> 1. Β) Ερωτιςεισ πολλαπλισ επιλογισ i. Το μζτρο τθσ γωνίασ κ = 40 ο ςε rad είναι: Α. π 5 Β. 3π 4 Γ. ii. Το μζτρο τθσ γωνίασ κ = π 9 7π 1 Δ. π 1 Ε. 3 ςε μοίρεσ είναι: Α. 100 Β. 105 ο Γ. 50 ο Δ. 00 ο Ε. 300 ο Σελίδα 17
18 iii. Αν θμx = λ λ - Τριγωνομετρικός κύκλος λ ο λ παίρνει τιμζσ: Α. λ 1 Β. λ > 1 Γ. λ = 1 Δ. λ < -1 iv. Αν ςυν x = λ λ IR ο λ παίρνει τιμζσ: λ + 1 Α. -1 λ 1 Β. λ > Γ. λ 0 Δ. λ < -1 v. Η μεγίςτθ τιμι τθσ παράςταςθσ Κ = 3ςυνκ + θμκ είναι: Α. 4 Β. -4 Γ. 3 Δ. 0 Ε. -3. Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 θ Να βρεκοφν πάνω ςτο τριγωνομετρικό κφκλο: Τα ςθμεία που ορίηονται από τθν τελικι πλευρά τθσ γωνίασ i) π 3 + Κπ, ii) - π 4 + Kπ π, iii) 3 + Κπ 6 Κ Ζ. ΑΣΚΗΣΗ θ Για κάκε γωνία κ να βρείτε τισ τιμζσ που παίρνουν οι παραςτάςεισ: Α = 3 - θμκ, Β = θμκ - 5ςυνκ, Γ = θμ κ + 3ςυνκ Δ = 3 ςυν κ - 4. ΑΣΚΗΣΗ3 θ Nα βρείτε το πρόςθμο των παρακάτω τριγωνομετρικϊν αρικμϊν: i) θμ550 ο, ii) ςυν80 ο, iii) εφ(-1000 ο ), iv) ςυν(-300 ο ). Σελίδα 18
19 ΑΣΚΗΣΗ 4 θ Αν π < κ < παραςτάςεων: Τριγωνομετρικός κύκλος 3π Α= εφκ - θμκ - ςυνκ, Β = να βρείτε το πρόςθμο των ημθ - εφθ συνθ - σφθ. ΑΣΚΗΣΗ 5 θ Να βρείτε το πρόςθμο των παραςτάςεων: Α = - συν100 εφ780, Β = ημ4000 εφ00 συν5000 Γ ΑΣΚΗΣΗ 6 θ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Γ = 30 ο. Φζρουμε το φψοσ ΑΔ, αν ΒΔ = 1cm, ΔΓ = 3cm να βρεισ τθν περίμετρο του ΑΒΓ. Γ ΑΒΓ ΑΣΚΗΣΗ 7 θ Δίνεται τρίγωνο με B = 8 ο, Γ = 50 ο. Φζρουμε το φψοσ ΑΔ, αν ΔΓ = 8cm να βρείτε τθν πλευρά ΑΒ. ΑΣΚΗΣΗ 8 θ Σε ζνα κφκλο με κζντρο Ο και ακτίνα R να εγγράψετε ζνα ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Εςτω Μ το μζςο τθσ ΒΓ. Να δείξετε ότι: i) ΒΓ = RθμΑ, ii) ΑΜ = R (1 + ςυνα). ΑΣΚΗΣΗ 9 θ Ενασ ηωγράφοσ παρατθρεί άγαλμα φψουσ 4,70m και βρίςκεται ςε απόςταςθ 8m από αυτό. Αν το φψοσ του ηωγράφου είναι 1,70m να βρείτε το μζτρο τθσ γωνίασ ω υπό τθν οποία ο ηωγράφοσ βλζπει το άγαλμα. ΑΣΚΗΣΗ 10 θ Να υπολογίςετε τισ τιμζσ των παραςτάςεων: π - εφπ Α = 3θμ - 4(ςυνπ - 5θμπ) + ημ 3π. Σελίδα 19
20 ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Α) Ερωτιςεισ Σωςτοφ (Σ) - Λάκουσ (Λ) i. Αν θμω = 0 τότε ςυνω = 0. ii. Αν θμω = 1 τότε ςυνω = 0. iii. Αν θμω = 0 τότε ςυνω = 1 ι ςυνω = -1. iv. Αν εφω = v. Αν εφω = 5 4 τότε ςφω = α α τότε ςυνω = 1 + α. vi. Αν θμω = 1 τότε ςυνω = 3. vii. Αν θμω < 0 και ςυνω < 0 τότε εφω < 0. viii. Για κάκε γωνία ω ιςχφει ςυν ω = ix. Για κάκε γωνία ω ιςχφει ςυν ω = 1 1+ εφ 1 1+ σφ ω. ω. Σελίδα 0
21 Β) Ερωτιςεισ πολλαπλισ επιλογισ i. Αν x = ςυνκ και y = 3θμκ τότε ιςχφει: y Α. x + 9 = 1, y Β. x - 9 = 1, y Γ. x + 3 = 1, Δ. x - y = 3. ii.αν x = 3θμκ και y = 4ςυνκ τότε ιςχφει: x y x y Α. - = 1, Β. + = 1, Γ. 9x y = 1, Δ. x - y = 1. iii. H παράςταςθ Α = θμ 3 x ςυνx + ςυν 3 xθμx είναι ίςθ με: Α. θμx, Β. ςυνx, Γ. θμxςυνx, Δ. εφx iv. H παράςταςθ Α = ςφx ςυνxθμx είναι ίςθ με: Α. θμx Β. θμ x Γ. ςυνx Δ. ςυν x v. Αν θμx = ο < x < 70 ο τότε ςυνx είναι ίςο με: Α. 4 5, Β. 5 4, Γ , Δ vi. Αν 0 < x < π και θμx + ςυνx = θμ 3 x + ςυν 3 x είναι: Α. 8 8 Β. Γ Δ Ε θ τιμι τθσ παράςταςθσ Σελίδα 1
22 π vii. Αν 0 < x < θμx + ςυνx είναι: και θμxςυνx = 5 8 θ τιμι τθσ παράςταςθσ Α. 1, Β. 3, Γ., Δ. 3 8,Ε Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 ΑΣΚΗΣΗ 1 θ Αν ςφx - και 3 παράςταςθ A = 1 + ημxσυνx 1 + ημx 3π < x < π να υπολογίςετε τθν π ΑΣΚΗΣΗ θ Αν 9εφ x = 4 και < x < π να υπολογίςετε τθν εφx παράςταςθ A = 1 - ημx + εφx 1 + ημx.. ΑΣΚΗΣΗ 3 θ Να αποδειχκοφν οι παρακάτω ιςότθτεσ: α) ςυν 4 x - θμ 4 x = ςυν x - θμ x = ςυν x - 1 = 1 - θμ x β) (θμx + ςυνx) = 1 + θμx ςυνx. γ) θμ 4 x + ςυν 4 x = 1 - θμ xςυν x δ) θμ 6 x + ςυν 6 x = 1-3θμ xςυν x. ΑΣΚΗΣΗ 4 θ Να αποδειχκοφν οι παρακάτω ιςότθτεσ: α) εφα + σφβ εφβ + σφα = εφα εφβ β) (1 + εφ α) (1 - ςυν α) = εφ α γ) (θμα + εφα) (ςυνα + ςφα) = (1 + θμα) (1 + ςυνα) Σελίδα
23 ΑΣΚΗΣΗ 5 θ Να δείξετε ότι: Τριγωνομετρικός κύκλος α) 1 ημ θ - 1 εφ θ 1 β) εφ κ - θμ κ = εφ κ θμ κ γ) σφθ 1 + σφθ + εφθ 1 + εφθ 1 δ) εφ θ εφ θ + σφ θ εφ θ ε) 1 + ημθ - συνθ 1 + ημθ + συνθ ημθ + συνθ 1 + ημθ - συνθ ημθ. ΑΣΚΗΣΗ 6 θ Αν 0 < x < π να δείξετε ότι: α) 1 + ημx ημx 1 + ημx ημx = 1 + συνx ημx β) 1 + ημx 1 - ημx ημx 1 + ημx = εφx. ΑΣΚΗΣΗ 7 θ Να δείξετε ότι: 4 α) ημ x + 4συν x = - ημ x β) ημ x + 4συν x + συν x + 4ημ x = Σελίδα 3
24 ΑΣΚΗΣΗ 8 θ Εςτω f(x) = 3 (θμ 4 x +ςυν 4 x) - (θμ 6 x + ςυν 6 x) με x R. Nα δείξετε ότι θ f(x) είναι ςτακερι. ΑΣΚΗΣΗ 9 θ Αν είναι x = θμκ - ςυνκ το x ωσ ςυνάρτθςθ του y. και y = εφκ + ςφκ να βρείτε ΑΣΚΗΣΗ 10 θ Αν θμx + ςυνx = α του α οι παραςτάςεισ: να υπολογιςτοφν ωσ ςυνάρτθςθ Α. θμx ςυνx, Β. θμ 4 x + ςυν 4 x, Γ. θμ 3 x + ςυν 3 x, Δ. θμ 6 x + ςυν 6 x. ΑΣΚΗΣΗ 11 θ Δίνεται θ ςυνάρτθςθ : f(x) = (αςυνx - βθμx) +(αθμx+ βςυνx) f(x) είναι ςτακερι. με x ΙR. Να δείξετε ότι θ ΑΣΚΗΣΗ 1 θ Αν για τθ γωνία κ ιςχφει 4θμκ + 3ςυνκ = 5 i) Να δείξετε ότι εφκ = 4 3 ii) Να δείξετε ότι εφθ 1 + σφθ + εφθ 1 + εφθ = 4 3 ΑΣΚΗΣΗ 13 θ Να βρεκοφν οι τιμζσ του κ ϊςτε να ιςχφει θμω = κ - κ + και ςυνω = κ κ +. ΑΣΚΗΣΗ 14 θ Για κάκε γωνία x να αποδείξετε ότι: α) θμx ςυνx 1, β) θμx + ςυνx, γ) θμ 4 x + ςυν 4 x 1, δ) θμ x - 3θμx + 3 > 0 ςτ) θμx + ςυνx>1 με 0<x < π. Σελίδα 4
25 ΑΣΚΗΣΗ 15 θ Δίνεται θ εξίςωςθ x - x - εφ κ = 0, ςυνκ 0. i) Να δείξετε ότι θ εξίςωςθ ζχει ρίηεσ πραγματικζσ και άνιςεσ, οι οποίεσ να βρεκοφν. ii) Αν x 1, x οι ρίηεσ τθσ εξίςωςθσ να υπολογίςετε τθν τιμι τθσ A = παράςταςθσ x - x 1 1. iii) Αν f(x) = x x - 1 να δείξετε ότι f(x 1 ) f(x ) = - εφ κ θμ κ. ΑΣΚΗΣΗ 16 θ Δίνεται θ εξίςωςθ x - x θμκ - ςυν κ = 0. i) Να λφςετε τθν εξίςωςθ. ii) Αν x 1, x οι ρίηεσ τθσ εξίςωςθσ να αποδείξετε ότι : x 1 + x 4. iii) Να υπολογίςετε τθν παράςταςθ 1 x + 1 x 1. ΑΣΚΗΣΗ 17 θ Δίνεται θ εξίςωςθ x - (λ + 1)x + λ = 0 βρείτε το λ ϊςτε θ εξίςωςθ να ζχει ρίηεσ: α) ρ 1 = θμκ, ρ = ςυνκ β) ρ 1 = εφκ, ρ = ςφκ. ΑΣΚΗΣΗ 18 θ Αν είναι θμx + ςυνx = α με 0 < x < Α = θμx + ςυνx + θμ 3 x + ςυν 3 x + θμ 4 x + ςυν 4 x τότε: i) Να βρείτε τι τιμζσ παίρνει ο α. π και ii) Να βρείτε τθν παράςταςθ Α ωσ ςυνάρτθςθ του α. iii) Να βρείτε τθν τιμι τθσ παράςταςθσ Α για x = λ ΙR. Να π 4. Σελίδα 5
26 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΤΗΜΟΙΟ Α) Ερωτιςεισ Σωςτοφ (Σ) - Λάκουσ (Λ) i. Αν Α, Β, Γ γωνίεσ τριγϊνου ιςχφουν: α. θμ(α + Β) = - θμγ A β. ςυν + B Γ = θμ γ. ςυν (Α + Β) = - ςυνγ A δ. εφ + B Γ = - ςφ ε. εφ(β + Γ) = εφα ςτ. ςφ(β + Γ) = - ςφα ii. ιςχφει θμ600 ο = -ςυν30 ο iii. ιςχφει θμ(180 ο + ω) = θμω iv. ιςχφει ςυν(360 ο - ω) = ςυνω v. ιςχφει εφ(90 ο + ω) = - ςφω vi. ιςχφει ςφ(70 ο + ω) = - ςφω vii. ιςχφει θμ(90 ο - ω) = - ςυνω viii. ιςχφει ςυν(70 ο + ω) = θμω ix. ιςχφει ςφ(70 ο - ω) = εφω x. ιςχφει θμ 50 ο + θμ 40 ο = 1 xi. ιςχφει θμ 70 ο + θμ 0 ο = 1 xii. ιςχφει ςυν 80 ο + ςυν 170 ο = 1 Σελίδα 6
27 Β) Ερωτιςεισ πολλαπλισ επιλογισ i. Το ςυν(180 + ω) είναι ίςο με: Α. ςυνω Β. - ςυνω Γ. θμω Δ. - θμω ii.η εφ(90 + ω) είναι ίςθ με: Α. - εφω Β. ςφω Γ.- ςφω Δ. εφω iii. Η ςφ(360 + ω) είναι ίςθ με: Α. - εφω Β. εφω Γ. - ςφω Δ. ςφω 3π iv.το θμ + ω είναι ίςο με: Α. - ςυνω Β. ςυνω Γ. θμω Δ. - θμω 3π v.το ςυν - ω είναι ίςο με: Α. - θμω Β. θμω Γ. ςυνω Δ. - ςυνω 15π vi.το ςυν + ω είναι ίςο με: Α. θμω Β. ςυνω Γ. - θμω Δ. - ςυνω 19π vii.h εφ - ω είναι ίςθ με: Α. - ςφω Β. ςφω Γ. εφω Δ. - εφω 1π viii.το θμ + ω είναι ίςο με: Α. -θμω Β. θμω Γ. - ςυνω Δ. ςυνω Σελίδα 7
28 ix. Αν Α, Β, Γ γωνίεσ τριγϊνου τότε: α) Το θμ(β + Γ) είναι ίςο με: Α. - ςυνα Β. ςυνα Γ. - θμα Δ. θμα A β) Το ςυν + B είναι ίςο με: Α. θμ Γ Β. - θμ Γ Γ. ςυν Γ Δ. - ςυν Γ B γ) Η εφ + Γ είναι ίςθ με: Α. εφ A Β. - ςφ A Γ. - εφ A Δ. ςφ A Γ δ) Η ςφ + Α είναι ίςθ με: Α. ςφ B Β. - εφ B Γ. εφ B Δ. - ςφ B. x. H παράςταςθ ςυν ω + ςυν π - ω είναι ίςθ με: Α. ςυν ω Β.0 Γ.1 Δ. Ε. θμ ω xi. π H παράςταςθ ςυν 4 + x π - θμ 4 - x είναι ίςθ με: Α. θμx Β.ςυνx Γ.- Δ.0 Ε. Σελίδα 8
29 xii. Τριγωνομετρικός κύκλος π ημ(π + θ) ημ + θ H παράςταςθ συν (π - θ) συν(π + θ) είναι ίςθ με: Α. 1 Β. -1 Γ. ςφκ Δ.- ςφκ Ε. εφκ xiii. H παράςταςθ: π ςυνx +ςυν + x + ςυν(π + x) + ςυν 3π + x είναι ίςθ με: Α. 0 Β. 1 Γ. -1 Δ. θμx Ε. ςυνx ΑΣΚΗΣΗ 1 θ 187π 6 Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεκοφν οι τριγωνομετρικοί αρικμοί των γωνιϊν:, 04π 4, 105π 3. ΑΣΚΗΣΗ θ Να βρεκοφν οι τριγωνομετρικοί αρικμοί των γωνιϊν: ο, 50 ο, ο. ΑΣΚΗΣΗ 3 θ ι. ημ 71π 4 Να υπολογίςετε τα:, ιι) συν - 5π 3, ιιι) εφ 41π 6 Σελίδα 9
30 ΑΣΚΗΣΗ 4 θ A = B = Να απλοποιιςετε τισ παραςτάςεισ: 3π συν (π + x) συν - x συν(π - x) ημ(π - x) ημ x - 3π 3 συν π- x εφ x - π συν x - 3π 3 3, Γ = π ημ - x ημ (- x) συν(- x) συν(π - x). ΑΣΚΗΣΗ 5 θ Να υπολογιςτοφν οι τιμζσ των παραςτάςεων: Α = θμ - 14π 3 + ςφ - 9π 4 3π - εφ Β = 6ςυν - 3π 6 8π + ςφ 4 - εφ 16π 3-1. ΑΣΚΗΣΗ 6 θ π Αν θμ 4 + x π + θμ 4 - x = κ να αποδείξετε ότι: π ςυν 4 - x ςυν π 4 + x κ - 1 =. Σελίδα 30
31 π ΑΣΚΗΣΗ 7 θ Αν εφ 4 - α π + εφ 4 + α = 3 να βρείτε τισ τιμζσ των παραςτάςεων: π i) εφ 4 - α εφ π 4 + α ii) εφ π 4 - α + εφ π 4 + α. ΑΣΚΗΣΗ 8 θ παραςτάςεισ: i) ςυν π Αν θμ 4 + α + θμ π 4 + α +ςυν π 4 - α π 4 - α 3 = να υπολογίςετε τισ ii) π ςυν 4 + α ςυν π 4 - α. ΑΣΚΗΣΗ 9 θ Να δείξετε ότι οι παραςτάςεισ: Α = ςυν(x + 40 ο ) + ςυν(x ο ) + ςυν(x +0 ο ) + ςυν(x +310 ο ) π B = ςυν + x ςυν(π - x) *εφ (π +x) + εφ 3π - x ]. 7π Γ = θμ - x θμ(π - x) + θμ(3π +x) θμ 3π + x είναι ανεξάρτθτεσ του x. Σελίδα 31
32 ΑΣΚΗΣΗ 10 θ Τριγωνομετρικός κύκλος π Αν εφ 3 - x + εφ τθν τιμι τθσ παράςταςθσ Α = εφ π 6 + x = 4 να υπολογίςετε π 3 - x + εφ π 6 + x. ΑΣΚΗΣΗ 11 θ Να βρεκοφν οι τιμζσ του θμ κπ 3 όταν κ ακζραιοσ. ΑΣΚΗΣΗ 1 θ Να αποδειχκεί ότι: i) 0 < εφ (π +x) εφx - σφ(π -x) < 1 ii) 0 < σφ (π +x) σφ (5π +x) + εφ(x - π) < 1 ΑΣΚΗΣΗ 13 θ Σε ζνα τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι γωνίεσ του είναι ανάλογεσ των αρικμϊν, 3, 4 και 15 αντίςτοιχα. i) Να βρείτε τα μζτρα των γωνιϊν Α, Β, Γ, Δ. ii) Να δείξετε ότι: α. 3εφΑ - εφ(-β) - εφγ + εφ(-α) = 0 β. θμα + ςυν (-Β) - ςυν(-γ) - θμ (-Δ) = 0 ΑΣΚΗΣΗ 14 θ π Δίνεται ότι θμ 1 = 6-4. i) Να υπολογίςετε τουσ ςυν π π 1, εφ 1 ii) Να υπολογίςετε τουσ θμ 5π 5π 1, ςυν 1 Σελίδα 3
33 iii) iv) Να υπολογίςετε το θμ Να υπολογίςετε το θμ 11π 1 13π 1 v) Μπορείτε να υπολογίςετε το θμ 7π 1. (Διάρκεια: 1 ϊρα) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 θ Α. Να βρείτε το ςυνθμίτονο των γωνιϊν: i) 300 ο ii) -40 ο iii) 10 ο (15 μονάδεσ) Β. Αν ςυν π 5 = να βρείτε το ςυν 4π 5. ΑΣΚΗΣΗ θ (10 μονάδεσ) π Α. Δίνεται ότι θμ 4 - x + θμ π 4 + x = κ. π i) Δείξτε ότι θμ 4 - x = ςυν π ii) Δείξτε ότι ςυν 4 - x ςυν π 4 + x. π 4 + x κ - 1 =. (8 μονάδεσ) (7 μονάδεσ) Σελίδα 33
34 π Β. Αν θμ 1 = 6-4 υπολόγιςε το ςυν 13π 1. (10 μονάδεσ) ΑΣΚΗΣΗ 3 θ Α. Να απλοποιιςετε τθν παράςταςθ: A = εφ 3π - θ συν π + θ ημ π - θ σφθ ημ(π + θ) ημ(15π + θ) (10 μονάδεσ) Β. Να δείξετε ότι θ παράςταςθ: 7π Α = θμ - x θμ (π - x) + θμ(3π +x) θμ είναι ανεξάρτθτθ του x. 3π + x (15 μονάδεσ) ΑΣΚΗΣΗ 4 θ π Α. Η παράςταςθ θμ - x + ςυν(π +x) + ςυν x - π είναι ίςθ με: Α. 0 Β. 1 Γ. θμx Δ. ςυνx Ε. -1. (10 μονάδεσ) Β. Να αποδείξετε ότι 0 < εφ (π +x) εφx - σφ(π -x) < 1 (15 μονάδεσ) Σελίδα 34
35 Σελίδα 35
Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ
Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο
Διαβάστε περισσότερα8 τριγωνομετρία. βαςικζσ ζννοιεσ. γ ςφω. εφω και γ. κεφάλαιο
κεφάλαιο 8 τριγωνομετρία Α βαςικζσ ζννοιεσ τθν τριγωνομετρία χρθςιμοποιοφμε τουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ, οι οποίοι ορίηονται ωσ εξισ: θμω = απζναντι κάκετθ πλευρά υποτείνουςα Γ ςυνω = εφω = προςκείμενθ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α = 90 ο, κάθετες πλευρές β, γ και οξεία γωνία ω. απέναντι κάθετη Ορίζουμε, ημω = υποτείνουσα συνω = προσκείμενη
Διαβάστε περισσότερα1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία
0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία
Διαβάστε περισσότερα1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο Είναι γνωστό ότι: ( ΑΒ) ηµ Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΓ) συν Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΒ) εφ Γ= ( ΑΓ ) ( ΑΓ)
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί
Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο
Τριγωνομετρία Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Να προσέχεις: ημ(-x)= - ημx εφ(-x)= - εφx σφ(-x)= - σφx συν(-x)= συνx να θυμάμαι όταν έχω - συνx γράφω συν(π-x) δηλαδή συν(π-x)= - συν x ημ(π-x)=ημx δηλαδή ημ10=ημ60
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών
ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές
Διαβάστε περισσότεραΒ Γενική Τριγωνομετρία
Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 78 Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1ο ΣΧΕ ΙΟ Η γενικευµένη γωνία Το ηµίτονο και το συνηµίτονό της ιάρκεια: Ολιγόλεπτο Θέµατα: ΘΕΜΑ 1ο 8 µονάδες 1. Με βάση το
Διαβάστε περισσότερα1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία
.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν π 18 συνπ 9 - ηµ π. 18 ηµπ 9. β) συν18 ο συν27 ο - ηµ18 ο ηµ27 ο
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 18 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί που συνδέονται µε τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου 1. α) Με βάση το διπλανό σχήµα να χαρακτηρίσετε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 14 ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ Η ΕΡΓΑΣΙΑ. Ημερομηνία παράδοςησ: 12 Νοεμβρίου (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 10 μονάδεσ θ κάκε μία)
ΦΥΕ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 007-008 Η ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία παράδοςησ: Νοεμβρίου 007 (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 0 μονάδεσ θ κάκε μία) Άςκηςη α) Να υπολογιςκεί θ προβολι του πάνω ςτο διάνυςμα όταν: (.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί
Διαβάστε περισσότεραΔ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ
Υπολογισμός παραστάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 6 6 4 δ) ε) 4 6 4. Να υπολογίσετε τις τιμές των
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες
Διαβάστε περισσότεραΓ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ
Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια
Διαβάστε περισσότερα3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ
TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο
Αµυραδάκη, Νίκαια (1-493576) ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 1 Α1. Έστω P(x) ένα πολυώνυµο του x και p ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(χ) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί
Διαβάστε περισσότερα1. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διότι για κάκε x θ f(x) δίνει πραγματικό αρικμό.
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΙΚΟΤΜΕ ΣΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΜΟΤ ΤΝΑΡΣΗΗ Για να οριςκεί μια ςυνάρτθςθ πρζπει να δοκοφν δφο ςτοιχεία : Σο πεδίο οριςμοφ τθσ Α και Η τιμι τθσ f() για κάκε Α. Οριςμζνεσ φορζσ μασ δίνουν μόνο τον
Διαβάστε περισσότεραα) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνεσ δφο ςυηυγϊν μιγαδικϊν είναι ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον πραγματικό άξονα
ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΤΣΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΤ ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΤΝΟΛΟ ΕΛΙΔΩΝ: ΣΕΕΡΙ A. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f θ
Διαβάστε περισσότεραΗ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f(x)=αx+β είναι μια ευκεία με εξίςωςθ y=αx+β θ οποία τζμνει τον άξονα των y ςτο ςθμείο Β(0,β) και ζχει κλίςθ λ=α.
ε καρτεςιανό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων Οxy δίνεται ευκεία ε. Σί ονομάηουμε : α) γωνία που ςχθματίηει θ ευκεία ε με τον άξονα xϋx; β) ςυντελεςτι διευκφνςεωσ τθσ ευκείασ ε; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Παρατιρθςθ β) Παρατιρθςθ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε
Διαβάστε περισσότερα3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 6 6 A OΜΑ ΑΣ. Αν ηµ και π <
Διαβάστε περισσότερα3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας
. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας αέναντι κάθετη λευρά ημβ υοτείνουσα ημγ ΑB ροσκε ίμενη κάθετη λευρά συνβ υοτείνουσα συνγ αέναντι κάθετη λευρά εφβ ροσκε ίμενη κάθετη
Διαβάστε περισσότεραΤριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος
Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ
.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες : ηµ ω + συν ω εφω συνω ΣΧΟΛΙΑ. Χρησιµότητα των τύπων : Ξέρω έναν τριγωνοµετρικό αριθµό και βρίσκω τους
Διαβάστε περισσότεραlim x και lim f(β) f(β). (β > 0)
. Δίνεται θ παραγωγίςιμθ ςτο * α, β + ( 0 < α < β ) ςυνάρτθςθ f για τθν οποία ιςχφουν: f(α) lim (-) a και lim ( f(β)) = Να δείξετε ότι: α. f(α) < α και f(β) > β β. Αν g() = τότε θ C f και C g ζχουν ζνα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1β: Ισότητα - Εξίσωση ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου Ενότητα 1β: Ισότητα - Εξίσωση Συγγραφή:
Διαβάστε περισσότεραΤ α Μ α θ η μ α τ ι κ ά τ η σ. Β ϋ Γ υ μ ν α ς ί ο υ. Θ ε ω ρ ε ί α & Α ς κ ή ς ε ι σ ς τ η Γ ε ω μ ε τ ρ ί α
Τ α Μ α θ η μ α τ ι κ ά τ η σ Β ϋ Γ υ μ ν α ς ί ο υ Θ ε ω ρ ε ί α & Α ς κ ή ς ε ι σ ς τ η Γ ε ω μ ε τ ρ ί α Σ χ ο λ ι κ ό Ζ τ ο σ 2 0 1 5 2 0 1 6 Τςατςαρϊνησ Δημήτριοσ ΠΕ03 Μθηματικόσ Μονάδεσ μζτρηςησ
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται
Διαβάστε περισσότερα3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ έ _ ά ί ί _ ά ί έ _ ά ί _ ά ί _ ά έ _ ά ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΥΧΑΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ y y y όπου η απόσταση του
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ
Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΝΟΣ ΔΟΥΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ
ΜΑΝΟΣ ΔΟΥΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.. Να συμπληρώσετε τα κενά : i) (α μ ) ν = ii) (κ.λ) ν = iii) α μ.α ν = iv) α μ : α ν =. v) (α : β) ν =.. vi) α -ν = a vii)... viii) a...
Διαβάστε περισσότερα1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία
1.0 Βασικές Έννιες στην Τριγωνμετρία 1 η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις όπυ θέλυμε να βρύμε στιχεία ενός γεωμετρικύ σχήματς 1. Στ διπλανό σχήμα να απδείξετε ότι: ΒΓ υ εφω + εφθ. Τ τρίγων ΑΔΒ είναι ρθγώνι στ Δ,
Διαβάστε περισσότερα1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =
Διαβάστε περισσότεραΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΤ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν
Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 16950 16954
Διαβάστε περισσότεραΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ. f y x y f A αντιςτοιχίηεται ςτο μοναδικό x A για το οποίο. Παρατθριςεισ Ιδιότθτεσ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ 1. Η. f A τθσ f.
.. Αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ Ζςτω θ ςυνάρτθςθ : A θ οποία είναι " ". Τότε ορίηεται μια νζα ςυνάρτθςθ, θ μζςω τθσ οποίασ το κάκε ιςχφει y. : A με Η νζα αυτι ςυνάρτθςθ λζγεται αντίςτροφθ τθσ. y y A αντιςτοιχίηεται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση
Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 00-08 α φάση Συναρτήσεις Θεωρούμε τη συνάρτηση Α, 6 wwwaskisopolisgr f κ, με 4,4 και κ η οποία διέρχεται από το σημείο και τμήμα της γραφικής της παράστασης φαίνεται
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας
7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω Αν πάνω στη µία από τις δύο πλευρές της γωνίας
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);
8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΜέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3
Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος
8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΗμερομηνία: Πέμπτη 29 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 8//06 ΕΩΣ 0/0/06 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ημερομηνία: Πέμτη 9 Δεκεμβρίου 06 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A. Να αοδείξετε ότι ημ ω συν ω Α. Να δώσετε τον ορισμό της εριοδικής
Διαβάστε περισσότεραΕ. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4
Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μορφές: Α. ηµ x, συνx, εφx, σφx. Β. ηµ x συνx, εφx σφx. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ηµ x ( συνx + ) (συν x 3)εφx ηµ 3 x ηµ x συν x 3 3 3 x σφ x εφx óõí çì x 3 3 3εφ x
Διαβάστε περισσότεραΑν η ςυνάρτηςη ƒ είναι ςυνεχήσ ςτο να προςδιορίςετε το α.
1 AΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογιςθοφν τα παρακάτω όρια Ι. ΙΙ. ΙΙΙ. Ιν. ν. νι. νιι. νιιι. 2. Να βρεθοφν τα όρια Ι. ΙΙ. 3. Αν ƒ(χ)= α. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ Β. Να βρείτε τα όρια Ι. ΙΙ. 4. Δίνεται η ςυνάρτηςη
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία από το σχολικό βιβλίο σελίδα 60. Α. α) Θεωρία από το σχολικό βιβλίο σελίδα 3. β) Θεωρία από το σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 1. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 8cm και η γωνία Β = 64 0. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΓ. 2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 9cm και εφγ
Διαβάστε περισσότεραΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)
ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.
Διαβάστε περισσότεραΝίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις
Νίκος Ζανταρίδης ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας Λυμένες Ασκήσεις Προτεινόμενες Ασκήσεις Αύγουστος 04 Πρόλογος Στο μικρό αρόν όνημα καταβλήθηκε
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να
Διαβάστε περισσότεραQwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq. wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty
Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑ.Λ. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop
Διαβάστε περισσότεραΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ
1 ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ.ΣΙΡΚΑ 8 και ΑΝΣΤΠΑ 30100 ΑΓΡΙΝΙΟ Email: nakosk@sch.gr Σηλ 64105400 κι.69749695 ΜΕΓΙΣΑ-ΕΛΑΧΙΣΑ ΧΩΡΙ ΠΑΡΑΓΩΓΟΤ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σα
Διαβάστε περισσότεραΤαυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"
Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (Γ ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας
1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (Γ ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 1 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος του Α είναι ίσο µε το µισό της λευράς ΒΓ. να αοδείξετε ότι ισχύει εφβ + εφγ εφβ εφγ και σφβ +
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ (1) Να ανάγετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς σε τριγωνομετρικούς αριθμούς οξειών γωνιών: α) 160 β) 135 γ) 150 δ) ( 120
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ 1. Χωρίς να λάβουμε υπόψη το πρόσημο: Αν οι δυο γωνιές έουν άθροισμα ή διαφορά, 18, 6 μοίρες τότε ο τριγωνομετρικός αριθμός δεν αλλάζει: ημ
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις. g x α β συν α β x, α,β 0. Αν οι. π π Α f g 3 4. α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f.
wwwaskisopolisgr Ασκήσεις 1 Δίνεται η συνάρτηση fx ημ x 5συνx 1 α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο π β) Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες γ) Να λύσετε την εξίσωση f x συν x 8 f
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ Λουκάσ Βλάχοσ Τμιμα Φυςικισ Α.Π.Θ. Θεςςαλονίκθ, 2014 Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςε άδειεσ χριςθσ
Διαβάστε περισσότερα1.3 Εσωτερικό Γινόμενο
1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό
Διαβάστε περισσότεραΗμερομηνία: Σάββατο 29 Δεκεμβρίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 29 Δεκεμβρίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1 Α2 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της
Διαβάστε περισσότεραΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008
ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας
Διαβάστε περισσότεραBbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {
ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=
Διαβάστε περισσότεραΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΓΡΑΠΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
μιας οξείας γωνίας; 0,5, 5 2,, 2 5 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90 ο ) δίνεται ότι Β=5 ο και 8 τις πλευρές ΑΓ και ΒΓ με προσέγγιση ενός δεκαδικού ψηφίου. (Δίνονται οι τιμές: ημ5 ο =0,57, συν5 ο =0,82, εφ5
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα
ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια
Διαβάστε περισσότερα0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2
Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.
α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραμε παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).
Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε
Διαβάστε περισσότεραΘΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι
Παράςταςη κινητήσ υποδιαςτολήσ ςφμφωνα με το πρότυπο ΙΕΕΕ Δρ. Χρήστος Ηλιούδης το πρότυπο ΙΕΕΕ 754 ζχει χρθςιμοποιθκεί ευρζωσ ςε πραγματικοφσ υπολογιςτζσ. Το πρότυπο αυτό κακορίηει δφο βαςικζσ μορφζσ κινθτισ
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι 3.1 έως και 3.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (παράγραφοι.1 έως και.5) Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: 1 1. 1. 1 1 1. 4. 1 1 1 5. 1 1 1 1 1 6. 1 7 Β. Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων:
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ IMC (Key Stage II) 9 Μαρτίου 2016 ΧΡΟΝΟΣ: 2 ΩΡΕΣ Λύςεισ : Πρόβλημα 1 (α) Να βρείτε τθν τιμι του για να ιςχφει θ πιο κάτω ςχζςθ: (β) Ο Ανδρζασ τελειϊνει
Διαβάστε περισσότερα1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 97.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 6 y Μ(x,y) ρ Ο ω x 1 Σ ε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 4 Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που
Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που είναι στερεωμένα με έντεκα καρφιά (Α, Β, Γ, Δ, Θ, Ε, Μ, Η, Κ, Λ,
Διαβάστε περισσότεραΕλευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)
Ελευθέρις Πρωταάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Να βρείτε την τιµή των αραστάσεων: o o συν 90 + ηµ 0 -σφ75 α) A =, ηµ o o 0 + συν 80
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε
Διαβάστε περισσότερα3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ
1.1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΓΩΝΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Για γωνία ω µε ο < ω < 9 ο ηµω = γ α = απέ ναντι κάθετη υποτείνουσα Β συνω = β α = προσκείµενη κάθετη υποτείνουσα εφω = γ β = απέ ναντι κάθετη προσκείµενη κάθετη
Διαβάστε περισσότεραΕ Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.
Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.
Διαβάστε περισσότεραΠαράςταςη ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1
Δρ. Χρήστος Ηλιούδης Θζματα διάλεξησ ΣΤ1 Προςθεςη αφαίρεςη ςτο ΣΤ1 2 ή ΣΤ1 Ονομάηουμε ςυμπλιρωμα ωσ προσ μειωμζνθ βάςθ R ενόσ μθ προςθμαςμζνου αρικμοφ Χ = ( Χ θ-1 Χ θ-2... Χ 0 ) R ζναν άλλον αρικμό Χ'
Διαβάστε περισσότεραδ) Αf=R-{ 2}=(-,-2)U(-2,2)U(2,+ ). f (x) f(x) ε) Αf=R- 3 =(-,- 3 )U(- 3, 3 )U( 3,+ ).
ΡΑΡΑΝΙΚΟΛΑΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ) Nα μελετιςετε ωσ προσ τθ μονοτονία τισ ςυναρτιςεισ: β) f ( ) α) f ( ) γ) f ( ) δ) Αf=R-{ }=(-,-)U(-,)U(,+ ) ( 4) ( 4) ( 4) fϋ()= ( 4) f ( ) δ) f ( ) ε)
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότερα1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R
1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Διαβάστε περισσότερα4. Πότε δφο ποςά ονομάηονται ανάλογα ; 5. Να ςυμπλθρϊςετε τα κενά ςτισ παρακάτω προτάςεισ i) θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ είναι
επιςτροφι ΘΕΩΡΙΑ 1. Ποια γωνία λζγεται εγγεγραμμζνθ ; 2. Ποια είναι θ ςχζςθ μεταξφ μιασ εγγεγραμμζνθσ γωνίασ και τθσ επίκεντρθσ που ζχουν το ίδιο αντίςτοιχο τόξο; 3. Να ςυμπλθρϊςετε τισ παρακάτω προτάςεισ
Διαβάστε περισσότερα