ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3.1 Α' ΟΜΑΔΑΣ. 1. Έχουμε: = -συνχ + ημχ+c. ii) j* * + x + ^dx = jxrfx+jidx + j"-?- & = + x + ln x\+c 2
|
|
- Παμφιλος Αθανασίου
- 9 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3.1 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε: i) (* 3 +ημτ+συνχ)<& = χ 3 ίώ^ \$xdx+ j συνχάχ χ 4 = -συνχ + ημχ+c ii) j* * + x + ^dx = jxrfx+jidx + j"-?- & x = + x + ln x\+c hi r iii) ^3x-jxdx = 'i^x 1 dx='i^ + c = x +c +1 iv) j^-^~-dx= jx dx + jxdx+j4dx x3 = +x 3 +4x+c v) [ f e x + <τυνχ jdx = fe'dx -3j + ^mnxdx - ί : x dx~ 3j j(ημχ)'ί& = e* -31η χ + -ίημχ +Γ.
2 3,1 "I συν * συν * -j-w- dx J συν χ vi) = εφ*+σφχ+c. f χ + 3 Γ x + + l Γιj Γ νιι) ι dx = dx = life + J x + j x x + J J = x+ln x + + c. J ημ nix χ dx dx x +. Επειδή J f\x)dx = f(x)+c, έχουμε διαδοχικά \ j=dx = f(x)+c J y/x 1 _l Jx 1 dx = f(x) + c = f (x) + c, f(x) = -Jx - c. Επειδή /(9) = 1, έχουμε -j9-c = l, οπότε c- 5. Επομένως /(*) = l Jx Επειδή J f"(x)dx = f'(x) + c, έχουμε διαδοχικά: J* 3c/xr = /'(x) + c, f\x) = 3x-c. Επειδή /'(1) = 6 έχουμε 3-c = 6, οπότε c = -3. Επομένως /'(*) = 3*+3. Επειδή J f\x)dx = /(x)+c, έχουμε διαδοχικά: j" (3JC + 3)c6c = f (x) + c 3 /(x) ~~^χ1 +3x-c. 3 Επειδή /(0) = 4 έχουμε c, = 4, οπότε c, = Επομένως /'(*) = +3x
3 3 j 4. Έχουμε διαδοχικά: jf"(x)dx = f'(x)+c J( Ix + )dx = f\x)+c Επειδή 4x 3 + X = /'(X) + C, /'(x) = 4x 3 +x-c. /'(1) = 3, έχουμε 4 + -c = 3, οπότε c = 3. Επομένως Επίσης έχουμε διαδοχικά /'(χ) = 4x 3 + x-3. J/'(x)<fr = /(x) + c, J(4x 3 +x-3)<& = /(x) + c, Χ 4 +x -3Χ = /(x) + c,, /(χ) = χ 4 +χ -3x-c,. Επειδή το Λ(1,1) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της/, έ- χουμε: /(1) = 1 <=> c, =1<=>C, =-. Επομένως /(χ) = χ 4 +x -3χ Επειδή N'(t) = ~ e 0» έχουμε διαδοχικά jn'(t)dt = N(t)+c f e" 0 dt J 0 = N(t) + c e" 0 = N(t)+c N(t) = e" 0 -c Επομένως, η αύξηση του πληθυσμού στα πρώτα 60 λεπτά, είναι ίση με: ν(60)~ ν(0) = (e 60 ' 0 -c)-(e -c) = e 3 1 = 19 εκατομ. 85
4 6. Αν Κ(χ) το κόστος, σε ευρώ, της εβδομαδιαίας παραγωγής χ, τότε Κ'(χ) = χ +5χ, οπότε έχουμε jk'(x)dx = K(x)+c ή οπότε J(x +5 x)dx = K(x)+c, Κ(χ) χ = * 3 Η χ 5 c. 3 Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ΑΓ(0) = 100, οπότε -c = 100 και άρα c = Επομένως, η συνάρτηση κόστους της ε- βδομαδιαίας παραγωγής είναι: χ 3 5χ Κ(χ) = w 3 7. Έχουμε διαδοχικά: jr'(t)dt = R(t)+c ^0+10/- i j j^ = i?(0 + c, Λ(/) = 0/+5ί ^/ 3 -c., 1 λ Προφανώς Λ(0) = 0, οπότε c- 0 και άρα R(t) = 0t+5t - t. 4 Επομένως τα βαρέλια που θα αντληθούν στους πρώτους 8 μήνες είναι: Λ(8) = = = 35χιλιάδες β' ομαδασ 1. Επειδή T'(t) = -kae' h, έχουμε διαδοχικά: J T\t)dt = T(t)+c j-kae~ h aj(e t 'Ydt dt =T(t)+c = T(t)+c, 86
5 T(t) = ae b -c. Επειδή Γ(0)+α και Τ(0) = αε~^-c = a-c, έχουμε Επομένως T 0 +a = a -coc = -T Q. T(t) = ae~ k> +Τ 0.. Έχουμε διαδοχικά jp'(x)dx = P(x) + c χ J 58e ~ dx = P(x) + c χ 5,8 (-000) j(e )'dx = P(x) + c P(x) = e 000 -c. To συνολικό κέρδος που οφείλεται στην αύξηση της επένδυσης από σε είναι: Ρ(6000)-/"(4000) = ^ -c e _ +c e-l N = 11600(e e ) = \ e / = ,086 = 997,6 χιλιάδες ευρώ = ευρώ 3. Έστω P(t) το κέρδος της εταιρείας στις πρώτες ί ημέρες. Τότε Ρ(ί) = Ε(ί)-Κ(ί), οπότε P'(t) = '(/) - Κ'(/) = , ,6t = ,91. Έτσι έχουμε διαδοχικά: \p'(t)dt =P(t) + c J(00 + 0,9t)dt=P{t) + c P(t) = 00/ + 0,9 + c.. 1 To συνολικό κέρδος της εταιρείας από την 3 η έως την 6 η ημέρα είναι: 87
6 P(6) - P() = ,9 ~+ c, ,9 y - c, = 116,-401,8 = 814,4 ευρώ. 4. i) Από την ισότητα /"(x) = g"(x) έχουμε διαδοχικά /'(*) = g'w+c, /(x) = g(x)+c,x+c. (1) Για x = 0 είναι /(0) = g(0)+0+c, οπότε c = 0, αφού /(0) = g(0). Επομένως /(*) = g(*)+c,* () Για x = l, από την (), έχουμε /(1) = ^(1)+^, οπότε c, =1, αφού /(1) = ^(1) + 1. Έτσι από τη () προκύπτει /(*) = (*)+* ii)h /(χ) είναι συνεχής στο [α, και ισχύει /(α) = #(α)+α = 0+α = α<0 ί(β)=ε(β) + β = 0 + β = β>0. Άρα, /(α)/(/?)<0, οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (α, β). 3. Α' ΟΜΑΑΑΣ 1. Έχουμε i) Jx e~*c/x=-jx (e *)'</χ = -x e~" + j xe~" dx =-χ e-jx(e~*)'<&: = -x e~*-xe~ x + f e~"dx = -x e' x -xe~ x -e~ x +c = e x (x + x + ) + c. ii) J(3x -x + l)e 'ii«: = -i-j(3x -x + l)(e x )'(fe 88
7 = I (3x - x + l)e ' - - J (6x - )e jt < c = (3x - x + \)e x - i J (6* - )(e ji )'Λ = - (3x - x + l)e * --(6x-)<? * + - f6e *< t 4 4 J = -e *(6x - 4 x x + ) + -<? jt +c 4 4 = i-e *(6x -10x + 7) + c i iii) Jx 3 lnxi c = fixate χ 4 f χ 4 = l n x - J (lnx)'i c = ix 4 lnx - f x*dx = x 4 lnx- +c 4 4 J 4 16 iv) [χ ημχ & = Jx (owx)'dx: = -χ συνχ+j xai)vxiir = -χ συνχ +J χ(ημχ)'ύί»τ = -χ συνχ + χημχ - J ημχί τ = -χ συνχ+χημχ+j συνχ+c = ^-χ +^συνχ + χημχ + ί. ν) 4χσυνχ<& = χ (ημχ)'6ίτ = χημχ - J ημχί& = χημχ + συνχ+ε 89
8 .. /, ***** vi) J In xdx = J" (x)' In xdx = χ In x - J \dx = χ In χ - x+c,") ί^λ= "ί(ί) ω - +c viii) I = Je*ouvx<fc = e x ouvx+j β"ι\μxdx Άρα = ε χ συνχ+β*ι\μχ-4^ e'amlxdx. I = e z (συνχ+ημχ) = e* (συνχ+ημχ) I =^e* (ouvx+ημχ)+c.. ϊ)θέτουμε u = 3x, οπότε du = 3dx και άρα dx=~du. Επομένως, J x\y&xdx = J x\\mdu = i ouvu+c = - <jw3x+ c Η)θέτουμε «= 4χ -16χ+7, οπότε du = (8x-16)<& = 8(χ-)ώ:. Ε- πομένως * J(4x -16x+7) 3 (x-)<fc = jv<fo=i^-+c = (4x -16x+7) 4 +c. 3 ϊϊϊ)θέτουμε u = x + 6x, οπότε du = (x+6)(fr = (x+3)a!r. Επομένως, f * +3 dx = ±{^-=±{ u *d«=*-^+c J (x +6x) 4 J m 4 J = -+C = r r+c. 6 u 6(x +6x) iv) θέτουμε κ = +χ, οπότε du = 3x dx. Επομένως, 90
9 Γ I χ -dr, = If Ι du = 1 f 4 I u j du = χ u +c = ( 3 + r x +c ). lyfcs 3J^ 3 J 3 3 ν) Θέτουμε a = x+l, οπότε du = dx και x = u-1. Επομένως, J x-jx+ldx = J (u-\)-judu = Ji/ du-ju du = a \ \ a +c 5 3 :j# [ji/-i + c - = (x+l) (3x-) + c. 3. i) Θέτουμε a = e x, οπότε du = e'dx. Επομένως, β*ημ * & = J x\\utdu = -συν«+c = -σονex+c ii) θέτουμε a = e x +1, οπότε du = e'dx. Επομένως, J -d!r = J = ln a +c = ln(e* +l)+c. iii) θέτουμε u = In χ, οπότε du= dx. Επομένως, χ f * j wlnx f * ' va» j = -Ja+c = ->/lnx + c. ι +c ίν) θέτουμε a = ln(e* +1), οπότε du = dx. Επομένως, e' +1 f dx = f = ln a + c J (<?*+1)1η(έ!*+1) J u = ln ln(e* +1) + c = 1η(1η(? χ +l))+c 91
10 αφού ln(e x +1)>1η1 = 0. ν) Θέτουμε u-, οπότε du = \-dx. Επομένως, χ χ J j i '. -~dx- - j T\\mdu = συν«+ c = συν ι-c 3. Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Θέτουμε κ = 1 + συν χ, οπότε du = -ημχσυνχ & ή du = -ημχί&. Επομένως, J 1 + συν χ J u ii) Θέτουμε u = Ιη(συνχ), οπότε du = - dx = -εφχάχ. Επομένως, συνχ εφχ 1η(συνχ)ώ = - J udu = - +c = - [1η(συνχ)] + c iii) Θέτουμε u =ημχ, οπότε du - crovxdx. Επομένως, t J awxe^dx = e"du =e" +c = β ημι +c., x 3 +1,, 3x -x 3-3X (X 3 +1), -3. ι) Θετού με u=, οπότε du = -dx = dx. X 3 X 6 X 4 Επομένως, il x3 +] 1 dx : : = -^jyfudu =~ ju du x 3 x 4 3J 3 i + i, 1 u 1 u x i + c ~ 3 +c ~ * x 3 + c. μενως, x +1, οπότε du = Jr= dr Επο- Vx +1 Vx +1 9
11 Χ ί, J ^!s7ϊ dx- ί du = u+c = -Jx +1 +c. J iii) Θέτουμε u = x +1, οπότε du = xdx, οπότε έχουμε j" * ln(x + l)ifc = -j In udu = -ί j" (u) 'In udu = u lnu- f du J = -^u In«- ί«+c =i(x + l)ln(x + l)-i(x +l) + c. 3. i) Έχουμε:!- Inx dx= I I lnx ife,3 «Inje 1 - f Vu')'<fr x> 1 = x 31 lnx \ f j x 3 lnx χ dx = χ-+c, 3 3 J 3 9 *V., = T lnx "I +c ii) Έχουμε J(In/) dt = j(/)'(ln/) dt = /(In/) - J/ \nt(\nt)'dt = /(In/) -jintdt = /(In/) -j(/)"1η/λ = /(ln/) -iln/+j/-rf/ = /(ln/) -/ln/ + / + c iii) Θέτουμε u = e x, οπότε du = e'dx. Επομένως e x <m\e x dx = J e x avve x e x dx = J umvudu = J u{y\ym)'du = ιn\\iu - J T\\wdu 93
12 = «ημ«+ συν«+c = e'mae* +mve* +c. 4. i) Έχουμε ημχ r (συν*)' f εφχί/χ = f dx = - f J rfr J J συνχ mivr συνχ = In i συνχ I + c και x J -γ-dx = χ(εφχ)'ί τ = χεφχ-j εφχόχ συν'χ = χεφχ + ln συνχ j +c,. ii) Θέτουμε u = ημχ, οπότε du = συνχώτ. Επομένως, Επίσης έχουμε ίίί)έχουμε Γ συνχ Γ du 1 1 τ-άχ = = +c = + c. i ημ χ J w u ημχ Γ1 + συνχ r 1, Γ συνχ, ί/χ= dx + dx J J ημ χ ημ χ J ημ χ 1 = -σφχ 1- c. ημχ ημ 3 χκ/χ = J ημ χημ«/χ = J (1- συν χ)ημχ</χ. Θέτουμε u = συνχ, οπότε du = -\]^ixdx. Επομένως, ημ, χί/χ = - (1-Μ )βί«= ju du-jldu Επίσης έχουμε συν χ = u+c = συνχ + c. 3 3 u 3 J συν 3 xdx = J συν xcruvxc/x = J (1 - η μ x)ouvx<fr. Θέτουμε u =ημχ, οπότε du = συνχώτ. Επομένως, j συν'χί/χ = J(l-!/ )f/«= u- + c =ημχ-^ * +c 94
13 5. Έχουμε i) ^χ\μ χάχ= J , = χ ημχ ί, fl + <n>vx 1 1 συν xdx = dx = x + ημζλτ + c J 4 iii) ^τ\μ χσυν χάχ = ~ [ημ χ<& 4 ί fl -συν4χ -dx =Ix-I ί«συν4χί& 8 8 J 1 1 χ ημ4χ >. + ο Έχουμε i) j ημχσυ\'χώ = ^ [ημ(-χ) + ημ3χ]ίλτ = j" ημχί/χ + γ j" \\\iixdx 1 1 = συνχ συν3χ + c 6 ϋ) ί σΐ)ν3χσυν5χώτ = γ J (συνχ + συν8χ)ί/χ = ί συνχί/χ + ί συν8χί/χ J J 1 = ημχ -, + 1 ημδχ ο + c 4 16 iii) j" ημχημ4χί τ = -ί " (συνχ-συν6x)dx 1, 1, = ηιιχ ημόχ + c
14 7. i) Έχουμε: f x-3, Γ(χ -3χ+)',,, ; ~ d x = j <fc = ln x -3x+\+c. 1 J χ -3x+ J χ -3x + ii) Έχουμε: 3x + 3x + 5 =, xsr-fl, }. x x -3x+ (x-l)(x-) ' Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Λ, Β έτσι ώστε: 3χ + Α Β -+ -, για κάθε xer-{l,}. (x-l)(x-) x-l χ- Με απαλοιφή παρανομαστών έχουμε τελικά: (Α + Β)χ-(Α + Β) = 3χ +, για κάθε xer-{l,} (1) Η (1) ισχύει για κάθε χ e IR -{1,}, αν και μόνο αν Επομένως Α + Β = 3, Α = 5 και Β = 8. ra-b = J χ -3χ + J x-l J χ- = 5 In I x-l + 81n x- + c. iii) Από τη διαίρεση (x 3 -x):(x +3χ+) βρίσκουμε: οποτε χ 3 -χ = (χ + 3x + )(x-3) + 5x+6 Εξάλλου έχουμε: χ 3 -χ 5χ+6 χ +3χ+ = *~ 3 +,.,. Χ +3Χ + (ό 5x + 6 5χ + 6 χ -3χ+ (x + l)(x + ) Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Λ, Β έτσι, ώστε 5χ + 6 Α Β - = -+ για κάθε xelr-{-l,-}. (x + l)(x + ) χ + 1 χ+ Με απαλοιφή παρανομαστών, έχουμε τελικά 96
15 (Α + Β)Χ+Α + Β = 5Χ+6. () Η () ισχύει για κάθε xer-{-l,-}, αν και μόνο αν Α + Β = 5 ο Α = 1 και Β = 4. Α + Β = 6 Επομένως λόγω και της (1) έχουμε: \j?-z^dx=\{x-3)dx+\ +\-^ dx J χ 1 + 3x+ J J * + 1 J x + χ 1 = -3x+ln x+l + 41n x+ +c. iv) Έχουμε - = για κάθε xer-{l,-l}. χ 1 x-l x+1 Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε (α + β)χ+α-β =. (1) Η (1) ισχύει για κάθε x e R - {L, -1}, αν και μόνο αν [Α+Β = 0 <=>/1 = 1 και Β = -1. Α-Β = Επομένως, έχουμε f dx= \-^ dx- f -dx = ln x-l -ln x + l + < J x J -l x-l J x Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: dx = -Axdx. y ί ^ ί " λ 97
16 y = -χ +c, ι y = ~ i, cer. χ +c ii) Η εξίσωση γράφεται dy y = χ dx ydy = xdx. J ydy = J xdx y 1 = +c. x 1 y = x + c. y j - χ =c, y = Vc+x, αφού y>0 (cer). iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: = xy dx = xctc. y i 7 M xdx ln y =x +c, y Ι I = e \y\=e«e* y = ±e c ' e x * y = ce*, όπου c = ±e* 98
17 iv) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: dy = e ^συνχ dx e"dy = συνχάχ j e y dy = j avvxdx e" = ημχτ+c ^ = 1η(ημχ + ο), cer. i) Μία παράγουσα της a(x) = είναι η Α(χ) = χ. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με e x και έχουμε διαδοχικά: y'e x + e x y = 3e x (ye x )' = 3e x j(ye x )'dx=j3e x dx ye x =-e x +c 3 y = + ce' x, cer. ίί)μία παράγουσα της «(x) = είναι η A(x) = x. Πολλαπλασιάζουμε με e * οπότε έχουμε διαδοχικά y'e x + ye x =e x (ye x )' = e x j(ye x )'dx = j e x dx ye x =e x +c y = e~ x +ce~ x, cer. iii)mia παράγουσα της a(x) = l είναι η A(x) = x. Πολλαπλασιάζουμε με e*, οπότε έχουμε διαδοχικά y'e x +ye x =e x χ (ye x )' = e'x 99
18 'Κ ί : χ : χ j(ye')'dx = je' -xdx ye* +c, =xe* -Je'dx ye' = xe" -e x +c y = x-+ce~', cer. iv) Μία παράγουσα της a(x) = x είναι η A(x) = χ. Πολλαπλασιάζουμε e'', οπότε έχουμε διαδοχικά y'e' + xe' y = xe xi (ye' )' = xe' ye' f +c, = I xe' dx 3. Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: x 1 1 * ye = e +c ^ = *v dx %= x dx y jy~ dy = ijx I dx y = +ce, celr. 1 3 = x +c. y 3 1 _ x 3 + 3c, y Επειδή y(0) = -3, έχουμε = -3, οπότε c = 1. Άρα c 300
19 y = -3 x Η εξίσωση γράφεται y' + 3y~. Μια παράγουσα της α(χ) = 3 είναι η Α(χ) = 3χ, οπότε έχουμε διαδοχικά y'e 3 ' +3 ye 3 ' = e 3 ' y'e 3 ' +y(e 3 ')' = e 3 ' (ye 3 ')' = e 3x J (ye 3x )'dx = je 3 "dx ye 3x = e 3 ' +c 7 3 c y=- + t,τ- 1 + v 3 c Επειδή y(0) = έχουμε = + -, οπότε c = 0. Άρα y = e 3 5. i) Μια παράγουσα της a(x) = i-r είναι η Α(χ) = εφχ. Πολλασυνχ πλασιάζουμε με c*, οπότε έχουμε διαδοχικά: y'e^+e^ l-y= συν χ 1 συν χ (ye^y^e^ συν χ ye"* +c, = fe"" ί dx i συν x ye"* + c, =je" fx (εφχ)'<& ye- =e" x +c y = X+ce'"^. Επειδή y(0) = -3, έχουμε -3 = 1+c, οπότε c = -4. Άρα,=1-4r. 301
20 ii) Επειδή x>0, είναι x+l >0, οπότε η εξίσωση γράφεται, 1 1. y+ ν = lnx. χ+1 χ+1 Μία παράγουσα της α(χ) = ί είναι η Α(χ) = ln(x +1). Πολλαχλαχ+1 σιάζουμε με β** χ * η =χ+1, οπότε έχουμε διαδοχικά y-(x+l)+y = lnx CKx+1))' = lnx y(x+l)+c l = Jin xdx y(x+l) = xlnx-x+c y= xlnx-x+c x c Επειδή _K1) = 10, έχουμε - = 10, οπότε c = 1. Επομένως xlnx-x+1 x Β' ΟΜΑΔΑΣ Ι. Μία παράγουσα της a(t) = 1 είναι η A(t) = t. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης με e' και έχουμε διαδοχικά: l\i)e' +I(t)e' = ε'ημί (/(/)*')' = *'ημί 7(/)e' +c, = J ε'ημίίλ (1) Εξάλλου έχουμε J β'ημ/ώ = «'ημ/ - J e'amvtdt = «'ημ/ [ϊ'συνί+j «'ημ/<//], οποτε Jβ'τ\μίάί = e' (ημ/ - συν/) +c,. 30
21 Άρα J ε'ι\μίάί = -ί e' (ημ/ - συν/)+c, οπότε από την (1) προκύπτει ότι I(t)e' =-^ν(ημ/-συν/)+ :. Για / = 0 έχουμε /(0)e = e (ημο - συνθ) + c 0 = -+c Έτσι, τελικά είναι 1 c =. I(t)et = ~ e ' (ημ* - συν/)+ 7(/) = ^(ημ/-<η>ν/)+^<γ'. Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: ye y ν 4y = e ΐχ dx Άρα ye"* dy = e 1 *dx. jye" dy = ^e x dx e 1 y, = e 1, +c. 1 =e 7 ' +c, = e * +c, cer. Επειδή y() =, έχουμε e 4 =e 4 +c, οπότε c = 0. Επομένως e^ =e x, οπότε y =x και άρα y = -Jx, αφού περνάει από το σημείο Α(,). 303
22 3. Μία παράγουσα «(*) = είναι η Λ(*) = -1ηχ. Πολλαπλασιάζουμε χ - Μ, ι"- 1,,.. με e =«*=. οποτε εχουμε όιαόοχικα χ, y γ.ν = χ- x x χ 4 - ' 1 y = x+c χ y- χ +cx, cer. 4. Ισχύει y' = xy, y > 0, οπότε έχουμε διαδοχικά:, lnv = + c,. v>0 y = et'l i v = c-e, c = e c ' >0. Εξάλλου ισχύει y(0) = 1, οπότε c = 1. Αρα y = e. 5, ι) Μία παράγουσα της a(t) = a είναι η A(t) = at, οπότε έχουμε διαδοχικά y'e" +ae"y = fle'"-e' (a i)l (ye" Υ = fie 304
23 . : ye a, +c l = J fie^'dt ye" =JL e <'-»'+c α-λ Άρα β -b c y = e +. α-λ e" y(t) = β 1 c η, cer. a-ke h e 1 c ii) Επειδή a > Ο, λ > Ο ισχύει lim = Ο και lim = Ο, οπότε /->+<» g " /->+ ^ lim y(t) = Επειδή θ-τ>0 η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: άθ Θ-Τ = -xdt r <1Θ = -tct+c,, 3 Θ-Τ Ιη(θ-Τ) Θ-Τ = -Kt+c l = e'"* Cl Εξάλλου Άρα θ(ί) = Τ+ce~", c = e CI. θ(0) = θ 0 οθ 0 = Τ +c-e <*c = 0 o -T. θ(() = Τ + (θ 0 -Τ)β κ '. 7. i) Έστω Ρ,(ί) ο πληθυσμός της χώρας, αν δεν υπήρχε η μετανάστευση και P (t) ο πληθυσμός που έχει μεταναστεύσει μέχρι τη χρονική στιγμή ί. Τότε ο πληθυσμός της χώρας είναι οπότε P(t) = P i (t)-p (t) p\f)=p;(t)-p[(t). (ί) 305
24 Είναι όμως P\(l) -k-p(t) k>ο > 9 αφού έχουμε ρυθμό αύξησης του Ρ, (Ι) ανάλογο του P(t). Επίσης είναι P[(t) = m, οπότε η (1) γράφεται ή ισοδύναμα P'(t) = kp(t)~m, P'-kP = -m Μία παράγουσα της α(/) = -k είναι η A(t) = -kt. Πολλαπλασιάζουμε με e~ b τα μέλη της εξίσωσης, οπότε έχουμε διαδοχικά: P'e b -ke~ b Ρ = -me' b (Pe b y = -me b Pe~ b +c, = -mj e b dt % Pe b = e b +c P(t) = +ce b. k Επειδή P(0) = P a, έχουμε P 0 = +c, οπότε c = P 0 -. k k P(t) = j + R}" \P 0 ~\e", k>0 Άρα iii) Είναι P'(t) = (kpj -m)e b αν m <kp 0 τότε P'(t) > 0, οπότε ο πληθυσμός αυξάνεται. αν m > kp 0 τότε P'(t) < 0, οπότε ο πληθυσμός μειώνεται. αν m = kp 0 τότε P'(t) > 0, οπότε ο πληθυσμός είναι σταθερός. 8. ϊ) Ο όγκος του νερού της δεξαμενής τη χρονική στιγμή t είναι V(t)=xr y(t) = xy(t), όπου r = 1 m η ακτίνα του κυλίνδρου, οπότε 306
25 Εξάλλου έχουμε V\t) = ny\t). -a^gy = 7Γ ^/0 ν = -0,0π ^5γ. Έτσι ο νόμος του Torricelli γράφεται ή ισοδύναμα πν' = -0,0nyf5y, 50 ν " (1) ii) Προφανώς το y = 0 αποτελεί λύση της (1). Για _y>0 η εξίσωση γράφεται fy so οπότε έχουμε διαδοχικά: ί ν 1 dy = ^-/+c J 50 v"*=z^, + c 50 m = z a t + l 100 y= λ/5 c /+ 100 Όμως ισχύει v(0) = 36 din, οπότε 36 =, συνεπώς c = 1. Άρα v(0 A 100 /+6 iii)h δεξαμενή αδειάζει τελείως, όταν y(l) = 0 Έτσι έχουμε: 3,(,) = 0 «- ^ ΐ / + 6 = 0 «/ = ^ = ^ ^ = 1 0 ^ sec. 100 Λ/ Η Ε = 0 αποτελεί μία προφανή λύση της διαφορικής εξίσωσης. 307
26 Για Ε > Ο η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: de 1 RC -dt ln t+c, RC 1 E(t) = - e +c1 RC E(t) = k-e RC, k = e. Εξάλλου»i il E(t 1 ) = E 0 o 0 = *e «<*k = E 0 e KC. Αρα h-t E(t) = E 0 e* c. 10. ϊ)α)αν αντικαταστήσουμε τις τιμές των R, L και Ε, κανόνας του Kirchhoff γράφεται ή ισοδύναμα 4/'+1/ = 60, /'+37 = 15. (1) Μία παράγουσα της α(/) = 3 είναι η A(t) = 31. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη (1) με e 3 ', οπότε έχουμε διαδοχικά: I'e 3 ' + 3e 3 '/ = 15e 3 ' (7c 3 ')' = 15e 3 ' 7e 3 '+c, = 5 J 3e*'dt Ie 3 ' =5e 3 ' +c. β)είναι lim 7(/) = lim /->+<«/->+OO( /(0 = e 5+^ =
27 Από την ισότητα lim 7(ί) = 5 συμπεραίνουμε ότι για «μεγάλες» τιμές /->+ΟΟ του t η ένταση γίνεται σταθερή και η γραφική παράσταση της y = I(t) έχει ασύμπτωτη την ευθεία ^ = 5. ii) Αν Ε = 60ημ3ί ο κανόνας του Kirchhoff γράφεται διαδοχικά: /' + 37 =15Εημ3ί I'e 3 ' + 3e 3 '/ = 15 3 'ημ3/ (Ie 3 ')' = 15β 3/ ημ3ί Ie 3 ' +c, = 5j 3β 3 'ημ3/λ. () Θέτουμε J = J3β 3 'ημ3/α, οπότε J = (β 3 ')'ημ3/λ = β 3 'ημ3ί -3J «3, συν3 tdt = ε 3 'ημ3ί - J(e 3 ' )'συν3 /Λ = ε 3 'ημ3ί -[ε 3 'συν3/+3 β 3 'ημ3/ί//] = e 3 ' (ημ3ί - συν3ί) - 3 J. Άρα Λόγω της () έχουμε J = β 3 '(ημ3ί-συν3ί)+ίι, 4 c,elr. Άρα Ie 3 ' - «3 '(ημ3/-σον30+ε 4 /(0 = 4 (ημ3/ - συν e 3.4 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε ί) J 4 f(x)dx = - f(x)dx =
28 mmgm^^mxrn «) f(x)dx = /(x)dx +f f(x)dx = - /(X)i c+jj 8 f(x)dx = = 4 iii) /(*)<& = f(x)dx+ /(x)«ic = 9 - /(*)<& = 9-11 = - iv) f(x)dx = f{x)dx+^f(x)dx + f(x)dx = 11 - C'f(x)dx +13 = 4-9 = 15.. Έχουμε r' 1. r 1 I In - f dt = \ (In 1 - In t)dt = -j' In /df = ^ In tdt. i * x* 4 η 5 ^ dx- j^ ~dx-3 γράφεται διαδοχικά: γ4ζ! λ + ]*_5_ α β 3 J' x +1 Ji χ +1 γ* ^= 3 Ji χ +1 j\dx = 3 (*-l) = 3 = Έχουμε i) [/(x) - 6g(x)]dx = 3 f(x)dx - G^g{x)dx = 5-6 (-) = ") jj/(x) - (*)]<& = /(x)< c - j^g(x)dx = -1 /(*)<&+ g(*)<fr = --5- =
29 3.5 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε r i) f (3x -x + l)<i*: = [x 3 -χ + x]q =[ 3 - +] [Ο 3 -Ο +0] = 6 Jo jl -j7 jl xji λ x λ = [lnx][ + -1 = Ine-lnll^xj, = 1 - Je 1. = 3- Χ Ν iii) (συνχ - ημχ)ί& = (ημχ+συνχ)ά = [ημχ+συνχ], = ημ +συν -ημθ-συν0 = 1- = -1 ' iv) ί(* + χ) <&e f(*,+ p- + } fc = f*,<fr+ f*",<fc+ f«fc "χ 3 " ν λ (-1) = 1 [ τ Ι - Η «9 6. Έχουμε ι;! _±^ λ + '_^_ α = ί ί_±ζϊ χ +7χ, α. ι ί χ " χ +5 ^χ +5 Λ χ +5 Λ χ +5 -<& = Γ χ ^ +5 τ Ή " xdx = Έχουμε: 311
30 ftlffpfillf f / W W * = f(x)f(x)dx = [(/(x)) ]'dx =[(/(*)) ]f = (/(/?)) -(/(«)) 4. Επειδή η γραφική παράσταση της / διέρχεται από τα σημεία (0,0) και (1,1) έχουμε /(0) = 0 και /(1) = 1. Επομένως σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα είναι: j/'(x)dx = [/(*)]{, = /(1) - /(0) = 1-0 = i) Θέτουμε u = συνχ, οπότε, έχουμε: η*.(γ Έχουμε = V 1-συν χ (συνχ)' = Vl-συν χ-(-ημχ) = -ημχ ημχ. Γσυνι9 θ 6. i) Έχουμε: 1+- r v. - a z t h - t f Y τγχ mw-jx 1 _ -cnwx λ/χ -Jx x x Vx +1+χ /,( x)= (x+vx +!)' _ λ/χ +1 _ λ/χ^+ϊ χ + λ/χ +1 χ + λ/χ +1 x + Jx 1 +1 vx +1 ii) Αν χρησιμοποιήσουμε το ερώτημα i) έχουμε: ί'-7= = fv'(*)rfr = [/(x)]^ = /(1) -/(0) 0 v1 + x = ln(l + λ/ ) - ln(0 + λ/γ) = lna+λ/ ). 31
31 3.5 Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε διαδοχικά: d_ dx ί>«λ ) = "έ (χ4+χ6) xg(x) = 4x 3 +6x 5. Επομένως, για χ = 1 έχουμε l-g(l) = , οπότε #(1) = 10.. Η /(χ) γράφεται: /(χ) = e m 'a + J* + ' e m "dt = - J* -^ +J"' e^'dt, οπότε έχουμε: ^συν*χ ^cn)vjr(.r+l) _^συν«χ ^ συν(πχ+*) ^Σΐ)ΝΧΪ _J_^<N»V*X Q Αυτό σημαίνει ότι η/είναι σταθερή. 3. Έχουμε: και τον πίνακα /'(*) = χ- _χ- χ -οο /'(*) /(*) \. / min Η / είναι γνησίως φθίνουσα στο (-<»,], γνησίως αύξουσα στο [, + οο) και παρουσιάζει ελάχιστο στο χ 0 =, το /() = Είναι +0 F'(x) = I x j7(wj = j/(,)<ft+x/(x) 5. Έχουμε: 313
32 1 γ F\x) = -,-+- * l + x = 0. 1+χ χ +1 Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση F είναι σταθερή. F(x) = e, xe (0, + αο). Είναι όμως, F(l) = Γ dt + Γ ί dt = 0. Επομένως Jil+r -Λ 1+r F(x) = 0, xe(0, + oo). 6. Έχουμε: lim f ^5+t dt = lim *-»o h «*->o +t dt (μορφή ) [ h^dt = lima-0 (/,)' (κανόνας De L' Hospital) = limj5 + (+A) λ-+0 * = V9 =3. 7. i) Θέτουμε m=x -4, οπότε du = xdx. Τα νέα όρια ολοκληρώσεως είναι Η] = 4-4 = 1 και u =6-4 = 3. Επομένως, γ * a - i r * ι " ^/x -4 ji = Λ/3->/Ϊ =4λ/-λ/3 ϊϊ)έχουμε: f * 1 1ημ(συνχ + χ)ημχ:-ημ(συνχ+χ)] &= 1 ημ(συνχ + χ)[ημχ - l]i c. Jo Jo 314
33 I I Θέτουμε u = συνχ+χ, οπότε du = -(ημχ - \)dx. Τα νέα όρια είναι u, =συν() + 0 = 1 και w, = συν + =. Επομένως, 1 π Ρ ημ(συνχ + χ)[ημχ- \\cix = J χ t[\iudu η = [ouvw], = συν συν1 = -συν1. 8. ϊ) Έχουμε: (χ -1 χ -11 )ί& = (x + χ - *)<& + (χ - χ + l)dx Γ χ 3 χ 3 : + ~Χ ί 3 χ 3 χ -1 +χ ο L τ ~ί 1 1, 7 3, 5 = = ii) Η /είναι συνεχής στο [-π,π] οπότε έχουμε J f(x)dx= j" xrfr+ημτώτ = x τ [συν]* 71 7γ = - (συν7γ- συνο) = +. iii) Το τριώνυμο χ -3χ+ έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και και το πρόσημο του φαίνεται στον πίνακα: χ <χ> 1 +αο χ -3χ+ Επομένως έχουμε: + ο x -3x + e6r= o (x ~'ix + )dx+j^ (-χ +3x-)dx + f (x -3x + )dx ο + ~)1 3 χ +χ +! χ' -χ 3 * 3, χ +χ τ! + Γ *, 13~ + J'L %
34 9. i) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε; Γ* ίη Λ= Γ" & = Γ' ( >/*)'; In xnx Jl -Jx J 1 -Jx J' = lufx lnx]f -f -Jx dx Ji χ = elne -1n/ dx -Jx = 4e-4[Vx]' = 4e-4(e-l) = 4. ii) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε: ^xe 'dx = -jx( e ~ x )'dx = ~\ xe '\o + f 0 e %(ix e \e J e e ίϊί)θέτουμε u=9 + x, οπότε du = xdx, «, =9 και m =10. Επομένως: / 1-1 /*10 1 p10 xln(9+x )<& = In udu = j(u)'\nudu u\nu I01nlO_91n9_I j " 9 1 = 51nl0 In 9. iv) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε. * 1 - I = p ε Χ συνχα!χ: = 0 e" (ημχ)'βίχ = [e^x] 0 J - 0 ημx-e'dx 1 - = 0+jj e x (awx)'dx β*συνχ 4 - j - Ρ e"<m\xdx 4 Jo 316
35 1 i ιο η 1, = β συνπ e συνο 7, οποτε 10. Έχουμε: = --<? --<=>/ = --(e +1) κ κ * I+J = ρ χημ χ &+J* xcmv xdx = χ(ημ χ + συν χ)ώτ = f xdx = Jo π 1 Επίσης κ 1 -J = p χ(ημ χ- συν χ)άχ = xmsvlxdx κ = ft x(i\\ix)'dx = ~ [χημχ] 0 x\\ixdx 71 -ημπ-ο α = -[συνχ] 4 = - (συν7γ-συνο) = -(-1-1) = Αν λύσουμε το σύστημα r τ π I+J = = 1 βρίσκουμε 11. Επειδή /" συνεχής έχουμε: π I π \ I- + και J /(χ)η μχλχ+j'/ "(χ)η μχώ =. (1) Όμως είναι: /J /"(χ)ημχ<& = [/'(χ)ημχ]ο "]Γ/'(*)(ημ*)'<& 317
36 = - /'(χ)συνκώ = -[/(χ)συνχ]* + /(χ)(συνχ )'ώτ = /00 + /(0) - / (x)wxdx = 1+/(0)- /(χ)ημχώ: Έτσι, ί σχέση (1) γράφεται /(χ)ημχ<& +1 + /(0) - / (χ)ημχλ =, οπότε /(0) = Επειδή οι /" και g" είναι συνεχείς έχουμε 7 " Γ (/wg"w-/"w^w)^ -Γ /(*) "(*)<&- ' f"(x)g(x)dx =[f(x)g'(x)ya -[f(x)g\x)dx-\j'(x)g(x)y a +j'f(x)g'(x)dx = Afig'ifl) - f(a)g\a)-[f{fi)g(fi) - f'(a)g(a)] = /(/0g'lfl)-f'(fl)gifi), (αφού /(a) = g(a) = 0) = Afi)g'(fi) ~ g'ifi)g(fi), (αφού /'(/?) = g'(fi)i* = g ' o w w - g m 3.6 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε: 0 = Jo (/(x) ~ l)dx= i f(x)dx ~i ldx = /(*)*-: 1 ' οπότε J o '/(x)rfr = 1» = 1» / = 1. Έχουμε: 318
37 οποτε ο = (/(*)- *)<& = f /(*)<& - = - «), j'/(*)<** = ηβ-α)» /(*)<** = *<=>/ = * 3. Έστω η συνάρτηση f(x)-x, χefa,/?]. Τότε η μέση τιμή χ του χ στο [α,/?] είναι: 1 "χ " 1 γ β λ 1 α 1 /?-α χ β~ α 1 β -α α+β β-α 3.6 Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε: f=^\"x dx=-l_zlz l = l±«^i ^-α >«β-α 3 3 ^ =_^γ'_!_ λ = _1_γζΐί = _^ίΐ_ΐ1 /?-«x β-αυχ\ α β-α{α β) I β-α 1 οποτε β-α αβ αβ' 7 α +αβ + β 1 α +αβ + β /g=- 3 αβ 3 αβ Έτσι, έχουμε να δείξουμε ότι: α +αβ + β 3αβ >1<=>α +αβ + β >3αβ <=>α -αβ + β >0<=>(α-/ϊ) >0, που ισχύει. Επομένως είναι f g > 1.. α) Έχουμε: 319
38 1 Γ* 1 f* ρ,, ρ γ" >, ο = f v(r)dr = I (R -r )dr = (R -r )dr R Jo Λ Jo 4ni 4Rni Jo 4Rn R (R-0)- 3 Ρ 4 Rnt r R i - < 3 J f \ 4 Rnl 3 6 nt β) Εξάλλου έχουμε: ρ -Pr v\r) = (-r) = < Ο, για κάθε r e (0,R). 4w n^ Όμως η v-v(r) είναι συνεχής στο [Ο,Λ], οπότε θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [Ο,Λ]. Επομένως η μέγιστη ταχύτητα είναι: Προφανώς ισχύει > υ. =υ(0) = PR 4 nt 3. Έχουμε J/(x)dx = f ( 1). (1) Επιπλέον, σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ e (0,1) τέτοιο, ώστε //(*)<& = /( ). () Από (1) και () προκύπτει ότι /( ) = /(1), οπότε στο διάστημα [,1] ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 e (, 1) τέτοιο, ώστε /'(x 0 ) = 0. Επομένως η c f έχει τουλάχιστον μία οριζόντια εφαπτομένη. 3.7 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Το τριώνυμο f(x) = χ -χ+3 έχει διακρίνουσα Δ = -8<0, οπότε ισχύει f(x)>0 είναι: για κάθε xer. Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε 30
39 3.7 Ε = f (χ Jo - χ + 3)dx χ +3χ = α6 = - τετρ. μον.. i) Πα κάθε χε[0, + αο) ισχύει /(χ) = \[χ > 0. Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: 7 -r^dx= Jo 71 j ii) Για κάθε xe 0, ισχύει /(*) = > 0. Επομένως το εμβα-. 3 J συν χ δόν που ζητάμε είναι χ Ε = f 3 ί ί/χ = [εφχ ] 0 ' = εφ -efo = S Jo συν χ 3 κ 3. Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f και του άξονα χ'χ είναι οι τ.μ. ρίζες της εξίσωσης χ -3χ = 0, δηλαδή οι αριθμοί 0 και 3. Επειδή /(χ) < 0 για κάθε χ e [0,3], έχουμε: Ε = [ 3 /(Χ) I dx = - ff(x)dx JO JO = - f (x - 3x)dx = - Jo 3 x ^ x i ι X~ x 3,, 7 9 = 9 = τ.μ Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων C f και C, είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται: Ax) = g(x) χ 3 = r-x - ' " rx-) = 0 «ΐ>χ = 0 ή χ=1 ή χ--. 31
40 ι Το πρόσημο της διαφοράς /(*) - g( x ) = χ3 + χ1 ~ χ = χ(χ - 1)(χ+) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: χ -οο 0 1 +χ> ο + ο ο + I ο + ο I I Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: E = f j / ( x ) ~ g ( x ) \ d x = f_ (/(x) - g(x))dx + (#(*) - f(x))dx = (* 3 +x -x)dx+j(x-x -x 3 )dx χ 4 χ 3 + χ χ χ4 _ ~3 4~ = -4 Η ( = τ. μ Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x) = 4-χ και g(x) = x- είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται f(x) = g(x)*> 4-χ - χ- <=> χ 1 +χ-6 = 0 <=> JC = 3 ή χ =. Το πρόσημο της διαφοράς f(x)~g(x) = -χ 1 -χ + 6 φαίνεται στον παρακάτω πίνακα χ -οο -3 +» /"(*)-«(*) Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: 3
41 e=l 3 \m- g {x)\dx = j" (-χ - χ + 6)dx = 3 x x + 6x 8 4 " = 0 + = τ.μ Β ' Ο Μ Α Δ Α Σ 1. i) Επειδή /'(χ) = 6χ έχουμε /'(1) = 6, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο Λ(1,3) είναι: e.y- 3 = 6(x-l) ο y = 6x-3 ii) Η ε τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο 1 y ZiQ-,oj Επομένως, το εμβαδόν που ζητάμε είναι: Ε = ε, +ε = 3χ ί/χ+γ (3χ -6χ+3)dx \ 3 = [χ 3 ]q +[χ 3-3χ + 3χ]\ 3 1,, (1 3 ϊ 1 = ι = τ.μ. 8 Ιδ 4 J 4 ν=3* \ \ G] Μ*~-~ -Βι Ο 7 \ χ -. Επειδή lim f(x)= lim /(χ) = /(1), jr»1 χ»1 + η συνάρτηση/είναι συνεχής και στο σημείο 1, οπότε αυτή είναι συνεχής σε όλο το R. Είναι φανερό, επιπλέον, ότι /(χ)>0 για κάθε xe[-l,], Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: ι - -! i
42 Ε = \ \ f(x)dx = (-χ + 3)dx + l4xdx - + 3x + ~ Η Η ^ - λ g = 4+-^ τ.μ. 3. Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f και του άξονα χ'χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης /(χ) = 0, δηλαδή οι αριθμοί 1 και 5 Στο 1,- η / είναι και συνεχής και ισχύει /(χ)>0. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ο 5 Ε = p / (x)dx 5 = (-χ +4x-3)dx + j* (~x + 5)dx 3 Ί ί -^- + x -3x +[-χ +5.ν]ΐ = χ Οι τετμημένες των σημείων τομής των Cy και C g είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται ( 4 HI) τ.μ. 34
43 ' f(x) = g(x) <=> λ/^-ϊ x + 1 ο x-l (x + l)»x -7x + 10 = 0» χ = ή χ = 5. Εξάλλου, για χ>1 έχουμε: /(x)>g(x)»x-l> x + l»x -7x+10<0 <=> <x<5. Επομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ε = ^λ/χ-1 - = j ' ^ x~ ulx ~ i j/* + w* Στο 1 ολοκλήρωμα θέτουμε u -x-1, οπότε du = dx, Μ, =1, «=4 και έτσι έχουμε: f4 ί 1 ε= γu du Ji x ι* ϊ) Έχουμε f(e) = l = g(e). Άρα το σημείο A(e,l) είναι κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων C f και C g των συναρτήσεων / και g. Επειδή η / είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ η g γνησίως αύξουσα, οι C f και C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το Α. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν Ε(λ) ισούται με 35
44 Είναι όμως Ε(λ)=[ Inxdx + f dx. Ji Je χ I 1ηχί/χ = (χ)ίηχί/χ = [xln x]' -j'dx Άρα = elne-(e-l) =1. Ε(λ)= f Inxc/x+f </x = l + e[lnx]^ Jl Je χ = l + elna-elne = l + e(lna-l). ii) Επομένως, lim Ε(λ)= lim[l + f(lna-l)] A-»+<o A >+«o = (1 - e) + e lim (In λ) = +00. λ ->+«3 6. Η τετμημένη του Α είναι η λύση της εξίσωσης 3* =3, που είναι ο αριθμός 1. Η τετμημένη του β είναι η λύση ν-3 ν = χ του συστήματος <, που ει- Ι.ν = 3 ναι ο αριθμός 3. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με: V" 1 χ ^(3* - x)dx +1 (3 - x)dx = * dx - + 3x 0 In 3 Γ 1 9, Γ,,1 ^ = [3-1J + 6 = + τ.μ. In 3 In 3 36
45 7. Η τετμημέλ'η του σημείου Α είναι ρίζα της εξίσωσης χ -χ + = χ -1, που είναι ο αριθμός χ =. Επομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με: = -jv -!)<& +p (χ -l)i/r + J 3 (x -x + )dx -χ χ ^ χ + χ = 4 τ μ ' + ι ^ \ 1 f 3^ ί) Οι εξισώσεις των εφαπτομένων ε, και ε της C { στα σημεία Ο και Λ αντιστοίχως είναι: y \$/ «ι -y~/(0) = /'(0)(x-0) και ε :y-f(n) = f'(k)(x-n) Επειδή /'(x) = συνχ έχουμε: /! 0 π/ π " > \ 1 χ οπότε /'(0) = 1 και /'(jt) = 1, e, :_V = x και e :y = -x+n. ii) Η τετμημένη του σημείου τομής Β των ε, και είναι η ρίζα της εξίσωσης χ = -χ + π, δηλαδή ο αριθμός χ ~~~ Επομένως το ζητού- 37
46 μενο εμβαδόν είναι: * ^ e = [>(x-r\vx)dx+\a-x + *-rwx)dx χ χ κ + συνχ + + πχ + συνχ κ 0 Ί _ ^ _ 7Γ = + συν συνο + ττ + συνπ π συν 9. α) Έχουμε = -^. 4 /'(*) = -*/x xe(0, + oo), οπότε /'(1) = και η εξίσωση της εφαπτομένης ε είναι:, ν 1 =, (χ-1)<=> ν = χ + y 1 ι =r ι ψ ι Γ ι I ^ y - v* ο 1 χ Η ε τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο με τετμημένη -1. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: = Γ, ( γ + Ϊ ) λ + 0 ' + Ϊ -, / * ) λ χ χ 4 3 χ Χ χ = = τ.μ β) Εξετάζουμε αρχικά αν υπάρχει ευθεία χ = α με αε[-1,0] η ο- ποία χωρίζει το χωρίο (Α) του (α) ερωτήματος σε δύο ισοεμβασικά χωρία. Δηλαδή αν υπάρχει τιμή του ae[-l,0j τέτοια, ώστε να ισχύει:, ε χ χ Γ (-*+-) αχ = <=> 1 μ ) 4 38
47 3.7 α α 1 1 1,, <=> 1 ί 3α + 6α + 1 Ο Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς α, = -3+V6 και -3-λ/6. Από αυτούς μόνο ο α, ανήκει στο διάστημα [-1,0]. Επομένως η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση: -3+^6 Λ* =. 3 Αν εργαστούμε ανάλογα για α ε [0,1], βρίσκουμε ότι δεν υπάρχει άλλη ευθεία χ = α που να χωρίζει το χωρίο Α σε δύο ισοεμβασικά χωρία. Αυτό. άλλωστε, ήταν αναμενόμενο. 10. Έχουμε g(x) = In 1 - In x = - In x. που σημαίνει ότι η C g είναι συμμετρική της c f ως προς τον άξονα x'x. Η τετμημένη του Α είναι ρίζα της εξίσωσης In = Ιχι. που χ \ v = lnjr \ Ο 1/ Β y = ln είναι ο αριθμός χ ~~ Η τε ~ ν = Ιιιτμημένη του Β είναι ρίζα της εξίσωσης lnx = ln, που είναι ο αριθμός χ =. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: 4 /'- = I. ι I ( In-In λ f c/x-t Γ'" In x)dx ( π f γ = 1 ii j + j! In χώτ +In (-1)-J Inxdx \ ln+[xlnx] 1 1 J, k/x + ln-[xlnx]f +1Xdx : In + 1 In 1 In ) + In - In + 1 In
48 = 1ΐη+1ΐη-1-1η + 1 ι ~ ' 11. i) Έχουμε /(0) = και /'(x) = x-3. Από τον τύπο J f'(x)dx = f(x)+c έχουμε διαδοχικά J(x-3 )dx = f(x) + c x -3x = f (x) + c /(x) = x -3x-c. Είναι όμως, /(0) = <=> -c = <=> c = -. Επομένως, y, /(x) = χ -3X+. ii)oi τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξονα χ'χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης Χ -3Χ + = 0 δηλαδή χ,=1 και χ =. Επειδή χ - 3χ + < 0, ό- ταν Λ: e (1,), το ζητούμενο εμβαδόν είναι: = - (χ -3x + )dx = - χ3 χ 3 + χ 3 Η Η -» Μ Η - Ή ί) Η C f τέμνει τον άξονα των x στα σημεία Λ(1,0) και (3,0) Επειδή /'(χ) = (χ -4χ + 3)'= χ-4, έχουμε /'(1) = - και /'(3) =. Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο,4(1,0) είναι: Λ'-Ζα) = /'(1)(*-1) <=> ^ = -JC+ ενώ η εξίσωση της εφαπτομένης στο 5(3,0) είναι: 330
49 3.7 ν - /(3) = /'(3)(Λ--3)ον = χ-6 ii) Η τετμημένη του σημείου τομής /' των εφαπτο μένων είναι λύση της εξίσωσης -χ + = χ-6 δηλαδή ο αριθμός.ν=. Επομένως το σημείο τομής τους είναι το /'(,-). Λόγω της συμμετρίας του σχήματος έχουμε: e, (χ -4x + 3)dx = - 3 x 3 -χ + 3χ η, -) και ( 8 = -,3 ε =^ (χ -4x x-)dx=^ (χ -x+l)dx = 3 8,, ι,,1 _ χ +x = ~ 3 χ 1 Άρα = =. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ 1. ί) Θέτουμε u = n-x, οπότε du--dx, «, =π, ιι = 0. Έτσι έχουμε: ρττ / 0 / = χ/"(η[ΐν)ί/τ = - (π - w)/(ημ(7γ -u))du JO j/r = -J nf(x\\ui)du +1uf(x\\w)du = π\f (i\\w)du -1. JO Επομένως 1 = f (\\\w)du. οπότε I = J/(ημχ)ί/.ν. 331
50 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ ii)σύμφωνα με το ερώτημα (ί) έχουμε: j r j w l. a = r w d x =ir w Jo -?4-nn v 7 Jo ^Ϊ4-Ιΐιι ν 7 Jo 3+ημ χ J 3 + ημ'χ Jo 4-συν χ Θέτουμε u = συνχ, οπότε du = -ημχ<&. Επομένως: τ 1 π f ' f ' ~ Ji 4-u ~ J. u 3-4 π Αναζητούμε α,/?εκ τέτοια, ώστε να ισχύει: - = α η u -4 u- u + ή, ισοδύναμα, (α +/?)w + (a-β) = 1, για κάθε»er-{-,}. Η τελευταία ισχύει για κάθε wer -{-,}, αν και μόνο αν Επομένως α+β=0 1 ι <=> α = και β =. (α-/?) =! _ι γ, - σ γ ' - ϊ - α + ΐ γ ϋ * Ji «- Ji u+ = -L -[1η «- ]Γ' --[ln «+ ]r l 8,J ' 8 (In3-lnl)- (lnl-ln 3) 8 8 = ln3+ ln3 = ln i) Αναζητούμε α,β τέτοια ώστε ^ = + ή, ισοδύναμα, χ~ -1 χ 1 χ + i 1 =(α+β)χ+(α-β), για κάθε ier-{-1,1}. Η τελευταία ισχύει για κάθε ies - { 1,1}, αν και μόνο αν Έτσι τελικά έχουμε: \α. + β = α>α = και β =. \α-β = \ ί -^- = - ί -- Π = [In λγ-1 ]= --[ln jc + l ] 0 J, jc -1 1 χ-1 J> χ +1 33
51 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ' ΟΜΑΔΑΣ [in 1η ί] - ί 1η - In 1 i j l ii) Έχουμε: if, 1 In 1 In = 1. In-4- =-Inι, ' { ) 3 3 = i n = -inv 3. Λ/3 1 i./, Γ η Γ "" Λ Ι- ημχ J ημ χ Χ 1-συν x Θέτουμε u = συνχ, οπότε ί/w = -ημχί&, κ^συν = και ζ^, = συν-^ = 0. Επομένως / 1 { du ι ' ί/w r Γ; (& = -Γ ~ = = lnv3 (από ι)). ' ημν ; 1 - u~ u' Για u Φ -1,- αναζητούμε α,ββ R τέτοιους, ώστε: ή, ισοδύναμα, 1 α β (ιι +1)(«+ ) u +1 u+ 1 = α(«+) + /?(«+ 1). για κάθε «*-1,- (α + /?)«+α + β-1 = 0, για κάθε «*-1,- Η τελευταία ισχύει για κάθε κ e R -{-1,-}, αν και μόνο αν Επομένως α + /ί=θ] ί α = 1 «+ /? = lj [y? = -l' ί! Λ =Ι*--Ι-±. J (u +1)(«+) J / + 1 J u + = ln w+l -ln w + + c 333
52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ i) Θέτουμε «= ημχ, οπότε du = <jvvxdx. Επομένως γ συνχ, f- f du J 1 (ημχ + 1)(ηιιχ+) 1)(ημχ+) J(w + l)(w + ) = ln M + r -ln w + +c = In I ημχ + l J In ημχ + + c ii) Θέτουμε u = e x, οπότε du = e'dx. Έτσι έχουμε ί dx= f = ln e jr +l -ln e j: + +c J (e + 1)(e +) J (H + 1)(«+ ) 4. i) Έχουμε: I jv+] = in^' +1) ln( * + )+c. ^v+3 κ + k+\ = Jo J - jdt 4- f - γώ l + / Jo l + r Jo 1+/ I, / Jo v+ v + 1 ^ + f 1 1, 1 f 1 (' +1), ") i 0 = ( ~ r d t = ~ f ; dt 1 + / Jo (/-+1) = I[ln(/ +l)]i=i(ln-ln1) = Iln. Εξάλλου από το ερώτημα i) έχουμε Ι 0 +/, = * = -ί, οπότε I = =- In = (1 In ). 1 0 Επίσης είναι /, +/, =?, οπότε ' -1+, ι ι ι, ^ ι. ι Ι = /, = 1 ln = In. * 4 ' Θέτουμε g(x) το 1 μέλος και h(x) το μέλος και έχουμε. 334
53 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ' ΟΜΑΔΑΣ g\x) = ^χ ο f(u)du-juf(u)du και = ί f(u)du+xf(x)~xf{x)= Γ/(u)du JO Jo h\ X ) = [ f W. Δηλαδή ισχύει g'(x) = h'(x) για κάθε xer. Επομένως, υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε g(x) = h(x) + c ή, ισοδύναμα. j Q /(")(*-u)du = \Jj(t)dt\du + c, για κάθε xe IR. Για x = 0 έχουμε: J o /(»)(0-u)du= ^f(t)dt^jdu + c<=>0 = 0 + coc = 0 οπότε έχουμε: [f(u)(x-u)du = \'(\j(t)dt\du. 6. i) Η συνάρτηση g(u) = -1 έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = (-οο, 1] u [1,+ ο). Άρα, για να ορίζεται η / πρέπει τα άκρα 1, ί να ανήκουν στο ίδιο διάστημα του Α. Άρα πρέπει t e [1,-κ»), οπότε το πεδίο ορισμού της/ είναι το [1,+οο). Για να ορίζεται, τώρα, η F πρέπει τα άκρα 1, * να α- νήκουν στο διάστημα [1,+μ) που είναι το πεδίο ορισμού της/ Άρα πρέπει χ e [1,-κ»), οπότε το πεδίο ορισμού της F είναι το [1,-κ»). ii) Έχουμε οπότε F'(x) = f(x) = I* V«-Idu F"(x)=f'(x)=y[T^l. Επειδή F (x)>0 στο (1,+<») και F"( 1) = 0, η F' είναι γνησίως αύξουσα στο [1, + οο), οπότε: 335
54 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ η /'"είναι κυρτή στο (1, + οο) και F'(x) > F'(l) = 0 για κάθε xe(l, + oo). Άρα η F είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+αο). 7. i) F(x) + G(x) = ί β'(συν*ί+χ\μ ί)λ = β*-1, (1) Jo και F(x)-G(x)=f β'(συν ί-ημ ί)<λ Jo Όμως, είναι = f β'συνtdt = K(x). Jo ΑΓ(λ-) = [ίί'συνί] ( Λ, -f- f ^'ημtdt Jo = β'συνχ-1 + [β'ημ/]ο -4 e'<mvtdt οποτε Άρα = e x Gxn\x-\ + e x i\\ix-4k(x) 5Α^(χ) = β ί (συνχ + ημχ)-1. Κ (χ) = F(x)-G(x) =-^-(συνλ + ημχ)-j. () Με πρόσθεση των (1) και () κατά μέλη προκύπτει ότι: e" 6 F(x) = (συνχ + ημχ) + e" - Από τις (1) και (3) έχουμε F(x) = (συνχ + ημχ) + -. (3) e* e" 6 G{x) = e x -1 (συνχ + ημχ) e x e" 4 = - (συνχ + ημχ) ii) Επειδή F'(t) = e'<n>v r, έχουμε 336
55 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ π 1 = [F( χ)] * = (συναπ + ημ4;τ) + 10 e ln e " e " e' : 5'*,'""ι, Επειδή G'(/) = ^'ημ /, έχουμε 6 e',, -, χ e* (συν7τ + ημ;τ) Η e " e * β* e" J = [G(x)]/ = (συν4ττ + ημ4/τ) η (συνττ + ημπ) * * * * = - + = - e'(e'-l) Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης χ +1 = 5, δηλαδή οι αριθμοί Α χ, = - και χ =. Οι τετμημένες των Γ και Δ είναι οι ρίζες της εξίσωσης χ +1 = α +1, δηλαδή οι αριθμοί χ, = -α και χ = α. Το εμβαδόν Ε του χωρίου Ω που περικλείεται από την ευθεία ν = 5 και τη γραφική παράσταση της ν = χ +1 είναι: = ^(5-χ -\)dx- χ. + 4χ 3 = ^ + 8-«+8 = ^ Το εμβαδόν ε του χωρίου που περικλείεται από την ευθεία ν = α +1 και τη γραφική παράσταση της ν = χ +1 είναι: ε=ί (α +1-χ -1)ί/χ= f (α - χ )dx = α (α + η) - j-a j a. ί ι β (χ = α - + = α 3 - «3 = α _ 4 _
56 338 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ Το Ω χωρίζεται από την y = a +1 σε δύο ισοεμβαδικά χωρία, αν και μόνο αν Ε ε = <=> 4 α 3 = 3 1 <=> 4α 3 =16<=i>«3/τ = v ί) Αν 0 < Α < 1, τότε γ' v -1 Αν Α>1, τότε, ίΐ =Ι-ι. λ ι y 1 i 1 jv = j" ^ / ι * I f c * 0 a 1 a Αν Α>1, τότε Ε(λ) - Jxx W Ji χ dx = -1 Ε(λ)= ί -^ dx= ί χ dx = ji χ ji α = 1 1 ' ii)av 0<Α<1, τότε Αν Α >1, τότε: ίίί)έχουμε: (A) = - oi-l = i «A = -. Α 3 Ε(λ) = <=>1- =»Α = Α lim "(Λ) = lim 1 = lim 11 = +00 και J lim Ε (λ) = lim 1 = 1. λ >+οο λ >+ ol ^ j 10. i) Ισχύει f(x)-g(x)> 0, για κάθε χε[α,β], οπότε έχουμε διαδοχικά: ί (f(x)~g(x))dx> 0 ja ί y(jc)c6c- f ^(λγ)οεχ- :0 Ja Ja I f(x)dx>j g(x)dx.
57 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ π)για κάθε χ&[α,β] κα: iii) Είναι: η ισχύει m < f(x) < Μ, οπότε έχουμε διαδυ J 'β [β (β ηκίχ<, Ι J(x)dx < I Mdx a J a Ja ρβ /»(/?-«)< f (x)dx < Μ {β - a) ja f\ x ) = χσυν -'ΐμ* = x ~ ( p x < ο X X συν χ x / rx!t αφου χ-εφχ<0 και >0 για xe 0, συνχ V Επομένως η/είναι γνησίως φθίνουσα στο ί 0,. π π π π, (π α) Για xe ισχύει <x<, οποτε f\ Λ 6'τ 6 3 U αφού η/είναι γνησίως φθίνουσα. Έτσι. 3 ημχ 3Λ/3,. 3Λ/3 ημχ 3 > > ή ισοδύναμα, < -ϋ- < π χ π π χ π β) Σύμφωνα με το ερώτημα ϊ) θα ισχύει >/<*>*/if ρ ^ 4 7 π J χ J- π η μ ν π π γί d x ^ ( π {3 6) χ π^3 λ ίν) Είναι 4 J - γ ι /'(x) = -xe ' <0, για xe(0,+oo) επειδή η /είναι και συνεχής σιο [«>,+*>). η / θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,+οο). α) Από την ανισότητα e x >l + x, αν θέσουμε όπου χ το -χ, προκύπτει e'" 1 > 1-χ. (1) 339
58 Ε ΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ Εξάλλου, επειδή η/είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,+οο), για xe[0,l] Οα ισχύει Από (1) και () προκύπτει ότι l-x /(*) < /(0) <=> ε~ χ1 < 1. () <e~' <1, για xe[0,l]. β) Από την τελευταία ανισότητα προκύπτει (1 -x )dx<, je~* dx<^\dx I 1 x -<\e dx< 1. 3 J o Με απόφαση της Ελληνικής Κυβέρνησης τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου και του Λυκείου τυπώνονται από τον Οργανισμό Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν βιβλιόσημο προς απόδειξη της γνησιότητάς τους. Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δε φέρει βιβλιόσημο θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του Νόμου 119 της 15/1 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ 1946, 108, Α ). Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου. ΕΚΔΟΣΗ ΙΑ' 009 ΑΝΤΙΤΥΠΑ ΑΡ. ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΕΚΤΥΠΟΣΗ: ΤΖΙΑΦΑΛΙΑ ΕΥΘΥΜΙΑ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ: ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ Α. 8 ΣΙΑΙΤΕΤ 340
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
Διαβάστε περισσότεραy = 2 x και y = 2 y 3 } ή
ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας
1 ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραf '(x 0) lim lim x x x x
Α Θ Ε Μ Α A Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α ( F e r m a t ) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Εµβαδά., x 1 x f
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εµβαδά Θέµα 1 ίνεται η συνάρτηση x e e, x< 1 (x) = l nx, x 1 x Να δείξετε ότι η είναι συνεχής και να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, τον άξονα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο
Διαβάστε περισσότεραΣ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ
33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του
Διαβάστε περισσότερα3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε
Διαβάστε περισσότεραf( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της
ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 9 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/6/9, 9:3) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Διαβάστε περισσότερατην αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του
ΑΣΚΗΣΗ 47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = και οι ευθείες (ε ): y = x και (ε ): y = x +. Να αποδείξετε ότι:. Η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο, ενώ η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο +. Για κάθε x R ισχύει
Διαβάστε περισσότερα3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α,
Διαβάστε περισσότερα5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότερα(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο
Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 1, Στρόβολος, Λευκωσία Τηλ. 57-7811 Φαξ: 57-791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Δευτέρα, Ιουνίου 14 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ
ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ 3.1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: f x = { x e 1/ x,αν x 0 x ημx,αν x 0} είναι παραγωγίσιμη στο 0. 3.2. Δίνεται η συνάρτηση f x = { x 2 αx 1,αν x 1 2x 2, αν x 1 } η οποία
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο
Διαβάστε περισσότεραx R, να δείξετε ότι: i)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι
Διαβάστε περισσότερα[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο q = C V => q = 48(HiC. e και. I = -3- => I = 24mA. At. 2. I = i=>i= -=>I = e- v=»i = 9,28 1(Γ 4 Α. t Τ
Κεφάλαιο 3.1 1. q = C V => q = 48(HiC q = χ e => χ = - e και => χ = 3 ΙΟ 15 ηλεκτρόνια I = -3- => I = 24mA. At 2. I = i=>i= -=>I = e- v=»i = 9,28 1(Γ 4 Α. t Τ 3. Έστω u d η μέση ταχύτητα κίνησης των ελευθέρων
Διαβάστε περισσότερα1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.
o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ 9794 & 976976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 4 Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α α) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ B Β
Διαβάστε περισσότεραΟ Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α
Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 1. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: Ι ΑΠ. 36 2. Να δείξετε ότι: i) Για κάθε x (0, + ), 2x e x + e x -1 > 0 ii) Θεωρώ την συνάρτηση f(x) = 2x e x + e x - 1 iii. Αρκεί
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o
Διαβάστε περισσότεραln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει
Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα 4o Α Δίνεται η συνάρτηση h ( ), η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] β αβ Να δείξετε ότι h d hαβα Β Δίνεται η συνάρτηση f α ( ) ln i Να βρείτε το πεδίο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α4. α) Λάθος. Το θεώρημα ισχύει για διάστημα και όχι για ένωση διαστημάτων που είναι το σύνολο Α. Π.χ.
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ENNIA (9) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Θεωρία σχολικού βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C
Διαβάστε περισσότεραΠανελλαδικές εξετάσεις Μαθηµατικά Προσανατολισµού Γ Λυκείου. Ενδεικτικές Απαντήσεις ϑεµάτων. Θέµα Β. (α) ϑεωρία. (ϐ) i, ii) ϑεωρία.
Πανελλαδικές εξετάσεις 09 Μαθηµατικά Προσανατολισµού Γ Λυκείου Ενδεικτικές Απαντήσεις ϑεµάτων Θέµα Α Α α) ϑεωρία ϐ) i, ii) ϑεωρία Α ϑεωρία Α3 ϑεωρία Α4 α) Λάθος {, x < 0 διότι για τη συνάρτηση fx) = ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας
Θεώρημα Bolzano Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν: Η f είναι συνεχής στο [α, β] και Ισχύει f(a)f(β) < 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 (α, β) τέτοιο ώστε
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΜΕΡΟΣ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ η Έκδοση, Ιανουάριος 7 Γιάννης Καραγιάννης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ., x 1
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Τρόποι ολοκλήρωσης-θεµελειώδες θεώρηµα Θέµα lnx+, x > x ίνεται η συνάρτηση f(x) =. Να αποδειχθεί ότι η f είναι x, x x + ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [,] και να υπολογιστεί
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 08 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/06/08, :0) Οι απαντήσεις και οι
Διαβάστε περισσότεραf(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)
. Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.
ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,
Διαβάστε περισσότερα********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε
Διαβάστε περισσότεραΤεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότερα2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.
. Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία
Διαβάστε περισσότερα23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότερα20 επαναληπτικά θέματα
0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότερα( ) x( x ) ( ) 1.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ. Είναι f x ( x ) οπότε. 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=
.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι Είναι ( ) () + 9 () + 9 + () ( ) + 9 + 9 + 9 () + 9 + () + 9 + + 9 ( )... οπότε. Δίνεται η συνάρτηση () + Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g( ) ( ηµ ) ( ) (
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 99 Α. α) Ψ β) Η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης:
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.
ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f
Διαβάστε περισσότεραΑ1. Θεωρία Σελίδες Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ 2014
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΡΤΗ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία Σελίδες 33-33 Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ ΑΘεωρία
Διαβάστε περισσότεραg x είναι συνάρτηση 1 1 στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως
ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη θεωρήματος σελ. 99 σχολικού βιβλίου. Α. α. Ψευδής β. Θεωρούμε τη συνάρτηση, 0 g, 0 η οποία έχει γραφική παράσταση (σχήμα σχολικού βιβλίου σελ.5): y O y=g() Η g είναι συνάρτηση στο Ag
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ, 2 Ο ΠΕ.ΚΕ.Σ. ΝΟΤΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 08-09/ 0-06-09 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.
Διαβάστε περισσότερα1, x > 0 η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, 0) και (0, + ) του πεδίου ορισμού της D f = R.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ: Όρια Συνέχεια Διαφορικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Μαρτίου 8 Θερινά Τμήματα Απαντήσεις ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 33. (Μονάδες 5) Α. Σχολικό
Διαβάστε περισσότερα6 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 η ΕΚΑ Α 5. ίνεται η συνάρτηση ln, αν > 0 f () 0, αν 0 Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 i Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιµών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)
ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟ ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) Στις επισυναπτόμενες σελίδες του παραπάνω βιβλίου έχουν γίνει από τον συγγραφέα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ( ) ( ) ( ) α β, παραγωγίσιμη στο ( ) β με. β α β α. f β f α. g ( ξ ) = 0, δηλαδή
Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισμός Το θεώρημα μέσης τιμής αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος Rolle Λόγω όμως των πολλών και σημαντικών εφαρμογών του θεωρείται ένα από τα πλέον θεμελιώδη θεωρήματα της ανάλυσης
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x
ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,
Διαβάστε περισσότεραθ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Η κοινή ρίζα των εξισώσεων αυτών είναι μ =. Επομένως το Ρ(χ) είναι
1 2-1 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Οι παραστάσεις -χ 3 +1 και -χ 3 +3α 2 χ-3αχ 2 +α 3 είναι πολυώνυμα του χ,ενώ οι παραστάσεις χ + και χ 4-2χ ι/3 + 4χ- 1 δεν είναι πολυώνυμα του χ. 2. i) P(x) + Q(x) = x 2-5x
Διαβάστε περισσότερα3.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας
.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 49 - A Oµάδας. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() +, τις ευθείες, και τον άξονα των Βρίσκουµε το πρόσηµο
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση
Διαβάστε περισσότεραΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Ιουνίου 9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ Α Α. α) Ορισμός σχ. βιβλίο σελ.
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ
ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο Μαΐου 9 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Απόδειξη σχολικού
Διαβάστε περισσότεραΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ
ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ
ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 19 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω f μια
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος
Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική
Διαβάστε περισσότεραΓια να προσδιορίσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης η πρέπει να βρούμε το πρόσημο της h, το οποίο εξαρτάται από τη συνάρτηση φ(x) = e x 1
ΘΕΜΑ Έστω οι συναρτήσεις, g με () και g() ln( + ) +. Να αποδείξετε ότι οι C, C g έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο. Στη συνέχεια να δείξετε ότι στο σημείο αυτό έχουν κοινή εφαπτόμενη, την οποία και να βρείτε.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 9 ΘΕΜΑ Α Α α Σχολικό σελ 5 β i Σχολικό σελ 35 ii Σχολικό σελ 36 Α Σχολικό σελ
Διαβάστε περισσότεραγια τις οποίες ισχύει ( )
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότερα