ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3.1 Α' ΟΜΑΔΑΣ. 1. Έχουμε: = -συνχ + ημχ+c. ii) j* * + x + ^dx = jxrfx+jidx + j"-?- & = + x + ln x\+c 2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3.1 Α' ΟΜΑΔΑΣ. 1. Έχουμε: = -συνχ + ημχ+c. ii) j* * + x + ^dx = jxrfx+jidx + j"-?- & = + x + ln x\+c 2"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3.1 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε: i) (* 3 +ημτ+συνχ)<& = χ 3 ίώ^ \$xdx+ j συνχάχ χ 4 = -συνχ + ημχ+c ii) j* * + x + ^dx = jxrfx+jidx + j"-?- & x = + x + ln x\+c hi r iii) ^3x-jxdx = 'i^x 1 dx='i^ + c = x +c +1 iv) j^-^~-dx= jx dx + jxdx+j4dx x3 = +x 3 +4x+c v) [ f e x + <τυνχ jdx = fe'dx -3j + ^mnxdx - ί : x dx~ 3j j(ημχ)'ί& = e* -31η χ + -ίημχ +Γ.

2 3,1 "I συν * συν * -j-w- dx J συν χ vi) = εφ*+σφχ+c. f χ + 3 Γ x + + l Γιj Γ νιι) ι dx = dx = life + J x + j x x + J J = x+ln x + + c. J ημ nix χ dx dx x +. Επειδή J f\x)dx = f(x)+c, έχουμε διαδοχικά \ j=dx = f(x)+c J y/x 1 _l Jx 1 dx = f(x) + c = f (x) + c, f(x) = -Jx - c. Επειδή /(9) = 1, έχουμε -j9-c = l, οπότε c- 5. Επομένως /(*) = l Jx Επειδή J f"(x)dx = f'(x) + c, έχουμε διαδοχικά: J* 3c/xr = /'(x) + c, f\x) = 3x-c. Επειδή /'(1) = 6 έχουμε 3-c = 6, οπότε c = -3. Επομένως /'(*) = 3*+3. Επειδή J f\x)dx = /(x)+c, έχουμε διαδοχικά: j" (3JC + 3)c6c = f (x) + c 3 /(x) ~~^χ1 +3x-c. 3 Επειδή /(0) = 4 έχουμε c, = 4, οπότε c, = Επομένως /'(*) = +3x

3 3 j 4. Έχουμε διαδοχικά: jf"(x)dx = f'(x)+c J( Ix + )dx = f\x)+c Επειδή 4x 3 + X = /'(X) + C, /'(x) = 4x 3 +x-c. /'(1) = 3, έχουμε 4 + -c = 3, οπότε c = 3. Επομένως Επίσης έχουμε διαδοχικά /'(χ) = 4x 3 + x-3. J/'(x)<fr = /(x) + c, J(4x 3 +x-3)<& = /(x) + c, Χ 4 +x -3Χ = /(x) + c,, /(χ) = χ 4 +χ -3x-c,. Επειδή το Λ(1,1) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της/, έ- χουμε: /(1) = 1 <=> c, =1<=>C, =-. Επομένως /(χ) = χ 4 +x -3χ Επειδή N'(t) = ~ e 0» έχουμε διαδοχικά jn'(t)dt = N(t)+c f e" 0 dt J 0 = N(t) + c e" 0 = N(t)+c N(t) = e" 0 -c Επομένως, η αύξηση του πληθυσμού στα πρώτα 60 λεπτά, είναι ίση με: ν(60)~ ν(0) = (e 60 ' 0 -c)-(e -c) = e 3 1 = 19 εκατομ. 85

4 6. Αν Κ(χ) το κόστος, σε ευρώ, της εβδομαδιαίας παραγωγής χ, τότε Κ'(χ) = χ +5χ, οπότε έχουμε jk'(x)dx = K(x)+c ή οπότε J(x +5 x)dx = K(x)+c, Κ(χ) χ = * 3 Η χ 5 c. 3 Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ΑΓ(0) = 100, οπότε -c = 100 και άρα c = Επομένως, η συνάρτηση κόστους της ε- βδομαδιαίας παραγωγής είναι: χ 3 5χ Κ(χ) = w 3 7. Έχουμε διαδοχικά: jr'(t)dt = R(t)+c ^0+10/- i j j^ = i?(0 + c, Λ(/) = 0/+5ί ^/ 3 -c., 1 λ Προφανώς Λ(0) = 0, οπότε c- 0 και άρα R(t) = 0t+5t - t. 4 Επομένως τα βαρέλια που θα αντληθούν στους πρώτους 8 μήνες είναι: Λ(8) = = = 35χιλιάδες β' ομαδασ 1. Επειδή T'(t) = -kae' h, έχουμε διαδοχικά: J T\t)dt = T(t)+c j-kae~ h aj(e t 'Ydt dt =T(t)+c = T(t)+c, 86

5 T(t) = ae b -c. Επειδή Γ(0)+α και Τ(0) = αε~^-c = a-c, έχουμε Επομένως T 0 +a = a -coc = -T Q. T(t) = ae~ k> +Τ 0.. Έχουμε διαδοχικά jp'(x)dx = P(x) + c χ J 58e ~ dx = P(x) + c χ 5,8 (-000) j(e )'dx = P(x) + c P(x) = e 000 -c. To συνολικό κέρδος που οφείλεται στην αύξηση της επένδυσης από σε είναι: Ρ(6000)-/"(4000) = ^ -c e _ +c e-l N = 11600(e e ) = \ e / = ,086 = 997,6 χιλιάδες ευρώ = ευρώ 3. Έστω P(t) το κέρδος της εταιρείας στις πρώτες ί ημέρες. Τότε Ρ(ί) = Ε(ί)-Κ(ί), οπότε P'(t) = '(/) - Κ'(/) = , ,6t = ,91. Έτσι έχουμε διαδοχικά: \p'(t)dt =P(t) + c J(00 + 0,9t)dt=P{t) + c P(t) = 00/ + 0,9 + c.. 1 To συνολικό κέρδος της εταιρείας από την 3 η έως την 6 η ημέρα είναι: 87

6 P(6) - P() = ,9 ~+ c, ,9 y - c, = 116,-401,8 = 814,4 ευρώ. 4. i) Από την ισότητα /"(x) = g"(x) έχουμε διαδοχικά /'(*) = g'w+c, /(x) = g(x)+c,x+c. (1) Για x = 0 είναι /(0) = g(0)+0+c, οπότε c = 0, αφού /(0) = g(0). Επομένως /(*) = g(*)+c,* () Για x = l, από την (), έχουμε /(1) = ^(1)+^, οπότε c, =1, αφού /(1) = ^(1) + 1. Έτσι από τη () προκύπτει /(*) = (*)+* ii)h /(χ) είναι συνεχής στο [α, και ισχύει /(α) = #(α)+α = 0+α = α<0 ί(β)=ε(β) + β = 0 + β = β>0. Άρα, /(α)/(/?)<0, οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (α, β). 3. Α' ΟΜΑΑΑΣ 1. Έχουμε i) Jx e~*c/x=-jx (e *)'</χ = -x e~" + j xe~" dx =-χ e-jx(e~*)'<&: = -x e~*-xe~ x + f e~"dx = -x e' x -xe~ x -e~ x +c = e x (x + x + ) + c. ii) J(3x -x + l)e 'ii«: = -i-j(3x -x + l)(e x )'(fe 88

7 = I (3x - x + l)e ' - - J (6x - )e jt < c = (3x - x + \)e x - i J (6* - )(e ji )'Λ = - (3x - x + l)e * --(6x-)<? * + - f6e *< t 4 4 J = -e *(6x - 4 x x + ) + -<? jt +c 4 4 = i-e *(6x -10x + 7) + c i iii) Jx 3 lnxi c = fixate χ 4 f χ 4 = l n x - J (lnx)'i c = ix 4 lnx - f x*dx = x 4 lnx- +c 4 4 J 4 16 iv) [χ ημχ & = Jx (owx)'dx: = -χ συνχ+j xai)vxiir = -χ συνχ +J χ(ημχ)'ύί»τ = -χ συνχ + χημχ - J ημχί τ = -χ συνχ+χημχ+j συνχ+c = ^-χ +^συνχ + χημχ + ί. ν) 4χσυνχ<& = χ (ημχ)'6ίτ = χημχ - J ημχί& = χημχ + συνχ+ε 89

8 .. /, ***** vi) J In xdx = J" (x)' In xdx = χ In x - J \dx = χ In χ - x+c,") ί^λ= "ί(ί) ω - +c viii) I = Je*ouvx<fc = e x ouvx+j β"ι\μxdx Άρα = ε χ συνχ+β*ι\μχ-4^ e'amlxdx. I = e z (συνχ+ημχ) = e* (συνχ+ημχ) I =^e* (ouvx+ημχ)+c.. ϊ)θέτουμε u = 3x, οπότε du = 3dx και άρα dx=~du. Επομένως, J x\y&xdx = J x\\mdu = i ouvu+c = - <jw3x+ c Η)θέτουμε «= 4χ -16χ+7, οπότε du = (8x-16)<& = 8(χ-)ώ:. Ε- πομένως * J(4x -16x+7) 3 (x-)<fc = jv<fo=i^-+c = (4x -16x+7) 4 +c. 3 ϊϊϊ)θέτουμε u = x + 6x, οπότε du = (x+6)(fr = (x+3)a!r. Επομένως, f * +3 dx = ±{^-=±{ u *d«=*-^+c J (x +6x) 4 J m 4 J = -+C = r r+c. 6 u 6(x +6x) iv) θέτουμε κ = +χ, οπότε du = 3x dx. Επομένως, 90

9 Γ I χ -dr, = If Ι du = 1 f 4 I u j du = χ u +c = ( 3 + r x +c ). lyfcs 3J^ 3 J 3 3 ν) Θέτουμε a = x+l, οπότε du = dx και x = u-1. Επομένως, J x-jx+ldx = J (u-\)-judu = Ji/ du-ju du = a \ \ a +c 5 3 :j# [ji/-i + c - = (x+l) (3x-) + c. 3. i) Θέτουμε a = e x, οπότε du = e'dx. Επομένως, β*ημ * & = J x\\utdu = -συν«+c = -σονex+c ii) θέτουμε a = e x +1, οπότε du = e'dx. Επομένως, J -d!r = J = ln a +c = ln(e* +l)+c. iii) θέτουμε u = In χ, οπότε du= dx. Επομένως, χ f * j wlnx f * ' va» j = -Ja+c = ->/lnx + c. ι +c ίν) θέτουμε a = ln(e* +1), οπότε du = dx. Επομένως, e' +1 f dx = f = ln a + c J (<?*+1)1η(έ!*+1) J u = ln ln(e* +1) + c = 1η(1η(? χ +l))+c 91

10 αφού ln(e x +1)>1η1 = 0. ν) Θέτουμε u-, οπότε du = \-dx. Επομένως, χ χ J j i '. -~dx- - j T\\mdu = συν«+ c = συν ι-c 3. Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Θέτουμε κ = 1 + συν χ, οπότε du = -ημχσυνχ & ή du = -ημχί&. Επομένως, J 1 + συν χ J u ii) Θέτουμε u = Ιη(συνχ), οπότε du = - dx = -εφχάχ. Επομένως, συνχ εφχ 1η(συνχ)ώ = - J udu = - +c = - [1η(συνχ)] + c iii) Θέτουμε u =ημχ, οπότε du - crovxdx. Επομένως, t J awxe^dx = e"du =e" +c = β ημι +c., x 3 +1,, 3x -x 3-3X (X 3 +1), -3. ι) Θετού με u=, οπότε du = -dx = dx. X 3 X 6 X 4 Επομένως, il x3 +] 1 dx : : = -^jyfudu =~ ju du x 3 x 4 3J 3 i + i, 1 u 1 u x i + c ~ 3 +c ~ * x 3 + c. μενως, x +1, οπότε du = Jr= dr Επο- Vx +1 Vx +1 9

11 Χ ί, J ^!s7ϊ dx- ί du = u+c = -Jx +1 +c. J iii) Θέτουμε u = x +1, οπότε du = xdx, οπότε έχουμε j" * ln(x + l)ifc = -j In udu = -ί j" (u) 'In udu = u lnu- f du J = -^u In«- ί«+c =i(x + l)ln(x + l)-i(x +l) + c. 3. i) Έχουμε:!- Inx dx= I I lnx ife,3 «Inje 1 - f Vu')'<fr x> 1 = x 31 lnx \ f j x 3 lnx χ dx = χ-+c, 3 3 J 3 9 *V., = T lnx "I +c ii) Έχουμε J(In/) dt = j(/)'(ln/) dt = /(In/) - J/ \nt(\nt)'dt = /(In/) -jintdt = /(In/) -j(/)"1η/λ = /(ln/) -iln/+j/-rf/ = /(ln/) -/ln/ + / + c iii) Θέτουμε u = e x, οπότε du = e'dx. Επομένως e x <m\e x dx = J e x avve x e x dx = J umvudu = J u{y\ym)'du = ιn\\iu - J T\\wdu 93

12 = «ημ«+ συν«+c = e'mae* +mve* +c. 4. i) Έχουμε ημχ r (συν*)' f εφχί/χ = f dx = - f J rfr J J συνχ mivr συνχ = In i συνχ I + c και x J -γ-dx = χ(εφχ)'ί τ = χεφχ-j εφχόχ συν'χ = χεφχ + ln συνχ j +c,. ii) Θέτουμε u = ημχ, οπότε du = συνχώτ. Επομένως, Επίσης έχουμε ίίί)έχουμε Γ συνχ Γ du 1 1 τ-άχ = = +c = + c. i ημ χ J w u ημχ Γ1 + συνχ r 1, Γ συνχ, ί/χ= dx + dx J J ημ χ ημ χ J ημ χ 1 = -σφχ 1- c. ημχ ημ 3 χκ/χ = J ημ χημ«/χ = J (1- συν χ)ημχ</χ. Θέτουμε u = συνχ, οπότε du = -\]^ixdx. Επομένως, ημ, χί/χ = - (1-Μ )βί«= ju du-jldu Επίσης έχουμε συν χ = u+c = συνχ + c. 3 3 u 3 J συν 3 xdx = J συν xcruvxc/x = J (1 - η μ x)ouvx<fr. Θέτουμε u =ημχ, οπότε du = συνχώτ. Επομένως, j συν'χί/χ = J(l-!/ )f/«= u- + c =ημχ-^ * +c 94

13 5. Έχουμε i) ^χ\μ χάχ= J , = χ ημχ ί, fl + <n>vx 1 1 συν xdx = dx = x + ημζλτ + c J 4 iii) ^τ\μ χσυν χάχ = ~ [ημ χ<& 4 ί fl -συν4χ -dx =Ix-I ί«συν4χί& 8 8 J 1 1 χ ημ4χ >. + ο Έχουμε i) j ημχσυ\'χώ = ^ [ημ(-χ) + ημ3χ]ίλτ = j" ημχί/χ + γ j" \\\iixdx 1 1 = συνχ συν3χ + c 6 ϋ) ί σΐ)ν3χσυν5χώτ = γ J (συνχ + συν8χ)ί/χ = ί συνχί/χ + ί συν8χί/χ J J 1 = ημχ -, + 1 ημδχ ο + c 4 16 iii) j" ημχημ4χί τ = -ί " (συνχ-συν6x)dx 1, 1, = ηιιχ ημόχ + c

14 7. i) Έχουμε: f x-3, Γ(χ -3χ+)',,, ; ~ d x = j <fc = ln x -3x+\+c. 1 J χ -3x+ J χ -3x + ii) Έχουμε: 3x + 3x + 5 =, xsr-fl, }. x x -3x+ (x-l)(x-) ' Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Λ, Β έτσι ώστε: 3χ + Α Β -+ -, για κάθε xer-{l,}. (x-l)(x-) x-l χ- Με απαλοιφή παρανομαστών έχουμε τελικά: (Α + Β)χ-(Α + Β) = 3χ +, για κάθε xer-{l,} (1) Η (1) ισχύει για κάθε χ e IR -{1,}, αν και μόνο αν Επομένως Α + Β = 3, Α = 5 και Β = 8. ra-b = J χ -3χ + J x-l J χ- = 5 In I x-l + 81n x- + c. iii) Από τη διαίρεση (x 3 -x):(x +3χ+) βρίσκουμε: οποτε χ 3 -χ = (χ + 3x + )(x-3) + 5x+6 Εξάλλου έχουμε: χ 3 -χ 5χ+6 χ +3χ+ = *~ 3 +,.,. Χ +3Χ + (ό 5x + 6 5χ + 6 χ -3χ+ (x + l)(x + ) Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Λ, Β έτσι, ώστε 5χ + 6 Α Β - = -+ για κάθε xelr-{-l,-}. (x + l)(x + ) χ + 1 χ+ Με απαλοιφή παρανομαστών, έχουμε τελικά 96

15 (Α + Β)Χ+Α + Β = 5Χ+6. () Η () ισχύει για κάθε xer-{-l,-}, αν και μόνο αν Α + Β = 5 ο Α = 1 και Β = 4. Α + Β = 6 Επομένως λόγω και της (1) έχουμε: \j?-z^dx=\{x-3)dx+\ +\-^ dx J χ 1 + 3x+ J J * + 1 J x + χ 1 = -3x+ln x+l + 41n x+ +c. iv) Έχουμε - = για κάθε xer-{l,-l}. χ 1 x-l x+1 Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε (α + β)χ+α-β =. (1) Η (1) ισχύει για κάθε x e R - {L, -1}, αν και μόνο αν [Α+Β = 0 <=>/1 = 1 και Β = -1. Α-Β = Επομένως, έχουμε f dx= \-^ dx- f -dx = ln x-l -ln x + l + < J x J -l x-l J x Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: dx = -Axdx. y ί ^ ί " λ 97

16 y = -χ +c, ι y = ~ i, cer. χ +c ii) Η εξίσωση γράφεται dy y = χ dx ydy = xdx. J ydy = J xdx y 1 = +c. x 1 y = x + c. y j - χ =c, y = Vc+x, αφού y>0 (cer). iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: = xy dx = xctc. y i 7 M xdx ln y =x +c, y Ι I = e \y\=e«e* y = ±e c ' e x * y = ce*, όπου c = ±e* 98

17 iv) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: dy = e ^συνχ dx e"dy = συνχάχ j e y dy = j avvxdx e" = ημχτ+c ^ = 1η(ημχ + ο), cer. i) Μία παράγουσα της a(x) = είναι η Α(χ) = χ. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με e x και έχουμε διαδοχικά: y'e x + e x y = 3e x (ye x )' = 3e x j(ye x )'dx=j3e x dx ye x =-e x +c 3 y = + ce' x, cer. ίί)μία παράγουσα της «(x) = είναι η A(x) = x. Πολλαπλασιάζουμε με e * οπότε έχουμε διαδοχικά y'e x + ye x =e x (ye x )' = e x j(ye x )'dx = j e x dx ye x =e x +c y = e~ x +ce~ x, cer. iii)mia παράγουσα της a(x) = l είναι η A(x) = x. Πολλαπλασιάζουμε με e*, οπότε έχουμε διαδοχικά y'e x +ye x =e x χ (ye x )' = e'x 99

18 'Κ ί : χ : χ j(ye')'dx = je' -xdx ye* +c, =xe* -Je'dx ye' = xe" -e x +c y = x-+ce~', cer. iv) Μία παράγουσα της a(x) = x είναι η A(x) = χ. Πολλαπλασιάζουμε e'', οπότε έχουμε διαδοχικά y'e' + xe' y = xe xi (ye' )' = xe' ye' f +c, = I xe' dx 3. Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: x 1 1 * ye = e +c ^ = *v dx %= x dx y jy~ dy = ijx I dx y = +ce, celr. 1 3 = x +c. y 3 1 _ x 3 + 3c, y Επειδή y(0) = -3, έχουμε = -3, οπότε c = 1. Άρα c 300

19 y = -3 x Η εξίσωση γράφεται y' + 3y~. Μια παράγουσα της α(χ) = 3 είναι η Α(χ) = 3χ, οπότε έχουμε διαδοχικά y'e 3 ' +3 ye 3 ' = e 3 ' y'e 3 ' +y(e 3 ')' = e 3 ' (ye 3 ')' = e 3x J (ye 3x )'dx = je 3 "dx ye 3x = e 3 ' +c 7 3 c y=- + t,τ- 1 + v 3 c Επειδή y(0) = έχουμε = + -, οπότε c = 0. Άρα y = e 3 5. i) Μια παράγουσα της a(x) = i-r είναι η Α(χ) = εφχ. Πολλασυνχ πλασιάζουμε με c*, οπότε έχουμε διαδοχικά: y'e^+e^ l-y= συν χ 1 συν χ (ye^y^e^ συν χ ye"* +c, = fe"" ί dx i συν x ye"* + c, =je" fx (εφχ)'<& ye- =e" x +c y = X+ce'"^. Επειδή y(0) = -3, έχουμε -3 = 1+c, οπότε c = -4. Άρα,=1-4r. 301

20 ii) Επειδή x>0, είναι x+l >0, οπότε η εξίσωση γράφεται, 1 1. y+ ν = lnx. χ+1 χ+1 Μία παράγουσα της α(χ) = ί είναι η Α(χ) = ln(x +1). Πολλαχλαχ+1 σιάζουμε με β** χ * η =χ+1, οπότε έχουμε διαδοχικά y-(x+l)+y = lnx CKx+1))' = lnx y(x+l)+c l = Jin xdx y(x+l) = xlnx-x+c y= xlnx-x+c x c Επειδή _K1) = 10, έχουμε - = 10, οπότε c = 1. Επομένως xlnx-x+1 x Β' ΟΜΑΔΑΣ Ι. Μία παράγουσα της a(t) = 1 είναι η A(t) = t. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης με e' και έχουμε διαδοχικά: l\i)e' +I(t)e' = ε'ημί (/(/)*')' = *'ημί 7(/)e' +c, = J ε'ημίίλ (1) Εξάλλου έχουμε J β'ημ/ώ = «'ημ/ - J e'amvtdt = «'ημ/ [ϊ'συνί+j «'ημ/<//], οποτε Jβ'τ\μίάί = e' (ημ/ - συν/) +c,. 30

21 Άρα J ε'ι\μίάί = -ί e' (ημ/ - συν/)+c, οπότε από την (1) προκύπτει ότι I(t)e' =-^ν(ημ/-συν/)+ :. Για / = 0 έχουμε /(0)e = e (ημο - συνθ) + c 0 = -+c Έτσι, τελικά είναι 1 c =. I(t)et = ~ e ' (ημ* - συν/)+ 7(/) = ^(ημ/-<η>ν/)+^<γ'. Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: ye y ν 4y = e ΐχ dx Άρα ye"* dy = e 1 *dx. jye" dy = ^e x dx e 1 y, = e 1, +c. 1 =e 7 ' +c, = e * +c, cer. Επειδή y() =, έχουμε e 4 =e 4 +c, οπότε c = 0. Επομένως e^ =e x, οπότε y =x και άρα y = -Jx, αφού περνάει από το σημείο Α(,). 303

22 3. Μία παράγουσα «(*) = είναι η Λ(*) = -1ηχ. Πολλαπλασιάζουμε χ - Μ, ι"- 1,,.. με e =«*=. οποτε εχουμε όιαόοχικα χ, y γ.ν = χ- x x χ 4 - ' 1 y = x+c χ y- χ +cx, cer. 4. Ισχύει y' = xy, y > 0, οπότε έχουμε διαδοχικά:, lnv = + c,. v>0 y = et'l i v = c-e, c = e c ' >0. Εξάλλου ισχύει y(0) = 1, οπότε c = 1. Αρα y = e. 5, ι) Μία παράγουσα της a(t) = a είναι η A(t) = at, οπότε έχουμε διαδοχικά y'e" +ae"y = fle'"-e' (a i)l (ye" Υ = fie 304

23 . : ye a, +c l = J fie^'dt ye" =JL e <'-»'+c α-λ Άρα β -b c y = e +. α-λ e" y(t) = β 1 c η, cer. a-ke h e 1 c ii) Επειδή a > Ο, λ > Ο ισχύει lim = Ο και lim = Ο, οπότε /->+<» g " /->+ ^ lim y(t) = Επειδή θ-τ>0 η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: άθ Θ-Τ = -xdt r <1Θ = -tct+c,, 3 Θ-Τ Ιη(θ-Τ) Θ-Τ = -Kt+c l = e'"* Cl Εξάλλου Άρα θ(ί) = Τ+ce~", c = e CI. θ(0) = θ 0 οθ 0 = Τ +c-e <*c = 0 o -T. θ(() = Τ + (θ 0 -Τ)β κ '. 7. i) Έστω Ρ,(ί) ο πληθυσμός της χώρας, αν δεν υπήρχε η μετανάστευση και P (t) ο πληθυσμός που έχει μεταναστεύσει μέχρι τη χρονική στιγμή ί. Τότε ο πληθυσμός της χώρας είναι οπότε P(t) = P i (t)-p (t) p\f)=p;(t)-p[(t). (ί) 305

24 Είναι όμως P\(l) -k-p(t) k>ο > 9 αφού έχουμε ρυθμό αύξησης του Ρ, (Ι) ανάλογο του P(t). Επίσης είναι P[(t) = m, οπότε η (1) γράφεται ή ισοδύναμα P'(t) = kp(t)~m, P'-kP = -m Μία παράγουσα της α(/) = -k είναι η A(t) = -kt. Πολλαπλασιάζουμε με e~ b τα μέλη της εξίσωσης, οπότε έχουμε διαδοχικά: P'e b -ke~ b Ρ = -me' b (Pe b y = -me b Pe~ b +c, = -mj e b dt % Pe b = e b +c P(t) = +ce b. k Επειδή P(0) = P a, έχουμε P 0 = +c, οπότε c = P 0 -. k k P(t) = j + R}" \P 0 ~\e", k>0 Άρα iii) Είναι P'(t) = (kpj -m)e b αν m <kp 0 τότε P'(t) > 0, οπότε ο πληθυσμός αυξάνεται. αν m > kp 0 τότε P'(t) < 0, οπότε ο πληθυσμός μειώνεται. αν m = kp 0 τότε P'(t) > 0, οπότε ο πληθυσμός είναι σταθερός. 8. ϊ) Ο όγκος του νερού της δεξαμενής τη χρονική στιγμή t είναι V(t)=xr y(t) = xy(t), όπου r = 1 m η ακτίνα του κυλίνδρου, οπότε 306

25 Εξάλλου έχουμε V\t) = ny\t). -a^gy = 7Γ ^/0 ν = -0,0π ^5γ. Έτσι ο νόμος του Torricelli γράφεται ή ισοδύναμα πν' = -0,0nyf5y, 50 ν " (1) ii) Προφανώς το y = 0 αποτελεί λύση της (1). Για _y>0 η εξίσωση γράφεται fy so οπότε έχουμε διαδοχικά: ί ν 1 dy = ^-/+c J 50 v"*=z^, + c 50 m = z a t + l 100 y= λ/5 c /+ 100 Όμως ισχύει v(0) = 36 din, οπότε 36 =, συνεπώς c = 1. Άρα v(0 A 100 /+6 iii)h δεξαμενή αδειάζει τελείως, όταν y(l) = 0 Έτσι έχουμε: 3,(,) = 0 «- ^ ΐ / + 6 = 0 «/ = ^ = ^ ^ = 1 0 ^ sec. 100 Λ/ Η Ε = 0 αποτελεί μία προφανή λύση της διαφορικής εξίσωσης. 307

26 Για Ε > Ο η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: de 1 RC -dt ln t+c, RC 1 E(t) = - e +c1 RC E(t) = k-e RC, k = e. Εξάλλου»i il E(t 1 ) = E 0 o 0 = *e «<*k = E 0 e KC. Αρα h-t E(t) = E 0 e* c. 10. ϊ)α)αν αντικαταστήσουμε τις τιμές των R, L και Ε, κανόνας του Kirchhoff γράφεται ή ισοδύναμα 4/'+1/ = 60, /'+37 = 15. (1) Μία παράγουσα της α(/) = 3 είναι η A(t) = 31. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη (1) με e 3 ', οπότε έχουμε διαδοχικά: I'e 3 ' + 3e 3 '/ = 15e 3 ' (7c 3 ')' = 15e 3 ' 7e 3 '+c, = 5 J 3e*'dt Ie 3 ' =5e 3 ' +c. β)είναι lim 7(/) = lim /->+<«/->+OO( /(0 = e 5+^ =

27 Από την ισότητα lim 7(ί) = 5 συμπεραίνουμε ότι για «μεγάλες» τιμές /->+ΟΟ του t η ένταση γίνεται σταθερή και η γραφική παράσταση της y = I(t) έχει ασύμπτωτη την ευθεία ^ = 5. ii) Αν Ε = 60ημ3ί ο κανόνας του Kirchhoff γράφεται διαδοχικά: /' + 37 =15Εημ3ί I'e 3 ' + 3e 3 '/ = 15 3 'ημ3/ (Ie 3 ')' = 15β 3/ ημ3ί Ie 3 ' +c, = 5j 3β 3 'ημ3/λ. () Θέτουμε J = J3β 3 'ημ3/α, οπότε J = (β 3 ')'ημ3/λ = β 3 'ημ3ί -3J «3, συν3 tdt = ε 3 'ημ3ί - J(e 3 ' )'συν3 /Λ = ε 3 'ημ3ί -[ε 3 'συν3/+3 β 3 'ημ3/ί//] = e 3 ' (ημ3ί - συν3ί) - 3 J. Άρα Λόγω της () έχουμε J = β 3 '(ημ3ί-συν3ί)+ίι, 4 c,elr. Άρα Ie 3 ' - «3 '(ημ3/-σον30+ε 4 /(0 = 4 (ημ3/ - συν e 3.4 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε ί) J 4 f(x)dx = - f(x)dx =

28 mmgm^^mxrn «) f(x)dx = /(x)dx +f f(x)dx = - /(X)i c+jj 8 f(x)dx = = 4 iii) /(*)<& = f(x)dx+ /(x)«ic = 9 - /(*)<& = 9-11 = - iv) f(x)dx = f{x)dx+^f(x)dx + f(x)dx = 11 - C'f(x)dx +13 = 4-9 = 15.. Έχουμε r' 1. r 1 I In - f dt = \ (In 1 - In t)dt = -j' In /df = ^ In tdt. i * x* 4 η 5 ^ dx- j^ ~dx-3 γράφεται διαδοχικά: γ4ζ! λ + ]*_5_ α β 3 J' x +1 Ji χ +1 γ* ^= 3 Ji χ +1 j\dx = 3 (*-l) = 3 = Έχουμε i) [/(x) - 6g(x)]dx = 3 f(x)dx - G^g{x)dx = 5-6 (-) = ") jj/(x) - (*)]<& = /(x)< c - j^g(x)dx = -1 /(*)<&+ g(*)<fr = --5- =

29 3.5 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε r i) f (3x -x + l)<i*: = [x 3 -χ + x]q =[ 3 - +] [Ο 3 -Ο +0] = 6 Jo jl -j7 jl xji λ x λ = [lnx][ + -1 = Ine-lnll^xj, = 1 - Je 1. = 3- Χ Ν iii) (συνχ - ημχ)ί& = (ημχ+συνχ)ά = [ημχ+συνχ], = ημ +συν -ημθ-συν0 = 1- = -1 ' iv) ί(* + χ) <&e f(*,+ p- + } fc = f*,<fr+ f*",<fc+ f«fc "χ 3 " ν λ (-1) = 1 [ τ Ι - Η «9 6. Έχουμε ι;! _±^ λ + '_^_ α = ί ί_±ζϊ χ +7χ, α. ι ί χ " χ +5 ^χ +5 Λ χ +5 Λ χ +5 -<& = Γ χ ^ +5 τ Ή " xdx = Έχουμε: 311

30 ftlffpfillf f / W W * = f(x)f(x)dx = [(/(x)) ]'dx =[(/(*)) ]f = (/(/?)) -(/(«)) 4. Επειδή η γραφική παράσταση της / διέρχεται από τα σημεία (0,0) και (1,1) έχουμε /(0) = 0 και /(1) = 1. Επομένως σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα είναι: j/'(x)dx = [/(*)]{, = /(1) - /(0) = 1-0 = i) Θέτουμε u = συνχ, οπότε, έχουμε: η*.(γ Έχουμε = V 1-συν χ (συνχ)' = Vl-συν χ-(-ημχ) = -ημχ ημχ. Γσυνι9 θ 6. i) Έχουμε: 1+- r v. - a z t h - t f Y τγχ mw-jx 1 _ -cnwx λ/χ -Jx x x Vx +1+χ /,( x)= (x+vx +!)' _ λ/χ +1 _ λ/χ^+ϊ χ + λ/χ +1 χ + λ/χ +1 x + Jx 1 +1 vx +1 ii) Αν χρησιμοποιήσουμε το ερώτημα i) έχουμε: ί'-7= = fv'(*)rfr = [/(x)]^ = /(1) -/(0) 0 v1 + x = ln(l + λ/ ) - ln(0 + λ/γ) = lna+λ/ ). 31

31 3.5 Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε διαδοχικά: d_ dx ί>«λ ) = "έ (χ4+χ6) xg(x) = 4x 3 +6x 5. Επομένως, για χ = 1 έχουμε l-g(l) = , οπότε #(1) = 10.. Η /(χ) γράφεται: /(χ) = e m 'a + J* + ' e m "dt = - J* -^ +J"' e^'dt, οπότε έχουμε: ^συν*χ ^cn)vjr(.r+l) _^συν«χ ^ συν(πχ+*) ^Σΐ)ΝΧΪ _J_^<N»V*X Q Αυτό σημαίνει ότι η/είναι σταθερή. 3. Έχουμε: και τον πίνακα /'(*) = χ- _χ- χ -οο /'(*) /(*) \. / min Η / είναι γνησίως φθίνουσα στο (-<»,], γνησίως αύξουσα στο [, + οο) και παρουσιάζει ελάχιστο στο χ 0 =, το /() = Είναι +0 F'(x) = I x j7(wj = j/(,)<ft+x/(x) 5. Έχουμε: 313

32 1 γ F\x) = -,-+- * l + x = 0. 1+χ χ +1 Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση F είναι σταθερή. F(x) = e, xe (0, + αο). Είναι όμως, F(l) = Γ dt + Γ ί dt = 0. Επομένως Jil+r -Λ 1+r F(x) = 0, xe(0, + oo). 6. Έχουμε: lim f ^5+t dt = lim *-»o h «*->o +t dt (μορφή ) [ h^dt = lima-0 (/,)' (κανόνας De L' Hospital) = limj5 + (+A) λ-+0 * = V9 =3. 7. i) Θέτουμε m=x -4, οπότε du = xdx. Τα νέα όρια ολοκληρώσεως είναι Η] = 4-4 = 1 και u =6-4 = 3. Επομένως, γ * a - i r * ι " ^/x -4 ji = Λ/3->/Ϊ =4λ/-λ/3 ϊϊ)έχουμε: f * 1 1ημ(συνχ + χ)ημχ:-ημ(συνχ+χ)] &= 1 ημ(συνχ + χ)[ημχ - l]i c. Jo Jo 314

33 I I Θέτουμε u = συνχ+χ, οπότε du = -(ημχ - \)dx. Τα νέα όρια είναι u, =συν() + 0 = 1 και w, = συν + =. Επομένως, 1 π Ρ ημ(συνχ + χ)[ημχ- \\cix = J χ t[\iudu η = [ouvw], = συν συν1 = -συν1. 8. ϊ) Έχουμε: (χ -1 χ -11 )ί& = (x + χ - *)<& + (χ - χ + l)dx Γ χ 3 χ 3 : + ~Χ ί 3 χ 3 χ -1 +χ ο L τ ~ί 1 1, 7 3, 5 = = ii) Η /είναι συνεχής στο [-π,π] οπότε έχουμε J f(x)dx= j" xrfr+ημτώτ = x τ [συν]* 71 7γ = - (συν7γ- συνο) = +. iii) Το τριώνυμο χ -3χ+ έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και και το πρόσημο του φαίνεται στον πίνακα: χ <χ> 1 +αο χ -3χ+ Επομένως έχουμε: + ο x -3x + e6r= o (x ~'ix + )dx+j^ (-χ +3x-)dx + f (x -3x + )dx ο + ~)1 3 χ +χ +! χ' -χ 3 * 3, χ +χ τ! + Γ *, 13~ + J'L %

34 9. i) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε; Γ* ίη Λ= Γ" & = Γ' ( >/*)'; In xnx Jl -Jx J 1 -Jx J' = lufx lnx]f -f -Jx dx Ji χ = elne -1n/ dx -Jx = 4e-4[Vx]' = 4e-4(e-l) = 4. ii) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε: ^xe 'dx = -jx( e ~ x )'dx = ~\ xe '\o + f 0 e %(ix e \e J e e ίϊί)θέτουμε u=9 + x, οπότε du = xdx, «, =9 και m =10. Επομένως: / 1-1 /*10 1 p10 xln(9+x )<& = In udu = j(u)'\nudu u\nu I01nlO_91n9_I j " 9 1 = 51nl0 In 9. iv) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε. * 1 - I = p ε Χ συνχα!χ: = 0 e" (ημχ)'βίχ = [e^x] 0 J - 0 ημx-e'dx 1 - = 0+jj e x (awx)'dx β*συνχ 4 - j - Ρ e"<m\xdx 4 Jo 316

35 1 i ιο η 1, = β συνπ e συνο 7, οποτε 10. Έχουμε: = --<? --<=>/ = --(e +1) κ κ * I+J = ρ χημ χ &+J* xcmv xdx = χ(ημ χ + συν χ)ώτ = f xdx = Jo π 1 Επίσης κ 1 -J = p χ(ημ χ- συν χ)άχ = xmsvlxdx κ = ft x(i\\ix)'dx = ~ [χημχ] 0 x\\ixdx 71 -ημπ-ο α = -[συνχ] 4 = - (συν7γ-συνο) = -(-1-1) = Αν λύσουμε το σύστημα r τ π I+J = = 1 βρίσκουμε 11. Επειδή /" συνεχής έχουμε: π I π \ I- + και J /(χ)η μχλχ+j'/ "(χ)η μχώ =. (1) Όμως είναι: /J /"(χ)ημχ<& = [/'(χ)ημχ]ο "]Γ/'(*)(ημ*)'<& 317

36 = - /'(χ)συνκώ = -[/(χ)συνχ]* + /(χ)(συνχ )'ώτ = /00 + /(0) - / (x)wxdx = 1+/(0)- /(χ)ημχώ: Έτσι, ί σχέση (1) γράφεται /(χ)ημχ<& +1 + /(0) - / (χ)ημχλ =, οπότε /(0) = Επειδή οι /" και g" είναι συνεχείς έχουμε 7 " Γ (/wg"w-/"w^w)^ -Γ /(*) "(*)<&- ' f"(x)g(x)dx =[f(x)g'(x)ya -[f(x)g\x)dx-\j'(x)g(x)y a +j'f(x)g'(x)dx = Afig'ifl) - f(a)g\a)-[f{fi)g(fi) - f'(a)g(a)] = /(/0g'lfl)-f'(fl)gifi), (αφού /(a) = g(a) = 0) = Afi)g'(fi) ~ g'ifi)g(fi), (αφού /'(/?) = g'(fi)i* = g ' o w w - g m 3.6 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε: 0 = Jo (/(x) ~ l)dx= i f(x)dx ~i ldx = /(*)*-: 1 ' οπότε J o '/(x)rfr = 1» = 1» / = 1. Έχουμε: 318

37 οποτε ο = (/(*)- *)<& = f /(*)<& - = - «), j'/(*)<** = ηβ-α)» /(*)<** = *<=>/ = * 3. Έστω η συνάρτηση f(x)-x, χefa,/?]. Τότε η μέση τιμή χ του χ στο [α,/?] είναι: 1 "χ " 1 γ β λ 1 α 1 /?-α χ β~ α 1 β -α α+β β-α 3.6 Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε: f=^\"x dx=-l_zlz l = l±«^i ^-α >«β-α 3 3 ^ =_^γ'_!_ λ = _1_γζΐί = _^ίΐ_ΐ1 /?-«x β-αυχ\ α β-α{α β) I β-α 1 οποτε β-α αβ αβ' 7 α +αβ + β 1 α +αβ + β /g=- 3 αβ 3 αβ Έτσι, έχουμε να δείξουμε ότι: α +αβ + β 3αβ >1<=>α +αβ + β >3αβ <=>α -αβ + β >0<=>(α-/ϊ) >0, που ισχύει. Επομένως είναι f g > 1.. α) Έχουμε: 319

38 1 Γ* 1 f* ρ,, ρ γ" >, ο = f v(r)dr = I (R -r )dr = (R -r )dr R Jo Λ Jo 4ni 4Rni Jo 4Rn R (R-0)- 3 Ρ 4 Rnt r R i - < 3 J f \ 4 Rnl 3 6 nt β) Εξάλλου έχουμε: ρ -Pr v\r) = (-r) = < Ο, για κάθε r e (0,R). 4w n^ Όμως η v-v(r) είναι συνεχής στο [Ο,Λ], οπότε θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [Ο,Λ]. Επομένως η μέγιστη ταχύτητα είναι: Προφανώς ισχύει > υ. =υ(0) = PR 4 nt 3. Έχουμε J/(x)dx = f ( 1). (1) Επιπλέον, σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ e (0,1) τέτοιο, ώστε //(*)<& = /( ). () Από (1) και () προκύπτει ότι /( ) = /(1), οπότε στο διάστημα [,1] ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 e (, 1) τέτοιο, ώστε /'(x 0 ) = 0. Επομένως η c f έχει τουλάχιστον μία οριζόντια εφαπτομένη. 3.7 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Το τριώνυμο f(x) = χ -χ+3 έχει διακρίνουσα Δ = -8<0, οπότε ισχύει f(x)>0 είναι: για κάθε xer. Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε 30

39 3.7 Ε = f (χ Jo - χ + 3)dx χ +3χ = α6 = - τετρ. μον.. i) Πα κάθε χε[0, + αο) ισχύει /(χ) = \[χ > 0. Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: 7 -r^dx= Jo 71 j ii) Για κάθε xe 0, ισχύει /(*) = > 0. Επομένως το εμβα-. 3 J συν χ δόν που ζητάμε είναι χ Ε = f 3 ί ί/χ = [εφχ ] 0 ' = εφ -efo = S Jo συν χ 3 κ 3. Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f και του άξονα χ'χ είναι οι τ.μ. ρίζες της εξίσωσης χ -3χ = 0, δηλαδή οι αριθμοί 0 και 3. Επειδή /(χ) < 0 για κάθε χ e [0,3], έχουμε: Ε = [ 3 /(Χ) I dx = - ff(x)dx JO JO = - f (x - 3x)dx = - Jo 3 x ^ x i ι X~ x 3,, 7 9 = 9 = τ.μ Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων C f και C, είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται: Ax) = g(x) χ 3 = r-x - ' " rx-) = 0 «ΐ>χ = 0 ή χ=1 ή χ--. 31

40 ι Το πρόσημο της διαφοράς /(*) - g( x ) = χ3 + χ1 ~ χ = χ(χ - 1)(χ+) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: χ -οο 0 1 +χ> ο + ο ο + I ο + ο I I Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: E = f j / ( x ) ~ g ( x ) \ d x = f_ (/(x) - g(x))dx + (#(*) - f(x))dx = (* 3 +x -x)dx+j(x-x -x 3 )dx χ 4 χ 3 + χ χ χ4 _ ~3 4~ = -4 Η ( = τ. μ Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x) = 4-χ και g(x) = x- είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται f(x) = g(x)*> 4-χ - χ- <=> χ 1 +χ-6 = 0 <=> JC = 3 ή χ =. Το πρόσημο της διαφοράς f(x)~g(x) = -χ 1 -χ + 6 φαίνεται στον παρακάτω πίνακα χ -οο -3 +» /"(*)-«(*) Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: 3

41 e=l 3 \m- g {x)\dx = j" (-χ - χ + 6)dx = 3 x x + 6x 8 4 " = 0 + = τ.μ Β ' Ο Μ Α Δ Α Σ 1. i) Επειδή /'(χ) = 6χ έχουμε /'(1) = 6, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο Λ(1,3) είναι: e.y- 3 = 6(x-l) ο y = 6x-3 ii) Η ε τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο 1 y ZiQ-,oj Επομένως, το εμβαδόν που ζητάμε είναι: Ε = ε, +ε = 3χ ί/χ+γ (3χ -6χ+3)dx \ 3 = [χ 3 ]q +[χ 3-3χ + 3χ]\ 3 1,, (1 3 ϊ 1 = ι = τ.μ. 8 Ιδ 4 J 4 ν=3* \ \ G] Μ*~-~ -Βι Ο 7 \ χ -. Επειδή lim f(x)= lim /(χ) = /(1), jr»1 χ»1 + η συνάρτηση/είναι συνεχής και στο σημείο 1, οπότε αυτή είναι συνεχής σε όλο το R. Είναι φανερό, επιπλέον, ότι /(χ)>0 για κάθε xe[-l,], Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: ι - -! i

42 Ε = \ \ f(x)dx = (-χ + 3)dx + l4xdx - + 3x + ~ Η Η ^ - λ g = 4+-^ τ.μ. 3. Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f και του άξονα χ'χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης /(χ) = 0, δηλαδή οι αριθμοί 1 και 5 Στο 1,- η / είναι και συνεχής και ισχύει /(χ)>0. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ο 5 Ε = p / (x)dx 5 = (-χ +4x-3)dx + j* (~x + 5)dx 3 Ί ί -^- + x -3x +[-χ +5.ν]ΐ = χ Οι τετμημένες των σημείων τομής των Cy και C g είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται ( 4 HI) τ.μ. 34

43 ' f(x) = g(x) <=> λ/^-ϊ x + 1 ο x-l (x + l)»x -7x + 10 = 0» χ = ή χ = 5. Εξάλλου, για χ>1 έχουμε: /(x)>g(x)»x-l> x + l»x -7x+10<0 <=> <x<5. Επομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ε = ^λ/χ-1 - = j ' ^ x~ ulx ~ i j/* + w* Στο 1 ολοκλήρωμα θέτουμε u -x-1, οπότε du = dx, Μ, =1, «=4 και έτσι έχουμε: f4 ί 1 ε= γu du Ji x ι* ϊ) Έχουμε f(e) = l = g(e). Άρα το σημείο A(e,l) είναι κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων C f και C g των συναρτήσεων / και g. Επειδή η / είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ η g γνησίως αύξουσα, οι C f και C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το Α. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν Ε(λ) ισούται με 35

44 Είναι όμως Ε(λ)=[ Inxdx + f dx. Ji Je χ I 1ηχί/χ = (χ)ίηχί/χ = [xln x]' -j'dx Άρα = elne-(e-l) =1. Ε(λ)= f Inxc/x+f </x = l + e[lnx]^ Jl Je χ = l + elna-elne = l + e(lna-l). ii) Επομένως, lim Ε(λ)= lim[l + f(lna-l)] A-»+<o A >+«o = (1 - e) + e lim (In λ) = +00. λ ->+«3 6. Η τετμημένη του Α είναι η λύση της εξίσωσης 3* =3, που είναι ο αριθμός 1. Η τετμημένη του β είναι η λύση ν-3 ν = χ του συστήματος <, που ει- Ι.ν = 3 ναι ο αριθμός 3. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με: V" 1 χ ^(3* - x)dx +1 (3 - x)dx = * dx - + 3x 0 In 3 Γ 1 9, Γ,,1 ^ = [3-1J + 6 = + τ.μ. In 3 In 3 36

45 7. Η τετμημέλ'η του σημείου Α είναι ρίζα της εξίσωσης χ -χ + = χ -1, που είναι ο αριθμός χ =. Επομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με: = -jv -!)<& +p (χ -l)i/r + J 3 (x -x + )dx -χ χ ^ χ + χ = 4 τ μ ' + ι ^ \ 1 f 3^ ί) Οι εξισώσεις των εφαπτομένων ε, και ε της C { στα σημεία Ο και Λ αντιστοίχως είναι: y \$/ «ι -y~/(0) = /'(0)(x-0) και ε :y-f(n) = f'(k)(x-n) Επειδή /'(x) = συνχ έχουμε: /! 0 π/ π " > \ 1 χ οπότε /'(0) = 1 και /'(jt) = 1, e, :_V = x και e :y = -x+n. ii) Η τετμημένη του σημείου τομής Β των ε, και είναι η ρίζα της εξίσωσης χ = -χ + π, δηλαδή ο αριθμός χ ~~~ Επομένως το ζητού- 37

46 μενο εμβαδόν είναι: * ^ e = [>(x-r\vx)dx+\a-x + *-rwx)dx χ χ κ + συνχ + + πχ + συνχ κ 0 Ί _ ^ _ 7Γ = + συν συνο + ττ + συνπ π συν 9. α) Έχουμε = -^. 4 /'(*) = -*/x xe(0, + oo), οπότε /'(1) = και η εξίσωση της εφαπτομένης ε είναι:, ν 1 =, (χ-1)<=> ν = χ + y 1 ι =r ι ψ ι Γ ι I ^ y - v* ο 1 χ Η ε τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο με τετμημένη -1. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: = Γ, ( γ + Ϊ ) λ + 0 ' + Ϊ -, / * ) λ χ χ 4 3 χ Χ χ = = τ.μ β) Εξετάζουμε αρχικά αν υπάρχει ευθεία χ = α με αε[-1,0] η ο- ποία χωρίζει το χωρίο (Α) του (α) ερωτήματος σε δύο ισοεμβασικά χωρία. Δηλαδή αν υπάρχει τιμή του ae[-l,0j τέτοια, ώστε να ισχύει:, ε χ χ Γ (-*+-) αχ = <=> 1 μ ) 4 38

47 3.7 α α 1 1 1,, <=> 1 ί 3α + 6α + 1 Ο Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς α, = -3+V6 και -3-λ/6. Από αυτούς μόνο ο α, ανήκει στο διάστημα [-1,0]. Επομένως η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση: -3+^6 Λ* =. 3 Αν εργαστούμε ανάλογα για α ε [0,1], βρίσκουμε ότι δεν υπάρχει άλλη ευθεία χ = α που να χωρίζει το χωρίο Α σε δύο ισοεμβασικά χωρία. Αυτό. άλλωστε, ήταν αναμενόμενο. 10. Έχουμε g(x) = In 1 - In x = - In x. που σημαίνει ότι η C g είναι συμμετρική της c f ως προς τον άξονα x'x. Η τετμημένη του Α είναι ρίζα της εξίσωσης In = Ιχι. που χ \ v = lnjr \ Ο 1/ Β y = ln είναι ο αριθμός χ ~~ Η τε ~ ν = Ιιιτμημένη του Β είναι ρίζα της εξίσωσης lnx = ln, που είναι ο αριθμός χ =. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: 4 /'- = I. ι I ( In-In λ f c/x-t Γ'" In x)dx ( π f γ = 1 ii j + j! In χώτ +In (-1)-J Inxdx \ ln+[xlnx] 1 1 J, k/x + ln-[xlnx]f +1Xdx : In + 1 In 1 In ) + In - In + 1 In

48 = 1ΐη+1ΐη-1-1η + 1 ι ~ ' 11. i) Έχουμε /(0) = και /'(x) = x-3. Από τον τύπο J f'(x)dx = f(x)+c έχουμε διαδοχικά J(x-3 )dx = f(x) + c x -3x = f (x) + c /(x) = x -3x-c. Είναι όμως, /(0) = <=> -c = <=> c = -. Επομένως, y, /(x) = χ -3X+. ii)oi τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξονα χ'χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης Χ -3Χ + = 0 δηλαδή χ,=1 και χ =. Επειδή χ - 3χ + < 0, ό- ταν Λ: e (1,), το ζητούμενο εμβαδόν είναι: = - (χ -3x + )dx = - χ3 χ 3 + χ 3 Η Η -» Μ Η - Ή ί) Η C f τέμνει τον άξονα των x στα σημεία Λ(1,0) και (3,0) Επειδή /'(χ) = (χ -4χ + 3)'= χ-4, έχουμε /'(1) = - και /'(3) =. Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο,4(1,0) είναι: Λ'-Ζα) = /'(1)(*-1) <=> ^ = -JC+ ενώ η εξίσωση της εφαπτομένης στο 5(3,0) είναι: 330

49 3.7 ν - /(3) = /'(3)(Λ--3)ον = χ-6 ii) Η τετμημένη του σημείου τομής /' των εφαπτο μένων είναι λύση της εξίσωσης -χ + = χ-6 δηλαδή ο αριθμός.ν=. Επομένως το σημείο τομής τους είναι το /'(,-). Λόγω της συμμετρίας του σχήματος έχουμε: e, (χ -4x + 3)dx = - 3 x 3 -χ + 3χ η, -) και ( 8 = -,3 ε =^ (χ -4x x-)dx=^ (χ -x+l)dx = 3 8,, ι,,1 _ χ +x = ~ 3 χ 1 Άρα = =. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ 1. ί) Θέτουμε u = n-x, οπότε du--dx, «, =π, ιι = 0. Έτσι έχουμε: ρττ / 0 / = χ/"(η[ΐν)ί/τ = - (π - w)/(ημ(7γ -u))du JO j/r = -J nf(x\\ui)du +1uf(x\\w)du = π\f (i\\w)du -1. JO Επομένως 1 = f (\\\w)du. οπότε I = J/(ημχ)ί/.ν. 331

50 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ ii)σύμφωνα με το ερώτημα (ί) έχουμε: j r j w l. a = r w d x =ir w Jo -?4-nn v 7 Jo ^Ϊ4-Ιΐιι ν 7 Jo 3+ημ χ J 3 + ημ'χ Jo 4-συν χ Θέτουμε u = συνχ, οπότε du = -ημχ<&. Επομένως: τ 1 π f ' f ' ~ Ji 4-u ~ J. u 3-4 π Αναζητούμε α,/?εκ τέτοια, ώστε να ισχύει: - = α η u -4 u- u + ή, ισοδύναμα, (α +/?)w + (a-β) = 1, για κάθε»er-{-,}. Η τελευταία ισχύει για κάθε wer -{-,}, αν και μόνο αν Επομένως α+β=0 1 ι <=> α = και β =. (α-/?) =! _ι γ, - σ γ ' - ϊ - α + ΐ γ ϋ * Ji «- Ji u+ = -L -[1η «- ]Γ' --[ln «+ ]r l 8,J ' 8 (In3-lnl)- (lnl-ln 3) 8 8 = ln3+ ln3 = ln i) Αναζητούμε α,β τέτοια ώστε ^ = + ή, ισοδύναμα, χ~ -1 χ 1 χ + i 1 =(α+β)χ+(α-β), για κάθε ier-{-1,1}. Η τελευταία ισχύει για κάθε ies - { 1,1}, αν και μόνο αν Έτσι τελικά έχουμε: \α. + β = α>α = και β =. \α-β = \ ί -^- = - ί -- Π = [In λγ-1 ]= --[ln jc + l ] 0 J, jc -1 1 χ-1 J> χ +1 33

51 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ' ΟΜΑΔΑΣ [in 1η ί] - ί 1η - In 1 i j l ii) Έχουμε: if, 1 In 1 In = 1. In-4- =-Inι, ' { ) 3 3 = i n = -inv 3. Λ/3 1 i./, Γ η Γ "" Λ Ι- ημχ J ημ χ Χ 1-συν x Θέτουμε u = συνχ, οπότε ί/w = -ημχί&, κ^συν = και ζ^, = συν-^ = 0. Επομένως / 1 { du ι ' ί/w r Γ; (& = -Γ ~ = = lnv3 (από ι)). ' ημν ; 1 - u~ u' Για u Φ -1,- αναζητούμε α,ββ R τέτοιους, ώστε: ή, ισοδύναμα, 1 α β (ιι +1)(«+ ) u +1 u+ 1 = α(«+) + /?(«+ 1). για κάθε «*-1,- (α + /?)«+α + β-1 = 0, για κάθε «*-1,- Η τελευταία ισχύει για κάθε κ e R -{-1,-}, αν και μόνο αν Επομένως α + /ί=θ] ί α = 1 «+ /? = lj [y? = -l' ί! Λ =Ι*--Ι-±. J (u +1)(«+) J / + 1 J u + = ln w+l -ln w + + c 333

52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ i) Θέτουμε «= ημχ, οπότε du = <jvvxdx. Επομένως γ συνχ, f- f du J 1 (ημχ + 1)(ηιιχ+) 1)(ημχ+) J(w + l)(w + ) = ln M + r -ln w + +c = In I ημχ + l J In ημχ + + c ii) Θέτουμε u = e x, οπότε du = e'dx. Έτσι έχουμε ί dx= f = ln e jr +l -ln e j: + +c J (e + 1)(e +) J (H + 1)(«+ ) 4. i) Έχουμε: I jv+] = in^' +1) ln( * + )+c. ^v+3 κ + k+\ = Jo J - jdt 4- f - γώ l + / Jo l + r Jo 1+/ I, / Jo v+ v + 1 ^ + f 1 1, 1 f 1 (' +1), ") i 0 = ( ~ r d t = ~ f ; dt 1 + / Jo (/-+1) = I[ln(/ +l)]i=i(ln-ln1) = Iln. Εξάλλου από το ερώτημα i) έχουμε Ι 0 +/, = * = -ί, οπότε I = =- In = (1 In ). 1 0 Επίσης είναι /, +/, =?, οπότε ' -1+, ι ι ι, ^ ι. ι Ι = /, = 1 ln = In. * 4 ' Θέτουμε g(x) το 1 μέλος και h(x) το μέλος και έχουμε. 334

53 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ' ΟΜΑΔΑΣ g\x) = ^χ ο f(u)du-juf(u)du και = ί f(u)du+xf(x)~xf{x)= Γ/(u)du JO Jo h\ X ) = [ f W. Δηλαδή ισχύει g'(x) = h'(x) για κάθε xer. Επομένως, υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε g(x) = h(x) + c ή, ισοδύναμα. j Q /(")(*-u)du = \Jj(t)dt\du + c, για κάθε xe IR. Για x = 0 έχουμε: J o /(»)(0-u)du= ^f(t)dt^jdu + c<=>0 = 0 + coc = 0 οπότε έχουμε: [f(u)(x-u)du = \'(\j(t)dt\du. 6. i) Η συνάρτηση g(u) = -1 έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = (-οο, 1] u [1,+ ο). Άρα, για να ορίζεται η / πρέπει τα άκρα 1, ί να ανήκουν στο ίδιο διάστημα του Α. Άρα πρέπει t e [1,-κ»), οπότε το πεδίο ορισμού της/ είναι το [1,+οο). Για να ορίζεται, τώρα, η F πρέπει τα άκρα 1, * να α- νήκουν στο διάστημα [1,+μ) που είναι το πεδίο ορισμού της/ Άρα πρέπει χ e [1,-κ»), οπότε το πεδίο ορισμού της F είναι το [1,-κ»). ii) Έχουμε οπότε F'(x) = f(x) = I* V«-Idu F"(x)=f'(x)=y[T^l. Επειδή F (x)>0 στο (1,+<») και F"( 1) = 0, η F' είναι γνησίως αύξουσα στο [1, + οο), οπότε: 335

54 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ η /'"είναι κυρτή στο (1, + οο) και F'(x) > F'(l) = 0 για κάθε xe(l, + oo). Άρα η F είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+αο). 7. i) F(x) + G(x) = ί β'(συν*ί+χ\μ ί)λ = β*-1, (1) Jo και F(x)-G(x)=f β'(συν ί-ημ ί)<λ Jo Όμως, είναι = f β'συνtdt = K(x). Jo ΑΓ(λ-) = [ίί'συνί] ( Λ, -f- f ^'ημtdt Jo = β'συνχ-1 + [β'ημ/]ο -4 e'<mvtdt οποτε Άρα = e x Gxn\x-\ + e x i\\ix-4k(x) 5Α^(χ) = β ί (συνχ + ημχ)-1. Κ (χ) = F(x)-G(x) =-^-(συνλ + ημχ)-j. () Με πρόσθεση των (1) και () κατά μέλη προκύπτει ότι: e" 6 F(x) = (συνχ + ημχ) + e" - Από τις (1) και (3) έχουμε F(x) = (συνχ + ημχ) + -. (3) e* e" 6 G{x) = e x -1 (συνχ + ημχ) e x e" 4 = - (συνχ + ημχ) ii) Επειδή F'(t) = e'<n>v r, έχουμε 336

55 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ π 1 = [F( χ)] * = (συναπ + ημ4;τ) + 10 e ln e " e " e' : 5'*,'""ι, Επειδή G'(/) = ^'ημ /, έχουμε 6 e',, -, χ e* (συν7τ + ημ;τ) Η e " e * β* e" J = [G(x)]/ = (συν4ττ + ημ4/τ) η (συνττ + ημπ) * * * * = - + = - e'(e'-l) Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης χ +1 = 5, δηλαδή οι αριθμοί Α χ, = - και χ =. Οι τετμημένες των Γ και Δ είναι οι ρίζες της εξίσωσης χ +1 = α +1, δηλαδή οι αριθμοί χ, = -α και χ = α. Το εμβαδόν Ε του χωρίου Ω που περικλείεται από την ευθεία ν = 5 και τη γραφική παράσταση της ν = χ +1 είναι: = ^(5-χ -\)dx- χ. + 4χ 3 = ^ + 8-«+8 = ^ Το εμβαδόν ε του χωρίου που περικλείεται από την ευθεία ν = α +1 και τη γραφική παράσταση της ν = χ +1 είναι: ε=ί (α +1-χ -1)ί/χ= f (α - χ )dx = α (α + η) - j-a j a. ί ι β (χ = α - + = α 3 - «3 = α _ 4 _

56 338 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ Το Ω χωρίζεται από την y = a +1 σε δύο ισοεμβαδικά χωρία, αν και μόνο αν Ε ε = <=> 4 α 3 = 3 1 <=> 4α 3 =16<=i>«3/τ = v ί) Αν 0 < Α < 1, τότε γ' v -1 Αν Α>1, τότε, ίΐ =Ι-ι. λ ι y 1 i 1 jv = j" ^ / ι * I f c * 0 a 1 a Αν Α>1, τότε Ε(λ) - Jxx W Ji χ dx = -1 Ε(λ)= ί -^ dx= ί χ dx = ji χ ji α = 1 1 ' ii)av 0<Α<1, τότε Αν Α >1, τότε: ίίί)έχουμε: (A) = - oi-l = i «A = -. Α 3 Ε(λ) = <=>1- =»Α = Α lim "(Λ) = lim 1 = lim 11 = +00 και J lim Ε (λ) = lim 1 = 1. λ >+οο λ >+ ol ^ j 10. i) Ισχύει f(x)-g(x)> 0, για κάθε χε[α,β], οπότε έχουμε διαδοχικά: ί (f(x)~g(x))dx> 0 ja ί y(jc)c6c- f ^(λγ)οεχ- :0 Ja Ja I f(x)dx>j g(x)dx.

57 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ π)για κάθε χ&[α,β] κα: iii) Είναι: η ισχύει m < f(x) < Μ, οπότε έχουμε διαδυ J 'β [β (β ηκίχ<, Ι J(x)dx < I Mdx a J a Ja ρβ /»(/?-«)< f (x)dx < Μ {β - a) ja f\ x ) = χσυν -'ΐμ* = x ~ ( p x < ο X X συν χ x / rx!t αφου χ-εφχ<0 και >0 για xe 0, συνχ V Επομένως η/είναι γνησίως φθίνουσα στο ί 0,. π π π π, (π α) Για xe ισχύει <x<, οποτε f\ Λ 6'τ 6 3 U αφού η/είναι γνησίως φθίνουσα. Έτσι. 3 ημχ 3Λ/3,. 3Λ/3 ημχ 3 > > ή ισοδύναμα, < -ϋ- < π χ π π χ π β) Σύμφωνα με το ερώτημα ϊ) θα ισχύει >/<*>*/if ρ ^ 4 7 π J χ J- π η μ ν π π γί d x ^ ( π {3 6) χ π^3 λ ίν) Είναι 4 J - γ ι /'(x) = -xe ' <0, για xe(0,+oo) επειδή η /είναι και συνεχής σιο [«>,+*>). η / θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,+οο). α) Από την ανισότητα e x >l + x, αν θέσουμε όπου χ το -χ, προκύπτει e'" 1 > 1-χ. (1) 339

58 Ε ΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ Εξάλλου, επειδή η/είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,+οο), για xe[0,l] Οα ισχύει Από (1) και () προκύπτει ότι l-x /(*) < /(0) <=> ε~ χ1 < 1. () <e~' <1, για xe[0,l]. β) Από την τελευταία ανισότητα προκύπτει (1 -x )dx<, je~* dx<^\dx I 1 x -<\e dx< 1. 3 J o Με απόφαση της Ελληνικής Κυβέρνησης τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου και του Λυκείου τυπώνονται από τον Οργανισμό Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν βιβλιόσημο προς απόδειξη της γνησιότητάς τους. Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δε φέρει βιβλιόσημο θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του Νόμου 119 της 15/1 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ 1946, 108, Α ). Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου. ΕΚΔΟΣΗ ΙΑ' 009 ΑΝΤΙΤΥΠΑ ΑΡ. ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΕΚΤΥΠΟΣΗ: ΤΖΙΑΦΑΛΙΑ ΕΥΘΥΜΙΑ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ: ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ Α. 8 ΣΙΑΙΤΕΤ 340

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο q = C V => q = 48(HiC. e και. I = -3- => I = 24mA. At. 2. I = i=>i= -=>I = e- v=»i = 9,28 1(Γ 4 Α. t Τ

Κεφάλαιο q = C V => q = 48(HiC. e και. I = -3- => I = 24mA. At. 2. I = i=>i= -=>I = e- v=»i = 9,28 1(Γ 4 Α. t Τ Κεφάλαιο 3.1 1. q = C V => q = 48(HiC q = χ e => χ = - e και => χ = 3 ΙΟ 15 ηλεκτρόνια I = -3- => I = 24mA. At 2. I = i=>i= -=>I = e- v=»i = 9,28 1(Γ 4 Α. t Τ 3. Έστω u d η μέση ταχύτητα κίνησης των ελευθέρων

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

( ) x( x ) ( ) 1.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ. Είναι f x ( x ) οπότε. 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=

( ) x( x ) ( ) 1.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ. Είναι f x ( x ) οπότε. 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= .Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι Είναι ( ) () + 9 () + 9 + () ( ) + 9 + 9 + 9 () + 9 + () + 9 + + 9 ( )... οπότε. Δίνεται η συνάρτηση () + Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g( ) ( ηµ ) ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, που κρατάς στα χέρια σου προέκυψε τελικά μέσα από την εμπειρία και διδακτική διαδικασία πολλών χρόνων στον Εκπαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αποτέλεσμα συγγραφής πολλών καθηγητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

γ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε.

γ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 7 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ o A. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι:

ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ - ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Β'ΜΕΡΟΣ ΑΝΑΑ ΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1.1 και 1.2 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. ί) Η συνάρτηση/ορίζεται, όταν χ 2-3χ+2*0 Το τριώνυμο χ 2-3χ+2 έχει ρίζες: χ = 1 ή χ = 2. Επομένο^ς το πεδίο ορισμού της/είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία µμου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ.

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σελ. 73 σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R με f (), για κάθε > για την οποία ισχύει η σχέση: u f() ( ) + f(t) dt du, για κάθε >. () i. Να δείξετε ότι η f

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Να αποδείξετε ότι: 1 σφ 1 σφ ΘΕΜΑ 1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημ 1 σφ 1σφ 4 ΘΕΜΑ Α. Να βρεθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: α. συν330 ο = β. συν (-300 ο ) = γ. συν (-10 ο ) = δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πρακτικές και καινοτομίες στην εκπαίδευση και στην έρευνα. Χρόνης Χ. Παναγιώτης pachronis@gmail.com Περίληψη Στόχος της εργασίας αυτής είναι να καταδείξει

Διαβάστε περισσότερα

γ) Αν f συνεχής στο[α, β], τότε για κάθε γ Є IR ισχύει f (x)dx f (x)dx f (x)dx

γ) Αν f συνεχής στο[α, β], τότε για κάθε γ Є IR ισχύει f (x)dx f (x)dx f (x)dx ΘΕΜΑ A Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να δείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 5 Α. Να

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Πέµπτη, 9 Μαΐου ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα