ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3.1 Α' ΟΜΑΔΑΣ. 1. Έχουμε: = -συνχ + ημχ+c. ii) j* * + x + ^dx = jxrfx+jidx + j"-?- & = + x + ln x\+c 2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3.1 Α' ΟΜΑΔΑΣ. 1. Έχουμε: = -συνχ + ημχ+c. ii) j* * + x + ^dx = jxrfx+jidx + j"-?- & = + x + ln x\+c 2"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3.1 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε: i) (* 3 +ημτ+συνχ)<& = χ 3 ίώ^ \$xdx+ j συνχάχ χ 4 = -συνχ + ημχ+c ii) j* * + x + ^dx = jxrfx+jidx + j"-?- & x = + x + ln x\+c hi r iii) ^3x-jxdx = 'i^x 1 dx='i^ + c = x +c +1 iv) j^-^~-dx= jx dx + jxdx+j4dx x3 = +x 3 +4x+c v) [ f e x + <τυνχ jdx = fe'dx -3j + ^mnxdx - ί : x dx~ 3j j(ημχ)'ί& = e* -31η χ + -ίημχ +Γ.

2 3,1 "I συν * συν * -j-w- dx J συν χ vi) = εφ*+σφχ+c. f χ + 3 Γ x + + l Γιj Γ νιι) ι dx = dx = life + J x + j x x + J J = x+ln x + + c. J ημ nix χ dx dx x +. Επειδή J f\x)dx = f(x)+c, έχουμε διαδοχικά \ j=dx = f(x)+c J y/x 1 _l Jx 1 dx = f(x) + c = f (x) + c, f(x) = -Jx - c. Επειδή /(9) = 1, έχουμε -j9-c = l, οπότε c- 5. Επομένως /(*) = l Jx Επειδή J f"(x)dx = f'(x) + c, έχουμε διαδοχικά: J* 3c/xr = /'(x) + c, f\x) = 3x-c. Επειδή /'(1) = 6 έχουμε 3-c = 6, οπότε c = -3. Επομένως /'(*) = 3*+3. Επειδή J f\x)dx = /(x)+c, έχουμε διαδοχικά: j" (3JC + 3)c6c = f (x) + c 3 /(x) ~~^χ1 +3x-c. 3 Επειδή /(0) = 4 έχουμε c, = 4, οπότε c, = Επομένως /'(*) = +3x

3 3 j 4. Έχουμε διαδοχικά: jf"(x)dx = f'(x)+c J( Ix + )dx = f\x)+c Επειδή 4x 3 + X = /'(X) + C, /'(x) = 4x 3 +x-c. /'(1) = 3, έχουμε 4 + -c = 3, οπότε c = 3. Επομένως Επίσης έχουμε διαδοχικά /'(χ) = 4x 3 + x-3. J/'(x)<fr = /(x) + c, J(4x 3 +x-3)<& = /(x) + c, Χ 4 +x -3Χ = /(x) + c,, /(χ) = χ 4 +χ -3x-c,. Επειδή το Λ(1,1) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της/, έ- χουμε: /(1) = 1 <=> c, =1<=>C, =-. Επομένως /(χ) = χ 4 +x -3χ Επειδή N'(t) = ~ e 0» έχουμε διαδοχικά jn'(t)dt = N(t)+c f e" 0 dt J 0 = N(t) + c e" 0 = N(t)+c N(t) = e" 0 -c Επομένως, η αύξηση του πληθυσμού στα πρώτα 60 λεπτά, είναι ίση με: ν(60)~ ν(0) = (e 60 ' 0 -c)-(e -c) = e 3 1 = 19 εκατομ. 85

4 6. Αν Κ(χ) το κόστος, σε ευρώ, της εβδομαδιαίας παραγωγής χ, τότε Κ'(χ) = χ +5χ, οπότε έχουμε jk'(x)dx = K(x)+c ή οπότε J(x +5 x)dx = K(x)+c, Κ(χ) χ = * 3 Η χ 5 c. 3 Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ΑΓ(0) = 100, οπότε -c = 100 και άρα c = Επομένως, η συνάρτηση κόστους της ε- βδομαδιαίας παραγωγής είναι: χ 3 5χ Κ(χ) = w 3 7. Έχουμε διαδοχικά: jr'(t)dt = R(t)+c ^0+10/- i j j^ = i?(0 + c, Λ(/) = 0/+5ί ^/ 3 -c., 1 λ Προφανώς Λ(0) = 0, οπότε c- 0 και άρα R(t) = 0t+5t - t. 4 Επομένως τα βαρέλια που θα αντληθούν στους πρώτους 8 μήνες είναι: Λ(8) = = = 35χιλιάδες β' ομαδασ 1. Επειδή T'(t) = -kae' h, έχουμε διαδοχικά: J T\t)dt = T(t)+c j-kae~ h aj(e t 'Ydt dt =T(t)+c = T(t)+c, 86

5 T(t) = ae b -c. Επειδή Γ(0)+α και Τ(0) = αε~^-c = a-c, έχουμε Επομένως T 0 +a = a -coc = -T Q. T(t) = ae~ k> +Τ 0.. Έχουμε διαδοχικά jp'(x)dx = P(x) + c χ J 58e ~ dx = P(x) + c χ 5,8 (-000) j(e )'dx = P(x) + c P(x) = e 000 -c. To συνολικό κέρδος που οφείλεται στην αύξηση της επένδυσης από σε είναι: Ρ(6000)-/"(4000) = ^ -c e _ +c e-l N = 11600(e e ) = \ e / = ,086 = 997,6 χιλιάδες ευρώ = ευρώ 3. Έστω P(t) το κέρδος της εταιρείας στις πρώτες ί ημέρες. Τότε Ρ(ί) = Ε(ί)-Κ(ί), οπότε P'(t) = '(/) - Κ'(/) = , ,6t = ,91. Έτσι έχουμε διαδοχικά: \p'(t)dt =P(t) + c J(00 + 0,9t)dt=P{t) + c P(t) = 00/ + 0,9 + c.. 1 To συνολικό κέρδος της εταιρείας από την 3 η έως την 6 η ημέρα είναι: 87

6 P(6) - P() = ,9 ~+ c, ,9 y - c, = 116,-401,8 = 814,4 ευρώ. 4. i) Από την ισότητα /"(x) = g"(x) έχουμε διαδοχικά /'(*) = g'w+c, /(x) = g(x)+c,x+c. (1) Για x = 0 είναι /(0) = g(0)+0+c, οπότε c = 0, αφού /(0) = g(0). Επομένως /(*) = g(*)+c,* () Για x = l, από την (), έχουμε /(1) = ^(1)+^, οπότε c, =1, αφού /(1) = ^(1) + 1. Έτσι από τη () προκύπτει /(*) = (*)+* ii)h /(χ) είναι συνεχής στο [α, και ισχύει /(α) = #(α)+α = 0+α = α<0 ί(β)=ε(β) + β = 0 + β = β>0. Άρα, /(α)/(/?)<0, οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (α, β). 3. Α' ΟΜΑΑΑΣ 1. Έχουμε i) Jx e~*c/x=-jx (e *)'</χ = -x e~" + j xe~" dx =-χ e-jx(e~*)'<&: = -x e~*-xe~ x + f e~"dx = -x e' x -xe~ x -e~ x +c = e x (x + x + ) + c. ii) J(3x -x + l)e 'ii«: = -i-j(3x -x + l)(e x )'(fe 88

7 = I (3x - x + l)e ' - - J (6x - )e jt < c = (3x - x + \)e x - i J (6* - )(e ji )'Λ = - (3x - x + l)e * --(6x-)<? * + - f6e *< t 4 4 J = -e *(6x - 4 x x + ) + -<? jt +c 4 4 = i-e *(6x -10x + 7) + c i iii) Jx 3 lnxi c = fixate χ 4 f χ 4 = l n x - J (lnx)'i c = ix 4 lnx - f x*dx = x 4 lnx- +c 4 4 J 4 16 iv) [χ ημχ & = Jx (owx)'dx: = -χ συνχ+j xai)vxiir = -χ συνχ +J χ(ημχ)'ύί»τ = -χ συνχ + χημχ - J ημχί τ = -χ συνχ+χημχ+j συνχ+c = ^-χ +^συνχ + χημχ + ί. ν) 4χσυνχ<& = χ (ημχ)'6ίτ = χημχ - J ημχί& = χημχ + συνχ+ε 89

8 .. /, ***** vi) J In xdx = J" (x)' In xdx = χ In x - J \dx = χ In χ - x+c,") ί^λ= "ί(ί) ω - +c viii) I = Je*ouvx<fc = e x ouvx+j β"ι\μxdx Άρα = ε χ συνχ+β*ι\μχ-4^ e'amlxdx. I = e z (συνχ+ημχ) = e* (συνχ+ημχ) I =^e* (ouvx+ημχ)+c.. ϊ)θέτουμε u = 3x, οπότε du = 3dx και άρα dx=~du. Επομένως, J x\y&xdx = J x\\mdu = i ouvu+c = - <jw3x+ c Η)θέτουμε «= 4χ -16χ+7, οπότε du = (8x-16)<& = 8(χ-)ώ:. Ε- πομένως * J(4x -16x+7) 3 (x-)<fc = jv<fo=i^-+c = (4x -16x+7) 4 +c. 3 ϊϊϊ)θέτουμε u = x + 6x, οπότε du = (x+6)(fr = (x+3)a!r. Επομένως, f * +3 dx = ±{^-=±{ u *d«=*-^+c J (x +6x) 4 J m 4 J = -+C = r r+c. 6 u 6(x +6x) iv) θέτουμε κ = +χ, οπότε du = 3x dx. Επομένως, 90

9 Γ I χ -dr, = If Ι du = 1 f 4 I u j du = χ u +c = ( 3 + r x +c ). lyfcs 3J^ 3 J 3 3 ν) Θέτουμε a = x+l, οπότε du = dx και x = u-1. Επομένως, J x-jx+ldx = J (u-\)-judu = Ji/ du-ju du = a \ \ a +c 5 3 :j# [ji/-i + c - = (x+l) (3x-) + c. 3. i) Θέτουμε a = e x, οπότε du = e'dx. Επομένως, β*ημ * & = J x\\utdu = -συν«+c = -σονex+c ii) θέτουμε a = e x +1, οπότε du = e'dx. Επομένως, J -d!r = J = ln a +c = ln(e* +l)+c. iii) θέτουμε u = In χ, οπότε du= dx. Επομένως, χ f * j wlnx f * ' va» j = -Ja+c = ->/lnx + c. ι +c ίν) θέτουμε a = ln(e* +1), οπότε du = dx. Επομένως, e' +1 f dx = f = ln a + c J (<?*+1)1η(έ!*+1) J u = ln ln(e* +1) + c = 1η(1η(? χ +l))+c 91

10 αφού ln(e x +1)>1η1 = 0. ν) Θέτουμε u-, οπότε du = \-dx. Επομένως, χ χ J j i '. -~dx- - j T\\mdu = συν«+ c = συν ι-c 3. Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Θέτουμε κ = 1 + συν χ, οπότε du = -ημχσυνχ & ή du = -ημχί&. Επομένως, J 1 + συν χ J u ii) Θέτουμε u = Ιη(συνχ), οπότε du = - dx = -εφχάχ. Επομένως, συνχ εφχ 1η(συνχ)ώ = - J udu = - +c = - [1η(συνχ)] + c iii) Θέτουμε u =ημχ, οπότε du - crovxdx. Επομένως, t J awxe^dx = e"du =e" +c = β ημι +c., x 3 +1,, 3x -x 3-3X (X 3 +1), -3. ι) Θετού με u=, οπότε du = -dx = dx. X 3 X 6 X 4 Επομένως, il x3 +] 1 dx : : = -^jyfudu =~ ju du x 3 x 4 3J 3 i + i, 1 u 1 u x i + c ~ 3 +c ~ * x 3 + c. μενως, x +1, οπότε du = Jr= dr Επο- Vx +1 Vx +1 9

11 Χ ί, J ^!s7ϊ dx- ί du = u+c = -Jx +1 +c. J iii) Θέτουμε u = x +1, οπότε du = xdx, οπότε έχουμε j" * ln(x + l)ifc = -j In udu = -ί j" (u) 'In udu = u lnu- f du J = -^u In«- ί«+c =i(x + l)ln(x + l)-i(x +l) + c. 3. i) Έχουμε:!- Inx dx= I I lnx ife,3 «Inje 1 - f Vu')'<fr x> 1 = x 31 lnx \ f j x 3 lnx χ dx = χ-+c, 3 3 J 3 9 *V., = T lnx "I +c ii) Έχουμε J(In/) dt = j(/)'(ln/) dt = /(In/) - J/ \nt(\nt)'dt = /(In/) -jintdt = /(In/) -j(/)"1η/λ = /(ln/) -iln/+j/-rf/ = /(ln/) -/ln/ + / + c iii) Θέτουμε u = e x, οπότε du = e'dx. Επομένως e x <m\e x dx = J e x avve x e x dx = J umvudu = J u{y\ym)'du = ιn\\iu - J T\\wdu 93

12 = «ημ«+ συν«+c = e'mae* +mve* +c. 4. i) Έχουμε ημχ r (συν*)' f εφχί/χ = f dx = - f J rfr J J συνχ mivr συνχ = In i συνχ I + c και x J -γ-dx = χ(εφχ)'ί τ = χεφχ-j εφχόχ συν'χ = χεφχ + ln συνχ j +c,. ii) Θέτουμε u = ημχ, οπότε du = συνχώτ. Επομένως, Επίσης έχουμε ίίί)έχουμε Γ συνχ Γ du 1 1 τ-άχ = = +c = + c. i ημ χ J w u ημχ Γ1 + συνχ r 1, Γ συνχ, ί/χ= dx + dx J J ημ χ ημ χ J ημ χ 1 = -σφχ 1- c. ημχ ημ 3 χκ/χ = J ημ χημ«/χ = J (1- συν χ)ημχ</χ. Θέτουμε u = συνχ, οπότε du = -\]^ixdx. Επομένως, ημ, χί/χ = - (1-Μ )βί«= ju du-jldu Επίσης έχουμε συν χ = u+c = συνχ + c. 3 3 u 3 J συν 3 xdx = J συν xcruvxc/x = J (1 - η μ x)ouvx<fr. Θέτουμε u =ημχ, οπότε du = συνχώτ. Επομένως, j συν'χί/χ = J(l-!/ )f/«= u- + c =ημχ-^ * +c 94

13 5. Έχουμε i) ^χ\μ χάχ= J , = χ ημχ ί, fl + <n>vx 1 1 συν xdx = dx = x + ημζλτ + c J 4 iii) ^τ\μ χσυν χάχ = ~ [ημ χ<& 4 ί fl -συν4χ -dx =Ix-I ί«συν4χί& 8 8 J 1 1 χ ημ4χ >. + ο Έχουμε i) j ημχσυ\'χώ = ^ [ημ(-χ) + ημ3χ]ίλτ = j" ημχί/χ + γ j" \\\iixdx 1 1 = συνχ συν3χ + c 6 ϋ) ί σΐ)ν3χσυν5χώτ = γ J (συνχ + συν8χ)ί/χ = ί συνχί/χ + ί συν8χί/χ J J 1 = ημχ -, + 1 ημδχ ο + c 4 16 iii) j" ημχημ4χί τ = -ί " (συνχ-συν6x)dx 1, 1, = ηιιχ ημόχ + c

14 7. i) Έχουμε: f x-3, Γ(χ -3χ+)',,, ; ~ d x = j <fc = ln x -3x+\+c. 1 J χ -3x+ J χ -3x + ii) Έχουμε: 3x + 3x + 5 =, xsr-fl, }. x x -3x+ (x-l)(x-) ' Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Λ, Β έτσι ώστε: 3χ + Α Β -+ -, για κάθε xer-{l,}. (x-l)(x-) x-l χ- Με απαλοιφή παρανομαστών έχουμε τελικά: (Α + Β)χ-(Α + Β) = 3χ +, για κάθε xer-{l,} (1) Η (1) ισχύει για κάθε χ e IR -{1,}, αν και μόνο αν Επομένως Α + Β = 3, Α = 5 και Β = 8. ra-b = J χ -3χ + J x-l J χ- = 5 In I x-l + 81n x- + c. iii) Από τη διαίρεση (x 3 -x):(x +3χ+) βρίσκουμε: οποτε χ 3 -χ = (χ + 3x + )(x-3) + 5x+6 Εξάλλου έχουμε: χ 3 -χ 5χ+6 χ +3χ+ = *~ 3 +,.,. Χ +3Χ + (ό 5x + 6 5χ + 6 χ -3χ+ (x + l)(x + ) Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Λ, Β έτσι, ώστε 5χ + 6 Α Β - = -+ για κάθε xelr-{-l,-}. (x + l)(x + ) χ + 1 χ+ Με απαλοιφή παρανομαστών, έχουμε τελικά 96

15 (Α + Β)Χ+Α + Β = 5Χ+6. () Η () ισχύει για κάθε xer-{-l,-}, αν και μόνο αν Α + Β = 5 ο Α = 1 και Β = 4. Α + Β = 6 Επομένως λόγω και της (1) έχουμε: \j?-z^dx=\{x-3)dx+\ +\-^ dx J χ 1 + 3x+ J J * + 1 J x + χ 1 = -3x+ln x+l + 41n x+ +c. iv) Έχουμε - = για κάθε xer-{l,-l}. χ 1 x-l x+1 Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε (α + β)χ+α-β =. (1) Η (1) ισχύει για κάθε x e R - {L, -1}, αν και μόνο αν [Α+Β = 0 <=>/1 = 1 και Β = -1. Α-Β = Επομένως, έχουμε f dx= \-^ dx- f -dx = ln x-l -ln x + l + < J x J -l x-l J x Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. i) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: dx = -Axdx. y ί ^ ί " λ 97

16 y = -χ +c, ι y = ~ i, cer. χ +c ii) Η εξίσωση γράφεται dy y = χ dx ydy = xdx. J ydy = J xdx y 1 = +c. x 1 y = x + c. y j - χ =c, y = Vc+x, αφού y>0 (cer). iii) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: = xy dx = xctc. y i 7 M xdx ln y =x +c, y Ι I = e \y\=e«e* y = ±e c ' e x * y = ce*, όπου c = ±e* 98

17 iv) Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: dy = e ^συνχ dx e"dy = συνχάχ j e y dy = j avvxdx e" = ημχτ+c ^ = 1η(ημχ + ο), cer. i) Μία παράγουσα της a(x) = είναι η Α(χ) = χ. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με e x και έχουμε διαδοχικά: y'e x + e x y = 3e x (ye x )' = 3e x j(ye x )'dx=j3e x dx ye x =-e x +c 3 y = + ce' x, cer. ίί)μία παράγουσα της «(x) = είναι η A(x) = x. Πολλαπλασιάζουμε με e * οπότε έχουμε διαδοχικά y'e x + ye x =e x (ye x )' = e x j(ye x )'dx = j e x dx ye x =e x +c y = e~ x +ce~ x, cer. iii)mia παράγουσα της a(x) = l είναι η A(x) = x. Πολλαπλασιάζουμε με e*, οπότε έχουμε διαδοχικά y'e x +ye x =e x χ (ye x )' = e'x 99

18 'Κ ί : χ : χ j(ye')'dx = je' -xdx ye* +c, =xe* -Je'dx ye' = xe" -e x +c y = x-+ce~', cer. iv) Μία παράγουσα της a(x) = x είναι η A(x) = χ. Πολλαπλασιάζουμε e'', οπότε έχουμε διαδοχικά y'e' + xe' y = xe xi (ye' )' = xe' ye' f +c, = I xe' dx 3. Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: x 1 1 * ye = e +c ^ = *v dx %= x dx y jy~ dy = ijx I dx y = +ce, celr. 1 3 = x +c. y 3 1 _ x 3 + 3c, y Επειδή y(0) = -3, έχουμε = -3, οπότε c = 1. Άρα c 300

19 y = -3 x Η εξίσωση γράφεται y' + 3y~. Μια παράγουσα της α(χ) = 3 είναι η Α(χ) = 3χ, οπότε έχουμε διαδοχικά y'e 3 ' +3 ye 3 ' = e 3 ' y'e 3 ' +y(e 3 ')' = e 3 ' (ye 3 ')' = e 3x J (ye 3x )'dx = je 3 "dx ye 3x = e 3 ' +c 7 3 c y=- + t,τ- 1 + v 3 c Επειδή y(0) = έχουμε = + -, οπότε c = 0. Άρα y = e 3 5. i) Μια παράγουσα της a(x) = i-r είναι η Α(χ) = εφχ. Πολλασυνχ πλασιάζουμε με c*, οπότε έχουμε διαδοχικά: y'e^+e^ l-y= συν χ 1 συν χ (ye^y^e^ συν χ ye"* +c, = fe"" ί dx i συν x ye"* + c, =je" fx (εφχ)'<& ye- =e" x +c y = X+ce'"^. Επειδή y(0) = -3, έχουμε -3 = 1+c, οπότε c = -4. Άρα,=1-4r. 301

20 ii) Επειδή x>0, είναι x+l >0, οπότε η εξίσωση γράφεται, 1 1. y+ ν = lnx. χ+1 χ+1 Μία παράγουσα της α(χ) = ί είναι η Α(χ) = ln(x +1). Πολλαχλαχ+1 σιάζουμε με β** χ * η =χ+1, οπότε έχουμε διαδοχικά y-(x+l)+y = lnx CKx+1))' = lnx y(x+l)+c l = Jin xdx y(x+l) = xlnx-x+c y= xlnx-x+c x c Επειδή _K1) = 10, έχουμε - = 10, οπότε c = 1. Επομένως xlnx-x+1 x Β' ΟΜΑΔΑΣ Ι. Μία παράγουσα της a(t) = 1 είναι η A(t) = t. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης με e' και έχουμε διαδοχικά: l\i)e' +I(t)e' = ε'ημί (/(/)*')' = *'ημί 7(/)e' +c, = J ε'ημίίλ (1) Εξάλλου έχουμε J β'ημ/ώ = «'ημ/ - J e'amvtdt = «'ημ/ [ϊ'συνί+j «'ημ/<//], οποτε Jβ'τ\μίάί = e' (ημ/ - συν/) +c,. 30

21 Άρα J ε'ι\μίάί = -ί e' (ημ/ - συν/)+c, οπότε από την (1) προκύπτει ότι I(t)e' =-^ν(ημ/-συν/)+ :. Για / = 0 έχουμε /(0)e = e (ημο - συνθ) + c 0 = -+c Έτσι, τελικά είναι 1 c =. I(t)et = ~ e ' (ημ* - συν/)+ 7(/) = ^(ημ/-<η>ν/)+^<γ'. Η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: ye y ν 4y = e ΐχ dx Άρα ye"* dy = e 1 *dx. jye" dy = ^e x dx e 1 y, = e 1, +c. 1 =e 7 ' +c, = e * +c, cer. Επειδή y() =, έχουμε e 4 =e 4 +c, οπότε c = 0. Επομένως e^ =e x, οπότε y =x και άρα y = -Jx, αφού περνάει από το σημείο Α(,). 303

22 3. Μία παράγουσα «(*) = είναι η Λ(*) = -1ηχ. Πολλαπλασιάζουμε χ - Μ, ι"- 1,,.. με e =«*=. οποτε εχουμε όιαόοχικα χ, y γ.ν = χ- x x χ 4 - ' 1 y = x+c χ y- χ +cx, cer. 4. Ισχύει y' = xy, y > 0, οπότε έχουμε διαδοχικά:, lnv = + c,. v>0 y = et'l i v = c-e, c = e c ' >0. Εξάλλου ισχύει y(0) = 1, οπότε c = 1. Αρα y = e. 5, ι) Μία παράγουσα της a(t) = a είναι η A(t) = at, οπότε έχουμε διαδοχικά y'e" +ae"y = fle'"-e' (a i)l (ye" Υ = fie 304

23 . : ye a, +c l = J fie^'dt ye" =JL e <'-»'+c α-λ Άρα β -b c y = e +. α-λ e" y(t) = β 1 c η, cer. a-ke h e 1 c ii) Επειδή a > Ο, λ > Ο ισχύει lim = Ο και lim = Ο, οπότε /->+<» g " /->+ ^ lim y(t) = Επειδή θ-τ>0 η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: άθ Θ-Τ = -xdt r <1Θ = -tct+c,, 3 Θ-Τ Ιη(θ-Τ) Θ-Τ = -Kt+c l = e'"* Cl Εξάλλου Άρα θ(ί) = Τ+ce~", c = e CI. θ(0) = θ 0 οθ 0 = Τ +c-e <*c = 0 o -T. θ(() = Τ + (θ 0 -Τ)β κ '. 7. i) Έστω Ρ,(ί) ο πληθυσμός της χώρας, αν δεν υπήρχε η μετανάστευση και P (t) ο πληθυσμός που έχει μεταναστεύσει μέχρι τη χρονική στιγμή ί. Τότε ο πληθυσμός της χώρας είναι οπότε P(t) = P i (t)-p (t) p\f)=p;(t)-p[(t). (ί) 305

24 Είναι όμως P\(l) -k-p(t) k>ο > 9 αφού έχουμε ρυθμό αύξησης του Ρ, (Ι) ανάλογο του P(t). Επίσης είναι P[(t) = m, οπότε η (1) γράφεται ή ισοδύναμα P'(t) = kp(t)~m, P'-kP = -m Μία παράγουσα της α(/) = -k είναι η A(t) = -kt. Πολλαπλασιάζουμε με e~ b τα μέλη της εξίσωσης, οπότε έχουμε διαδοχικά: P'e b -ke~ b Ρ = -me' b (Pe b y = -me b Pe~ b +c, = -mj e b dt % Pe b = e b +c P(t) = +ce b. k Επειδή P(0) = P a, έχουμε P 0 = +c, οπότε c = P 0 -. k k P(t) = j + R}" \P 0 ~\e", k>0 Άρα iii) Είναι P'(t) = (kpj -m)e b αν m <kp 0 τότε P'(t) > 0, οπότε ο πληθυσμός αυξάνεται. αν m > kp 0 τότε P'(t) < 0, οπότε ο πληθυσμός μειώνεται. αν m = kp 0 τότε P'(t) > 0, οπότε ο πληθυσμός είναι σταθερός. 8. ϊ) Ο όγκος του νερού της δεξαμενής τη χρονική στιγμή t είναι V(t)=xr y(t) = xy(t), όπου r = 1 m η ακτίνα του κυλίνδρου, οπότε 306

25 Εξάλλου έχουμε V\t) = ny\t). -a^gy = 7Γ ^/0 ν = -0,0π ^5γ. Έτσι ο νόμος του Torricelli γράφεται ή ισοδύναμα πν' = -0,0nyf5y, 50 ν " (1) ii) Προφανώς το y = 0 αποτελεί λύση της (1). Για _y>0 η εξίσωση γράφεται fy so οπότε έχουμε διαδοχικά: ί ν 1 dy = ^-/+c J 50 v"*=z^, + c 50 m = z a t + l 100 y= λ/5 c /+ 100 Όμως ισχύει v(0) = 36 din, οπότε 36 =, συνεπώς c = 1. Άρα v(0 A 100 /+6 iii)h δεξαμενή αδειάζει τελείως, όταν y(l) = 0 Έτσι έχουμε: 3,(,) = 0 «- ^ ΐ / + 6 = 0 «/ = ^ = ^ ^ = 1 0 ^ sec. 100 Λ/ Η Ε = 0 αποτελεί μία προφανή λύση της διαφορικής εξίσωσης. 307

26 Για Ε > Ο η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: de 1 RC -dt ln t+c, RC 1 E(t) = - e +c1 RC E(t) = k-e RC, k = e. Εξάλλου»i il E(t 1 ) = E 0 o 0 = *e «<*k = E 0 e KC. Αρα h-t E(t) = E 0 e* c. 10. ϊ)α)αν αντικαταστήσουμε τις τιμές των R, L και Ε, κανόνας του Kirchhoff γράφεται ή ισοδύναμα 4/'+1/ = 60, /'+37 = 15. (1) Μία παράγουσα της α(/) = 3 είναι η A(t) = 31. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη (1) με e 3 ', οπότε έχουμε διαδοχικά: I'e 3 ' + 3e 3 '/ = 15e 3 ' (7c 3 ')' = 15e 3 ' 7e 3 '+c, = 5 J 3e*'dt Ie 3 ' =5e 3 ' +c. β)είναι lim 7(/) = lim /->+<«/->+OO( /(0 = e 5+^ =

27 Από την ισότητα lim 7(ί) = 5 συμπεραίνουμε ότι για «μεγάλες» τιμές /->+ΟΟ του t η ένταση γίνεται σταθερή και η γραφική παράσταση της y = I(t) έχει ασύμπτωτη την ευθεία ^ = 5. ii) Αν Ε = 60ημ3ί ο κανόνας του Kirchhoff γράφεται διαδοχικά: /' + 37 =15Εημ3ί I'e 3 ' + 3e 3 '/ = 15 3 'ημ3/ (Ie 3 ')' = 15β 3/ ημ3ί Ie 3 ' +c, = 5j 3β 3 'ημ3/λ. () Θέτουμε J = J3β 3 'ημ3/α, οπότε J = (β 3 ')'ημ3/λ = β 3 'ημ3ί -3J «3, συν3 tdt = ε 3 'ημ3ί - J(e 3 ' )'συν3 /Λ = ε 3 'ημ3ί -[ε 3 'συν3/+3 β 3 'ημ3/ί//] = e 3 ' (ημ3ί - συν3ί) - 3 J. Άρα Λόγω της () έχουμε J = β 3 '(ημ3ί-συν3ί)+ίι, 4 c,elr. Άρα Ie 3 ' - «3 '(ημ3/-σον30+ε 4 /(0 = 4 (ημ3/ - συν e 3.4 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε ί) J 4 f(x)dx = - f(x)dx =

28 mmgm^^mxrn «) f(x)dx = /(x)dx +f f(x)dx = - /(X)i c+jj 8 f(x)dx = = 4 iii) /(*)<& = f(x)dx+ /(x)«ic = 9 - /(*)<& = 9-11 = - iv) f(x)dx = f{x)dx+^f(x)dx + f(x)dx = 11 - C'f(x)dx +13 = 4-9 = 15.. Έχουμε r' 1. r 1 I In - f dt = \ (In 1 - In t)dt = -j' In /df = ^ In tdt. i * x* 4 η 5 ^ dx- j^ ~dx-3 γράφεται διαδοχικά: γ4ζ! λ + ]*_5_ α β 3 J' x +1 Ji χ +1 γ* ^= 3 Ji χ +1 j\dx = 3 (*-l) = 3 = Έχουμε i) [/(x) - 6g(x)]dx = 3 f(x)dx - G^g{x)dx = 5-6 (-) = ") jj/(x) - (*)]<& = /(x)< c - j^g(x)dx = -1 /(*)<&+ g(*)<fr = --5- =

29 3.5 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε r i) f (3x -x + l)<i*: = [x 3 -χ + x]q =[ 3 - +] [Ο 3 -Ο +0] = 6 Jo jl -j7 jl xji λ x λ = [lnx][ + -1 = Ine-lnll^xj, = 1 - Je 1. = 3- Χ Ν iii) (συνχ - ημχ)ί& = (ημχ+συνχ)ά = [ημχ+συνχ], = ημ +συν -ημθ-συν0 = 1- = -1 ' iv) ί(* + χ) <&e f(*,+ p- + } fc = f*,<fr+ f*",<fc+ f«fc "χ 3 " ν λ (-1) = 1 [ τ Ι - Η «9 6. Έχουμε ι;! _±^ λ + '_^_ α = ί ί_±ζϊ χ +7χ, α. ι ί χ " χ +5 ^χ +5 Λ χ +5 Λ χ +5 -<& = Γ χ ^ +5 τ Ή " xdx = Έχουμε: 311

30 ftlffpfillf f / W W * = f(x)f(x)dx = [(/(x)) ]'dx =[(/(*)) ]f = (/(/?)) -(/(«)) 4. Επειδή η γραφική παράσταση της / διέρχεται από τα σημεία (0,0) και (1,1) έχουμε /(0) = 0 και /(1) = 1. Επομένως σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα είναι: j/'(x)dx = [/(*)]{, = /(1) - /(0) = 1-0 = i) Θέτουμε u = συνχ, οπότε, έχουμε: η*.(γ Έχουμε = V 1-συν χ (συνχ)' = Vl-συν χ-(-ημχ) = -ημχ ημχ. Γσυνι9 θ 6. i) Έχουμε: 1+- r v. - a z t h - t f Y τγχ mw-jx 1 _ -cnwx λ/χ -Jx x x Vx +1+χ /,( x)= (x+vx +!)' _ λ/χ +1 _ λ/χ^+ϊ χ + λ/χ +1 χ + λ/χ +1 x + Jx 1 +1 vx +1 ii) Αν χρησιμοποιήσουμε το ερώτημα i) έχουμε: ί'-7= = fv'(*)rfr = [/(x)]^ = /(1) -/(0) 0 v1 + x = ln(l + λ/ ) - ln(0 + λ/γ) = lna+λ/ ). 31

31 3.5 Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε διαδοχικά: d_ dx ί>«λ ) = "έ (χ4+χ6) xg(x) = 4x 3 +6x 5. Επομένως, για χ = 1 έχουμε l-g(l) = , οπότε #(1) = 10.. Η /(χ) γράφεται: /(χ) = e m 'a + J* + ' e m "dt = - J* -^ +J"' e^'dt, οπότε έχουμε: ^συν*χ ^cn)vjr(.r+l) _^συν«χ ^ συν(πχ+*) ^Σΐ)ΝΧΪ _J_^<N»V*X Q Αυτό σημαίνει ότι η/είναι σταθερή. 3. Έχουμε: και τον πίνακα /'(*) = χ- _χ- χ -οο /'(*) /(*) \. / min Η / είναι γνησίως φθίνουσα στο (-<»,], γνησίως αύξουσα στο [, + οο) και παρουσιάζει ελάχιστο στο χ 0 =, το /() = Είναι +0 F'(x) = I x j7(wj = j/(,)<ft+x/(x) 5. Έχουμε: 313

32 1 γ F\x) = -,-+- * l + x = 0. 1+χ χ +1 Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση F είναι σταθερή. F(x) = e, xe (0, + αο). Είναι όμως, F(l) = Γ dt + Γ ί dt = 0. Επομένως Jil+r -Λ 1+r F(x) = 0, xe(0, + oo). 6. Έχουμε: lim f ^5+t dt = lim *-»o h «*->o +t dt (μορφή ) [ h^dt = lima-0 (/,)' (κανόνας De L' Hospital) = limj5 + (+A) λ-+0 * = V9 =3. 7. i) Θέτουμε m=x -4, οπότε du = xdx. Τα νέα όρια ολοκληρώσεως είναι Η] = 4-4 = 1 και u =6-4 = 3. Επομένως, γ * a - i r * ι " ^/x -4 ji = Λ/3->/Ϊ =4λ/-λ/3 ϊϊ)έχουμε: f * 1 1ημ(συνχ + χ)ημχ:-ημ(συνχ+χ)] &= 1 ημ(συνχ + χ)[ημχ - l]i c. Jo Jo 314

33 I I Θέτουμε u = συνχ+χ, οπότε du = -(ημχ - \)dx. Τα νέα όρια είναι u, =συν() + 0 = 1 και w, = συν + =. Επομένως, 1 π Ρ ημ(συνχ + χ)[ημχ- \\cix = J χ t[\iudu η = [ouvw], = συν συν1 = -συν1. 8. ϊ) Έχουμε: (χ -1 χ -11 )ί& = (x + χ - *)<& + (χ - χ + l)dx Γ χ 3 χ 3 : + ~Χ ί 3 χ 3 χ -1 +χ ο L τ ~ί 1 1, 7 3, 5 = = ii) Η /είναι συνεχής στο [-π,π] οπότε έχουμε J f(x)dx= j" xrfr+ημτώτ = x τ [συν]* 71 7γ = - (συν7γ- συνο) = +. iii) Το τριώνυμο χ -3χ+ έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και και το πρόσημο του φαίνεται στον πίνακα: χ <χ> 1 +αο χ -3χ+ Επομένως έχουμε: + ο x -3x + e6r= o (x ~'ix + )dx+j^ (-χ +3x-)dx + f (x -3x + )dx ο + ~)1 3 χ +χ +! χ' -χ 3 * 3, χ +χ τ! + Γ *, 13~ + J'L %

34 9. i) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε; Γ* ίη Λ= Γ" & = Γ' ( >/*)'; In xnx Jl -Jx J 1 -Jx J' = lufx lnx]f -f -Jx dx Ji χ = elne -1n/ dx -Jx = 4e-4[Vx]' = 4e-4(e-l) = 4. ii) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε: ^xe 'dx = -jx( e ~ x )'dx = ~\ xe '\o + f 0 e %(ix e \e J e e ίϊί)θέτουμε u=9 + x, οπότε du = xdx, «, =9 και m =10. Επομένως: / 1-1 /*10 1 p10 xln(9+x )<& = In udu = j(u)'\nudu u\nu I01nlO_91n9_I j " 9 1 = 51nl0 In 9. iv) Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε. * 1 - I = p ε Χ συνχα!χ: = 0 e" (ημχ)'βίχ = [e^x] 0 J - 0 ημx-e'dx 1 - = 0+jj e x (awx)'dx β*συνχ 4 - j - Ρ e"<m\xdx 4 Jo 316

35 1 i ιο η 1, = β συνπ e συνο 7, οποτε 10. Έχουμε: = --<? --<=>/ = --(e +1) κ κ * I+J = ρ χημ χ &+J* xcmv xdx = χ(ημ χ + συν χ)ώτ = f xdx = Jo π 1 Επίσης κ 1 -J = p χ(ημ χ- συν χ)άχ = xmsvlxdx κ = ft x(i\\ix)'dx = ~ [χημχ] 0 x\\ixdx 71 -ημπ-ο α = -[συνχ] 4 = - (συν7γ-συνο) = -(-1-1) = Αν λύσουμε το σύστημα r τ π I+J = = 1 βρίσκουμε 11. Επειδή /" συνεχής έχουμε: π I π \ I- + και J /(χ)η μχλχ+j'/ "(χ)η μχώ =. (1) Όμως είναι: /J /"(χ)ημχ<& = [/'(χ)ημχ]ο "]Γ/'(*)(ημ*)'<& 317

36 = - /'(χ)συνκώ = -[/(χ)συνχ]* + /(χ)(συνχ )'ώτ = /00 + /(0) - / (x)wxdx = 1+/(0)- /(χ)ημχώ: Έτσι, ί σχέση (1) γράφεται /(χ)ημχ<& +1 + /(0) - / (χ)ημχλ =, οπότε /(0) = Επειδή οι /" και g" είναι συνεχείς έχουμε 7 " Γ (/wg"w-/"w^w)^ -Γ /(*) "(*)<&- ' f"(x)g(x)dx =[f(x)g'(x)ya -[f(x)g\x)dx-\j'(x)g(x)y a +j'f(x)g'(x)dx = Afig'ifl) - f(a)g\a)-[f{fi)g(fi) - f'(a)g(a)] = /(/0g'lfl)-f'(fl)gifi), (αφού /(a) = g(a) = 0) = Afi)g'(fi) ~ g'ifi)g(fi), (αφού /'(/?) = g'(fi)i* = g ' o w w - g m 3.6 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε: 0 = Jo (/(x) ~ l)dx= i f(x)dx ~i ldx = /(*)*-: 1 ' οπότε J o '/(x)rfr = 1» = 1» / = 1. Έχουμε: 318

37 οποτε ο = (/(*)- *)<& = f /(*)<& - = - «), j'/(*)<** = ηβ-α)» /(*)<** = *<=>/ = * 3. Έστω η συνάρτηση f(x)-x, χefa,/?]. Τότε η μέση τιμή χ του χ στο [α,/?] είναι: 1 "χ " 1 γ β λ 1 α 1 /?-α χ β~ α 1 β -α α+β β-α 3.6 Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε: f=^\"x dx=-l_zlz l = l±«^i ^-α >«β-α 3 3 ^ =_^γ'_!_ λ = _1_γζΐί = _^ίΐ_ΐ1 /?-«x β-αυχ\ α β-α{α β) I β-α 1 οποτε β-α αβ αβ' 7 α +αβ + β 1 α +αβ + β /g=- 3 αβ 3 αβ Έτσι, έχουμε να δείξουμε ότι: α +αβ + β 3αβ >1<=>α +αβ + β >3αβ <=>α -αβ + β >0<=>(α-/ϊ) >0, που ισχύει. Επομένως είναι f g > 1.. α) Έχουμε: 319

38 1 Γ* 1 f* ρ,, ρ γ" >, ο = f v(r)dr = I (R -r )dr = (R -r )dr R Jo Λ Jo 4ni 4Rni Jo 4Rn R (R-0)- 3 Ρ 4 Rnt r R i - < 3 J f \ 4 Rnl 3 6 nt β) Εξάλλου έχουμε: ρ -Pr v\r) = (-r) = < Ο, για κάθε r e (0,R). 4w n^ Όμως η v-v(r) είναι συνεχής στο [Ο,Λ], οπότε θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [Ο,Λ]. Επομένως η μέγιστη ταχύτητα είναι: Προφανώς ισχύει > υ. =υ(0) = PR 4 nt 3. Έχουμε J/(x)dx = f ( 1). (1) Επιπλέον, σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ e (0,1) τέτοιο, ώστε //(*)<& = /( ). () Από (1) και () προκύπτει ότι /( ) = /(1), οπότε στο διάστημα [,1] ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 e (, 1) τέτοιο, ώστε /'(x 0 ) = 0. Επομένως η c f έχει τουλάχιστον μία οριζόντια εφαπτομένη. 3.7 Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Το τριώνυμο f(x) = χ -χ+3 έχει διακρίνουσα Δ = -8<0, οπότε ισχύει f(x)>0 είναι: για κάθε xer. Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε 30

39 3.7 Ε = f (χ Jo - χ + 3)dx χ +3χ = α6 = - τετρ. μον.. i) Πα κάθε χε[0, + αο) ισχύει /(χ) = \[χ > 0. Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: 7 -r^dx= Jo 71 j ii) Για κάθε xe 0, ισχύει /(*) = > 0. Επομένως το εμβα-. 3 J συν χ δόν που ζητάμε είναι χ Ε = f 3 ί ί/χ = [εφχ ] 0 ' = εφ -efo = S Jo συν χ 3 κ 3. Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f και του άξονα χ'χ είναι οι τ.μ. ρίζες της εξίσωσης χ -3χ = 0, δηλαδή οι αριθμοί 0 και 3. Επειδή /(χ) < 0 για κάθε χ e [0,3], έχουμε: Ε = [ 3 /(Χ) I dx = - ff(x)dx JO JO = - f (x - 3x)dx = - Jo 3 x ^ x i ι X~ x 3,, 7 9 = 9 = τ.μ Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων C f και C, είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται: Ax) = g(x) χ 3 = r-x - ' " rx-) = 0 «ΐ>χ = 0 ή χ=1 ή χ--. 31

40 ι Το πρόσημο της διαφοράς /(*) - g( x ) = χ3 + χ1 ~ χ = χ(χ - 1)(χ+) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: χ -οο 0 1 +χ> ο + ο ο + I ο + ο I I Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: E = f j / ( x ) ~ g ( x ) \ d x = f_ (/(x) - g(x))dx + (#(*) - f(x))dx = (* 3 +x -x)dx+j(x-x -x 3 )dx χ 4 χ 3 + χ χ χ4 _ ~3 4~ = -4 Η ( = τ. μ Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x) = 4-χ και g(x) = x- είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται f(x) = g(x)*> 4-χ - χ- <=> χ 1 +χ-6 = 0 <=> JC = 3 ή χ =. Το πρόσημο της διαφοράς f(x)~g(x) = -χ 1 -χ + 6 φαίνεται στον παρακάτω πίνακα χ -οο -3 +» /"(*)-«(*) Επομένως το εμβαδόν που ζητάμε είναι: 3

41 e=l 3 \m- g {x)\dx = j" (-χ - χ + 6)dx = 3 x x + 6x 8 4 " = 0 + = τ.μ Β ' Ο Μ Α Δ Α Σ 1. i) Επειδή /'(χ) = 6χ έχουμε /'(1) = 6, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο Λ(1,3) είναι: e.y- 3 = 6(x-l) ο y = 6x-3 ii) Η ε τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο 1 y ZiQ-,oj Επομένως, το εμβαδόν που ζητάμε είναι: Ε = ε, +ε = 3χ ί/χ+γ (3χ -6χ+3)dx \ 3 = [χ 3 ]q +[χ 3-3χ + 3χ]\ 3 1,, (1 3 ϊ 1 = ι = τ.μ. 8 Ιδ 4 J 4 ν=3* \ \ G] Μ*~-~ -Βι Ο 7 \ χ -. Επειδή lim f(x)= lim /(χ) = /(1), jr»1 χ»1 + η συνάρτηση/είναι συνεχής και στο σημείο 1, οπότε αυτή είναι συνεχής σε όλο το R. Είναι φανερό, επιπλέον, ότι /(χ)>0 για κάθε xe[-l,], Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: ι - -! i

42 Ε = \ \ f(x)dx = (-χ + 3)dx + l4xdx - + 3x + ~ Η Η ^ - λ g = 4+-^ τ.μ. 3. Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f και του άξονα χ'χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης /(χ) = 0, δηλαδή οι αριθμοί 1 και 5 Στο 1,- η / είναι και συνεχής και ισχύει /(χ)>0. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ο 5 Ε = p / (x)dx 5 = (-χ +4x-3)dx + j* (~x + 5)dx 3 Ί ί -^- + x -3x +[-χ +5.ν]ΐ = χ Οι τετμημένες των σημείων τομής των Cy και C g είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x), που γράφεται ( 4 HI) τ.μ. 34

43 ' f(x) = g(x) <=> λ/^-ϊ x + 1 ο x-l (x + l)»x -7x + 10 = 0» χ = ή χ = 5. Εξάλλου, για χ>1 έχουμε: /(x)>g(x)»x-l> x + l»x -7x+10<0 <=> <x<5. Επομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ε = ^λ/χ-1 - = j ' ^ x~ ulx ~ i j/* + w* Στο 1 ολοκλήρωμα θέτουμε u -x-1, οπότε du = dx, Μ, =1, «=4 και έτσι έχουμε: f4 ί 1 ε= γu du Ji x ι* ϊ) Έχουμε f(e) = l = g(e). Άρα το σημείο A(e,l) είναι κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων C f και C g των συναρτήσεων / και g. Επειδή η / είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ η g γνησίως αύξουσα, οι C f και C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το Α. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν Ε(λ) ισούται με 35

44 Είναι όμως Ε(λ)=[ Inxdx + f dx. Ji Je χ I 1ηχί/χ = (χ)ίηχί/χ = [xln x]' -j'dx Άρα = elne-(e-l) =1. Ε(λ)= f Inxc/x+f </x = l + e[lnx]^ Jl Je χ = l + elna-elne = l + e(lna-l). ii) Επομένως, lim Ε(λ)= lim[l + f(lna-l)] A-»+<o A >+«o = (1 - e) + e lim (In λ) = +00. λ ->+«3 6. Η τετμημένη του Α είναι η λύση της εξίσωσης 3* =3, που είναι ο αριθμός 1. Η τετμημένη του β είναι η λύση ν-3 ν = χ του συστήματος <, που ει- Ι.ν = 3 ναι ο αριθμός 3. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με: V" 1 χ ^(3* - x)dx +1 (3 - x)dx = * dx - + 3x 0 In 3 Γ 1 9, Γ,,1 ^ = [3-1J + 6 = + τ.μ. In 3 In 3 36

45 7. Η τετμημέλ'η του σημείου Α είναι ρίζα της εξίσωσης χ -χ + = χ -1, που είναι ο αριθμός χ =. Επομένως, το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με: = -jv -!)<& +p (χ -l)i/r + J 3 (x -x + )dx -χ χ ^ χ + χ = 4 τ μ ' + ι ^ \ 1 f 3^ ί) Οι εξισώσεις των εφαπτομένων ε, και ε της C { στα σημεία Ο και Λ αντιστοίχως είναι: y \$/ «ι -y~/(0) = /'(0)(x-0) και ε :y-f(n) = f'(k)(x-n) Επειδή /'(x) = συνχ έχουμε: /! 0 π/ π " > \ 1 χ οπότε /'(0) = 1 και /'(jt) = 1, e, :_V = x και e :y = -x+n. ii) Η τετμημένη του σημείου τομής Β των ε, και είναι η ρίζα της εξίσωσης χ = -χ + π, δηλαδή ο αριθμός χ ~~~ Επομένως το ζητού- 37

46 μενο εμβαδόν είναι: * ^ e = [>(x-r\vx)dx+\a-x + *-rwx)dx χ χ κ + συνχ + + πχ + συνχ κ 0 Ί _ ^ _ 7Γ = + συν συνο + ττ + συνπ π συν 9. α) Έχουμε = -^. 4 /'(*) = -*/x xe(0, + oo), οπότε /'(1) = και η εξίσωση της εφαπτομένης ε είναι:, ν 1 =, (χ-1)<=> ν = χ + y 1 ι =r ι ψ ι Γ ι I ^ y - v* ο 1 χ Η ε τέμνει τον άξονα χ'χ στο σημείο με τετμημένη -1. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: = Γ, ( γ + Ϊ ) λ + 0 ' + Ϊ -, / * ) λ χ χ 4 3 χ Χ χ = = τ.μ β) Εξετάζουμε αρχικά αν υπάρχει ευθεία χ = α με αε[-1,0] η ο- ποία χωρίζει το χωρίο (Α) του (α) ερωτήματος σε δύο ισοεμβασικά χωρία. Δηλαδή αν υπάρχει τιμή του ae[-l,0j τέτοια, ώστε να ισχύει:, ε χ χ Γ (-*+-) αχ = <=> 1 μ ) 4 38

47 3.7 α α 1 1 1,, <=> 1 ί 3α + 6α + 1 Ο Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς α, = -3+V6 και -3-λ/6. Από αυτούς μόνο ο α, ανήκει στο διάστημα [-1,0]. Επομένως η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση: -3+^6 Λ* =. 3 Αν εργαστούμε ανάλογα για α ε [0,1], βρίσκουμε ότι δεν υπάρχει άλλη ευθεία χ = α που να χωρίζει το χωρίο Α σε δύο ισοεμβασικά χωρία. Αυτό. άλλωστε, ήταν αναμενόμενο. 10. Έχουμε g(x) = In 1 - In x = - In x. που σημαίνει ότι η C g είναι συμμετρική της c f ως προς τον άξονα x'x. Η τετμημένη του Α είναι ρίζα της εξίσωσης In = Ιχι. που χ \ v = lnjr \ Ο 1/ Β y = ln είναι ο αριθμός χ ~~ Η τε ~ ν = Ιιιτμημένη του Β είναι ρίζα της εξίσωσης lnx = ln, που είναι ο αριθμός χ =. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι: 4 /'- = I. ι I ( In-In λ f c/x-t Γ'" In x)dx ( π f γ = 1 ii j + j! In χώτ +In (-1)-J Inxdx \ ln+[xlnx] 1 1 J, k/x + ln-[xlnx]f +1Xdx : In + 1 In 1 In ) + In - In + 1 In

48 = 1ΐη+1ΐη-1-1η + 1 ι ~ ' 11. i) Έχουμε /(0) = και /'(x) = x-3. Από τον τύπο J f'(x)dx = f(x)+c έχουμε διαδοχικά J(x-3 )dx = f(x) + c x -3x = f (x) + c /(x) = x -3x-c. Είναι όμως, /(0) = <=> -c = <=> c = -. Επομένως, y, /(x) = χ -3X+. ii)oi τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξονα χ'χ είναι οι ρίζες της εξίσωσης Χ -3Χ + = 0 δηλαδή χ,=1 και χ =. Επειδή χ - 3χ + < 0, ό- ταν Λ: e (1,), το ζητούμενο εμβαδόν είναι: = - (χ -3x + )dx = - χ3 χ 3 + χ 3 Η Η -» Μ Η - Ή ί) Η C f τέμνει τον άξονα των x στα σημεία Λ(1,0) και (3,0) Επειδή /'(χ) = (χ -4χ + 3)'= χ-4, έχουμε /'(1) = - και /'(3) =. Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο,4(1,0) είναι: Λ'-Ζα) = /'(1)(*-1) <=> ^ = -JC+ ενώ η εξίσωση της εφαπτομένης στο 5(3,0) είναι: 330

49 3.7 ν - /(3) = /'(3)(Λ--3)ον = χ-6 ii) Η τετμημένη του σημείου τομής /' των εφαπτο μένων είναι λύση της εξίσωσης -χ + = χ-6 δηλαδή ο αριθμός.ν=. Επομένως το σημείο τομής τους είναι το /'(,-). Λόγω της συμμετρίας του σχήματος έχουμε: e, (χ -4x + 3)dx = - 3 x 3 -χ + 3χ η, -) και ( 8 = -,3 ε =^ (χ -4x x-)dx=^ (χ -x+l)dx = 3 8,, ι,,1 _ χ +x = ~ 3 χ 1 Άρα = =. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ 1. ί) Θέτουμε u = n-x, οπότε du--dx, «, =π, ιι = 0. Έτσι έχουμε: ρττ / 0 / = χ/"(η[ΐν)ί/τ = - (π - w)/(ημ(7γ -u))du JO j/r = -J nf(x\\ui)du +1uf(x\\w)du = π\f (i\\w)du -1. JO Επομένως 1 = f (\\\w)du. οπότε I = J/(ημχ)ί/.ν. 331

50 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ ii)σύμφωνα με το ερώτημα (ί) έχουμε: j r j w l. a = r w d x =ir w Jo -?4-nn v 7 Jo ^Ϊ4-Ιΐιι ν 7 Jo 3+ημ χ J 3 + ημ'χ Jo 4-συν χ Θέτουμε u = συνχ, οπότε du = -ημχ<&. Επομένως: τ 1 π f ' f ' ~ Ji 4-u ~ J. u 3-4 π Αναζητούμε α,/?εκ τέτοια, ώστε να ισχύει: - = α η u -4 u- u + ή, ισοδύναμα, (α +/?)w + (a-β) = 1, για κάθε»er-{-,}. Η τελευταία ισχύει για κάθε wer -{-,}, αν και μόνο αν Επομένως α+β=0 1 ι <=> α = και β =. (α-/?) =! _ι γ, - σ γ ' - ϊ - α + ΐ γ ϋ * Ji «- Ji u+ = -L -[1η «- ]Γ' --[ln «+ ]r l 8,J ' 8 (In3-lnl)- (lnl-ln 3) 8 8 = ln3+ ln3 = ln i) Αναζητούμε α,β τέτοια ώστε ^ = + ή, ισοδύναμα, χ~ -1 χ 1 χ + i 1 =(α+β)χ+(α-β), για κάθε ier-{-1,1}. Η τελευταία ισχύει για κάθε ies - { 1,1}, αν και μόνο αν Έτσι τελικά έχουμε: \α. + β = α>α = και β =. \α-β = \ ί -^- = - ί -- Π = [In λγ-1 ]= --[ln jc + l ] 0 J, jc -1 1 χ-1 J> χ +1 33

51 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ' ΟΜΑΔΑΣ [in 1η ί] - ί 1η - In 1 i j l ii) Έχουμε: if, 1 In 1 In = 1. In-4- =-Inι, ' { ) 3 3 = i n = -inv 3. Λ/3 1 i./, Γ η Γ "" Λ Ι- ημχ J ημ χ Χ 1-συν x Θέτουμε u = συνχ, οπότε ί/w = -ημχί&, κ^συν = και ζ^, = συν-^ = 0. Επομένως / 1 { du ι ' ί/w r Γ; (& = -Γ ~ = = lnv3 (από ι)). ' ημν ; 1 - u~ u' Για u Φ -1,- αναζητούμε α,ββ R τέτοιους, ώστε: ή, ισοδύναμα, 1 α β (ιι +1)(«+ ) u +1 u+ 1 = α(«+) + /?(«+ 1). για κάθε «*-1,- (α + /?)«+α + β-1 = 0, για κάθε «*-1,- Η τελευταία ισχύει για κάθε κ e R -{-1,-}, αν και μόνο αν Επομένως α + /ί=θ] ί α = 1 «+ /? = lj [y? = -l' ί! Λ =Ι*--Ι-±. J (u +1)(«+) J / + 1 J u + = ln w+l -ln w + + c 333

52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ i) Θέτουμε «= ημχ, οπότε du = <jvvxdx. Επομένως γ συνχ, f- f du J 1 (ημχ + 1)(ηιιχ+) 1)(ημχ+) J(w + l)(w + ) = ln M + r -ln w + +c = In I ημχ + l J In ημχ + + c ii) Θέτουμε u = e x, οπότε du = e'dx. Έτσι έχουμε ί dx= f = ln e jr +l -ln e j: + +c J (e + 1)(e +) J (H + 1)(«+ ) 4. i) Έχουμε: I jv+] = in^' +1) ln( * + )+c. ^v+3 κ + k+\ = Jo J - jdt 4- f - γώ l + / Jo l + r Jo 1+/ I, / Jo v+ v + 1 ^ + f 1 1, 1 f 1 (' +1), ") i 0 = ( ~ r d t = ~ f ; dt 1 + / Jo (/-+1) = I[ln(/ +l)]i=i(ln-ln1) = Iln. Εξάλλου από το ερώτημα i) έχουμε Ι 0 +/, = * = -ί, οπότε I = =- In = (1 In ). 1 0 Επίσης είναι /, +/, =?, οπότε ' -1+, ι ι ι, ^ ι. ι Ι = /, = 1 ln = In. * 4 ' Θέτουμε g(x) το 1 μέλος και h(x) το μέλος και έχουμε. 334

53 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ' ΟΜΑΔΑΣ g\x) = ^χ ο f(u)du-juf(u)du και = ί f(u)du+xf(x)~xf{x)= Γ/(u)du JO Jo h\ X ) = [ f W. Δηλαδή ισχύει g'(x) = h'(x) για κάθε xer. Επομένως, υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε g(x) = h(x) + c ή, ισοδύναμα. j Q /(")(*-u)du = \Jj(t)dt\du + c, για κάθε xe IR. Για x = 0 έχουμε: J o /(»)(0-u)du= ^f(t)dt^jdu + c<=>0 = 0 + coc = 0 οπότε έχουμε: [f(u)(x-u)du = \'(\j(t)dt\du. 6. i) Η συνάρτηση g(u) = -1 έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α = (-οο, 1] u [1,+ ο). Άρα, για να ορίζεται η / πρέπει τα άκρα 1, ί να ανήκουν στο ίδιο διάστημα του Α. Άρα πρέπει t e [1,-κ»), οπότε το πεδίο ορισμού της/ είναι το [1,+οο). Για να ορίζεται, τώρα, η F πρέπει τα άκρα 1, * να α- νήκουν στο διάστημα [1,+μ) που είναι το πεδίο ορισμού της/ Άρα πρέπει χ e [1,-κ»), οπότε το πεδίο ορισμού της F είναι το [1,-κ»). ii) Έχουμε οπότε F'(x) = f(x) = I* V«-Idu F"(x)=f'(x)=y[T^l. Επειδή F (x)>0 στο (1,+<») και F"( 1) = 0, η F' είναι γνησίως αύξουσα στο [1, + οο), οπότε: 335

54 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ η /'"είναι κυρτή στο (1, + οο) και F'(x) > F'(l) = 0 για κάθε xe(l, + oo). Άρα η F είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+αο). 7. i) F(x) + G(x) = ί β'(συν*ί+χ\μ ί)λ = β*-1, (1) Jo και F(x)-G(x)=f β'(συν ί-ημ ί)<λ Jo Όμως, είναι = f β'συνtdt = K(x). Jo ΑΓ(λ-) = [ίί'συνί] ( Λ, -f- f ^'ημtdt Jo = β'συνχ-1 + [β'ημ/]ο -4 e'<mvtdt οποτε Άρα = e x Gxn\x-\ + e x i\\ix-4k(x) 5Α^(χ) = β ί (συνχ + ημχ)-1. Κ (χ) = F(x)-G(x) =-^-(συνλ + ημχ)-j. () Με πρόσθεση των (1) και () κατά μέλη προκύπτει ότι: e" 6 F(x) = (συνχ + ημχ) + e" - Από τις (1) και (3) έχουμε F(x) = (συνχ + ημχ) + -. (3) e* e" 6 G{x) = e x -1 (συνχ + ημχ) e x e" 4 = - (συνχ + ημχ) ii) Επειδή F'(t) = e'<n>v r, έχουμε 336

55 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ π 1 = [F( χ)] * = (συναπ + ημ4;τ) + 10 e ln e " e " e' : 5'*,'""ι, Επειδή G'(/) = ^'ημ /, έχουμε 6 e',, -, χ e* (συν7τ + ημ;τ) Η e " e * β* e" J = [G(x)]/ = (συν4ττ + ημ4/τ) η (συνττ + ημπ) * * * * = - + = - e'(e'-l) Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης χ +1 = 5, δηλαδή οι αριθμοί Α χ, = - και χ =. Οι τετμημένες των Γ και Δ είναι οι ρίζες της εξίσωσης χ +1 = α +1, δηλαδή οι αριθμοί χ, = -α και χ = α. Το εμβαδόν Ε του χωρίου Ω που περικλείεται από την ευθεία ν = 5 και τη γραφική παράσταση της ν = χ +1 είναι: = ^(5-χ -\)dx- χ. + 4χ 3 = ^ + 8-«+8 = ^ Το εμβαδόν ε του χωρίου που περικλείεται από την ευθεία ν = α +1 και τη γραφική παράσταση της ν = χ +1 είναι: ε=ί (α +1-χ -1)ί/χ= f (α - χ )dx = α (α + η) - j-a j a. ί ι β (χ = α - + = α 3 - «3 = α _ 4 _

56 338 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ Το Ω χωρίζεται από την y = a +1 σε δύο ισοεμβαδικά χωρία, αν και μόνο αν Ε ε = <=> 4 α 3 = 3 1 <=> 4α 3 =16<=i>«3/τ = v ί) Αν 0 < Α < 1, τότε γ' v -1 Αν Α>1, τότε, ίΐ =Ι-ι. λ ι y 1 i 1 jv = j" ^ / ι * I f c * 0 a 1 a Αν Α>1, τότε Ε(λ) - Jxx W Ji χ dx = -1 Ε(λ)= ί -^ dx= ί χ dx = ji χ ji α = 1 1 ' ii)av 0<Α<1, τότε Αν Α >1, τότε: ίίί)έχουμε: (A) = - oi-l = i «A = -. Α 3 Ε(λ) = <=>1- =»Α = Α lim "(Λ) = lim 1 = lim 11 = +00 και J lim Ε (λ) = lim 1 = 1. λ >+οο λ >+ ol ^ j 10. i) Ισχύει f(x)-g(x)> 0, για κάθε χε[α,β], οπότε έχουμε διαδοχικά: ί (f(x)~g(x))dx> 0 ja ί y(jc)c6c- f ^(λγ)οεχ- :0 Ja Ja I f(x)dx>j g(x)dx.

57 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ π)για κάθε χ&[α,β] κα: iii) Είναι: η ισχύει m < f(x) < Μ, οπότε έχουμε διαδυ J 'β [β (β ηκίχ<, Ι J(x)dx < I Mdx a J a Ja ρβ /»(/?-«)< f (x)dx < Μ {β - a) ja f\ x ) = χσυν -'ΐμ* = x ~ ( p x < ο X X συν χ x / rx!t αφου χ-εφχ<0 και >0 για xe 0, συνχ V Επομένως η/είναι γνησίως φθίνουσα στο ί 0,. π π π π, (π α) Για xe ισχύει <x<, οποτε f\ Λ 6'τ 6 3 U αφού η/είναι γνησίως φθίνουσα. Έτσι. 3 ημχ 3Λ/3,. 3Λ/3 ημχ 3 > > ή ισοδύναμα, < -ϋ- < π χ π π χ π β) Σύμφωνα με το ερώτημα ϊ) θα ισχύει >/<*>*/if ρ ^ 4 7 π J χ J- π η μ ν π π γί d x ^ ( π {3 6) χ π^3 λ ίν) Είναι 4 J - γ ι /'(x) = -xe ' <0, για xe(0,+oo) επειδή η /είναι και συνεχής σιο [«>,+*>). η / θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,+οο). α) Από την ανισότητα e x >l + x, αν θέσουμε όπου χ το -χ, προκύπτει e'" 1 > 1-χ. (1) 339

58 Ε ΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ'ΟΜΑΔΑΣ Εξάλλου, επειδή η/είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,+οο), για xe[0,l] Οα ισχύει Από (1) και () προκύπτει ότι l-x /(*) < /(0) <=> ε~ χ1 < 1. () <e~' <1, για xe[0,l]. β) Από την τελευταία ανισότητα προκύπτει (1 -x )dx<, je~* dx<^\dx I 1 x -<\e dx< 1. 3 J o Με απόφαση της Ελληνικής Κυβέρνησης τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου και του Λυκείου τυπώνονται από τον Οργανισμό Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν βιβλιόσημο προς απόδειξη της γνησιότητάς τους. Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δε φέρει βιβλιόσημο θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του Νόμου 119 της 15/1 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ 1946, 108, Α ). Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου. ΕΚΔΟΣΗ ΙΑ' 009 ΑΝΤΙΤΥΠΑ ΑΡ. ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΕΚΤΥΠΟΣΗ: ΤΖΙΑΦΑΛΙΑ ΕΥΘΥΜΙΑ - ΒΙΒΛΙΟΔΕΣΙΑ: ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ Α. 8 ΣΙΑΙΤΕΤ 340

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία µμου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ.

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σελ. 73 σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς 1o ΘΕΜΑ 1 A1. Δινεται μια συναρτηση f : [α, ]. Να δωσετε τον ορισμο της συνεχειας της f στο διαστημα

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α )

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α ) ΘΕΜΑ Εξετάζουµε τις αθµολογίες ενός δείγµατος φοιτητών σε κάποιο διαγώνισµα και πήραµε τον πίνακα Χ i (αθ.) ν i f i % N i F i % 4

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Νδο ηµ α Α) = εφα +συνα Β) π συνα εφ α = +ηµ α Γ) ηµ α= ηµ α συνα+ συν α ηµα ) συν α+ηµ α εφα= + εφα εφα Ε) ( + συνα) εφα=ηµ α Ζ) =εφα εφα+σφα. Νδο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) = ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΗΤΗΜΑ ο Α. α Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι, αν > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. σας προτείνουν για άλλη μια χρονιά, ένα ολοκληρωμένο

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. σας προτείνουν για άλλη μια χρονιά, ένα ολοκληρωμένο ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αγαπητοί μαθητές και μαθήτριες, Τα σας προτείνουν για άλλη μια χρονιά, ένα ολοκληρωμένο επαναληπτικό υλικό στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Θα ασχοληθούµε µε συναρτήσεις πραγµατικές πραγµατικής µεταβλητής που θα τις

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Θα ασχοληθούµε µε συναρτήσεις πραγµατικές πραγµατικής µεταβλητής που θα τις ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονοµάζουµε τη διαδικασία εκείνη όπου κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα και µόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β Το σύνολο Α ονοµάζεται πεδίου ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε f ( α) f ( β)

( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε f ( α) f ( β) Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε ( α) ( β). Να δειχτεί ότι για κάθε αριθµό η µεταξύ των ( α ) και ( β ) υπάρχει ένας τουάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

Τομέας Mαθηματικών ρούλα μακρή Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή" ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Πρότυπου Εκπαιδευτικού Οργανισμού ρούλα μακρή ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα