( )( ) ( )( ) Βασικές γνώσεις A 2

Transcript

1 Βασικές γνώσεις Ευθεία που τέµνει τους άξονες : yλx+β. Ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων : yλx. Ευθεία παράλληλη στον άξονα x x και τέµνει τον y y στο (0, y 0 ) : y y0. Ευθεία παράλληλη στον y y και τέµνει τον x x στο ( x 0,0): x x0. Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο Κ( x 0, y 0 ) και ακτίνα ρ είναι : (x x 0) + (y y 0) ρ Η γενική εξίσωση κύκλου είναι : x + y + Α x+β y+γ 0 () Για να είναι η () εξίσωση κύκλου πρέπει Α +Β -4Γ>0 A B Το κέντρο του κύκλου () είναι K, και έχει ακτίνα ρ Αν u (x,y ), v (x,y ) ισχύει u v xx + yy 0 Αν u (x,y ), v (x,y ) ισχύει u// v det(u, v) 0, det(u, v) x y x y Έστω τα σηµεία A(x,y),B(x,y), Γ(x,y). Τα διανύσµατα AB, Γ y A + B B είναι AB ( x x, y ) και ΒΓ ( x x, y y ) Αν τα σηµεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά τότε έχουµε : x x y y ( )( ) ( )( ) 4Γ det AB, ΑΓ 0 0 x x y y x x y y 0 x x y y Απόσταση ενός σηµείουκ(x 0, y 0) από ευθεία Αx+By+Γ0 : d(κ,ε) Αx 0 +Βy 0 +Γ Α +Β Μιγαδικοί αριθμοί 0-0 Ελευθεριάδης Μάριος 4

2 Ασκήσεις µε αποστάσεις εικόνων µιγαδικών. *. Αν, C και 0 α), β) +, να δείξετε ότι : +, γ) Αν M, M, M είναι οι εικόνες των,, + στο µιγαδικό επίπεδο, αντίστοιχα, τότε το τερτάπλευρο OMMM είναι ορθογώνιο παραλ/µο, δ)γεωµετρική ερµηνεία του α) ερωτήµατος. Λύση: + w 0 i w 0 ( iw )( + iw ) 0 ± iw οπότε α) ± iw ± iw ± i w w β) + w ± iw + w ( ± i ) w w, οµοίως w w γ) ος τρόπος.το OMMM είναι το παραλ/µο, σχηµατίζεται για να βρούµε το + + OM και ON M M από β, έχουµε OM M M (σχήµα σελ.4) Άρα το παραλ/µο είναι ορθογώνιο(διαγώνιοι είναι ίσες). ος τρόπος + ( + )( + ) ( )( ) xx+ y y 0() και OM ( x, y ), OM ( x, y) () OM. OM x x + y y 0, οπότε OM OM, άρα OMMM είναι ορθογώνιο παραλ/µο δ) O M O M O M M τρίγωνο ισοσκελές.. Αν και τότε ισχύουν: ), οµοίως και (*) () ) ) 4) 5) ( ) ( + ) ( ) άρα ( + + ) , και + Οµοίως ) R e( ) R e( ) Οπότε R e ( ) R e ( ) R e ( ) 7) ( )( ) ( )( ) + +, Μιγαδικοί αριθμοί 0-0 Ελευθεριάδης Μάριος 5

3 άρα,,, ισχύει (Μ Μ )(Μ Μ )(Μ Μ ), το Εποµένως, αν Μ,Μ,Μ οι εικόνες των τρίγωνο Μ Μ Μ είναι ισόπλευρο. Ο κάθε µιγαδικός αντιστοιχεί σε µια διανυσµατική ακτίνα, το δεδοµένο σηµαίνει ότι τα µέτρα των διανυσµατικών ακτίνων είναι σηµαίνει ότι η διανυσµατική ακτίνα του και το δεδοµένο + είναι αντίθετη της διανυσµατικής ακτίνας του (ΟΜΜ, ΟΜΜ ισόπλευρα τρίγωνα). (οµοίως +, και +, αντίθετα). (*)οι εικόνες των,,,,, ανήκουν στον κύκλο (Ο(0,0),).. Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς,, ισχύει: ,,,. Να δειχθεί ότι οι εικόνες Μ,Μ,Μ,, σχηµατίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. τω ν Λύση ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) άρα ( ) ( )( )( ) ( ) Οµοίως, τελικά προκύπτει: οπ ό τε άρα οι εικόνες Μ,Μ,Μ των,, σχηµατίζουν ισόπλευρο τρίγωνο Παράδειγµα. Έστω οι µιγαδικοί, και Α, Β οι αντίστοιχες εικόνες. Αν (ΑΒ) (ΑΟ), όπου Ο η αρχή των αξόνων, και 0 λ αν ισχύει ( ) να βρείτε τον 0 Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο. Λύση : (ΑΒ) (ΑΟ) () 0 λ> 0 + λi (). ( + λ i ) λ i λ λ λ οπότε για λ, ( + i) άρα ( + i) + i αφού (ΑΒ) (ΟΑ) και (ΟΒ), ( ΟΒ ) + ( ΟΑ ) + ( ΑΒ ) Μιγαδικοί αριθμοί 0-0 Ελευθεριάδης Μάριος 6

4 εποµένως το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο ( ˆ Α 90 ο ) Προβλήµατα Γεωµετρικών τόπων και αποστάσεων Γεωµετρικοί τόποι Α. Αν έχουµε µια σχέση του w µε παραµέτρους και θέλουµε να βρούµε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας του w, τότε συνήθως θέτουµε wx+yi, x,y R και φέρνουµε τον w στη κανονική µορφή wα+βi, οπότε xα και yβ. ηµιουργούµε σχέση µόνο µε x και y (κάνουµε απαλοιφή παραµέτρων) µε τη βοήθεια του συστήµατος xα και yβ ή µε γνωστές ταυτότητες(όπως ηµ x + συν x). Β. Αν έχουµε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας του και µια σχέση µε τους w και (f(w,)0) και θέλουµε να βρούµε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας του w, τότε συνήθως λύνουµε τη σχέση ως προς και αντικαθιστούµε το στη σχέση του γ.τ., τέλος θέτουµε wx+yi, x,y R και βρίσκουµε το γ.τ. του w. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Αν o w επαληθεύει κάποια «σχέση» και ζητείται ο γ.τ. των εικόνων του w τότε πρέπει να βρούµε µια «καπύλη»(εξίσωση) που οι συντεταγµένες του w την επαληθεύουν και το αντίστροφο, δηλαδή ένα τυχαίο σηµείο της καµπύλης να είναι εικόνα w της αρχικής «σχέσης». Ενώ αν o επαληθεύει κάποια «σχέση» και ζητείται η καµπύλη που ανήκει η εικόνα του w τότε µόνο πρέπει να βρούµε µια «καπύλη»(εξίσωση) που οι συντεταγµένες του w την επαληθεύουν. Παράδειγµα. Αν α++(α-)i, να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του µιγαδικού Λύση : Αν x+yi x,y R η εικόνα του είναι το σηµείο M(α+,α-), οπότε : x α + α x y + x y x y α α y + άρα ο γ.τ. της εικόνας του είναι η ευθεία : yx- π π Παράδειγµα. Έστω wεφθ+i, θ,.να βρείτε το γ.τ των εικόνων του w. συνθ Λύση : θέτουµε wx+yi, x,y R, οπότε xεφθ και y συνθ >0 Ισχύει : εφθ+ συνθ, προκύπτει x +y, y> 0 ο γ.τ είναι το ηµικύκλιο πάνω από τον x x, του κύκλου (Ο,) όπου Ο(0,0) Παράδειγµα. Αν η εικόνα του µιγαδικού ανήκει στον κύκλο κέντρου O(0,0) και ακτίνας, να βρεθεί ο γ.τ. ότι της εικόνας του µιγαδικού w Λύση : η εικόνα του µιγαδικού ανήκει στον κύκλο κέντρου O(0,0) και ακτίνας, w w w, ο γ.τ. είναι κύκλος µε κέντρο (,0) και ακτίνα. w w Μιγαδικοί αριθμοί 0-0 Ελευθεριάδης Μάριος 7

5 Ασκήσεις σχολικού: 9(σελ97)-6,8(σελ0) -5,6,9 (σελ0) -, (σελ) Ελάχιστο µέτρο(ή απόσταση εικόνας) µιγαδικού που ανήκει σε ευθεία Όταν ο γεωµετρικός τόπος στον οποίο βρίσκεται ο µιγαδικός, είναι ευθεία (ε) Αx+By+Γ0 τότε ο µιγαδικός µε το ελάχιστο µέτρο είναι το σηµείο τοµής της (ε) µε τηνok, ΟΚ ε. Όπου ΟΚ:yλx η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ε. Για να βρούµε το µιγαδικό και το ελάχιστο µέτρο λύνουµε το σύστηµα : Α x + Β y y λ x και min d ( Ο, ε ), + Γ 0, Α 0 η Β 0 Παράδειγµα. (θέµα 009) Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς (λ+)+(λ )i, λ R α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών, για τις διάφορες τιµές του λ R β) Από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς να αποδείξετε ότι ο µιγαδικός αριθµός 0 -i έχει το µικρότερο δυνατό µέτρο. Λύση: α. Έστω x+yi, x,y R, και η εικόνα του Μ(x,y) τότε xλ+ και yλ Από το σύστηµα των εξισώσεων (απαλείφουµε το λ) θα έχουµε ε: x y + y x β. ο µιγαδικός µε το ελάχιστο µέτρο είναι το σηµείο τοµής της (ε) µε τηνok, ΟΚ ε. Όπου ΟΚ:yλx η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και λ-. Για να βρούµε το µιγαδικό και το ελάχιστο µέτρο λύνουµε το σύστηµα : y x το σηµείο είναι εικόνα του -i. x, y y x Μιγαδικοί αριθμοί 0-0 Ελευθεριάδης Μάριος 8

6 Ασκήσεις σχολικού: (σελ.), Ελάχιστο και Μέγιστο µέτρο µιγαδικού ενός κύκλου Αν για τους µιγαδικούς ισχύει -(α+βi) ρ>0, να βρεθεί το µέγιστο και ελάχιστο µέτρο καθώς και οι µιγαδικοί. Η εικόνα του είναι στον κύκλο µε κέντρο Κ( 0 ) και ακτίνα ρ. ( 0 α+βi) Φέρνουµε την ευθεία ΟΚ που έχει εξίσωση yλx και τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Α και Β max (ΟΚ)+ρ και min (ΟΚ)-ρ, αν (ΟΚ)>ρ Ο µιγαδικός που έχει το µεγαλύτερο µέτρο είναι αυτός που έχει εικόνα το B ενώ ο µιγαδικός που έχει το µικρότερο µέτρο είναι αυτός που έχει εικόνα το Α. Τα σηµεία Α, Β (εικόνες των µιγαδικών) είναι λύσεις του συστήµατος: y λ x ( x α ) + ( y β ) ρ Παράδειγµα. (θέµα 00) Αν w 4 + i i να δείξετε ότι : w 7 (Θέµα 00- Β4) Λύση: Η εικόνα του w είναι σηµείο του κύκλου Κ(4,-), ρ Φέρνουµε την ευθεία ΟΚ που έχει εξίσωση yλx και τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Α και Β max w (ΟΚ)+ρ(ΟΒ) και min w (ΟΚ)-ρ(ΟΑ), (ΟΚ) 4 + ( ) 5, max w (ΟΚ)+ρ5+7 και min w (ΟΚ)-ρ5- οπότε m in w w m ax w w 7 Μιγαδικοί αριθμοί 0-0 Ελευθεριάδης Μάριος 9

7 Ασκήσεις σχολικού: 7(σελ.0) Ελάχιστη και µέγιστη απόσταση εικόνας µιγαδικού από κύκλο Αν για τους µιγαδικούς ισχύει -(α+βi) ρ>0 και η εικόνα Μ(δεν είναι σηµείο του κύκλου) του w, να βρεθούν η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή του -w (απόσταση των µιγαδικών). Α. τρόπος(γεωµετρικά) H εικόνα του είναι στον κύκλο µε κέντρο Κ( 0 ) και ακτίνα ρ>0 ( 0 α+βi). Φέρνουµε την ευθεία ΚΜ και τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Α και Β. Αν (ΚΜ)>ρ τότε: min max w (ΒΜ)(ΚΜ)-ρ w (ΑΜ)(ΚΜ)+ρ Β. τρόπος(αλγεβρικά) w w + w Με την τριγωνική ανισότητα προκύπτει: min w w και max w + w Παράδειγµα. Αν ο γ.τ. της εικόνα του είναι κύκλος, µε κέντρο Κ(,) και ακτίνα να να βρεθεί η µέγιστη και ελάχιστη τιµή του Λύση: Ο γ.τ. του είναι κύκλος, µε κέντρο Κ(,) και ακτίνα i 6 4 i K(,) ρ και Μ(6,4), οπότε (ΚΜ) (6 ) + (4 ) 9+ 0 Β τρόπος 6 4i i i min 6 4i (ΒΜ)(ΚΜ)-ρ 0 - max 6 4i (ΑΜ)(ΚΜ)+ρ 0 + i + i i i i + + i 0 6 4i + 0 Μιγαδικοί αριθμοί 0-0 Ελευθεριάδης Μάριος 0