Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας. Μικρές προσωπικές συνεντεύξεις

Transcript

1 Κύµατα: Μιρές προσπιές συνεντεύξεις (β µέρος) 12η ερώτηση Θα θέλατε να γίνετε λίγο πιο σαφής σχετιά µε τη µαθηµατιή άρα αι διδατιή αξία τν αρµονιών (µονοχρµατιών) υµάτν ; Για να χειριστούµε µε µεγαλύτερη δύναµη τα πράγµατα, επιτρέψτε µου να χρησι- µοποιήσ τις πιο γενιές µορφές τν τρεχόντν υµάτν, δηλαδή τις 2π 2π y Aσυν ( x υt) + ϑ αι y Aσυν ( x υt) ϑ + + αι να τις αντιαταστήσ µε άτι που µου είναι αόµη πιο οιείο. Με τη µιγαδιή i( x t) εθετιή συνάρτηση A(, ) e ϑ της οποίας το πραγµατιό µέρος θα είναι αριβώς σα να χειρίζοµαι τα παραπάν συνηµίτονα. Αποδεινύεται ότι η γενιότερη λύση της υµατιής εξίσσης µπορεί να γραφεί ς ολολήρµα (, ) ( υ ) + ( + υ ) y x t f x t g x t + i( x t ) (, ) (, ϑ) y x t A e d (3) Στο ολολήρµα αυτό πρέπει να επισηµάνουµε ότι Το άθε είναι συνάρτηση του αντίστοιχου. Ισχύει υ (4) (απόδειξη παραάτ) Το µιγαδιό πλάτος A (, ϑ ) περιέχει την ποσότητα ϑ µε τη µορφή Επιτρέψαµε στον υµαταριθµό να πάρει όλες τις τιµές, αόµη αι αρνητιές, ώστε µε µια ολολήρση να συµπεριλάβουµε την πιο γενιή µορφή ύµατος όπου θα υπάρχουν αι µονοχρµατιά ύµατα που θα «τρέχουν» προς τα αρνητιά Η µορφή του (, ) y x,0 αι A ϑ προύπτει από τις αρχιές συνθήες ( ) y ( x,0 ), δηλαδή από το αρχιό σχήµα του µέσου αι τις ταχύτητες t τν σηµείν του (η τελευταία αυτή επισήµανση είναι σηµαντιότατη αι θα πρέπει να προσέξουµε τις επιπτώσεις της. Θα προσπαθήσ να τις εξηγήσ παραάτ) ( ) ( ) Βλέπουµε λοιπόν ότι οποιοδήποτε ύµα, αόµη αι στην πιο γενιή µορφή του, µπορεί να γραφεί ς γραµµιός συνδυασµός (επαλληλία) αρµονιών (µονοχρµατιών) υµάτν. Έτσι µελετώντας την συµπεριφορά τν µονοχρµατιών υµάτν i x t A, e ϑ δηλαδή τν αρµονιών υµάτν, µπορούµε να δούµε αι να διδάξουµε πιο ανάγλυφα τη συµπεριφορά οποιουδήποτε ύµατος. i e ϑ 1

2 13η ερώτηση Τα πραγµατιά ύµατα τν πεπερασµένν διαστάσεν, οι παλµοί δηλαδή, διαδίδονται µε µια ταχύτητα που ονοµάζεται ταχύτητα οµάδας. Το γενιό ύµα της εξίσσης (3) έχει τη διή του ταχύτητα οµάδας υ g ; Στο ύµα αυτό έχει νόηµα να µιλάµε για φασιή ταχύτητα, αφού δεν είναι µονοχρµατιό;. Στα µονοχρµατιά αρµονιά ύµατα y Aηµ 2π ± έχουµε ταχύτητα οµάδας, ή έχουµε µόνο διάδοση φάσης αι συνεπώς µόνο φασιή ταχύτητα υ T λ ϕ ; Θέλ να σας ρτήσ δηλαδή αν τα ύµατα (παλµοί) έχουν µόνο οµαδιή ταχύτητα, ενώ τα µονοχρµατιά µόνο φασιή ταχύτητα. Κι αν αυτό δηµιουργεί άποια «ανισορροπία», ανάµεσα στα πραγµατιά ύµατα της εξίσσης (3) αι στα µονοχρµατιά ύ- µατα y Aηµ 2π ± T λ ; Νοµίζ ότι είναι αλό να ξεαθαρίσουµε λίγο τα πράγµατα. Είπαµε παραπάν (ερώτηση 4) ότι όλα τα ύµατα που εξετάζουµε στην παρούσα f x υt g x υt f x υt + g x+ υt αι συνέντευξη έχουν τη µορφή ( ), ( + ), ( ) ( ) αποδείξαµε ότι διαδίδονται µε ταχύτητα υ. 2π Η συνάρτηση y Aηµ 2π µπαίνει στη µορφή y Aηµ ( x υt) αι T λ λ συνεπώς είναι ύµα που διαδίδεται προς τα θετιά µε ταχύτητα µέτρου λ υ (5) T (βλέπε εφώνηση ερώτησης 8) Ας δούµε τώρα µεριούς ορισµούς, µε όσο το δυνατό απλούστερο τρόπο: Ορισµός φασιής ταχύτητας Αν θέλουµε να έχουµε συνεχώς «δίπλα µας» π.χ. ένα συγεριµένο όρος ή µια συγεριµένη οιλάδα ενός αρµονιού ύµατος y Aηµ 2π, ώστε να εξασφα- T λ λίσουµε ότι η φάση που είναι «δίπλα µας» παραµένει σταθερή, θα πρέπει να τρέχουµε στον άξονα x µε ταχύτητα dx υ ϕ (6) dt ατά τη διεύθυνση διάδοσης του ύµατος. Αυτή η ταχύτητα υ ϕ ονοµάζεται φασιή ταχύτητα του ύµατος. Ας την βρούµε: Η φάση του y Aηµ 2π T λ είναι ϕ 2π T λ 2

3 dϕ Για να είναι η φάση φ σταθερή πρέπει 0 δηλαδή πρέπει dt dx dt λ (7) T Από (5), (6), (7) προύπτει ότι στα ύµατα y Aηµ 2π η ταχύτητα διάδοσης είναι ίδια µε τη φασιή ταχύτητα αι T λ ισχύει λ υϕ υ σταθερή (8) T 2π όπου (υµαταριθµός) λ Όµοια αποδεινύεται ότι η (8) ισχύει αι για τα y Aηµ 2π + T λ Άρα Η φασιή ταχύτητα τν µονοχρµατιών y Aηµ 2π ± T λ είναι υϕ αι είναι ίση µε την ταχύτητα υ διάδοσής τους που είναι σταθερή στο συγεριµένο µέσο διάδοσης. Ορισµός οµαδιής ταχύτητας Σε ένα ύµα ορίζουµε οµαδιή ταχύτητα, ταχύτητα δηλαδή µε την οποία ο παλµός ινείται ς «σύνολο» την ποσότητα d( ) υg (9) 0 d όπου 0 ατάλληλος εντριός υµαταριθµός του παλµού (ας µην µπούµε σε λεπτοµέρειες µιας αι η ουσία όσν θέλουµε να πούµε δε βρίσεται σε αυτό) Για τα µονοχρµατιά ύµατα, µε όποια µορφή αι να τα γράψουµε y Aηµ 2π ± T λ 2π υ + ϑ ή y Aσυν ( x t) 2π + υ + ϑ ή y Aσυν ( x t) A, ϑ e.λπ (10) i( x t) ή ( ) η σχέση ανάµεσα στα αι είναι υϕ µε υ ϕ σταθ. Άρα η οµαδιή τους ταχύτητα, η ταχύτητα µε την οποία ινούνται ς «σύνολο», είναι d υg υϕ (12) dt 3

4 ηλαδή Στα µονοχρµατιά ύµατα η ταχύτητα διάδοσής τους, η φασιή τους ταχύτητα αι η οµαδιή τους ταχύτητα συµπίπτουν. υ υϕ υg (13) Εποµένς για τον αθένα ξεχριστά «προσθετέο» της σχέσης (3) ισχύει η σχέση υ (τα αι διαφέρουν από προσθετέο σε προσθετέο) αι συνεπώς για τους προσθετέους της σχέσης (3) θα ισχύει άτι σαν το παραάτ διάγραµµα Σχήµα 1 Άρα Για όλα τα ύµατα (µονοχρµατιά αι µη) που διατηρούν το σχήµα τους αθώς διαδίδονται σε άποιο συγεριµένο µέσο (αι που συνεπώς όλες οι συχνότητες διαδίδονται στο µέσο αυτό µε την ίδια ταχύτητα υ) ισχύει υ υϕ υg Αλλιώς: Όταν άποιο µέσο δεν εµφανίζει διασεδασµό, όταν δηλαδή η ταχύτητα διάδοσης τν υµάτν δεν εξαρτάται από την συχνότητά τους, όπς για παράδειγµα στο φς στο ενό, τότε ισχύει υ υϕ υg Συµπέρασµα: Τα µονοχρµατιά ύµατα y Aηµ 2π ± αι σε αυτό το σηµείο, της σύ- T λ µπτσης φασιής, οµαδιής ταχύτητας αι ταχύτητα διάδοσης δηλαδή, δε διαφέρουν + i( x t ) από τα υπόλοιπα ύµατα (παλµούς) y( x, t) A(, ϑ) e d. 4

5 14η ερώτηση Αν είχαµε διασεδασµό µπορείτε να µας εντοπίσετε γρήγορα µια διαφορά που προέυπτε µε όσα προαναφέρατε; Ας µην ξεφύγουµε από το θέµα γιατί σοπός µας δεν είναι να αλύψουµε όλα τα ύµατα, πράγµα αδύνατο για τις φιλοδοξίες µιας απλής συνέντευξης. Θα δώσ λοιπόν ένα διάγραµµα αι ας λείσουµε το θέµα του διασεδασµού. Σχήµα 2 15η ερώτηση Αν δεν έχετε αντίρρηση θα ήθελα να µην αφήσουµε ερεµότητες πριν προχρήσου- µε. Έτσι θα σας παρααλούσα να δώσετε την ερµηνεία του προσθετέου ϑ στη συνάρτηση y Aσυν ( x υt) + ϑ 2π που αναφέρατε στην αρχή της απάντησής σας στην ε- ρώτηση 8. Θα µπορούσαµε να ερµηνεύσουµε το ϑ ς αρχιή φάση του ύµατος; Για ευολία θα γράψ το παραπάν ύµα ς εξής y Aσυν ( x t) + ϑ Για x0 αι t0 προύπτει y Aσυνϑ. ηλαδή η φάση ϑ είναι η φάση της ταλάντσης του σηµείου που επιλέξαµε ς αρχή του άξονα x ατά τη χρονιή στιγµή που επιλέξαµε ς µηδέν. Με άλλα λόγια η ϑ είναι η αρχιή φάση της ταλάντσης του σηµείου x0. 5

6 Απαραίτητη για να δώσουµε την αρχιή θέση y0 Aσυνϑ αι την αρχιή ταχύτητα υ0 Α ηµϑ του σηµείου x0 αι συνεπώς για να δώσουµε µια αναλυτιή γραφή, µια εξίσση δηλαδή, την y A ( x t) συν + ϑ που να αποδίδει το ύµα. Σχήµα 3: Το σηµείο x0 τη χρονιή στιγµή t0 έχει ταχύτητα υ 0 αι αποµάρυνση y 0. Έχει αρχιή φάση ϑ. Το µέγιστο (το όρος δηλαδή) «πάν στο οποίο θα βρεθεί» το σηµείο Ο για πρώτη φορά µετά την αρχή τν χρόνν, βρίσεται σε απόσταση ϑ/ µαριά του. Το ύµα «ταξιδεύει» µε ταχύτητα υ/ Όµς η ϑ ς έννοια δεν µπορεί να αποδοθεί στο ύµα, όπς για παράδειγµα µπορούν να αποδοθούν στο ύµα το πλάτος Α ή η περίοδος Τ. Πράγµατι το πλάτος Α είναι άτι που αφορά όλα τα σηµεία του ύµατος, γιατί όλα τα σηµεία ταλαντώνονται µε πλάτος Α. Το ίδιο αι η περίοδος. Είναι οινή για όλα τα σηµεία του ύµατος. Όµς για την αρχιή φάση δε συµβαίνει αυτό. Κατά τη χρονιή στιγµή που επέλεξα ς αρχή τν χρόνν, τη χρονιή στιγµή t0 δηλαδή, όλα τα σηµεία του µέσου από το ς το + ήταν σε ταλάντση αι άρα το αθένα είχε τη διιά του αρχιή φάση που δεν ήταν ϑ. Το ϑ είναι η αρχιή φάση του «υλιού» σηµείου που βρίσεται στο x0. Όχι όµς αι τν άλλν σηµείν του µέσου. Άρα δεν έχει ανένα νόηµα να αποδώσουµε την έννοια αρχιή φάση σε όλο το ύµα. Το να λέµε ότι η αρχιή φάση του ύµατος y Aσυν ( x t) + ϑ είναι ϑ τη στιγµή που ϑ είναι η αρχιή φάση µόνο του «υλιού» σηµείου που βρίσεται στο x0, είναι τελείς άστοχο. Αν ατά τη χρονιή στιγµή που επιλέξαµε ς t0, το σηµείο Ο βρισόταν σε θετιή αραία θέση y0 A, όπς φαίνεται στο Σχήµα 4, τότε η εξίσση του ύµατος θα είχε τη µορφή y Aσυν ( x t) Συµπέρασµα: Δεν έχουµε ανένα διαίµα να αποδίδουµε αρχιή φάση σε µονοχρµατιό ύµα! Ή µάλλον θα πρέπει να αταλογίζουµε τη χρήση της έννοιας «αρχιή φάση ύµατος» ς µια επιίνδυνη αι εντελώς παράλογη ασησιολογία µε «πονηρά» διδατιά ίνητρα µιας αι υριολετιά τσαίζουν τους µαθητές. 6

7 Σχήµα 4 16η ερώτηση Θα µπορούσαµε να αποδώσουµε άποια αξία στην αρχιή φάση ϑ του σηµείου Ο αι συνεπώς στον προσθετέο που βρίσεται στο όρισµα της y Aσυν ( x t) + ϑ που παριστάνει τρέχον ύµα; Βεβαίς! α) Από τη στιγµή που θα επιλέξουµε αρχή αξόνν αι αρχή χρόνν η αρχιή φάση ϑ του σηµείου της επιλογής µας, βοηθά να γράψουµε σστά την εξίσση του τρέχοντος ύµατος το οποίο πρόειται να µελετήσουµε ϑ β) Η θέση x είναι η θέση του όρους που πρόειται να «περάσει» πρώτο από το σηµείο x0. Ή αλλιώς, είναι η θέση του όρους «πάν στο οποίο θα βρεθεί» για πρώτη φορά το σηµείο Ο που επιλέξαµε ς αρχή αξόνν (βλέπε Σχήµα 3) γ) Η φάση ϑ του σηµείου Ο ατά τη χρονιή στιγµή t0, αθώς αι οι φάσεις όλν τν σηµείν του άπειρου µέσου ατά τη χρονιή στιγµή t0 (στο Σχήµα 5 παριστάνονται µε τη µπλε ευθεία t0), «µεταφέρεται» προς τα θετιά µε ταχύτητα υ που είναι όπς είδαµε η φασιή, αλλά αι η οµαδιή ταχύτητα του µονοχρµατιού ύµατος. ϕ( x, t) υ x1 t1 υ ϑ + 0 x x 1 2 t 0 Σχήµα 5 υ υ x2 t2 υ 7

8 δ) Η ταχύτητα µε την οποία διαδίδεται η αρχιή φάση ϑ του σηµείου Ο δείχνει αι την ταχύτητα µε την οποία «τρέχουν» τα όρη αι οι οιλάδες του ύµατος Θα ήθελα στο σηµείο αυτό να υπενθυµίσ για άλλη µια φορά ότι αφού αναγαζό- µαστε από «το πνεύµα τν πανελλαδιών» αι την ανευθυνότητα του ΥΠΕΠΘ να διδάσουµε τα αρµονιά (µονοχρµατιά) ύµατα όπς τα διδάσουµε, τουλάχιστον ας το άνουµε µε άποια συνέπεια σε όσα λέµε αι προπάντν αποφεύγοντας να ε- φευρίσουµε µιούς µηχανισµούς δηµιουργίας αρχιής φάσης στα ύµατα. Παρόλα τα προβλήµατα που έχει η διδασαλία τν «υµάτν» yaηµ2π(t/t±x/λ), στο συνηµµένο «Ορισµοί αι εξισώσεις ίνησης γ µέρος» που βρίσεται στην εισαγγή αυτής της συζήτησης στη διεύθυνση δίν µια παρουσίαση (για Φυσιούς) της συµπεριφοράς τν «υµάτν» που υποχρενόµαστε να διδάξουµε. εν πιστεύ σε αυτή την παρουσίαση (µιας αι τα µονοχρµατιά ύµατα δε «διαδίδονται» µε τον τρόπο που εννοεί τη «διάδοσή» τους η διδασαλία τους στη Γ Λυείου), αλλά το έανα όχι µόνο για να γλιτώσ αι εµένα αι πιθανώς άποιους συναδέλφους από αρότητες (µιότητες) του τύπου "αρχιή φάση ύµατος διαφορετιή από 0 ή π" που λανσάρεται ατά όρο σε εξσχολιά βοηθήµατα, αλλά υρίς για να δώσ προς χρήση σε Φυσιούς µια παρουσίαση συνεπέστατη αι από άποψη Ο- ρισµών Φυσιής αι από άποψη Μαθηµατιών. Τετάρτη, 29 Απριλίου 2015 (συνεχίζεται) 8