Ι ΑΣΚΟΝΤΑΣ ΤΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕ ΤΟ CABRI 3D

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ι ΑΣΚΟΝΤΑΣ ΤΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕ ΤΟ CABRI 3D"

Βαυκις Καραμανλής
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ι ΑΣΚΟΝΤΑΣ ΤΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕ ΤΟ CABRI 3D Νίος Α. Φωτιάδης ρ. Μαθηµατιών Επιµορφωτής Β επιπέδου λάδου ΠΕ 03 Website: Περίληψη Οι µαθητές της Β Λυείου µαθαίνουν ότι ο ύλος, η έλλειψη, η παραβολή αι η υπερβολή είναι άποιες αµπύλες του επιπέδου. Οι περισσότεροι από τους µαθητές γνωρίζουν τις (ανονιές) εξισώσεις αι ορισµένες ιδιότητες των παραπάνω αµπύλων, άποιοι λίγοι γνωρίζουν ότι αυτές οι αµπύλες λέγονται ωνιές τοµές αι αόµα λιγότεροι µπορούν να ατανοήσουν για ποιο λόγο ονοµάζονται έτσι. Με τη βοήθεια του λογισµιού Cabri 3D είναι δυνατόν να δείξουµε στους µαθητές ποιο είναι το αποτέλεσµα της τοµής µιας ωνιής επιφάνειας µε ένα επίπεδο. Abstract High school pupils learn that the circle, the ellipse, the parabola and, the hyperbola are some plane curves. Most of them know the (standard) equations and some geometrical properties of these curves, some of them know that they are called conic sections but only a few understand why they are called so. Using Cabri 3D software we can display the section of a plane and a cone. Εισαγωγή Η συστηµατιή διδασαλία της στερεοµετρίας απουσιάζει από το αναλυτιό πρόγραµµα σπουδών των µαθηµατιών. Έτσι δεν είναι λίγοι οι µαθητές της Β Λυείου που δεν προσέχουν αν ότι ο ύλος, η έλλειψη, η παραβολή αι η υπερβολή βρίσονται σε ένα εφάλαιο µε τον τίτλο "Κωνιές τοµές".

Στο σχολιό βιβλίο [], στην εισαγωγή του εφαλαίου "Κωνιές τοµές", υπάρχουν ορισµένα ιστοριά σχόλια αι τα παραάτω σχήµατα που απειονίζουν την τοµή ενός επιπέδου µε έναν ώνο.

2 Στο σχολιό βιβλίο [], στην εισαγωγή του εφαλαίου "Κωνιές τοµές", υπάρχουν ορισµένα ιστοριά σχόλια αι τα παραάτω σχήµατα που απειονίζουν την τοµή ενός επιπέδου µε έναν ώνο. Σχήµα Οι µαθητές µπορούν να φανταστούν ότι η αµπύλη στο πρώτο σχήµα (αριστερά) έχει σχήµα ωοειδές όµως δεν µπορούν να είναι σίγουροι ότι είναι πράγµατι µια έλλειψη. Στα άλλα δύο σχήµατα δεν είναι αθόλου σαφές σε τι διαφέρουν οι ωνιές τοµές µεταξύ τους. Φυσιά, ούτε σε αυτά τα σχήµατα µπορεί άποιος να εξηγήσει γιατί η αµπύλη είναι παραβολή ή υπερβολή αντίστοιχα. Με τη χρήση του λογισµιού Cabri 3D είναι δυνατόν να δείξουµε στους µαθητές τα παραπάνω σχήµατα από διάφορες οπτιές γωνίες. Επιπλέον, µε τις σφαίρες του Dandelin µπορούµε σχετιά εύολα να εξηγήσουµε για ποιο λόγο το ωοειδές σχήµα είναι έλλειψη ή γιατί η τοµή του ώνου µε το επίπεδο είναι παραβολή ή υπερβολή στις άλλες δύο περιπτώσεις. Έστω π ένα επίπεδο που δεν διέρχεται από την ορυφή Ο µιας ωνιής επιφάνειας αι είναι άθετο στον άξονά της ε. Η τοµή της ωνιής επιφάνειας µε το επίπεδο είναι ύλος (σχήµα ) αφού από τη σύγριση των ορθογωνίων τριγώνων ΟΑΚ, ΟΒΚ προύπτει ότι ΚΑ=ΚΒ. Σχήµα

Έστω ζ η τοµή των επιπέδων π, σ αι λ, λ οι γενέτειρες της ωνιής επιφάνειας που ανήουν στο επίπεδο σ (Σχήµα 3).

3 Έστω π ένα επίπεδο που δεν διέρχεται από την ορυφή Ο µιας ωνιής επιφάνειας αι δεν είναι άθετο στον άξονά της ε. Αν Ο είναι η προβολή της ορυφής Ο πάνω στο επίπεδο π τότε οι ε αι ΟΟ ορίζουν ένα επίπεδο σ (είναι το επίπεδο της σελίδας). Έστω ζ η τοµή των επιπέδων π, σ αι λ, λ οι γενέτειρες της ωνιής επιφάνειας που ανήουν στο επίπεδο σ (Σχήµα 3). Σχήµα 3 Στο σχήµα 4 η τοµή της ωνιής επιφάνειας µε το επίπεδο π είναι µια έλλειψη. Αν Μ είναι ένα τυχαίο σηµείο της ωνιής τοµής τότε το άθροισµα ΜΕ+ΜΕ είναι σταθερό, όπου Ε, Ε' είναι δύο συγεριµένα σηµεία του επιπέδου π. Σχήµα 4 Στο σχήµα 5 η τοµή της ωνιής επιφάνειας µε το επίπεδο π είναι µια παραβολή. Αν Μ είναι ένα τυχαίο σηµείο της ωνιής τοµής τότε

ΜΕ= d( Μ, δ ), όπου Ε είναι ένα συγεριµένο σηµείο του επιπέδου π αι δ

Σχήµα 5 Στο σχήµα 6 η τοµή της ωνιής επιφάνειας µε το επίπεδο π είναι

Αν Μ είναι ένα τυχαίο σηµείο της ωνιής τοµής τότε η διαφορά ΜΕ ΜΕ είναι

Σχήµα 6 Είναι γνωστό [], [3] ότι υπάρχουν µία ή δύο σφαίρες που

4 ΜΕ= d( Μ, δ ), όπου Ε είναι ένα συγεριµένο σηµείο του επιπέδου π αι δ µια συγεριµένη ευθεία του επιπέδου π. Σχήµα 5 Στο σχήµα 6 η τοµή της ωνιής επιφάνειας µε το επίπεδο π είναι µια υπερβολή. Αν Μ είναι ένα τυχαίο σηµείο της ωνιής τοµής τότε η διαφορά ΜΕ ΜΕ είναι σταθερή, όπου Ε, Ε' είναι δύο συγεριµένα σηµεία του επιπέδου π. Σχήµα 6 Είναι γνωστό [], [3] ότι υπάρχουν µία ή δύο σφαίρες που εφάπτονται (εσωτεριά) στην ωνιή επιφάνεια αι ταυτόχρονα στο επίπεδο π. Οι σφαίρες αυτές, που τα έντρα τους βρίσονται πάνω στον άξονα της ωνιής επιφάνειας, ονοµάζονται σφαίρες του Dandelin.

5 Η ευθεία ζ µπορεί να είναι παράλληλη σε άποια από τις γενέτειρες λ, λ (Σχήµα 7β) ή να τέµνει αι τις δύο σχηµατίζοντας µε αυτές ένα τρίγωνο ΟΑΒ το οποίο µπορεί να βρίσεται στο εσωτεριό της ωνιής επιφάνειας (Σχήµα 7α) ή εξωτεριά αυτής (Σχήµα 7γ). ε ζ ε ε Ι Β O Ι Α ζ Β λ Ι λ O ζ Ι Α λ λ O Α Ι λ λ Σχήµα 7α Σχήµα 7β Σχήµα 7γ Στο σχήµα 7α το σηµείο I είναι το έγεντρο του τριγώνου ΟΑΒ αι το ΑΟΒ. Στο Ι το παράεντρο του τριγώνου ΟΑΒ που αντιστοιχεί στη γωνία σχήµα 7β το σηµείο I είναι η προβολή του σηµείου Α πάνω στον άξονα ε της ωνιής επιφάνειας αι στο σχήµα 7γ τα σηµεία Ι, Ι είναι τα ΟΒΑ αι παράεντρα του τριγώνου ΟΑΒ που αντιστοιχούν στις γωνίες ΟΑΒ αντίστοιχα. Ένα επίπεδο π που δεν διέρχεται από την ορυφή Ο µιας ωνιής επιφάνειας αι δεν είναι άθετο στον άξονά της µπορεί να τέµνει όλες τις γενέτειρες (Σχήµα 7α), όλες τις γενέτειρες ετός από µία (Στο σχήµα 7β είναι η γενέτειρα λ ) ή όλες τις γενέτειρες ετός από δύο (Στο σχήµα 7γ είναι οι γενέτειρες που ανήουν στο επίπεδο που είναι παράλληλο στο π ). Η έλλειψη Έστω π ένα επίπεδο το οποίο τέµνει όλες τις γενέτειρες της ωνιής επιφάνειας. Το επίπεδο π δεν διέρχεται από την ορυφή Ο της ωνιής

6 επιφάνειας αι δεν είναι άθετο στον άξονά της. Οι σφαίρες µε έντρα τα σηµεία Ι, Ι (Σχήµα 7α) που είναι εγγεγραµµένες στην ωνιή επιφάνεια εφάπτονται σε αυτή ατά µήος των ύλων, αντίστοιχα αι στο επίπεδο π στα σηµεία Ε, Ε αντίστοιχα (Σχήµα 8). Έστω Μ ένα σηµείο που ανήει στην τοµή της ωνιής επιφάνειας µε το επίπεδο π. Θα αποδείξουµε ότι το άθροισµα ΜΕ+ΜΕ είναι σταθερό. Η γενέτειρα ΟΜ τέµνει τους ύλους, στα σηµεία Γ, αντίστοιχα. Είναι ΜΕ=Μ ως εφαπτόµενα τµήµατα στη σφαίρα µε έντρο το σηµείο Ι αι ΜΕ =ΜΓ ως εφαπτόµενα τµήµατα στη σφαίρα µε έντρο το σηµείο Ι. Άρα ΜΕ+ΜΕ =Μ +ΜΓ=Γ. Το µήος του τµήµατος Γ είναι σταθερό αι ίσο µε το µήος της γενέτειρας του όλουρου ώνου που έχει ως βάσεις τους ύλους,. Σχήµα 8 Το λογισµιό Cabri 3D µας δίνει τη δυνατότητα να αλλάξουµε τη γωνία θέασης του σχήµατος αθώς επίσης αι την εµφάνιση όσων γεωµετριών αντιειµένων επιθυµούµε. Στο σχήµα 9α φαίνεται πιο αθαρά

το σχήµα της ωνιής τοµής αθώς αι τα τµήµατα ΜΕ, ΜΕ

που τέµνει όλες τις γενέτειρες της ωνιής

Η σφαίρα µε έντρο το σηµείο Ι (Σχήµα 7β) που είναι

ατά µήος του ύλου αι στο επίπεδο π στο σηµείο Ε.

τέµνονται ατά µήος της ευθείας δ (Σχήµα 0).

επιφάνειας µε το επίπεδο π αι έστω Γ η προβολή του

Έστω π το επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο Μ αι

7 το σχήµα της ωνιής τοµής αθώς αι τα τµήµατα ΜΕ, ΜΕ ενώ στο σχήµα 9β προβάλλεται η ισότητα ΜΕ =ΜΓ των εφαπτόµενων τµηµάτων. Σχήµα 9α Σχήµα 9β Η παραβολή Έστω π ένα επίπεδο που τέµνει όλες τις γενέτειρες της ωνιής επιφάνειας ετός από µία, τη γενέτειρα λ. Η σφαίρα µε έντρο το σηµείο Ι (Σχήµα 7β) που είναι εγγεγραµµένη στην ωνιή επιφάνεια εφάπτεται σε αυτή ατά µήος του ύλου αι στο επίπεδο π στο σηµείο Ε. Το επίπεδο π αι το επίπεδο π που περιέχει τον ύλο τέµνονται ατά µήος της ευθείας δ (Σχήµα 0). Έστω Μ ένα σηµείο που ανήει στην τοµή της ωνιής επιφάνειας µε το επίπεδο π αι έστω Γ η προβολή του σηµείου Μ πάνω στην ευθεία δ. Θα αποδείξουµε ότι ΜΕ=ΜΓ. Η γενέτειρα ΟΜ τέµνει τον ύλο στο σηµείο Β. Έστω π το επίπεδο που διέρχεται από το σηµείο Μ αι είναι παράλληλο στο επίπεδο π. Έστω ο ύλος που προύπτει από την τοµή της ωνιής επιφάνειας µε το επίπεδο π. Η γενέτειρα λ τέµνει τους ύλους, στα σηµεία, Ζ αντίστοιχα.

Σχήµα 0 Είναι ΜΕ=ΜΒ ως εφαπτόµενα τµήµατα στη σφαίρα, ΜΒ= Ζ ως γενέτειρες του όλουρου ώνου µε βάσεις τους

Η υπερβολή Έστω π ένα επίπεδο που τέµνει όλες τις γενέτειρες της ωνιής επιφάνειας ετός από δύο.

αυτή ατά µήος των ύλων, αντίστοιχα αι στο επίπεδο π στα σηµεία Ε, Ε αντίστοιχα (Σχήµα ).

8 Σχήµα 0 Είναι ΜΕ=ΜΒ ως εφαπτόµενα τµήµατα στη σφαίρα, ΜΒ= Ζ ως γενέτειρες του όλουρου ώνου µε βάσεις τους ύλους,, Ζ=ΜΓ ως παράλληλα τµήµατα µε άρα σε παράλληλα επίπεδα. Η υπερβολή Έστω π ένα επίπεδο που τέµνει όλες τις γενέτειρες της ωνιής επιφάνειας ετός από δύο. Οι σφαίρες µε έντρα τα σηµεία Ι, Ι (Σχήµα 7γ) που είναι εγγεγραµµένες στην ωνιή επιφάνεια εφάπτονται σε αυτή ατά µήος των ύλων, αντίστοιχα αι στο επίπεδο π στα σηµεία Ε, Ε αντίστοιχα (Σχήµα ). Έστω Μ ένα σηµείο που ανήει στην τοµή της ωνιής επιφάνειας µε το επίπεδο π. Θα αποδείξουµε ότι η διαφορά ΜΕ ΜΕ είναι σταθερή. Η γενέτειρα ΟΜ τέµνει τους ύλους, στα σηµεία Γ, αντίστοιχα.

Σχήµα Είναι ΜΕ=ΜΓ ως εφαπτόµενα τµήµατα στη σφαίρα µε έντρο το σηµείο Ι αι ΜΕ =Μ ως εφαπτόµενα

Το µήος του τµήµατος Γ είναι σταθερό αι ίσο µε το άθροισµα των µηών των γενέτειρων των ώνων µε

Παρατήρηση Αποδείξαµε ότι η διαφορά ΜΕ ΜΕ είναι σταθερή ίση µε Γ για την επιλογή του σηµείου Μ

9 Σχήµα Είναι ΜΕ=ΜΓ ως εφαπτόµενα τµήµατα στη σφαίρα µε έντρο το σηµείο Ι αι ΜΕ =Μ ως εφαπτόµενα τµήµατα στη σφαίρα µε έντρο το σηµείο Ι. Άρα ΜΕ ΜΕ =ΜΓ Μ =Γ. Το µήος του τµήµατος Γ είναι σταθερό αι ίσο µε το άθροισµα των µηών των γενέτειρων των ώνων µε οινή ορυφή το Ο αι βάσεις τους ύλους,. Παρατήρηση Αποδείξαµε ότι η διαφορά ΜΕ ΜΕ είναι σταθερή ίση µε Γ για την επιλογή του σηµείου Μ στον συγεριµένο λάδο της υπερβολής. Αν επιλέγαµε το σηµείο Μ στον άλλο λάδο της υπερβολής τότε θα αποδεινύαµε ότι ΜΕ ΜΕ=Γ. Έτσι µπορούµε να πούµε ότι σε άθε περίπτωση ισχύει ΜΕ ΜΕ =Γ.

Στα σχήµατα α αι β απειονίζεται η τοµή του επιπέδου π µε την ωνιή

Στο σχήµα β φαίνεται αλύτερα ότι το τµήµα ΜΕ είναι εφαπτόµενο στη σφαίρα

Σχήµα α Σχήµα β ιδατιή αξιοποίηση του λογισµιού.

συµµετέχουν ενεργά οι µαθητές για την αναάλυψη της γνώσης.

µε τη βοήθεια βιντεοπροβολέα ή διαδραστιού πίναα.

ορισµένα τµήµατα ενός έτοιµου σχήµατος αι να παρατηρήσουν τις αλλαγές που

10 Στα σχήµατα α αι β απειονίζεται η τοµή του επιπέδου π µε την ωνιή επιφάνεια από διαφορετιές οπτιές γωνίες. Στο σχήµα β φαίνεται αλύτερα ότι το τµήµα ΜΕ είναι εφαπτόµενο στη σφαίρα αι ότι ισχύει η ισότητα ΜΕ=ΜΓ. Σχήµα α Σχήµα β ιδατιή αξιοποίηση του λογισµιού. Συµπεράσµατα Το λογισµιό Cabri 3D είναι ιδιαίτερα δύσχρηστο για άποιον που το χρησιµοποιεί για πρώτη φορά. Έτσι δεν είναι εύολο να σχεδιαστεί µια δραστηριότητα στην οποία να συµµετέχουν ενεργά οι µαθητές για την αναάλυψη της γνώσης. Οπότε το λογισµιό αυτό µπορεί να χρησιµοποιηθεί για ένα µάθηµα επίδειξης µε τη βοήθεια βιντεοπροβολέα ή διαδραστιού πίναα. Σε αυτή την περίπτωση είναι δυνατόν άποιος ή άποιοι µαθητές να µεταινήσουν ορισµένα τµήµατα ενός έτοιµου σχήµατος αι να παρατηρήσουν τις αλλαγές που προαλούνται. Βιβλιογραφία. Μαθηµατιά Θετιής αι Τεχνολογιής Κατεύθυνσης, Β Γενιού Λυείου, ΙΤΥΕ ιόφαντος (03).. Πάρις Πάµφιλος, Έλασσον γεωµετριόν, Πανεπιστηµιαές Εδόσεις Κρήτης (0). 3. A. Ostermann, G. Wanner, Geometry by its history, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer (0).

Σχετικά έγγραφα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής