Το ανοιχτό µοντέλο Leontief Μιχάλης Τζούµας Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 Ν. Αιτ/νίας
|
|
- Σωτηρία Νικολαΐδης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Το ανοιχτό µοντέλο Leontef Μιχάλης Τζούµας Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ0 Ν. Αιτ/νίας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο Wassly Leontef, ο οποίος τιµήθηκε µε το βραβείο Νόµπελ Οικονοµίας το 97, εισηγήθηκε το µοντέλο εισροών-εκροών, στο έργο του Quanttatve nput and output relatons n the economc system of the Unted States το 96. Η απλότητα και η καθαρότητα της σκέψης του είναι εκείνα, που το καθιστούν αξιοθαύµαστο. Συγκεκριµένα, ο Leontef περιέγραψε µε θαυµαστό τρόπο την αλληλεξάρτηση των βιοµηχανικών προϊόντων. Το ερώτηµα στο οποίο έδωσε απάντηση ήταν το εξής: «Ποιο θα µπορούσε να είναι το επίπεδο παραγωγής n βιοµηχανικών προϊόντων, που αλληλεξαρτώνται, σε µια συγκεκριµένη οικονοµική κατάσταση παραγωγής, ώστε να ικανοποιείται η ολική ζήτηση αυτών»;. Προαπαιτούµενα. Πριν δούµε τον τρόπο µε τον οποίο απάντησε ο Leontef στο παραπάνω ερώτηµα, θα ήταν σκόπιµο να δώσουµε ή να θυ- µίσουµε µερικά στοιχεία από τη θεωρεία πινάκων. Έστω ο πίνακας nxn A R, θα λέµε ότι ένας πίνακας A είναι µη αρνητικός και θα σηµειώνουµε A 0 αν και µόνον αν (ανν) a 0,, j n. Ο πίνακας A είναι θετικός και θα σηµειώνουµε A> 0 ανν a 0,, j n και A 0. Τέλος θα λέµε ότι ο πίνακας A είναι αυστηρά θετικός και θα σηµειώνουµε A 0 ανν a > 0,, j n Αντίστοιχοι ορισµοί θα ισχύουν για τα διανύσµατα n u R. Η έννοια της διάταξης µεταξύ δυο πινάκων A, B βάση το αν η διαφορά είναι ένας µη αρνητικός, θετικός ή αυστηρά θετικός πίνακας. Μια έννοια στενά συνδεδεµένη µε τους πίνακες είναι η έννοια της rreducblty και reducblty. nxn R ορίζεται µε nxn Ορισµός (.). Λέµε ότι ο πίνακας A R είναι reducble ανν υπάρχει ένας µεταθετικός πίνακας P, ώστε να ισχύει: Μεταθετικός είναι ένας πίνακας που έχει σε κάθε γραµµή του και κάθε στήλη µια µονάδα και σε όλες τις άλλες θέσεις του έχει το µηδέν. Όταν ένας µεταθετικός πίνακας πολλαπλασιάζει από αριστερά τον πίνακα Α µεταθέτει τις γραµµές του ενώ όταν πολλαπλασιάζει από δεξιά τον Α µεταθέτει τις στήλες του.
2 T B 0 P AP= C D, (.2) T όπου B και C είναι τετραγωνικοί πίνακες και P σηµαίνει τον ανάστροφος του P. Σε αντίθετη περίπτωση θα λέµε ότι ο πίνακας είναι rreducble. Ένας x πίνακας είναι πάντα rreducble, εκτός κι αν είναι µηδέν. Είναι φανερό ότι ένας rreducble µη αρνητικός πίνακας είναι πάντα θετικός. Επίσης, αφού µε το µεταθετικό µετασχηµατισµός (.2) τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα Α παραµένουν στη διαγώνιο, αν ο πίνακας A είναι rreducble τότε και ο A+ ai είναι rreducble. Σηµαντικά θεωρήµατα ι- σχύουν για τους πίνακες αυτούς. Χωρίς απόδειξη, για οικονοµία χώρου, παραθέτουµε ορισµένα από αυτά. Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται µπορεί να ανατρέξει στα κλασικά, πλέον, βιβλία αναφοράς των Varga και Berman και Plemmons 2. Θεώρηµα (.) Αν ο πίνακας A ( > 0) είναι ένας nxn rreducble πίνακας, τότε ( I+ A) n 0. (.4) Η σχέση (.4), ισχύει για κάθε nxn rreducble πίνακα A ( > 0), µε a > 0, n, αφού κάθε τέτοιος πίνακας µπορεί να γραφεί A = sa = ( I + B), µε Β> 0, (.5) s s αρκεί να πάρουµε ως s= max{ a, n}. Οι έννοιες αυτές είναι στενά συνδεδεµένες µε την επίλυση γραµµικών συστηµάτων, αφού ένα γραµµικό σύστηµα της µορφής Ax= b, (.6) µε τον πίνακα A reducble µπορεί να γραφεί ως εξής 0 T T T B x b P APP x= P b D C =. (.7) x2 b2 Απλή άλγεβρα στη δεύτερη από τις προηγούµενες σχέσεις µας δίνει Bx = b και Cx2 = b2 Dx. (.8) ηλαδή η λύση του συστήµατος (.7) προκύπτει από τη λύση δυο µικρότερων συστηµάτων, όπως αυτά της σχέσης (.8). Ανεξάρτητα από την rreducblty ιδιότητα των πινάκων και από το θετικό ή µη αυτών, ισχύει το επόµενο Θεώρηµα [], [2] 2
3 nxn Θεώρηµα (.9). Έστω B R µε ρ ( B) <, τότε ο I B είναι αντιστρέψιµος και µάλιστα ισχύει 2 ( I B) = I+ B+ B + B +L. (.0) Αντιστρόφως αν η σειρά του δεύτερου µέλους της (.0) συγκλίνει, τότε ρ ( B) <. (.) H ρ ( B) είναι η φασµατική ακτίνα του πίνακα B, δηλαδή το µεγαλύτερο από τα µέτρα των ιδιοτιµών του. Μάλιστα αποδεικνύετε ότι k ρ( B) < lm B = 0. (.2) k Φυσικά, αν ο B> 0, τέτοιος θα είναι και ο ( I B), αφού οι δυνάµει του B στη σχέση (.0) θα είναι θετικοί πίνακες. Επιπλέον αποδεικνύεται [] ότι αν ο B είναι «rreducble, τότε ο ( I B) 0. Ίσως, το πιο σηµαντικό θεώρηµα σ αυτούς τους πίνακες είναι το επόµενο θεώρηµα, γνωστό ως Θεώρηµα των Perron Frobenus 4, που έχει επηρεάσει σηµαντικά τη θεωρία τους. Η απόδειξη του θεωρήµατος βρίσκεται σε ένα πλήθος επιστηµονικών βιβλίων π.χ. [], [2] και δε θα την δώσουµε εδώ. Θεώρηµα (.) Αν ο πίνακας A είναι θετικός τετραγωνικός πίνακας και ρ ( A) η φασµατική ακτίνα του τότε: Η ρ ( A) είναι απλή ιδιοτιµή. Κάθε άλλη ιδιοτιµή µε το ίδιο µέτρο είναι επίσης απλή. Στη ρ ( A) αντιστοιχεί ένα αυστηρά θετικό ιδιοδιάνυσµα x ( 0) και είναι µοναδικό µε την έννοια ότι κάθε άλλο αυστηρά θετικό ιδιοδιάνυσµα του A είναι θετικό πολλαπλάσιο του x. Επιπλέον όταν A 0, τότε η ρ ( A) είναι η µοναδική ιδιοτι- µή µε αυτό το µέτρο. Οι πίνακες που θα προκύψουν από το µοντέλο Leontef έχουν τη χαρακτηριστική ιδιότητα τα µη διαγώνια στοιχεία τους να είναι µη θετικά, δηλαδή
4 a a2 K a n a2 a22 a2n A K =, µε a 0,, j nκαι j.(.4) M M O M an an2 K ann Οι πίνακες της σχέσης (.4) απαντώνται στη διεθνή βιβλιογραφία µε το όνοµα Z-πίνακες. Είναι φανερό ότι οι πίνακες αυτοί µπορούν να γραφούν στη µορφή A= si B µε s> 0 και B 0, αρκεί να επιλέξουµε ένα θετικό s> max{ a, n} και b = s a. Ορισµός (.5) Κάθε πίνακας A της µορφής (.4) για τον οποίο ισχύει s ρ( B), όπου ρ ( B) η φασµατική ακτίνα του B, καλείται M- πίνακας. ρ( B) Υποθέτοντας ότι s> ρ( B) < και αφού A= s I B, από το s s Θεώρηµα (.9) θα ισχύει ρ( B) A = I B > 0. (.6) s s Επιπλέον αν ο A είναι rreducble θα έχουµε ότι A 0. Έτσι αποδείχτηκε το επόµενο Θεώρηµα. Θεώρηµα (.7). Έστω ότι ο πίνακας A είναι ένας αντιστρέψι- µος Μ-πίνακας, τότε ο A > 0 και αν επιπλέον ο A είναι rreducble ο A Ένα παράδειγµα Ας υποθέσουµε ότι ένα οικονοµικό σύστηµα αποτελείται από τρία µόνο διαφορετικά είδη, π.χ. άνθρακα, ατσάλι και ηλεκτρική ενέργεια, τα οποία προφανώς αλληλεξαρτώνται. Γι αυτά τα τρία είδη υπάρχει µια εξωτερική ζήτηση. Για να είναι, δε, συµβιβαστές οι πάσης φύσης πράξεις µας θα υποθέσουµε ότι οι µετρήσεις µας, όσον αφορά τα είδη, θα γίνονται σε µονάδες. Στον επόµενο πίνακα φαίνεται η σχέση µεταξύ των ειδών αυτών καθώς και η ζήτησή τους. Άνθρακας Ατσάλι Ηλ. Ενέργ. Ζήτηση Σύνολο Άνθρακας Ατσάλι Ηλ. Ενέργ Πίνακας 4
5 ιαβάζοντας οριζόντια τις γραµµές του παραπάνω πίνακα βλέπουµε ότι ο άνθρακας, για παράδειγµα, δίνει 24 µονάδες για την παραγωγή ίδιου προϊόντος (άνθρακα), 2 µονάδες για την παραγωγή του ατσαλιού, 25 µονάδες για την παραγωγή της ηλεκτρικής ενέργειας και 60 µονάδες στη εξωτερική ζήτηση. Συνολικά, δηλαδή, παράγονται 4 µονάδες. ιαβάζοντας τις στήλες βλέπουµε ότι το ίδιο προϊόν, για την παραγωγή του χρειάζεται 24 µονάδες άνθρακα, 9 µονάδες ατσαλιού και 90 µονάδες ηλεκτρικής ενέργειας. Παρόµοια ανάλυση ισχύει και για τις επόµενες γραµµές και στήλες του ί- διου πίνακα. ιαιρώντας, τώρα, τους αριθµούς των κελιών κάθε γραµµής µε τον αριθµό που βρίσκεται στην ίδια γραµµή και την τελευταία στήλη έχου- µε τον επόµενο πίνακα, στον οποίο φαίνεται η συµµετοχή του κάθε είδους σε ποσοστά στην παραγωγή µιας συνολικά µονάδας του είδους. Άνθρακας Ατσάλι Ηλ. Ενέργ. Ζήτηση Σύνολο Άνθρακας 0,058 0,27 0,52 0,46 Ατσάλι 0,225 0,40 0,297 0,8 Ηλ. Ενέργ. 0,465 0,08 0,59 0,29 Πίνακας 2 Πλέον µπορούµε να µιλάµε για διάνυσµα παραγωγής και διάνυσµα ζήτησης. Αν x= ( x, x2, x ) T είναι το διάνυσµα παραγωγή προφανώς ισχύει η επόµενη σχέση. 0,058 0,27 0,52 x 0,46 x x 0,225 0,40 0,297 x2 + 0,8 x2 = x2. (2.) 0,465 0,08 0,59 x 0,29 x x Θέτοντας δε (0.46,0. 2,0.29 ) T T x x x = ( d, d2, d) (το διάνυσµα ζήτησης) προκύπτει 0,058 0,27 0,52 x d x 0,225 0,40 0,297 x2 + d2 = x2. (2.2) 0,465 0,08 0,59 x d x Αναδιατάσσοντας την παραπάνω σχέση παίρνουµε µια έκφραση της µορφής Ax= d ( I T ) x= d x= ( I T ) d, (2.) όπου Ι ο µοναδιαίος πίνακας και 5
6 0,058 0,27 0,52 T = 0,225 0,40 0,297. (2.4) 0,465 0,08 0,59 Ο πίνακας T (πίνακας εισόδου) της σχέσης (2.4) είναι σταθερός και γνωστός πίνακας. Τα στοιχεία t αυτού του πίνακα αντιπροσωπεύουν την ποσοστιαία συµµετοχή του κάθε προϊόντος στην παραγωγή του εαυτού του ή κάποιου άλλου. Όταν µε κάποιο τρόπο µπορέσουµε να προσδιορίσουµε το διάνυσµα ζήτησης d, λύνοντας το σύστηµα (2.), καθορίζουµε το διάνυσµα παραγωγής x. Χρησιµοποιώντας την τελευταία από τις σχέσεις (2.), T βρίσκουµε x = (4, 42, 40), που είναι περίπου εκείνο του Πίνακα, όπως αναµέναµε.. Το ανοιχτό µοντέλο Leontef. Υποθέτουµε ότι µια οικονοµία είναι χωρισµένη σε n τοµείς, καθένας από τους οποίους παράγει ένα προϊόν, το οποίο καταναλώνεται από τον ίδιο τοµέα, από τους άλλους τοµείς και τελικά και κάποιους εξωτερικούς τοµείς, που θα τους θέσουµε µε την γενική ονοµασία εξωτερική ζήτηση. Τώρα, για να δηλώσουµε την κατάσταση του τοµέα, µε το προϊόν, χρησιµοποιούµε τις παρακάτω ονοµασίες και συµβολισµούς: x : ηλώνει το συνολικό ποσόν παραγωγής του προϊόντος. x : ηλώνει τη ζήτηση του προϊόντος από το j προϊόν. d : ηλώνει το συνολικό ποσό της εξωτερικής ζήτησης του προϊόντος. Το ολικό ισοζύγιο για κάθε τοµέα, παρουσιάζεται µε την επόµενη ισότητα n x + d = x, n. (.) j= Υποθέτοντας ότι η ζήτηση από τον τοµέα, ανά µονάδα παραγωγής του κάθε τοµέα j, είναι σταθερή και ίση µε t, οι σταθεροί συντελεστές t ι- κανοποιούν τη συνθήκη x = t x, n. (.2) Έτσι, η σχέση (.) γίνεται και σε επίπεδο πινάκων n t x + d = x (.) j= 6
7 Tx+ d = x ( I T ) x= d Ax= d, (.4) όπου ο T = ( t ) είναι σταθερός πίνακας και καλείται πίνακας εισροών, το διάνυσµα x= ( x ) είναι το διάνυσµα εκροών, το d = ( d ) είναι το διάνυσµα nxn ζήτησης και I R ο µοναδιαίος πίνακας. Είναι φανερό πλέον ότι ο πίνακας A= ( a ) του συστήµατος, στη σχέση (.4), είναι ένας Ζ-πίνακας, αφού η ζήτηση x του προϊόντος από το j προϊόν είναι µη αρνητική ποσότητα, οπότε µη αρνητική ποσότητα θα είναι και το t, έτσι θα έχουµε a = t 0,, j n, j, ενώ α = t 0, n.. ιι Ορισµός (.5). Ένα ανοιχτό µοντέλο Leontef λέµε ότι είναι «εφικτό», αν έχει ένα µη αρνητικό διάνυσµα παραγωγής για κάθε θετικό διάνυσµα ζήτησης. Θεώρηµα (.6). Σε ένα ανοιχτό µοντέλο Leontef οι επόµενες δυο προτάσεις είναι ισοδύναµες.. Το µοντέλο έχει «εφικτή» λύση. 2. Ο πίνακας A είναι ένας Μ-πίνακας, αντιστρέψιµος. Απόδειξη. Υποθέτοντας το 2, είναι φανερό από το Θεώρηµα (.7), ότι το σύστηµα (.4) έχει πάντα µια µη αρνητική λύση για κάθε θετικό διάνυσµα ζήτησης, αφού ο A > 0. Αντιστρόφως αν ισχύει το, τότε για κάθε θετικό διάνυσµα d, εποµένως και για τα e, όπου e είναι το διάνυσµα που έχει στην θέση τη µονάδα και σε όλες τις άλλες το µηδέν, θα έχει µια µη αρνητική λύση, έστω την x. Για το πίνακα X που σχηµατίζεται µε στήλες τα x προφανώς ισχύει A X = I, δηλαδή X = A. Αφού A= I T, T > 0 και 2 n n ( I T )( I+ T+ T + L + T ) = I T + είναι φανερό, από το Θεώρηµα (.9), ότι ρ ( T ) <, αφού k ( I T ) = lm( I+ T+ + T ) k L. Συνεπώς ο πίνακας A είναι ένας αντιστρέψιµος Μ-πίνακας. Στο ανοιχτό µοντέλο Leontef, όταν ο πίνακας A είναι reducble, από τον ορισµό (.), βλέπουµε ότι υπάρχει ένας µεταθετικός πίνακας P, που µπορεί να τον τροποποιήσει στη µορφή (.2), οπότε το σύστηµα που έχουµε να επιλύσουµε έχει την µορφή (.7). Αυτό σηµαίνει ότι αν αναδιατάξουµε τα αγαθά µας (ακολουθώντας τις οδηγίες του µεταθετικού πίνακα) 7
8 ένα πλήθος από αυτά (αυτά που αντιστοιχούν στον τετραγωνικό πίνακα Β, της µορφής (.7)) δεν προσφέρουν στα υπόλοιπα αγαθά (αφού ο πάνω δεξιά πίνακας στην ίδια µορφή είναι 0). Επιπλέον η προσφορά στα αγαθά που α- ντιστοιχούν στον τετραγωνικό πίνακα D της έκφρασης (.7), από εκείνα του C (εποµένως και στα αγαθά του B ), µπορούν να θεωρηθούν ζήτηση από τα αγαθά του πίνακα C και να ενσωµατωθούν στο διάνυσµα d. ηλαδή ένα µοντέλο Leontef µε τον πίνακα A reducble µπορεί να αναλυθεί σε δυο µικρότερα µοντέλα Leontef τα οποία µπορούν να µελετώνται ανεξάρτητα. Παράδειγµα. Θεωρούµε τα αλληλοεξαρτώµενα είδη α, β, γ, δ. και έστω ότι η συµµετοχή του ενός στην παραγωγή του άλλου είναι όπως φαίνεται στον επόµενο Πίνακα. α β γ δ α 0,2 0, 0, 0 β 0 0,2 0 0,4 γ 0, 0 0,2 0, δ 0 0,4 0 0, Πίνακας Αναδιατάσσοντας τα προηγούµενα είδη µπορούµε να έχουµε τον Πίνακα 4. Τα είδη β και γ δε συνεισφέρουν στην παραγωγή των α και γ. β δ α γ β 0,2 0,4 0 0 δ 0,4 0, 0 0 α 0, 0 0,2 0, γ 0 0, 0, 0,2 Πίνακας 4 Οι ποσότητες 0, και 0, που δίνουν τα είδη α και γ στα β και δ, αντίστοιχα, µπορούν να θεωρηθούν ζήτηση για τα δυο είδη (α και γ) και να έχουµε δυο διαφορετικά οικονοµικά µοντέλα εκείνα µε τα είδη {α, γ} και {β, δ} µε την προϋπόθεση ότι συγκεκριµένες ποσότητες α και γ είναι ζήτηση για την παραγωγή των β και δ. Πόρισµα (.7). Σε ένα «εφικτό» µοντέλο Leontef µε τον πίνακα A rreducble, το διάνυσµα παραγωγής είναι πάντα θετικό. Απόδειξη. Πράγµατι, αρκεί να σκεφτούµε ότι όταν ο πίνακας A του συστήµατος είναι rreducble Μ-πίνακας, οπότε ο A 0 (Θεώρηµα (.7)), θα έχουµε x= A d 0. 8
9 Ας θεωρήσουµε τώρα δυο διανύσµατα ζήτησης, τα d και d 2, στο ίδιο «εφικτό» µοντέλο Leontef. Προφανώς θα ισχύει Ax = d και Ax = d, (.8) 2 2 όπου ο A είναι ο πίνακας του συστήµατος και τα x και x 2 τα διανύσµατα παραγωγής και επιπλέον ότι ο πίνακας A είναι rreducble. Είναι πλέον φανερό ότι σε µια διαφορά (µεταβολή) d= d2 d στα διανύσµατα ζήτησης, αντιστοιχεί µια διαφορά (µεταβολή) x= x2 x των διανυσµάτων παραγωγής. Από την σχέση (.8) έπεται ότι η επόµενη σχέση A x= d, (.9) είναι έγκυρη και µάλιστα αφού ( x= 0 d = 0) ( d 0 x 0), συµπεραίνουµε ότι οποιαδήποτε µεταβολή στο διάνυσµα ζήτησης συνεπάγεται υποχρεωτικά µεταβολή και στο διάνυσµα παραγωγής. Επιπλέον αφού το µοντέλο είναι «εφικτό», ο πίνακας A θα είναι αντιστρέψιµος εποµένως θα ισχύει x= A d, (.0) οπότε ( d = 0 x= 0) ( x 0 d 0). Έτσι αποδείχτηκε ότι ο- ποιαδήποτε µεταβολή στο διάνυσµα παραγωγής επιφέρει υποχρεωτικά µεταβολή και στο διάνυσµα ζήτησης. Επιπλέον αφού ο Α είναι rreducble o A 0, οπότε αν d > 0( < 0), τότε x 0( 0). ηλαδή ακόµη και µια από τις συντεταγµένες του διανύσµατος ζήτησης αν µεταβληθεί θετικά ή αρνητικά ολόκληρο το διάνυσµα παραγωγής θα µεταβληθεί προς την ίδια κατεύθυνση. Με µαθηµατικούς όρους έχουµε την επόµενη σχέση d > 0( < 0) x 0( 0). (.) Παράδειγµα. Να βρεθεί το διάνυσµα µεταβολή της παραγωγής στο µοντέλο Leontef, όταν d = (2,0,0) T και T = (.2) Αφού x= ( I T ) d, προκύπτει ότι x= =. (.)
10 Είναι φανερό ότι η µεγάλη «µεταβολή» συντελείται στην παραγωγή του προϊόντος που υφίσταται τη «µεταβολή» στη ζήτηση, όµως όλα τα προϊόντα υφίστανται αύξηση για να συνεισφέρουν. Ίσως θα πρέπει να τονιστεί ότι είναι δυνατόν να έχουµε µηδενική µεταβολή σε ένα προϊόν ( = 0 ) παρόλο που η ζήτηση αυτού του προϊόντος είναι θετική ( d j > 0 ), όπως ακριβώς συµβαίνει στην περίπτωση όπου d = (,,0) T, όπως φαίνεται στην επόµενη σχέση x= =, (.4) όπου x2 = 0 παρόλο που d2 > 0. Τέλος, µε (4,2,8) T x=, T εκείνον της (.2) και d = (,2,0) T παρατηρούµε ότι το αντίστροφο της σχέσης (.) δεν ισχύει, αφού ( I T ) x= d. ηλαδή, παρόλο που το x 0 (αυξάνουν όλες του οι συντεταγµένες), δε σηµαίνει ότι και του d θα αυξάνουν οι συντεταγµένες του. Το τι συµβαίνει και πως επηρεάζεται το διάνυσµα παραγωγής όταν το διάνυσµα ζήτησης έχει θετικές αλλά και αρνητικές αλλαγές θα µπορούσε κάποιος να το δει το σχετικό άρθρο του Serkma 5. Abstract Wassly Leontef, who was rewarded the Nobel Prze 97 n Economcs, had proposed the nput-output model n hs work "Quanttatve nput and output relatons n the economc system of the Unted States" (96). The smplcty and clarty of hs thought are the elements that make ths work remarkable. Leontef descrbed n a wonderful way the correlaton between commodtes. He provded an answer to the followng queston: "What the producton level of n nterdependent ndustres (or sectors) n an economy could be, so that ther total (external and nternal) demand would be satsfed?" ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ R. S. Varga (962), Matrx Iteratve Analyss, Prentce-Hall, Englewood Clffs, NJ (Επίσης: 2 nd Edton, Revsed and Expanded, Sprnger, Berln, 2000.) x j 0
11 2 A. Berman and R. S. Plemmons (994), Nonnegatve Matrces n the Mathematcal Scences. Classcs n Appled Mathematcs. SIAM, Phladelpha. O. Perron (907), Zur Theore der ϋber Matrzen, Math. Ann. 64, G. Frobenus (92), Uber Matrzen aus ncht negatven Elementen, S.-P. Preuss. Akad.Wss., Berln, G. Serkma (979), Nonnegatve Matrces: The open Leontef Model, Lnear Algebra and ts Applcatons, 26,
Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)
Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΚ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές
Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότερα[A I 3 ] [I 3 A 1 ].
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )
Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι
Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραx 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x
Διαβάστε περισσότεραΠροσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών
Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ IV. Γενικές επαναληπτικές µέθοδοι Όπως είδαµε η ανάλυση της µεθόδου Guss έδειξε ότι η υπολογιστική προσπάθεια της µεθόδου για τη λύση ενός
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραΙδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα
Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις
Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις σειρές
. ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.
Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότερα1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης
ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων
57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις
202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα Ι,
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότερα1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/liearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης
Κεφάλαιο 1 Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις του.
Διαβάστε περισσότεραΗ ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)
Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)
1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της
Διαβάστε περισσότεραΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα y +
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:
ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για
Διαβάστε περισσότεραΔιαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Διαγωνοποίηση μητρών Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Όμοιες μήτρες Ορισμός: Οι τετραγωνικές μήτρες Α=[α ij ] nxn & B=[b ij ] nxn όμοιες (Α~Β): αν υπάρχει ομαλή μήτρα Ρ τ.ώ. Β = Ρ -1 Α Ρ A~B Β~ Α Ρ ομαλή μήτρα
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑδιάσπαστοι, p-κυκλικοί, συνεπώς διατεταγµένοι πίνακες και γραφήµατα
Αδιάσπαστοι, p-κυκλικοί, συνεπώς διατεταγµένοι πίνακες και γραφήµατα Νικόλαος Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 19 εκεµβρίου 2018 Νικόλαος Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί
Διαβάστε περισσότερα2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,
Διαβάστε περισσότερα1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά
Διαβάστε περισσότεραL = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε
ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότερα