4. Podivné správanie sa fotónov
|
|
- Έλλη Γεννάδιος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4 Podivné správanie sa fotónov Podivné správanie sa fotónov 4.1 Dvojštrbinový eperiment Na začiatku 3. kapitol sme hovorili o rozdieloch medzi časticami a vlnami prechádzajúcimi tienidlom s dvomi štrbinami. Odporúčame čitateľovi, ab sa vrátil na chvíľu k obr. 3.1a, obr. 3.1b a prečítal si aj tet pri nich. V prípade častíc prechádzajúcich dvomi štrbinami budú častice dopadať na miesta označené ako A, B na obr. 3.1a. V prípade vĺn vznikne interferenčný obraz znázornený na obr. 3.1b. Problém sa objaví okamžite, ak sa na svetlo, ktoré je tiež vlnením, pozrieme ako na súbor fotónov. V najjednoduchšom prípade môžeme postaviť eperiment tak, že medzi zdrojom ZV a fotografickou platňou (SR) na obr. 3.1b bude vžd len jeden fotón, ktorý bude prechádzať sstémov dvoch štrbín a potom dopadne na fotografickú platňu. Také eperiment sa už uskutočnili a technick to nebolo zložité. Stačilo použiť veľmi slabý zdroj svetla, alebo dať pred svetelný zdroj tienidlo, ktoré prepúšťa len málo svetla. Predstavme si, že eperiment prerušíme ihneď v okamihu, ako na platňu dopadol jediný fotón. Potom platňu dáme vvolať a pozrieme sa, čo je na nej. Veľa toho na nej nebude, ale po podrobnom prehliadnutí platne zbadáme na nej jednu maličkú bodku. Táto bodka vznikla tak, že fotón dopadol na dané miesto platne a spôsobil tam chemickú reakciu, ktorá viedla neskôr k tomu, že po vvolaní platne ostalo jedno sčernené zrnko fotografickej emulzie a zvšok platne je biel. Na vvolanie príslušnej chemickej zmen je potrebná spravidla energia niekoľko ev a to je práve energia, ktorú fotón má. Preto fotón, ab spôsobil chemickú reakciu v jednom zrnku emulzie, musel na tomto mieste odovzdať celú svoju energiu. Keb sa energia tohto jedného fotónu rozdelila na celú plochu fotografickej platne, potom b na jedno zrnko emulzie pripadla energia určite menšia ako ev a takáto energia b nemohla spôsobiť žiadnu chemickú reakciu. Eperiment teda ukazuje, že fotón sa pri dopade na fotografickú platňu správa ako častica, ktorá odovzdá celú svoju energiu "na jednom mieste". Na tom zatiaľ nie je nič podivného. Urobme celý eperiment znova a zariaďme veci tak, ab na fotografickú platňu dopadlo viac fotónov, pričom budeme používať ten istý slabý zdroj. Fotón teda prechádzajú sstémom po jednom. Ab fotónov bolo na platni zachtených viac, stačí, ab sme pri slabom zdroji mali dlhú epozičnú dobu. Napokon platňu vberieme a dáme ju vvolať. Už pri prvom pohľade na platňu, uvidíme tpické interferenčné prúžk, znázornené na obr. 3.1b. Ak sa ale na platňu pozrieme pod mikroskopom vidíme, že prúžk sú vtvorené z mnohých sčernených zrniek fotografickej platne. Prirodzene nás napadne, že za každé sčernené zrniečko je zodpovedný fotón, ktorý v danom zrnku emulzie vvolal príslušnú chemickú reakciu. Vvolaná fotografická platňa je znázornená na obr.4.1. Keb mal eperimentátor pochbnosti o tom, že interferenčný obraz vznikol naozaj z dopadov jednotlivých fotónov mohol b urobiť ešte jeden variant Obr. 4.1Fotografická platňa v rôznch dobách epozície s interferenčnými prúžkami spôsobenými bodovými sčerneniami vvolanými jednotlivými fotónmi Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
2 14 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fzik Obr. 4. Vznik interferenčného obrazu vo vlnovej teórii eperimentu. Potreboval b naň viac fotografických platní alebo veľa filmových políčok. Postupoval b nasledovne. Vbral b vžd čas epozície tak krátk, že b na platňu (alebo filmové políčko) dopadol vžd len jeden fotón. Potom b platňu vvolal. Ak postupoval dobre, má na väčšine platní len jednu malú čiernu bodku. Na niektorých platniach žiadnu bodku nemá - tie platne odloží bokom. Na niektorých platniach bude mať dve alebo viac čiernch bodiek - aj tieto platne odlož bokom. Potom položí všetk platne s jednou bodkou presne na seba a presvieti ich. To, čo uvidí bude opäť to, čo je na obr. 4.1, ktorý ale v tomto prípade bude určite súčtom sčernení vvolaných jednotlivými fotónmi. V prai b sa táto verzia eperimentu dala uskutočniť 1, oveľa jednoduchšie tak, že namiesto platne b sme použili sústavu maličkých detektorov. Citlivá plocha b pokrývala tú istú plochu ako predtým celá platňa. V prípade, že fotón prejde plôškou daného detektora, urobí detektor "šťuk" a pošle signál do počítača, ktorý zaregistruje to, že detektor číslo "(k, m)", teda detektor sú súradnicami ( k, m ) v rovine platne "šťukol" v danom čase. Ak chceme, ab sa registrovali len jednotlivé fotón, potom spracovanie signálov upravíme tak, ab program vpustil dva po sebe idúce "šťuk", ak medzi nimi uplnie menší časový úsek ako je čas, ktorý potrebuje svetlo na prekonanie vzdialenosti medzi zdrojom a rovinou detektorov (rovinou platne). Aj v tomto prípade sa objaví fzický interferenčný obraz. Podivnosť správania sa fotónov spočíva v nasledujúcom. Fotón zrejme dopadá na platňu (alebo na detektor) ako častica a v jednom zrne emulzie odovzdá celú svoju energiu. Ale v akomsi zmsle sa musí šíriť ako vlna, pretože vtvára tpick "vlnový" interferenčný obraz. Keb prechádzal ako častica - len jednou štrbinou, potom b sme na tienidle museli vidieť to, čo na obr. 3.1a, a to nie je interferenčný obraz. Vlnová teória opisuje vznik interferenčného obrazu nasledovne, pozri obr. 4.. Zo zdroja vlnenia (ZV) sa vlnenie šíri cez štrbinu Š 1 až do bodu D na tienidle. Príslušnej vlne na tejto dráhe je priradená amplitúda A 1. Vlnenie sa šíri do toho istého bodu aj cez štrbinu Š, a tejto dráhe je priradená amplitúda A. Celková amplitúda A 1 v bode D je daná súčtom dvoch amplitúd A 1, A, teda A 1 = A 1 + A (1) ntenzita vln 1 v bode D je rovná štvorcu absolútnej hodnot amplitúd 1 A1 = A1 A = + () ntenzita má maimum v tom mieste, kde dĺžka dráh d 1 (od ZV po Š 1 plus od Š 1 po D) sa líši od dĺžk dráh d (od ZV po Š plus od Š po D) o celočíselný násobok vlnovej dĺžk λ. Minimum je tam, kde d 1 d = nλ + λ/, kde n je celé číslo. Keď hovoríme o interferencii elektromagnetického vlnenia je situácia len o trocha komplikovanejšia. Úlohu amplitúd hrá intenzita elektromagnetického poľa E, ktorá je vektorom (okrem veľkosti má aj smer, ktorý musí bť kolmý na smer šírenia vln). V najjednoduchšom prípade je svetlo polarizované a potom má E len jeden smer e. V tomto prípade namiesto rovnice (1) máme 1 Na < v časti <nterference of single photon> na Lman Page, Department of phsics, Jadwin Hall, Princeton Universit nájdete podrobne popísaný ľahko uskutočniteľný reáln eperiment vkonaný s komerčne vrábanou CCD kamerou. (Pozn. de o digitálnu kameru s tzv. CCD senzorom, čo znamená, že senzor obsahuje veľké množstvo maličkých diód fungujúcich na základe fotoelektrického javu. Viac pozri napr. stránku < howstuffworks.com časť How Digital Cameras Works) Veľmi peknú verziu interferenčného eperimentu, ktorý možno urobiť doma alebo v triede len pomocou zrkadla, kried a baterk uvádza Steven Girvin na svojej stránke < v časti <Public Lecture: Mr. Fenman s Quantum Mechanics: A Field Guide for Curious characters > a v <Backround material>. Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
3 4 Podivné správanie sa fotónov 143 a namiesto rovnice () dostaneme = A e + e (3) E1 1 A 1 C E1 = C A1e Ae = + (4) kde C je istá konštanta úmernosti. Jej hodnota nie je pre ďalšiu diskusiu podstatná. Rozloženie hustot fotónov na tienidle je dané tpick interferenčným vzťahom (4). Tento výraz ale opisuje vlnu, ktorá prechádza obidvomi štrbinami. Otázka o tom, čo je fotón, stojí teda nasledovne: ak je fotón vlnou, tak sa šíri obidvomi štrbinami a intenzita vlnenia v rovine platne je daná rovnicou (4). Hustota energie vln príslušnej k jednému fotónu je potom rozdelená spojito po povrchu platne. Lenže takáto vlna nemôže vvolať bodové sčernenie na fotografickej platni, pretože na chemickú reakciu v jednom zrnku emulzie je potrebná celá energia fotónu ak je fotón časticou, potom prechádza len jednou z dvoch štrbín. V tomto prípade môže fotón vvolať bodové sčernenie, ale v rovine platne b nemal vzniknúť interferenčný obraz. Nevhnutným záverom je potom tvrdenie, že fotón nie je ani časticou, ani vlnou v zmsle klasickej fzik. To isté platí aj o iných objektoch atómovej fzik 3,4. Podobné interferenčné obraz totiž pozorujeme aj v prípade elektrónu (alebo inej "častice") prechádzajúcej dvomi štrbinami 5. Na druhej strane fotón (alebo iná častica) je v istom zmsle aj vlnou aj časticou. Ak chceme hovoriť o fotóne alebo o elektróne ako o "častici", potom s ním musíme spojiť aj určitú vlnu alebo "vlnovú funkciu" ψ ( r,. Pravdepodobnosť spozorovať v istej malej oblasti priestoru určitú časticu, napríklad elektrón, je potom úmerná ψ ( r,. V tom istom zmsle je pravdepodobnosť toho, že fotón vvolá sčernenie v istom mieste fotografickej platne úmerná výrazu 1 v rovnici (4). Ak na tú istú platňu dopadá mnoho fotónov, uvidíme na platni sčernenie, ktoré je blízke klasickému výrazu (4) a zodpovedá spodnému obrázku R.P. Fenman vo svojej knihe The Character of Phsical Law, MT Press, 1965, strana 18 (český preklad - O povaze fzikálnich zákonů, Aurora, 1998, str. 135): Vieme ako sa správajú elektrón a svetlo. Lenže aká je ich podstata? Ak poviem, že sa správajú ako častice, vtvorím vo vás pomýlenú predstavu; to isté sa stane, keď poviem, že sa správajú ako vln. Správajú sa svojím vlastným, nenapodobiteľným spôsobom, ktorý b bolo možné nazývať kvantovomechanický spôsob. Nesprávajú sa ako nič, čo ste doteraz videli. Vaše skúsenosti s vecami, s ktorými ste sa už stretli sú neúplné. Veci sa totiž v nepatrných mierkach správajú celkom odlišne. Atóm sa nespráva ako závažie visiace na pružine, ktoré osciluje. Nespráva sa ani ako miniatúrna napodobenina slnečnej sústav s malými planétami krúžiacimi po orbitách. Nie je to ani mrak nejakého zvláštneho druhu hml obklopujúcej jadro. Atóm sa nepodobá na nič, čo ste doteraz videli. 4 V súvislosti s odpoveďou na často kladenú otázku: Je elektrón vlna alebo častica? uvádza Dan Ster (z Oberlin College v USA) výstižné prirovnanie vo svojej knihe The Strange world of Quantum mechanics, Cambridge Universit press, 000, str. 108: Je to podobné ako keď si predstavíte človeka, ktorý sa narodil a vrastal v Anglicku a ktorý pozná niekoľko druhov zvierat: koňa, kravu, prasa, atď. Pri ceste po Afrike zbadá hrocha, lenže odmieta prijať, že je to nový druh zvieraťa, ale radšej tvrdí, že je to zviera, ktoré je istým spôsobom kôň a istým spôsobom prasa. Namiesto fráz elektrón sa správa nieked ako vlna a nieked ako častica, preto radšej hovorím, že elektrón sa správa presne tak, ako elektrón - jeho správanie nie je pre vás bežné a môže sa vám nepáčiť, ale to nie je dôvod na to, ab sme nesprávne posudzovali elektrón. 5 Eperiment s dvomi štrbinami s rovnakým výsledkom ako pre fotón bol vkonaný aj pre neutrón, atóm hélia, či sodíka a v roku dokonca s fullerénmi obrovskými molekulami C 60, z ktorých každá obsahuje 60 atómov uhlíka rovnomerne uložených na povrchu gule štruktúrou pripomínajúcich futbalovú loptu. Pozri napr. článok Markus Arndt, et al, Wave particle dualit of C 60 molecules, Nature 401, (1999). Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
4 144 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fzik 4. Ešte o interferencii fotónov V uvažovanom dvojštrbinovom eperimente interferoval jediný fotón sám so sebou, pričom fotón akosi "vedel" o obidvoch dráhach d 1, d na obr. 4.. Môžeme tiež povedať, ak to nemslíme celkom doslova, že fotón "išiel" po obidvoch dráhach. Oveľa presnejšia b ale bola formulácia, ktorá vchádza z rovnice (4) a hovorí: a) amplitúda pre výpočet pravdepodobnosti (4) výsktu fotónu na určitom mieste platne je rovná súčtu dvoch amplitúd, pričom prvá amplitúda odpovedá šíreniu sa fotónu po dráhe d 1 a druhá po dráhe d. b) pravdepodobnosť výsktu fotónu (a vvolania sčernenia zrnka emulzie) v danom mieste platne je úmerná kvadrátu absolútnej hodnot amplitúd získanej postupom podľa a) Obr. 4.3 ZS - Zdroj svetla, Z 1, Z 4 polopriepustné zrkadlá s 50% odrazom a Z, Z 3 zrkadlá s úplným, 100% odrazom, D-detektor Obr. 4.4 ZS - Zdroj svetla, Z1 - polopriepustné zrkadlo, Z, Z3 zrkadlá s úplným odrazom, D - detektor Keďže príslušné amplitúd nám poslúžili na výpočet pravdepodobnosti budeme ich nazývať skrátene amplitúd pravdepodobnosti. V skutočnom eperimente s dvomi štrbinami dve uvažované dráh d 1 a d nie sú veľmi ďaleko od seba, pretože vzdialenosť medzi dvomi štrbinami je malá (zlomk cm). Môžeme sa ale pýtať na to, ako ďaleko môžu bť od seba dve dráh, ab sme pri výpočte pravdepodobnosti výsktu fotónu postupovali podľa pravidiel a), b) daných vššie. Ukazuje sa, že zatiaľ nepoznáme hranicu pre takúto vzdialenosť. V mnohých eperimentoch s interferenciou fotónov (v skutočnosti každého jediného fotónu so sebou samým) boli dve možné dráh veľmi vzdialené od seba. Patria sem eperiment tpu ako na obr V takomto eperimente sa na detektore D (napr. na fotografickej platni) objaví interferenčný obra ktorého amplitúda je daná súčtom amplitúd pre dve možné cest (trajektórie) fotónu. Prvá trajektória začína vslaním fotónu zo zdroja svetla ZS, pokračuje prechodom cez polopriepustné zrkadlo Z 1, nasleduje odraz na zrkadle Z a prechod polopriepustným zrkadlom Z 4. Druhá amplitúda odpovedá odrazu na polopriepustnom zrkadle Z 1, odrazu na zrkadle Z 3 a odrazu na zrkadle Z 4. nterferometre s trajektóriami fotónu vzdialenými niekoľko metrov od seba sú celkom bežné. Zdôraznime, že eperiment vedú k interferenčnému obrazu aj vted, ak je zaručené, že sa v danom čase medzi zdrojom a detektorom nachádza len jeden jediný fotón. Trocha upravený variant predchádzajúceho eperimentu je znázornený na obr Fotón zo zdroja svetla - ZS sa môže dostať do detektora D po dvoch trajektóriách. Pri prvej prechádza cez Z 1, odráža sa od Z a po odraze na Z 1 príde do detektora D. Pri druhej sa odrazí od zrkadla Z 1, potom sa odrazí od zrkadla Z 3 a prejde zrkadlom Z 1 do detektora. nterferometre znázornené na obr. 4.3 a 4.4 nazývame interferometre Michelsonovho tpu. Michelson ich používal pri pokusoch zistiť rýchlosť Zeme voči éteru (s negatívnm výsledkom). V súčasnosti je pred ukončením výstavba obrovských interferometrov postavených podľa schém na obr. 4.4, pričom dĺžka ramien je niekoľko kilometrov. Len veľmi málo fzikov pochbuje o tom, že interferenčný obraz v detektore D bude taký, ako vplýva z postupu v bodoch a), b) uvedených vššie. Predstava o tom, že budú interferovať dve amplitúd odpovedajúce trajektóriam fotónu vzdialeným od seba niekoľko kilometrov je síce fascinujúca, ale žiadna Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
5 4 Podivné správanie sa fotónov 145 komisia pre prideľovanie grantov b výstavbu takéhoto interferometra neschválila, keb overenie tejto hpotéz bolo jediným cieľom eperimentu. Skutočný cieľ eperimentov je úplne iný. Majú slúžiť na detekciu gravitačných vĺn prichádzajúcich z vesmíru 6. Takéto gravitačné vln b zmenili zakrivenie priestoru v jednom ramene interferometra inak ako v druhom a tým b sa zmenil rozdiel dĺžok oboch ramien. To b posunulo interferenčné prúžk v detektore D. Ab sa vlúčili zmen dĺžok ramien spôsobené inými príčinami, budú ramená detektora chladené tekutým héliom a udržiavané na konštantnej teplote. Aj preto bude eperiment nákladný. Jeden z autorov (J.P.) sa domnieva, hoci si to podrobne neoveril, že už asi eistuje eperimentálna informácia o interferencii amplitúd pre trajektórie fotónu, ktorých vzdialenosť má rozmer porovnateľné s rozmerom hviezdnej galaie. V súčasnosti totiž eistujú údaje o efektoch spôsobených tzv. gravitačnými šošovkami. V týchto prípadoch sa svetlo ohýba a interferuje pri prechode cez gravitačné pole veľmi ťažkého kozmického objektu 7. Efekt je príbuzný Einsteinom predpovedanému ohbu svetelných lúčov prechádzajúcich okolo povrchu Slnka. Poznámka 8 : Veľmi odporúčame čitateľovi, ab si prečítal časť 37 vo Fenmanových prednáškach z fzik (R.Fenman, R.Leighton, M.Sands, Fenmanov přednášk z fzik, diel 1, Fragment, Havlíčkuv Brod, novšie české vdanie, R.Fenmam, R.Leighton, M.Sands, Fenmanove prednášk z fzik, diel, ALFA, Bratislava, staršie slovenské vdanie). Fenman tam hovorí o interferencii elektrónov prechádzajúcich dvomi štrbinami, zatiaľ čo m sme hovorili o fotónoch. Ale v tomto zmsle sa elektrón a fotón chovajú rovnako. 4.3 Fotón prechádzajúci polarizátormi Eistuje jednoduchý eperiment, ktorý sa aj často študentom predvádza. Úzk zväzok svetla v ňom najprv prechádza dvomi polarizačnými filtrami. Usporiadanie eperimentu vidno na obr. 4.5 Svetlo je priečne vlnenie a polarizácia tohto vlnenia je daná vektorom kolmým na smer šírenia svetla. Ak sa svetlo pohbuje v smere osi polarizácia svetla je daná jednotkovým vektorom e ležiacim v rovine (, ). Prirodzené svetlo (povedzme zo žiarovk) je zmesou rôznch polarizácií. Ak takéto svetlo prejde cez polarizátor F 1, ktorý prepúšťa len svetlo polarizované v smere e 1, potom cez polarizátor prejde len svetlo polarizované v smere e 1 a zvšok sa pohltí vo filtri F 1. Ak v eperimente podľa obr. 4.5 natočíme filtre F 1 a F tak, ab vektor boli na seba navzájom kolmé, svetelný zväzok za filtrom F vhasne. Vsvetlenie je jednoduché: Filter F 1 prepustil len svetlo s polarizáciou v smere e 1, ale vzhľadom na to, že e 1 je kolmé na e, filter F už nič z neho neprepustí ďalej. Ponechajme teraz F 1, F v skríženej polohe ( e 1 je kolmé na e ) a vložme medzi F 1 a F tretí filter F 3, prepúšťajúci svetlo s polarizáciou v smere e 3. Zvoľme Obr. 4.5 Zväzok svetla Z prechádza dvomi polarizačnými filtrami F 1 a F. Pri každom filtri sme naznačili aj šípku, ktorá ukazuje smer polarizácie, ktorú filter prepúšťa. 6 Viac informácii o pripravovanom obrovskom interferometri LGO (Laser nterferometer Gravitational Wave Observator), s rozmermi okolo 4 km, ktorý bude predstavovať najcitlivejší interferometer na svete nájdete na stránke 7 de o Wheelerov variant dvojštrbinového eperimentu. 8 V čase vzniku Fenmanových prednášok bol dvojštrbinový eperiment len mšlienkovým eperimentom. Zásluhou pokroku eperimentálnej technik boli neskôr eperimentálne vkonané rôzne verzie dvojštrbinových eperimentov, ktorých popis ponúka na webovej stránke Jiří Podolský z katedr teoretickej fzik Karlovej Univerzit < a to aj s upozornením, v čom sa v kapitole 37 Fenman predsa len mýlil. Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
6 146 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fzik e 3 tak, ab bolo "medzi" e 1 a e. Polarizácie e 1, e, e 3 sú znázornené na obr.4.6 Pri takejto konfigurácii troch filtrov F 1, F, F 3 sa za filtrom F znova objaví zväzok svetla. Klasická fzika vie tento efekt veľmi jednoducho vsvetliť. Podľa nej je svetlo elektromagnetickou vlnou. Predpokladajme, že pred filtrom F 1 je táto vlna už polarizovaná a je opísaná výrazom E ( = e0 A( (5) Obr. 4.6 Smer polarizácie prepúšťané filtrami F 1, F, F 3 sú označené ako e 1, e, e 3. Smer e 4 je vsvetlený v tete. kde E ( je intenzita elektrického poľa vln a e 0 je jej polarizácia. Skalárna funkcia A( opisuje priebeh vln, môže to bť napríklad sin (k ω (pre význam jednotlivých veličín pozri napr. rovnicu () v kap. 3) Podrobnosti o tvare A( tu ale nebudeme potrebovať, takže ostaneme len pri všeobecnom zápise A(. Keď vlna daná vzťahom (5) dopadne na filter F 1, filter "si rozloží" polarizačný vektor e 0 do dvoch navzájom kolmých smerov e 1, e a "vníma" dopadajúcu vlnu (5) ako E = e a A( + e a A( ) (6) 0( 1 1 t Koeficient a 1, a ľahko nájdeme ak si nakreslíme obrázok, a 1 je rovné skalárnemu súčinu vektorov e 0, e 1. Môžeme to zapísať aj ako a 1 = cos( e0, e), a 1 = cos( e0, e) (7) Filter F 1 prepustí z vln danej rovnicou (6) len časť s polarizáciou e 1, druhú časť pohltí. Po prechode filtrom F 1 bude mať teda naša elektromagnetická vlna tvar E = e a A( (8) za F 1 ( 1 1 Keb sme mali za sebou len dva skrížené filtre F 1, F pričom F 1 b prepúšťal len polarizáciu e 1, F len polarizáciu e kolmú na e 1, vec b bola jasná. Vlna (8) cez filter F neprejde (všetko sa v ňom pohltí). Ak máme medzi F 1 a F vložený filter F 3, vlna (8) prichádza najprv k filtru F 3, ktorý "si ju rozloží" podľa vzťahu e = b + b (9) 1 3e3 4e4 kde e 3 určuje smer polarizácie, ktorú F 3 prepúšťa a e 4.je smer polarizácie kolmý na e 3. Koeficient b 3 je rovný cos( e 1, e 3 ) a koeficient b 4 je rovný cos( e, e 4 ). Dosadíme teraz (9) do (8) a dostaneme E = ( b e + b e ) a A( (10) za F 1 ( Filter F 3 pohltí člen pri e 4 a dostávame E = e b a A( (11) za F 3 ( Táto vlna dopadá na posledný filter F, ktorý urobí najprv rozklad e = c + c (1) 3 1e1 e kde c 1 = cos( e3, e1), c = cos( e3, e ). Filter F pohltí časť s polarizáciou v smere e 1 a za ním máme vlnu E = e c b a A( = e cos( e, e )cos( e, e )cos( e, e ) A( (13) za F ( Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
7 4 Podivné správanie sa fotónov 147 ntenzita žiarenia je úmerná E a preto môžeme napísať za F e za F1 = cos ( e3, e)cos ( e3, e1)cos ( e0, 1) (14) Táto teória veľmi presne popisuje intenzitu vĺn prechádzajúcich všetkými tromi filtrami a je teda dobrou klasickou teóriou. Mohli b sme ju overiť tak, že b sme merali intenzitu žiarenia pred filtrom F 1 a za filtrom F, napríklad tak, že b sme najprv pred F 1 dali fotografickú platňu a odmerali sčernenie za určitý čas a potom b sme dali platňu za filter F na ten istý čas, odmerali sčernenia a porovnali so (14) pri rôznch smeroch e 0, e 1, e, e 3 Mohli b sme si však povedať, že urobíme eperiment na súčasnej úrovni a namiesto platne dáme detektor, ktorý nám povie, koľko fotónov zaregistroval za daný čas. A tu sa začína problém. Predstavme si, že sústavou troch filtrov prechádza jediný fotón. Postupujeme tak ako v predchádzajúcej úvahe a prídeme k tomu, že filter F1 "pohltí časť fotónu". No dobre, povieme si, keď pohltil, tak pohltil. Ale potom si spomenieme, že farba svetla pred F1 a po prechode všetkými tromi filtrami bola rovnaká. Ak pokus robíme s laserom, ktorý produkuje svetlo určitej vlnovej dĺžk a teda určitej farb, potom je veľmi dobre vidno, že pri prechode filtrami sa farba svetla vôbec nemení - mení sa len intenzita. Energia fotónu je ale viazaná s jeho frekvenciou a vlnovou dĺžkou vzťahom E = hf = hf / c (15) Takže ak sa nemení vlnová dĺžka, nemení sa ani energia fotónu. To ale znamená, že fotón buď prejde celý, alebo sa celý pohltí. Výraz na pravej strane potom prepisujeme tak, že N N za F za F A10 = A A (16) kde A 3 = cos( e, e3 ), A 31 = cos( e3, e1) A 10 = cos( e1, e0 ) sú amplitúd pravdepodobnosti pre prechod fotónu jednotlivými filtrami. Napríklad A 3 je amplitúda pravdepodobnosti pre to, že fotón, ktorý prešiel filtrom F 3, prejde aj filtrom F. Tak ako v prípade dvojštrbinového eperimentu alebo interferencie v Michelsonovom interferometri aj tu je pravdepodobnosť určitého procesu rovná štvorcu absolútnej hodnot príslušnej amplitúd. Poznamenajme ešte, že predstava fotónu ako klasickej častice (povedzme tpu guľk vstrelenej z pušk) b prechod žiarenia filtrami nemohla opísať - a ak tak len dosť umelo. Ak guľka nemôže prejsť dvomi skríženými filtrami F 1 a F, potom nebude môcť prejsť sstémom po tom, čo pridáme ďalšiu prekážku - filter F 3. Na druhej strane priznajme, že keb sme zaviedli pojem polarizácie guľk a pojem pravdepodobnosti prechodu guľk cez daný filter, prepísali b sme pravú stranu v (16) ako súčin P 3 P 31 P 10, pričom P 3 = A 3, atď., dostali b sme síce trocha veselú, ale úspešnú "klasickú teóriu", podľa ktorej guľka buď prejde filtrom s celou svojou energiou, alebo sa celá pohltí. Príslušné pravdepodobnosti b boli P 3 (prechod cez filter F ), atď. Takáto teória b ale nevsvetlila jednoduchý eperiment s prechodom svetla dvomi štrbinami a namiesto interferencie b dala to, čo vidíme na obr. 3.1a. Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
8 148 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fzik Už tieto jednoduché eperiment ukazujú, že v kvantovej fzike musíme používať amplitúd pravdepodobnosti, skladať amplitúd pravdepodobnosti prislúchajúce k rôznm možným trajektóriam a počítať intenzit, alebo pravdepodobnosti výsktu častice ako štvorce absolútnch hodnôt príslušných amplitúd. 4.4 Fotón a dvojlom svetla Obr. 4.7 Dvojlom svetla Pohľad na eperiment z boku. ZS Predná stena Peknou ilustráciou toho, že svetlo je priečnm vlnením je tzv. dvojlom svetla. V niektorých látkach, napr. v krštáloch islandského vápenca sa svetlo s rôznmi polarizáciami šíri rôznmi spôsobmi. Z takéhoto krštálu sa dá vbrúsiť platnička, ktorá robí zaujímavú vec - rozštiepi zväzok dopadajúceho svetla na dva zväzk. Situácia je znázornená na obr Na platničku sa pozeráme zboku, takže vidíme len jej bočnú stenu. Lúč svetla sa pohbuje v smere osi z a predná stena platničk (ktorú na obrázku nevidíme) je rovnobežná s rovinou (, ). Dva lúče vchádzajúce z platničk sme označili písmenami R (tzv. riadn lúč) a M (tzv. mimoriadn lúč). Na bočnej stene platničk je nakreslená šípka. Smer šípk je daný tým ako sa platnička vbrúsila, ale to nebude pre nás podstatné. Stačí nám vedieť, že riadn lúč R bude lineárne polarizovaný v smere šípk, ktorú výrobca na platničku nakreslil. Príslušnú polarizáciu lúča R sme vznačili vpravo od písmena R. V istej vzdialenosti nad lúčom R (v smere šípk nakreslenej na platničke) vchádza z platničk lúč M, rovnobežný s lúčom R. Polarizácia lúča M je kolmá na polarizáciu lúča M, čo je tiež vznačené za písmenom M na obrázku). Zdá sa, že obrázok vzerá trocha čudne, pretože lúč M zrejme nespĺňa zákon lomu - ale je to naozaj tak a budeme to jednoducho brať ako eperimentáln fakt. O polarizácii lúčov R a M sa môžeme presvedčiť aj eperimentálne. Použijeme pri tom polarizačné filtre, o ktorých sme hovorili v predchádzajúcom odstavci. ntenzita lúčov M a R bude závisieť od polarizácie dopadajúceho lúča zo zdroja svetla ZS. Ak je lúč ZS nepolarizovaný (má rovnako zastúpené všetk možné polarizácie) bude intenzita lúčov R a M rovnaká. Ak bude mať lúč ZS určitú polarizáciu, potom budú intenzit lúčov R, M dané touto polarizáciou. Určitú polarizáciu zväzku lúčov zo ZS zabezpečíme napríklad tým, že do jeho cest postavíme polarizačný filter, ktorý prepustí len svetlo s určitou polarizáciou e. Vektor jeho polarizácie e leží v rovine kolmej na smer, v ktorom sa polarizovaný lúč ZS šíri, teda e leží v rovine (, ). Vberme teraz súradnicovú sústavu tak, ab os mala smer "hore" tak, ako je to na obr. 4.7 a os smer "k nám". Nakreslíme si teraz druhý pohľad na platničku konkrétne na jej prednú stenu (ktorú sme na obr. 4.7 nevideli) a zadnú stenu platničk (ktorú sme tam tiež nevideli), aj so súradnými osami,. R Zadná stena Obr. 4.8 Pohľad na prednú a zadnú stenu sklenenej platničk V obrázku 4.8 sme na prednej strane platničk vznačili šípkou smer polarizácie e dopadajúceho zväzku svetla ZS. Na zadnej stene platničk v obr. 4.8 vidíme dva vchádzajúce lúče (porovnaj s obr. 4.7). Lúč R je polarizovaný v smere e, lúč M v smere e, pričom e, e sú jednotkové vektor v smere osí,. Klasická teória nám umožňuje spočítať intenzit riadneho a mimoriadneho lúča. Stačí len urobiť rozklad polarizácie e dopadajúceho lúča ZS do smerov a podľa vzťahu e = a e + a e (17) Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
9 4 Podivné správanie sa fotónov 149 kde a = cos( e, e ), a = cos( e, e ) (18) Ak dopadajúca vlna ZS má amplitúdu e A( (19a) vlna zodpovedajúca mimoriadnemu lúču R bude e A( (19b) a a vlna odpovedajúca riadnemu lúču bude e A( (0) a Pomer intenzít pre R (riadn lúč), M (mimoriadn lúč) a ZS (dopadajúci lúč zo zdroja svetla ZS) budú M ZS = a a R ZS = a (1) Podobne ako v predchádzajúcom odseku 4. aj teraz chceme výsledok interpretovať v jazku kvantovej teórie, teda pomocou fotónov. Ak sa pozrieme na farbu (vlnovú dĺžku) žiarenia v dopadajúcom, v riadnom i v mimoriadnom lúči, zistíme, že farba je stále rovnaká. Ale vlnová dĺžka (farba) určuje energiu fotónu a teda vieme, že energia fotónu sa nezmenila. Ak sústavou prechádza jediný fotón, potom a je úmerná amplitúde pravdepodobnosti pre to, že fotón sa objaví v lúči M a a je úmerná amplitúde pravdepodobnosti pre to, že fotón sa objaví v lúči R. Ak fotón prichádzajú po jednom, potom a je rovné pravdepodobnosti toho, že fotón sa objaví v lúči M a a je to isté pre lúč R. Eperimentom b sme sa mohli ľahko presvedčiť o tom, že fotón sa nedelia. Stačilo b púšťať fotón do eperimentu po jednom a umiestniť jeden detektor do dráh lúča R a jeden do dráh lúča M. Vžd b "šťukol" iba jeden detektor. R Prípad dvoch platničiek Doteraz sme uvažovali dopadajúci lúč a jedinú platničku schopnú oddeliť R - lúč a M - lúč podľa smeru polarizácie. Vec ale môžeme trocha skomplikovať tým, že prvú platničku umiestnime tak, ako sme to robili doteraz a pridáme ešte druhú platničku, ktorú voči prvej pootočíme o nejaký uhol v rovine (, ). Na obr. 4.9 hore máme ešte raz výstup z prvej platničk, M - lúč aj R - lúč s príslušnými polarizáciami. Všimnime si v prvom rade smer šípk v ľavom hornom rohu druhej platničk (dolná časť obr. 4.9). Smer šípk nám hovorí, že smer polarizácie riadneho lúča R v druhej platničke má smer e, kde e je smer osi v druhej platničke. Podobne e bude smer polarizácie mimoriadneho lúča M v druhej platničke. Keď do druhej platničk vstúpi lúč M z prvej platničk, druhá platnička rozloží polarizačný vektor e podľa schém e b1 b e () = e + kde pre druhú platničku časť s e bude predstavovať riadn lúč, teda druhá platnička ho prepustí bezo zmen, čiže s polarizáciou e. Na výstupe z druhej Prvá platnička Druhá platnička Obr. 4.9 Dvojlom na dvoch platničkách Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
10 150 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fzik Obr platničk označíme takýto lúč ako R M, teda ako lúč, ktorý najprv prešiel prvou platničkou ako M a potom druhou platničkou ako R. Na výstupe z druhej platničk sa nám takto objavia 4 lúče R M, M M, R R, M R. Miesta, v ktorých opúšťajú platničku sú vznačené na obr Podrobnejší výpočet amplitúd a intenzít jednotlivých lúčov prenecháme na čitateľa - ak sa prehrýzol tetom až sem, zrejme sa mu to podarí. Keb sme fotón púšťali do eperimentu opäť po jednom a keb sme do cest každého z lúčov R M, M M, R R, M R dali po jednom detektore, vžd b "šťukol" iba jeden v týchto štroch detektorov. Výsledné amplitúd sú: A A M M A R M A R R M R = cos( e, e )cos( e, e) = cos( e, e )cos( e, e) = cos( e, e )cos( e, e) = cos( e, e )cos( e, e) (3) a pravdepodobnosti pre detekciu fotónu v jednom zo štroch zväzkov za druhou doštičkou sú rovné štvorcu absolútnch hodnôt týchto amplitúd. Čitateľom tiež prenecháme návrh toho, ako b sa pomocou polarizačných filtrov presvedčil o tom, že polarizácie lúčov R M, M M, R R, M R sú naozaj také, ako sme to naznačili na obr Ján Pišút, Rudolf Zajac, Jozef Hanč, Juraj Šebesta 003
PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO
ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špeciálneho inžinierstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martin BENIAČ, PhD. PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydanie Určené
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραVzorce pre polovičný argument
Ma-Go-15-T List 1 Vzorce pre polovičný argument RNDr Marián Macko U: Vedel by si vypočítať hodnotu funkcie sínus pre argument rovný číslu π 8? Ž: Viem, že hodnota funkcie sínus pre číslo π 4 je Hodnota
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραMatematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότεραpre 8. ročník základnej školy a 3. ročník gymnázia s osemročným štúdiom
pre 8. ročník základnej školy a 3. ročník gymnázia s osemročným štúdiom Viera Lapitková Václav Koubek Ľubica Morková VYDAVATEĽSTVO MATICE SLOVENSKEJ Fyzika pre 8. ročník základnej školy a 3. ročník gymnázia
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah geometrických útvarov
Obvod a obsah geometrických útvarov 1. Štvorcu ABCD so stranou a je opísaná a vpísaná kružnica. Vypočítajte obsah medzikružia, ktoré tieto kružnice ohraničujú. 2. Základňa rovnoramenného trojuholníka je
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραC Historické poznámky
C Historické poznámky 133 C Historické poznámky Od sporov o tom, či svetlo sú vlny alebo častice k súčasnému "vlnovo-časticovému" názoru na svetlo O povahe svetla rozmýšľalo mnoho filozofov a fyzikov už
Διαβάστε περισσότεραOdraz a lom svetla. Kapitola 4
Kapitola 4 Odraz a lom svetla Náuka o svetle, optika, je jednou z najdôležitejších častí fyziky, lebo valnú väčšinu skúseností so svetom, ktorý nás obklopuje, získavame našim zrakom. Čo vieme o vzdialených
Διαβάστε περισσότεραmatematika 2. časť Viera Kolbaská Slovenské pedagogické nakladateľstvo pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom
Viera Kolbaská matematika 9 Slovenské pedagogické nakladateľstvo pre 9. ročník základnej škol a. ročník gmnázia s osemročným štúdiom. časť Slovenské pedagogické nakladateľstvo Por. č. Meno a priezvisko
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραŠkola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium
Škola: Predmet: Skupina: Trieda: Dátum: Škola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium Fyzika Fyzikálne veličiny a ich jednotky Obsah a metódy fyziky, Veličiny a jednotky sústavy SI, Násobky a diely fyzikálnych
Διαβάστε περισσότεραCenník za dodávku plynu pre odberateľov kategórie domácnosť ev.č. D/1/2015
SLOVENSKÝ PLYNÁRENSKÝ PRIEMYSEL, A.S. BRATISLAVA Cenník za dodávku plynu pre odberateľov kategórie domácnosť ev.č. D/1/2015 Bratislava, 2. december 2014 Platnosť od 1. januára 2015 1. Úvodné ustanovenia
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραKOMPARO. celoslovenské testovanie žiakov 9. ročníka ZŠ. Matematika. exam KOMPARO 2006-07
Základné informácie o projekte KOMPARO 006-07 pre základné školy 006-07 KOMPARO KOMPARO celoslovenské testovanie žiakov 9. ročníka ZŠ Matematika A exam testing EXAM testing, spol. s r. o. P. O. Box 5,
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραTepelné žiarenie. Kapitola 2. 2.1 Viditeľné svetlo
Kapitola 2 Tepelné žiarenie V tejto kapitole sa budeme venovať tepelnému žiareniu telies, ktoré sa riadi Planckovým vyžarovacím zákonom. Zdrojom tepelného žiarenia je každé teleso, a v menej komplikovanej
Διαβάστε περισσότεραMicrosoft EXCEL XP. Súradnice (adresa) aktuálnej bunky, kde sme nastavení kurzorom Hlavné menu Panel s nástrojmi Pracovná plocha tabuľky
Európsky vodičský preukaz na počítače Študijné materiály Autori: Michal Bartoň, Pavol Naď, Stanislav Kozenko Banská Bystrica, 2006 Microsoft EXCEL XP MS Excel je tabuľkový procesor, čiže program určený
Διαβάστε περισσότεραMa-Go-20-T List 1. Obsah trojuholníka. RNDr. Marián Macko
Ma-Go-0-T List 1 Obsah trojuholníka RNDr Marián Macko U: Čo potrebuješ poznať, aby si mohol vypočítať obsah trojuholníka? Ž: Potrebujem poznať jednu stranu a výšku na túto stranu, lebo základný vzorec
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραElektromagnetické pole
Elektromagnetické pole Elektromagnetická vlna. Maxwellove rovnice v integrálnom tvare a diferenciálnom tvare. Vlnové rovnice pre E a. Vjadrenie rýchlosti elektromagnetickej vln. Vlastnosti a znázornenie
Διαβάστε περισσότεραOlympiáda mladých vedcov 2013 Zadanie experimentálnej úlohy
V minulom roku sa súťažiaci oboznámili s vnútrom vajíčka,. V tomto roku sme sa zamerali na jeho škrupinu. Pozrieme sa na jej vlastnosti, a to očami biológie, chémia a fyziky. Samotný experiment a jeho
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραŘečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium
Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium Dobson číst si Dobsona 9. až 12. lekci od 13. lekce už nečíst (minulý čas probírán na stažených slovesech velmi matoucí) Bartoň pořídit si
Διαβάστε περισσότεραΤο άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Διαβάστε περισσότεραMATURITA 2014 MATEMATIK A
Kód testu 2106 MTURIT 2014 EXTERNÁ ČSŤ MTEMTIK NEOTVÁRJTE, POČKJTE N POKYN! PREČÍTJTE SI NJPRV POKYNY K TESTU! Test obsahuje 30 úloh. Na vypracovanie testu budete mať 120 minút. V teste sa stretnete s
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραZrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili
Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru
Διαβάστε περισσότεραIzotermický dej: Popis merania
Izotermický dej: Tlak a objem plynu v uzavretej nádobe sa mení tak že súčin p V zostáva konštantný pričom predpokladáme že teplota plynu zostáva konštantná Tento vzorec sa volá Boylov zákon. p V = N k
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραTABUĽKA STATICKÝCH HODNÔT
TABUĽKY STATICKÝCH HODNÔT A ÚNOSNOSTI TRAPÉZOVÉ PLECHY T - 15 Objednávateľ : Ľuboslav DERER, riaditeľ Vypracoval : prof. Ing. Ján Hudák, CSc. Ing. Tatiana Hudáková. Košice, 09 / 010 STATICKÝ VÝPOČET ÚNOSNOSTI
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότερα3. KONŠTRUKCIA ULOŽENIA
3. KONŠTRUKCIA ULOŽENIA 3.1 VŠEOBECNÉ ZÁSADY KONŠTRUKCIE ULOŽENIA S VALIVÝMI LOŽISKAMI Rotujúci hriadeľ alebo iná súčasť uložená vo valivých ložiskách je nimi vedený v radiálnom i axiálnom smere tak, aby
Διαβάστε περισσότεραVestník Ministerstva zdravotníctva Slovenskej republiky. Osobitné vydanie Dňa 15. augusta 2007 Ročník 55 O B S A H:
Vestník Ministerstva zdravotníctva Slovenskej republiky Osobitné vydanie Dňa 15. augusta 2007 Ročník 55 O B S A H: Výnos Ministerstva pôdohospodárstva Slovenskej republiky a Ministerstva zdravotníctva
Διαβάστε περισσότεραVYUŽITIE ZVUKOVEJ KARTY POČÍTAČA AKO GENERÁTORA STRIEDAVÉHO PRÚDU
VYUŽITIE ZVUKOVEJ KARTY POČÍTAČA AKO GENERÁTORA STRIEDAVÉHO PRÚDU Gabriela Tarjányiová, Ivan Bellan, Marián Janek a Jozef Kúdelčík Katedra fyziky, Elektrotechnická fakulta, Žilinská Univerzita v Žiline
Διαβάστε περισσότεραHMOTNOSTNÉ PRIETOKOMERY NA KVAPALINY
Strana 756 Zbierka zákonov č. 69/2002 Čiastka 30 Príloha č. 65 k vyhláške č. 69/2002 Z. z. HMOTNOSTNÉ PRIETOKOMERY NA KVAPALINY Prvá čas Všeobecné ustanovenia, vymedzenie meradiel a spôsob ich metrologickej
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότεραHMOTA, POLIA, LÁTKY HMOTNOSŤ A ENERGIA
VŠEOBECNÁ CHÉMIA 1 HMOTA, POLIA, LÁTKY Hmota je filozofická kategória, ktorá sa používa na označenie objektívnej reality v jej ustavičnom pohybe a vývoji. Hmota pôsobí na naše zmyslové orgány a tým sa
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραVlnová optika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky III pre EF Dušan PUDIŠ (2010)
Vlnová optika Fyzikálna podstata svetla. Svetlo ako elektromagnetické vlnenie. Základné zákony geometrickej optiky. Inde lomu. Fermatov princíp. Snellov zákon. Ohyb svetla na jednoduchej štrbine a na mriežke.
Διαβάστε περισσότεραELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.
ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραVybrané experimenty vo vyučovaní fyziky na ZŠ
METODICKO-PEDAGOGICKÉ CENTRUM Vybrané experimenty vo vyučovaní fyziky na ZŠ Iveta Štefančínová Bratislava 2015 Obsah Úvod... 4 1 Padanie rôznych telies... 5 2 Guľôčka na rôznych povrchoch... 7 3 Energia
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα2.7 Vrhače. kde : v - rýchlosť častice pri opúšťaní vrhacieho kolesa, m/s
2.7 Vrhače Vrhače sú zariadenia, ktoré svojimi funkčnými časťami udeľujú časticiam dopravovaného materiálu kinetickú energiu, ktorú tieto častice využívajú na svoje premiestnenie na miesto určenia. Tieto
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραOPTIKA. obsah prednášok EMO
OPTIKA obsah prednášok EMO Peter Markoš zimný semester 208/209 Obsah Prednáška 5. Elektromagnetické vlny vo vákuu I........................ 5 2 Prednáška 2 7 2. Elektromagnetické pole vo vákuu II.......................
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότεραDijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
Διαβάστε περισσότεραJednoducho o matematike
Jednoducho o matematike Prehľad matematiky zo základnej školy Spracoval: Vladimír Rýs (voľne prístupná práca o matematike základnej školy) 1 1. Úvod Prečo vlastne chcem napísať tento prehľad? Dôvod je
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραOCHRANA PRED ATMOSFÉRICKOU ELEKTRINOU (STN EN 62 305-3)
OCHRANA PRED ATMOSFÉRICKOU ELEKTRINOU (STN EN 62 305-3) Jozef Jančovič* ÚVOD Od 1.11.2006 a od 1.12.2006 sú v platnosti nové normy rady STN EN 62 305 na ochranu pred účinkami atmosférickej elektriny. Všetky
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραMeranie šírky drážky na CD laserovým ukazovátkom Soňa Gažáková a Ján Pišút FMFI UK
Názov projektu: CIV Centrum Internetového vzdelávania FMFI Číslo projektu: SOP ĽZ 2005/1-046 ITMS: 11230100112 Meranie šírky drážky na CD laserovým ukazovátkom Soňa Gažáková a Ján Pišút FMFI UK Meranie
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραPRÍLOHA MI-006 VÁHY S AUTOMATICKOU ČINNOSŤOU
PRÍLOHA MI-006 VÁHY S AUTOMATICKOU ČINNOSŤOU Pre ďalej definované váhy s automatickou činnosťou, používané na určenie hmotnosti telesa na základe pôsobenia zemskej gravitácie, platia základné požiadavky
Διαβάστε περισσότεραPodnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
Διαβάστε περισσότεραĐường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.
Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραHMOTNOSTNÉ PRIETOKOMERY NA PLYNY
Strana 762 Zbierka zákonov č. 69/2002 Čiastka 30 Príloha č. 66 k vyhláške č. 69/2002 Z. z. HMOTNOSTNÉ PRIETOKOMERY NA PLYNY Prvá čas Všeobecné ustanovenia, vymedzenie meradiel a spôsob ich metrologickej
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραŽilinská univerzita v Žiline Elektrotechnická fakulta Katedra telekomunikácií. Rádiový prenosový modul. Marek Hubinský. Rádiový prenosový modul
Žilinská univerzita v Žiline Elektrotechnická fakulta Katedra telekomunikácií Rádiový prenosový modul Marek Hubinský 2006 Rádiový prenosový modul DIPLOMOVÁ PRÁCA Marek Hubinský ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE
Διαβάστε περισσότεραMeren virsi Eino Leino
œ_ œ _ q = 72 Meren virsi Eino Leino Toivo Kuua o. 11/2 (1909) c c F c Kun ne F iu L? c œ J J J J œ_ œ_ nœ_ Min ne rien nät, vie ri vä vir ta? Kun ne c c F c Kun ne F iu L? c œ J J J J œ_ œ_ nœ_ Min ne
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότεραEURÓPSKEHO PARLAMENTU A RADY
Konsolidovaný text: B - Smernica 2001/85/ES EURÓPSKEHO PARLAMENTU A RADY z 20. novembra 2001 týkajúca sa osobitných ustanovení pre vozidlá, používané na prepravu cestujúcich, v ktorých sa nachádza viac
Διαβάστε περισσότεραZáklady automatického riadenia
Základy automatického riadenia Predná²ka 6 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita
Διαβάστε περισσότεραPriklady, ktore pohli (mojim) svetom
Priklady, ktore pohli (mojim) svetom Juro Tekel juraj(dot)tekel(at)gmail(dot)com Poznamky k seminaru o niekolkych najzakladnejsich typoch uloh, ktore je ozaj dobre poznat a vediet riesit. Januar 2006 Pocuvadlo
Διαβάστε περισσότεραœj œ œ œ œ œ œ b œ œ œ œ œ œ w
Osmogasnik - as 5 - Jutrewe 1 16.. Na O treni j Bog= o - spod' i - vi - sq nam=, n b w ba - go - so-ven= grq-dyj vo i -mq o-spod - ne. Bog= o-spod' i -vi - sq nam=, ba - go - so - n > b w ven= grq - dyj
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραMargita Rybecká NIEKOĽKO PROBLÉMOVÝCH ÚLOH Z MATEMATIKY PRE 5. ROČNÍK ZÁKLADNEJ ŠKOLY
Margita Rybecká NIEKOĽKO PROBLÉMOVÝCH ÚLOH Z MATEMATIKY PRE 5. ROČNÍK ZÁKLADNEJ ŠKOLY Metodicko-pedagogické centrum a.p. Tomášikova 4 Bratislava 2008 3 OBSAH ÚVOD A I. Vytvorenie oboru prirodzených čísel
Διαβάστε περισσότεραtúdium difrakcie svetla vyu¾itím HeNe lasera Teoretický úvod Difrakcia svetla na vlákne
túdium difrakcie svetla vyu¾itím HeNe lasera Teoretický úvod Pod difrakciou (ohybom) svetla rozumieme vo v¹eobecnosti tie javy, pri ktorých sa svetlo v homogénnom prostredí ne¹íri priamoèiaro. Mô¾eme ho
Διαβάστε περισσότεραVektorové a skalárne polia
Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραΑλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη
Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 5 ( )( ) ( ) 1. ÚPRAVY VÝRAZOV
ÚPRAVY VÝRAZOV Algebrický výrz, definičný obor výrzu Počítnie s mnohočlenmi, úprv rcionálnch výrzov, prác s odmocninmi Príkld: Určte definičný obor výrzu: ) 5 b) log Určte definičný obor výrzu zjednodušte
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραMinisterstvo dopravy pôšt a telekomunikácií SR Sekcia dopravnej infraštruktúry
Ministerstvo dopravy pôšt a telekomunikácií SR Sekcia dopravnej infraštruktúry TP 6/2005 Technické podmienky Plán kvality na proces aplikácie vodorovných dopravných značiek Účinnosť od: 30.09.2005 september,
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραΓια να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads.
Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads. Η μυκηναϊκή Γραμμική Β γραφή ονομάστηκε έτσι από τον
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραTeória lineárnych operátorov Pripomeňme, že operátor z lineárneho priestoru X do lineárneho priestoru Y nad tým istým po lom
Teória lineárnych operáorov Pripomeňme, že operáor z lineárneho priesoru X do lineárneho priesoru Y nad ým isým po lom (R alebo C) sa nazýva lineárny, ak pre x, y X a skalár α T (x + y) = T x + T y, T
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραEPR spektroskopia. E E(M s
EPR spektroskopia Elektrónová paramagnetická rezonancia (EPR) patrí do skupiny magnetických rezonančných metód. Najširšie uplatnenie z rezonančných metód zaznamenáva jadrová magnetická rezonancia, ktorá
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραJapanese Fuzzy String Matching in Cooking Recipes
1 Japanese Fuzzy String Matching in Cooking Recipes Michiko Yasukawa 1 In this paper, we propose Japanese fuzzy string matching in cooking recipes. Cooking recipes contain spelling variants for recipe
Διαβάστε περισσότεραu R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.
Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.
Διαβάστε περισσότεραss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Διαβάστε περισσότεραPraktická úloha č. 1. Biochémia
Biologická olympiáda Ročník : 47 Školský rok : 2012/2013 Kolo : Celoštátne Kategória : A Teoreticko-praktická časť Praktická úloha č. 1. Biochémia Glyceraldehyd-3-fosfát dehydrogenáza je enzým, ktorý sa
Διαβάστε περισσότεραManometre. 0,3% z rozsahu / 10K pre odchýlku od normálnej teploty 20 C
- štandartné Bournské 60 kpa 60 MPa - presné robustné MPa resp. 250 MPa - škatuľové 1,6 kpa 60 kpa - plnené glycerínom - chemické s meracou trubicou z nerezu - so spínacími / rozpínacími kontaktmi - membránové
Διαβάστε περισσότερα